（基础数学专业论文）恰含两个非线性monolith特征标的有限群.pdf

两南人学硕十学似论文 摘要 恰含两个非线性m o n o l i t h 特征标的有限群 基础数学专业硕士研究生钟春桃 指导老师张广祥教授 摘要 如果群g 只有一个极小正规子群! 则称g 是一个m o n o l i t h 群如果 x l r r ( g ) 使g k e r ( x ) 足m o n o l i t h 群，我们称x 足m o n o l i t h 特征标记 r r m ( g ) = x t r r ( g ) i ) ( 是m o n o l i t h 特征标 我们知道l r r m ( g ) 对群的结构有很大的影响，并且i i s a a c a s 和y b e r k o v i c h 等人的研究也证实了这一点因此本文刻i f i i l 了恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标 的有限群 我们得到如下定理： 定理3 1 若群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，则g 可解 定理3 2 设群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，当且仅当g 为下列情 形之一： ( 1 ) g = p xa jp 是超特殊3 - 群：a 是交换3 补 ( 2 ) g = p xa ，p 足2 一群，有正规群列尸胗z ( p ) 尸， 1 ，i p 7 l = 2 ，l z ( p ) i = 4 ，p z ( p ) 是初等a b e l 群，a 为交换2 - 补 ( 3 ) g ：p xa ，p 是2 - 群，有正规群列尸p ，胗z ( p ) 1 ，且p z ( p ) 足超特殊2 - 群，i p i = 4 ，i z ( p ) i = 2 ，a 为奇换2 补 ( 4 ) g z ( g ) = ( m 一1 ) 2 ，e ( 矿) ) ，g ，nz ( c ) = 1 ) ，g 是g 的极小正规子 群，g = g l p ，p s u z p ( z ( c ) ) ，l 是a b e l 少补 ( 5 ) g = ( q 8 磊) kq ，其中q 8 z 是h a l l 乒子群：其f r o b c n i u s 作用于 n = z ( q ) = q 7 = 圣( q ) ，且在j 7 、r 存上可迁每a ( ，打( ) ) 孝，a 关于q n 全 分支( f u l l yr a m i f i c d ) ( 6 ) g k 满足情形( 5 ) ，k z ( g ) ，kng ，= l i 两南人学硕十学f 讧论文 摘要 ( 7 ) g 有正规群列g z x n 【1 ) ，g z 1 = ( 一1 ，e 口) ) ，z 1 n = z ( c n ) ，n 是初等a b e l 口群1 g i = q b ( g c 一1 ) ，c b ，g 的g ，一h u a l l 子群f r o b e n i u s 作用于：且在群上可迁，每0 ( ，r r ( ) ) 存，0 关于q n 全分支，其中 q s y l 。( g ) 进一步，如果p = q 则q 塑g ，n = z ( q ) ( 8 ) a h 满足情形( 7 ) ，k z ( g ) ，k 1 7g 7 = 1 ( 9 ) g = h k ，hnk = z 1 z ( g ) ，z ( a ) ng 7 = 1 ，z 1 h ，kqg ， 且驯z 1 竺e s ( n ，2 ) ，五：z 1 兰( 一1 ，e ( p 8 ) ) ( 1 0 ) g = ，z ( a ) h ，q g ，n = z ( g ) ，z ( a ) n a = 1 ，h z ( g ) 兰 ( q 。1 ，e 0 口) ) ，k z ( g ) 皇( q a - 1 ) e ( q 6 ) ) 关键词：m o n o l i t h 特征标不可约特征标可解群 1 1 陌南人学硕+ 学化论文a b s t r a c t f i n i t el g r o u p sw i t he x a c t l 3t w ononlinearinitesw i t he x a c t l yt w o - m o n o l l t h i cc n a r a c t e r s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：z h o n gc h u n t a o s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rz h a n gg u a n g - x i a n g a b s t r a c t ag r o u pgi ss a i dt ob eam o n o l i t hi fi tc o n t a i n so n l yo n em i n i m a ln o r m a l s u b g r o u p ac h a r a c t e rxo fg i ss a i dt ob em o n o l i t h i ci fx i r r ga n dg k e r x i sam o n o l i t h s e tl r r 。