（光学专业论文）斐波那契类及广义斐波那契超晶格光电性质研究.pdf

摘要 本文主要研究斐波那契类( f i b o n a c c i c l a s s ，简记为f c ( n ) ) 和广义斐波那契 ( g e n e r a l i z e df i b o n a c c i ，简记为g f ( m ，) ) 超晶格的光电特性。 首先，我们构造了具有一种原子、两种键长的二维f c ( n ) ，基于重整化群理论、 利用分解一消元法( d e c o m p o s i t i o n d e c i m a t i o n ，简记为d d ) ，研究其电子能谱精细结构 的分裂规律。在一级近似下，整个准晶块分裂成三种不同的原子团分子一”、 0 + 1 ) 0 + i ) 、 x 0 + i ) 原子簇分子。n 原子簇的能谱以吃一i 卜2 一。方式一分为峨。x 支，0 + 1 ) 0 + 1 ) 原子簇的能谱以l + 、方式一分为j v w ( 。) 支，h + 1 ) 簇的能谱在 月 3 t h eg e n e r a lf o r m u l a eo ft h en u m b e ro f e n e r g yl e v e l sf o rt h e s p e c t r ao ft h es e c o n dh i e r a r c h y a r eo b t a i n e d t h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa r ec o n f i r m e db y f l u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s e c o n d e l y , b ym e a r l so fad e c o m p o s i t i o n d e c i m a t i o nm e t h o dw es t u d yt h es p l i t t i n g r u l e so fe n e r g ys p e c t r af o rt w o d i m e n s i o n a lf i b o n a c c i c l a s sq u a s i l a t t i c e sw i t ht h r e ek i n d s o f a t o m s ( a ，b ，a n dc ) a n d o n eb o n dl e n g t h ，a n df i n dt h a tt h es u b l a t t i c e so fba t o m sa n dc a t o m sa r ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo fn o r m a lt w o - d i m e n s i o n a lf c ( n ) a n dt h ec o r r e s p o n d i n g s p l i t t i n g m a n n e r sa r en e wa n di n t e r e s t i n g ba t o mf o r m sak i n do ft w o d i m e n s i o n a l s o - c a l l e d f c ( m ，w h i c hs t r u c t u r e i ss o m ed i f f e r e n tf r o mt h a to fn o r m a l f c ( n 1 ) ( n 2 ) ，b u t t h es p e c t r al i n e sa r ea st h es a m ea st h a to f t h el a t t e r ca t o mf o r m st w ok i n d so f i n t e r e s t i n go n e d i m e n s i o n a lp e r i o d i cc h a i n s ：”一a t o mc h a i na n d ( h 一1 ) - a t o mc h a i n ，w h i c h s p e c t r aw i l lb o t ht e n dt ob e c o m ec o n t i n u o u s ，r e s p e c t i v e l y t h ea n a l y t i c a lr e s u l t sa r ea l s o c o n f i r m e db yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h i r d l y , t h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so fl i g h tt h r o u g hg e n e r a l i z e df i b o n a c c is y s t e m s w h