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钱学明：具反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步分析 摘要 神经网络是一种复杂的大规模动力学系统，其动力学属性十分广泛由于其在人工智 能、信号处理、图像处理和全局优化等问题中的重要应用，近年来神经网络的动力学问题， 尤其是同步性吸引了越来越多的专家学者的关注 本文主要基于l y a p u n o v 稳定性理论，通过分别构造新颖的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函， 运用线性矩阵不等式( l m i ) 技术并结合k r o n e c k e r 积米分析讨论这两类具有反应扩散项 的混合时滞的耦合神经网络的同步问题，获得了更具一般性的神经网络全局同步的充分性 判据，并且所获得的判据依赖于时滞这样得到的判据由于是l m i 形式，可以通过使用一 些标准的数值方法来求解，并且可以由数学软件m a t l a b 的l m it o o l b o x 对所获得的判据进 行有效的验证同时，我们对细胞激活函数做了更为一般的假设，使得结论在l m i 下可以 减少保守性值得一提的是，本文中通过利用g r e e n 公式和p o i n c a r e 不等式来处理耦合神 经网络中的反应扩散项，使得到的关于同步的充分性判据中又含有扩散算子，从而又降低 结论的保守性全文共有四个部分组成 第一章丰要介绍了神经网络的研究背景和意义，同时，概括了目前相关研究工作的现 状和进展，并简要介绍了本文的主要工作以及主要创新点 由于在神经网络中信号传输的速度有限，节点问的竞争和通道拥塞等，时滞现象必然 存在同时，由于电子在非均匀的电磁场运动而出现漂移扩散现象，因而考虑反应扩散对 神经网络动力学的影响具有非常重要的现实意义因此，我们考虑了以下两类具有反应扩 散项的混合时滞细胞神经网络 由于神经网络的复杂性，除了发生扩散以及受到时滞的干扰外，通常还可能受到系统 参数的不确定性，参数的切换由某个马尔可夫链所确定以及白噪声等方面的影响 第二章首先提出了一类具有反应扩散项的带马尔可夫转换的混合时滞的随机耦合神 经网络模型通过分析，我们给出了该网络模型的鲁棒均方伞局指数同步的判定准则，并 且讨论了该模型的一些特殊情形，同样给出了相应的同步判定准则同时，我们还给出了 一个简单的实例，来验证判定条件的有效性 事实上，在神经网络的实现中，脉冲现象也是广泛存在的 第三章主要考虑了一类具反应扩散项和脉冲的混合时滞耦合神经网络模型通过分 析，我们给出了该网络模型的全局渐近同步的判定准则由于该判定条件也是以线性矩阵 不等式的形式给出的，因此，它的结果易于用m a t l a b 的l m i 工具箱来验证判定条件的有 效性 最后，在第四章中对全文的研究工作做了概括的总结 关键词：耦合神经网络；不确定性；反应扩散项；时变时滞；分布时滞；随机扰动； 马尔可大参数切换；白噪声；脉冲；全局渐近同步；全局指数同步；均方全局指数同步； 鲁棒同步；l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函；线性矩阵不等式；k r o n e c k e r 积 2 扬州大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h en e u r a ln e t w o r k ，a sal a r g e - s c a l ec o m p l e xs y s t e m e x h i b i t st h er i c ha n dc o l o r f u ld y n a m i c a l b e h a v i o r s d u et oi t s i m p o r t a n ta n dp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si na r t i f i c i a li n t e l l i g e n c e ，s i g n a l p r o c e s s i n g ，i m a g ep r o c e s s i n ga sw e l la so p t i m i z i n gp r o b l e m sa n ds oo n i nr e c e n ty e a r s ，t h e d y n a m i c a lp r o b l e m so fn e u r a ln e t w o r k so ns y n c h r o n i z a t i o nh a v ea t t r a c t e dm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n sf r o me x p e r t t h