（基础数学专业论文）一类脉冲微分方程的积分边值问题.pdf

摘要 近年来，脉冲微分方程已成为一个十分重要的研究领域相对于常微分 方程而言，脉冲微分方程理论有着更为广泛的应用上下解方法和单调迭代 fz 7 ( 亡) = ，u ，。o ) ) ， j 7 ， j 。0 k ) = 厶( 。( t k ) ) ， k 21 ，2 ，p ， m 嘏) 一伽s ) d s 在第一部分即引言中，我们给出了一些记法和条件第二部分中，首先考虑 了a ，与a 。均为正数的情形，得到了边值问题极值解的存在性然后考虑了 擀裟0 怒嚣裟鬈辫辩粼舯给出了a 。a 。 时边值问题极值解存在韵壳分条件印吁”门一” 关键词：脉冲微分方程；上解与下解；单调迭代技术；积分边值问题 a b s t r a c t 1 nr e c e n ty e a r s ，t h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i sa ni m p o r t a n ta r 8 a o fi n v e s t i g a t i o n s i n c ei t i sm u c hr i c h e rt h a nt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o 。y 0 fo 。d j n a 。y d 扭e r 呲i a le q u a i l 。l l s a ni m p o r t a n tt e c h n i q u ef o rp r o v i n ge x i s t e n c e 。s u l t 5o f “o n 如n e a 。 b o u r d a r vv “u ep r o b l e m si st h em e t h o do fn p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n sc o m b i n e d w i t h m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e t h i sd a d e rc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gi n t e g 。a l b o u n d a r vv a l u ep r o b l e mo ff i r s to r d e ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o “ iz 他) = f ( t ，z ( t ) ) ，t j 7 ， ja z ( t ) = 厶( 。( 如) ) ， k = l ，2 ，p ， ia 1 5 d ) 。( 丁) ：f 1z ( s ) 抵 do i nd a r to n e ，s o m ec o n d i t i o n sa n dd e n o t a t i o n sa r el i s t e d i np a r tt w o ，f i r s t l hw e d 劬1 8 8 t h ee x i s t e n c eo fe x t r e m a ls o l u t i o n sf o rt h ep r o b l e mw h e nb o t ha l a n da 2a 。ep 0 8 i t l v 。_ t h e ni nt h ec a s ew h e na 1a n da 2 a r eb o t hn e g a t i v et h ee x i s t e n c ea n du n l q u e n e 8 5o f s o l u t i o l lo ft t l ep r o b l e ma r eo b t a i n e d i np a r tt h r e e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n 8 f o rt h e e x i s t e n c er e 8 u i t sa r ee s t a b l i s h e dw h e na 1 a 2 0 k e w 。r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a i t 。