（应用数学专业论文）紧伪度量空间上的加倍测度与hausdorff维数.pdf

摘要 设( x ，d ) 是一个紧的伪度量空间，本文论蕈证支撑在( x ，d ) 上的加倍测度 的存在性与伪度量空间( x ，d ) 上的一致度量维数之间的一些相互关系；并证 明若伪度量空间( x ，d ) 有有限的一致度量维数，则对任意o t 0 ，存在( x ，d ) 上的加倍测度在某个h a u s d o r f f 维数最多为a 的集上满测 关键词 加倍测度；度量维数；伪度量；h a u s d o r f f 测度 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w el e t ( x ，d ) b eac o m p a c tp s e u d o m e t r i cs p a c e f i r s t ， w es h o ws o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo fd o u b l i n gm e a s u r ea n du n i f o r m m e t r i cd i m e n s i o no n ( x ，d ) f o r t h e r m o r e ，w ep r o v e ，i ft h ec o m p a c tp s e u d o - m e t r i c s p a c e ( x ，d ) h a saf i n i t eu n i f o r mm e t r i cd i m e n s i o n ，t h e r ee x i s t sad o u b l i n gm e a s u r e t h a th a sf u l lm e a s u r eo uas e to fh a u s f o r f fd i m e n s i o na tm o s ta f o ra n ya o k e yw o r d s d o u b l i n gm e a s u r e ；m e t r i cd i m e n s i o n ；p s e u d o m e t r i c ；h a u s d o r f fm e a s u r e 附件三： 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。 论文作者签名：酿阳曲时间：z 5 年歹月h 同 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 ( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：厦乏p 日正勇 签名日期：j o 年歹月协r 导师签名：立芒在 签名日期：踟z 年厂月r t n 一引言 测度与维数是分形几何研究的核心部分，它们是分形这一数学分支中最 主要的工具及研究对象之一 测度是将集合数值化的一种简单而又直观的方法自从1 8 9 5 年b o r e l 【1 1 】 将测度作为描述集合大小的一个工具介绍给人们，人们就尝试着在不同的集 合与空间上构造各式各样的测度。尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义 了许多测度以c a r a t h e o d o r y 9 构造为基础建立的h a u s d o r f f 测度与维数【6 1 可 以对任何集都有定义，特别对不规则的分形集的研究h a u s d o r f f 测度具有重要 的作用测度能显示出用其方式研究的分形特征 测度常常被看作是某种“质量分布”，人们希望在度量空间上找到一些比 较均匀的“质量分布”或测度而加倍测度就是度量空间上一个比较理想的测 度因此，近年来加倍测度成为许多学者讨论和研究的新方向 我们知道，若度量空间( x ，p ) 上存在加倍测度，则( x ，p ) 是加倍的；反 之，若度量空间( x ，口) 是加倍的，在江，p ) 上却不一定存在加倍测度 在什么样条件下，度量空间忧，p ) 上存在加倍测度呢? 一些学者首先对紧的度量空间进行了相关的研究，如：1 9 8 8 年，v o l b e r g 和k o n y a g i n 1 l 证明了加倍的紧度量空间上存在加倍测度但这一定理中测度 的构造弗濑较繁杂且抽象基于这一点，1 9 9 8 年，w uj a n g - m e i b 用一个简 洁而具体的构造以弱收敛的方式构造了紧的加倍的度量空间( x ，p ) 上的加倍 测度 在上述相关结论的基础上，本文的一个主要内容是在加倍的紧伪度量空 间上讨论了加倍测度的存在性，并得出在加倍的紧伪度量空间上，仍然能以弱 收敛的方式构造伪度量空间上的加倍测度。 