（工程力学专业论文）功能梯度压电梁板的样条有限点分析.pdf

功能梯度压电梁板的样条有限点分析 摘要 本文利用样条有限点法，对功能梯度压电梁板的力学性能进行了三维分 析。用3 次b 样条函数来拟合中性面的位移( 电势) 函数，通过引入位移模 式，得到结构中任意一点的位移，将力学和电学所有基本量用这个假定的函数 表示，分别以节点位移和广义参数法建立位移函数。分析中，假定功能梯度压 电材料沿厚度方向分别以多项式，指数函数，幂函数及正弦函数4 种梯度模型 分布。从三维弹性理论出发，利用样条有限点法，建立了功能梯度压电梁板的 静，动力模型；其次，利用f o r t r a n 语言编制了相应的计算程序，对功能梯 度压电梁板的静力问题进行了分析，并与已有的相关计算结果作了比较，证明 本文方法的合理性和有效性；最后分析了功能梯度压电板的屈曲问题。本文方 法既可为功能梯度压电结构提供一定参考，也具有实用价值。 关键词：功能梯度压电材料物性参数样条有限点法位移函数屈曲分析 s p l i n ef i n i t e - p o i n tm e t h o d f o ra n a l y s i so ff u n c t i o n a l l yg r a d e d p i e z o e l e c t r i cb e a r na n dp l a t e a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，t h et h r e e - d i m e n s i o n a la n a l y s e so nt h em e c h a n i c sp r o p e r t yo ff u n c t i o n a l l y g r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lb e a ma n dp l a t ea r ec a r r i e do u tb yt h es p l i n ef i n i t ep o i n t m e t h o d u s i n gt h i r dbs p l i n ef u n c t i o nt of i tt h ed i s p l a c e m e n to fn e u t r a l ，t h ea r t i c l eh a s g a i n e da l la r b i t r a r i n e s sp o i n t sd i s p l a c e m e n to ft h ec o n f i g u r a t i o nt h r o u 曲i n t r o d u c i n g d i s p l a c e m e n tm o d e ，t h e ne x p r e s s e da l lb a s i cq u a n t i t yo fm e c h a n i c sa n de l e c t r i c i t y w i t ht h i sa s s u m e df u n c t i o na n dc r e a t e dd i s p l a c e m e n tf u n c t i o nw i mn o d ed i s p l a c e m e n t a n dg e n e r a l i z e dp a r a m e t e r i nt h ea n a l y s i s ，i th a sb e e na s s u m e dt h a tf u n c t i o n a l l yg r a d e d p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a li sd i s t r i b u t e di n t of o u rd i f f e r e n tg r a d i e n tm o d e l sa l o n gt h i c k n e s s ： m u l t i n o m i a l ，e x p o n e n tf u n c t i o n ，p o w e rf u n c t i o na n ds i n ef u n c t i o n a c c o r d i n gt o t h r e e d i m e n s i o n a le l a s t i c t h e o r y , u s i n gs p l i n e f i n i t e p o 缸m e t h o d ，s t a t i c a n d d y n a m i c a lm o d e l so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cb e a ma n dp l a t ea r