（基础数学专业论文）单位球中具有调和黎曼曲率的超曲面的刚性.pdf

垂宣垣堇盔堂亟主兰垡鲨塞 i 摘要 在本文中，我们通过黎曼曲率张量的调和性来研究单位球中超曲面的情形 设掰是铲+ 1 中的超曲面，其黎曼p d c c i 曲率张量满足迅f ，一盈，= 0 ，我们利用这 个性质可获得几个定理； 定理3 1 设 p 具有调和r i e m a n 曲率张量的黎曼流形等距浸入到n + 1 维常 曲率空间“+ 1 ( c ) ，如果平均曲率日= c o n s t ，则m = 舻( 志) s ，i 一( 蕊1 ) 其中p = n x + 3 n 2 2 ( h n 计2 + 4 p ( n - p ) c ，a = 坐巫等型业 定理3 2 设j l p 为具调和益率张量且非负曲率的紧致流形，如果m n 可浸入到 铲+ 1 中作为超曲面，则m 等距胪( n ) 驴一( 砷( d 2 + b 2 = 1 ) 或伊 定理3 3 设$ ：m “+ s t i “( 1 ) 是紧致的超曲面，黎曼r i c c i 曲率率张量q 是 c o d a z z i 张量如果n 三产s s n 日2 + 6 2 ，i ：j 器铲+ ( 3 n 一5 ) 满1 日i 占3 + ( 3 n 2 - 6 n + 4 ) 铲6 2 + “舞籍刚2 + ( 竹一4 ) h 2 ) 6 一n ( n 一2 ) 2 舻一n ( n 一2 ) 2 4 o ( 其中 丑= 百赤可) 得到定理( 见f 2 l 】) ： 定理a 设m 是一个具常截曲率g 的空间形式“+ 1 ( c ) 中n 维紧致超曲 面，假定m 有常纯量曲率和非负截曲率，那么 ( 1 ) 如果c 0 且r i c c i 曲率大于零，则m 是全脐点的( 且等距于标准球面) ， ( 2 ) 如果c 0 且截曲率大于零，则m 是全脐点的( 且等距于标准球面) 1 9 9 7 年，李海中也对r = c o n e t 同时加上条件r c = a o ( 其中r = 百杀可) 得到定 理( 见【9 ，1 0 ) ： 定理b设m 是n + l 维具有平均曲率日的实空间形式r n + 1 ( c ) 的紧致超曲面 如果i v b l 2 n 2 i v h l 2 且n 日2 i b l 2sn c + 可鲁苎玎日2 一i 等量可、，乞可可r 干1 巧r = - i 币蕊 那么i b l 2in h 2 , m 是全脐超曲面，或者i b l 2in c + 玎岛日2 一l 嚣矗。诩f 干巧不了河w 毛 当h = 0 ，那么c 0 , m 是s 叶1 ( c ) 中的c l i f f o r d 环； 当日0 ，那么c o ，m = 驴_ lxs 1 云南师范大学硕士学位论文 2 由于k = n 鲋辛v r = 0 寺v 0 = 0 辛r = c o n s t ，于是，在本文中，我们引入黎曼 r i c c i 曲率0 具有调和性即q 是c o d a z z i 张量( 见【6 ，1 3 ，1 7 ，2 1 ) ，由q 具有调和性可 得到r = c d n 时，但不能得到r c = a 0 ，即q 具有调和性比r = c o n s t 这一条件 强但比v q = 0 这一条件弱因而由q 具有调和性可得到如下定理t 定理3 1设。：m ”+ 卅1 ( c ) 为具调和r i e m a n n 曲率张量的黎曼流行m n 到忭+ 1 维常曲率空间 卜+ 1 ( c ) 的等距浸入，如果平均曲率日= c d n s t ，则m 等距于 扩( 为嚅) 铲一焉b ) 其中p = n i l + 1 “2 耳2 而+ 4 p 一( n - p ) c ，a = 丝3 壁篙燃 定理3 2m “为具调和r i e m a n n 曲率张量且非负截曲率的r i e m a n n 流形，如 果掰8 浸入到舻+ 1 中作为超曲面，则m 8 等距予铲( 口) 驴一k ( b ) ( a 2 + 护= 1 ) 或 s “ 定理3 3设。：m “+ p + 1 ( 1 ) 是紧致的超曲面，黎曼r i c c i 曲率率张量0 是c o d a z z i 张量，如果n 舻s n 俨+ 铲，甓蒿铲+ ( 3 n - 5 ) 捕1 日1 5 3 + ( 3 舻一 6 n + 4 ) 日2 d 2 + 竹孑i 毒阿i ( 2 + ( n 一4 ) 日2 ) 6 一九( n 一2 ) 2 胃2 n 一2 ) 2 h 4 o 贝o p = 舒 5 1 预备知识 设m 是等距浸入在空l 曰形式n n + 1 ( c ) 中的n 维黎曼流形，在 冲t ( c ) 上选取 局部标准正交标架场e l ，e ，i ，使限制到m 上，向量场e 1 ，e 。和m 相切，向 量场e 蚪l 为m 上的法f 句量场。