( g ) = x l r r ( g ) ixi sm o n o l i t h i c ，7 - r m ( g ) i n f l u e n c e sm o s t l yt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pb yt h es t u d i e so f i i s a a c s ，y b e r k o v i c ha n do t h e r s a n di nt h i sp a p e rw ep r o v ec o n s i d e rt h eg r o u p s w h i c hh a v ce x a c t l yt w on o n f i n e a rm o n o l i t hc h a r a c t e r s i nt h i sp a p e r ，w ep r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e m s ： t h e o r e m3 1l e taf i n i t eg r o u pgw i t he x a c t l yt w on o n l i n e a rm o n o l i t h c h a r a c t e r s ，t h e ngi ss o v a b l e t h e o r e m3 2af i n i t eg r o u pgh a v ee x a c t l yt w on o n l i n e a rm o n o l i t hc h a r - a c t e r si fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n go c c u r s ( 1 ) g = p a 丽t ha b e h a nc o m p l e m e n th ，pi sa l lc x t r a s p e c i a l3 - g r o u p ( 2 ) g = p a ，p i sa2 - g r o u p ，a n dph a san o r m a ls e r i e sp z ( p ) p ， _ 1 ) ，ip ，i = 2 ，i z ( 尸) i = 4 ，w h e r ep z ( p ) i se l e m e n t a r ya b e l i a n ，ai s aa b e l i a n 2 - c o m p l e m e n t ( 3 ) g = p a ，p i sa7 - g r o u p ，a n dph a san o r m a ls e r i e s p p 7 z ( p ) 1 ，w h e r ep z ( p ) i sd j le x t r a s p e c i a l2 - g r o u p ；a n da i saa b e l i a n2 - c o m p l e m e n t ， i p 7 i = 4 ，i z ( 尸) i = 2 ( 4 ) a z ( a ) = ( c o , , - 一1 ) 2 ，e ( 矿) ) ，g 7nz ( a ) = 1 ) ，g 7i sam i n i m a ln o r m a l g r o u po fg ，a n dg = g 7 l p ，p s y l p ( z ( g ) ) ，li saa b e l i a np - c o m p l e m e n t 两南人学硕十学化论义 a b s t b a c t ( 5 ) g = ( q 8 z 。) kq ，w i t hah a l lq ，- s u b g r o u pq 8 ，w h i c ha c t s f i x - p o i n t f r e e l yo nn = z ( q ) = q 7 = 圣( q ) a n dq 8 磊a c t st r a n s i t i v c l yo n 舞ai sf u l l yr a m i f i e dw i t hr e s p e c tt oq nf o re v e r y 入( ，r r ( ) ) 襻 ( 6 ) a ki st h e ( 5 ) ，a n dk z ( g ) ，k ng 7 = 1 ) ( 7 ) gh a s an o r m a ls e r i e sg p z l 1 ) ，w h e r eg 而= ( 一1 ：e ( p 。) ) ，历n = z ( g n ) a n dn i sa nc l e m c n t a r ya b e l i a nq - g r o u p i g i = q b ( g 。