（基础数学专业论文）koszul代数的hochschild上同调环.pdf

中文摘要 捅要 k o s z u l 代数是一类非常重要且有趣的代数它在表示理论的研究中扮演 着重要的角色近几年，人们对k o s z u l 代数及其表示的研究越来越多g r e e n 等 人构造了k o s z u l 代数的极小投射双模分解，b u c h w e i t z 等人决定了k o s z u l 代数 的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构 一方面，本文基于b u c h w e i t z 等人对k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法 结构的细致分析，首先给出了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调群与以平行路为基 的k 向量空间之间的同构，其次定义了上述k 向量空间上的一种运算，从而得到 了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法本质上是平行路的毗连的一个充要条 件另一方面，本文给出了二次三角s t r i n g 代数的h o c h s c h i l d 上同调群的向量空间 基，再利用上述结论重新证明了二次三角s u i n g 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法 是平凡的，从而改进了b u s t a m a n t e 的证明 关键词；k o s z u l 代数；h o c h s c h i l d 上同调环；乘法结构；平行路 湖北大学硕士学位论文 a b s t r a c t k o s z u la l g e b r ai saq u i t ei m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gc l a s so fa l g e b r a i tp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y r e c e n t l yk o s z u la l g e b r aa n di t s r e p r e s e n t a t i o nh a v eb e e nw i d e l ya n dd e e p l ys t u d i e d g r e e ne ta lh a v ec o n s t r u c t e dm i n i m a lp r o j e c t i v er e s o l u t i o n so fk o s z u la l g e b r a s ，b u c h w e i t ze ta lh a v ed e t e r m i n e dt h e m u i l t i p l i c a t i v es t r u c t u r eo fk o s z u la l g e b r a s i nt h i sp a p e r , o nt h eo n eh a n d ，b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h e m u i l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e o fk o s z u la l g e b r a sg i v e nb yb u c h w e i t ze ta l ，f i r s t l yh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yg r o u p so f k o s z u la l g e b r a sa n dac e r t a i nv e c t o rs p a c ew i t hp a r a l l e lp a t h sa sb a s i sa r ep r o v e dt ob e i s o m o r p h i c ，w en e x td e f i n ea k i n do f o p e r a t i o no nt h eo b o v e v e c t o rs p a c e ，c o n s e q u e n t l y w eh a v eo b t a i n e das u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h em u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e o fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g so f k o s z u la l g e b r a st ob ee s s e n t i a l l yt h e j u x t a p o s i t i o n o fp a r a l l e lp a t h s o nt h eo t h e rh a n d ，v e c t o rs p a c eb a s e so fh o c h s c h i