n ；l o m ra n du p p e rs o l u t i 0 1 1 8 ；“o “。t 。“。 i t e r a t i v et e c h n i q u e ；i n t e g r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 2 第一章引言 近年来，脉冲微分方程已成为一个十分重要的研究领域但对于积分边值问题的 讨论，仍比较少文 1 讨论了一阶脉冲微分方程在边界条件9 ( z ( o ) ，z ( t ) ) = 0 下的边 值问题，得到了这类边值问题极值解的存在性的一些充分条件文【2 讨论了反周期非 线性边值问题的唯一解的存在性但对于带有积分的边值问题，仅见 3 1 文 3 讨论了 积分边值问题 lz ”) = f ( t z ( t ) ) ， ?r t iz ( o ) = i 0 。( s ) 。s + 4 极值解的存在性本文讨论更一般的一阶脉冲微分方程的积分边值问题 iz ”) = i ( t ，z ( ) ) ， t j 7 ， z ( “) = ( z 。旬) ，t = 1 ) 2 ，一，弘 ( 1 ” h 邶) 。卵) 2 z s ) d s ， 其中，c g r ，网，j = i o , t 】，0 t l t 2 如 0 ，使得当a ( t ) y z 卢时成立 i ( t ，。) 一f ( t ，y ) 一 f ( 。一) ( 凰) 对2l ，2 ，p ，存在l k ( 0 ，lj ，使当。( 如) y z z ( t k ) 时成立 i k ( x ) 一i k ( y ) 一l k ( x ) ( 凰) 函数，( ，。) ，墨皓对关于z 有一阶连续偏导数， 乓在r 上一阶连续可微， 对任意专霄陋，纠：成立 卜s g n ( m 。垂( 堋稚枷) e 砷( z 7 坤) d s ) 一s s m ，) z to 隳t 。( ，堋稚枷) e 印( z 0 孵( s ) ) d s ) 蟛。” 0 脉冲微分不等式与脉冲积分不等式在我们的研究中起着重要作用我们先将其列 出 d 引理11 ( f 4 】) 设亡0 t l - 扎 ，恕如= o 。，p 髦g ( 。，c o ) ，r ) ，也o ， b 女r ( k = 1 ，2 ，) 若m p c ( i t o ，。) ，r ) ，满足 jm ，( t ) p ( t ) m ( 旬+ q ( t ) ， t o ，o 。) m ) ， lm ( ：) d m ( t ) + b k ，七：1 ，2 ， 那么 呻) 喇幻驶。也“，( r 如冲) + y ( h 。d k e x p 泓州必灿+ 。纛她i - i 。唧( 肛) k 引理1 2 ( 4 】) 假设南 l 缸 ，恕“：o 。，p g ( 【t 。，o 。) ，r + ) ， 凤0 ，0 r 若m p c ( t o ，。) ，硒满足 m ( ) c + p ( 5 ) m ( s ) 如+ 凤m ( “) ， 第一章引言 那么 邮) c t 盟，( ，懒) e x 一( fp ( s 冲) o 0 首先我们给出此种情形下边值问题( 11 ) 的 上解与下解的定义 定义2 1 称( t ) 为边值问题( 1 1 ) 的一个下解，如果“p c i 同，满足 。似) f ( t a ( t ) ) ， a “( t k ) h ( 。( “) ) a i d ( 0 ) a 2 乜( t ) o ( s ) d s j o t 一 k = 1 ，2 ，p ， ( 2 1 ) 将不等式( 2 1 ) 中的不等号全部反向，就定义了边值问题( 1 1 ) 的上解 下面给出本节的主要结果 定理2 1 设o ( t ) ，卢( t ) 是边值问题( 1 1 ) 的下解与上解，且a 口如果条件( h 。) 和( 凰) 成立，则存在单调增加的函数序列 ( t ) ，单调减少的函数序列 风( t ) ) ，它 们在j 上分别一致收敛于函数丘( t ) ，序( t ) ，且a ( t ) ，卢( t ) 分别是边值问题( 1 1 ) 的极小 解与极大解 证明对任意的1 b ，明，由注1 1 知一阶线性脉冲微分方程的初始问题 i “7 ( t ) = ，( t ，”( t ) ) 一订( ( t ) 一q ( ) ) ，t j 7 ， u ( “) = 0 ) ) 一三k ( u o k ) 一即( 扎) ) ，k = l ，2 ，一，p ，( 22 ) i a 1 u ( o ) 一a 2 叼( t ) = l v ( s ) d s 、 j 0 有唯一解存在，且可表示为 州) = “( o ) ( 1 一厶) e “。