（基础数学专业论文）a+cancellation+ula+and+divisibility+of+characteristic+numbers+of+（8k4）dimensional+manifold.pdf

摘要 关于满足特定条件的流形的示性数的整除性是在数学和物理都日【 起兴趣的领域。本文利用微分形式的模形式不变性导出f 8 + 4 ) 维流形 的一个消去公式，并且讨论由此蕴涵的示性数的整除性。 关键字：摸形式，示性数，整除性，消去公式 a b s t r a c t i nt h i st h e s i saf 证t h e rc a l c l l l a t i o ni sc a r r i e do u ti ns u c c e 辎i o n ，b y t h em e 七h o di n 【h z l ，t od e d u c eac a n c e l i a t i o nf o m u l af o r ( 8 七+ 4 ) - d i m e n s i o n 8 lm a n i f o l d a n dt h ed i v 越b i l i t yo fc h a r a c t e r i s t i cn u m b e r s i m p l i e d 矗o mt h ef o r m u l ai sd i s c u s s e d k e ”v o r d s ：m o d u l 8 rf o r m ，c h a r a c 七e r i s t i cn u m b e r ，g e n l l s ，d i v i s i b i l i t y c a n c e l l a t i o nf o r m u l 8 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n1 9 5 2 ，r o k h u n r f o u n dav e r ya m a z i n gf a c tt h a tt h es i g n a t u r eo fas m o o t hc l o s e d o r i e n t e ds p i n4 - m a i l j f o l di sd i v i s i b i eb y1 6 ，ad i v i 3 i b i l i t yw h i c hc a l lb ed e d u c t 、d o mt l l ec a u c e l l h t i o nf b r h l u l af o rd 王m f ! r l s i o n4t h a t ( r ，v 7 1 ，) “= 一8 j ( 叫，v r l q ， ( 1 1 ) t o g e t h e rw i t hc h ea t i y a h h i r z e b r u c l ld i v i s i b 儿i t yp r o v e di n1 9 5 9i a t h 】t l l a tl f i sa 1 1 ( j 七+ 4 ) 一 ( i i m e n s i o n a ls m o o t hc i o s e do r i e n t e dsp i nm a n i f o l da n dei sar e a l 、e c t o rb u n d l eo v e r 。c h e n ( 盈丁n ，f 7 。、+ ) c h ( e3 。) ， 1 ) 2 z 12 ) i n1 9 8 3 i nt h e 矗e l do fs u p e r s t r i n gt h e o r y c 1 1 ep h y s i c i s t s 心a r e z - g a i i m a n d 、- 汛e i l a g w 】f o u n das 0 c a l l e d ”m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n w l l i c hr e 、_ c a l s ab e a u t j f u lr e l a t j o nb e t e e nt h eh i r z e b r u c h 三f o ma n dt h eh i r z e b n l c h0 f o r mo fa1 2 d i m e n s i o n a lr i e n l a n n i a n m a n i f o l d a sf 0 1 l o w s ( ( 叫，v 叫) ) 1 2 = 8 互( 州，v t ) d l ( 砭扎v 则) 一3 2 j ( 删f r q ”， ( 13 ) w h e r et c d e n o t e st h ec 。m p l e x i 6 c a t i o n 。ft ma n dv 托“。i sc a n o n i c a l l vi n d u c e df r o mv 丁， w h i c hi st h el e v i c i v i t ac o n n e c t i o na s s o c i a t e dt ot h ei u e m a n n i a ns t r u c t u r eo fm a n do n e c a nd e d u c e ，t o g e 乞h e rw i t ht h ea t i y a l l - h i r z e b r u c hd i v i s i b i l i t yt h e o r e mt h a t 1 6i 9 n 【j ，) i nq u e s to ft h eg e n e r a l i 2 a t i o no ft h ec a n c e l l a c i o nf 。r m u i a sf l o mt h ea b o v et oa 1 1 ( 8 七+ 4 ) 一 3 4c h a p t b r1 i n t r o d u c t i o n d i m e 船i o n a ls m o o t hm a n i f o l d s ，i 1 9 9 4k e 硒l gl i u 【l i 】e s t a b l i s h e dh i g h e rd i m e i l s i o n a l ”m i r a c u l o u sc a n c e l l a t i o n ”f b r m u l a sb yd e v e l o p i n gm o d u l a ri n v a r i a n c ep r o p e r t i e so f c h a r a c t e r i s t i c f o r t l l s i nf a c t ，h ep r o v e dt h a tf o re a c h ( 8 七+ 4 ) 一d i m e n s i o i l a ls m o o t h 砌e m a n n i a nm a i l i f o l d t h ef o l l o w i n gi d e n t i t yh 0 1 d s ， 三( t m v 删) 广“= 8 壹2 s 州 五( t m v r 肘) c h b r 舢， ( 1 4 ) j = o w h e r et h e 如s8 r ec a n o n i c a le l 唧e h c si nk 