l dc o h o m o l o g y g r o u p so fq u a d r a t i ct r i a n g u l a rs t r i n ga l g e b r a sa l eg i v e n ，a sa na p p l i c a t i o no ft h ea b o v e c o n c l u s i o n ，i ti su s e f u lt og i v ea na l t e r n a t i v ep r o o fo fb u s t a m a n t e sr e s u l t st h a tt h e m u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e so f h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g so fq u a d r a t i ct r i a n g u l a rs t r i n g a l g e b r a sa r et r i v i a l ，w h i c hi m p r o v e st h eo r i g i n a lp r o o f k e yw o r d s ： k o s z u la l g e b r a ；h o c h s c h i l dc o h o m o l o g yr i n g ；m u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r e ； p a r a l l e lp a t h 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 论文作者签名：莲磅4 零 签名日期：2 咴肄箩月弓d 日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学 校可以允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢 利为目的的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在 解密后遵守此规定) 论文作者签名：专传栌i l 签名日期：2 0 _ 8 年箩月猸 一名：亏弛圈 签名日期弘锣年石月日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 h o c h s c h u d ( 上) 同调群 设a 为域后上的有限维结合代数记a 8 = 人印固七a 为人的包络代数，其 中a 印是a 的反代数则a 的系数在a 双模m 中的第n 次h o c h s c h i l d 上同调群 为 h h n ( a ，m ) = e x 咴。( a ，m ) 特别地，当a m = aa a 时，简记为h h n ( a ) = e x 氓。( a ，a ) ，并称其为人的 第礼次h o c h s c h i l d 上同调群a 的h o c h s c h i l d _ l 同调环定义为 h h 。( a ) = h h ( 人) ， i o 并i q h h ( a ) 在y o n e d a 积诱导的乘法结构下作成分次交换环f 1 】 代数的同调与上同调理论是2 0 世纪4 0 年代起发展起来的一门重要数学分支 它强调从大范围角度刻画研究对象，例如通过模范畴( 余模余范畴) 研究环、代 数、l i e 代数、群等代数对象的结构与性质【1 _ 5 1 h o c h s c h i l d 上同调理论是1 9 4 5 年 由h o c h s c h i l d 弓i 入 6 1 ，经c a r t a n 和e i l e n b e r g 发展并逐步完善的一个同调代数分支【1 1 近年来，有限维结合代数的h o c h s c h i l d 上同调群与上同调环得到广泛的研究，并 在数学及物理的很多领域扮演着重要的角色章璞、s k o w r o f i s k i 、g e r s t e n h a b e r 矛 1 h a p p e l 等人证明了h o c h s c h i l d 上同调是结合代数的一个较精细的不变量【7 - 1 4 1 ， 例女 i h o c h s c h i l d 上同调群是结合代数的m o r i t a 等价不变量、t i l t i n g 等价不变量 以及导出( d e r i v e d ) 等价不变量等，并f l h h l ( a ) 与a 的g a b r i e l 箭图的顶点的可分 性质密切相关【9 1 0 】，g e r s t e n h a b e r 证明了h h 2 ( a ) 与a 的形变理论有着紧密的联 系i n ，最p h o c h s c h i l d 上复形实际上形成一个微分分次李代数，并且这个微分分 次李代数控制了该结合代数的形变h o c h s c h i l d 上同调环近年来己得到普遍的 关注，如广义四元数群的整群环【1 5 】1 5 ，半单l i e 代数的包络代数的正则极大本原 蒯1 6 | ，循环块。