i s p a p e rb a s e so nt h e o r yo fl y a p u n o v ，a n dd i s c u s s e ss e v e r a la r r a y so fc o u p l e dn e u r a l n e t w o r k sw i t hm i x e dt i m ed e l a y sa n dr e a c t i o 阱刁i 釉s i o nt e r m s a n da l s o b ye m p l o y i n gh o v e i l y a p u n o v k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ，a n dc o n d u c t i n gal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ， k r o n e c k e rp r o d u c ti sd e v e l o p e dt od e r i v et h ec r i t e r i af o rt h es v n c h r o n i z a t i o n w h i c hc a nb e r e a d i l yc h e c k e db yu s i n gs o m es t a n d a r dn u m e r i c a lp a c k a g e ss u c ha st h em a t l a bl m lt o o l b o x f u r t h e r m o r e ，t h ed e s c r i p t i o no ft h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n si sm o r eg e n e r a lt h e nt h el i p s c h i t z c o n d i t i o n s 1 ti sw o r t hm e n t i o n i n gt h a tt h ec r i t e r i ad e r i v e da r ed e p e n d e n to nb o t ht i m ed e l a ya n d r e a c t i o n d i f f u s i o n ，a n da r et h e r e f o r el e s sc o n s e r v a t i v e t h eo r g a n i z a t i o no ft h i sp a p e ri sa s f o i l o w s ： i nt h eo p e n i n gc h a p t e r ，t h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fr e s e a r c hi nn e u r a ln e t w o r k sa r e i n t r o d u c e d ，m e a n w h i l e ，t h ec u r r e n ts t a t u si nn e u r a ln e t w o r k si sg e n e r a l i z e d ，a n da l s o ，t h em a i n c o n t e n t sa n do r i g i n a l i t i e sa r eb r i e f e d d u et ot h ef i n i t es p e e d so ft r a n s m i s s i o ns p r e a d i n ga sw e l la st r a f f i c c o n g e s t i o n s ，as i g n a lo r i n f l u e n c et r a v e l i n gt h r o u g hn e u r a ln e t w o r k so f t e ni sa s s o c i a t e dw i t hd e l a y s h o w e v e r , t h ed i f f u s i o np h e n o m e n ac a n n o tb ei g n o r e di nn e u r a ln e t w o r k sa n de l e c t r i cc i r c u i t s o n c ee l e c t r o n st r a n s p o r ti nan o n u n i f o r me l e c t r o m a g n e t i cf i e l d h e n c e i ti se s s e n t i a lt oc o n s i d e r t h ee f f e c to nd y n a m i c so fn e u r a ln e t w o r k sb yd i f f u s i o n s o ，w ep r o p o s es e v e r a la r r a y so fc o u p l e d n e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e dt i m ed e l a y sa n dr e a c t i o m 叫d i 舶s i o nt e r m sa sf o i l o w o na c c o u n to fc o m p l e x i t yo fn e u r a ln e t w o r k s 。