一1 ) ，c b t h ea c t i o no ft h eh a l lq - s u b g r o u po fgo nn i sf r o b e n i u sa n dt r a n s i t i v e l yo nn 并ai s f u l l yr a m i f i e dw i t hr e s p e c tt oq nf o re v e r ya ( i r r ( n ) ) 群w h e r eq s y l g ( g ) i fp = q ，t h e nq 璺g ，n = z ( q ) ( 8 ) a ki st h e ( 7 ) ，a n dz ( a ) 1 ) ，k z ( g ) k n g 7 = _ 【1 ， ( 9 ) g = h k ，日nk = z 1 z ( g ) ，z ( c ) ng 7 = 1 ) ，历h ，kqg ，a n d z i 星e s ( n ，2 ) ：纠z 1 竺( q 。一1 ，e l 。) ) ( 1 0 ) g = z ( a ) h ，k 1 g ，h a k = z ( g ) ，z ( c ) n a = 1 ) ，h z ( c ) 竺 ( 一，e 4 ) ) ，k z ( a ) 兰( q a 一- ，e ( q 6 ) ) k e y w o r d s ：m o n o l i t h i cc h a r a c t e r ，i r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ，s o v a b l eg r o u p 独创性声明 学位论文题目： 恰含两个非线性m o n o l i t h 特征标的有限群一 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中己加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：吖务桃 签字日期： 缈7 年月c 移日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：钎泰桃导师签名：豸坛广云辱 7 i 签字日期： 细9 年f 月l 0 日 签字日期：歹卿7 年厂月f ，口日 两南人学顾十学化论丈a b s t 曰a c t 1引言 1 8 9 6 年，f g f r o b e n i u s 发现有限群的特征标理论，标志着群表示论的诞 生而特征标理论在其发展中显示出在群结构中的及其重要的应用，为有限群 中一些问题的证明提供了一个强有力的工具w b u r n s i d e 于1 9 0 4 年用特征标 理论证明的关于矿矿阶群的可解性定理直到1 9 7 2 年才有纯群论的证明著名 的f r o b e n i u s 群的核存在定理全今尚未发现纯群论证明方法特征标理论在群 论中所起到的重要作用及其本身的一些性质引起了许多群论学者的兴趣人们 利用特征标的概念在研究群的结构时取得了许多丰富结果基于特征标在群论 研究中的重要地位，人们把特征标的概念进行了多方面的推广，得到了一些新的 特征标的概念，并利用这些新的特征标来研究有限群，取得了丰富的结果研究 者发现有时少量具有特定性质的特征标也能反映群的整体结构特征本文讨论 利用一类特定的被称为m o n o l i t h 性质的非线性特征标米刻i 再i i 群的结构 如果群g 只有一个极小正规子群，则称g 是一个m o n o l i t h 群如果 x i r r ( g ) 使g k c r ( x ) 是m o n o l i t h 群：我们称x 是m o n o l i t h 特征标记g 的 全部不可约m o n o l i t h 特征标的集合为l r r m ( g ) 因为n k e r xx 1 r r m ( a ) = g ，n k e r xx l r r l ，。