+ f ( 1 一厶) e 4 。5 1 ( m ，1 ( s ) ) + m q ( s ) ) d s + ( 1 一l j ) e 一”“( 细( t * ) ) 十l _ ( “) ) ， 0 札 t j 一 ( 2 3 ) 其牛，“( 。) = 鲁q ( 丁) 十；：z 2 ”( s ) d s 6 ，-ii，0，il 第二章a 1 2 为正数时的积分边值问题 7 定义算子a ：( 。，纠一p g l 【z 蚓为a q = u ，其中u 为由( 2 3 ) 给出的初始问题 ( 2 2 ) 的唯一解，则算子a 有下述性质 ( i ) 。a c t ：a 卢p ； ( i i ) a 在h 纠上是不减的，即对任意的口1 ，啦k 例，若叩l 啦，则有a q l a t 2 下面我们先证明性质( i ) 记“l = a d ，p = n n 1 ，则当t j 7 时有 烈纂f ( t 三舭，吲呦嘶心) - ) ) _ 一m p ( t ) ， ( 2 4 ) ，q ( t ) ) 一，( t ，n t ( t ) ) + m ( - ( t ) 一o ( ) ) = 一， 对= 1 ，2 ，p ，有 呲b ) = “( “) 一哩( “) ( 。( 钆) ) 一 ( 。l ( 扎) ) 十厶k ( 。1 ( t k ) 一暖( “) ) 一l k p ( t k ) ， 在初始点处，有 a 1 p ( o ) = a i o ( 0 ) 一a l o l ( 0 ) 。( r ) + ，7 n ( 。) d 。一a 。( 丁) 一，7 a ( s ) d s ：0 ( 26 ) 2 0 ( r ) + n ( s ) d s a 2 q ( 丁) 一 = 、 7 综合( 24 ) 一( 26 ) ，由引理1 1 知有 p ( t ) p ( o ) ( 1 一k ) e “0 ，t _ 这就说明有o 4 a 同理可证a 卢卢故性质( i ) 成立 下面我们证明性质( i i ) 设卵1 ，q 2 o l ，明，且q l q 2 记u l = a m ，u 2 一a t l 2 ， p = “l u 2 ，当t j 7 时利用条件( h 1 1 有 f f ( t ) = “j ( t ) 一“：( t ) = ，( 。，q l ( 。) ) _ m ( u l ( 。) 一”l ( 。) ) 一，( 。，町2 ( 。) ) + m ( u 2 ( ) 一啦( t ) ) f 2 7 1 = f ( t ，q 1 ( ) ) 一f ( t ，啦( ) ) + 且，( 吼( ) 一啦( f ) ) 一m p ( t ) 、 一m p ( t ) ， 对k = l ，2 ，p ，利用条件( 玛) 有 a p ( t = ) = u 1 ( “) 一a u 2 ( t k ) = 厶加1 ( 缸) ) 一三k ( u ( 巩) 一町l k ) ) 一矗( 叼2 ( 亡k ) ) + l ( u z ( “) 一卵2 ( “) ) f 2 8 1 = 加1 ( “) ) 一 ( q 2 ( 如) ) + 三k ( q l ( t k ) 一啦0 k ) ) 一l k p ( t ) 、 一三p ( “) ， 8 在初始点处，有 一类脉冲微分方程的积分边值问题 l p ( 0 ) = k l u l ( 0 ) a l u 2 ( 0 ) 一t r t 一2 m 口) + j om p ) 出。2 啦( r ) 一z 眯) d s ( 29 ) 0 0 综合( 27 ) 一( 29 ) ，由引理1 1 知有 p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一l ) e m 0 ，t j d t k 这就说明有“l = a r h u 2 = a t 2 故性质( i i ) 成立 现定义函数序列 。( t ) ) ， 风( t ) 为 血o = 删岛= 卢，o 。= a o 。一1 风= a 风一1 ，礼= 1 ，2 则由性质( i ) 与性质( i i ) 知有 。o o i t t t ，风卢l 阮 ( 2 1 0 ) 容易证明。