b e s i d e st h ed i s t u r bo fd i 觚s i o na n dt i m ed e l a y s t op a r a m e t e r su n c e r t a i n t i e s ，m a r k o v i a ns w i t c h i n g w h i t en o i s ea n ds o0 1 1 1 nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ep r o p o s ea na r r a yo f c o u p l e ds t o c h a s t i cn e u r a in e t w o r k sw i t hm i x e d t i m ed e l a y sa n dm a r k o v i a ns w i t c h i n g b yu t i l i z i n gl m lt e c h n i q u e sa n dk r o n e c k e r p r o d u c t t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n si sd e r i v e dt oe n s u r et h eg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no fc o u p l e d n e u r a in e t w o r k s f u r t h e r m o r e ，a ss o m es p e c i a lc a s eo ft h i sn e u r a ln e t w o r k s e v e r a ls u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d a n d ，a l li l l u s t r a t i v ee x a m p l ei s p r o v i d e d ，w h i c hc a nb ev e r i f i e d e f f i c i e n t l yb ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a c t u a l l y , t h ep h e n o m e n ao fi m p u l s ea r ec o m m o ni nn e u r a ln e t w o r k s i nt h et h i r dc h a p t e r , w ec o n s i d e ra na r r a yo fc o u p l e di m p u l s en e u r a ln e t w o r k sw i t hm i x e dt i m e d e l a y sa n dr e a c t i o n - d i f l u s i o nt e r m s a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ni sd e r i v e dt oe n s u r et h eg l o b a l a s y m p t o t i cs y n c h r o n i z a t i o n a i s ot h em a i nr e s ui t sa r eg i v e ni nt h ef o r mo fl m i s w h i c hc a nb e v e r i f i e de 伍c i e n t l yb yt h el m lt o o l b o xi nm a t l a b 1 nt h el a s tc h a p t e r , t h er e s e a r c hw o r ko ft h i st h e s i si ss u m m a r i z e d k e y w o r d s ：c o u p l e dn e u r a ln e t w o r k ；u n c e r t a i n ；r e a c