（基础数学专业论文）一类非线性变分包含解的研究.pdf

论文题目：一类非线性变分包含解的研究 学科专业：基础数学 学位申请人：虞懿 指导老师：曾六川教授 摘要 变分不等式是非线性分析理论中的一个重要组成部分，而变分包含是变分不等式的 重要推广形式本文研究了b a n a c h 空间中非线性变分包含解的若干问题，主要讨论了 非线性变分包含问题解的存在性，唯一性，算法的收敛性，解的迭代逼近本文所得结果 是对最近许多相关结果的改进和发展 全文共分为四章第一章介绍非线性变分包含问题的一些相关背景及本文的主要工 作第二章讨论b a n a c h 空间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近第三章研究一 类圣伪压缩型变分包含的i s h i k a w a ：迭代序列的收敛性第四章分析广义m 一增生映象的变 分包含系统解的迭代算法 关键词：变分包含；伪压缩映象；带误差的i s h 她w a 迭代程序；强收敛性；广义m 一增生映象； 预解算子 t i t l e ：t h es t u d yo fs o l u t i o n st on o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：y uy i t u t o r ：p r o f e s s o rz e n gl i u c h u a n a b s t r a c t v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi sa l li m p o r t a n tp a r to fn o n l i n e a ra n a l y s i st h e o r y , a n dv a r i a t i o n a l i n c l u s i o n sa r ek e yg e n e r a l i z a t i o n so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s t h ep u r p o s eo ft h ep a p e ri st o d i s c u s st h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，c o n v e r g e n c eo fa l g o r i t h m s ，a n di t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o no f s o l u t i o n st on o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o np r o b l e m s t h er e s u l t sp r e s e n t e di nt h i sp a p e r i m p r o v ea n de x t e n ds o m ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t s t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rc h a p t e r s n o ww ew i l ld e s c r i b et h e mb r i e f l yo n eb yo n e i nc h a p t e rl ，w er e c a l lt h eh i s t o r ya n di n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d so ft h er e s e a r c ho n n o n l i n e a rv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sa n dt h em a i nw o r ko ft h i st h e s i s i nc h a p t e r2 ，w es t u d yac l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t hp s e u d o c o n t r a c t i o nt y p e t h e c o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h ei s h i k a w ai t e r a t i v ep r o c e d u r ew i t he r r o r sf o rf i n d i n gs o l u t i o n st o t h i sc l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si sp r e s e n t e di nar e a lr e f l e c t i v eb a n a c hs p a c e i nc h a p t e r3 w ed i s c u s sac