此外，在利用测度测量几何对象时需要维数作为测量的“尺度”在研究 经典几何对象时人们总是采用整数维。但是，在分形集上，珏a u s d o r f f ( 1 2 】将传 统的维数概念通过覆盖的方式推广到一般的非负实数现阶段关于分形的研 究中，h n d o t 矗维数至少有如下意义；测量几何对象适当的尺度和充斥空间 的能力因而h a u s d o r f f 维数具有极为重要的作用而且关于h a u s d o r f f 维数的研 究的结果也是较为丰富和深入的 1 在一般的度量空间中，还有许多针对不同目的定义的维数但对于加倍测 度与h a u s d o r f f 维数的讨论却是复杂而又有趣的如： 设( x ，卢) 是紧的加倍的度量空间，则在( x ，p ) 上支撑着加倍测度若空间 x 的子集e 是满测的，那么有豆= x ，从拓扑学角度来讲，e 是x 中一个 很大的集合是否存在x 上的加倍测度p ，使得卢在某个h a u s d o r f f 维数较小 的集合上满测呢? 1 9 8 9 年，p t u k i a 4 1 证明了对于欧氏空间中的闭球b ，b 上任一加倍测度 不可能在b 中某个h a u s d o r f f 维数为0 的集合上满测对于紧的加倍的度量空 间( x ，p ) ，1 9 9 8 年，w uj a n g - m e i i s 证明了对任意0 f 0 ，都可以找到僻，p ) 上加倍测度p 在某个h a u s d o r f f 维数最多为口的集合上满测将p 毗i a 【4 中 的一个结论推广到度量空间 本文另一个主要内容是在伪度量空间上讨论加倍测度与h a u d o r f f 维数及 其性质，将上述w uj a n g - m e i 8 的结论推广到紧的加倍的伪度量空间证明若 紧伪度量空间( x ，d ) 有有限的一致度量维数，则对任意a 0 ，存在( x ，d ) 上 的加倍测度在某个h a u s d o r f f 维数最多为n 的集上满测 2 二预备知识 这一章我们给出本文需要用到的定义及结论 2 1 伪度量空间 设x 是一非空集合，称x 为伪度量空间 “，是指在x 上定义了一个双 变量的实值函数d ( 。，y ) ，满足下列三个条件： ( 1 ) d ( x ，y ) 0 且d ( x ，y ) = 0 争。= y ， ( 2 ) d ( x ，y ) = d ( y ，。) ，v 。，y x ， ( 3 ) jc d 使得d ( 。，z ) c , t ( d ( x ，y ) + d ( u ，z ) ) ，vz ，y ，z x 称d 为x 上的伪度量，以d 为伪度量的空间记作伍，d ) 伪度量空间的例子很多，当岛= l 时，伪度量空间就是一般的度量空间， 因而任意的度量空间都是特殊的伪度量空间下面给出一个是伪度量空间而 不是度量空间的例子： 例如：在r 上定义一个双变量的实值函数d ( z ，y ) = l z 一1 2 则( r ，d ) 是 一个伪度量空间事实上，这里的d 显然是满足( 1 ) ，( 2 ) 两个条件的，对于条 件( 3 ) ，有 d ( x ，z ) = l 。一z 1 2 = i 。一y + y 9 1 2 2 ( 窭一暂尸+ 悟一名1 2 ) = 2 ( d ( x ，y ) + d ( y ，z ) ) 这里( 皿，d ) 中的常数函= 2 ，对v 。，y ，。x 均成立。 2 2 加倍测度 设( x ，d ) 为伪度量空间，p 为( x ，d ) 上的测度，称测度肛是加倍测度i s ， 若存在常数c 0 ，使 p ( b ，2 r ) ) a p ( b p ，r ) ) 对所有g x 和r 0 成立。 3 若“( z ，r ) = 0 或p ( z ，月) = o 。对所有的z x 和r 0 成立，显然 也是加倍测度，在这种情况下，称测度肛是乎凡的； 若存在。x 和r 0 使得0 p 旧( z ，r ) 。，则称( x ，回上的加倍测 度弘是非平凡的本文所讨论的加倍测度均指非平凡的加倍测度。 2 3致度量维数 设( x ，p ) 为度量空间，称x t 。，若存在s 。，及常数g ( 与s 相关) 使得对任意。x 及0 0 ，令 琊= i n f i 巩1 5 ： 巩) 以为e 的d 一覆盖) 1 注意到作为j 的函数，研单调非减，从而当6 一0 时，它趋于一极限 日。( 目= l i mh s ( e ) 日5 ( e ) 称为届的s 一维h a u s d o r f f 测度 对于ecx ，存在个临界值s ，使得h s ( 曰) 从无穷跳跃到0 。