（基础数学专业论文）两类偏微分方程的数值解.pdf

两类偏微势方程盼散值解 o 1中文摘簧 零文研究两个麓邀第一个勰题是在记忆材辩翡热转罄，多孔粘 辩擞分藏戆压缭、璇恣久疆、原予爱凌潦力学等麓麓孛，鬻常碰餮静 抛物獭积分微分方稷对于该种方程的数假求解，豳外的v , t h o m d e f 1 、5 、7 、1 6 ，1 7 、1 8 、1 9 ，2 0 、2 l 、2 2 、2 3 ，2 4 、3 l bs t i g l a r s s o n t 9 1 ，w m c l e a n 5 ，1 7 、2 0 ，删，c ，l u b i c h 1 8 ，j c l 6 p e z m a r c o s 1 4 ： 1 m s a n z s e r n a 6 ，g f a i r w e a t h e r 3 、1 5 o 。w a h l b i n 1 、1 7 、l 辅，| 。珏。 s l o a a 7 、1 8 、2 2 ，2 麓，y a n p i u g l i n 3 1 l 等，霭态翡陈传淼【l ，嘲、 黄纛潴【2 】徐太f 8 ，9 、1 0 ，1 1 、1 2 ，1 3 j 、汤涛f 3 3 】、胡齐芽 f 3 4 】、张铁 3 8 】替做了火恩的研究，他们大多采用有限元方法( f l 、 5 。1 0 、1 3 、1 8 、3 l 、3 5 、2 6 1 ) ，榉条懿澄方法( f 3 ，1 5 j ) ，稽限差分 方法 1 4 1 滋及甏嚣麓方浚( 2 5 t ) 。疆本文采蔫鲢空麓线滋蠢隈嚣，嚣 阉教营撩艇变换数德逆帮很少有入涉及 第二个麓题是濠镶蜷浚王艺孛静浸滤瑟耩满廷戆一个擞线戆榷嚣方 程建澎不同类型堆漫控制参数及速率计算的数学模式是阑内外都感 兴趣的问题，尤其是在数学上准确描述出采显碍特别重凝蕊追切。 本文兔耀差分法离散，褥爆逆b r o y d e n 秩l 遮代法露牛顿逢我法努 剃澎像诗箕 主要结果魏下， ( 1 ) 绘出一类偏积分微分方程空间缪性有限元，时间摭普拉鳜变 换数邋道的全离数格式及数值例子。 ( 2 ) 给窭堆澄王艺孛浚滤嚣黪霉线黢瓣舔遂b r o y d e n 秩1 迭代法 爱数德铡子 渤给出璀浸工艺审浸润面静非线饿问题牛顿遴代法及数值例 子 荚键谪：镳积分微分方程；控普撼辫变揆数筐邈；线像有限元 法；迭代法；嚣线愁瓣题 i i 高校教师在职碗士学位论文 o 。2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w es t u d yt w oq u e s t i o l l s t h ef i r s ti st h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a l e q u a t i o no fp a r a b o l i ct y p eo f t e no c c u r si na p p l i c a t i o n ss n c l la sh e a tc o n d u c t i o n i nm a t e r i a lw i t hm e m o r y , c o m p r e s s i o no fp o r o - v i s c o e l a s t i cm e d i a ，p o p u l a t i o n d y n a m i c s ，n u c l e a rr e a c t o rd y n a m i c s ，e t c t h e r ea r el o t so fd o c u m e n t so fv t h o m 6 e1 1 、5 、7 ，1 6 、1 7 、1 8 、1 9 、2 8 、2 l ，2 2 、2 3 ，罄、 3 l 】，s t i g 。l a r s s o n 【1 9 | ，w m c l e a n 5 ，1 7 、2 0 ，2 4 】，e h ，l u b i c h 1 8 ，j c + l d p e z - m a r c o sf 1 4 】，j m s a n z - s e r n a 6 】g f a i r w e a t h e r 3 、15 】，l w a h l b i n 1 ，1 7 ，1 9 】j i h s l o a n 【7 、1 8 ，2 2 ，2 3 1 ，y a n p i n gl i n 【3 1 1i no v e r s e a s a n dc h u a n m i a oc h e n 【l 、3 5 】，y u n q i n gh u a n gf 2 】，d ax u 【8 、9 、1 0 ， l l 、1 2 、l 司，t a o t a n g 3 3 1 ，q i y a h u f 3 ，t i e z h a n g 矧i n h o m e 。