i c hf o l l o w sb yt h es u b s t i t u t i o nr u l e s ：b a a 斗a ”b ”a r es t u d i e d t h ee x p r e s s i o n s f o r p r o p a g a t i o nm a t r i c e sa n d t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t sa r eo b t a i n e d f i r s to fa 1 1 w h e nl i g h t 1 i t t r a n s m i t sn o r m a l l yt h em u l t i l a y e r sf o l l o w e db yg e n e r a l i z e df i b o n a c c is e q u e n c e s ，w ef i n d t h a tw h e np a r a m e t e r sma n d ”a l ev a r i a b l e t h e r ee x i s tf o u rk i n d so fc a s e sf o r p r o p a g a t i o nm a t r i c e sa n dc o r r e s p o n d i n gt r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t s ：( 1 ) w h e n ma n dr t a r eb o t he v e n ，t h ef o r m e ra r ef o u rd i f f e r e n tm a t r i c e sf o rt h ef i r s t f o u rg e n e r a t i o n sa n da l la i d e n t i t ym a t r i xf o rq t h g e n e r a t i o n ( q 5 ) ，t h el a r e ra r ea l le q u a lt oac o n s t a n to fb e = 1 直 f o ra l lg 咖嘣沁邮伽。p b i2 五葫f o r t h e2 n dg e n e r a t i o n ；( 2 ) f o ro d d 卅8 州 e v e n n ，f o r1s t g e n e r a t i o nt h el a t t e ri se q u a lt ob 2 ；f r o m2 n d - g e n e r a t i o n0 1 1t h ef o r m e ra r e t w o c y c l ea n dt h el a t t e ra r eac o n s t a n to fb l ；( 3 ) f o re v e n ma n do d d 月，t h ef o r m e ra r e f o u r - c y c l ea n dt h el a t t e ra r et w o c y c l e ；( 4 ) w h e n ma n d a r eb o t ho d d t h ef o r m e ra n d t h el a t t e ra r ep s e u d o - s i x - c y c l ew h e n ”= 1 ；w h e nn 3 ，t h el a t t e ra r et w oc o n s t a n t sf o rt h e f i r s t - t h r e e g e n e r a t i o n s ；f r o m4 t h - g e n e r a t i o no n t h el a t t e r a r e p s e u d o t h r e e c y c l e w h e n m = na n dd e c a yt oz e r oi nt h r e ed i f f e r e n tc a s e sw h e n ，”t h ea n a l y t i cr e s u l t sa r e c o n f i r m e d b y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s k e y w o r d - q u a s i c r y s t a l s ；q u a s i p e r i o d i cs u p e r l a t t i c e s ；e l e c t r o n i ce n e r g ys p e c t r a ； p r o p a g a t i o nm a t r i c e s ；t r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so fl i g h t i v 华南师范大学硕士学位论文答辩合格证明 学位申请人杏旦向本学位论文答辩委员会提交 题为望遮显坌叁堕f 塞墼遗班鲨蠡监纽蝰壅塑鱼的硕士论文， 经答辩委员会审议，本论文答辩合格，特此证明。 