( g ) ： 1 ) ( 文 献 3 引理2 ) ，所以gsg k e r x l xg k e t x k ，其中每始i r r m ( g ) 因此 集合l r r m ( g ) 对群的结构会产生很强的影响 例如1 9 9 2 年y b e r k o v i c h 给出了所有非线性不可约特征标维数都不相同 的群的分类( 文献f 8 1 主要定理) 1 9 9 9 年y b e r k o v i c h 和i m i s a a c s 等人考虑集 合i r r m ( g ) ，证明了如果g 的所有非线性m o n o l i t h 特征标的维数互不相同，则 g 可解且g ，幂零( 文献【7 】定理b ) 1 9 7 6 年，i m i s a a c s 证明了：若i c d ( c ) i 3 ， 则g 可解( 文献 1 定理1 2 1 5 ) 1 9 9 7 年，y b e r k o v i c h 证明了：如果i ( ：d , n ( g ) i 3 ， 则g 可解( 文献f 3 1 主要定理) 1 9 9 2 年张广祥给出了恰有两个非线性不可约特征标的有限群的分类( 文献 f 5 1 定理2 1 ) y b e r k o v i c h 于1 9 9 7 年给出的恰有一个非线性m o n o l i t h 特征标的 有限群的分类( 文献 3 命题3 ) 冈此，本文考虑恰有两个非线性m o n o l i t h 特征 标的有限群的分类，得到了以下结果： 定理3 1 若群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标则g 可解 1 两南大学预十学化论文 a b s t r a c t 定理3 2 设群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，当且仅当g 为下列情形 之一： ( 1 ) g = p a ，p 是超特殊孓群，月是交换3 - 补 ( 2 ) g = | p a ，p 足2 一群，有j f 规群列p 胗z ( p ) p ， 1 ) ，i p i = 2 ，i z ( p ) i = 4 ，p z ( p ) 是初等a b e l 群，a 为交换2 一补 ( 3 ) g = p a ，p 是2 - 群，有j e 规群列p p 7 z ( p ) 1 ) ，且p z ( p ) 是超特殊2 一群，i p 7 i = 4 ，i z ( p ) i = 2 ，月为交换2 一补 ( 4 ) a z ( c ) ：( c ( 妒一i ) 2 ，e ( p m ) ) ，g ，nz ( c ) = 1 】，g 7 是g 的极小正规子 群，g = g 7 l p ，p s 耖知( z ( g ) ) ，l 是a b e lv - * b ( 5 ) g = ( q 8 乙。) q ，其中q 8 磊；是h a l lg ，一子群：其f r o b e n i u s 作用于 n = z ( q ) = = 圣( q ) ，且在孝上可迁每a ( ，r r ( 人r ) ) 孝，a 关于q n 全 分支( f u l l yr a m i f i e d ) ( 6 ) a k 满足情形( 5 ) ，k z ( g ) ，kng = 1 ) ( 7 ) g 有正规群列g 互n 1 ) ，g z 1 = ( c 扣一1 ，e ( p 。) ) ，z 1 g = z ( g n ) ，n 足初等a b e lg - 群f g i = q b ( g 。- 1 ) ，c b ，g 的矿- h u a l l 子群f r o b e n i u s 作用于：且在群上可迁，每0 ( ，r r ( ) ) 孝，0 关于q n 全分支，其中 q s y l 。( g ) 进一步，如果p = g 则q 笪g ，n = z ( q ) ( 8 ) c k 满足情形( 7 ) ，k z ( g ) ，kng 7 = 1 ( 9 ) g = h k ，hnk = z 1 z ( g ) ，z ( c ) ng 7 = 1 ，z x h ，kqg ， 且h z 1 兰e s ( n ，2 ) ，k & 兰( 一1 ，e ( p 。) ) ( 1 0 ) g = h k ，z ( a ) ，k n ，则州不是循环 ( d ) 如果pqg ，那么n = z ( 尸) 并且，g 在，r r ( ) 孝和孝上的作用是 传递的 ( e ) 如果p 是交换的，那么n = p ( ，) 对于g 的任一一子群q ，那么群q 是在，r r ( ) 和上的作用是 f r o b e n i u s 作用 引理2 1 2 ( 2 】定理5 4 1 1 ) 4 是p 一群| p 的自同构组成的正则群那么，a 的奇阶s y l o w 子群是循环群，s y l o w2 一子群要么循环要么是广义四元数群 引理2 1 3 ( 1 推论6 2 8 ) n 司g ，并且g i n 可解如果秽i r r ( n ) 是 g 一不变的，并且( i g ：u l ，d ( 秽) 秽( 