此临界 值称为集e 的h a u s d o r f f 维数，记为d i m 口e 其精确定义如下； d i m h e = s u p s ：h 。( e ) o ) = s u p s ：h 5 ( e ) = 0 0 ) = i n f s ：h 。( f ) 0 ，对于盖的可列或有限子集族f 阢) ， 如果它满足下述两条性质：任一阢的直径不超过6 ，即i 砺 6 ；并且它们 的并覆盖e ，即u 矾3e ，贝0 称 瓯) 为e 的一个6 一覆盖 t 1 设s 0 ，6 0 ，令 h i = i n f j 巩j 5 ：t 矾h l 为e 的d 一覆盖) i 1 同样的，作为6 的函数，辫单调非减，从而当d 一0 时，它趋于一极限 日5 ( e ) 2 溉h i ( e ) 日。( 四) 称为e 的8 一维h a u s d o r f f 测度 接下来讨论伪度量空间中h a u s d o r f f 测度的性质： 性质1 伪度量空间中的h a u s d o r g 测度为度量外测度 证明：设ecx ，fcx ，且d ( e ，f ) 0 令d ( e ，f ) d 0 ，那么曰的任意 一个6 ( 2 g d ) 一覆盖与f 的任意一个d ( 2 c a ) 一覆盖彼此不交，从而e u f 的任 意一个6 ( 2 c d ) 一覆盖可以分解为e 的6 ( 2 q ) 一覆盖和f 的6 ( 2 嘞) 一覆盖， 由此可得 群( 2 吼) 旧uf ) 月知( 2 g d ) ( 曰) + 甘玉( 2 吼) ( f ) 令d - 0 得 日5 ( 目u f ) h 5 ( e ) + h 5 ( f ) 反向不等式显然成立命题得证 性质2 伪度量空间中的h a u s d o r f f 测度是b o r e l 正则的 5 证明：设( x ，d ) 为伪度量空间，e 为x 中的子集 若h s ( 日) = 。，则x 是包含e 且与占有相等h a u s d o r f f 测度的开集 若h s ( e ) o o ，对每一个n = l ，2 ，取e 的一个1 n - - 开覆盖 砜t h ， 使得 1 l u n t i 。 0 ，q 0 ，对vz ，y e i a d l ( g ，y ) d 2 ( ，( z ) ，( ) ) 岛d l ( x ，) 称，满足一阶h o l d e r 条件，如果存在常数c 0 ，a 0 ，对v 。，y e d j ( ，( z ) ，( 掣) ) g ( d 1 ( $ ，可) ) o 性质3 设ec x l ，：e 叶蜀满足口一阶h o l d e r 条件。则对任意8 0 ， 日：( ，( e ) ) a ：日5 ( e ) 证明：设 阢) 为e 的一个d 一覆盖，由已知条件知， ，( 矾n e ) 1 g f 巩 “ 6 于是 ，( 巩u e ) ) 为，( e ) 的一个e 驴覆盖从而， l ，( 砺n e ) j c ：l , 1 5 = g ：吲8 因为( 阢) 是e 的任一6 一覆盖，两边取下确界得： j 圩函。( ，( f ) ) g ：研( 四) 令d _ 0 即得证 推论若，为l i p s c h i s z 映射，则 h 5 ( ，( e ) ) c 3 口5 ( e ) 若，为双l i p s c h i s z 映射，则 四月1 ( e ) 姜h 3 ( ，( e ) ) c 玉日5 ( 目) 性质4 伪度量空间中的h a u s d o r f f 测度日s 在某个s 处从。跳跃到0 性质4 可由h a u s d o r f f 测度的定义直接验证得到 伪度量空间中的h a u s d o r f f 测度具有临界性质，由此可定义伪度量空间中 的h a u s d o r f f 维数 对于e c x ，存在一个临界值s ，使得h s ( 曰) 从无穷跳跃到0 此临界 值称为集e 的ha _ u s d o r f f 维数，记为d i m h e 其精确定义如下： d i m h e = s u p 8 ：日3 ( 刀) o ) = s u p a = i n f s ：h 8 ( e ) s ，存在x 上的测度卢满足 p ( b ( 。，k r ) ) c k 。p ( b ( 。，置) ) 对任意0 s ，存在 x 上的测度卢使得卢( b ( 。