与风分别是边值问题( 11 ) 的下解与上解由f ，厶的连续性及( 21 0 ) 知 n 。( t ) ) 与 风( t ) ) 都在j 上一致收敛设 墨恐n ( t ) = 丘( t ) ，墨恐风( ) 2 3 ( t ) 下面证明a ( t ) ，o ( t ) 分别是边值问题( 11 ) 的极小解与极大解由， 的连续性以及 算子月的定义易知臣( t ) ，卢( t ) 都是边值问题( 11 ) 的解对边值问题( 1 1 ) 的任一解 z ( t ) ，当口o 。阮时，由数学归纳法可证o l 。尻对所有扎= 0 ，1 ，2 ，成立 事实上，若。啪十某n 成立，记p ( t ) = o t n + l ( t ) 4 t ) ，则当t j 时利用条件 ( 皿) 有 c q p 心) = a 0 ，( t ) 一0 ( ) = 弛，。n ( 。) ) 一m ( “州( 。) 一“n ( 2 ) ) ，。( 。) ) 胁1 1 n 口( 。( t ) 一血。( t ) ) m ( a 。+ l ( t ) 一o 。( t ) ) = 一m p ( t 、 第二章a 1 2 为正数时的积分边值问题 9 对k = 1 ：2 ，p ，利用条件( 岛) 有 啪 a p ( t k ) = a a n + 1 ( “) 一4 甄( 如) = ( a n ( 一l ( a 州( 。) 一“n ( 一“( 。( 圳 f 2 1 2 1 l k ( x ( t k ) 一o t n ( 札) ) 一l k ( 。+ 1 ( “) 一，。( 缸) ) = 一l a p ( t k ) ， 在初始点处，有 综合( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) ，由引理11 知有 a 2 z ( t ) p o ) p ( o ) i i ( 1 一l k ) e 一”。0 ，t ， 0 札 ( 2 1 3 ) 这就说明有n 。+ 1 。同理可证z 风+ l 故对所有自然数n 都有。z 风令 n 一，就有a 。卢说明画( t ) ，z ( t ) 分别是边值问题( 11 ) 的极小解与极大解 定理证毕 2 2a l 与抛均为负数h - i - n , 勺情形 本节中我们始终假设a 1 0 ，沁 0 首先我们给出此种情形下边值i h 7 题( 1 1 ) 的 上解与下解的定义 定义2 2 称。( t ) ，卢( t ) 为边值i ；7 题( 11 ) 的一对弱耦合的下解与上解，如果o ，卢 p c l 工r 】，满足 l ( t ) f ( t ，o ( t ) ) ， t d 7 ， a a ( t k ) 矗( 。( “) ) ， k = 1 川2 。，p ， ( 2 1 4 ) 【a - 。( 。) 一a ，n ( t ) z 7 卢( s ) d s ， sd 、j如 z 工 ，七 出 如 “ 嘶 f ，t 邶功 h 沁 眦 】| = p a 1 0 一类脉冲微分方程的积分边值问题 y ( t ) f ( t 卢( t ) ) ，t ， p ( 如) 如( 卢( 姚一 = 1 ，2 ，p ， ( 2 1 5 ) r1 a 卢( o ) 一a t ( r ) c r ( s ) d s j 0 下面给出本节的主要结果 定理2 2 设o ( t ) ，卢( t ) 是边值问题( 11 ) 的一对弱耦合的下解与上解，且有a 卢， 如果条件( h i ) ，( 凰) 和( 日3 ) 或( h i ) ，( h 2 ) 和( 玛) 成立，则存在单调增加的函数序列 。n ( t ) ) ，单调减少的函数序列 阮( t ) ) ，它们在d 上都一致收敛于函数p ( ) ，且p ( t ) 是 边值问题( 1i ) 在 。，例内的唯一解 证明定义函数序列 。( t ) ) ， 风( t ) ) 如下； ( z ) = d ( t ) ，风( t ) = 卢( t ) ， a ：+ 1 ( t ) = ，p ，o 。( t ) ) m ( 。+ 1 ( t ) 一a 。0 ) ) ，t ，7 ， o + 1 ( t k ) = 矗( o 。( “) ) 一l k ( d 。+ 1 ( “) n 。( 屯) ) ，k = 1 ，2 ，一，p ， a l + 1 ( o ) 一a 2 ( t ) = 风( s ) d s ， 成+ l ( ) ：，( t ，屏。