t i o n d i f f u s i o n ；t i m e v a r y i n gd e l a y ； d i s t r i b u t e dd e l a y ；s t o c h a s t i cd i s t u r b a n c e ；m a r k o v i a ns w i t c h i n g ；w h i t en o i s e ；i m p u l s e ；g l o b a l a s y m p t o t i c a l l ys y n c h r o n i z a t i o n ；g l o b a le x p o n e n t i a l l ys y n c h r o n i z a t i o n ；e x p o n e n t i a lm e a ns q u a r e s y n c h r o n i z a t i o n ； r o b u s t s y n c h r o n i z a t i o n ；l y a p u n o v - k r a s o v s k i if u n c t i o n a l ；l i n e a r m a t r i x i n e q u a li t y ；k r o n e c k e rp r o d u c t 钱学明：具反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步分析 4 9 扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书 学位论文原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研究成果。 除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果。对本 文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人 承担。 躲创 签字日期：如，夕年，f 月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国家有关 部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅。本人授权扬州大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录 到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 学位论文作者躲铹凯 导师签名彩彳依耖 l 签字日期：d , d 口7 ，年i t 月f ，日签字日期：印护尸年f 月f 日 钱学明：具反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步分析 3 1绪论 1 1 问题研究的背景和意义 神经网络是2 0 世纪迅速发展起来的_ 门新兴的学科它的基本思想是从仿生学的角 度来研究人脑的神经系统结构及其智能行为，并模拟其运作方式，从而使机器具有人脑一 样的感知、学习和推理能力神经网络控制的优越性在于它具有良好的非线性映射能力、 自学习适应能力、联想记忆能力和并行信息处理能力神经网络技术为非线性系统的建模 和控制提供了一种新的思路，因而吸引了国内外大批的专家学者以及工程技术人员从事神 经网络控制的研究，并取得了丰硕的成果 纵观神经网络的发展历程，几经兴衰1 9 4 3 年，心理学家m c c u l l o c hw s 和数学家p i t t s w 合作，首先从信息处理的角度出发，根据神经元的一些基本生理特性，提出了第一个神 经计算模型，即m p 模型1 9 4 9 年，心理学家h e b bd o 在( ( t h eo r g a n i z a t i o no f b e h a v i o u r ) ) 一书中提出了修正神经元连接强度的方法，即h e b b 规则作为人工智能的神经网络控制 的研究，开始于2 0 世纪5 0 年代末1 9 5 8 年，r o s e n b l a t te 设计发展了m p 模型，提出了 多层感知机，第一次将神经网络的理论研究转向工程实现1 9 6 0 年，w i d r o wb 和h o f f m 从工程角度出发，提出了自适应线性单元模型及一种有效的网络学习方法，即6 学习规 则此后，神经网络的研究陷入了低谷1 9 8 2 年，美国d n 7 i , i 工学院的物理学家h o p f i e l d 提 出了一类离散的神经网络模型，进而在1 9 8 4 年又提出了一类连续的神经网络模型，即 h o p f i e l d 神经网络t t o p f i e l d 定义了神经网络的“能量函数”，给出了网络稳定性的判据， 使h o p f i e l d 