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哈尔滨理i 。大学f 甲学硕十学位论文 可变恒等式条件下的环的交换性条件 摘要 环论作为一门重要的代数学科是代数几何和代数数论的基础，有许多其 它相关学科领域都涉及到环。随着科学和技术的不断发展，环理论进展越来 越精确和完善，并且环的初步结果已在实践中得到应用。交换性是环的重要 性质之一，交换性的研究有助于其它性质的探讨。同时，交换代数本质上是 研究交换环的。这就使得有关环的交换性的研究变得很重要。 本文对k o t h e 半单纯环、半质环及一般环进行了研究，在某些特殊环的 交换性方面取得了进一步的结果，并得到了一些新的结论。 全文共分三部分，主要工作如下： 第一章阐述了课题背景和目的、意义、国内外研究现状及本文的主要内 容。 第二章首先给出了本文所涉及到的概念及相关定理。其次，通过对h e r s t e i n 定理的进一步研究，提出并严格地证明了一个一般环的交换性条件， 进而义将其推广为另一个结论。 本章的概念及结论为后面各章的证明打下了基础。 第三章主要讨论了满足可变恒等式的半单纯环的交换性条件。其中包含 四个结论。这是本文的主体部分。 本章首先对正整数m ，n 进行了讨论，提出并证明了半质环及k o t h e 半 单纯环的几个交换性条件；其次，又推广了两个半质环的交换性条件；最 后，本章通过对具有强e 性质的环进行讨论，推广了一个k o t h e 半单纯环 的交换性条件。 关键词半质环；强最- 性质；质环；交换性 哈尔滨理l ：人学理学硕 ：学位论文 c o m m u t a t i v qm d i t i o n so f 。w i t hv a r i a b l e o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so tr l n g sw i t l lv a r l ad i e i d e n t i c a le q u a t i o n a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n ta l g e b r a i cs u b je c t ，r i n g sa r et h eb a s eo na l g e b r a i cg e o m e t r y a n da l g e b r a i cn u m b e rt h e o r y r i n g sa r ec o n c e r n e da b o u tm a n yo t h e rs u b j e c t s w i t hd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h e o r yi nr i n g si si n c r e a s i n g l y a c c u r a t ea n dp e r f e c t r e l i m i n a r yr e s u l t so fr i n g sh a v eb e e na p p l i e di np r a c t i c e c o n s e q u e n c e l y ，p r o p e r t yo fr i n g si sn e e d e dt oi n v e s t i g a t e c o m m u t a t i v i t yi so n e o fi m p o r t a n tp r o p e r t i e si nt i n g s s t u d yo fc o m m u t a t i v i t yi sb e n e f i c i a lt o d i s c u s s i o no fo t h e rp r o p e r t i e so nt i n g s a tt h es a m et i m e ，c o m m u t a t i v et i n g sa r e s t u d i e di nc o m m u t a t i v ea l g e b r a t h e r e f o r e ，s t u d yo fc o m m u t a t i v i t yo ft i n g s b e c o m em o r ea n dm o r ei m p o r t a n t w eg e ts o m en e wr e s u l t so nc o m m u t a t i v i t yo fr i n g sb ys t u d y i n gt h ek o t h e s e m i - s i m p l er i n g ，s e m i - p r i m er i n ga n da r b i t r a r yr i n g w eg e ts o m e f u r t h e r c o n c l u s i o n so na s p e c t so fp a t i c u l a rr i n g