1 ) ) = 1 那么存在唯一的x l r r ( g ) ，使得 x n = 口，并且( 1 g ：u l ，d ( ) ( ) ) = 1 ) ，o ( x ) = d ( 椤) 引理2 1 4 ( 1 】推论6 1 7 ) 司g ，x i r r ( g ) ，x n = 秽l r r ( n ) 那么对不 同的i r r ( g n ) ，p x 互不相不同，且都是秽g 的不可约成分 引理2 1 5 ( 1 定理6 1 1 ) hqg ，秽，r 7 ( 日) ，设 = 砂l r r ( t ) t o h ，秽】o ) ，留= ( l r r ( c ) j x h ，刎o ) ， 那么 ( a ) 如果妒，那么砂g 是不可约的i ( b ) 妒_ 矽g 是从到留的一一映射i ( c ) 如果矽，使得矽( g ) = x ，那么妒是x t 的唯一不可约成分； ( d ) 如果砂，使得t o ( a ) = x ，那么【砂何，例= 【x 日，计 引理2 1 6 ( 【8 】定理4 ) 设g 是非交换群，c d ( g ) = 【l ? m ) ，p 是l g i 的素因 子那么g 7 交换，并且下列之一成立： ( 1 ) p ( c ) 交换， f ( a ) ：g 7 = z ( g ) ，c f ( c ) 循环；并且l c f ( c ) i = m ，pt m 6 两南人学顾+ 学化论文2 2 预备引理 m 标 ( 2 ) f ( a ) 交换， f ( a ) ：g 7 】= z ( g ) ，g f ( c ) 循环，并且i g f ( g ) l = m ，p = ( 3 ) i g ，i = 矿，m = p ”，r ，仳m 并且g = p a ，p s y t ( a ) ，a 交换 引理2 1 7 ( 【2 定理5 2 3 ) a 是交换p 群尸的自同构组成的p t 一群，那么 p = c p ( a ) fp ，a 引理2 1 8 p 一群的每个非主的不可约特征标都是m o n o l i t h 特征标 证明1 a x i r r ( g ) 有z ( a h e r x ) ，此时有循环，故x 足m o n o l i t h 特征 口 引理2 1 9 ( 2 】定理5 4 6 ) 设c 是p 群尸的超特殊子群，【只q z ( g ) ，则 p = c q ( c ) ， 引理2 2 0 若筇是超特殊2 一群p 的非a b e l 子群，则纾是超特殊2 群， 或者口= s a ，其中s 是超特殊2 一群，a 是a b e l 群，且限a 】= 1 ) 证明因日非a b e l ，故存在z ，y h 使得k ，y 】= z 1 ，z 2 ，y 2 ，z 4 = y 4 = 1 ，故s = 是超特殊2 群，z ( s ) = z ( p ) = ，【p 翻 p ，= z ( p ) = z ( s ) ，由引理2 1 9 ，p = s ( s ) ，于是h = 9 ( s ) ，记a = 铅( s ) ，则【sa 】= 1 如果a 足a b e l 群，则结论已得如果4 非a b e l ，则 a 7 p 7 = z ( 尸) ，因此z ( p ) = a 7 z ( a ) = ，a z ( a ) 是初等a b e l 群：a 是超特殊2 群，h = s a 是两个超特殊2 群的中心积，何是超特殊2 群 口 7 两南人学硕+ 学化论文笫3 章恰含两个1 i ：线件m o n o l i t h 特征标的有限群 3恰含两个非线性m o n o l i t h 特征标的有限群 定理3 1 群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，则g 可解 证明设 1 ) n 为g 的任- - j e 规子群，x 1 ，x 2 足g 的两个非线性m o n o l i t h 特征标则若x l ，x 2 i r r ( g n ) ，由归纳可知g n 町解；若x 1 x 2 甓l r r ( g n ) ， 由引理2 1 可知，g n 是a b e l 群；若x 1 i r r ( g n ) ，x 2 茌l r r ( g n ) ，则由引理 2 2 可知g n 可解若g 存在两个及以上极小正规子群，则g 可解结论得证 故下面可设是g 的唯一极小正规子群 若x 1 ，x 2 圣l r r ( a n ) ，由引理2 1 ，g n 交换，故g 7 n ，而是g 的唯 一极小正规子群，g 非交换：故g 7 1 ) ，因此g 7 = n ：说明g 7 是g 的唯一极 小正规子群对i r r ( glg 气g 菇k e r 咖，由于g 足g 的唯一极小正规子 群：故k e r 砂= 1 ) ，咖是g 的m o n o l i t h 特征标，即g 的所有的非线性特征标都 