a l o t t h e mu s ef e m ；s p l i n ec o l l o c a t i o nm e t h o d s ；f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o 蠡：s p e c t r a l c o l l o c a t i o nm e t h o d s b u tf e wo ft h e mm a k et h el i n e a re q u a t i o no ft h el i n e a r f i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h ed i r e c t i o no fo fxa n dt h ei n v e r s i o nt e c h n i q u ef o r t h el a p l a c et r a n s f o r mi nt h ed i r e c t i o no ft t h es e c o n di st h eq u a s i l i n e a re q u a t i o no fe l l i p t i ct y p ei na p p l i c a t i o ns u c ha s i n f i l t r a t e ss u r f a c eo fh e a pl e a c h i n gp r o c e s s a l la , l - ei n t e r e s t e di nb u i l d i n gm a t h - e m a t i c a lm o d e lo fd i f f e r e n tt y p e so fh e a pl e a c h i n gr a t e sa n dp a r a m e t e r s i t i sp a r t i c u l a r l yi m p o r t a n ta n du r g e n tt od e s c r i b ep a r t i c u l a r l yi nm a t h e m a t i - c a c $ t h ea r t i c a lp r e s e n t st h e 凼f f e r e n c em e t h o df i r s tt oo b t a i nt h ed i s c r e t i z a - t i o n a n dt h e na p p l i e ss i n g l er a n ki n v e r s eb r o y d e ni t e r a t i v em e t h o da n dn e w t o n i t e r a t i v em e t h o d 。 m a i nr e s u i t sf o l l o w s ： ( 1 ) g i v e nt h en u m e r i c a le x p e f i m e n t sa n dt h ef u l ld i s c r e t i z a t i o nf o rt h e l i n e a re q u a t i o no ft h el i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nt h ed i r e c t i o no fo fxa n d t h ei n v e r s i o nt e c h n i q u ef o rt h el a p l a c et r a n s f o r mi nt h ed i r e c t i o no ft ； 2 ) g i v e nt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n ds i n g l er a n ki n v e r s eb r o y d e ni t - e r a t i v em e t h o df o ran o n l i n e a rp r o b l e m st oi n f i l t r a t e ss u r f a c eo fh e a pl e a c h - i n gp r o c e s s ( 3 ) g i v e nt h en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa n dn e w t o ni t e r a t i v em e t h o df o ra 两类偏微分方程的数值解 i l l n o n l i n e a rp r o b l e m st oi n f i l t r a t e ss u r f a c eo fh e a pl e a c