l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t h 圣一p s e u d o c o n t r a c t i o nt y p e t h ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so ft h ei s h i k a w ai t e r a t i v ep r o c e d u r ew i t he r r o r sf o rf i n d i n gs o l u t i o n s t ot h i sc l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n si sp r e s e n t e di nar e a lp - u n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e t h er e s u l t si m p r o v ea n dd e v e l o pt h ee a r l i e ra n dr e c e n tc o r r e s p o n d i n go n e si nt h el i t e r a t u r e i nt h el a s tc h a p t e r ，i nb a n a c hs p a c e ，b yu s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，w ea n a l y s ean e ws y s t e mo fs e t v a l u e dm i x e dq u a s i - v a r i a t i o n a n - l i k ei n c l u s i o n si n v o l i n gg e n e r a l i z e d m a c c r e t i v em a p p i n g sa n dc o n s t r u c ts o m ea l g o r i t h m sf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o no ft h i s c l a s so fv a r i a t i o n a li n c l u s i o n sw i t hg e n e r a l i z e dm - a c c r e t i v em a p p i n g s k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a li n c l u s i o n ；p s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g ；i s h i k a w ai t e r a t i v ep r o - c e d u r ew i t he r r o r s ；s t r o n gc o n v e r g e n c e ；g e n e r a l i z e dm - a c c r e t i v em a p p i n g ；r e s o l v e n to p e r - a t o r s 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或 机构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和 所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 作者签名：虚铭、 日期：硼肌支y 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其它手 段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 作者签名：夔懿、 导师签名：亏? 、l j l 日期：弘l o r z f 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 第一章前言 1 1 非线性变分包含问题的发展扼要 自上世纪五、六十年代以来，以非线性为特征的分支学科逐渐发展成一门综合性学 耻非线性科学，它是一门研究非线性现象共性的基础学科，几乎涉及自然科学和社会 科学的各个领域，因此非线性科学的研究具有重要的理论与应用价值 变分不等式及与其相关的k k m 理论、k yf a n 极大极小不等式理论和相补问题理论 是当今非线性分析的重要组成部分自2 0 世纪6 0 年代，l i o n s ，b r o w d e r ，s t a m p a c c h i a ，k y f a n ，l e m d e ，c o t t l e ，d a n t z i g 等人提出和创立变分不等式和相补问题的基本理论以来，经 过许多数学家的杰出工作，变分不等式及其相关问题的理论及应用取得重要进展，同臻 完善，已成为- - i 、 内容十分丰富并有广阔应用前景的重要的边缘性学科 变分不等式理论作为当今非线性分析理论的重要组成部分之一，在力学、微分方程、 