设”1 t 一，+ 1 是妒+ 1 ( c ) 上对应于以上所选取局 部的正交标架场的对偶场 约定以下记号的取值范围为t i a ，b ，c ，- ，5n - b 1 ，1 ，歹，七，- 一，sn ，a ，卢，一，= n + i 我们将约定重复指标是在相应的指标的取值范围求和 n + 1 ( c ) 的结构方程为： d w a = a b 埘且，w a b + u g b a = 0 d w a b 2 w a c w c b c w a a w b 云南师范大学硕士学位论文 m 的结构方程为 曲率张量满足 限制在m 上，则 d w i = w i j a ，堪 4 - ” t = 0 如玎= ”日一；铂胖k a w h “= 一塘 ( 1 3 ) ( 1 4 ) j b 埘= r 枷，斟- i - 足“- i - r f j 七= 0 ( 1 5 ) n - i - 1 = 0 ( 1 6 ) 由0 = d + 1 = qa l l j ( n 十1 ) ，t 1 i lc a r t a n 引理，记= 矿1 ， ”( n + 1 ) = 7 奄w j ，h l i = h j i( 1 7 ) 微分形式h = h i j w i o q e 。+ 1 称为m 的第二基本形式，亩= e a h n ： j ( e i 螺e a ) 称为m 的平均曲率( 绝对值) ，记s 为m 的第二基本形式的长度的平 方由( 1 2 ) ，( 1 4 ) ，( 1 6 ) ，( 1 7 ) ，得到g a u s s 方程： 定义忍，k 为 定义嘞 p , , i j k i = 让b f 一 n b 女- t - c ( f i k 0 时，= 由于取标准基e 可使r i c c i 张量对角化，即皿，= 砜 由 r k j = p h k h k j ，所以b = k 盼 所以m 全脐 ( i i ) 忍州= 0 时， 由( 1 1 0 ) 式可知 忍l 一只甜= n 日( “一锄) 一；( 坛民一 努如1 ) = n 日( h h j j ) 一( 磕一砀) = ( k 一) ( n 日一 “一h j j ) =0 t “一h j j = 0 1 v q , i = 0 ( 3 1 4 ) 如j = d + r f 埘“+ 置h 如 = 6 l 氆i + 2 风”“( 3 1 5 ) = d 皿 由( 3 1 4 ) 知，忍j = 0 ，从而有皿t = c m s t 取适当基e t 使r 1 l = = 蜀带r ( p + 1 ) 加+ 1 ) ，1 p n 一1 ，p = n , p = 0 , m 是e i n s t e i n 流形令1s 口，6 p ，p + 1 a ，卢s n r a a j = d r a o + 马n 蚴a + 忍，q 。 = r a d ”a 口+ r 们叫a 口 = ( r 一r ) u 口口 由于r 。j = 0 从而。= 0 ，1 口p ，p + 1 口竹+ 1 由( 1 4 ) 式 q 虮 于是吼舭= 0 由g a u s s 方程 由于c = 1 放可设 由( 3 。1 6 ) 式可得 = d ”一2 吩n a t 出口 = 一t 啪口a 曲一哪口a 口口 兰0 0 = r b a = k o + c h n = = = a 扫+ 1 ) ( p + 1 ) = = k n = p p = 1 ， r = n 2 h 2 一s + n ( n 一1 ) ( p + ( n p ) 芦) 2 - p a 2 一( 竹一p ) u 2 + 住( n 一1 ) = r ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 从而有， p ( p 一1 ) a 4 一r a 2 + p = 0 其中p = ( 竹一p ) ( n p 1 ) 2 + n ( n 一1 ) 一助( n p ) 】 a 2 是连续函数 r = c o n s t p 是整数可得到，p 是常数，a ：c m 耵，从而 p = c o n s $ 于是h i j k = 0 而 玎k = 0 已分类 1 ) 考虑分布讹：0 d w a = 跳 链8 = w b a t 7 k + t ，a a w n a = w b a 训6 d ；o m o f ( 仰a ) 云南师范大学硬士学位论文 1 2 由f r o b i n u s 定理知，= 0 确定的分布可积 2 ) 考虑分布= 0 ，同理可得= 0 确定的分布可积 局部上有m = m 1 m 2 ， 其中m 1 是 t o 。确定的积分流行，m 2 是确定的积分流行 设m 1 的曲率为r t , m 2 的曲率为r 2 磁m = 兄鼬 琏口哪 则分布存在等距 = h a a 曲一 。6 k + c ( 以。6 b b 一以6 矗。) = h 口b h b 6 + c = 解+ c = c o n s t = “2 + c = c d n 时 也：m 1 叫伊( 赤) c 即+ 1 2 ：必2 扩呻( 赤) c 酽呻+ 1 于是存在等距 妒= ( 1 ，也) ：m 1 m 2 一酽( 积) s n - p ( z b ) c 舻“ 且( 赤) 2 ( 赤) 2 = l 定理3 3设z ： p + 伊+ 1 ( 1 ) 是紧致的超曲面，黎曼r i c c i 曲率率张量 q 是c 。