神经网络具有联想记忆和优化求解的能力，并易于电路实壬见【随后，很多专 家学者都投入到神经网络的研究中去h i n t o ng e 和s e j n o w s k it j 提出了一种随机神经网 络模型b o h z m a n n 机，首次采用了多层网络的学习算法，它是迄今为止最普遍的网 络接着，c o h e n 和g r o s s b e r g 提出了一类神经网络模型，即c o h e n g r o s s b e r g 神经网络， 用来实现联想记忆和地址存储记忆1 9 8 8 年c h u al o 等提出并研究了细胞神经网络 ( c n n ) 【2 】【3 1 该模型不仅是一个大规模非线性模拟系统，又具有细胞自动机的动力学特 征随着研究的深入，加强了人们对神经网络作为一个动力系统的进一步认识，掀起了神 经网络研究的热潮 人们通过生物实验、计算机模拟、数学手段等对神经网络进行分析，发现神经网络在 很多领域中都有广泛的应用例如，智能控制、信号处理、模式识别、优化计算、保密通 信，静态或动态图像的处理等 神经网络作为一个复杂的非线性动力系统，我们更关心的是它的动力学特性，如自治 波、螺旋波、混沌及分形，等等1 9 9 4 年廖晓昕对细胞神经网络建立了新的数学理论，并 在该领域取得了一系列研究成果，如耗散性、平衡点的数目及表示、平衡态的分析、全局 稳定性、区域稳定性、周期解的存在性和吸引性等1 4 】i5 1 此外，作为神经网络动力学特性 的同步性问题一直是一个热点问题“同步”( s v n c h r o n i z a t i o n ) 一词源于希腊语词根，意为 “共享相同的时间”荷兰物理学家惠更斯( c h r i s t i a a nh u y g e n s ) 最早研究了同步现象，他 发现两个弱连接的钟摆可以在相位上达到同步现在，同步主要指不同的进程对于时间的 一致性( c o n s e n s u s ) 事实上，在现实生活中同步现象广泛存在如国庆阅兵式上列队军 人步伐的同步、青蛙齐鸣、萤火虫的尉步发光、航天卫星之间角度的同步等等通过研究， 人们已经发现了很多不同的同步模式，如完全同步( c o m p l e t es y n c h r o n i z a t i o n ) 、相位同步 ( p h a s es y n c h r o n i z a t i o n ) 、时滞同步( l a gs y n c h r o n i z a t i o n ) 、分群同步( c l u s t e r 4 扬州大学硕士学位论文 s y n c h r o n i z a t i o n ) 、投影同步( p r o j e c t i v es y n c h r o n i z a t i o n ) 、广义同步( g e n e r a l i z e d s y n c h r o n i z a t i o n ) 等等 本文主要研究的是完全同步，即对于任意两个不同的网络状态五( f ) 和y j ( t ) ，有 l i m l x , ( t ) 一y ，( ，) i = 0 在不至于引起混淆的情况下，简称为同步 1 2 相关研究工作的现状和进展 神经网络是由大晕节点( 神经元) 和连接节点的边组成的它具有复杂的拓扑结构事 实上，在神经网络中，每个节点的动力学行为有两个因素支配：一是节点自身原始的动力 学行为，二是与之连接的节点对该节点的扩散或耦合影响其一般形式可以写为： 掣= m ( f ) ，f ) + c 艺( 向( _ ( f ) ) 叫加) ) ) ，川，2 ，- ，n ( 1 1 ) 一 j = l ，j 其中x ，( ，) = 【誓。( f ) ，t ：( f ) 9 t 9 ( f ) 】7 是第i 个节点的状态，厂( ( ，) ，) r ”x o ，+ ) jr ” 是一个连续的函数，决定了每个节点原始的动力学行为，c 表示耦合强度，耦合函数厅( 五( f ) ) 表示通过节点状态的某种函数来耦合，( 嵋，) 表示神经网络的拓扑结构，其中每个元素均非 负，若 1 4 0 0 ，则表示节点，对节点i 的动力学行为有影响 如果，= 一 ：且j l ，( x ( f ) ) = r x 肜) ，则( 1 1 ) 式可写为6 1 ： j 。= l 。, 。