sa n dg a i ns o m en e wc o n c l u s i o n s i tc o n s i s t so ft h e r ep a r t s t h em a i nr e s u l t si nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w i n g ： i nt h ef i r s tc h a p t e rs h o wt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h et h e o r i e s ，t h e i n t e r n a la n de x t e r n a la c t u a l i t ya n dd e s c r i b et h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i ti s r e a d yf o rt h ef o l l o w i n gt od r a w i n gs e v e r a lc o n c l u s i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , f i r s t ，ig i v es o m ec o n c e p t i o n sa n dc o n c l u s i o n sw h i c h a r er e l a t i v et ot h i sp a p e r s e c o n d ，ip u tf o r w a r d a n ds t r i c t l y p r o v e do n e c o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fa r b i t r a r yr i n ga r eg i v e nb ys t u d y i n gt h eh e r s t e i n t h e o r e ma n dg e taf u r t h e rc o n c l u s i o nb a s e do ni t i nt h et h i r dc h a p t e r , is t u d yc o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fr i n g sw i t hv a r i a b l e i d e n t i c a le q u a t i o n i tc o n s i s t so ff o u rc o n c l u s i o n s t h i si st h em a i np a r to ft h i s p a p e r i nt h i sc h a p t e r ，f i r s t ，it a l k da b o u tt w op o s i t i v ei n t e g e r sm a n d 刀，p u tf o r w a r d a n dp r o v e ds o m ec o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fs e m i p r i m er i n ga n dk o t h es e m i - s i m p l er i n g s e c o n d ，ie x t e n d e dt w oc o m m u t a t i v ec o n d i t i o n so fs e m i p r i m er i n g 哈尔滨理t 人学理学硕十学位论文 a tl a s t ，ie x t e n d e do n ec o m m u t a t i v ec o n d i t i o no fk o t h es e m i s i m p l er i n gb y s t u d y i n gr i n g sw i t hs t r o n gc - c o n d i t i o n k e y w o r d ss e m i p r i m er i n g s ；s t r o n ge - c o n d i t i o n ；p r i m er i n g ；c o m m u t a t i v i t y 1 1 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文可变恒等式条件下的环的交换性条件， 是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成 果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文 研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全 由本人承担。 作者签名： 李笨 日期：夕多年。