学位论 主席： 委员： 论文指导老师( 签名) ： ( 签名) 溯；年易r 7b ( 此框用r 存档的学位论文贴学位论文答辩合格证明) 第一章绪论 1 1准晶 一直以来，物理学家都认为固体物质分为晶体和非晶体两大类。当x 射线照射固 态物质时，只有晶体才会产生明锐的布拉赫衍射斑纹。这是由于原子在晶体中的周期 排列使得衍射束具有高度的相干性，导致出现很强的衍射峰；而非晶态物质只能产生 弥散的较弱的衍射谱。晶体的晶胞足按周期排列的，有严格的长程平移不变性，艰足 由于该周期性平移约束条件的限定，使得五次以及大于六次的旋转对称性在晶体中都 被禁戒【1 。非晶体的构造单元( 原子或者离子) 不具有长程有序，从而也就不存在任何 约束条件。 可是，1 9 8 4 年的一项实验发现，却戏剧性地改变了我们的上述传统观念。美国国 家标准局s h e c h t m a n 等人在致力于寻找一种新的更轻更强的铝合金时，意外地发现了 一种a 1 m n 合金具有明锐的十二面体对称性衍射峰，并定出其点群为m 3 5 ，他们认为 这与周期结构是不相容的【2 】，l e v i n e 和s t e i n d a r d t 认为这表明了该合金具有非晶体学 对称性的三维准周期结构，相当丁_ p e n r o s e 拼砌的三维推广，可起名为准晶 ( q u a s i e r y s t a l ) ，是准周期晶体的简称【3 】。它描述一种新型的无公度晶体结构，其傅立 叶变换是6 函数，但与无公度调制晶体不同，它具有与周期不相容的点对称性 4 ，从 而发现了准晶这种新的固态物质形式。我国的郭可信研究组也几乎同时独立地发现了 t i v - n i 急冷合金具有十二面体对称性【5 ，6 1 。现已发现准晶态可广泛地存在于许多多 种合金之中f 7 3 2 。 准晶的发现被认为是固体物理学近几十年来的一项重大突破；它一方面极大地深 化了我们对晶体学、衍射物理和凝聚态物理的认识，彻底地改变了固体物理学家传统 的“固体物质只能以晶体或者非晶体的物质形式存在”的观念，完善和深化了人们对 晶体学、衍射物理和凝聚态物理的认识；另一方面，准晶体的各种独特性质使准晶体 具有潜在的应用价值。因而，自1 9 8 4 年准晶结构被实验发现以来，国际国内均曾形 成一个准晶体研究的高潮，并由此丽产生了一个新的物理学领域准晶物理学。 1 2 准周期超晶格介质系统 由于大尺寸的三维准晶体在制作工艺上的困难，致使其制作成本十分昂贵，而且 目前研制出的准晶稳定性相对晶体和非晶体而言也比较差，这些原因都较大地阻碍和 限制了准晶物理实验的深入研究和准晶产品的开发、利用；反过来。实验数据的缺乏 也在一定程度上制约了准晶理论研究的进展。另外，由于目前对准晶在理论上的分析、 计算和处理方法较大程度上是借用或者部分套用了固体物理学中分析和研究处理晶 体的方法，而准晶的结构和对称性义比晶体远为复杂，使得目前的准晶理论分析即使 采取最为简单的紧束缚模型，人们也只能对一维准晶给出比较精确的结果【3 4 】，更不 用说别的更为复杂的模型了。因此，在准晶发现后不久，人们对按准周期序列排布的 人t 超晶格( s u p e r l a t t i c e ) 介质系统的研究也就成为了凝聚态物理学领域的一个研究热 点 3 5 4 5 。 作为一维准周期序列的斐波那契( f i b o n a c c i ) 点阵，由于其结构具有丰富的物理内 容和相对简单的结构特征，特别适合于研究准周期结构本身的物理效应，因此按照该 种序列排布的准周期超晶格介质系统一直倍受人们青睐 3 5 1 。 在人工制作的斐波那契准周期超晶格介质系统中，m e r l i n 等人于1 9 8 5 年最早研 究了利用分子束外延技术将g a a s - a i a s 材料按斐波那契准周期序列排布的超品格系 统的x 射线和拉曼散射谱特性【l o 】。随后k o h m o t o 等人解析地分析了按斐波那契准周 期序列排布的介质系统的光透射性质 3 6 1 ，g e l l e r m a n n 等人报道了由s i 0 2 和t i 0 2 薄 膜组成的该系统的光透射的实验结果【3 7 】。近十多年来，南京大学的闵乃本研究组利 用光刻技术比较系统地研究了l i n b o j 和l i t a 0 3 等材料按菲波那契准周期序列、 t h u e m o r s e 非周期序列排布的超晶格系统的声子谱、超声波谱、倍频光谱等性质 f 3 5 ，3 8 - 4 4 。t a m u r a 等人从理论上研究了按斐波那契准周期序列排布的介质系统的声 一光传输特性 4 5 1 。 与斐波那契准周期模型非常相似，中山大学的黄秀清等人首先提出另一种他们称 之为互生长模型( i n t e r g r o w t hs e q u e n c e ) 的准周期序列模型，并研究了该准周期超晶格 介质系统的光传输性质、电子性质等 4 6 5 0 1 。