es e tu p p r o g r a m w i t hf o r t r a nl a n g u a g ei sm a d et o a n a l y z et h e s t a t i co ff u n c t i o n a l l y g r a d e d p i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lb e a ma n dp l a t e t h e nt h er e s u l t sf r o mt h ep r o g r a ma r e t a k e nt o c o m p a r e d 、析t 1 1t h ee x i s t i n gc o r r e l a t e dr e s u l t st op r o v et h er a t i o n a l i t ya n dv a l i d i t yo f t h ea r t i c l e sm e t h o d l a s t l yt h ef l e x u r ea n a l y s i so ff u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cp l a t ei s c a r r i e do u t t h ea r t i c l ec a l lp r o v i d es o m er e f e r e n c ef o rf u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i c s t r u c t u r e k e yw o r d ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dp i e z o e l e c t r i cm a t e r i a lp h y s i c a l s p l i n ef i n i t e - p o i n tm e t h o dd i s p l a c e m e n tf u n c t i o n p a r a m e t e r f l e x u r ea n a l y s i s 插图清单 图1 1 智能结构工作机理3 图1 2 金属陶瓷构成的材料特性6 图1 3f g m 设计流程图6 图2 1功能梯度压电材料的计算模型1 1 图2 2 不同梯度分布下的物性参数1 4 图2 3 三次b 样条函数1 5 图2 4 厚板法线偏离图1 9 图2 5 板的离散示意图2 0 图3 1功能梯度压电梁计算模型2 8 图3 2 计算流程图3 5 图3 3 模型示意图3 6 图3 4 厚度方向形状因子对p 的影响3 7 图3 5电势随厚度的变化3 8 图3 6 应力随厚度的变化3 8 图3 7 仃，随梁厚的变化趋势图3 8 图3 8b ，随梁的变化趋势图。3 8 图3 - 9 瓦- 随梁厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 。3 9 图3 1 0 了随梁厚的变化趋势3 9 图3 1 l 仃，随梁厚的变化趋势图( n m 2 ) 3 9 图3 1 2 巧随梁厚的变化趋势图( n m 2 ) 3 9 图3 1 3 髟：随梁厚的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 一4 0 图3 1 4 模型示意图4 0 图4 1计算模型图5 0 图4 ，2甜，随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 5 1 图4 3 “y 随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 5 l 图4 4u z 随板厚的变化趋势图( 1 0 9 m ) 5 1 图4 5随板厚的变化趋势图( v ) 一5 1 图4 - 6 o x 随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 7 uy 随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 8 仃：随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 9 x y 随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 1 07 ，随板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 1 1 叫谴板厚的变化趋势图( n m 2 ) 5 2 图4 1 2d x 随板厚的变化趋势图( 1 0 9 c r n 2 ) 5 3 图4 1 3 巳随板厚的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 5 3 图4 1 4 随板厚的变化趋势图( 1 0 9 c m 2 ) 5 3 图5 1挠度引起x 的变化5 5 表格清单 表2 13 次b 样条函数及其导数1 6 表3 1c 9 1 和p z t - 4 的材料常数3 6 表3 2 不同梯度模型的形状因子值3 7 表3 3 单位电压梁的挠度值4 l 独创性声明 本人声明所y - 交的学位论文是本人在导师指导。