（基础数学专业论文）包含smarandache函数和欧拉函数的方程及其性质的研究.pdf

中文摘要 众所周知，数论的一个重要内容就是研究数论函数的各种性质从古到今， 数学家们对各种数论函数的性质进行了研究，得到了许多重要的结论，从而促 进了数论的不断向前发展1 9 9 1 年，罗马尼亚数论专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 出版了( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) ) 书，引起许多学者的关注在这本 书里，f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个有关特殊数列、算术方程等方面的问题 与猜想许多学者对这些问题和猜想进行了深入的研究，获得了很多具有重要 数学理论价值的科研成果在此基础上，他们也提出了很多与s m a r a n d a c h e 函 数和经典数论函数有关的问题，并对它们进行了研究与探索 基于对s m a r a n d a c h e 函数的兴趣，本文采用了初等数论与解析数论中的基 本方法与理论，对一些与s m a r a n d a c h e 函数相关的方程的可解性进行了研究 具体来说，文章的主要成果包括以下几个方面： 1 利用初等方法解决了同余方程 1 s ( n 一1 ) + 2 s ( n 一1 ) + + ( 佗一1 ) s m 一1 ) + l 三0r o o dn 的可解性问题，最终得到该方程有且只有三个素数解 2 。利用分类讨论的方法研究了一个与瓦( 扎) 和e u l e r 函数有关的方程的 可解性问题，得到了该方程的所有正整数解 3 根据z ( n ) 和五( 凡) 的性质，研究了方程z ( n ) + 五( 仡) = 扎的偶数解问 题当n 属于n = 2 七和n = 2 p l p 2 m ，2 p l p 2 p k ，七1 这两 种情况时，给出了方程的偶数解 关键词 s m a r a n d a c h e 函数，同余方程，欧拉函数，素数，可解性 a b s t r a c t ( 英文摘要) a sw ea l lk n o w ，o n eo ft h em a i ne l e m e n t so fn u m b e rt h e o r yi st os t u d y t h ep r o p e r t i e so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s l o t so fm a t h e m a t i c i a n ss t u d i e dt h e p r o p e r t i e so fa l lk i n d so fa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n dg o tm a n yv a l u a b l ec o n c l u s i o n sa b o u tt h e m ，w h i c hp r o m o t e daf u r t h e rd e v e l o p m e n to fn u m b e rt h e o r y t h eb o o k “o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! p u b l i s h e di n1 9 9 1a t t r a c t e dm a n y p e o p l e ：sa t t e n t i o n ，w h i c hw a sw r i t t e nb yr o m a n i a ne x p e r to fn u m b e rt h e o r y f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e i nt h i sb o o k ，p r o f e s s o rf s m a r a n d a c h ep u tf o r w a r d1 0 5 a r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ts p e c i a ls e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s m a n ys c h o l a r sr e s e a r c h e da n de x p l o r e dt h e s ep r o b l e m sd e e p l ya n d g o tm a n yv a l u a b l ec o n c l u s i o n s f u r t h e r m o r e ，s o m er e s e a r c h e r sp r o p o s e da n d s t u d i e ds o m en e wa n di n t e r e s t i n gp r o b l e m sa b o u ts m a r a n d a c h ef u n c t i o n sa n d t h ec l a s s i c a la r i t h m e t i cf u n c t i o n s b a s e do nt h ei n t e r e s ti ns m a r a n d a c h ef u n c t i o n s t h ed i s s e r t a t i o