包含斐波那契准周期序列和互生长模型 准周期序列在内，且比其更具有普遍意义的一族具有十分有趣结构特征的新准周期模 型：斐波那契类( f i b o n a c c i c l a s s ，简记为r c ( n ) ) 模型准周期序列模型由傅秀军等人于 1 9 9 7 年构造成功，他们研究了按f c ( n ) 准周期序列排布的一维点阵的电子能谱性质 【5 0 , 5 1 1 ，由于该种准周期序歹d 在结构上的重要相似性和典型代表意义，杨湘波等人详 细研究了其光电性质 5 2 5 6 1 。 在第四章我们详细地研究了按广义斐波那契( g e n e r a l i z e df i b o n a c c i ，简记为 g f ( m ，n ) ) 准厨期序列排布的光学介质人工材料系统的光透射性质。为了第二章至第 四章对f c ( , o 准晶和g f ( m ，m 人t 准周期超晶格系统性质的研究的需要，下面分别介 绍f c ( n ) 准周期序列及g f ( m ，n ) 准周期序列的生成规则。 1 3 斐波那契类准周期序列 f c ( n ) 准周期模型足由傅秀军等人证明与斐波那契准周期序列和互生长 ( i n t e r - g r o w t h ) 模型准周期序列密切关联的一类准周划序列，并在1 9 9 7 年提出的研 究一类包括斐波那契和互生长模型两种准周期序列模型在内的准周期序列模型 族，简记为f c ( n ) 【5 1 】。 1 3 1 斐波那契准周期序列的迭代生成法 斐波那契序列最早是由意大利数学家f i b o n a c c i 在十三世纪提出的一种有趣数学 模型。他用兔子的理想繁衍过程模拟了这一序列的产生 5 0 1 ，该方法就是现在众所剧 知的所谓斐波那契准周期序列的迭代生成法则。 f i b o n a e c i 在迭代生成法中假定所有成兔a 永远不死，并在下一代稳定地产生一个 子兔b ；同时，所有子兔b 在下代也将顺利地成长为成兔a ，即 a呻ab，b畸a。(i-o 公式( 1 1 ) 即为斐波那契准周期序列的迭代生成法则。 若给定初始值( 假若定义为第0 代) ，则该序列的任一代的任何位置的构造单元都 是唯一确定的。且排列规律具有准周期性。以下初始值为b 时，该序列前6 代的值j 初始值：s o = b 第一代：s i = a 第二代：s 2 = a b 第三代：s 3 = a b a 第四代：s 。= a b a a b 第五代：s j = a b a a b a b a 第六代：s 。= a b a a b a b a a f 认a b 显然，以上序列满足如下迭代关系： s j = s j _ l s j _ 2 ( ，2 ) 。 ( i 一2 ) ( 1 3 ) 1 3 2 互生长模型准周期序列的迭代规则 黄秀清等人于1 9 9 2 年构造出互生长模型的准周期序列模型【4 6 - 5 0 ，其迭代规则 为： b b a ，a 斗b a b ( 1 4 ) 递推关系式为s j = 岛一。s j 一。q 一：= 跨。s j 一：。 该序列的前4 代为： 初始值：s o = b 第一代：s j = b a 第二依s 2 = b a b a b 。0 - 5 ) 第三代：s ，= b a b a b b a b a b b a 第四代：s 。= b a b a b b a b a b b a b a b a b b a b a b b a b a b a b 1 3 3 斐波那契类准周期序列的迭代生成法 f c ( n ) 序列模型不仅包括众所周知的斐波那契模型，而且其各种子模型皆具有严 格的自相似性和准周期性，其电子能谱的各套层结构具有完美的自相似性，因此本文 选定该族准周期序列模型作为研究对象，解析地研究了按这种类型的所有准周期序列 排布的电子能谱的性质。 f c ( n ) 准周期序列的迭代规则为： b _ b ”1 a ，a 斗b a b 。( 1 6 ) 递推关系为： s j = s ! ，s j 一2 ( ，2 ) ， ( 1 7 ) 例如，”= 4 时，该序列前三代为： 初始值：s o = b 第一代；s 。= b b b a 第二代：s 2 = b b b a b b b a b b a b 船a b ( 1 8 ) 第三代：s 、= b b b a b b b a b b a b b b a b b b b b b b a b b b a b b a b b b a b b b a b b b a b b a b b b b a b b 且b b b a b b b a b b b a 当”：1 时，月e ( 哟模型即为斐波那契模型；n = 2 时，f c ( 2 ) 模型即为互生长模型。 故对f c ( n ) 准晶或f c ( n ) 准周期超晶格系统性质的研究具有较斐波那契等模型更为 普遍和典型的意义。 1 4 广义斐波那契准周期超晶格序列 在非斐波那契模型中，研究较为普遍妁时所谓的广义斐波那契模型g f ( m ，曲 5 0 ，5 7 6 5 。它是斐波那契替代关系的直接推广，其替代规则为 b _ a ，a 叶a “b ”。( 1 - 9 ) 递推关系为： s + 。= s t s ；_ 。( ，2 ) 。 ( 卜l o ) 当：1 、月：1 时，g f ( m ，n ) 模型即为斐波那契模型；当m = l 、n = 2 ，g f ( m ，h ) 模 型即为孪生子模型。 1 5 本课题来源、研究内容与意义 1 5 1 本课题的来源 本论文主要从理论上探求按f c ( 准晶序列排布的电子能谱特性，以及按 g f ( m ，m 准周期序列排布的超晶格光学系统的光传输特性。 本研究课题的内容来自于杨湘波负责的国家自然科学基金项目( 项目编号：n o 1 0 0 0 4 0 0 3 ) ，以及杨湘波负责的华南师范大学博士科研基金。 1 5 2 本课题的研究内容及意义 1 5 2 1 标准斐波那契类和特殊斐波那契类准晶的电子能谱 电子能谱的特征将直接反映材料的电学性质，对于材料的电子能谱性质的研究是 深入研究该材料物理性质的根本性的问题，因此在准晶这种材料被发现后，该领域中 有相当多的研究工作集中在其电子能谱性质的研究上。现已知道，晶体的能谱是连续 的，波函数是扩展的：非晶体的能谱是点状的，波函数是局域的：而一维准晶的能谱 存在绝对连续的、点状的或者奇异性连续的三种可能性，其波函数也具有局域态、扩 展态和中间态三种可能状态。 对二维准晶、三维准晶的电子能谱的研究工作也有报道，但是由丁一维系统的精 确重整化过程较难以推广n - - 维和三维情形，故难以得到这些系统的电子能谱的精确 解，一般只是采用有限点阵和数值计算的方法进行处理，而且也只能分析其电子能谱 的前三四代的结构性质，具有较大的局限性。在1 9 9 1 年，傅秀军等人利用基于重 整化群的分解一消元法研究了具有一种原子、两种键长的二维f c ( 1 ) 的电子能谱分支 性质，得出了和数值结果符合得很好的有趣的解析结果 6 6 1 。 本文对于人工构造的具有一种原子、两种键长的二维f c ( n ) 准晶系统，用重整化 方法研究了其各代的第二层电子能谱的分支规律，并且和数值解符合得很好【3 3 ；同 样利用重整化方法研究了三种原子、一种键长的二维形( 哟准晶电子能谱的分支规 律，结果与数值解也符合的很好。这对于人们加深对二维准晶的物理性质的认识有一 定的意义。 1 5 2 2 广义斐波酃契准周期超晶格介质系统光透射性质 在准晶发现后不久，人们对人工排布的具有准周期序列的超晶格介质系统的物性 研究就成为了凝聚态物理学领域的一个热点。由于以自然形态出现的准周期结构复杂 而且不完整，故人工制作的一维准周期介质系统在理论和实验的比较研究上可以发挥 有意义的作用。 众所周知，材料的有序度对物理性质有着显著的影响。g f ( m ，们是一族具有十分 有趣结构特征的新的准周期序列模型，对按这种序列排布的人工超晶格材料的普遍物 性研究还未见有成果报导。本文选定按g f ( m ，坊这一族新型准周期序列超晶格材料系 统作为研究对象，对丁开发出具有优异性能的光学器件具有重要的理论指导意义。 按准晶周期序列排布的多层膜介质系统利用光在系统中的传输特性，尤其是该系 统可能具有的光开关特性使其在开发成很好的光存储元件方面具有良好的麻用前景， 有望开发成未来光电计算机使用的新的光存储元件，从而可以大大地提高光电计算机 的硬盘读写速度和很好地解决其发热问题；此外，由于该类系统的这种光丌关特性的 存在，也为新型照相机镜头何新型光纤的开发研制提供了新的研究途径。 本文通过边界条件的设定，结合g f ( m ，哟准周期介质系统的结构特征，解析研究 了一般入射角情形下的相应传播矩阵及递推矩阵恒量，发现该类系统的光传播矩阵和 透射系数有赝三循环规律和赝六循环性质，从而发现了它的重要光开关特性。本文进 行的关于g f ( m ，”) 准周期超品格介质系统光传输特性研究对光开关和光存储元件等 产品的设计、开发和利用具有一定的理论指导意义。 第二章二维斐波那契类准晶的电子能谱精细结构 2 1 引言 1 9 8 4 年，s h e c h t m a n 等人 2 1 n 具有开创性的实验证明了准晶体的存在，该实验开 辟了准晶体物理新领域。自此以后，准晶体及准周期体系的性质得到了广泛研究，其 中对准晶体电子性质的研究是物理学家们研究的重要方面之一。最有代表性的是自1 7 世纪提出的f c ( 1 ) 模型。维( o n e d i m e n s i o n a l ，简记为i d ) f c ( i ) 准晶体的电子能谱是 套层结构的，具有严格的自相似性，这主要是由f c ( i ) 链的套层结构决定的。1 9 9 2 年， 黄秀清及其合作者们 4 6 】提出所谓的互生长模型。在f c ( 1 ) 和互生长模型( 简记为 f c ( 2 ) ) 研究成果的基础上，傅秀军，刘有延等人【5 l 】于1 9 9 7 年构造了一种包括l d f c ( 1 ) 和f c ( 2 ) 在内的、一类能够用严格的高维投影法得到的准晶链模型，他们称之 为斐波那契类准晶( 简记为f c ( n ) ) 。 对于具有一种原子、两种键长的2 d 单原子f c ( i ) ，u e d a 等人 6 7 1 定性的计算了 它的电子能谱和导电性；a s h r a f f 等x 6 8 1 定性的分析了它的电子态密度及动力学响应 函数的性质，并用数值接进行了验证。