j i 掣叫删，f ) + c w , j f x j ( t ) ，2 ，- ，n ( 1 2 ) 一 j = l f 在神经网络研究的初期，人们总是假定神经嘲络中各神经元对信号的响应是同步 的因此，h o p f i e l d 神经网络町以用如下的常微分方程描述： e 鲁= 一鲁+ 毛g j ( u j ) + ，h 2 一儿 ( 1 3 ) 、 ；l 其中电阻置和电容e 并联，模拟生物神经元的延时特性；电阻r ，= l z ，则模拟了突 触特性：电压u i 为第f 个神经元的输入；运算放大器k = g ( u ，) 为其输出，它是一个非线性、 连续可微、严格单调递增的函数，模拟生物神经元的非线性饱和特性 然而，在神经嘲络的应用中发现，两个相- 瓦作用的神经元在传递时存在时滞，而且在 网络硬件实现中由于有限的开关速度等影响时滞现象也不可避免因此，m a r c u s 和 w e s t e r v e l t 将时滞引入h o p f i e l d 神经网络1 7 j ，研究了如下的神经网络： c j 等= 一詈+ 巧g j ( z f ，( t - 砌+ ，h 川2 一儿 ( 1 4 ) ” 1 、 j = l 由于在神经网络中有大量各种轴突大小和长度的并联线路的存在，冈此沿这些线路将 存在分布衰减速率和分布传播时滞此时，信号传递的时滞就不能用离散时滞来模拟，而 应当用分布时滞来模拟因此，我们通常把时滞分为离散时滞( 常时滞) 、变时滞和分布 时滞含有这些时滞的神经网络模型相继被深入的研究8 】【1 2 1 此外，在神经网络的硬件实现时，其基本器件电路的热噪声是不可避免的因此，廖 晓昕和毛学荣首先考虑了含随机项的神经网络模型1 3 】【1 4 】而网络在传输过程中也很容易受 到外部的干扰，例如马尔可犬跳变等其后，众多专家学者对随机神经网络进行了深入的 钱学明：具反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步分析 5 研字i ：【1 5 h 2 4 】 由于电子在非均匀的电磁场运动而出现漂移扩散现象，囚而考虑反应扩散对神经网络 动力学的影响具有非常重要的现实意义 廖晓昕在前人基础上首先考虑了具有反应扩散的h o p f i e l d 神经网络 c f 詈2 k = l 毒( 巩( ，五”) 鲁) + 喜乃g j ( u j ) - 专+ l j ( 1 5 ) 的稳定性【2 5 1 同时，他还研究了一类具有反应扩散的广义神经网络 警2 喜蠹c 眦圳，刮碱，一喜蜊) j 6 ， 的稳定性1 2 6 1 此后，王林山，徐道义研究了变时滞反应扩散h o p f i e l d 神经网络的稳定性【2 7 1 ；梁舍玲 等研究了变时滞反应扩散递归神经网络的稳定性【2 8 1 ；罗毅平，邓飞其，赵碧蓉研究了具反 应扩散无穷连续分布时滞神经网络的稳定性【2 9 1 ；q i a n k u ns o n 等1 3 0 1 、陈安平【3 研究了带反 应扩散项的时滞双向联想记忆神经网络的稳定性；邱建龙考虑了具脉冲和反应扩散项的神 经网络的稳定性1 3 2 1 等1 3 3 1 他们都是利用h a l a n a y 不等式或推广的h a l a n a y 不等式获得了稳定性条件在利用分 部积分或散度定理后，去掉了一个负的含梯度的积分项这导致他们所获得的稳定性条件 中不含有扩散算子项，也就是说扩散算子项在他们的稳定性条件中没有起到作用他们获 得的稳定性条件和不含反应扩散项的神经网络的稳定性条件是一样的 2 0 0 8 年，罗毅平等再次考虑了具反应扩散项的变时滞细胞神经网络的模型【3 4 1 此次， 他们使用了新的方法来处理反应扩散项他们提出在对反应扩散项使用散度定理后，并不 将负的含梯度的积分项去掉，而是利用p o i n c a r e 不等式来处理该项，这样在他们获得的稳 定性条件中就包含了扩散算子，从而降低了结论的保守性 事实上，神经网络动力学的研究是多方面的除了稳定性外，神经网络的同步由于其 潜在的应用价值，正成为众多专家学者研究的重点从目前来看，主要利用驱动一响应方 法研究同步、通过网络的自耦合研究同步等 1 3 本文的主要工作 本文主要研究了两类含有反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步问题由于神 经网络的复杂性，除了会发生扩散以及受到时滞的f 扰外，通常还可能受到系统参数的不 确定性，参数的切换南某个马尔可夫链所确定以及白噪声等方面的影响 因此，本文首先提出了如下具有反应扩散项的带马尔可夫转换的混合时滞的随机耦合 神经网络模型： d u 女( ，x ) = 【d a u 女( ，x ) 一( e ( ，( ，) ) + a e ( t ) ) ” o ，x ) + ( 彳( ，( f ) ) + a a ( t ) ) f ( u ( f ，x ) ) ” 一| + ( 曰( 厂( ，) ) + a b ( t ) ) g ( u ( ，一t i ( f ) ，x ) ) + ( c ( ，( f ) ) + a c ( t ) ) i 厅( 心( s ，x ) ) d s + i ( t ，x ) 一卜f 2 r ) 当 + 2 w k ，f u ，( ，x ) 】d t + a ( t ，甜女( ，x ) ，r ( f ) ) d 缈( ，) 百 其次，自然界中广泛存在着一种介于连续和离散两类动力学行为的现象，即脉冲现 象在神经网络的实现中，由于受到现实条件的限制( 如电流值的突变等) ，脉冲现象也 6 扬州大学硕士学位论文 是广泛存在的 因此，本文考虑了如下具反应扩散项和脉冲的混合时滞神经网络模型： 旦竺罢堕：d a ( ，x ) 一e q ( ，工) + 彳( ( ，x ) ) + b g ( ( ，一f ( ，) ，x ) ) d ， + cf 。