月口日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 可变恒等式条件下的环的交换性条件系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的 研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位 论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。 本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的 全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密留。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名： 事萍 导师签名： 铂肭 日期：汐多年0 月i o 日 日期：d 多年哆月，d 日 哈尔滨珲1 ：人学理学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的学术背景及其理论与实际意义 代数学是数学中一个重要的、基础的分支，由于人类生活、生产、技术、 科学和数学本身的需要而发生和发展，历史悠久。它在研究对象、方法和中心 问题上经历了重大的变化。交换性理论应用到代数学各部分。代数几何，代数 数论，交换代数等很多数学分支都足建立在交换环的基础之上的。证明了一类 环是交换的就可以得到关于这类环的一系列理论结果。其次，交换环是新的代 数几何的基础之一。正如微分学给微分几何提供了工具一样，交换环给代数几 何提供了完整的局部化工具。因此对环的交换性的研究对于环论及数学的其它 分支的发展是十分必要的。 1 1 1 国外发展概况 交换性的研究起源于二十世纪初，w e d d e r b u m 证明了“有限体必为域”， 从而引出了更为广泛的交换性问题。很多著名数学家投身剑这项工作中，为此 倾注了极大的热情与辛勤的汗水。j a c o b s o n ，h e r s t e i n 等著名学者在这一领域 内作出了不朽的贡献。 j a c o b s o n 1 】在1 9 4 5 年证明了“若对环r 内任意元素x ，有依赖于工的正整 数甩“) l ，使x ”。，= 工，则r 为交换环”，从而推广了著名的w e d d e r b u r n 定理。 其后，k a p l a n s k y 于1 9 5 1 年证明了：如果体k 的元x 恒满足x “”z ( 足) ，则k 为域。同年h e r s t e i n l 2 1 证明了：如果有刀 l 使环r 的元素恒满足x 4 一x z ( r ) ， 则尺是交换环。1 9 5 2 年h e r s t e i n 将其推广为忍( x ) 有界时成立，1 9 5 3 再推广成 x m ，一x z ( r ) 时r 是交换环【3 1 ，从而推广了著名的j a c o b s o n 定理，得到了j a - - c o b s o n 定理的明显推广形式。随着研究的进一步发展，h e r s t e i n l 4 1 证明了：对 任意的a r 有多项式p o ( f ) 使口2 p 。( 口) 一a z ( r ) ，则r 为交换环。其后于1 9 5 5 年将其推广f 5 】为二元形式：若对环内任意元素工，y 有依赖于x ，y 的多项式p ( f ) 使x x 2 p ( x ) 与y 可换，则尺为交换环。这就足著名的h e r s t e i n 定理。j a c o b s o n 定理和h e r s t e i n 定理是交换性领域中最重要的两大定理，是我们研究环的交换 哈尔滨理i ：人学壬甲学颂十学位论文 性这一理论最基本最重要的理论基础。 h e r s t e i n t 6 】在1 9 5 0 年证实了v a n d i v e r 的猜想而把w e d d e r b u r n 定理推广成：如果 环r 的零因子恒在中心内且每个元素恒生成有限子环，则r 为交换环。并于1 9 5 4 年把条件“零冈子恒在中心内”削弱为“诣零元素恒在中心内”。 1 9 5 7 年h e r s t e i n t 7 】证明了：环r 为交换的必要而且只要对x y r 恒有，l = 万 ( x ，y ) 1 使( x y - y x ) 州 = x y - y x 成立。 n a k a y a m a 在1 9 5 9 年应用d r a z i n 定义的n 环证明了：n 环，上一个代数r 如 果满足条件“有r 到f i x 】的映射a0p o ( x ) 使a 2 p o ( a ) 一a z ( r ) ”则尺为交换 环。 1 9 6 1 年，h e r s t e i n 8 】把j a c o b s o n 最初的x 4 = x 即交换的结果推广为：如果对 环r 有刀 l ，使x 专x “为r 到r 上的一个自同态，则尺为交换环。 e j t u l l y 曾证明了：半群s 恒满足x y = y ”，则s 为交换的。t a m u r a 于 1 9 6 9 年将其推广为：如果s 中元恒满足x y = f ( x ，y ) ，则为s 交换的。 