利用座模型和分解消元法，傅秀军等人 6 6 】已 经得出了一种原子、两种键长的2 d f c ( t ) 电子能谱的分裂规律；杨湘波等人得出了 种原子、两种键长的f c ( n ) 准晶体电子的第一级能谱分裂的通式【5 6 】和三种原子、一 种键长的2 d f c ( 1 ) 电予能谱的分裂规律 5 5 1 。 n i u 和n o r i 【6 9 】曾通过弱键近似，应用重整化群研究了1 d f c ( 1 ) 的电子谱。在此 基础上，刘有延等人 7 0 ，7 1 发展了一种分解消元法研究斐波那契链电子能谱分裂规 律，此法可给出一福简明清晰的电子能谱物理图像。其优点在于：既可以计算大的原 子簇，研究高亚能带结构；又可避免遇到高阶微扰计算带来的困难。本章利用此方法 来研究一种原子、两种键长的f c ( n ) 的第二级能谱分裂规律。第二部分简述f c ( n ) 的 构造；第三部分详细研究了y c ( n ) 的第二级能谱分裂规律；第四部分足全章的总结。 2 2 一种原子、两种键长f c ( n ) 的构造 正如文献【5 0 】所述，一种原子、两种键长的2 d f c ( n ) 按以下方式构成 ( 1 ) 首先，按照f c ( n ) 的生成规则 s o = b ， ( 2 一i ) b 斗b ”a a 斗b “一1 a b 写出一条横向斐波那契类准晶格中的莱种f c ( m 链： 且b a b b a ； ( 2 2 ) ( 2 ) 然后，设定上述用生成规则得到的“b ”单元决定该种2 d 单原子准晶格的横向链 的原子间距为“短”，“a ”单元决定其原子间距为“长”； ( 3 ) 最后，按照第( 2 ) 步骤中的横向链相同的序列得出纵向链，则可得到该种2 d 单原子 准晶格。 图2 - 1 和图2 - 2 分别为用上述规则得到的f c ( 2 ) 、f c ( 3 ) 的原子准晶格。 s i x * a t o mc l u s l e r f o u r , a t o md u s t e r of ；1 i n i n e - a t o md u s t e r n i 1 1 n ：l j ： 图2 - 1 一种原子、两种键长的f c ( 2 ) 准晶结构 一妒口叩t g ”厅t 司 l l l 1 r 1 i n e - t = t m n e l “警i o 学1 飞q 脚目“s t e 图2 - 2 一种原子、两种键长的f c ( 3 ) 准晶结构 臼 2 3 2 d f c ( n ) 电子能谱精细结构 2 3 12 d f c ( 2 ) 的第二层谱线 2 3 1 1 能谱的数值解 对于2 d f c ( n ) ，采用单电子、紧束缚的迁移模型，为此假定原子局域在每个晶 格点中心。哈密顿矩阵可写为 h = l i 巨 勺 足第i 个原予的w a n n i e r 基矢；表示对最近邻求和，f ，是跃迁矩阵元，包 括分别对应于短、长两种键长t8 ( s t r o n g 强键) 和t 。( w e a k 弱键) ，e ，是原子座能量。为 了计算简单，在计算中我们取f 。一1 0 ，t 。一0 1 ，e ，= o 0 。图2 - 3 给出了f c ( 2 ) 的电子能 谱数值计算结果。从上到下，我们依次命为巨、岛、巨，。 n u r r o a r o f a t o m s 图2 - 32 d 一种原子、两种键长的f c ( 2 ) 的电子能谱( 原子数为3 0 2 5 个) 2 3 1 2 能谱的解析解 由分解消元法可知：( 1 ) 在零级近似下，不考虑原子间的相互作用，i l p - 9 t 。= o 时， 整个系统只是由一种孤立的原子构成，此时系统只有个高度简并的能级；( 2 ) 在一级 近似下，只考虑原子之间的最近邻相互作用，即令f 尼近邻= - 1 0 ，f 非最近邻一o 0 时。 如图2 - 1 所示的f c ( 2 ) 结构，在一级近似下，存在三种孤立原予簇分子：四原子簇分 子、六原子簇分子和九原子簇分子。杨湘波等人发现：f c ( 2 ) 的谱线是按如2 _ 分裂 方式一分为十三的，如图2 - 3 所示。在图中，从上往下，把分支谱线依次记为 e 。、易、e 。其中，( a ) e 。、e 4 、e i o 和e 。，谱线由九原子簇分子形成；( b ) e 3 n e 。 谱线由四原子簇分子形成：( c ) e ：、e ；、甄、b 、岛和e ：谱线由六原子簇分子形 成；( d ) e ，谱线由四原子簇分子和九原子簇分子共同形成。因此，实际上只存在四类 谱线分裂方式；( 3 ) 在二级近似下，只考虑原子之间的最近邻相互作用和次近邻相互作 用。此时，相同能级的原子簇间的相互作用对能谱的分裂起主导作用，而不同能级的 原子簇之间的相互作用可当成微扰。因此，在下面研究f c ( 2 ) 第二层能谱的计算中， j 考虑相同能级的原子簇之间的相互作用力。 2 3 1 2 1 九原子簇分子形成的谱线 在二级近似下，对于图2 - 1 所示的九原子簇分子，存在三种孤立原子簇分子：四 个晟近邻的九原子簇分子、六个最近邻的九原子簇分子和九个最近邻的九原子簇分 子。