控制论、数理经济、对策理论、优化理论、非线性规划、交通和工程科学、社会和经济模 型等领域有着较为广泛的应用近年来，变分不等式在采用了一些新的方法和技巧后，已 从不同的方向得以推广和发展，而变分包含就是变分不等式之一重要而有用的推广如 今，在非线性科学领域中，非线性算子理论作为非线性分析的基础理论和基本工具，已经 成为现代数学的一个重要分支，并且在数学其它分支中发挥着愈来愈重要的作用由于 大量的实际问题都与非线性算子方程有着密切的联系，所以研究非线性算子逼近理论有 着重要的理论意义和应用价值毫无疑问，作为非线性算子逼近理论的一个重要分支，非 线性变分包含的研究具有更加重要的现实意义 2 0 世纪中叶，在b r o w d e r 等人提出著名的不动点定理之后，不动点理论成为研究各 类方程问题的重要工具随后，不动点理论作为非线性泛函分析中发展最为迅速的学科， 其内容同趋完善，并且已成为非线性泛函分析理论中的重要组成部分非线性变分包含 是变分不等式的重要推广形式，同时也与不动点理论有着密切的联系 上世纪六十年代，数学家研究了如下问题：设k 是舻中之一有界闭凸集，b ：k _ 1 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 舻是一连续映象求u k 使得 ( b ( ) ，t ，一乱) o ，v 口k( 1 1 ) 这一类变分不等式称为h a r t m a n - s t a m p a c c h i a 变分不等式它是h a r t m a n ，s t a m p a c c h i a 在 创立变分不等式理论时，所研究的第一个变分不等式3 3 这一变分不等式与最优化理论 和微分方程联系紧密近年来，这一变分不等式已被多方面推广 紧接着，f 扫b r o w d e r 首先研究删了如下问题：设e 是一局部凸的h a u s d o r f f 拓扑向量空 间，k 是b 之一紧凸子集，t ：k e 是一连续映象，其中驴是e 的对偶空间求u k 使 得 ( t ( 乱) ， 一u ) o ，v u 托( 1 2 ) 其中( ，) 是e 与e 问的配对这一类变分不等式称为b r o w d e r 变分不等式，也可视为h a r t m a n - s t a m p a c c h i a 变分不等式的改进和推广 随后，p a r i d e - s e n a 5 1 首先提出和研究了似变分不等式，此不等式与凸数学规划中的 某些问题紧密相关然后，一些学者研究了拟一惧变分不等式它是似变分不等式的推广， 而且紧密地与非线性规划及鞍点理论相联系它在c h a n g 3 6 , a t ， 鹬1 ，w u 3 9 , 4 0 1 ，d i n g a , 4 1 】， l i n - p a r k 4 2 1 等中讨论过此后出现了一类隐变分不等式，它首先由k yf a n 4 3 】和m o s c o 提 出和研究，w u - y u a l l 4 5 】作了进一步研究这类变分不等式与数学经济中的限制平衡问题 紧密相关 设日是- - h i l b e r t 空间，c ( 日) 是日中的非空紧集族设t ，y ：日一c ( ) 是二多值映象， g ：日一日是一单值映象设a ( ，) ：h 珂一日关于第一变量是一极大单调映象对给定 的非线性映象( ，) ：日h 一日，求u h ，w t ( u ) ，”y m ) ，使得 0 g ( w ，y ) + 月( 9 ( “) ，“)( 1 3 ) 这类问题称为集值拟变分包含它最先k b n o o r l 4 6 , 4 7 】引入和研究，后来在c h a n g l 5 1 被推广 到b a n a c h 空间这类变分包含是变分不等式的重要而有用的推广，它在力学、经济学和 结构分析等领域有重要的应用， 上世纪九十年代中期，首先由h a u s s o u n i 、m o u d a f i 、k a z m i 、丁协平等学者在h i l b e r t 空间中，引入了这样的变分包含问题：设日是实h i l b e r t 空间，d ( t ) 和n ( t ) 分别表示映 2 上海师范人学硕士学位论文 第一章前言 象t 的定义域和值域设t ，a ：h h 和g ：h _ h 是三个映象，而妒o h _ r u + o 。) 为一真凸下半连续泛函对给定的，e 求u e 使得 i 三：二三：口一夕。u ，妒。9 。札，一妒。u ，v 口三 c 1 4 ， 1 9 9 9 年，张石生【1 】将问题( 1 4 ) 推广到一致光滑的实b a n a c h 空间中，研究了如下变 分包含问题：设x 是实b a n a c h 空间，x 表示x 的拓扑对偶空间，( ，) 表示x 和r 问 的配对，d ( t ) 和r ( t ) 分别表示映象t 的定义域和值域设t ，a ：x _ x 和g ：x _ r 是三个映象，而妒：x 。_ ru + o 。】为一真凸下半连续泛函对给定的，五求乱五 ；：；二三：，v 一9 。u ，妒。9 。乱，一妒。