是m o n o l i t h 特征标1 r r l ( g ) = x l ，x 2 ：因此，g 可解 若x 1 ，x 2 i r r ( g n ) ，n k e r x ln k e r x 2 而是g 的唯一极小正规子 群，故n g ，由文引理2 3 ，故n k e r x lnk e r x 2ng ，= 1 】，矛盾 若x 1 i r r ( g n ) ，x 2 萑i r r ( g n ) ，由于足g 的唯一极小正规子群， 妒i r r l ( gi ) ，砂忠实，冈此砂足m o n o l i t h 特征标故 r r l ( gln ) = x 2 若n = g ，那么g 为单群，故k e r x l = 1 ) ，而n k e r x l = 1 ) ，矛盾 若n 1 ， 故n m x 2 l r r ( gi ) ，n 菇k e r x 2 ，n m = k e r a ，对任意的g n ， 有x 2 a ( g ) = x 2 ( 9 ) a ( 9 ) x 2 ( 1 ) a ( 1 ) ，故n 菇k e r ( x 2 a ) ，x 2 a l r r ( gl ) ， x 2 a = x 2 ，故x 2 ( x ) = 0 ，z g m ， ( x 2 ) m ，( x 2 ) m 】= i g ： ，l ，所以( x 2 ) m 可约 而由引理2 4 可知，pix 2 ( 1 ) 由引理2 5 ，足可解的，故g 可解证毕 注：由文 3 证明了若l c d 仇( g ) i 3 ，则g 可解此命题已经包含了本定理 的结果，但文【3 证明应用了有限单群分类定理，而本定理在i v r l , m ( g ) l = 2 的 情形下证明更为初等：更加直接下面对本定理提供一个更为直接的证明 口 定理3 2 设群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，则g 为下列情形之一? ( 1 ) g = p xa ，p 是超特殊3 一群，a 是交换3 一补 8 两南人学硕十学f 一论义第3 章恰含两个 = 线十牛m o n o l i t h 特征标的有限群 ( 2 ) g = p a ，p 是2 一群，有正规群列p z ( p ) p 7 l ，i p 7 l = 2 ，l z ( 尸) i = 4 ，彤z ( j p ) 是初等a b e l 群，a 为交换2 一补 ( 3 ) g = 尸xa ，p 是2 一群，有正规群列p p 7 z ( p ) 1 ，且p z ( p ) 是超特殊2 一群，i p 7 i = 4 ，i z ( 尸) i = 2 ，a 为交换2 本f ( 4 ) c z ( c ) = ( m a ) 2 ，e 0 “) ) ，g 7c iz ( c ) = 1 ) ，g ，是g 的极小正规子 君手，g = g 7 p ，p s j ，z p ( z ( g ) ) ，是a b e lp 一本卜 ( 5 ) g = ( q 8x 磊) q ，其中q 8x 是h a l lq l _ 子群，且f r o b e n i u s 作用于 n = z ( q ) = q = 垂( q ) ，在孝上可迁每a ( 打r ( ) ) 孝，a 关于o u 全分 支伽l l ! lr a m i f i e d ) ( 6 ) c k 满足情形( 5 ) ，ksz ( g ) ，k f 7g ，= l 】- ( 7 ) g 有正规群列g z 1 n 【1 ) ，g z 1 = ( c 刍一1 ，e ( p 口) ) ，历x = 烈c n ) ，n 是初等a b e lg - 群1 g l = 9 6 ( g c 一1 ) ，cs6 ，g 的g ，h u a l l 子群 p r o b e n i u s 作用于，且在孝上可迁，每0 ( ，r r ( ) ) 孝，口关于q n 全分 支，其中q s y l 口( g ) 进一步，如果p = g 则q 里g ，n = z ( q ) ( 8 ) c k 满足情形( 7 ) ，k z ( g ) ，k n g = 1 ) ( 9 ) g = 日，日nk = z 1 z ( g ) ，z ( g ) ng 7 = 1 ) ，历h ：kqg ， 且日z 1 垒t 王s ( n ，2 ) ，k z l 兰( c 扣一1 ，e ( 矿) ) ( 1 0 ) g = 胃k ，z ( c ) 胃，k 1 g ，h n k = z ( g ) ，z ( c ) n c 7 = 1 ) ，日z ( c ) 兰 ( q 。