( t ) ) 一磁阮+ 【( ) 一风( ) ) ，t ， ”2o ) 1 ，2 阮+ ( 靠) = 厶( 风( t ) ) 一k ( 风+ 1 ( t ) 一风( 乱) ) ，k = 1 ，2 ，；p ， a z 风+ ，( o ) 一a 毋。( t ) = 以( s ) d s ， 显然，作为一阶线性脉冲微分方程的解，函数o e n ( ) ，风( t ) 是唯一存在的 证明 0 = o o l 历阮 令p ( t ) = c e o ( t ) 一l ( ) ，则当t d 7 时利用函数的定义和上下解的定义有 ( t ) 一( t ) 一n i ( t ) f ( t ，n o ( t ) ) 一，( 舌，q o ( t ) ) 十w ( a - ( t ) 一口o ( t ) ) 一一m p ( t ) ， 对k = 1 ，2 ，p ，同样有 p ( 气) = o o ( 如) a o r l ( t ) 七( n o ( “) ) 一 ( 口o ( 靠) ) + l 女( o z ( 氏) a o ( t ) ) = 一l e p ( t k ) ， 下面我们先 ( 2 1 g ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ，、，l 第二章l l a 2 为正数时的积分边值问题 在初始点处，有 a t p ( 0 ) = a l n o ( 0 ) 一l l c t l ( 0 ) ，t a 2 n o ( ? 1 ) + 3 0 ( s ) d s j 0 一o 综合( 2 1 7 ) 一( 21 9 ) ，注意到a l 0 ，由引理11 知有 r t 岛( s ) d s ( 21 9 ) j 0 p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一工) e ”。0 ，t j o t k ( t 于是知“o o l l 同理可证卢l p o 再令p ( t ) 一“1 ( t )胁( ) ，则当t j 时利用条件 ( 凰) 有 p ，( t ) = a i ( t ) 一俄( t ) = f ( t , c o ( 。) ) 一m ( “1 ( 。) 一“。( 。) ) 一，( 。，风( 。) ) 十m ( 卢l ( ) 一阮( 。) ) f 22 0 1 m ( 3 1 ( t )a l ( t ) ) = 一m p ( t ) 对= 1 ，2 ，一，p ，利用条件( 玛) 有 a p ( t k ) = a a l ( t k ) 一卢1 ( “) = 厶( 口o ( 如) ) 一l k ( a l ( t k ) 一a 。( “) ) 一厶( 阮( “) ) + l k ( b l ( t k ) 一3 0 ( “) ) l k ( f j l ( t k ) 一0 1 ( “) ) = 一l 印( “) ， ( 2 2 1 ) 在初始点处，有 a 1 p ( 0 ) = a 1 “1 ( 0 ) 一a l 仇( o ) = a 2 “。( t ) + z9 0 ( s ) d s r 3 0 ( t ) 一上。( s ) 山 ( 22 2 ) ，1r 1 0 综合( 22 0 ) 一( 22 2 ) ，由引理1 1 知有 p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一l k ) e 一”。0 ，t j 0 t k t 1 2 一类脉冲擞分方程的积分边值问题 从而o q 卢这就证明了( 2 1 6 ) 进一步由数学归纳法，易知有下述不等式成立 d 一“o d 1 r - o 。阮卢1 阮= 卢 容易验证对n 一0 ，i ，2 ，o 。，风是边值问题( 1 1 ) 的一对弱耦合的下解和上解由 ，i k 的连续性以及“。，风的定义，易知 “。( t ) ) ， 风( t ) ) 都在j 上一致收敛记 l i r aa n ( t ) = 丘( t ) 】，熙风( t ) = 卢( t )n o 。 