d a z z i 张量，如果竹铲曼s 一n t t 口+ 5 2 ，耥酽+ ( 鼽一5 ) 耥蚓6 3 + ( 3 n 2 - 6 n + 4 ) 日2 铲+ 竹j ；景岛圩i ( 2 + ( n 一4 ) h 2 ) d n m 一2 ) 2 h 2 - - n ( n - 2 ) 2 日4 o 则m n = 铲 证明t 由q 是c o d a z z i 张量，即， 一r j = 0 由( 1 1 0 ) 及( 1 1 1 ) 可得， r = c o r t s t ，先计算q 的l a p l a c i a n 算子，由( 3 1 1 ) 知 a i q 2 = i v q l 2 + 嚣( r i j r k l r l l j k + r 巧黾r i 柳k ) l ，e = i v q i 2 + 蓦( r i j r k j ( h l j h i k h t k h q + ( 函j 最女一j , k ) ) ( 3 1 8 ) t 科 + 冠玎r f i ( j t 一h l k h k 3 + ( 缸f 以k 一巩k ) ) ) = i v q | 2 + ( r 玎r m h t j h i k r i j r k f 腩 玎 ”州 - - r i j r t i h l j h k k 一地 肫) + he 磅一( e 凰) 2 玎 = l v q l 2 + e 【( n 日一h i m m j + m 一1 ) 如) i j k l m ( n h h f 一h k m m l + ( n 一1 ) 以1 ) h t j h i k + ( n h h l j e ”坷+ ( n 一1 ) 6 玎) ( n 日h “一h t m h m i + ( n 一1 ) 6 1 i ) h z j 女】+ n ( n j i 玎一eh i m 。巧+ ( n 1 ) 5 i j ) 2 ” m e ( n h h i i 一 k 十( n 1 ) 巩f ) 2 = i v q l 2 + n h t r ( a 5 ) 一2 n 2 h 2 t r ( a 4 ) + n 3 j 丁3 t r ( a 3 ) 一n 2 h 2 ( t r ( a 2 ) ) 2 一( t r ( a s ) ) 2 + 2 n h t r ( a 2 ) t r ( a 3 ) + r 踮r ( a 4 ) 一( t r ( a 2 ) ) 2 2 n 2 h t r ( a 3 ) + 扎3 日2 t r ( a 2 ) + 2 n 2 h 2 t r ( a 2 ) 一r t 4 h 4 设b = a 一丑了，其中日= ；打- a ，则t r b = 0 a 5 = _ b 5 + 5 好b 4 + 1 0 日2 8 3 + i o h 3 8 2 + 5 日b + h s i a 4 = b 4 + 4 日b 3 + 6 h 2 8 2 + 4 h 3 b + h 4 1 a a = b 3 + 3 日b 2 + 3 h 2 b + h s i a 2 = 口2 + 2 h b + h 2 i t r ( a 5 ) = t r ( b 5 ) + 5 h t r ( b 4 ) + i o h 2 t r ( b 3 ) + i o h 3 t r ( b 3 ) + n h 5 t r ( a 4 ) = t r ( b 4 ) + 4 h t r ( b 3 ) + 6 h 2 t r ( b 2 ) + n 日4 t r ( a 3 ) = t r ( b 3 ) + 3 h t r ( b 2 ) + n h 3 t r ( a 2 ) = t r ( b 2 ) + n h 2 ，( t r ( b 2 ) ) 2 t r ( b 4 ) n t r ( b 2 ) 2 t r ( b 3 ) = 打 b ( b 。一：打( b 2 ) f + j 亡r ( b 2 ) j - ) 2 】 = 打旧( b 2 一告打( b 2 ) ，) 2 + ；t r ( b 2 ) t r ( b 3 一击打( b 2 ) b ) 墨石n ( - 。2 一1 ) t r ( b 2 。i t r ( b 2 ) 驴何币可+ i 2 、。, * ( - 。2 一l 删t t 踯万两 2 丽n 【- 。2 _ 1 ) t r ( ) 撕两+ 去荫岛( 打( b 2 ) 2 拇研 荫南( 打( b 2 ) ) 2 而两+ 告荫南( 打( b 2 ) 2 面研 2 警蔫砉b ( 州b 2 ) 2 、矾两 云南师范大学硕士学位论文 1 4 于是利用s c h w a r z 不等式及把上述各式代入( 3 1 8 ) 得 i 1 i 口1 2 = l v q l 2 + n h t r ( b 5 ) + 5 n h 2 打( b 4 ) 一2 n 2 1 m r ( b 4 ) + n t r ( b 4 ) + m 一4 ) m 一2 ) n i l 3 打( b 3 ) 一( 舌r ( b 2 ) ) 2 一( 亡r ( b 3 ) ) 2 + 2 坼一3 ) h t r ( b 2 ) 亡r ( b 3 ) 一( n 一3 ) 2 i 产( t r ( b 2 ) ) 2 + n ( n 一2 ) 2 h a t r ( b 2 ) 一2 n ( n 