卜进行的研究一l ：作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰弓过的研究成果， 也不包含为获得佥8 垦：些厶堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料a 与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 孥位论一弛池叛州期川年c 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解佥起王些厶堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金月墨兰些态堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：沈锉 签字日期： o 譬年月f 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 云汪分 方汪分 签字g 年6 月厂日 电话：561 j oj 夕7 邮编： 致谢 本论文从选题、展开到最后的定稿，都得到导师方诗圣教授的悉心指导和 严格把关。方老师严谨的治学态度，高尚的品德，实事求是的精神给我留下了 极为深刻的印象。作为一名学者，方老师对科学发展的前沿领域以及新事物具 有敏锐的分析和把握能力，使我深受教益；作为师者，方老师忘我的工作态度 对我将来的工作很有教育意义，值得我学习，对我学习上方老师大力支持并且 严格要求；作为长者，方老师经常和我交流，关心我生活学习上的困难，并给 予热情帮助，使我终生难忘。在此，我谨向恩师致以最崇高的敬意和最良好的 祝愿! 感谢敬爱的父母对我的养育之恩! 不管身在何处总能够感觉到您们永远的 牵挂；不管我遇到多大的艰难险阻，想起你们总能使我克服困难，勇往直前， 翻过一座一座的高山。 感谢土木与水利学院的领导和老师，特别是王建国教授。感谢同窗好友逢 焕平、裴陪等同学学习与生活上的帮助，同窗数载建立的友谊终生难忘。感谢 师弟柳彬彬，凡大林等师弟的帮助，与他们一起讨论问题，解决问题使我得到 了不断的进步。 感谢我的工作单位合肥水泥设计院，为我提供了一个工作平台，在他们的 领导和关怀下，我相信将来一定能够成为公司的有用之才，为公司的发展尽微 薄之力。 最后，向一直以来给予我支持和帮助的老师、同学、朋友和亲人们表示最 衷心的感谢和最诚挚的问候! 作者：沈德洲 2 0 0 8 年3 月 第一章绪论 1 1 压电材料简介： 郑哲敏等【1 】在 杂志上回顾力学发展史，展望2 l 世纪力学发展 趋势时指出：“力学将融会力一热一电磁等效应，这些效应的结合孕育着极 有前途的新机会”。以往那种只注意利用材料的某一方面特性的时代己经过去， 随着科学技术的发展，现在人们己将注意力转向对材料交叉耦合效应的研究。 其中，力电耦合效应是智能结构中最常用的耦合现象，已经受到了广泛的重 视，开始应用到了形状和振动控制中。黄文虎等c 2j 在综述航天柔性结构的振动 控制时指出：压电材料非常适合航天结构的需要。 1 1 1 压电效应 压电( p ie z o e l e c t r ic ) 现象最早是由p i e rc u r i e 及j a c q u e sc u r ie 兄弟 于1 8 8 0 年首先在口一石英晶体中发现的【3 1 。压电材料被电场极化后，材料中的 晶体以极化的方向为主，还有一部份晶体仍然偏离极化方向，从而产生剩余的 极化强度，就以偶极矩的形式表现出来。 当压电材料受到外力而产生形变时，剩余的极化强度因材料形状改变而发 生变化，引起材料内部的正负电荷中心发生变化，产生电荷的重新分布，导致 表面产生相反的电荷，电荷密度与形状的改变成正比，这种现象称为正压电效 应f 4 】。反之，如果对压电体施加电场，压电体会因内部剩余极化强度的影响而 发生形状的改变，这种现象称为逆压电现象，具有正逆压电现象的材料统称为 压电材料。 压电材料是一种电介质。所谓电介质是指自身不导电的物质，其特点是在 电场作用下电介质会产生极化，它以感应方式丽不是以传导的方式传递电作 用。压电材料具有压电伸缩效应和电致伸缩效应，其本质是电介质在电场的作 用下发生极化，通过极化使电介质晶体的晶格发生畸变，在宏观上表现出机械 应变，即机电耦合效应。 为了描述电介质的极化强度，引入极化强度的概念，极化强度能够直接反 映出电介质在电场中的电学与力学的关系。