1 9 7 2 年，g u p t a 9 1 得到有l 的结合环恒满足( x y ) 2 = ( y x ) 2 且无加法周期为2 的 元素时必为交换环。 1 9 7 3 年，a w t a r t l o 】证明了恒满足x y 2 x y x 2 y z ( r ) 的半质环必为交换环。 1 9 7 8 年，q u a d r i t 】证明了：恒满足x y 2 x + y x 2 y z ( r ) 的半质环必为交换环； 1 9 8 0 年，g u p t a 证明了：恒满足( 砂) 2 一x 2 y 2 z ( r ) 的半质环必为交换环。 1 9 7 6 年，h e r s t e i n 1 2 1 证明了：满足a m “6 6 “( 4 6 ) = b ”( 4 6 口”( 4 ，6 的k 半单环r 为交换环。 1 9 8 7 年，m o h a r r a m 1 3 】证明了：有l 的环r 中任意元素满足【叫一y ”，x 】= 0 ( m l ，n 1 ) 则r 为交换环。1 9 9 1 年，t h o m a s 1 4 l 将其推广为m ( x ，y ) 1 ，刀1 时成立。 1 9 9 3 年，t h o m a s 巧】证明了：有l 的p i 环r 中任意元素五y 恒满足 【，纠= 【x ，y ”p 或【r ，j ，】= 【x ，y ”】y 。( m 1 ) 并且m ，露互素或n i x ，y 】_ 0 可知 x ，) ，】_ 0 ，则r 为交换环。 1 9 9 6 年，t h o m a s 证明了：有1 的环r 中若存在一个加法自同构映射石， v x r ，存在整数以= n ( x ) 1 ，使得万( x ) 一x n ( x z ( r ) 则r 是交换环。 1 9 9 6 年，a s h r a fm 【16 】证明了：有l 的环r 中任意元素五y 满足： x p i x ”，y 】r = x r i x ，y ”】j ，5 或r i x ”，y x 9 = y i x ，y ”i x 7 成立，则尺为交换环。 1 9 9 8 年，a b u j a b a l t l 7 1 证明了满足【x ”，y x 7 = 少i x ，y ”】y 的半质环为交换 哈尔滨王甲i ：大学王甲学硕十学位论文 环。进而研究了有l 的环的交换性问题。 2 0 0 0 年，r o b e r t o e l 8 】证明了：无幂零元的有限环为交换环。 2 0 0 2 年，m o h a r r a m t 伸】证明了：有左( 或右) s 单位元且满足 【f ( x p y 9 ) - - x 7 y ，x 】= o ( 或 厂( z ，y 9 ) 一y x 7 ，x 】= 0 ( 厂( x ) = x 2 z x 】) 的环为交换环。 2 0 0 3 年，m o h a r r a m t 2 0 】证明了：有l 且m 扭自由的结合环r ，r ，( r ) 中 任意元满足【x ”，y ”】- 0 且 ( 砂) ”+ y ”x ”，x 】= 【( ) ”+ ，y ”，x 】- 0 则r 为交换 环。 关于环的交换性的结果还有许多，这些成果推动了这一领域的迅速发展， 掀开了交换性研究工作的崭新一页。 1 1 2 国内研究现状 我国是在7 0 年代开始进入这一领域的。几十年来，得到了许多好的结论。 为这一理论的发展作出了杰出的贡献。 1 9 8 0 年，牛凤文【2 1 1 证明了：满足( x y ) 呱五y = x y 的忌半单环为交换环，推广 了j a c o b s o n 定理。 1 9 8 2 年，郭元春 2 2 1 去掉了尽半单环这一限制同时证明了：满足 ( 叫) “w = y x 的环为交换环；满足( 砂) “w = x y 7 ( 刀 l ，1 ，2 n ，+ 1 ) 的忌 半单环为交换环；幂零元诣零指数有界的b a e r 半单纯环r 中任意元均有正整数 n ( x ，y ) l 使( x y - y x ) 巾 ，= 0 ，则r 为交换环；满足a m b 4 = 矿a ”( m ( a ，b ) ， n ( a ，6 ) 有界) 的b a e r 半单纯环为交换环等一系列结论。 1 9 8 2 年，邱琦章【2 3 】证明了满足下列条件之一的半质环为交换环： 1 )( x y ) ”，= x 8 7 夕” ，( 刀( y ) 1 ) 2 ) 】吵加x + y 4 x 2 y “z ( 尺) ，( 刀1 ) 3 ) ( x y ) 4 一r y z ( r ) ，( s ，t 中至少有一个大于1 ) 同年，邱琦章又证明了满足条件x , - l y x = y x y 卜1 ( v x ，y r ，s ，t 为同定正 整数，至少有一个大于1 ) 的半质环为交换环。 1 9 8 5 年，王崇寿2 4 1 证明了( x y ) m 川一( ) 吣 ，z ( r ) ( n ( x ，y ) 有界) 的半质 环为交换环。 哈尔滨胛l ：大学用学硕十学位论文 郭元春、邱琦章等一些学者经过多年研究得到了许多具体的结论，这一方面 完善了环的交换性理论，另一方面也使得结果过于复杂多样难于记忆和掌握。 