交换h o p f , f 弋, 数【1 8 】，群代数【1 9 l ，外代数【加】，s t r i n g 代数【2 l 】，k o s z u l 代 刻2 2 1 ，根方零代数【2 3 】，自入射n a k a y a m a 代数删，有限表示型自入射代数1 2 5 j 及截面 代数【2 6 - 2 7 1 等然而，大部分有限维代数的h o c h s c h i l d 上同调群还不为人们所知，人 们对它们的h o c h s c h i l d 上同调环则了解地更少g r e e n 和s o l b e r g 观察到很多有限 湖北大学硕士学位论文 维代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是平凡的【2 s ，而且c i b i l s 已经证明不带定 向圈的根方零代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是平凡的【2 a 尽管人们已经 知道很多自入射n a k a y a m a 代数的h o c h s c h i l d 上同调环有非零的乘积，但人们对整 体维数有限的代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是非平凡的这样的代数仍然 知道得不多 c i b i l s 最早用平行路的语言刻画了截面代数的二阶h o c h s c h i l d 上同调群，从而 得到了截面代数的刚性( r i g i d ) 的充要条件f2 9 | 随后，l o c a t e l i 等人运用平行路的语 言计算了截面代数【3 0 】、外代数【2 0 】、n a k a y a m a 代数【3 l 】等代数的各阶h o c h s c h i l d _ l 同调群进一步，b a r d z e l l 等人通过对截面基本圈代数的y o n e d a 积的细致分析，首 次用平行路的语言简洁地刻画了这类代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法本质上是 平行路的毗连【2 4 】；g u i l l e r m o 等人通过构造截面代数的标准分解( b a rr e s o l u t i o n ) 与 极小分解( m i n i m a lr e s o l u t i o n ) 之间的比较态射( c o m p a r i s o nm o r p h i s m ) ，用平行路的 形式给出了截面代数的h o c h s c h i l d 上同调环的结构，并证明如果截面代数的箭图 没有循环圈，且无源点( s o u r c e ) 与汇点( s i n k ) ，则它的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结 构是平凡的【3 2 】；文献 3 3 】用平行路的语言证明了f i b o n a c c i 代数的h o c h s c h i l d 上同 调环的乘法结构是平凡的那么一般的k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法 是否也能用平行路的语言来描述呢? 这也是本文所要解决的问题以下介绍一 下k o s z u l 代数的定义以及相关的内容 1 2k o s z u i 代数 首先我们回忆一下k o s z u l 代数的定义【3 4 j 设k 是一个域，a = a o + a 1 + 是 域后上的一个分次代数若对每个n 1 ，a n = a l a 竹一l ，则称人是由o 次元和1 次元 生成的我们用e ( a ) 表示y o n e d a 代数 e ( a ) = i i e x t , 爻( a o ，a o ) ， n 0 这里乘法结构是通过y 0 n e d a 积给出的则e ( a ) 是域七上的一个分次代数，其 中e ( a ) n = e x t x ( a o ，a o ) 我们称一个分次代数a 是k o s z u l 代数，如果它满足以下 三个条件： ( 1 ) a 0 是域k 上的半，单- a r t i n 代数； ( 2 ) a 是e h 0 次元和1 次元生成的； 2 一 第一章绪论 ( 3 ) e ( a ) 也是由。次元和1 次元生成的 目前，我们已经知道很多代数都是k o s z u l 代数，如路代数 3 5 】，根方零代数， 整体维数为2 的二次代数删，无限表示型的有限维不可分解三次根方零自入射代 数1 3 6 以及许多预投射代数【3 7 】等等而且，从一个k o s z u l 代数出发，我们可以构造新 的k o s z u l 代数，如k o s z u l 代数的反代数是k o s z u l 代数【3 5 ，3 8 1 ，两个k o s z u l 代数的张量 代数是k o s z u l 代数嘲，也可以通过g a l o i s 覆盖来构造k o s z u l 代数【3 9 1 ，等等 k o s z u l 代数是一类相当好的代数类一方面，它不仅在代数上存在k o s z u l 对 偶，在模范畴和导出范畴上也存在k o s z u l 对偶f 3 5 ，3 8 1 ；另一方面，对任意一 个k o s z u l 代数，它的t o p 的极小投射a 分解以及它的极小投射a a 双模分解我 们都已相当清楚【4 0 ，4 并且，k o s z u l 代数是一类非常重要且有趣的代数，它在有 限维代数的表示理论中起着十分重要的作用删l 6 f w a l l 、b