h i n gp r o c e s s k e yw o r d s ：p a r t i a li n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；t h ei n v e r s i o nt e e h n i q u e o ft h et a p l a e et r a n s f o r m ；l i n e a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；i t e r a t i v em e t h o d ；n o n - l i n e a rp r o b l e m 高校教师在职硕士学位论文 第一章序言 本文研究两个问题微分方程能描述一个系统在某一固定时刻 的状况，它不能反映过去的效果积累但在热传导、原子反应、动力 学和热电理论中，它们常常需要反映这个系统的“记忆”功效，这 就导致我们在基本的偏微分方程中增加一个积分项，从而得到偏积 分微分方程 第一个问题我们将研究下面一类偏积分微分方程数值解的拉普 拉斯数值逆的全离散格式 u t ( z ，t ) = j ：卢0 一s ) u 。( z ，s ) d s + ，( z ，t ) ( 1 1 ) ( 其中核p ( t ) = t 一1 2 ，在t = 0 点是奇异的) 0 z 1 ，0 t t ， 有如下边界条件： u ( z ，t ) l 。：0 1 = 0 ，0 t t ( 1 2 ) 和如下初始条件： u ( z ，0 ) = 札o ( z ) ， ，0 z 0 ) ，映射为 如下函数： ( i z 2 川t ) = 后0 一s ) _ f ( s ) d 8 ( 1 4 ) 满足下列性质( 见【6 】中的p 3 2 0 ) ： ( 1 1 2 ( ，m 埘( t ) = 7 rj of ( s ) d 8 ( 1 5 ) 因此1 r - t 。，m 能看成不定积分算子的平方根，通过运用分数次计算 的理论( 见 4 】) ，我们能定义微分算子d = d d t 的平方根d m ： d m d m 露f ( s ) d s = 坤) ， ? r - l 2 d m j _ m = 恒等算子 高校教师在职硬士学位论文 在( 1 ，1 ) 的齐次方稷两边运用d m 可褥： d 1 2 d u = 筇2 锃。( 1 6 ) 因此方程( 1 1 ) 的齐次方程可被看作介予我们熟悉的方糕；d u = a u x = 髯d = 阮。( 口，b 为正常数) 之间的一类方程 近年来，国内外祷很多人研究了这类方程。陈传淼、v t h o m d e 猩玉。b 。w a h t b i n 1 】黎耀囊后e u l e r 格式，室楚方囊采震线性有限元， 檄努项通过内积求积技巧进行离散，褥到解的正剥性条件及误差估 计z d l 印e z m a r c o s 1 4 】研究了一类非线性的积分微分方程，采用 了一阶时间全离散藏分格式w m c l e a n ，v t h o m d e 5 1 使用了e u l e r 和 = 阶向后差分格式，空闻方向用g a l e r k i n 有限元方法，并给出了问题 ( 1 1 ) 一1 3 ) 懿正剜稳健计。s a n z s e r 雄a 6 】遣研究了这类阕题，在时 耀方向，毽采雳了囊露e u l e r 格式秘一阶卷菝隶积逼近积分顼，对光 滑与非光滑的初始德导出了相应的误麓估计徐大f 8 】考虑了e u l e r 和c r a n k n i c o l s o n 格式和一阶、二阶港积求积，得到了惜权的误差 估计【1 5 】使用g a l e r k i n 和配置方法进行时间离散，得到最优阶误差 馋计。空闻方国使用正交样条配置方法，得到空阎拳离教的稳定 彀耱收敛睦。【1 9 】霹耀方怒使焉套限嚣，瑟丑龛谗交辩阚步长。鏊嗣 空阔方向采甩g a u s s - l o b a t t o 积分点上拟谱配置方法得到无条件稳定 性及最优误差界【2 2 】考虑了不连续g a l e r k i n 方法( d g ) ，稀疏求 积公式，得到问题的先验和后验估计，并给出了自适用算法，【2 4 1 先通过l a p l a c e 变换及逆变换把解表示为光滑围道上的积分，从而可 以袋震著行算法来数燕求解。f l 鬟时阕穷彝使尾一酚，：除彝后差 分，空闻方向采耀分片线往元，蘩j 霭豢积积分褥餮最傀阶误差赛。 ( 3 3 1 考虑的是v o l t e r r a 积分微分方程，核k ( t ，8 ) = 0 8 ) ，0 o 1 ， 作者采用多项式样条配置法，利用适搬的分级网格，可使相应的配 置逼近具有m + 1 一a 的超收敛阶，出于时间离散必须保留前面所 番豹悠，它将要求大基的内存，为了宠舅受这些困难，荧笼涛 2 提出 了一种累魏格式，袋褥存储量帮王佟爨跨麓够大大藏少。