于是对于环的交换性条件的规律性的研究成为了必要且重要的问题。 1 9 9 1 年，傅昶林【2 5 】给出了环的交换性与它所满足的多项式系数和之间的紧 密联系，从而大大简化并丰富了环的交换性条件。( 此文结论使在1 9 8 0 - - 1 9 9 0 年间美国数学评论上2 0 余篇文章中得到的近5 0 个交换性条件，均成为其例) 。 1 9 9 4 年，戴跃进【2 6 】证明了一类p i 环的交换性条件，使很多结论成为其推 论。 1 9 9 5 年，傅昶林唧、郭元春对满足可变恒等式的半质环在某种有界条件下 给出了一个判断环交换性的简便准则，并对不限界的情况也得到较为广泛的结 论。 1 9 9 7 年，郭华光【2 8 】推广了王崇寿于1 9 8 5 年得到的结论及邱琦章1 9 8 6 年的结 论，证明了半质环的多个交换性结论。 1 9 9 8 年，郭华光【2 9 】证明了满足下列条件的半质环为交换环：对v x , y r ， 存在整数j = s ( x ) l ，t = f ( x ) 1 ，( 或s = s ( y ) l ，t = t ( y ) 1 ) ，使得 x y ，x 5 y 】= o 从而推广了邱琦章的结论。 2 0 0 0 年，蔡敏刚、傅昶林证明了：半质环r 中任意元x ，y ，恒有具有t 性质的多项式f ( x ，y ) 使f ( x ，y ) z ( r ) ，则r 为交换环。 2 0 0 2 年，傅昶林【3 l 】、杨新松提出并证明了具有强e 性质的环的一个重要的 交换性定理，使五十多个已有结论成为其推论，使交换性的研究向前迈进了一 大步。2 0 0 3 年，傅昶林 3 2 】、杨新松、陈光海将h e r s t e i n 定理进行了更为深入的 推广。 2 0 0 4 年，吴伟【3 3 】对素环上的导子进行了讨论，为我们证明环的交换性提供 了一种理论方法。 2 0 0 5 年，谢中根i n 对半质环的中心元与交换性进行了深入的探讨，丰富了 交换性的理论成果。 交换性领域中虽然得到了很多结论，但还有许多未知的结论及理论等待我 们去研究和解决。 1 2 课题来源及本文的主要研究内容 本课题来源丁基础理论研究。 哈尔滨理i ：大学理学硕十学位论文 本文通过对k o t h e 半单纯环、半质环、一般环及环的中心元进行了研究， 得出结论如下： 首先，我们在研究过程中对h e r s t e i n 定理进行了变形得出结论：设尺为 环，z ( g ) 0 ) ，若v a r ，b z ( r ) 0 ) 都有依于a ，b 的整系数多项式 f ( x ，y ) ，使得 a 一厂( 口，b ) z ( r ) 其中厂不含a 的一次项，则r 为交换环。 其次，我们又对此结论进行了推广得到：设r 为环，z ( r ) 0 ，若对任 意元a ，c r ，b z ( r ) 0 ) ，都有依于a ，b ，c 的整系数多项式f ( x ，y ) ，使得 【a 一厂( 口，6 ) ，c 】= 0 其中厂不含a 的一次项，则r 为交换环。 再次，本文对正整数m ，n 进行了讨论，证明了如下两个定理： 设r 为半质环，若v x ，y r ，存在整数m = m ( y ) ，l = n ( x ，y ) l ，使得 ( 工”少) “一) 4 z ( r ) 则r 为交换环。 设r 为尽半单纯环，若v x ，y r ，存在整数m = m ( x ，j ，) ，n = n ( x ，y ) 1 ， 使得 ( x ”j ，) “一) ”z ( r ) 则r 为交换环。 由上述两个定理我们易推出如下几个定理成立： 设r 为半质环，若v x ，y r ，存在整数m = 研( j ，) ，n = n ( x ，少) l ，使得下 列条件之一成立，则r 为交换环： 1 ) ( 工”y ) 4 + x ”y z ( r ) 2 ) ( x ”j ，) “+ ) 4 z ( 尺) 3 ) ( j ”y ) 4 一x y ”z ( 尺) 设r 为半质环且z ( r ) 0 ，若v x ，y r ，存在整数m = m ( x ，y ) ，刀= n ( x ， ) ，) 1 使得下列条件之一成立，则r 为交换环： 1 ) ( x ”少) “一歹x ”z ( r ) 2 ) ( 工”少) “+ x ”y z ( 尺) 3 ) ( ，y ) ”+ 弦”z ( r ) 4 ) ( ，y ) ”一砂”z ( r ) 哈尔滨理i i 人学理学硕 学位论文 设r 为尽半单环，若v x ，y r ，存在整数m = m ( x ，y ) ，刀= n ( x ，y ) l ， 使得下列条件之一成立，则尺为交换环： 1 ) ( x ”y ) “一j ”z ( 尺) 2 ) ( 工”y ) “+ x ”y z ( 尺) 3 ) ( 工”y ) “+ y x ”z ( 尺) 4 ) ( 工”y ) ”一刁尸z ( r ) 设r 是半质环，若对v x ，y r ，存在整数s = s ( 石) 1 ，t = t ( x ) 1 ( 或 s = s ( y ) l ，t = f ( y ) 1 ) ，使得 【x y ，x y 】z ( r ) 则尺是交换环。 