一2 ) h t r ( b 3 ) + n 一2 ) 2 - 拽r ( b 2 ) i v q l 2 一( n + 1 ) 尚器俐打( b 2 ) ) 2 俩研 + 5 h 2 ( 打( 丑2 ) ) 2 2 n 2 h 2 ( t r ( 口2 ) ) 2 一n ( n 一4 ) 舞籍打( b 2 ) 何两 一一3 ) 2 h 2 ( 打( b 2 ) ) 2 + n ( n 一2 ) 2 h 4 t r ( b 2 ) 一2 n j ；咎1 日转r ( b 2 ) 孬两 + n ( n 一2 ) 2 日2 打( b 2 ) = i v q l 2 一矿( 耥一+ ( 3 n 一5 ) 赭南例口3 + ( 3 n 2 - 6 n + 4 ) h 2 a 2 抑舞籍旧( 2 + ( n 一4 ) h 2 ) 口- n ( n 一2 ) 2 - 2 - - n ( n 一2 ) 2 日4 ) 其中盯= o 诵2 ，记，( 吒凹) = - 4 + ( 3 n 一5 ) 蒜1 日i 盯3 + ( 3 n 2 - - 6 n + 4 ) 日2 铲+ n j 薷骜1 日l ( 2 + ( n 一4 ) 日2 ) a - n ( n - 2 ) 2 h 2 一n ( n 一2 ) 2 h 4 由于，( o ，日) = - n ( n 一2 ) 2 日2 一n n 一2 ) 2 日4 0 ， 使当0sf 6 时，( q h ) 0 故当0 口 j 时。 对上式两边积分有 l q l 2 i v q l 2 0 - 2 ，( 口，日) 0 0 ，l v 0 1 2 一，0 - 2 f ( a ) 0 从而有f i v q l 2 一，一2 f ( a ) = 0 于是有口= 0 ，即打( b 2 ) = 0 ，即t r ( a 2 ) = n h 2 故m “= 铲( 1 ) 垂直瘦整盍堂塑主堂焦堡塞 3 0 参考文献 1 1 1 a lb e 黯e ，e i n s t e i nm a n i f o l d s s p i n g g e rb e r l i ne r e 1 9 8 7 【2 】a e n c a r ，h a n d d oc a r m o ，m ，h y p e r e u r , f a c e s 耐矾c o n s t a n tm nc u r v a t u r ei ns p h e r e s p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 0 ( 1 9 9 4 ) ，1 2 2 3 - 1 2 2 9 3 c h e n ，b y a n do k u m u r a , m ，s c a l a rc u r v a t u r e ，i n e q u a l i t ya n d s u b m a n 帕l d p r o c a m e r m a t h s o c3 8 ( 1 9 7 3 ) ，6 0 5 - 6 0 8 1 4 c h e n g ，s y a n dy a u ，s t ，h y p e r s u r ，8 c s 8w i t hc o n s t a n ts c a l a rc u r v a t u r e m a t h m n n 2 2 5 ( 1 9 7 7 ) ，2 7 9 - 2 9 0 【5 】c h e r n ，s s ，d oc a r m o ，m a n d k o b a y a s h i ，s ，m i n i n a ls u b m a n i f o l d s 吖ds p h e r ew i t h8 e c o n d f u n d a m e n t a l ，d r mo c o n s t a n t l e n g t h ，i n f u n c t m n m a n a l y s i s a n d r e l a t e d f i e l d s ，p p 5 舢 7 5 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 0 【6 】d e r d z i m k i ，a ，s o m er e m a r k so nn el o c a ls t r u c t u r e 西c o d a z z it e n s o r , i ng l o b a ld i f f e r - e n b i a lg e o m e t r ya n do o b a l a n a l y s i s ( f e r t m ，d ，k u h n e l ，w ，s i m o n ，u a n dw e g n e r ，b ，e d s ) ， l e c t en o t si nm a t h - 8 3 8 ，p p2 5 1 2 2 5 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r u n - h e i d l b e r g ，1 9 8 1 【7 】k y a