f l 司是溺 在弱奇异核偏积分微分方程上的具体应用，并采用变步长进行时阉 离散，h s l o a n ，v t h o m d e 7 】建议减少求积区间，使用海阶的求积公 式【3 4 】中采用了“几何网格”，使得正作量减少但本文采用的空 两类偏微分方程的数值解 间线性有限元，时间拉普拉斯变换数值逆在我所见的国内外文献中 还没有人研究 第二个问题考虑如下炼铜工艺堆浸法中的浸润面满足的一个拟 线性椭圆方程的数值解： 鑫( k ( z i z ) 爱) + 为( ( 。一i 茹) 考) + 叫= 0 ( 1 7 ) 0zf0yz 式中：k 。，为堆浸矿堆的渗透系数：在任何浸出作业中都具有头等 重要的意义，它主要与矿石特性、粒度和堆放方式、矿物成分、矿石 均匀性，压实程度及粘土杂质含量有关u 为溶浸液的供给强度： 要依据当地条件采用不同的喷淋强度与喷淋方式z ( x ，y ) 为浸润面 的方程：z 是浸润面上某一点的纵坐标，i 为坡度：它能减少喷淋面 积而成倍增加铜的浸出率，为堆浸厂增产电铜、降低成本提供了保 障 为满足我国日益增长的铜的需求量，为堆浸厂增产电铜、降低成 本，我们研究浸润面的形成过程和机理对堆浸工艺具有重要意义 在我国，铜产量增长速度较快，但我国铜的消耗量远高于生产量，自 给量仅6 5 ，供需矛盾十分突出。从矿产资源来看，贫矿多富矿少， 处于边界品位或边界品位以下的大量矿产资源却没有有效利用正 在开采的铜矿平均品位只有0 5 3 ，采用传统的采、选冶工艺回收 低品位矿石一直处于不景气状况，许多矿山因亏损或环境保护法的 限制而被迫关闭堆浸法能很好的解决这个问题。其单位金属铜产 品较常规方法投资开采低5 1 0 倍，成本降低1 5 2 倍，劳动强度 减轻1 6 2 倍，省电2 3 倍 本文先用差分法离散，再用逆b r o y d e n 秩1 迭代法和牛顿迭代法 分别计算其数值解，效果很好 全文按如下安排： 第一章，介绍当前数值求解偏积分微分方程( p i d e s ) 已有的方法 和结论。 一些预备知识放在第二章，介绍拉普拉斯变换数值逆的一些性 质和引理 高校教师在职硕士学位论文 第三章，讨论线性有限元空间离散，l a p l a c e 变换数值逆时间离 散的全离散格式并实算一个数值例子 第四章，给出堆浸工艺中浸润面的非线性问题逆b r o y d e n 秩1 迭 代方法及实算一个数值例子 第五章，给出堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法及 实算一个数值例子 将第三章数值计算的程序附在第七章里面 高校教师在职礤士学位论文 第二章预备知识 2 1一些定义和记号 解边值问题的有限元法是一种变分方法在变分近似计算中，先 选取函数空间k 的一个有限维子空间飘& 的一组基是 妒1 ，忱，蛳 ， 对一切u s n ，襻在c l ，c 2 ，c r r ，使 翻帮；e l 妒l 龟豫+ 印妒，露。1 ) 用& 代替k ，可以建立一个近似变分问题我们在有限元法中， 釉的函数则是在6 】区间某种剖分下与节点有关的分段函数( 一般 是分段多项式) 的集合，这样更方便予实际计算 定义 露u ( x ) v ( z ) d z = ( 罄( 茹) ，$ 匆) ) 。 ( 2 ，霉 2 2一些性质和引理 事甄分绥一些要懋鳕藩普拉藏数蘧懿絮蓼 。 缀罄控新变换的定义： 设函数i ( t ) 满足条件： ( 1 ) 当t 0 时，( t ) 及，) 除去有限个第一类间断点而外处处连 续。 ( 3 ) 巍t o 。时，y ( t ) 的璞长速度不怒过菜令碧数丞数，券3 m 及 a o 0 使i ，国i m e m o 。，( 0 o ，f ( t ) 在t 点 连续，在( o ，o o ) 上有界，则，溉警，( “( s ) i 。学= ，( t ) ，且当在任意的 有限闭区间上，( t ) 是连续时，一致收敛成立 将定理1 的条件减弱，记厶( f ) = 学s - ，( n ( s ) l 。毕，可得： 两类偏微分方程的数值解 定理2 ：设函数，( ) 存在拉普拉斯变换，( s ) ，s 0 ，f ( t ) 在t 点连续， 且f ( t ) = o ( e d ) o 。) 则t i m 厶( t ) = ，( t ) ，且当在任意的有限区间 上，( t ) 是连续时，一致收敛成立 定理1 与定理2 的证明见【3 6 】 【3 6 】讨论了厶( t ) 可用于计算函数，( z ) 的近似值， 即 ，( t ) 厶( t ) = 竽8 n + l ，( s ) i 。：半 ( 2 1 1 ) 定义误差( t ；f ) = 厶( t ) 一，( t ) ， 并证明了： e n ( 友f ) - - v o y ( t ) + 气孚口2 厶( t ) ( 2 1 2 ) 其中 ll 。