在本文最后，我们对具有强丘性质的环进行了讨论得到了如下结论： 若r 是一个k o t h e 半单纯环，且对v a ，b ，c r ，都存在一个正整数 k = 七( 口，b ) ，一含有工2 和疗= n ( a ，b ，c ) ( k ) 个y 的字l ( x ，y ) 及一整系数多项式 峻似y ) 使得 o t # a b 。- f ，( a ，6 ) 纯( 口，6 ) ，c 】z ( r ) 哈尔滨理j i ：大学卵学硕十学位论文 2 1 预备知识 第2 章一般环的交换性条件 2 1 1 定义及定理 定义2 1 1 ：假如尺足环，是它的子环，如果对于口n ，r ，我们就 有r a ( a r ) n ，那么就叫做尺的左( 右) 理想。假如是环尺的左理想同时 又是环r 的右理想，也就是说，当a n ，厂r 时，r a ，a r n ，我们就 叫为r 的理想。 定义2 1 2 ：设p 是环r 的理想，对r 中任意两个理想a 、b ，如果它们的 积a b 兰o ( p ) ，我们就有a 三o ( p ) 或曰兰0 ( p ) ，那么p 叫做r 的质理想。 定义2 1 3 ：若环r 的零理想足质理想则称r 为质环。 定义2 1 4 ：设q 足环尺的理想，对于尺中任意理想么，当a 2 q 时就有 彳q ，那么q 叫做尺的半质理想。 定义2 1 5 ：若环尺的零理想是半质理想时称r 为半质环。 定义2 1 6 ：如果彳中有这样一个元素a ，它不能大于a 中任何元素，则说 a 是彳中的一个极小元素。 定义2 1 7 ：非空集合a 的元素之间的一个关系”如果具有性质： ( 1 ) 反身性：a a ，对任意a a ： ( 2 ) 传递性：当a b ，b c 时，就有a c ； ( 3 ) 反对称性：当a b ，b a 时，就有口= b ； ( 4 ) 对任意a ，b a 或有口b 或有b a ； 则此关系”就叫做彳的一个序关系，而彳就叫做一个序集。 定义2 1 8 ：如果一个序集的任意非空子集( 作为续集) 恒有极小元素，则 此序集便叫做一个整序集。 定义2 1 9 ：设g ，g ，是两个群，考虑集合 g i g 2 对于g l g 2 中任意两个元素( 口l ，岛) ，( g 22 j 2 ) 我们定义乘法为： ( q ，岛) ( 以：，6 2 ) = ( a l a ：，2 j 1 6 2 ) 哈尔滨理i ：大学珲学硕十学位论文 令e l ，吃分别是群g l ，g 2 的单位元素，于足对所有的( 口，6 ) g l g 2 有 ( a ，6 ) ( q ，e 2 ) = ( q ，e 2 ) ( a ，b ) = ( 口，b ) 易知g l g 2 在所定义的乘法下成一群。我们称这个群为群g l 与g 2 的直和，记 为 g l0g 2 定义2 1 1 0 ：设r i ，r 为，个环。首先作加法群r i ，r r 的直和 r = ro o r ，然后在r 中定义乘法如下 ( 口，a r ) ( 6 l ，b r ) = ( 口。6 l ，口，眈) 则尺成一环，它叫做环r ，母的直和。 定义2 1 1 1 ：设足( f ，) 为任意一组环。设标集伪整序集： i = l ，2 ， 而一般的f i 即表示，的一般的序数，考虑所有这样的元素。 x = ( 而，恐，) ，毛r o = l ，2 ，) 作成的集合r ，并在其中规定加法与乘法： ( ，屯，) + ( m ，耽，) = ( 五+ 乃，恐+ 兄，) ( 五，x 2 ，) ( 咒，y 2 ，) = ( 五咒，屯奶，) 则r 成为一个环，称为诸r ( f i ) 的完全直接和，记为er 。 定义2 1 1 2 ：假定( r , l i ，) 是一组环r 的集合，r 是 r 的完全直和r 中由 r = ( l r ) 组成的子环，如果 ，斗，：，i i 是尺到r 上的同态，即r r ，那么r 叫做 r ) 的亚直和。 定义2 1 1 3 ：在一般环r 中，引入一种新的结合法o ，假定a ，a 是r 中的 两个元素，我们规定 ao a = a + a + a a 这个结合法。叫做r 的拟乘法。 定义2 1 1 4 ：当a oa ，- 0 时，我们叫a 是a 的右拟逆元，a 是a 的左拟 逆元，这时我们又说a 是r 的左拟正则元，a7 是r 的右拟正则元。r 中元a 的 左拟逆元同时义足a 的右拟逆元，那么它就叫做a 的拟逆元。假如a 是左拟 正则元同时又是右拟正则元，那么a 叫做拟正则元。 哈尔滨胛i ：人学理学硕十学位论文 定义2 1 1 5 ：若环r 中有非零元a ，b 且a b = 0 ，则称a 为r 的左零因子，b 为r 的右零因子。若a 既为r 的左零因子又为尺的右零冈子，则称a 为尺的零 因子。 定义2 1 1 6 ：若环r 中既没有左零因子又没有右零冈子，则称尺为无零冈a 子环。 定义2 1 1 7 ：环r 中的元a 如果不是r 的左右零因子，就叫做正则元。 定义2 1 1 8 ：环尺中与所有元都交换的元素形成r 的子环，叫做尺的中 心。 定义2 1 1 9 ：环r 的左( 右) 理想，其中任意元都是r 的拟正则元时，叫做环 r 的拟正则左( 右) 理想。 