一，e 咿) ) ，z ( g ) 竺( q a l ，e ( 9 6 ) ) 证明设x l ，x 2 为群g 的两个非线性m o n o l i t h 特征标，k e r x l = 脐，k e r x 2 = 假定x 1 ，x 2 都忠实，那么g 存在唯一极小正规子群：设为m 而x l ，x 2 簪 x r r ( c m ) ，由引理2 1 ，a m 交换，因此g 7 m 又由 ，的极小性，g ，= m ， 这样g ，是g 的唯一极小正规子群，故i i r r l ( g ) i = l ，r r ，m ( g ) i = 2 ，且由引理 2 6 ，g 足p 群威是一个以g 为f r o b e n i u s 核的f r o b e n i u s 群于是由引理2 7 可 知： ( a ) g 是超特殊3 - 群，g 为情形( 1 ) ( b ) g 是2 - 群，l g ，l = 2 ，i z ( g ) l = 4 ，且c z ( c ) 是初等a b e l 群，z ( c ) 循环， g 为情形( 2 ) ( c ) g = ( c 一1 ) 2 ，e ( 矿) ) ，g 为情形( 4 ) 9 两南人学硕十学化论文 第3 章恰含两个弧线件m o n o l i t h 特征标的有限群 下面不妨设x 1 不忠实，由此k 1 l ，当然g 非交换：g 7 l 首先假定g 7 为g 的极小正规子群，则由引理2 9 可知x 1 ( 1 ) = x 2 ( 1 ) 且由 引理2 8 知： ( a ) g = 尸a ，p s y l ，( g ) ，a 足g 的a b e lp 一补，这时i r r l , m ( g ) = i r r l ( g a ) ( b ) g = g 7 l 只，其中g 7 是初等a b e lp - 群，l 是g 的a b e lp 补，r 足 a b e lp - 群( p 是个固定素数) v z ( g ) 是f r o b e n i u s 群，f r o b e n i u s 核为初等a b e l p 群：且i r r l ，。( g ) = i r t i ( g z ( g ) ) 若g 满足( a ) ，g = p a ，i r r l , m ( g ) = h r l ( v a ) = i r r l ( ，) ，故p 恰有 两个维数相同的非线性不可约特征标由引理2 7 ，尸是超特殊3 - 群，或者p 是 2 一群，有正规群列尸z ( v ) p ，i 尸l = 2 ，l z ( p ) i = 4 ，且p z ( p ) 初等a b e l ， 故g 满足情形( 1 ) ，( 2 ) 若g 满足( b ) ，g = g l 尸1 ，a z ( a ) 是f r o b e n i u s 群，f r o b e n i u s 核为初 等a b e lp - 群，且，r r l ( g z ( g ) ) = l r r l ，m ( g ) = x 1 ，x 2 ) ，k 1 = 鲍= z ( g ) ，故 a z ( a ) = ( m 一1 ) 2 ，e ( 矿) ) ，满足( 4 ) 现在假定g 7 不是g 的极小正规子群设 1 1 n g 为g 的极 小正规子群，由定理1 知g 可解，故是初等a b e l 口一群由引理2 3 ，有 g ，n 所n 鲍= 【1 ) ，可知n 菇k ink 2 又故由引理2 1 ，g n 恰有一个非线性 m o n o l i t h 特征标，不妨设为x 1 那么，由引理2 2 ，g i n 的结构为： ( a ) g n = 兄日：r 是超特殊2 一群，驯是交换2 - 补； ( b ) g z ( g n ) 呈( q 。一1 ，e p 。) ) ，( g n ) 7 竺e p 。) ，( g n ) nz ( a w ) = j n 、，g i n = g l n k n ，k n s y l p ( z ( c n ) ) 若g n 满足( a ) ，则a n = r n ，这时托= h 若k 2 = 1 ) ，则初等a b e lq - 群是g 的唯一极小正规子群取h a i r r ( n ) ，令t = 如( a ) ，由c l i f f o r d 定理，有i r r ( gia ) l r r ( gln ) = x 2 ，并 且l r r ( aa ) 与i r r ( tl 入) 一一对应：故i l r r ( tla ) l = i l r r ( gl 入) i = 1 ，入g = e x 2 ，a 丁= e 妒，妒g = x 2 由引理2 1 0 ，t 是口- 群，并且中心化g 的唯一s y l o w 口子群，故r 为g 的s y l o wg - 子群此时g 的q - h a l l 子群f r o b e n i u s 地作用在 n 上由于h | n 可交换，极h n = q nxs | n 。