11 虿丽+ i 玎i ：f 酽而+ 2 ( r z + 1 ) 2 华志+ 翥研，丢 目前厶( t ) 的应用在工程上主要是计算函数值，事实上也可应用于微 分方程求数值解 高校教师在职硬士学位论文 第三章偏积分微分方程空间线性有限元法，时间拉 普拉斯变换数值逆的全离散格式及数值例子 3 1离散格式 在变分问题求近似解的过程中，如果选用踟为分段线性函数的 集合，就构成最简单的有限元方法，称为使用线性元的有限元方法 在 口 6 】中插入等分节点戤= 斋，( = 0 ，1 ，) ，其中h = 专( n 是 正整数) 是步长，每个节点戤对应分段线性插值基函数也( 。) ：见【3 7 】 张垆 警 ，当 ，当 f 0 ， 当 z 等时 i 。，= i n + x ，- 一i + z l ：耋爹乞五i 霉筹： c s ， 【0 ， 当 z i + l 时 肌，= 半0 ：耋z 2 三凳时， 它们满足 纵咖1 ：耋：嚣倒 。， 设 s = s p a n c o ，砂1 ，妒。) ( 3 2 ) 两类偏教分方穆的数值解 即若u 瓢，则存在常数w o ，。l ，使 甜( 善) = ；蠲燕( 。) + 甜l 毋l 茹) + 甜番薄( 茹) 。 不难验证，上式的系数 ， 记 若叫鼹，则有 ( z i = ( 以) ，( i 一0 ，1 ，n ) ( 3 3 ) 鼹一 甜| 搿5 k ，w ( z o ) = g ，掰嚣弹) = e 移，母 u 0 ) 一w i 曲i ( z ) + u 2 妒2 ) + + 。 r 一1 _ r l ) ， ，或分别是交分| 霹题孛丞数空麓硪薛一个+ 1 ，n 一1 维子空 阕。 l 砘= 名声8 一s 如。o ) 幽+ 支 挣= ( o ，i ) ( o ，刃， 鞋= 0 ，在溉l o ，翻， ， ( 3 5 l 珏( o ) 一奶 在( o ，1 ) 中 v o l t e r r a 积分算子作用的项膨p s ) 让。( s ) d s 或名乱。( s ) d s 能记忆和反馈( 3 5 ) 的弱形式是寻求“( t ) 研( o ，1 ) 使 墨i 三乒联卜嵌日蔷鼻蚝掰固1 x c s 固 【“( o ) = 妒( z ) ，在( o ，1 ) 中 7 其半离散有限元u h ( t ) 繇满足 ( i t h , t , 、v ) 2 露8 叫，v 。) d s “如) 钱躁( 3 7 ) lu h ( o ) = 器 ”7 在这一章里，我们将用关于时间遣续的拉普拉斯的数值逆，空间 囊装教摔在驭臻学垃谂文 采用线性有限元法对( 1 1 ) 一( 1 3 ) 进行全离散方程形式其体如下。 l “t ( t ，。) 一去f o ( t s ) 一1 辟“档o ，茹) d s = f i t ，z ) ，0 z 1 ，0 t z ( 3 8 n ) 蛙秘，0 ) 一珏( o ，1 ) 一0 ，0 t 置l iu ( 0 ，z ) 一铷， o 童l ， ( 3 8 ) 记试探丞数空闻： 皤( o ，1 净 v i z ) ：( z ) ，v i z ) p ( o ，1 ) ，v ( o ) = v ( 1 ) ；o ， 将( 3 8 a ) 式两边同乘以一个试探函数”( 茹) ，可得： 钍 ( 幻) 一去z i t - s ) 以胆) d s = f ( t ，咖妇) - 嚣迭取积分： z 1t “( t z ) 秽( z ) d 零一：i 0 1z ( t 一。) - - i 2 “z x ( s ，茹) 口( 茹) d s d 嚣= f 1 ，( 南窖) ”( 嚣) 如 整理得， ， 露毗( t ，茹) 口( 。) 如+ 去詹f oi t s ) - 1 2 ( s x ) v ( x ) d s d x = j ：f ( t ，卫) 口( 霉) 如， 1 3 9 【乱( o ，。) 一u o ，0 z 1 ( 3 9 6 ) 当v v 础时，( 3 8 ) 式与( 3 9 ) 式等价但( 3 8 ) 式是强解，( 3 9 ) 式 爨弱解 ， 1 ，先耀线性有限元法对x 穷淘离散 设 饥s _ 2 ，= $ m 佗 l ，庐一1 ) 那么以c o ，1 】且加( o ) = c h o ) 一0 ，容易知道岛c 础且s j ：r 中的 任意爨数都可表示为基函数的线性组合对( o ，1 ) 医蔺n 等分割分， 节点翱= 啦x n l ，h = 嘉忍一嘉，0 i n ，线镶有限元基丞数觅3 。1 ) 式空间艘的任意函数可表示为基函数的线性组合 ， u ( t ，卫) 笆u h ( t ，z ) = 口l ( 0 砖( 。) + a 2 ( t ) 嬷0 ) + + 口一l ( 站硝一1 ( 嚣) ( 3 1 0 ) 于是； u t ( t ，卫) 裂0 ) 曲：( 髫) + 吐( t ) 2 ( 茹) + + 口知一l ( t ) 咖誓一1 ( z ) 将( 3 , 1 0 ) 一( 3 1 1 ) 式代入( 3 9 a ) 式并取”( 却= 咖 ) 可得： o ：( t ) 躐西) 奶( z ) 如十击f ： c t s ) - 1 舟露啦( 8 ) ( 张( 。) y 蟛( 茹) 出】幽 一1 0 ，彳) 奶p ) 如，0 = 1 ，2 ，一1 ) ，0 t 瓦( 3 1 2 。 ) = 渤， ( 茹) 繇，0 z 乏1 ( 3 ，1 2 酵 由( 3 1 2 b ) 可知： 7 1 , 0 垒u o 和) = 乱o ，l 掂扛) + u o ，2 0 ；( x ) + + 7 1 , o _ 一1 硝_ 1 ( z ) 鸯 ( u o ，v h ) = ( u 0 ，h ，v h ) ，嚣 取v a 一镌( 。) ，( i = l ，2 ，n 一1 ) ，萄得到线饿方程组： ( u 0 ，旌) = u o ，l ( 截，砖) + 钍o ，2 ( 锨，镌) ； ( u 0 ，：) = u 0 。t t ( 咖k ，4 - 1 ) 十蜘j ( 织，妒：) + t l o ，件1 ( 妒i ，1 ) i ( u o ，硝忡1 ) = u o , n 一2 ( 蟛，蟛。2 ) + t i o , n - 1 ( 硝，妒譬- 1 ) 可以用矩阵表示为； 懿，穰) ( 鲑，媛) 0 0 ： 。+ ： 0 ( 程h ，爵1 ) ( 镌，援) ( 镀，蝣1 ) 000，n，0 0 ( 毋譬一1 ，妒参一1 ) 譬斛加m = 鲰 ，i_i-f，ll【 高校教师在取硬士掌位论文 憔 z f 擘= z 壤 ( z ) 一趣o ) ( 3 。1 3 ) 而且知道a i ( o ) 一钍叫并且有 f 去菇秘一s ) - 1 2 a i ( s ) d s = 去圣 名) 移。1 4 ) 将( 3 1 3 ) ，( 3 1 4 ) 代入( 3 1 2 n ) 式可以得到全离散格式： l n - 11，l 弘一l o 萎讯功幽( 搿) 如( 砘( z 卜啦( o ) ) 十去引。吃1 ( 妒l ( 枷蟛( 神如= z f f ( t ，。) 奶( 功捌， 0 = 1 ，2 ，n 一1 ) ( 3 1 5 ) 求囊屯。) ，蒺孛j = l ，2 ，n 一1 。 又由( 2 1 1 ) 式得： 留芋矿+ 1 哆渊。苹。 ( 3 。l 蛰 0 = 1 ，2 ，一1 ) 求窭系数鼢褥代入簿l o ) 式求穗函数t # 瓴茹) 酶遥像值。 数例； 1 3 。2数值例芋 两类偏徽分方程的数值解 农姆，8 ) 式审设珏( 毛茹) = s i nz r x - 豢s i n 2 1 r x ，劐 露，嚣) = 丽2 t l 2 t , ，r 2 s i n i r x - s i n 溉) - 黯2 妒s i n 2 雅 札( 0 ，z ) = s i n 丌茹 代入( 3 1 5 ) 右边是： 胁川非) = 鬈 揣酽咖，x - s i n 2 ，r x 脚氏i n 2 叫( 竹胁 【丽2 t l 2 酽s i n s i n 2 叫- 2 ，r 2 t 2 s i n2 1 r x 】。+ l - n x 2 删 且啦( o ) = 缸o i 掰得全离散矩阵： o 蠢一、 0 豫+ 矗2 n 骓 ，蛋l 潜、 f 奶( 力 l 卜l 2 由 r l ( 孑) 下面我们将应用上述方法来进行数值实验此数值结果是基于 m a t l a b 6 。5 1 ，在兼容机( 3 0 gc p u ，5 1 2 m 晦存) 个人机上运行得到。 ，f 取n = 1 0 求凄z ) ，其审j = 1 ，2 。，9 又由( 3 1 6 ) 式得： a j ( t ) 与芋z 州哆俐；华 0 = 1 ，2 ，9 ) o o o 山jj 科缸一w 蝻西n 缸一鞭。一州 j 氐 一 土州 ， 0 o。，上蝌； o p群。o ；一料。一州。， 。 o一州上州o；o ，。，。 ， 、l；ll 如如出 洳 m 殛 砖 如如妇 “ 咖毋 妨蛰：渺 以六氧 茹 “兵 以 菇詹譬 z z z “ 高校教师在职硬士学位论文 求出系数a j ( t ) 再代入( 3 1 0 ) 式求出用不同的导数阶数n 而求出相对 应的缸( t 0 1 ) 的近似值和误差 表3 1 ：u ( t ，0 1 ) 的精确值 4 u ( t ，0 1 ) l0 1 9 7 2f o 1 3 3 1f - o 9 4 1 6 l - 1 9 8 8 5 l - 3 2 2 8 3 n = 1457 8 91 01 1 t = o 40 1 6 1 5 0 1 7 9 8 0 1 8 2 1 0 1 8 5 20 1 8 6 4 0 1 8 7 30 1 8 8 2 0 1 8 8 9 1 0 2 0 7 10 1 5 4 80 1 4 8 80 1 4 1 50 1 3 9 10 1 3 7 20 1 3 5 70 1 3 4 5 21 1 5 6 2一1 0 2 8 41 0 1 3 90 9 9 5 80 9 8 9 70 9 8 4 80 9 8 0 70 9 7 7 3 32 3 8 6 8 2 1 5 2 8 2 1 2 5 72 0 9 