u ，v 口r ， c 1 5 ， 其中a 妒表示妒的次微分 2 0 0 4 年，曾六川1 1 2 】将变分包含问题( 1 5 ) 进行了推广，考虑了下面变分包含问题：设 丁，a ：x 一五( ，) ：x x _ x 和g ：x r 是四个映象，而妒：x + _ ru + ) 为 f g ( u ) ed p 儿 ( 1 6 ) 1 ( ( t u , a u ) 叱t ，- g ( u ) ) 划删刊吐v 口r ， m 其中a 妒表示妒的次微分 2 0 0 8 年，谷峰【1 3 】对变分包含问题( 1 6 ) 再次进行了推广，研究了b a n a c h 空间中新的 变分包含问题：设t ，a ：x _ 五( ，) ：x x _ 五g ：x _ r 和叩：x + r r 是 五个映象，而妒：x + _ ru + 。 为一真凸下半连续泛函对给定的，五求u 五 f 9 ( u ) 。( 妒) ， ( 1 7 ) 1 i n ( t u , a u ) 。咖顽u ) ) ) 刈删刊吐v 口r ， u 其中岛妒表示妒的7 7 一次微分 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 上世纪九十年代初以来，变分包含理论已成为变分不等式的一个重要组成部分如 今，变分包含的思想、方法和技巧以具体或一般的形式被应用于纯科学和应用科学中的 许多非线性问题 1 2 本文工作概论 在本文的第二章中，受张石生【1 ，2 一，曾六) 1 1 1 1 2 ，谷峰【1 3 】等教授的影响和启发，我们在 实的自反b a n a c h 空间的框架下，研究了当变分包含问题( 1 7 ) 中的映象能复合成伪压缩型 算子时，用于寻求这类变分包含问题解的带误差的i s h i k a w a 迭代程序的收敛性所得结 果改进，补充和发展了已有的相应结果【1 - - 1 01 2 - 1 3 其主要结果如下： 定理1 2 1 设x 是一实的自反b a n a c h 空间，t ，a ：x _ x ，( ) ：x x _ x ，g ： x _ x + 是四个连续的映象，妒：x + _ ru + 。o ) 是具有连续的g a t e a u x 微分a 咿的泛函， 且满足下面的条件： ( i ) 映象，( ) 一( t ( ) ，a ( ) ) 一a 妒。夕( ) ：x _ x 是伪压缩算子； ( i i ) 映象zhn ( x ，y ) 关于t 是# - l i p s c h i t z 连续的，映象yhg ( x ，可) 关于a 是- l i p s c h i t z 连 续的； ( i i i ) a 妒og ：x _ x 是( - l i p s c h i t z 连续的 设 ) 箍o ， 风) 器。是 o ，1 】中的序列， ) 箍o ， ) 罂。是x 中的序列，满足下列条件： ( i v ) 甚o 2 。； ( v ) ：oq n 风 o o ； 何) 墨o | i 扎竹i i o o ，器oa n l 扣n f f o o 对任给的厂x ，定义映象s ：x _ x 如下：s z = 厂一( t z ，m x ) 一a 妒( 9 ( z ) ) + z ，v z x 对任给的x o x ，由下列带误差的i s h i k a w a 迭代程序定义序列 z n ) ： 1 2 ( 卜q n ) z 竹+ q n s + ， ( 1 2 1 ) i蜘= ( 1 一风) z 。+ 风s z n + v n ， v n 0 假定序列 z n ) 有界，且变分包含( 1 7 ) 有解，并记其解集为仃，则下列结论成立： ( 1 ) 对每个矿口，l i i 。i l 一z + l | 存在； ( 2 ) l i n k 。d ( x n ，力) 存在，其中，d ( x n ，力) = i n f p 力i l z n p 1 1 定理1 2 2 设x 是一实的自反b a n a c h 空问，t ，a ：x x ，( ，) ：x x _ x ，g ： 上海师范大学硕上学位论文 第一章前言 x _ x + 是四个连续的映象，妒：x + 一ru + o o ) 是具有连续i 拘g a t e a u x 微分a 妒的泛函 假定定理1 2 1 中的条件( i ) 一( v i ) 成立，且由( 1 2 1 ) 定义的序y u z n ) 有界，则 z n ) 强收敛到变 分包含( 1 7 ) 的一个解当且仅当，l i mi n f 竹- + o 。d ( x n ，力) = o 且l i i 。o 。l l s z n z n | i = 0 在本文的第三章中，受谷峰 1 3 ，1 8 ，o s i l i k e 1 引，汪志日y j 2 9 , 3 0 ，薛志群【3 1 】等学者的影响与 启发，在实的矿一致光滑b a n a c h 空间中，给出了用于寻求这类变分包含问题解的带误差 的i s h i k a w a 迭代程序的收敛性分析主要结果如下： 定理1 2 3 设l p 2 ，x 是实p 一致光滑b a n a c h 空间，t ，a ：x - x ，( ，) ： x x _ x ，g ：x _ x ，7 7 ：x + xx + _ x 是五个连续的映象，而妒：x + _ r u + 。) 