这类原子簇分子重新构成了f c ( 2 ) ，而f c ( 2 ) 的谱线按y 2 - 2 1 分裂方式一分为十 三，因此谱线置、日、置。和骂，皆按y 2 - z t 分裂方式一分为十三，如图2 - 4 所示。 图2 42 d f c ( 2 ) 亚能谱e 1 3 2 3 1 2 2 四原子簇分子形成的谱线 在二级近似下，对于图2 - 1 所示的四原子簇分子，存在三种孤立原子簇分子：孤 立四原子簇分子、两个最近邻的四原子簇分子和四个鳆近邻的四原子簇分子。这些原 子簇分子构成类似于f c ( 1 ) 的结构，其谱线按f 。分裂方式一分为五，因此谱线如和e 。 皆按f 。分裂方式一分为五，如图2 - 5 所示。 图2 - 52 d f c ( 2 ) 亚能谱e 2 3 1 2 3 六原子簇分子形成的谱线 对于如图2 - 1 所示的六原子簇分子之问存在如图2 - 6 所示的六种耦合作用。 用1 、2 、3 、4 、5 和6 标记肌分子中的原子，用1 、2 、3 7 、4 、5 和6 7 标记” 分子中的原子，则分子m 的波函数可表示为： 6 k ) = c 。i 识) ( 2 - 4 ) j f f i l 这里c ；是各原予的作用力系数。 对于图2 - 6 ( a ) 中的m 分子，各原子满足： 6 b | | x 蛾= e 9 i i = i 这里b i 是各原子的作用力系数，岛取或“。 ，一t 、 1 ，i t 叠 2 m 5 2 ；n6 。 s a ) 3 ：疗 1 正_ _ _ k 了芦d 4 s m 6 ；) 。4n ” y ；。3 。 茚售6 1 4 。 l 2 m 5 。i 3 n 芦t ( e 1 。 1 丁_ ；_ 7 4 1d 1 叶 2 m 号 2 、ng 3 o ( 6 ) 3 ：6 ：m f _ 5 ： l o ：一l 4 g b 一( d 1 一。 ：翊 o o d l 1 彳 飞2 l 图2 - 62 df c ( 2 ) 六原子簇间的耦合作用 ( 2 5 ) 通过计算可得： l ：等，瓦= 一蓦，t = 妥，瓦= 嘉，瓦一o ，弓一o 。 陆6 ， 由于阢l 杌i 和阢降远小于k j ，故此时死、l 和乃都是弱键，可略去。因而e ：、 e ，、e 6 、e 8 、e 9 和巨：谱线皆一分为三，如图2 - 7 所示。 c ) u _ o g t l , l n u 盯b 甘o fa t o m s 图2 72 d f c ( 2 ) 亚能谱岛2 2 3 1 2 4 九原子簇分子与四原子簇分子形成的混合谱线 在二级近似时，由于九原子簇分子之间的耦合作用力比四原子簇分子之间的作用 力小得多，因此混合谱线的分裂方式主要由四原子簇决定，即该谱线按f 分裂方式一 分为五，如图2 - 8 所示。 毡 o u - 右 u r n u m b e roa t o m s 图2 - 82 d f c ( 2 ) 亚能谱马 2 3 22 df c ( 3 ) 的第二层能谱 对于如图2 - 2 所示的f c ( 3 ) 结构，在一级近似下，存在三种孤立的原子簇：九原 子簇分子、十二原子簇分子和十六原子簇分子。杨湘波等人【5 6 】发现：f c ( 3 ) 的谱线 按r 3 _ 2 - 1 分裂方式一分为二十五，如图2 - 9 所示。由于三种孤立的原子簇分别形成三 类谱线分裂方式，而九原子簇分子和十六原子簇分子又共同形成一类混合谱线分裂方 式，所以共存在四类谱线分裂方式。 对于图2 1 0 所示的十二原子簇分子之间存在六个耦合作用力，其键长计算值分 别为： c = 等，瓦= 击，t = 一砉，乃= 砉，t 亍。，巧= 。( 2 - 7 ) 由于k 即b 降远小于阢忏中：l ，即t 、疋足弱键，可略去。因此十二原子簇分子 形成的电子能谱一分为五，如图2 一1 1 所示。 n u m b e ro fa t o m s 图2 - 92 d 一种原子、两种键长的f c ( 3 ) 的电子能谱( 原子数为3 0 2 5 个) x 留心亡u i 一7 厂_ _ _ 一c = = 三_ _ t 5 ：二：二二：t b ( o 图2 1 02 d 一种原子、两种键长f c ( 3 ) 的十二原子簇分子间耦合作用 图2 - 1 1 2 df c ( 3 ) 亚能谱e 2 2 3 3 f c ( n ) 的第二层电子能谱 对于f c ( 1 ) ，当h = 1 时，f c ( i ) 的电子能谱分裂方式已经被傅秀军等人详细地予以了 i 兰 一二：i 兰兰 ，都l， 一i 一 r r t ， = z 一 研究。当月2 时，在一级近似下存在三类孤立的原子簇： , 原子簇分子、0 + 1 ) + 1 ) 原子簇分子和n 0 + 1 ) 原子簇分子。兰类原子簇分子将共形成四类谱线分裂方式。 2 3 3 1 0 + 1 ) 即+ 1 ) 原子簇分子形成的谱线 在二级近似下，由于f c ( n ) 的0 + 1 ) x 0 + 1 ) 原子簇分子的分布结构与f c ( n ) 在一 级近似下的分布结构相同，因此月c ( ”) 的0 + 1 ) 0 + 1 ) 原子簇分子的谱线分裂方式与 f c ( ”) 在一级近似下的谱线分裂方式一致，其不同能级的亚谱线数为 “+ 1 ) 。