1 4 2 0 7 9 9 2 0 7 0 62 0 6 3 02 0 5 6 6 43 8 4 3 83 4 8 3 23 4 4 1 33 3 8 8 33 3 7 0 53 3 5 6 23 3 4 4 53 3 3 4 7 n = 1457891 01 1 t = o 4 0 0 3 2 10 0 1 7 40 0 1 5 , l0 ，0 1 20 0 1 0 80 0 0 9 9 0 0 0 90 0 0 8 3 10 0 7 40 0 2 1 70 0 1 5 70 0 0 8 4o 0 0 60 0 0 4 10 0 0 2 60 0 0 1 4 20 2 1 4 60 0 8 6 80 0 7 2 30 0 5 4 20 0 4 8 10 0 4 3 20 0 3 9 10 0 3 5 7 30 3 9 8 30 1 ；4 30 1 3 7 20 1 0 2 90 0 9 1 40 0 8 2 10 0 7 4 50 0 6 8 1 4 o 6 1 5 l0 2 5 4 90 2 1 30 1 60 1 4 2 20 1 2 7 90 1 1 6 20 1 0 6 2 由表3 3 ，我们发现近似解能够很好的逼近精确解，且随着n 的 增大误差越小 表3 4 与表3 5 是文献【2 4 】q = ( 0 ，1 ) 在m 子区间一致网格里用分片 线性有限元进行空间离散，参数不同时方程( 3 8 ) 最大模l l 啦一u ( t ) l l 误差的计算结果 表3 4 ：r = 1 0 ，峭) 的误差 两类偏镦分方程酌致使解 1 5 n = 1 5 m = 1 0n = 2 5 m 端2 0n = 3 5 m = 4 0n = 4 0 m = 8 0n = 4 5 m = 1 6 0 o 4o 1 l 牡o lo 7 6 董 0 2o 2 9 e 1 0 20 。9 5 d 0 30 5 6 d 0 4 l0 4 0 & o l0 1 1 l o lo 2 7 董0 20 6 7 l ；0 3o 1 6 8 0 3 20 ，1 0 e 1 0 l o 2 7 8 0 lo + 6 7 量1 0 20 1 7 0 20 4 1 l 0 3 30 1 9 b + 0 00 4 7 b 0 10 1 2 e - 0 lo 3 0 b 0 20 7 4 e 1 0 3 4o 3 0 b + o oo ，7 l e l 0 10 1 8 e 1 0 l0 4 5 b - 0 20 1 l b 0 2 n = 1 5 m = 1 0n = 2 0 m = 2 0n = 2 0 m = 4 0n = 2 5 m = 8 0n = 2 5 m 1 6 0 o 4 0 1 4 b o l0 ，5 5 8 0 2 0 2 2 珏 o 3 6 e 1 0 20 3 4 b 。0 2 l0 4 4 e o l0 1 l 舀龌o 3 0 珏0 2o 。7 l b 0 3o 1 9 e 0 3 2 o 1 1 e + 0 0 0 2 7 b o lo 6 8 董1 0 2 0 1 7 8 0 2 0 4 3 l 0 3 3 0 1 9 e + 0 00 4 8 e 0 1o 1 2 珏0 1o 3 0 8 0 20 7 6 8 0 3 4 0 ，2 9 e + o ，7 3 8 0 l0 1 8 董o l0 4 6 8 0 2 0 1 1 e 0 2 通过表3 3 与表3 4 ，表3 5 的眈较，精度差不多这种对阉拉普拉 赫变换数值逆的计算方法计算简便，还可以根据精度的要求选取适 当秘n 就熊算出裙应约数值解。 崭校教师在职硬毒攀靛论文 繁露耄堆浚z 艺孛浸满嚣的菲线性麓题逆 b r o y d e n 秩l 迭代方法及数值例子 莲。1离散格式 德兴铜矿矿区低娲位禽铜o 1 0 2 5 的矿石储量霄3 2 亿t ， 含钢金属量弱万t 冤辟l 臻2 0 0 2 年产电铜约1 0 5 0 t ，嗣时蠛场蕊度扶 原来酶1 6 0 m 上嚣至2 4 0 m 然瑟鑫2 0 0 3 每5 舞苏寒，堆璐鲮浸窭率甓 显减西，年度垒产经务难秘完戚为就，德兴铜矿堆浸厂委托中南 大学进行现场调查，以找燃堆场存在懿趣题以及给出一燕会理的摄 高没出率的措施我试着从研究浸润筒的形成过程和机理来探讨堆 浸羔芑，以嬲麓尽绵薄之力完善秘发震窀。上覆在第一章羼游磊酶 炼镶工艺堆浸法中鲍浸澜葭满足魄一个羧线赣糖醒方爨： 舞( 0 一。* ，菇o z ) + 斋( b 一缸、8 壁姜t l 、l + w 一0 0 茹f 一、0 y f 1 ，剃庵中心差商捺式褥嚣全窿觳数馕捂式。 设q 为o x y 平巅上的一有界区域，勰势其边界戢态沿x 轴方 商步恭为h i ，y 辘步长为h 。，襻两辎与坐标轴平行的直线： 茹一i h t 一0 ，主l ，士2 ， ， f j h 2g 。0 ，虫l ，士2 ，) ， 两轴赢线的交点( i h l ，j 。) 称为网格点或带点，记为嘛，妫。