，r ) ) g p 旧( $ ，r ) ) 对任意z x 及0 8 取足够大的常数a 满足a 1 5 四使得 a 5 1 g( 1 ) 对每个k 0 ，设s k = x k ，j ：1 j j ) l 是x 上一个最大的a 一网 ( i os k 上点两两之间距离大于等于a 一，外点到瓯的距离小于a “) ， 且满足 s 0 s l 瓯s k + 1 其中岛为单点集扣o ，) 在这个构造下我们得出一些简单结论： 1 对k 0 ，定义映射e = “：s k + l 一瓯，。鼠+ 1 取z k ，j & 使 得d ( g ，x k j ) = d ( $ ，鼠) ，记为x k ，j = e ( z ) 令取j = 伽瓯+ 1 ：z k ，j = e ( z ) ) 有： s k + t n b ( z k , j ，赫) c t k jc s k + 1 n b ( z k j ，a ) ( 2 ) t k ，j ) 是s k + l 的一个划分称t k j 中的元素为m k ，j 的分点，点j 为老分 点，其余的点为新分点 由( 2 ) 式和( 3 ) 式有 8 ( 死，) l ( & + 1nb ( z k ，j ，a 一) ) j ，a - k - 1a ) c s a 5 a 8 2 令 为定义在u 瓯上的映射轨道：若z 毋，则 ( 。) = ( n o ，。) ，若 g t k ，jcs k + l ，h ( x ) = ( a o ，a 1 7 一，a k ，$ ) 是( k + 2 ) 元向量，其中( o o ，0 1 ，a k ) = ( 。j ) ，我们称o 。( o m k ) 为z 的第m 代母点 对每个z k + 1 ，记j = k 岛：x k , j 为z 的第k 代母点) 喁= u ，j f 十l 则有 岛n b j ，荔一南一_ 1 ) t l , j c s ln b j ，南一) 1 1 及 啪u + ，s c q b ( x k , j , 砑a - k 一尚1c 喁c 。蚪，s f n b 一，南一) _ ( 4 ) 以下我们证明( 4 ) ，( 5 ) 式是成立的； 证明： 先证( 4 ) 式，对任意的z ，j ，有如下不等式一 m 叫蚴a 圣( 吼r 1 几若扔i 矿。 n = 0 则( 4 ) 式右边的包含关系得证；下证其左边的包含关系t 任取z 8 。n b ( 。蜘，筹一f 勖且一一1 ) ，对某个p ，必有z = $ k + 1 1 p 或者 口+ 1 弟 于是 d ( x k + l 十，x k ，j ) c d ( d ( x + l 巾，) + d ( x ，。，j ) ) q ( # 勃a - k - 1 + 砑a - k f c 丽d 一1 ) a k 2 面 由( 3 ) 式知，x k + i 是x k , i 的分点，故g ，j 对每个z k + i ，( 4 ) 式都成立，易知( 5 ) 式也成立 ， 3 取m a 5 ，令”，。为x k ，t 处的权且满足： 若机。i 乳& - 1 j 有 3 2 2三个引理 m 一1 k f 1 饥+ l f 一1 $ + l ，i 珏。 叫k 兰0 k 1 2 在定理1 的证明中，令m = _ s | ，则a s 叫，f l 为了证明定理1 首先给出三个引理： 引理3 1 设舢为s g 上的单位质量，由迭代公式 p k + l ( 。+ 1 ， ) = o o k + l ，i # k ( x k ，j ) ， 其中x k + l , l 靠，可定义测度列 m ) ，m 的质量分布在& 上，则测度列 m ) 收敛 证明：对任意x 上连续函数，有： i f d p k - - 脚心 = l 弘( 蚴) ，( 口) 一p 帅( 眦p 他忡 ) ) i i 3 t ：? = p 巾( 茁 州) ，( 嘶) 一肛女+ p ( 茹 俐) ，( z 女侧) l j哇挚|t胃 = l p 却俐) m ，j ) f ( $ k q - p ，i ) i 6 j 掰 于是 ，缸k ) 收敛，记极限为f ( ，) 易知f ( ，) 是g 僻) 上的正线性泛函，故 由尉e 。z 表示定理知存在肛使得z ( ，) = 芦( ，) 所以 肌) 弱收敛于芦- 引理1 得证 由 芦k ) 的收敛隆，可得： 引理3 2 ：在常数c 1 = 尚c ，对任意的k ，r o 及搿x ，有： “t ( b ( g ，且) ) p ( 口( z ，c d r + c e c l a 一2 ) ) ， ( 5 ) 及 p ( 口 ，r ) ) p r ( 丑0 ，( r + c d c l a 一) ) ( 6 ) 其中( 6 ) 式中球为闭伪球，( 7 ) 式中球为开伪球( 由于不影响本文结果，不妨 设本文中全为开伪球) 证明：当由m 构造p k + l 时，质量转移的距离不超过a ，因此，由芦 构造肛k + l 质量转移的距离不超过g d a ( c d a ) “，有： 一1 一 q a “圣( q 胆) “ 瓦1d ( x k , j ，a m - 1 ) 一眠巾n 。) 