一 则画( t ) ，卢( t ) 是下面系统的解 匮7 ( t ) = f ( t ：匠( t ) ) ，t j 7 ， a ) = 厶( 丘( “) ) ，k = 1 ，2 ，p ，t a l a ( o ) 一a 2 丘( t ) 二卢( s ) d s ， j 0 卢7 ( t ) 一f ( t ，p ( t ) ) ，t j 7 ， p ( 氏) = 厶( 如) ) ，= 1 ，2 ，一，p ，t a 1 卢( o ) 一a 2 卢( 丁) = a ( s ) d s 下面证明丘= 卢令p = a 一卢，下面分两种情形讨论之， 若( 凰) 成立，则利用微分中值定理，知当t j 时，存在亨旧阈，使 p 0 ) = a 7 ( t ) 一卢7 ( t ) = ，删) 一，刖) f 2 2 3 1 = a ( t ，f ( t ) ) ( 画( ) 一声( t ) 、 = 五( t ，f ( t ) 扫( t ) ， 对= 1 ，2 ，- ，p ，存在吼 画( 如) ，矽( 缸) ，使 a p ( “) = 丘( “) 一卢( “) = 矗( 酏) ) 一 ( 盹” f 2 2 4 1 = 髭( 讯) ( “) 一卢p t ) ) = 最( 讯) p ( “) ， 于是，由注11 知 h ( o ) 。照，( 1 圳砌) e x p ( j ( 氡s ) ) d s ) d 7 第二章a l a 2 为正数时的积分边值问题 1 3 而由边界条件，还有 一 a l p ( o ) 一a 2 p ( t ) + p ( s ) d s = 0 j 0 故由条件( f b ) 就有p ( o ) = 0 ，从而p ( t ) = 0 故a = 卢 若( f ) 成立，则当t j 7 时由条件( h 1 ) 有 p 7 0 ) = a 0 ) 一卢7 0 ) = 1 7 ( 。，丘( 。) ) 一，( ，卢( 。) ) ( 2 2 5 、 一m ( 丘( t ) 一声p ) ) 一一m p ( t ) ， 对k = 1 ，2 ，p ，由条件( 岛) 有 a p ( t k ) = a 盘( t k ) 一a d ( t ) = ( 丘( 如) ) 一掣( “) ( 22 6 ) l k ( 6 ( t k ) 一卢0 ) ) = 一l k p ( t k ) ， 由引理11 知有 p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一k ) e - m t o t k c 从而 p p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一l ) e 一”7 ( 22 7 ) 女= 1 而由边界条件，注意到p 0 ，有 r t a l p ( o ) 一a 2 p ( t ) = 一p ( s ) d s 0 ( 2 2 8 ) j 0 p 若p ( o ) 0 ，再注意到a 。 0 ，a 2 0 ，a 2 0 ，由引理11 知有 p ( t ) p ( o ) i i ( 1 一l k ) e 一”。0 ，t j 0 札 t 于是知。o 同理可证3 1 风再令p ( t ) = d l ( t ) 一卢l ( ) ，则当t j7 时利用条件 ( 皿) 有 p 0 ) = d i ( t ) 一卢i ( t ) = f ( t ，o o ( t ) ) 一m ( 。- ( t ) 一“o ( t ) ) 一f ( t ，阮( t ) ) + m ( 风( t ) 一阮( t ) ) ，。，、 uj m ( 卢l ( t ) 一。z ( t ) ) = 一m p ( t ) 1 6 一类脉冲微分方程的积分边值问题 对k = 1 ，2 ，p ，利用条件( 凰) 有 a p ( t k ) = a a l ( t k ) 一a 9 1 ( t ) = 如( d o ( 缸) ) 一“( 。，( 颤) 一a o ( 如) ) 一 ( 肪( 觑) ) + k ( 岛( 如) 一风( 缸) ) ，。、 f j6j l k ( 卢。( “) 一o ，( 如) ) 、 = 一l k p ( t k ) ， 在初始点处，注意到a 2 o ，有 a l p ( o ) = & a l ( o ) 一a l 卢( o ) ：a。阮(t)+“。(。)ds-a2ao(t)一7zo( 。) d s ( 3 9 ) = a 。阮( t ) + o 口。( s( t ) 一z z o ( s ) d s ( 3 9 0 综合( 37 ) 一( 3 9 ) ，由引理1 1 知有 p ( t ) p ( o ) n ( 1 一k ) e 0 ，t j 0 “ 从而o q 卢- 这就证明了( 33 ) 进一步由数学归纳法，易知有下述不等式成立 o = 口o 0 1 o 。风- 卢1 阮= 肛 容易验证对n = 0 ，1 ，2 ，。