nm a k e s r e s e a r c h e so nt h es o l v a b i l i t yo fs o m ee q u a t i o n sa b o u ts m a r a n d a c h ef u n c t i o n s b yu s i n ge l e m e n t a r ya n da n a l y t i cw a y s s p e c i f i c a l l y , t h ed i s s e r t a t i o ng e t st h e f o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 t h es o l v a b i l i t yo fac o n g r u e n te q u a t i o na b o u t l s ( n 一1 ) + 2 s ( n 一1 ) + + ( n 一1 ) s ( n 一1 ) + 1 三0r o o d 佗 i ss t u d i e d ，a n da l lt h ep r i m en u m b e rs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o na r eg i v e nb yu s i n g t h ee l e m e n t a r ym e t h o d s 2 t h ee q u a t i o ni n c l u d i n g 页( n ) a n de u l e rf u n c t i o ni ss t u d i e db yt h em e t h o d o fc l a s s i f i c a t i o n ，a n da l lt h ep o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n sa r eo b t a i n e d 3 a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so fz ( n ) a n d 乙( n ) ，t h ee q u a t i o nz ( n ) + 及( 忍) = 死i sd i s c u s s e d ，a n di t se v e ns o l u t i o ni sg o t t e nw h e nnb e l o n g st on = 2 七 a n dn = 2 p i p 2 p k ，2 p l p 2 p k ! k 1 k e y w o r d s s m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，c o n g r u e n c ee q u a t i o n ，e u l e rf u n c t i o n ，p r i m en u m - b e r ，s o l v a b i h t y n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后 学位论文作者签名：指导教师签名：翌兰鸥 夕和年莎月侈日 例l 口年6 月p 日 西北大学学位论文独创性声明 攀莎售嚣制 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论是一门最古老的数学学科，古老到她可以追溯到远古时代但是数论 又很年轻，年轻到我们至今仍然无法确定整数的许多简单性质一些吉老的数 论问题被解决，但是更多的新问题会出现正是对这些问题的不断研究才促进 了数论及现代数学的长足发展【1 2 1 有关s m a r a n d a c h e 函数算术性质的研究一直在数论研究领域中占有很重 要的地位，数学界的很多难题都与之密切相关，在这个领域中取得的任何实质 性进展都对数论的发展具有重要的推动作用f s m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个 尚未解决的数论问题【如4 1 ，许多专家和学者对它们进行了深入的研究，并取得了 不少具有重要数学理论价值的科研成果。本文主要研究了包含s m a r a n d a c h e 函 数的特殊方程的素数解问题，包含忌阶s m a r a n d a c h ec e i l 函数的对偶函数与欧 拉函数的方程的可解性问题，以及关于z ( 佗) 函数的一个猜想 1 2 主要成果和内容组织 本文运用初等数论和解析数论中的相关理论，对一些包含数论函数 的方程进行了研究，主要研究了包含s m a r a n d a c h e 函数的同余方程，包 含k 阶s m a r a n d a c h ec e i l 函数的对偶函数与e u l e r 函数的方程，以及包含 伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶函数的方程内容主要分布在第三章到第五章 具体的来说，本文主要的成果和内容组织如下： 1 第三章研究了同余方程 l s ( n 一1 ) + 2 s m 一1 ) + + ( 死一1 ) s ( n 一1 ) + 1 三0r o o dn 的可解性问题，最终得到该方程有且仅有3 个素数解 1 第一章绪论 2 第四章利用初等方法解决了包含k 阶s m a r a n d a c h ec e i l 函数的对偶函 数与e u l e r 函数的方程的可解性问题令佗，k 是正整数且南2 ，则方程 瓦( d ) = p ( n ) ( 1 1 ) d i