知等一c 1 a - , n ) c 1 a c 1 a 一 瓦( 1 万一 一 “。 2 四( 1 + q ) 且一 矛盾又 p kc i x k ， ) ) = ( i i f ) p 。+ 1 ( n + 1 ) ) b + 2 k p ( 茁，j ) ) = ( i it 研) p h + 1 ( t b 。+ 1 ) ) 蜘+ 2 将上两式作比得： m ( 茹，t ) ) m 肌( z t ，j ) ) 引理3 证毕 3 2 3定理1 的证明 本节运用上述三个引理证明了定理1 证明：任给z x 及0 置女r ，存在n ，n 使得a 一“1 k r a 一， a 一 r a 一+ 1 取。+ 1 s n + i 满足d ( $ ，x n + 1 ) = = d ( 。，s n + 1 ) 令g ； 0 ，l ，一n ，依次取x n 一口= e ( 。一叶1 ) ，则有。 u ( b ( z ，r ) ) q g ( 1 + 研) 。p 。( 。) ( 7 ) 及 肛+ l ( 口+ i ) t t ( b ( x ，r ) ) ( 8 ) 】5 先证( 8 ) 式，由引理2 及引理3 得 p ( b 扛，k r )肛。( b 扛，c d ( k r + c 1 a 一”) ) ) u 。( 日仕，c 台( 1 + q ) a 一“) ) = 卢n ( t ) ) s n c , b g q ( 1 + q ) 。m ( z n ) 、 ( 8 ) 式得证 次证( 9 ) 式，由x n + 1 的定义得 m + 1 ，口) = m ，s + 1 ) a _ - l 0 ， 存在x 上的加倍测度p 在某个h a u , s d o r f f 维数最多为。的集上满测 我们在3 2 1 中构造的基础上来构造集合t 使得定理2 成立： 记0 = m a x l i t k ，j ) 对每个1 ，对。女，t 乳甄一1 ，令w f = m o1 1 7 令鼠( p ) = 刃s k ：h ( x ) 中含p 个老分点) ，则l ( 吼( p ) ) 至多为曜( n o 一 1 ) 一o k b ) = z s ：h ( x ) 中至少含p 个老分点) ，则l ( 囟) ) 至多为 景_ p c ：( n o 一1 ) 枉记哥= 卢 引理4 1 若1 ，则有 k 肛帆) ) c d ( 1 一卢) ”卢一 m 其中0 p 证明：当= 1 且p = 0 时，a d o ) = s i 且p ( 口l ( o ) ) = 1 当k = l 且p = 1 时，口l ( 1 ) = 岛中的老分点) 且p 1 ( a 1 ( 1 ) ) 1 一卢，即k = 1 时成立 假设k 1 时不等式成立，下证不等式对k + 1 成立：当p = 0 时， p 女+ l ( 盯 + 1 ( 0 ) ) = 1 ；当p = k + l 时， 肛m + l ( a k + l + 1 ) ) ( 1 一卢) + 1 ；当 1 p 时，对任一$ o k + 1 ( p ) ，用a l ( 留) 表示g 的第一代祖先，若a l ( z ) 是老分点，则h ( x ) 中所剩的k 个位置至少含p 一1 个老分点，若a ，( 。) 是新分 点，则剩下的k 个位置中至少含p 个老分点，于是有 p 女十l ( a + 1 ( p ) ) 七 七 = p 1 ( 一( 1 ) ) 叼( 1 一卢) ”旷“+ ( 1 一肛1 ( a 1 【1 ) ) ) c dc i 一卢) “旷” m ；奢一1 m = p k k ( 1 一芦) c d ( i 一卢) 。卢。一“+ 卢c ：a ( 1 一卢) “胪一“ 引理4 得证 4 2 2定理2 的证明 先说明由引理3 1 得到的测度p 为加倍测度： 类似于引理3 2 有，若 d ( 。缸蠢，z 毛，) 2 g ；( 2 a 2 十c 、) a 一。 1 8 叫 叩 助 一 m 唧 | | 则 p ( 。，i ) ) m 3 p 女( z ，j ) ) 任给z x 及r 0 ，存在使得a 一 0 ，取m o 足够大使得卢= 等 且 ( 1 2 卢) 一( 1 2 口) ( 2 卢) 一2 口( 2 j v o ) 2 口a a 2 - n 取p _ ( 1 2 f 1 ) k 】令 取 靠= u 喝：。幻a ( p ) ) j t = nu 瓦 5 女耳 下证日o ( t ) = 0 ，p ( t ) = 1 1 9 取m 足够大， 丑冀一。