砷一s ) h ( u 心，x ) ) d s + + 窆w o f u t - t e t 。 + i r ( ，一 ，( s ，+ + f ( ，x ) 一o一 7 x u , ( t ，x ) = l u , ( t - , x ) + m 缈( q ( t - - r ( t ) ，枷+ f ! 。r ( t - - s ) i u ( 州蹦) ) 出 f = 气 其中五甜，( f ，x ) = u i ( t k ，x ) 一u i ( t ；，x ) 本文中，我们将通过分别构造新颖的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函来研究两类耦合神经网 络的同步性利用l m i ( 线性矢巨阵不等式) 技术并结合k r o n e c k e r 积来获得更具有一般性 的神经网络全局同步的充分性判据，而且所获得的判据依赖于时滞这样得到的判据由于 是l m i 形式，可以通过使用一些标准的数值方法来求解，并且可以由数学软件m a t l a b 的 l m it o o l b o x 对所获得的判据进行有效的验证同时，我们对细胞激活函数做了更为一般 的假设，使得结论在l m i 下可以减少保守性值得一提的是，我们将利用g r e e n 公式和 p o i n c a r e 不等式来处理神经网络模型中的反应扩散项，使得所获得的判据又依赖于反应扩 散项，从而进一步减少结论的保守性最后，我们对两类具反应扩散项的神经网络模型分 别给出了一个简单的例子，用以说明我们所得到的同步判据的有效性和可应用性 1 4 符号说明 本文中，r ”表示门维欧几罩得空间，r “”表示所有的刀m 实矩阵构成的集合，上标 “丁 表示向量或矩阵的转置对于实对称矩阵x 和y ，x y 意味着x 一】，是半正定的， x y 意味着x 一】，是正定的，表示具有适当维数的单位矩阵对于实数h 0 ， c ( - h ，o 】；r “) 表示【- h ，0 】- - - - r ”上的连续函数缈构成的函数族，且范数 i i , o l i = s u pl 缈( 口) 1 i - i 表示r ”中的欧几里得向量范数如果a 是一个矩阵，悄0 表示么自 - h 0 ，而x = ( ，毛，) 7 q ，且i ti ， a ：是l a p l a c e 算子，蚶，功表示芝乌笋 ( f ，x ) = 【。( f ，x ) ，掰i ：( f ，x ) ，( f ，x ) 】7 r ”表示第k 个神经元在时刻t ，空间位置为工 处的状态向量 于是，在q 上的实l e b e s g u e 可测函数空间r ( q ) ，我们定义 r h i 2 m ) i i z - in t ( t , x ) 1 2 d xl 在每个神经网络中，扩散算子仇0 为常数矩阵，记d = d b = ( 九) 肌。 ( f ) 0 ，( 江l ，2 ，) 是一个对角矩阵 彳( f ) ，b ( i ) 和c ( i ) 都是t l x l q 矩阵，分别表示连接权矩阵，变时滞连接权矩阵，分布时 滞连接权矩阵 a e ( t ) = ( e k ，( f ) ) 瓞“”，鲋( ，) = ( a u ( t ) ) 豫”，a b ( t ) = ( ( ，) ) r “”， a c ( t ) = ( ( f ) ) r 为系统参数的不确定性，满足下列相容性条件： 【a e ( t ) 鲋( f ) a b ( t ) c ( ，) 】= mf ( ，) 【n i 2 3n 4 】 ( 2 6 ) 其中m ，。，：，3 ，4 为已知的常数矩阵，而未知的时变矩阵f ( t ) 满足： f 1 ( f ) ，( f ) i ( 2 7 ) j ( f ，曲= 【“，x ) ，j ：( ，x ) ，l ( ，工) 】1 表示外部输入 ( ) ，g ( ) ，厅( ) 表示细胞激活函数， f ( u ( ，x ) ) = 【z ( u l ( ，x ) ) ，l ( u t 2 ( f ，x ) ) ，z ( “白l ( ，x ) ) 】。； g ( u ( t f l ( ，) ，x ) ) = 【g l ( “( ，一f l ( f ) ，x ) ) ，9 2 ( “ 2 ( f r l ( f ) ，x ) ) ，g 。( 甜枷( ，一f l ( ，) ，x ) ) 】。： h ( u k ( j ，x ) ) = 【扛( z 。( s ，x ) ) ，吃( ”t 2 ( j ，x ) ) ，吃( “加( s ，x ) ) 】。 f 。( f ) ( g = l ，2 ) ，表示轴突信号传输过程中的时滞，且f 。