仅考虑震 予n u 摊的网格点 如暴一个节点的4 个耀邻的萤点部属予q u 搬，劂髂越带赢势痰罄 两类偏微分方程的数值解 节点，或简称为内点。全都内点的全体记作蹶 舞栗一令带点的4 令辍邻酶带点至步毒一个苓瘸子q u 鞠，贾! | 舔其 为边界节患，或篱称为界点全体晃点的集会记为勰一 利用泰勒级数展开 攀名_ 1 h ；2 一钍喜1 驯l 。 t ) = 掣+ 。一o 。7 有 ( 赛) 玎= 掣生型嘧蛀础 同样的，有 ( 骞沁= 等产亟业掣 对予二虢馕导数，蘑撵零尾泰耱级数震署式获褥透钕表达式， 容易求得 ( 貉) d = 掣啦世拦必划 雾) 缮= 冬逸姓坠皆捌 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 并魏 ( 4 4 ) ( 4 5 ) 对( 1 7 ) 式中玩，相差不大我们认为同为k 蒋加上边界条件可得； fo 一妇) ( 弘0 2 z + 豢) 十“鑫) 2 斗( 骞) 2 卜赛= 一警， z ( o ，虫= 0 ，z ( 1 ，彩= i ，0 y ， ( 4 6 lz ( x ，0 ) = i x ，z ( x ，1 簪i x ，0 鬈 0 置对v k 1 ，最菲奇异，= l + ( s 。) 7 占i 1 ( t l z - - b k s 。) ( 8 蠹尸s k 雾0 ， 9 丑i 1 一f ( 矿) i t k _ 0 ，则由式( 4 6 ) 生成的序列 热) 是适定的且收敛予矿 对式( 4 7 ) 采用式( 4 1 4 ) 的迭代法其步骤如下：见【4 0 】 1 ) 取裙始近钕值。= 溉0 ，o ) ( 冀串有1 6 伞点酶。毫德) 及 计算精度s l ，e 2 ； 2 ) 计葬初始矩阵b o = f f ( 犷1 ；1 ，其中p ( z ) 为雅可鲍矩阵； 3 ) 计算8 。一一致f ( z 2 ) ，o o + 1 = + 8 k ； 4 ) 计算f ，( # 1 ) ，若f i f ( z ) l | t 或l i s k i i 2 转到7 ) ，否则转到5 ) ； 5 ) 计算y 。一f ( z 蚪1 ) 一f ( z 。) ，势出( 4 1 4 ) 计算热l ； 高校教师在职硬士学位论文 6 ) k + 1 一k ，f ( z + 1 ) + f ( z ) ，b k + 1 - b ，z + 1 - ，转3 ) 7 ) 矿= z 州，结束 4 2数值例子 数例： 我们在实验室作了一个长宽都为f = 1 ，坡度为江o 0 3 的矿堆 测得浸润系数k x = 玩= k = o 0 2 4 1 ，保持喷淋强度为u = o 0 2 3 8 取n = 5 ，则h = i 1 ，巧= ，y k = ，k j = 0 ，1 ，5 其中排列顺序采用由下 而上，从左至右 下面我们将应用上述方法来进行数值实验此数值结果是基于 m a t l a b 6 5 1 ，在兼容机( 3 0 gc p u ，5 1 2 m 内存) 个人机上运行经过1 9 次迭代与1 8 次的结果之差是1 0 一排列顺序由下而上，从左至右。取 n = 5 ，除边界点外有1 6 个网格点的值可设历= 五 l ，z 2 = 历1 磊= z 3 。1 ，z t 。z t 。1 。z 52z 1 2 ，z 6 = z 2 2 z 1 2 z 3 2 l z s z t ，2 z g = z 1 m 3z t o = 忍，3 ，z 1 1 = 历，3 ，z 1 2 = 历，3 ，z 1 3 = z i ，4 ，历4 = 历，4 ，z l s = z 3 4 ，历6 = 反 4 ， 由( 4 7 ) 式可得到计算格式： z l 一；) ( 勿+ + z 5 4 2 1 ) + ( z 2 一 勿一警) ( z l + z 3 + 警+ z 6 4 2 2 ) + ； 名1 6 一警) ( 名1 5 + z 1 2 + 百9 i + 一4 2 1 6 1 ) 2 + ( 弼一。1 ) 2 一；( 勿一z 1 ) + 蠡= 0 z 3 一z 2 ) 2 + ( z 6 一勿) 2 一；( 幻一勿) + 蠡= 0 + ( i z 1 6 ) 2 + ( 警一z 1 6 ) 2 一 0 一z 1 6 ) + 蒜= 0 设第i 个方程是 = 0 ，再计算初始矩阵岛= ( 护) 】- - ；其中f ( z ) 为 雅可比矩阵 f ( z ) = 番 丝 a “ 豢刘 两类偏微分方程的数值解 经过1 9 次迭代。( 1 9 ) = ( z l ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，2 ：5 ，匈，z 7 ，z 8 ，勾，。l o ，。1 1 ，z 1 2 ，z 1 3 z 1 4 z 1 5 栩6 ) 的值是： 表4 1 ：z o o ) 的值 0 2 0 6 2 4 5 2 5 6 8 4 3 5 00 2 8 5 3 9 2 3 2 7 6