，风是边值问题( 11 ) 的一对弱耦合的下解和上解由 ， 的连续性以及“。，风的定义，易知 “。( t ) ) ， 风( t ) 都在j 上一致收敛记 l i r aa 。( = a ( t ) ，l i r af l 。( t ) = 卢( t ) ， n + o 。 则丘( t ) ，序( t ) 是下面系统的解 丘7 ( t ) = f ( t ，a ( t ) ) ，t ， 画( t k ) = ( 丘( “) ) ，k 一1 ，2 ，p f t a 1 丘( o ) 一a 2 卢( 丁) = a ( s ) d s ， j 0 卢7 ( t ) = f ( t ，卢( t ) ) ，t ，7 ， 卢( 缸) = ( 卢( 缸) ) ，一1 ，2 ，p a 1 口( o ) 一a 2 画( t ) = 序( s ) d s 第三章k l a 2 为负数时的积分边值问题 下面证明d = 口令p = 画一序，下面分两种情形讨论之 若( 凰) 成立，则利用微分中值定理，知当j7 时，存在 e 例，使 p ，( t ) = 丘7 ( t ) 一卢7 ( t ) = f ( t ，a ( t ) ) 一f ( t ，卢( t ) ) = ( t ，( t ) ) ( 丘( t ) 卢( t ) = 丘( t ，( t ) ) p ( t ) ， 对= 1 ，2 ，p ，存在吼陋( “) ，卢( “) ，使 a p ( t k ) = 画( “) 一a t t ( t e ) = 如( 丘( 如) ) 一矗( 卢( 钆) ) = 最( 亓k ) ( 丘( 缸) 一卢( “) ) = 髭( 讯) p ( “) ， ( 3 1 0 ) ( 31 1 ) 于是，由注11 知 p()=p(。)iit，(1+如(讯)exp(z。丘(s，手(s)ds)tk t 7 而由边界条件，还有 a l p ( o ) 十a 2 p ( t ) = p ( s ) d s 故由条件( 凰) 就有p ( o ) = 0 ，从而p ( t ) = 0 故丘= 卢 若( 凰) 成立，则当t ，时由条件( 日) 有 ( t ) = 画心) 一卢) = m ，) 一m ，粥) f 3 1 2 ) 一m ( 画( ) 一_ 臼0 ) ) = 一m p ( t ) ， 对= 1 ，2 ，- ，p ，由条件( 凰) 有 a p ( t k ) = a 画( t k ) 一a 7 ( t k ) = ( a ( “) ) 一 ( “) ) f 3 1 3 1 一l k ( 丘( “) 一卢0 ) ) = 一l 卯( ) ， 1 8 由引理11 知有 p ( ) p ( o ) ( 1 o t k t 一类脉冲微分方程的积分边值问题 从而 p p ( t ) p ( o ) 1 1 ( 1 一l k ) e - m t 而由边界条件，注意到p 0 ，有 1 1 p ( o ) + 1 2 p ( t ) 2 0 9 ( 8 ) 。5 o r 1 ( 3 1 4 ) f 3 1 5 1 若p ( o ) 0 ，a 2 0 ，结合两式，就有i a 2 i i a l ih ( 1 一k ) 一1 e ”7 0 ， 与条件( 日4 ) 矛盾故p ( o ) = 0 ，于是，与条件( 地) 成立时的情形一样可知p ( t ) = 0 ， 即a = 口 记p ( t ) = 丘( t ) 一卢( t ) ，则p ( t ) 是边值问题( 11 ) 的解又对于( 1 1 ) 的任一解 f 。，例，由数学归纳法可得对所有n = 0 ，1 ，2 ，均有d 。z 阮，从而知 z ：丘= 序= p 故p 是( i i ) 的在h 例内的唯一解定理证毕 3 2a 1 为负数时的情形 本节中我们始终假设a 1 0 首先我们给出此种情形下边值问题( 1 1 ) 的 上解与下解的定义 定义3 2 称d ( ) ，p ( t ) 为边值问题( 1 1 ) 的一对弱耦合的下解与上解，如果a ，口 p g l f z r l ，满足 ic d ( t ) f ( t ，o ( t ) ) ，t ， ? a a ( t k ) ( a ( 如) ) ， = 1 ，2 ，p ， ( 31 6 ) la 1 d ( o ) 一a 2 卢( 丁) f l ( s ) d s ， 卢似) f ( t ，卢( t ) ) ， 卢( “) ( 扎) ) ， n t 1 卢( o ) 一a 2 n ( t ) a ( s ) d s j0 t j 7 ， k = 1 ，2 ，p ， ( 3 1 7 ) 第三章a 1 沁为负数时的积分边值问题 1 9 下面给出本节的主要结果 定理3 2 设。