( f ) ，t ( f ) 一d ，岛( f ) f 2 m ， 乞( f ) z - 2 d 耦合项中f = d i a g ( y l ，儿，以) 0 是一个对角矩阵；耦合矩阵w = ( w j ，) r 揪且 w p 0 ( f 歹) 另外，国( ，) 是( s ， 彳 ， o ，尸) 上的维纳过程( w i e n e r p r o c e s s ) ( 或布朗运动( b r o w n i a n m o t i o n ) ) 与马尔可大链( m a r k o vc h a i n ) ，( f ) 相互独立，且满足 e c o ( t ) 】- 0 ，e 【缈2 ( ，) 】= f ( 2 8 ) 盯( ，) ：瓞”x 爬+ s 专r ”是博雷尔可测的( b o r e lm e a s u r a b l e ) ，并满足以下假设 假设2 1设存在常数岛 0 ，乃 0 ，岛 0 ，使得 r a c e l 仃1 ( ( 7 ，x ) ，7 ，( 7 ) ) 盯( ”( ，x ) ，7 ，( f ) ) j ( 2 9 ) p o 甜( f ，x ) u ( t ，x ) + 局u 7 ( t f l ( f ) ，x ) u ( t 一一( f ) ，x ) + 仍“7 ( t r z ( t ) ，x ) u ( t r z ( t ) ，x ) 一般来讲，细胞激活函数总是假设为连续的、可微的、单调递增的以及有界的，例如 s i g m o i d 犁函数但是，在很多电子线路中，放大器的输入一输出函数有可能既不是单调 递增的，义不是连续可微的因此，非单调激活函数更适合去描述神经网络中的神经活动 钱学明：具反应扩散项的混合时滞的耦合神经网络的同步分析9 我们对细胞激活函数给出f 列假设 假设2 2 3 5 h 3 7 1 对于任意的x ，y 彤，非线性向量值函数( ) ，g ( ) ，办( ) 连续，且满 足 【( x ) 一( 少) 一e f x y ) 】7 【f ( x ) - f ( y ) - e ( x - y ) 】墨0 ，( 2 1 0 ) 【g ( x ) - g ( y ) - g , ( x - y ) 7 【g ( x ) - g ( y ) - g 2 ( x - y ) 】0 ，( 2 11 ) 【h ( x ) 一办( y ) 一h i ( x y ) 】7 【h ( x ) 一h ( y ) - h ：( x - y ) 】0 ( 2 1 2 ) 注：条件( 2 1 0 ) 一( 2 1 2 ) 可以看作是非线性的扇形描述，它比通常的l i p s c h i t z 函数更具有 一般性采用这种描述可以减少利用l m i 技术处理非线性函数所得到的结果的保守性 假设2 3 1 3 8 】【3 9 1 耦合矩阵w = ( w ，) 是对称的，也就是说w r = w ，且满足 = w a = o ，k = l “2 一，n ( 2 1 3 ) ，= l，= l 我们记 e ( i ，f ) = e ( j ) + a e ( t ) ，彳( ，) = 彳( f ) + a a ( t ) ，b ( i ，r ) = b ( f ) + b ( ，) ，c ( i ，) = c ( f ) + a c ( t ) u ( t ，x ) = 甜x ) ，( f ，x ) ，u r u ( t ，x ) 7 ； f ( ”( f ，x ) ) = 7 ( ( f ，x ) ) ，f 7 ( u 2 ( f ，x ) ) ，f 7 1 ( “( f ，x ) ) 7 ； g ( u ( t ，x ) ) = g r ( 材l ( f ，x ) ) ，g7 ( 1 2 ( f ，x ) ) ，9 7 ( u n ( f ，x ) ) 1 ； 日( 扰( f ，x ) ) = 矽( 。( f ，功) ，h 7 ( u 2 ( f ，x ) ) ，h 7 ( ( ，x ) ) 7 ； ，= i r ( ，x ) ，1 7 ( ，x ) ，i r ( ，x ) 7 引入k r o n e c k e r 积，我们可将系统( 2 3 ) 写成紧的形式 d u ( t ，x ) = ( ，_ d ) a u ( t ，x ) 一【，o ( e ( ，( f ) ) + 占( ，) ) 】甜( f ，x ) + i f _ o ( 彳( ，( f ) ) + 4 ( f ) ) 】f ( ( f ，x ) ) + 【j o ( b ( ，( f ) ) + b ( f ) ) 】g ( 甜( f f ，( f ) ，x ) ) + 【， ( c ( ，( f ) ) + c ( f ) ) 】i h ( u ( s ，x ) ) d j + i + ( o r ) u ( t ，x ) ) d t i - - r 2 i f ) + o ( t ，u ( t ，x ) ，( ，) ) d w ( t )( 2 1 4 ) 下面，我们引入同步的定义 定义2 1耦合神经网络是鲁棒全局渐近同步的，如果所有满足相容性条件的参数对于任 意的七，= l ，2 ，有l i m l u 。( f ，x ) - u 疋，x ) 卜0 成