n 的所有正整数解如下： ( i ) 当k = 2 或3 时，方程( 1 1 ) 有且只有整数解n = l ，3 ，8 ( i i ) 当k 4 时，方程( 1 1 ) 有且只有整数解n = 1 ，3 ，8 ，2 4 3 第五章利用z ( n ) 和及( n ) 的性质，研究了方程z ( 仡) + 及( n ) = 佗的偶 数解问题，给出了当佗= 2 七和佗= 2 p 1 p 2 m ，2 p l 沈 1 ，有渐近公式 q ( & ( n ) ) = 池l nz + 4 z + d ( 志) ， 其中月_ r + 莩( 1 i l ( 1 一；1 ) + 扣e u l e r 截p 表示对所有的素数飙 q ( n ) 表示n 的所有素因子的个数，包括重数在内 1 2 西北大学硕士学位论文 另外，在文献 2 1 1 中，j s a n d o r 弓l 入了各种s m a r a n d a c h e 函数的对偶函数， 其中瓯( 佗) 的对偶函数瓦( n ) 的定义如下： 否i ( n ) = m a x x n ：z 毛l n 容易证明这两个函数都是可乘函数关于瓦( n ) 的一些初等性质，文献 2 2 2 5 中 也进行了讨论，并给出了一些有趣的结论 如陆亚明在文献 2 2 1 中，得到当k 2 时， z d ( 丽k k ( 佗) ) = ( ( 后) z + ( ( 去) z + o ( z 南) ， 凡s z 其中d ( n ) 为d i r i c h l e t 除数函数，( ( s ) 为r i e m a n nz e t a - 函数 本章主要利用初等方法证明了一个包含瓦( 死) 和e u l e r 函数方程【2 6 】的可解 性问题，同时给出了该方程的所有正整数解最终得到了下面的定理： 定理4 1 ：设凡，k 是自然数，且k 2 ，则方程 的所有正整数解如下： s - k k ( d ) = 妒( n ) ( 4 1 ) d l n ( i ) 当k = 2 或3 时，方程( 4 1 ) 有且只有整数解诧= l ，3 ，8 ( i i ) 当k 4 时，方程( 4 1 ) 有且只有整数解礼= l ，3 ，8 ，2 4 4 2 定理的证明 这一节来完成定理的证明首先由于瓦( n ) 是可乘函数，所以由可乘函数 的性质知瓦( 回也是可乘函数f 2 7 | ，现在分以下几种情况来证明结论。 ( a ) 当n = 1 时，对所有的k 2 ，n = 1 都满足公式( 4 1 ) ( b ) 当几= p a 时，其中1 q k 一1 ，p 是素数由函数瓦( n ) 的定义我 们有 瓦( d ) = 瓦( 1 ) + 瓦) + + 瓦) = q + 1 ( 4 2 ) d 护 1 3 第四章包含量阶s m a r a n d a c h ec e i l 函数的对偶函数的方程 及 p 口) = p a - 1 一1 ) ( 4 3 ) 当k = 2 时，由1 o t k 一1 知口= 1 ，此时o l + 1 = 2 于是由 于p a - 1 0 1 ) = 2 当且仅当p = 3 ，所以只有扎= 3 是方程( 4 1 ) 的解当七= 2 时，对任意的p 3 都有瓦( d ) 3 都有瓦( d ) 2 3 或p 3 就有不等式p k - i 一1 ) k 成立，即瓦( d ) 3 有不等式s - k 豇( d ) 0 ，所以f ( x ) 单调递增而k = 5 时，( x ) p 4 a 一5 0 ，所以p ( k - 1 ) 口+ 卢一2 0 一1 ) 2 k 因此， 肛嘉+ ( 卢+ 1 ) 一1 ) k p p ( k - 1 ) a + 1 3 - 1 ( p - 1 ) 2 1 6 西北大学硕士学位论文 即( 4 6 ) 式小于( 4 7 ) 式，故( 4 4 ) 式小于( 4 5 ) 式，即 d l 暑卢研) = 等w 卢) = p k a + t ，- i ) 综上得当佗= p a ( q 七，p 是素数) 时，方程无解 ( e ) 当n = p 宇1 p 呈2 p 口l ，其中o l i k ( i = 1 ，2 ，z ) ，p i 是素数，那么 由f 瓦( d ) 的可乘性及( d ) 的讨论知方程( 4 1 ) 无解 d i n ( f ) 当n = p 宇1 谚2 茚卜p a l + 1 p a t + 2 2 p 嚣时，其中q t k ( i = 1 ，2 ，z ) ， 1 o l i 1 1 ( 2 ) 对于任意正整数佗，函数方程 z ( n ) + 1 = s ( n ) 成立当且仅当礼= p m ，其中p 为奇素数，m 为p 丁- 1 的任意因数，及m i 堡- r 1 a a k m a j u m d a r t 3 2 】对及( n ) 的性质做了以下探讨： ( 1 ) 若p 3 为任意素数，那么对于任意整数k 1 ，有 z ( 2 p 七) = p = 3 p = 5 p 7 撕卜匪i i 1 9 ，、i 第五章一个包含伪s m a r a n d a c h e 函数及其对偶丙数的方程 ( 3 ) 若p 3 为任意素数，那么对于任意整数k 1 ，有 蝴= ；： ( a ) 方程z ( 扎) + 五( 凡) = 佗只有有限个偶数解，也许只有一个偶数解n = 6 ( b ) 方程z ( n ) + 五( n ) = n 的所有奇数解必为奇素数p ( 5 ) 的方幂 在文献【3 3 】中，张瑾利用初等及组合的方法研究并解决了猜想( b ) ，具体地 设n 为任意正奇数，则n 满足方程z ( 佗) + 五( n ) = n 当且仅当n 为素 数p ( 5 ) 的方幂，即就是n = p 南，其中p 5 为素数，k 为任意正整数 