e i l i n s o n 等人的结果 表明k o s z u l 代数在交换代数、代数拓扑、l i e 理论、代数几何以及量子群的研 究中有着广泛的应用 3 8 , 4 2 近几年，人们对k o s z u l 代数及其表示的研究越来越 多，许多新的k o s z u l 代数被构造文【4 0 】构造了k o s z u l 代数的极小投射双模分解， b u c h w e i t z 等人决定了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构【2 2 1 本文通过仔细分析b u c h w e i t z 等人所得到的k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调 环的乘法结构，用平行路的语言来描述了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘 法，从而使得k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构更加直观、简洁这将 有助于我们对k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的理解，也将有助于相关问题的 处理更加简洁 1 3 本文主要研究工作思路与论文内容组织 本文旨在解决如下两个问题： 一、基于b u c h w e i t z 等人对k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构的 细致分析，给出了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法本质上是平行路的毗 连的一个充要条件并且给出了一些满足上述充要条件的具体例子，例如外代 数、二次零关系代数等 二、首先给出二次三角s t r i n g 代数的h o c h s c h i l d 上同调群的向量空间基，再应 用上述的结论重新证明了二次三角s t r i n g 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法是平 凡的，从而改进了文【2 1 】中的证明 本文按如下形式组织：第二章给出了k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘 3 湖北大学硕士学位论文 法本质上是平行路的毗连的一个充要条件，第三章重新证明了二次三角s t r i n g 代 数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法是平凡的 4 第二章k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 第二章k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 2 1 预备知识 设a = 忌q j 是域七上的k o s z u l 代数，其中q = ( q o ，q 1 ) 是有限箭图，j 铲 ( ，表示由q 1 中所有箭向生成的k q 的理想) 令a 8 = 人叩 七a 为人的包络代数，其 中a 印是a 的反代数为了记号的简便，我们用【m ，州表示集合 仇，m + 1 ，n 一 1 ，佗) 记 e i ) i q o 是a 的本原正交幂等元集a o 是a 中长度为零的路生成的a 的子代 数记 ( 厶，厶) ：一三2 马l 1 马卫一0 是a o 的一个极小( 分次) 右投射a 分解令r = g i ，g r e e n 等人在文【4 3 】中已经给出 了构造人7 作9 9 7 占a - 模的极小投射分解的方法若r = 知q ，则存在r 中的一族元 素f n = l ， n j l 饽t n o ，n 0 使得作为右a - 模的极小投射分解( l ，厶) 可由r 中的右理 想滤链 来表示从而 以及微分是由包含 疗rc 斤- 1 r i = 0i = 0 诱导的 文【4 0 】进一步给出了f n 的余乘结构：当n 1 时，对任意的 【0 ，t n 】，7 【0 ，叫， 存在( 佗，i ，r ) 忌使得 r = r 露 如瑚 c r 露 “鲫 c c r o 只 “铷 c r 疗 k 渤 c f 妒 “铷 r 口 k ! l = n 己 叶 嚣鬈d 何 ；咖“舢 l i 疗 湖北大学硕士学位论文 并且，若将木模，的自然剩余类记为i ，则有 命1 1 2 1 1 o i = 后q ，是k o s z u l 代数，f n = 圩) 警o m o 定义t a o 作为 右人一模的一个极小投射分解，由此可以得到a 在人e 上的极小投射分解( 只，机) ，其 中 n r = 1 1 人o ( 疗) 。詹亡( 疗) a i - - - - 0 且对任意的i 0 ，亡n 】，1 ，微分：r r 一1 作用到第i 个生成元d ( ) o 亡( 劈) 上为 t n - - 1t 1 t 1 ( ( n 囊1 ) ( 学- 1 ) 。t ( 疗_ 1 ) + ( 一1 ) ”( n 囊n 一1 ) 。( 疗- 1 ) 亡( 疗- 1 ) 习) ， j = op = 0q = 0 其中歹= 0 ，1 ，t n l ，且 是乘法映射 以下介绍一- ：k o s z u l 代数a 的h o c h s c h i l d _ 2 同调环中的c u p 积和y o n e d 棚 若( b ，d ) 是文 4 4 】中介绍的a 的一个约化标准分解( r e d u c e db a rr e s o l u t i o n ) ，其中b n = a 。