【1 】= 月( 。) 则由+ 1 ) + 1 ) 原子簇分子形成的谱线总数为 ( 2 8 ) 三( ) x ( ) = ( h 2 一n + 2 ) x 孟( 矿 ( 2 _ 9 ) 2 3 3 2 胛h 原子簇分子形成的谱线 在二级近似下，当h 2 时，f c ( , o 的h ”原子簇分子的分布结构与f c ( n 1 ) 的 n ”原子簇分子的分布结构类似，因此f c ( n ) 的”原子簇分子的谱线分裂类型为 誓0 f ：- l ，f c ( n 1 ) 的n h 原子簇分子的谱线分裂支数相等，其谱线数为 l = w c 一n 则由, ”原子簇分子形成的能谱总数为 l 。= 2 ( n 1 ) 么1 1 。 2 3 3 3 h + 1 ) 原子簇分子的谱线 ( 2 一l o ) ( 2 1 1 ) 在二级近似下，在b i g 铆+ 1 ) 原子簇分子之间的相互作用存在两类情形：当”= 2 时，在n + 1 ) 原子簇分子之间只存在一种相对强相互作用，谱线一分为三：当n 3 时，在”0 + 1 ) 原子簇分子之间存在两种相对强相互作用：两个最近邻的n x ( n + 1 ) 原 予簇分子之间的作用，三个最近邻的”0 + 1 ) 原子簇分子间的作用，因此谱线一分为 五。总之，”伽+ 1 ) 原子簇的每支谱线分裂情况如下 ， f 3 ， 。m ( 一+ 1 1 5 则该类谱线总支数为 = 髋勰 门2 行3 n 2 n 3 ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 2 3 3 4 伽+ 1 ) 即+ 1 ) 原子簇分子与n x ”原子簇分子形成的混合谱线 当n 2 时，对于由+ 1 ) 0 + 1 ) 原子簇分子和”原子簇分子形成的混合谱线， 由于如+ 1 ) + 1 ) 原子簇分子之间的耦合作用力比m c 原子簇分子之间的耦合作用 力小得多，所以该谱线的分裂方式主要由”原子簇分子决定，即 ，肘强加一附= n 1 f c ( 川) 印2 ) 。( 2 1 4 ) 2 3 3 5 第二层总的谱线数目 由式( 2 9 ) 、( 2 1 1 ) 、( 2 1 3 ) 年h ( 2 1 4 ) ，我们得出f c ( n ) 第二层能谱总级数为 砷= 刖) + k + k 。d + 厶删 ：( ，j 2 一门+ 2 ) 川呻崛h 一1 ) 同) + 卅1 ) 。 ( 2 15 ( i ) 当h = 2 ，能级总数为 彤( 。) = ( n 2 - n + 2 ) x ( 2 n 2 + 2 ”+ 1 ) + 3 ( 2 十 ) + ( 2 n 一1 ) 【2 ( ”一1 ) 2 + 2 ( n 1 ) + 1 】 = 8 5 ( 2 ) 当n 3 ，谱线总级数为 甩( 。l = ( 行2 - n + 2 ) x ( 2 n 2 + 2 一+ 1 ) + 5 ( 玎2 + 疗) + ( 2 n 1 ) 【2 ( ”一1 ) 2 + 2 ( n - 1 ) + 1 】 = 2 以4 + 4 n 3 + 2 仃2 + 1 2 n + 1 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 综上所述，f c ( n ) 的第一、二层能谱分裂结果如表2 - 1 所示。 表2 - 1f c ( n ) ( n 2 ) 第二层亚能谱的支数和部分分裂类型 项目f c ( 2 )f c ( 3 )f c ( n ) r l 簇5 ( f 型)1 3 ( y 2 4 1 型) k ( 。) ( 誓0 。卜2 一i 型) + 1 ) ( r q - 1 ) 簇1 3 ( e i 型)2 5 ( e 。型)品。( 匕一：一，型) ( + 1 ) 簇3 ( 未知)5 ( 未知)5 ( 未知) + 1 ) x 0 + 1 ) h x h 簇5 ( 未知)1 3 ( 未知) 品“卜。、( 未知) 准晶格8 5 ( 未知13 2 5 ( 未知)l f c t n ) ( 未知) 2 , 4 能谱位置的变化 一级近似下，f c ( n ) 三种原子簇的数目和极性明显不同。虽然”x ”原子簇数目几 乎与”x ( t l + 1 ) 原子簇数相等，前者是极性的，而后者是非极性的。此外，( n + 1 ) + 1 ) 原子簇比其他两种原子簇要少得多，而且也是非极性的。因此我们认为”x 0 + 1 ) 原子 簇之间的相互作用是影响亚能谱的主要因素。 九原予簇分子最低亚能级谱线中心位于e 1 3 = - 2 4 2 “- 2 8 2 8 ，但是图2 - 4 所示 的e n 实际范围是2 8 4 9 至一2 8 3 5 。这表明受到六原子簇分子的排斥，实际谱线明显下 移了。与e 1 3 对称的蜀上移。对于f c ( n ) ，情况类似。 2 5 小结 利用d d 方法，我们研究了2 d f c ( n ) 2 ) 的第二层电子能谱分裂规律。在一 级近似下，存在三种原子簇分子：h n 原子簇分子，+ 1 ) + 1 ) 原子簇分子和 伽+ 1 ) 原子簇分子，相应的亚能谱存在四种类型：f c ( , o 铆2