定义2 1 2 0 ：环尺中所有拟正则左理想的和是r 中最大的拟正则理想，叫 做环r 的j a c o b s o n 根基，用，( r ) 或- ，表示。 定义2 1 2 1 ：如果环尺的j a c o b s o n 根基，= r ，那么r 叫做根基环，如果 j = 0 ，那么r 叫做半单纯环，或简称j 半单环。 定义2 1 2 2 ：假定m 是r 的极大左理想，如果( m ：r ) = 0 ，那么r 叫做( 左) 本原环。 定义2 1 2 3 ：设a 为环r 的元素，若有正整数m ，使a ”= 0 ，则称a 为r 中的幂零元。 定义2 1 2 4 - 假定是环r 的左理想，如果其中任意元都是幂零元，就 叫做幂零元左理想。 定义2 1 2 5 ：环r 中最大的幂零理想叫做尺的b a e r 根。 定义2 1 2 6 ：若环r 的非零理想的交非零，则称r 为亚直不可约环。其所 有非零理想的交h 叫做r 的心。 定义2 1 2 7 ：环r 中所有幂零元理想的和是尺中最大的幂零元理想，叫做 r 的k o t h e 根基，用足( r ) 或k 表示，当k ( r ) = 0 时，r 叫做k o t h e 半单纯环或 简称尽半单环。 定义2 i 2 8 ：若环r 中存在非幂零元b ，使尺的任一非零理想，必含b 的某 次幂，即q m z + 使得b ”i 。则称环r 为b 环，b 为环r 的骨干元。 定义2 1 2 9 - 如果多项式厂( f 1 ，乞) 可以表示为 f ( t l ，t 2 ) + 五( t l ，t 2 ) 其中f l ( t 。，t 2 ) = f 。t 2 卜1 或+ t 2 扣1 t l ，f 2 ( t l ，f 2 ) 不含的一次项，我们就说( f l ，乞) 对 x = 具有强丘性质。 哈尔滨殍i ：大学理学硕十学位论文 定理2 1 3 0 1 3 5 i ：半质环同构于一组质环的亚直和。 定理2 1 3 1 1 蚓：假定尺是本原环，那么有体腑在，使得r 与全矩阵环k 。 同构，即r 兰k 。或对于任意m ，r 有子环疋k 。 定理2 1 3 2 1 蚓：j 半单环同构于一组本原环的直和。 定理2 1 3 3 1 3 7 1 一般环同构于一组直不可约环的直和。 定理2 1 3 4 1 3 卅：无非零幂零元环同构于一组无零因子环的直和。 2 1 2 符号意义 本文以尺表示结合环，z ( r ) ，c ( 尺) 分别表示环r 的中心及其换位子理想。 - ，( r ) ，k ( r ) ，b ( 尺) 分别表示环r 的j a c o b s o n 根、k o t h e 根及b a e r 根。，( 尺) 表示 r 中全体正则元的集合。z r 】是关于y 的整系数多项式之集，z x ，y 为关于 未定元y 的整系数多项式之集。z ，z o ，z + 分别表示整数集，非负整数集及 正整数集。日的零化子通常用a 表示，记为a = a n n h 。i x ，y 】表示石，) ，的换位 子叫一垮。v x ，y r ，规定x o y = y x ”= y 。 2 2 满足口一f ( a ，6 ) z ( r ) ( 6 z ( r ) o ) ) 的环的交换性 h e r s t e i n 在文献【4 】中证明了：对任意的口r 有依于口的多项式以( f ) 使 a 2 见( 口) 一a z ( r ) 则r 为交换环。为使h e r s t e i n 定理的应用更为广泛，本文受其启发在多项式中 加入了一个元素，得到了如下定理2 2 1 ，并为后面结论的证明打下基础。 定理2 2 1 ：设r 为环，z ( r ) 0 ，若v a r ，b z ( r ) 0 ) 都有依于a ，b 的整系数多项式f ( x ，力，使 a - f ( a ，6 ) z ( 尺) 其中厂不含a 的一次项，则r 为交换环。 事实上，若多项式厂中不含元素a ，则f ( a ，b ) = f ( b ) ，由b z ( r ) 知 f ( b ) z ( r ) ，从而a z ( r ) ，r 为交换环。 若多项式厂中含元素a ，则 a - f ( a ，6 ) = 口一口2 9 ( a ，6 ) 哈尔滨理i ：人学砰学硕卜学位论文 故不妨证对满足上述条件的a ，b 有： a 一口2 f ( a ，6 ) z ( r ) ( 2 1 ) 则环r 为交换环。 要证明这一结论，我们首先证明以下引理： 引理2 2 2 州：对任意的a r ， 有依于a 的多项式以( f ) 使 a 2 p ( a ) - a z ( r ) ，则r 为交换环。 引理2 2 3 t 3 】：任意的x r ，如果有以( x ) l ，使，( ”一x z ( r ) 则r 是交 换环。 引理2 2 4 ：满足条件( 2 1 ) 的体为交换环。 证明：可以证明满足条件( 2 1 ) 的有单位元的环为交换环。令b = e ，易 知对v a r 有 a a z f ( a ) z ( r ) 由引理2 2 2 知r 为交换环。 引理2 2 5 ：满足条件( 2 1 ) 的，半单纯环为交换环。 证明：j 一半单环同构于一组本原环的亚直和。