0 ( w ) oc 0 n ec a na l s ou s et h i sf o r m u l at o d e d u c et h e0 c h a n i n ed i v i s i b i l i t y 【o 】白o mt h ea t i y a h h i r z e b m c hd i v i s i b i l i t y 【a th 】f o r ( 8 七+ 4 ) d i m e 鹏i o n a lc l o s e ds p i nm a n i f b l d s ，t h a ti 8t h es i g i l a t u r eo fa 1 1 ( 8 七+ 4 ) d i n l e n s i o n “c l o s e d o r i e n t e ds p i nm a n j f o l d si sd m 8 i b l eb y1 6 a n dl i u sf o 珊u l ar e 丘n e st h ea r g u m e n tt oo c h a n j n e d i v i s i b i u t yo fl a n d w e b 盱【l 】如t h e1 e v e lo fd i 髓r e n t i a lf o r n l s i n ( h z 】，f o re a c h ( 8 惫+ 4 ) d i m e 璐i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，ag e n e r a l i z e dc a n c e l l a t i o n f o r m u l aw h i c hi r w d l v e sac o m p l 旺l i n e b l l n d l eo nmw a se s t a b l i s h e d t ob ep r e c i s e ，t h ea u t h o r 8 o f h z 】p r o v e dt h a tf o re a c h ( 8 七+ 4 ) 一出r n e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d ，a n dah e r m i t i a n l i n eb u n d l efo nm t h ef 0 1 1 0 w i i l gi d e n t 时l l o l d s ， 墨：；：；莲孚尘) 忙4 1 = s 妻。鼬一旬 五c t n l v l w ，c n c b ，c o s n ( ；) ) 8 k + 4 1 ， c s ， w h e r et h eb sa r ee i 啷e n t si nk d ( m ) o c ，d e p e n dc a n o n i c a l l yo n ( m ，v r ，) a n d ( f ，v ) ， w h e r ev i sah e r m i t i a nc o n n e c t i o no n 毒；c = e ( f ，v ) i st h e 矗r s tc h e m ( o re u l e r ) f o r mo f ( f ，v ) ，a p p b i gt h e i rf o r m u l at os p i n cm a n i f o l 出，t h e ya r el e dd i r e c t l yt oar e 丘n e dv e r s i o no f l i z ，t h e o r e m4 2 l ，a na n a l y t i ci n t e r p r e t a t i o no ft h eo c h a n i n ec o n g r u e n c ef o r m u l a 【o l 】t h i s r e s u l tr e l i e sh e a i l yo nt h em o d l l l 盯i n v a r i a n c ep m p e r t i e so ft w om o d u l a rf o r m sd e 矗n e dw h i c h i n v o l v et h eh i r z e b r u c h 工- f o ma i l dt h eh i r z e b r u c ha - f o r m a n dt h ef o r “ai s 曲t a i n 甜b y c o m p a r i n gt h ef o u r i e rs e r i e so ft h et w of o l m s ，e s p e c i a l l yf o rn l ec o n s t a n tc o e 毋c e i n 乞o fo n e f c - r mt h e r e i n t h ec m c u l a t i o ni sc o n t i n u e dh e r e ，f o rt h e1 一d e f e ec o e m c i e n t ，t oo b c a i nan e wf o r m u l a b e l o n g st oas e r i e s f o m u l 辐i m p l i e d 白d mt h eg e n e r a lr e l a t i o r 塔h i po ft h et w of o r m sa n d m o d t l l 盯i n v a r i a n c ep m p e r t i e 8 a i l dt h ed i v i s i b i h t yo fc h a r a c t e r i s t i ci m m b e r si sd e d u c e d 抒o m t h ef o r r m l l a c h a p t e r2 c a n c e l l a t i o nf o r m u l a i nt h i ss e c t l o nt h ep u r p o s ei st op r o v i d et h ec o n c r e t ed e 矗l 嘶( ) 1 1 so es o m ec e r t a i l lc h a r a c t e r i s t i cf o r m si na 1 ：a n dt or e c a l ls o m eb a s i cf a c t sa bo i l cm o f l u l a rf o r i z l sa n dd i s c u s sc h e m o d u l 眦i n v a r i a n c ep r o p e r t i e so ft h ef o r m si nb ) ：a n di nc ) t or e c o u n tt h em 吼l m db yw h i c h t od e d u c et h ec a n c e l l 8 t i o nf 。r m u l a sf o r ( 8 七+ 4 ) d i m e n s i o n a lr i e m a n n i a nm a n i f o l d s 2 1b a s i cd e 6 n i t i o n so fc h a r a c t e r i s t i cf o r m s l e ta b ea nf 8 七叶一4 ) 一d i m e n s i 。