( t ) ，o ( e ) 是边值问题( 11 ) 的一对弱耦合的下解与上解，且有o p 如果条件( h 。) ，( h 2 ) 和( 巩) 或( 日z ) ，( m ) 和( 日4 ) 成立，则存在单调增加的函数序列 a 。( t ) ) ，单调减少的函数序列 风) ，它们在j 上都一致收敛于函数p ( t ) ，且p ( t ) 是 边值问题( 11 ) 在h 纠内的唯一解 证明定义函数序列f a 。( t ) ) ， 风( t ) ) 如下： o 。( t ) = o ( t ) ，风( t ) = z ( o ， 。：+ 。( t ) 一， ，。( ) ) 一m ( d 什+ o ) 一o 。( t ) ) ， t j 7 ： 。n + l ( “) = 矗( “。( “) ) 一l k ( a 。+ l ( “) 一a 。( “) ) ，= 1 ，2 ， ，p ， r t - n + l ( o ) 一a 2 风( t ) = 风( s ) 出， j o n = 0 ，1 2 成+ 1 ( t ) = ，( t ，风( ) ) 一m ( 风+ 1 ( t ) 一屏。( t ) ) ， t j 7 ， 风+ - ( = ( 阮( 靠) ) 一k ( 风+ 1 ( 靠) 一风( “) ) ， k 一1 ，2 ，p ， r r a 1 风+ l ( o ) 一a 2 口。( t ) = o = 。( s ) d s ， 显然，作为一阶线性脉冲微分方程的解，函数n 。( t ) ，风( t ) 唯一存在类似于定理3 1 的证明可得 d = d o a 1 - - d ，。，风- 、卢l 卢o = 卢 且对n = 0 ，1 ，2 ，( a 。) ， 风) 是边值问题( 11 ) 的一对弱耦合的下解和上解由f ，疋 的连续性以及。，风的定义，易知 a 。( t ) ) ， 风( t ) ) 都在j 上一致收敛记 l i mo 。( t ) = a ( t ) ，l i m 风( t ) 一卢0 ) ， u uw 则画( ) ，a ( e ) 是下面系统的解 5 ( t ) = ，( t ，画( t ) ) ，t ， 丘( 靠) = 如 0 ) ) ， k = 1 ，2 ，- 一，p a t a ( o ) 一a t 卢( t ) = 厅( s ) d s ， 0 卢船) = f ( t ，卢( t ) ) ，t j 7 ， 卸( t k ) = ( 口( t k ) ) ， k = l ，2 ，p a 1 声( o ) 一a 2 a ( t ) = 丘( s ) d s 2 0 结柬语 类似于定理3 1 的证明可得画= 芦，且对于( 1 1 ) 的任一饵。b ，硝，有z2 压= p p 故p 是( 11 ) 的在 a ，例内的唯一解定理证毕 结束语 本文利用上下解与单调迭代技术，讨论了一阶脉冲微分方程的周期边值问题 iz 7 ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ， t j ， ja z ( t k ) = 乓( g ( “) ) ， = 1 ，2 ，p ， ia l 。( o ) 一a 2 z ( t ) = z ( s ) d s 。do 锅 就 ，a 。的四种不同的符号取值情形下，通过定义不同的上下解，岔到了边值问题存 在极值解或唯一解的一些充分条件，推广了文献中的相关结果当a ，= 0 时，类似地 我们可以得到边值问题解的存在性而当抛= o ，a l 0 时，结果就是文献 1 中相应 结果的推广进一步研究的问题是边界条件为非线性的，如 ， 9 ( 。( o ) ，z ( t ) ) = z ( s ) d s j 0 还有就是寻找边值问题存在上下解或弱耦合的上下解的一些充分条件我们将在今后 的工作中继续进行这方面的研究 参考文献 1 tj a n k o w s k i ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n t e g r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) a c t am a t hs i n i c a ， 2 0