不妨设r 为本原环，若r 不为除环，由稠密性定理知，r 有子环同构于体d 上的二阶全阵环及，且n 仍满足条件( 2 1 ) 令 口= ( ：三 ，6 = ( 三：) 则有 口一口2 厂c 口，6 ，= ( ：三) 仨z c r ， 故n = l ，r 可嵌入体中。由引理2 2 4 可知环r 为交换环。 引理2 2 6 ：满足条件( 2 1 ) 的环中幂零元恒在中心。 证明：设a 为幂零元，则必有充分大的n 使a ，= 0 ，由已知条件知对 a r ，b z ( 尺) 0 ) 有z 使 a 一口2 石( 口，6 ) z ( 尺) 对口2 f ( a ，b ) 及6 又有五使 a 2 f ( a ，b ) - ( a 2 f ( a ，6 ) ) 2 ；( 彳( 口，6 ) ，6 ) = 口2 p l ( 口，b ) - a 2 2 p 2 ( a ，b ) z ( r ) 哈尔滨理i ：大学胛学硕十学位论文 同理有 a z p 。( 口，6 ) 一口2 ”。见一l ( 口，6 ) z ( r ) 以上各式相加得： a 2 以( 口，b ) - a z ( r ) 由a r ：0 有 a z ( r 1 从而，满足条件( 2 1 ) 的环中幂零元恒在中心。 引理2 2 7 ：满足条件( 2 1 ) 的环中幂等元恒在中心。 证明：设e 为幂等元，即e 2 = e 则对v x r 恒有 ( x e - e x e ) 2 = ( e x - e x e ) 2 = 0 由弓l 理2 2 6 知x e e x e z ( 尺) 且e x e x e z ( r ) 【x e - e x e ，司= 【e x - e , x e ，e 】- 0 从而xe=exe=ex 故e z ( r ) 。即满足条件( 2 1 ) 的环中幂等元恒在中心。 在一般环中，设r 为非交换环，则t ，( r ) 0 且3 a ，b r 使【口，b 】0 。 设由a , b 生成的j r 的子环为，则民满足( 2 1 ) 条件且r 中仍有 【a ，b 】0 ，r 的换位子必在主理想( a b - b a ) 中。由z o r n 引理可取r 中不含 【a ，b 】的极大理想为m 。由r 不交换知，( r ) 0 。构造r m = 墨，易知r 为 二元生成的直不可约环。由r 的任意非零真理想足在r 中的完全原像一定 为真包含m 的r 的理想。故由m 的构造知，在g o m = 墨中 a ，b 】的换位子的 像【a ，b 】在k 中而【a ，b 】0 ， 于是( 【口，6 】) k ，即r m = r 的心 h = ( 口，6 】) 。又由于r 的换位子理想在主理想( 【口，6 】) 中知蜀的换位子理想在 主理想( 【口，纠) 中。故日= c 0 。 综上可令r 本身为二元生成的亚直不可约环其心h = c 0 。 令a = a n n h 引理2 2 8 ：若r 为满足条件( 2 1 ) 的亚直不可约环且，( r ) 0 ，则 h 2 = 0 。 证明：设h 2 0 ，则必有0 扛hc 7 _ ，( r ) 。 由条件知，对扛, ) f f z b z ( r ) 0 ) ，存在依于向，b 的多项式p ( 红，b ) 使 扛2 p ( j i i l ，6 ) 一向z ( r ) 若 啊2 p ( 如，6 ) 一啊= 0 贝0 由j j l l j ( r ) ，b z ( 尺) 0 ) 知 扛p ( ，6 ) ，( r ) 哈尔滨理t 人学理学硕十：学位论文 故岛= 0 ，矛盾。故曩2 p ( 如，b ) - l 毛0 ，即日中有非零元 h n z 。 由协为r 的理想且协ch 知协= ( 0 ) 或h h = h 。 若协= ( 0 ) ，则由( h ) 0 知h ( ) ，从而h 2ch ( h ) = 0 矛盾。于是 h h = h 。 从而有j i l i h 使h = 噍j l z 即h ( 1 - 毛) = 0 。 由扛hcj 知1 一扛可逆，故h = 0 。矛盾。从而h 2 = 0 。 引理2 2 9 ：acz ( r ) 证明：取x a ，对v y r 有 【z 2 ，y 】= x x ，y 】+ 【x ，y x = 0 从而x2y=yx2 即j 2 z r r l 同理有 【工”，y 】= x m - i 【x ，y 】+ 【x ”一，y x = 0 从而 【，y 】= 0 即 x ”z ( r ) ( m 2 ) 对v a a ，b z ( r ) 0 有 r t - - a 2 f ( a ，6 ) z ( 尺) 由b z ( r ) 0 及口”z ( 尺) ( m 2 ) 知 a 2 f ( a ，6 ) z ( r ) 从而a z ( r ) 即acz ( r ) 显然当尺= a 时r 为交换环。以下设满足条件( 2 1 ) 的环r a 。 引理2 2 1 0 ：若0 h h 则必有r h = h 证明：由0 h h 及hcacz ( r ) 有h z ( 尺) ，从而r hch 。 若r h = ( 0 ) ，则令 t = z 日| 触= ( o ) 足r 的非零理想，从而日( 2 7 t 。 从而r i t c r t = f 0 r h = h r = 0 ) 即a = r 矛盾。从而r h