极化强度等于单位体积内的电偶极 矩矢量之和，即： 尸：等 ( 1 一1 ) 矿 、7 极化强度p 与电场强度e 之间成比例关系，即： p = x e ( 1 2 ) 其中：x 称为介质的极化率。 真空介电常数靠，电位移b ，电场强度e 、极化强度p 之间的关系【5 1 ，可表 示为： b=soe+p(1-3) b = p 。+ x 归= f e ( 1 4 ) 其中：称为介电常数，它是描述介质极化程度的一个物理量，反映了介质的 介电性质和介质的极化性质。描述各向同性的介电性质，只需要一个介电常数 分量，而描述完全各向异性介质的介电性质，需要六个独立的介电常数分量。 压电材料在变形时产生电场，在受电场作用时产生变形，因此根据这种内 在的机电耦合性质，使得压电材料在诸多领域有着广泛应用。正压电效应被广 泛运用于智能结构的感知元件，以实现对结构的形状控制、振动和噪声控制及 结构的损伤检测等：逆压电效应被广泛的应用于智能结构的驱动器。 1 1 2 压电材料 一个多世纪以来，压电材料不断发展，从最早的石英晶体、罗息盐到带氧 八面体型压电晶体( l i t i 0 3 ，p b t i 0 3 ，b a z r 0 3 ) 等，发展到今天的固溶压电 材料( 锆钛酸铅p z t ) ，聚氟乙烯( p v d f ，p v f 2 ) 。如今，压电陶瓷已广泛用于 机电和电子仪器组件中。这与压电陶瓷的三个特征有关： 1 它具有较高的压电常数； 2 它能方便的制成所需的各种形状和尺寸，自由选择极化方向； 3 它非常刚硬，能承受较大的施加载荷。 不足之处是压电陶瓷固有的脆性。因此，研究这些材料在工作状态下由机 械荷载或电载荷引起的应力集中等力学性能对于保证结构的可靠性和高效性 是很重要的。压电材料的种类主要有压电单晶、压电陶瓷、压电半导体、压电 高聚物、压电复合材料和( 压电) 液晶等。 1 压电单晶 由原子、分子和离子有规则的周期性的排列构成的物体称为晶体。原子在 整个晶体内的排列取向单一者为单晶，否则称为多晶，具有压电效应的单晶称 为压电单晶( 压电晶体) 。压电单晶属于天然的压电材料，不需要人工极化， 没有热释电效应，具有优秀的动态品质和良好的频率稳定性。 2 压电陶瓷 具有压电效应的陶瓷属于多晶体，是压电材料的一种主要形式，通常由具 有自发电极化的铁电材料烧成( 人工制造) 。由于自发极化方向完全是随机取 向，在无外电场情况下，极化效应在总体上互相抵消，趋于平衡，因此不具有 压电性能。当对压电陶瓷施加直流电场( 如3 0 4 0 k v c m ) ，经过2 3 小时后， 极化方向就会趋于电场的方向。经过以上过程的极化处理，外加电场撤掉后， 陶瓷中仍保持着一定的剩余极化强度，当压电陶瓷在外力或外电场作用下，剩 余极化强度就会发生相应的变化而呈现压电效应。 2 3 压电高聚物 高聚物又称高分子化合物，分子量高达几千到几百万，几乎所有的高聚物 都多少有些压电性质。压电高聚物一般分为压电塑料、压电橡胶和压电树脂等。 其中聚偏二氟乙烯( p v d f ) 是一种常见的压电聚合物，p v d f 薄膜常用于分布式结 构振动控制中。 4 压电复合材料 压电复合材料是将压电陶瓷和聚合物按一定连通方式，一定体积或重量比 例以一定的空间几何分布制成的。它不但可以成倍地提高材料的压电性能，而 且可以克服压电陶瓷自身的脆性和聚合物压电材料的温度限制，是未来智能材 料结构中新型传感元件和致动元件的材料。 5 压电液晶 液晶是液体晶体的简称，是一种介于液态和固态之间的物质具有压电性 能的液晶在微小的电压下就有灵敏的压电效应、超声效应和应力效应，在很小 的外界能量的影响下就能使其自身的结构发生变化，从而使其相应的功能发生 变化。 2 0 世纪9 0 年代末，随着大应变，高强度的压电材料的研制，压电材料的 应用已经从航天航空领域拓宽到土木工程领域。 目前，压电材料已成为智能材料及智能结构的重要分支，研究高压电性， 大应变，高强度，高驱动，低能耗的压电材料是一项重要的研究任务【6 】。 1 1 3 压电材料在智能结构及土木工程的应用 一个智能结构模型有三部分组成，上下两层为智能材料，分别充当驱动器 和传感器，中间部分的梁，是主结构。当梁因振动时，传感器的表面产生电压， 在一定的控制规律下，将产生的电压传给驱动器，在外界电压的作用下，驱动 器产生相应的形变，这种形变会削弱或者增加结构的变形。这就是智能结构的 工作机理。 童：。爹蔓j 三j + ? 二：j 一爰一：l j i t j 用压电材料制作的压电传感器与执行器是压电智能结构的基础。压电材料 在智能结构的应用中的主要优点有以下几个方面： 1 压电材料具有正逆压电效应，这使得压电材料在智能结构中既可作 传感元件又可作驱动元件： 2 频响范围宽： 3 压电效应有较好的线性关系： 4 压电材料的输入输出均为电信号，易于测量与控制； 5 压电材料功耗低： 因此，压电材料被广泛地应用在智能结构中作传感器和执行器。