+ t ( t ) j 强- m + l ( u 亍k ) m 霸嘶，( u 瓦j ) mo k 0 ) 女 c 2 u v o 一1 ) ( a “+ 1 ) 。 m l ：p 2 “。= 三1 - 2 - 。 令m _ + 。，则a 一“+ 1 _ + 0 ，日o ( t ) = 0 定理2 得证 舻2 熙p 出习引1 等p ( ) l i i n s u p 船( 瓦) k - - + 。o k 1 守s u p c 7 ( i 一卢) ”矿“ 一“m 2 - 口 p - 1 = 1 1 钽掣四( 1 一j b ) ”矿” 月。 1 一燃( “ 参考文献 【1 a l v o l b e r ga n ds v k o n y a g i n o nt h em e a s u r e sw i t ht h ed o u b l i n g c o n d i t i o n ，m a t h u s s ri z v e s t i y a3 0 ( 1 9 8 8 ) 6 2 9 - 6 3 8 2 d g l a r m a n an e wt h e o r yo fd i m e n s i o n ，l o n d o nm a t h s o c 1 7 ( 1 9 6 7 ) 1 7 8 1 9 2 【3 j l u u k k a l n e na n de s a k s m a n e v e r yc o m p l e t ed o u b l i n gm e t r i cs p a c ec a r r i e s ad o u b l i n gm e a g t t r e ，p r o c e e d i n g so yt h ea m s 1 2 6 ( 1 9 9 8 ) 5 3 1 - 5 3 4 4 pt u k i a h a u s d o u f fd i m e n s i o na n dq u a s i s y m m e t r i cm a p p i n g s ，m a t h s t a n d 6 5 ( 1 9 8 9 ) 1 5 2 - 1 6 0 5 】r k a u f m a na n dj m w u t w op r o b l e m so nd o u b l i n gm e a s u r e sr e v 打t a m a t ，i b e r o a m e r i e a n a 1 1 ( 1 9 9 5 ) 5 2 7 - 5 4 5 6 】k j f a l c o n e r f r a c t a lg e o m e t r y ：m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p l i c a - t i o n s ，j o h n 粥f e a n ds o n 8i n c ( 1 9 9 0 ) 7 1p e rb y l u n da n dj a u m eg u d a y 0 1 c e r t a i nr e g u l a r i t yp r o p e r t i e s ， 3 3 2 7 o n t h ee x i s t e n c eo fd o u b l i n gm e a s u r e sw i t h p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 8 ( 2 0 0 0 ) 3 3 1 7 - 8 j a n g - m e iw u h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dd o u b l i n gm e a s u r e so nm e t r i cs p a c e s p r o c a m e r m a t h s o c 1 2 6 ( 1 9 9 8 ) 1 4 5 3 1 4 5 9 9 1 9c c a r a t h e o d o r y u b e rd a sl i n e a r em a s sv o np u n k t m e n g e n e i n ev e r a l l g e m e i n e r u n gd e sl a n g e n b e g r i f f s ，n a c h g e s w i s s g o t t i n g e n ( 1 9 1 4 ) 4 0 4 - 4 2 6 1 0 】k j f a l c o n e r t h eg e o m e t r yo f 自a c t a ls e t