u a lr i e m a n n i a n nm a n i f o l d l e tf 丁j ，b et h ea s s o c i a t e d l e v i c i v i t ac o n n e c t i o na n dr 丁j ，= v 叫，2t h e 吼i r v a t u r eo fv 丁m l e tj ( t ，v r ) ，( t ，可r m ) b et h eh i r z e b r u c hc h a r a c t e r i s t i cf o r m sd e 丘n e db ) j ( r m ，v r 吖) = d e t l 7 2i ) 砸m 俨忙m w ( 霸) f 2 1 ) l e te ，fb et w oh e r m i t i a n 、e c t o rb u n d l e so 、e rmc a r r y i n gh e r m i t i a nc o n n e c t i o i l sv e ， v fr e s p e c t i v e l y l e cr = v e 2 ( r e s p r f = f f2 ) b et h ec u r v a t u r eo fv 占( r e s pr f ) i f 褊 五 6c h a p t e r2 m o d u l a ri n v a i u a n c ea n dc a n c e l l a t i o nf o r m u l a w e8 e tt h ef b r m a ld i f f e r e n c eg = e f t h e ngc a r r i e sa ni n d u c e dh e r m i t i a nc o n n e c t i o nv g i a i lo b v i o u ss e n s e ，w jd e 丘n et h ea s s o c i a t e dc h e mc h a r a c t e rf o r ma s 州g ，v g 脚 e 冲( 等舻) 卜h 等矿) 仁。， i nt h e 辩to f t h i sp a p e r tw h e nt h e r ew i ub en oc o n f u s i o na b o u tt h eh e r m i t i a nc o n n e c t i o n v fo nah e r m i t i a nv e c t o rb u n d 工ee ，w ew i l 工a l s ow r i 七es i m p l yc h ( e ) f o r 七h ea s s o c i a t e dc h e r n c h a r a c t e rf o m f b r8 1 1 yc o m p l e xn u 加b e rt ，l e t a f ( f ) = c l m + t e + t 2 a 2 ( e ) + ，& ( e ) = c i 村+ e + 2 s 2 ( e ) + d e n 。t er 黯p e c t i v e l yt h et o t a le x t e r i o ra n ds y m m e t r i cp d w e r so ff ，w h i c hh ei nk ( m ) 【亡 、v er e c a l lt h ef o l l o w i n gr e l 8 t i o 璐b e t w e e nt h e s et w o o p e r a t i o n s ( c 【a t ，c h a p 3 】) 泌) = 南，似e _ f ) = 豁 ( 2 3 ) m o r e o v 凹，i ff u i ， “o a r et h ef o r m a lc h e mr o o t sf o rh e r m i t i a nv e c t o rb u n d l e se ，f r e s p e c t i v e l y ，t h e ni h i ，c h 印1 】 c h ( a f ( e ) ) = n ( 1 + 一。t ) t h e r e f o r e ，w eh a v et h ef o l l o w i n gf o r m u l a sf o rc h e r nc h a r a c t e rf o r m s ， 血( & ( 驯= 高= 高 酬肛端；黼 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) i f i sar e a le u c h d e 眦v e c t o rb u n d l eo v e rmc a r r y i n g8e u c l i d e a nc o n n e c t i o nv ，t h e n i t sc o m p l e ) c i 丑c a t i o nw b = oci s c o 越p i e xv e c t o rb u n d l eo v e r 彳c a w i n gac a n o n i c a l l y i n d u c e dh e r r n i t i a nm e t r i c 矗o mt h ee u c u d e 蛐m e t 工ko fw 7a sw e 王la sah e r m i t i a nc o n n e c t i o n v w i 打o m v w 2 2 j a c o b it h e t af u n c t i o na n dm o d u l a rf o r m s 2 2j a c o b it h e t af h n c t i o na n dm o d u l a rf b r m s t h ef o i i rj a c o b it h e t af u n c t i o n sa r ed e 6 n e da sf 0 i l o w s ( c f c h 、 7 ( 1 一一) ( 1 一e 2 口凡”一1 ( 1 8 4 。1 。刊， ( 27 ) 口l ( u f ) = 2 口1 8c o s ( ”口) f ( 1 一矿) ( 1 + e 2 w 西矿) 【l e 一! j f ”矿) j = 1 。 她r ) = h 卜m 一护凡一2 ) ( 卜e 皿一2 ) ， 口3 ( 叩) = ( 1 一一) ( 1 + e 2 f 舟一叫2 ) ( 1 + e 4 汀”矿刈2 ) w h e r eq = e 2 。一1 7w i t hr h ，t h eu p p e rh a l fc o n l p l e xp l a n e s e t 叭。一、= 掣l 。 t h e nt h ef o l l o w 洫gi d e l l t i t yh 。l d s a c o b ii d e n t i 吼c f 【c h l ) ， 毋7 ( o ，f ) = t 9 l ( or ) 如( o f ) 口3 ( o r ) o t e = ( k s = ( ，t = ( ：) s ? 盅一l r r r = f + 1 n 。c “ez n a 一。c = ，lt - 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