猜测( a ) 是否成立一直是一个公开的问题，本章利用分类的方法对此问题 进行研究，给出了当佗满足n = 2 七，k 1 和7 1 l = 2 p i p 2 p k ，2 p l p 2 定理5 1 ：设n 为任意正偶数，若n 满足亿= 2 七，则方程z ( 凡) + 五) = n 弓i 理5 1 【3 4 】：若n = 2 m ，r m n ，贝0 z ( 佗) = 2 n 一1 引理5 2 1 a 4 ：若几n ，且罢为比2 大的奇数，则 z c n ，= 季，一1 二季二：王 5 2 定理的证明 当n = 2 七时，五( 佗) = 1 ，z ( 佗) = 2 南+ 1 1n z ( n ) + 五( 扎) = 2 七+ 1 2 七无 西北大学硕士学位论文 显然z ( 6 ) + 五( 6 ) = 3 + 3 = 6 所以，n = 6 为方程z ( n ) + 五( 凡) = n 的一 个偶数解 现在我们证明方程除了n = 6 外，当礼满足n = 印l p 2 m ，2 p l p 2 p k ，k 1 时，方程z ( n ) + 及( n ) = n 再无其它偶数解不妨 设n = 2 p l p 2 p 七，2 p l p 2 p k ，那么 z ( 2 p l p 2 p 七) ： p l p 2 p 七一1 ，4 1 0 1 p 2 p 七一1 ) ip i p 2 p k ，a l ( p w 2 p k + 1 ) 当4 1 p i p 2 p k - - 1 时，五( 礼) z ( 礼) p i p 2 p k 1 这时，z ( 几) + 及( 几) p l p 2 p k 一1 + p a p 2 p k 一1 2 p l p 2 p k 一2 n 所以，方程z ( 仡) + 五( n ) = n 无解 当4 1 p i p 2 p k + 1 时，z ( 佗) = z ( 2 p 1 p 2 p k ) = p l p 2 p k = 芸 由五( 佗) 的定义知，若乙( 乱) ：m ，则竺竺娑型旧我们知道， 及( 钆) v 丽_ + - 1 - 一1 z ( 礼) 当五( 钆) ：v 厩百+ 一1 - 1 时，z ( n ) + 五( n ) ：v f 丽百+ 一1 - 1 十百n ：n 有解，n ：6 当五( 佗) 下v 丽+ 1 - 1 时，z ( 佗) + 互( 死) t 镢+ 1 - 1 + 芸 纷这时 方程z ( n ) + 五( 几) = 扎无解 参考文献 参考文献 1 o r eo n u m b e rt h e o r ya n di t sh i s t o r y m n e wy o r k ：d o v e rp u b l i c a t i o n s ， 1 9 8 8 【2 d i c k s o nl e h i s t o r yo ft h e o r yo fn u m b e r s m 。n e wy o r k ：d o v e rp u b l i - c a t i o n s ，1 ，2 ，3 ，2 0 0 5 3 】s m a r a n d a c h ef c o l l e c t e dp a p e r s m b u c h a r e s t ：t e m p u sp u b l h s e ，1 9 9 8 【4 s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b l h o u s e ，1 9 9 3 5 】华罗庚数论导引f m 】北京：科学出版社，1 9 7 9 6 】潘承洞，潘承彪解析数论基础【m 】北京：科学出版社，1 9 9 9 7 冯克勤代数数论【m 】北京：科学出版社，2 0 0 0 8 】朱尧辰，徐广善超越数引论 m 】北京：科学出版社，2 0 0 3 剐潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想【m 】北京：科学出版社，1 9 8 1 【1 0 】徐哲峰s m a r a n d a c h e 函数的值分布性质 j 】数学学报，2 0 0 6 ，4 9 ( 5 ) ：1 0 0 9 - 1 0 1 2 【1 1 】l uy a r n i n g o nt h es o l u t i o n so fa x le q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h e f u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，2 ( 1 ) ：7 6 - 7 9 【1 2 1 c h e nr o n g j i o nt h ef u n c t i o n a le q u a t i o ns ( 礼) r + s ( 佗) r 一1 + + s ( 讥) = 佗 j 】s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n 越，2 0 0 0 ，1 1 ( 1 2 3 ) ：1 2 8 - 1 3 0 【1 3 】d u a nw e i g u o ，x u ey a n r o n g t h es o l v a b i l i t yo fa ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h e n u m b e rt h e o r yf u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 8 ，4 ( 2 ) ：2 9 