是 一具有咿次微分岛妒的真凸泛函，且满足下面的条件： ( i ) 映象h ) 一( t ( ) ，a ( ) ) 一岛妒o9 ( ) ：x _ x 是p 幂一西伪压缩算子； ( i i ) 映象zhg ( x ，秒) 关于t 是p l i p s c h i t z l - 奎续的，映象yhn ( z ，y ) 关于a 是- l i p s c h i t z 连 续的； ( i i i ) 岛妒og ：x _ x 是广义 一l i p s c h i t z 连续的 设 q 。) 器o ， 风) 是。是 o ，1 】中的序列，【u n ) 罢o ， ) 黯。是x 中的有界序列，满足下列 条件： ( i v ) 醒 c o ；q 。熙_ 1 ， ) 又) ， ) ， 砜) 又靠) ， ) ， 蟊) 和1 磊) 9 1 ( + 1 ) = ( 卜q ) 夕l ( ) 佃群一t ? ( g l ( ) 怕，l ( s 卜n l ( 肌刎( 1 2 5 ) i9 2 ( + 1 ) = ( 1 一a ) 9 2 ( ) 十a 辔 帆( 夕2 ( ) + p 2 止( 磊) 一p 2 2 ( u n ，乳，磊) ) p 叫 6 21 面 u 口 仇 仍 ，i，i、 帆尥 + + 力动 玑 一玑 z z 钉 u m 飓 曲动 止 ，、l 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 w n m ( ) ：| i + 1 一w n | l k 打( 帆u 州) ，m ( ) ) 8 n & u n ) oi i s l s n i l k 日( 最( u n + 1 ) ，岛( 秕n ) ) x n a l ( u n ) ：i i x n + 1 一z 。i j a n h ( a i ( u n + 1 ) ，a i ( u n ) ) m ( 乱。) ：i i + 1 一i i k h ( m ( 乱n + 1 ) ，mu n ) ) 磊( “n ) ：i i 锄+ l 一i i k h ( z l ( 缸竹+ 1 ) ，z 1 ( u n ) ) ( 1 2 6 ) 砚( ) ：| j 砚+ 1 一矾| | k h ( w 2 ( v + 1 ) ，) ) 晶( ) ：l i 晶+ 1 一晶i i k h ( ( + 1 ) ，岛( ) ) 牙n a 2 ( v , ) ：l i 牙n + 1 一牙n i | a n 日( a 2 ( t + 1 ) ，a 2 ( v n ) ) 吼k ( ) ：i l 孔+ 1 一孔i | k ( k ( + 1 ) ，v n ) ) 磊z 2 ( ) ：i i 磊+ 1 一磊| i k 日( 历( u 卅1 ) ，汤( ) ) 这里的t t 0 ，k 1 算法2 2 对给定的p 1 ，p 2 0 ，选取( u o ，v 0 ) x x ，w 0 m ( 乱o ) ，8 0 s 1 ( 仳o ) ，x 0 a 1 ( 钍o ) ， y o y 1 ( 乱o ) ，z o z 1 ( u o ) ，面o w 2 ( ) ，昴( 咖) ，孟o a 2 ( v o ) ，蜘蚝( 伽) ，而磊( u o ) 由 如下的迭代来构造序列 ) ，w 。) s 。) ， z n ) ， ) ，【锄) ， ) ， 砜) ， 晶) ， ) ， 乳) 和 磊) iu 竹+ 1 = ( 1 一p ) + p h g l ( ) + 瑶1 ，( 9 1 ( ) + p l ，l ( s n ) 一p l n l ( ，z 竹，z 住) ) 】 iv n + 1 = ( 1 一矽) + 届h 一9 2 ( ) + 辔( 。) ，l y 一2 h ln 、+ 比如( 瓢) 一p 2 2 ( ，蟊，磊) ) 】 、 ( 1 2 7 ) 这里的 t d n ) s 。) ， z 。) ， ) - ， ) ， 蛾) ， 孔) ， ) ， 乳) 和 磊) 满足( 1 2 6 ) 式且n 0 ， a n 1 定理1 2 4 设x 是实的b a n a c h 空间，对每一z 1 ，2 ) ，五：x _ x 足以一l i p s c h i t z 连续 的，吼：x _ x 是死一强增生和c i l i p s c h i t z 连续的，仇( ，) ：x x _ x 是瓯一强单调和k i l i p s c h i t z 连续的，非线性映射m ( ，) ：x x x x _ x 分别关于第一，第二，第 三和第四变量是矗1 ，已2 ，矗3 ，白一l i p s c h i t z 连续的又设集值映象睨，& ，a ，m ，五：x _ c b ( x ) 是分别具常数仇，忱，胁，耽，砒的h l i p s c h i t z 连续映象，坛( ，) ：x x _ 2 x 关于 第一变元是广义m - 增生且吼( x ) nd 帆( 坛( ，) ) 囝的映象，若存在m 0 ，使得 z 磐( + 动( z ) 一z 妒，可( z ) i i 1 , l l x 一可j l ，比，y x ( 1 2 8 ) 7 如果， a = 0 ：= a = 0 = 一a ) c l + q 【a y l p l + 鲁( c l + 入j d l d l 妒1 ) + 入p 1 鲁( p l 1 2 + 1 3 + 妒1 1 4 ) 】) ， 馨m a ) c 2 + a 【入仇如+ 警( c 2 + a p 2 d 2 妒2 ) + 入成( p 2 2 + 屹已3 + 如巳4 ) 】) ， 笔已， 0 x = m a x i + 0 ，人+ e ) 0 ，使得 如果， 8 刀，( ( z ) 一z 挚可( z ) l l m l l z 一1 1 ，v z ，y x ( 1 2 1 0 ) m 叩m 却 压压压压 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 t = 1 一卢+ 纠( 1 一g n + c g c 口) 言+ a 7 1 口1 + 鲁( c 1 + 入p l d l 妒1 ) + a p l 鲁( p 1 1 2 + v 1 1 3 + 妒1 1 4 ) 】) ， r = 励l 等f f = l 一矽+ 矽【( 1 一g 丁2 + c g 递) + a 0 ，2 0 2 + 警( c 2 + a p 2 d 2 p 2 ) + a p 2 警( 肛2 已2 + 1 1 2 2 3 + 矽2 已4 ) 】) ， r = p p 2 警l ， 0 o 使得， 对任给的y 1 ，y 2 x ，有 n ( t x ，可1 ) 一n ( t x ，耽) l l p i 陌1 一抛i l ， v z x g l 理2 1 1 1 3 设 n 。) 器o ， 6 。) 县。及 是。是非负实数列，且满足不等式 a n + l ( 1 + a 。+ a n ， v n20 如果黑ob n 。且墨oa n ，则l i m n _ a n 存在另外，当 t a n l j n = o 有一个子列收敛 到零时， l i ma n = 0 r t - - * o o 引理2 1 2 1 1 】设x 是一实b a n a c h _ 空一i s j ，3 ：x 一2 x 是正规对偶映象，则对任给的z ，y x ，下列不等式成立： z 4 - 可1 1 2 i i x l l 24 - 2 ( 可，j ( x - 4 - y ) ) ，v d ( x + y ) j ( z + y ) 引理2 1 3 1 2 设x 是一实的自反b a n a c h 空间，则下列结论等价： ( i ) x + x 是变分包含问题( 1 6 ) 的解； ( i i ) 矿x 是映象s ：x 一2 x ：s ( x ) = ，一( n ( t x ，a x ) 4 - a 妒( 9 ( z ) ) ) + z 的不动点； ( i i i ) z + x 是方程f n ( t x ，a x ) + a 妒( 9 ( z ) ) 的解 1 1 第二章b a n a c h 宅间中一类伪压缩型变分包含问题解的迭代逼近上海师范大学硕士学位论文 2 2 主要结果 定理2 2 1 设x 是一实的自反b a j n a c h 空间，t ，a ：x 叶x ，( ，) ：x x _ x ，g ： x _ x + 是四个连续的映象，妒：x + _ 冗u + o 。) 是具有连续的g f i t e a u x 微分o ( i o n k n ， 且满足下面的条件： ( i ) 映象，( ) 一( t ( ) ，a ( ) ) 一a 妒o9 ( ) ：x _ x 是伪压缩算子； ( i i ) 映象zhl v ( x ，y ) 关于t 是u - l i p s c h i t z 连续的，映象yhn ( x ，可) 关于a 是- l i p s c h i t z 连 续的； ( i i i ) a 妒og ：x _ x 是( 一l i p s c h i t z 连续的 设 ) 巽o ， 风) 器。是【o ，1 】中的序列， ) 罢o ，【) 器。是x 中的序列，满足下列条件： ( i v ) 是o 2 o 。； ( v ) n o o ：o q n 尻 o o ； ( v i ) 墨oi l u n | i 互1 ，v n n o 因此，由( 2 2 9 ) 即 知，对切7 7 , n 0 有 x n + l z + | 1 2 号三象芋i l z n z j 1 2 + r 蓦石q 忆风+ r ：茜a i + 掣q 非n l l + i | 畿慨i i ( 2 2 1 0 ) ( 1 + 2 q ：) i z 竹一z + 1 1 2 + 2 6 q n 风+ 2 7 口： + 4 m ( 1 + ) a 。( i | u 。| | + i i v 。1 1 ) + 4 m l l u n l l 令a n = l i 一z + j 1 2 ，k = 2 q i ，c n = 2 6 a n 风+ 2 7 q i + 4 m ( 1 + h ) a 。( i i i i + i i l i ) + 4 m 0 u 。i | 则由( 2 2 1 0 ) 即得 a n + l ( 1 + k ) + ， v n n o 由于条件( i v ) 一( v i ) 成立，所以，甚加b n ，墨n 。 。o 于是，据引理2 1 1 ，l i i _ + 存在，即，对每个z + 口，l i m 竹。o 。| i z 。一z + | i 存在 下证，l i m n 。d ( x 住，仃) 存在，其中，d ( x 竹，仃) = i n f p 仃l l z n 一硎 事实上，由( 2 2 1 0 ) 即得 【d ( x n + 1 ，力) 】2 ( 1 + 6 n ) d ( z n ，仃) 】2 + c n ， v n 佗o 于是，据引理2 1 1 ，即知l i 珏k 。o d ( x n