a o ( “+ 2 1 ，扩：b n b n 一1 为 若7 7 ，p 分别为h h n ( a ) 和唧m ( a ) 中的元素，不妨将其表示为7 7 ：b n a ，0 ： 取一人，那么删n + m ( a ) d p c u p 积r u 口为映射 b 土bo ab 翌ao aa 与a 的复合，其中：ao 人a a 是乘法映射，链映射：b bo ab 为 ( 入o 。a n + 1 ) = ( a o 。a t 1 ) q ( 1 。入件1 。a n + 1 ) i = 0 6 一 八 一 a 巳南 。 勖 a 御 +n 入po + 入一 oo o 入 ， 1 一 铷 i i +n 一( oo o 入扩 第二章k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 s i e g e l 和w i t h e r s p o o n 在文【1 9 】中表明c u p 积与a 的投射分解以及链映射的选取无 关 其次y o n e d a 积由以下双线性映射给出【1 】： e x t m ( 厶k ) oe x 垓( m ，l ) 一e x t m + n ( m ，k ) ， 以下用两种等价的方式给出以上映射： ( 1 ) 粘接：若 = 0 一k 一一l _ 一山 三_ o ， r = 0 _ 厶与玩一l _ 一岛叫m _ 0 是e x t 2 ( l ，k ) 和e x t x ( 尬三) 中的两个元素，则 轫：0 一k 叫一l 一_ a o 骂鼠一1 _ 一岛一m 一0 那么【日【r 】= 医叩】，为佗+ m 阶扩张的等价类 ( 2 ) 利用投射分解：若( p ) 和( q ) 分别是己和m 的投射分解，叩，毒是e x t z ( 厶k ) 和e x t , 冀( m ，三) 中的两个元素有以下交换图： 善二 k 图2 1 其中f 0 ，1 1 ，z n 表示7 7 的逐次提升那么对任意的【剐e x t z ( l ，k ) ，【叩】 e x t 艾( m ，l ) ，有 陈】b 】= 陈ok 】 明显地，这种将扩张相乘的方法与投射分解以及提升的选取无关事 实上，若( p ) 和( q ) 分别都是三和m 的极小投射分解，并且k 是半单a - 模，那 么毒ok 是e x t t 扣( m ，k ) 中的一个元素 g e r s t e n h a b e r 在文【4 5 】中表n 凋c u p 积和y o n e d a 积是一致的，并_ 且b u c h w e i t z 等人 在文【2 2 】中给出了详细的证明，并且通过建立人在人6 上的极小投射分解( 只，机) 与a 7 湖北大学硕士学位论文 的约化标准分解( r e d u c e db a rr e s o l u t i o n ) ( b ，国之间的链映射，诱导出t h h + ( a ) 中 的y o n e d a 积若叩，口h h + ( a ) ，记叼宰口为h h + ( a ) 中的y o n e d a 积 记 ? = ( 0 ，0 ，d ( 疗) o 知t ( 疗) ，o ，o ) ， 、。，。， t 并定义映射a 7 ：p pp ap 为 ( 2 1 ) 设7 7 ，8 分别为删n ( a ) 和h h m ( a ) 中的元素，不妨将其表示为7 7 ：r a ， p ：p m a ，则由文【1 9 】可知，h h m ( a ) 中y o n e d a 积卵牛口为映射 p 鸟po ap 翌a 圆aa 与a 的复合，其中：ao aa 哼a 是乘法映射并且有 命题2 1 。2 【2 2 】设a = 七q j 是k o s z u l 代数，其中q 是有限箭图，为庇q 的允许 理想对任意的叩，p h h + ( a ) ，不妨用叩：r a ，p ：p 仇一人来表示， 且7 7 ( ) = a p ，p 【0 ，t 竹】；目( 5 ) = a ：，口 0 ，t m 】，则 其中i 【0 ，t 扎+ m 】 2 2h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构 首先回顾下乘法基的定义设a 是一个有限维k 代数，召是a 的一组k 基若 对任意的6 1 ，b 2 b ，总有b l b 2 bu 【o ) ，则称召是a 的一组乘法基( 文【4 纠) 从现 在起，令a = k q i ：是具有乘法基的k o s z u l 代数，其中q = ( ，q 1 ) 是有限箭图， 不妨将其乘法基记为召，并且视后q 中的道路与其在a 中的象等同对任意的道 路p q ，记d ( p ) ，t ( p ) 分别为p 的起点和终点，道路及映射的合成采取从左到右的 顺序 8 吖 笱 ap 力m钿 h 咖。卿 n 脚 = 薯叩 ，g 一 o 定义2 2 4 设对任意的r 【0 ，叫，f n 是7 一支撑不交的则对任意的( 6 ，厅) 剐p 。