c q 竺r xs n 1s n 是 日的q - h a l l 子群，t = q 由引理2 1 2 ，冗足广义四7 亡数群，但因冗是 超特殊2 - 群：故r 垒q 8 下面分不交换和交换两种情况讨论 1 0 两南人学顽+ 学化论丈第3 章恰含两个一仆线忡m o n o l i t h 特征标的有限群 若非a b e l ，取0 i r r l ( ) ，则每x i r r ( 0 a ) ，x ( 1 ) 含奇素闪子：那么x 是g 的忠实不可约特征标否则n k e 7 x ，x 1 7 甲( g n ) ，而c x 的非线性 刁i 可约特征标维数均为2 的方幂，矛盾由于g 有唯一极小i e 规子群，则 x i r r l ，仇( g ) 记t = 如( p ) 若丁口，则由引理2 1 3 ，0 可以扩张到丁设妒 是0 到丁的扩张，由引理2 1 4 ，取1 7 l r r ( 7 b ) 有p 妒l r r ( t ) 这样根据 弓i 理2 1 5 ，妒g ，( p ) g i t r ( g ) ，而妒g ，( p 妒) g r r l , m ( g ) ，因此i h 。 l , r n ( g ) j 3 ， 矛盾所以t = h ，x = 0 g r r l , m ( g ) 即对每0 l r r l ( ) 都有0 g = x 2 ，因此 c d ( h ) = 1 ，疗( 1 ) ) 由引2 1 6 ，h 或者幂零或者f ( 仃) a b e l 且驯f ( ) 循环 如果幂零，由于j 7 、，是g 的唯一极d , i e 规子群：故= q 足口群；冈为否 则日的每g ，- s y l o w 子群也含g 的极小正规子群，矛盾此时g = q 8kq 得情 形( 5 ) 一 如果f ( 日) a b e l 且驯f ( ) 循环：这时qa b e l 由引理2 1 1 ，q = n ，s n 垒 h q ，s n 循环此时，g = ( q 8xz r m ) ，得情形( 5 ) 若ha b e l ，由引理2 1 7 ，h = c h ( p ) 【p i - i ，但是g 有唯一极小正规 子群，故【p 日】= 1 ) 或( 切( p ) = l 若 p h = 【1 ) ，则g pxh 因g 有唯一极小正规子群，故n 只n h ，pnh 1 ，矛盾故 c h ( p ) = _ 1 ) ；h = 【pi - i 下面断言人b ( 尸) = p 因为g ( p ) = d p ， d 日， 尸，d hn 尸= 1 ) ，d ( 尸) = t l ，囚此g ( 尸) = p 超特殊2 群p 的2 阶中心z 作用于奇阶a b e l 群日，有= c h ( z ) x z ，仃 ( z ) ， z ，h 塑g ：故 z ，h = 1 ，或c h ( z ) = 1 若 z ，h = t l ：则z 与 都是g 的极d , i e 规子群，矛盾因此铅( z ) = 1 ) 这样z 的生成元，不妨 记为z ：在g 中共轭长度为i g ：c a ( z ) i = i 胃l ，同样g 的s y l o w 2 予群p 的共轭 个数也是i g ：n a ( p ) l = 1 日i ，注意到j p 是超特殊2 群：恰含一个2 阶元，这样 pnp g = 1 ，当且仅当9 g p 冈此g 是f r o b e n i u s 群，p 是p r o b e n i u s 补， 是l ： r o b e n i u s 核再利用引理2 1 2 ，尸是循环群或为广义四元数群，但由于p 同时又足超特殊2 群，因此p 是8 阶四元数群，b 呈e ( 3 2 ) ，g = ( q 8 ：e ( 3 2 ) ) 得 情形( 5 ) 下面假定虬 1 ) 若m ，那么x 1 ，x 2 1 r r ( c 虬) ，x 2 是g 的 忠实特征标注意到n ，e 2 竺( g m ) 垒 e ( q 6 ) ，尼s y l 。( z ( g m ) ) 由于第一种情况我们前面已经讨论过了，所以，此时 g m = ( l 2ke 2 ) 恳，为方便记法，我们记前面的g n = ( l 1ke 1 ) p a ，e 1 = ( g n ) 7 垒e ( p o ) ，故g = g ( nnm ) 焉( l 1 l 2p ( e x 易) ( rxp 2 ) ，且 p 1x 恳z ( g ) ，g z ( c ) 焉( 哆一1 ，e ( p o ) ) ( 一l ，e ( g b ) ) 因为( c 一1 ，e ( p 。) ) 的非a b e l 子群还足以初等a b e lp - 群为核，循环子群为补的f r o b e n i u s 群 ( ，1 ，e ( p 一) ) ，故得情形( 1 0 ) 定理证完 口 1 3 两南人学颁十学伊论文 第4 章定理的充分件证明 4 定理的充分性证明 定理4 1 设群g 恰有两个非线性m o n o l i t h 特征标，则当且仅当g 为下列 情形之一? (