n oa n ds i s h i h a t a ，s u b m a n i f o l d sw i t hp a r a l l e lm e l ! l nc l t r v a t t t r e ，j o u r n a lo fd i f f e r e n i t a lg e o m e t r yv i ( 1 9 7 1 ) ，p p 9 5 - 1 1 8 8 1 8l a w s o n ，b ，l o c a lr i o i d i t yt h e o r e m sf u rm i n i m a lh y p e r s u r f u c e s a n n o fm a t h 8 9 1 8 7 - 1 9 7 ( 1 9 6 9 ) 9 】l i ，h ，g l o b a l 咧谢坷t h e o r e m s 。，h y p e r s u r f a e e s ，a r k ，m a t ，3 5 ( 1 9 9 7 ) ，3 2 7 - 3 5 1 1 0 】“h - ，h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc a t u r ei ns p a c ef o r m s ，m a t h a n n 3 0 5 ( 1 9 9 6 ) 6 6 5 6 7 2 1 1 】n o m i z u ，k a n ds m y t h i b ，af o r m u l a0 ，s i m o n ，s 坷p pa n dh y p e r s u r 向c e 8 ，j d i f f e r e n t i a l g e o m 3 ( 1 9 6 9 ) ，3 6 7 - 3 7 7 垂壹竖堇盔堂亟堂垡麴 3 l 【1 2 o k u m u t a ，m ，h y p e r s u r f a c e sa n d 口p i n c h i n gp r o b l e e mo nt h es e c o n d f u n d a m e n t a lt e n - s o n a m e r j m a t h 9 6 ( 1 9 7 4 ) ，2 0 7 - 2 1 3 【1 3 】o l i k e ，u i a n ds h n o n ，u ，踟出删t c n s o r sa n de q u a t i o n so m o n g e a m p e r e 咖eo n c o m p a c tm a n i f o l d sd ，c o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a f u r e ，j r r i n ea n g e w m a t h 3 2 4 ( 1 9 8 3 ) ，3 5 - 6 5 【1 4 p v e r h e y e n ，l v e r s t r a e l e n ，如脚s y m m e 饥ca f f i n eh y p e r s u 咖c e ，p r o c a m - s ，9 3 1 ：1 9 8 5 ) ， 1 0 1 - 1 0 5 【1 5 1r o s ，a ，c o m p a c th y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n ts c a l a rc n r v a t r ca n dac d n g e n t h e - o r e m ，jd i f f e r e n t i a lg o e m 2 7 ( 1 9 8 8 ) ，2 1 5 - 2 2 0 1 6 】s , h e l g a s o n ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n ds y m m e t r i cs p a c e s a c a d e m i cp r e s s n e wy o r k i l o n d o n 1 9 6 2 【17 】s i m o n i u ，c o d a z z it e n s o ， 8 j 饥g l o b e ld i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dg l o b e la n a l y s i s ( f e r _ i 】8 ，d ，k u h n e l ，w ，s i m o n u a n dw e g n e r ，b ，e d 8 ) ，l e c t u r en o t e si nm a l h 8 8 3 ， p p 2 8 9 2 9 6 i s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l a g ，b e r l i n - h e i d e l b e r g ，1 9 8 1 【1 8 s i m o n s ，j ，m i n i m a lv a r i e t