，j 孙毽| | f m ，定义 c 6 ，疗，v c 6 ，z 尹，= 二 臂+ 仇l 若b b 0 且存在露栅p + m 使得 宵垆s 弘p ( 臂+ m ) ； 其它 显然，由于f n 是r 支撑不交的，运算v 的定义是合理的而且v 可以线性扩充 到向量空间uk ( u f n ) 上下面的定理将给出唧+ ( a ) 的乘法结构本质上是平行 n 0 路的毗连的充要条件 定理2 2 5 设a = k q i 是具有乘法基的k o s z u l 代数，且对任意的7 【0 ，佗】， p 是7 i - 支撑不交的，则对任意的叩，0 删+ ( a ) ，细木0 ) = ( 7 7 ) v ( p ) 当且仅 当公式( 2 2 ) 中的系数c p g ( n ，i ，r ) o ，1 ) ，即对任意的厅p ，r 【0 ，叫，令集 合正= ，q ) i 鬈圩叫s 强胁( 宵) ) ，有 嚣= ；斧 ( p ，q ) e t i 证明任取删+ ( a ) 中的齐次元素7 7 和p ，不妨设7 7 h h n ( a ) ，0 h h m ( a ) 我 们视k e 泞中的元与它在h h + ( a ) 中的象等同，那么 用西作用后得到 ，7 = 刷， u ( 7 7 ) = ( 乩，劈) ， t i 0 = l , o 7 ( b 。，护) v d ( 口) = b ( k ，护) 可j 湖北大学硕士学位论文 充分性：由定理条件知 j 邝h 棚= j 邝p h j 篇， 一 口 0 慨，q h ) e t h 则由定义2 2 4 可知，若( i ，歹) 譬t h ，e p l p y ? 甓s 弘隅( 拜棚) ，则( 6 u ，疗) v ( k ，垆) = 0 从而 哟m = ( 若蚍删) v ( ( k 俐) = 一l 。( k k ，露+ m ) ( 2 3 ) h o , h q h ) e t h t 另一方面此时公式( 2 1 ) 为 他? ) = 吃。 茅r ， r = o 慨，俄) 正 其中p 0 ，t r 】，q 【o ，t n r 】，而y o n e d a 积7 7 木p 为映射 p 兰p o ap 型ao aa 二a 的合成，其中：ao aa 与a 是乘法映射因此 r l 木p ( 嚣+ m )= ( 7 7 o ) x 7 ( g 嚣+ m ) n + m = ( 7 7o 口) ( 。圆嚣一) r = o ( p h ，q h ) t h 。 = ( ( 刺) 。( b 口州) ) ( 1 & , 1 - - l e l 厶q 嚣一r ) “，暑 口口 r - - - - o 忉 ，q h ) e t h = k l v f f l ( b 胡) ( 嚷) 口( k ，垆) ( e 兹) = 。z 乩， ( p h ，q h ) e t h u 1 2 第二章k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 则 所以 ( 叩木护) = ( 乩k ，臂+ n ) h o h q h ) t h t 咖( 叩木0 ) = ( 叩) v 妒( 口) 必要性：因为a 为k o s z u l 代数，则存在c j p q ( n + m ，h ，几) 七使得 tnt m 臂+ m = + m ，h ，扎) 鬈口= 勺胁m + m ，h ，n ) g ：y g p = 0q = 0 6 v h ，q h ) t h 类似充分性中卵半日的计算可得 则 因为 ，7 ：cp ( z + m ) = c p 瓢+ m ，h ，n ) l k 虬， o h q h ) e t h u口 ( 叩，c 口) = 勺胁m + m ，h ，扎) 一l 。( 瓦k ，舒+ n ) ( 2 4 ) _ i l ( p ，口 ) t h uu 比较( 2 3 ) 与( 2 4 ) 的系数可得 咖( 叩木0 ) = ( ? 7 ) v ( 口) ， 勺 瓠( 扎+ m ，h ，n ) = l ， 其中( p h ，q h ) t h a p c w ( n + m ，h ，n ) o ，1 ) 证毕 注意到满足定理2 2 5 的条件的k o s z u l 代数是相当广泛的，如外代数、二次零 关系代数等利用平行路的毗连，使得k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结 构更加直观、简洁，这将有助于我们对k o s z u l 代数的h o c h s c h i l d _ l x 同调环的理解 也将有助于相关问题的处理更加简洁作为该定理的应用，我们将表明以下代数 的h o c h s c h i l d 上同调环唧+ ( a ) 的乘法本质上都是平行路的毗连 1 3 湖北大学硕士学位论文 外代数是一类非常重要的代数，它在数学的很多领域如代数几何、交换 代数、微分几何等中都扮演着十分重要的角色文献【2 0 1 已经给出了它的各 阶h o c h s c h i l d 同调与上同调群，以及它的h o c h s c h i l d 上同调环的实现 推论2 2 6 若a 垒k ( x l ，z n ) ( z 2 ，x i x j - 4 - x j x i ) 是n 元外代数，其中l 惫 钆，1 i j 扎则对任意的哺0 h h + ( a ) ，在同构映射的作用下，有 ( 7 7 木0 ) = ( 刀) v ( p ) 证明因为a 是n 元外代数，由文献 2 0 j 知 f m = 碍，2 ：妒。lh i n ，h i + ，匕- 4 - + h n = m ) ， 且 届脚。小= 厅心。