3 3 西北大学硕士学位论文 1 4 】l ix i a o y a n ，x u ey a n r o n g o na ne q u a t i o nr e l a t e dt oa f u n c t i o ns ( n ) j 】 s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 8 ，4 ( 1 ) ：1 4 8 - 1 5 1 【1 5 】d u m i t r e s c uc ，s e l e a c uv t h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n m g e l n d a l e ：e r h u s u n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 6 ：7 6 1 6 】张文鹏初等数论【m 西安：陕西师范大学出版社，2 0 0 7 【17 】赵院娥关于s m a r a n d a c h e 函数的一个同余方程 j 纯粹数学与应用数学， 2 0 0 9 ，2 5 ( 1 ) ：8 0 - 8 2 【l s i b s t e d th s u r f i n go nt h eo c e a no fn u m b e r s af e ws m a r a n d a c h en o t i o n s a n ds i m i l a rt o p i c s m n e wm e x i c o ：e r h u su n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 7 【1 9 】苟素关于s m a r a n d a c h ec e i l 函数的一个方程【j j 纯粹数学与应用数学， 2 0 0 6 ，2 2 ( 1 ) ：4 8 5 0 【2 0 】x uz h e f e n g o nt h es m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o na n dt h en u m b e ro fp r i m e f a c t o r s a z h a n gw e n p e n g r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e r t h e o r y c p h o e n i x ：h e x i s ，2 0 0 4 ：7 1 7 6 【2 1 】s a n d o rj o na d u a lo ft h ep s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s m a r a n d a c h e n o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，1 3 ：1 8 - 2 3 2 2 】l uy a r n i n g o nad u a lf u n c t i o no ft h es m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o n a z h a n gw e n p e n g r e s e a r c ho ns m a r a n d a c h ep r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y c p h o e n i x ：h e x i s 2 0 0 5 ：5 4 - 5 7 【2 3 易嫒，亢小玉s m a r a n d a c h e 问题的研究 m 】u s a ：h i g ha m e r i c a np r e s s ， 2 0 0 5 ：5 9 6 2 【2 4 】l ix i a o y a n t h em e a nv a l u eo ft h ek - t hs m a r a n d a c h ed u a lf u n c t i o n a z h a n gw e n p e n g r e s e a r c ho nn u m b e rt h e o r ya n ds m a r a n d a e h en o t i o n s c p h o e n i x ：h e x i s ，2 0 0 9 ：1 2 8 - 1 3 2 2 3 参考文献 2 5 】w a n gy o n g x i n g s o m ei d e n t i t i e si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ec e i lf u n c - t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，2 ( 1 ) ：4 5 4 9 【2 6 】a p o s t o lt m i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ：19 7 6 2 7 】s a b i nt a b i r c a ，t a t i a n at a b i r c a s o m en e w r e s u l t sc o n c e r n i n gt h es m a r a n - d a c h ec e i lf u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t