小嚣毛 l l + j z = h i 1 中的元素生成 商代数a = = 七q ，称为f i b o n a c c i 代数，其中d = p + q 由文 3 8 】知f i b o n a c c i 代 数是一类特殊的二次零关系代数，故可得 推论2 2 8 1 3 3 若a 是f i b o n a c c i 代数，则对任意的叩，0 h h ( a ) ，在同构映射砂的 作用下，有 ( 叩半0 ) = 矽( 7 7 ) v ( p ) 1 5 湖北大学硕士学位论文 第三章 二次三角s t r i n g 代数f l 勺h o c h s c h i l d 上同调环 当a 为二次三角s t r i n g 代数时，文 2 1 q 丁b u s t a m a n t e 将h h + ( a ) 的基分为三类来 讨论并描述h h + ( a ) 中的元素，得到人的h o c h s c h i l d 上同调环的乘法结构是平凡的 本节我们将首先给出二次三角s t r i n g 代数各阶h o c h s c h i l d 上同调群的向量空间基， 并利用定理2 2 5 的结论给出b u s t a m a n t e 的结果的另一种证明，首先我们回忆一 下s t r i n g 代数的定义 一个代数a = k q x 称为s t r i n g 代数，若满足以下条件： ( s 1 ) ，是单项式理想； ( s 2 ) q 中的每个顶点至多是两个箭向的起点和终点； ( s 3 ) q 中的每个箭向q ，至多存在一个箭向p 和一个箭向，y 使得q p 隹，和7 a 譬， 如果s t r i n g 代数a = 七q ，的基础图q 不含定向圈，则称人为三角s t r i n g 代数( 文 2 1 】) 以下考虑的s t r i n g 代数均是二次三角s t r i n g 代数 现在我们回忆一下c i b i l s 在f 2 9 】中所引入的一些记法：对( 6 ，f ) b f n ，如 果b 和，的第一个( 分别地，最后一个) 箭向相同，则我们称( 6 ，厂) 是始箭一致的( s t a r t t o g e t h e r ) ( 分别地，终箭一致的( e n dt o g e t h e r ) ) 称( 6 ，) 是始于源点的( s t a r t sa ta s o u r c e ) ( 分别地，止于汇点的( e n da tas i n k ) ) 如果o ( b ) = o ( ，) 是一个源点( 分别 地，t ( b ) = t ( f ) 是一个汇点) 假定( 6 ，) 是始箭一致的，则存在某个箭向a q 1 使得( 6 ，f ) = ( 口6 ，q ，) ， 我们进一步假定( 6 ，f ) 不是止于汇点的如果存在箭向p q 1 使得( 6 ，p ，7 p ) b f “，贝l j ( b 3 ，p ) 称为( 6 ，) 的一个右移动( + m o v e m e n t ) 类似地，如果( 6 ，) 是终箭一致的且( 6 ，) 不是始于源点的，我们可以定 义( 6 ，) 的左移动( 一m o v e m e n t ) 如果( 6 ，f ) 召p 有一个右移动或左移动，则 称( 6 ，厂) 是可移动的如果( 6 ，) 是( 6 ，f 7 ) 的一个右移动或左移动，则称( 6 ，) 等价 于( 6 ，f ，) 注意到当a 是二次三角s t r i n g 代数时，如果( 6 ，厂) 是可移动的，贝l j ( b ，) 的 等价类恰含两个元素 定义3 1 3 a l 一个元素( b ，圩) b p 称为极端元素，如满足以下条件： ( 1 ) 如果存在7 q 1 满足，y 劈f 1 ，那么7 b ，； ( 2 ) 如果存在，y q l 满足疗，y f n + 1 ，那么狮i 1 6 第三章 二次三角s t r i n g 代数的h o c h s c h i l d 上同调环 特别地，如果不存在，y q 1 ，使7 刀p + 1 或 ，y p “，( b ，疗) 也是极端元 记( 8 p ) 。为8 p 中的极端元组成的集合 定义3 2 令z = x ( b ，) ( 6 ，) ，其中z ( 6 ，) k 则。的支撑定义为 ( b , f ) s f n s u p p ( z ) = ( 6 ，) 召pix ( b ，) o ) 因为，是二次齐次单项式理想，则p = a l a 2 口na i a i + l ，1 i 佗一1 ， 且由引理2 2 2 的同构易知复形( 只，d ) 中， 扩+ 1 ( 6 ，疗) = ( - y b ，y 疗) + ( - - i ) ”1( 硒，疗6 ) ， | pef”1|p5ef。a+x 若7 b i ，贝u ( t b ，y 疗) 为o 若砸i ，则( 6 6 ，劈6 ) 为0 引理3 3 若a = k q i 是二次三角s t r i n g 代数，对任意n 0 ，h h n ( a ) 垒 忌( b f n ) 。 证明因为a 是二次三角s t r i n g 代数，则i 自s t r i n g 代数定义中的( s 3 ) 知，对任意 元素( 6 ， ) b f ”，至多存在一个7 = 7 ( b ，厅) q 1 ( 分别地，6 = 6 ( b ，印) q 1 ) 使 得，y p + 1 ( 分别地，疗6 j m + 1 ) ，且7 b 譬j ( 分别地，6 b 垡j ) 从而 扩+ 1 ( 6 ，厅) = n 6 ，7 疗) + ( 一1 ) n + 1 ( 砸，劈6 ) 若这样的，y ( 或6 ) 不