智能结构 系统是减灾防灾的研究前沿。重大工程结构，如大坝、河堤、重要桥梁、军事 设施、水电气基础设施、医院、学校以及高层建筑等，在发生地震、台风、洪 水等自然灾害时的安全，是举世瞩目的重大科技、经济和社会问题。由于一切 工程结构都是按照力学原理设计的，没有生命，没有智能，不能感知自然灾害 的作用，不能作出适当响应保护自己。为了保障安全，设计者往往采用保守设 计，增大结构的尺寸与重量，从而增加人力、财力与资源的消耗。 近年来，随着信息科学与工程及材料科学的发展，科学家和工程师们从对 自然界和生物体进化的学习与思考中受到启示，提出了力图从根本上解决工程 结构整个寿命期间的安全以及减小灾害影响的一条崭新思路，即仿人智能结构 系统的概念1 7 届j 。 智能结构系统，是在结构中集成传感器、控制器及执行器，赋予结构健康 自诊断，环境自适应及损伤自愈合等某些智能功能与生命特征，达到增强结构 安全，减轻质量，降低能耗，提高性能为目标的一种仿生结构系统。 未来的工程结构在灾害发生时，应当迅速感知灾害对结构的激励，并及时 作出判断，自动调节和控制结构的特性，以使整个结构系统始终处于最佳状态， 在灾害发生时能够自己保护自己，并继续存在下来。 从长远的观点看，智能结构在土木工程领域的应用研究不仅具有吸引力， 而且具有潜在的革命性。例如随着科技的发展，人们对居住环境的要求不断提 高，智能大厦的出现与发展就是智能结构在建筑领域的个综合应用的结果。 通过光纤传感器等和置于屋顶的液压式激振器等，感知建筑物的温度、亮度、 噪声和地震信号等，自动调整中央空调系统、照明取暖系统、抗震减噪设施等， 使智能大厦呈最佳最节能最安全状态 引。 1 。2 功能梯度材料研究现状： 1 2 1 功能梯度材料简介 复合材料已在工程中得到广泛应用，然而传统的复合材料，由于由两种或 以上的不同均匀材料结合在一起而存在明显的界面，因此材料的物性参数如弹 4 性模量、热膨胀系数在该处不匹配，从而使得界面容易失效泉，界面设计也就 成为复合材料设计的重要课题。另一方面随着现代科学技术的进步，超音速航 天飞机、超音速民用交通、现代航天飞行器以及下一代电力系统装置都对材料 的设计与应用提出了新的要求。 在自然界，存在着一类特殊的非均匀材料，他们的材料组成部分在空间连 续变化。我们将这种材料组分在空间连续变化，具有特定功能的材料，称之为 功能梯度材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ，简写f g m ) 。 虽然f g m 在自然界早就存在，但它作为一种材料设计理念直到上个世纪8 0 年代中期才首先被提出。为了彻底地解决这个问题，研制出一种在强温差条件 下能反复正常工作的材料，日本学者新野正之、平井敏雄等人在1 9 8 4 年首次 提出了f g m 的概念。 从本质上讲，f g m 也是一种多相材料，但与一般的层合材料不同，其设计 思想是在材料的制各过程中，通过连续的控制各组分含量的分布，弱化甚至完 全消除各组分之间的界面，使材料的宏观特性( 如弹性模量、压电系数等) 在 空间上呈现梯度变化，从而满足结构元件不同部位对材料使用性能的不同要 求，达到优化结构整体使用性能的目的与传统复合材料相比功能梯度材料有 如下优势 1o 】： 1 将功能梯度材料连接不相容的两种，可以大大地提高粘结强度； 2 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 3 将功能梯度材料用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以及应力 自由端点的应力奇异性； 4 用功能梯度材料代替传统的均匀材料涂层。既可以增强连接强度也可以减小 裂纹驱动力。 从材料的组成方式看，功能梯度材料可分为金属陶瓷、金属非金属、陶 瓷陶瓷、陶瓷非金属和非金属塑料等多种结合方式。从组成变化看，功能 梯度材料可分为：功能梯度整体型( 组成从一侧到另一侧呈梯度渐变的结构材 料) ，功能梯度涂覆型( 在基体材料上形成组成渐变的涂层) 和功能梯度连接型 ( 粘结两个基体间的接缝呈梯度变化) 。因在制备过程中，选取了两种或几种不 同性质的材料，连续地控制材料的微观组成、结构和空隙形态与结合方式，使 界面的成分和组织呈连续性变化，因而材料内部热应力得以大大缓和，如图1 2 所示，对高温侧壁采用耐热性好的陶瓷材料，低温侧壁使用导热和强度好的金 属材料。在金属与陶瓷中间的梯度过渡层里，其耐热性能、机械性能等呈连续 变化，热应力在材料两端均很小，使其成为可在高温环境下应用的新型耐热材 料。图1 3 所示为f g m 设计流程图，从中可以看出，材料组分的选择是后阶段 设计及制备的基础，组分设计的好坏关系梯度材料的最终实现。 否 金属侧梯度层 陶瓷侧 图1 2 金属陶瓷构成的材料特性 图1 3f g m 设计流程图 一般认为现代材料的研究体系包含4 个要素：材料的固有性质、材料的结 构与成分、材料的使用性能和材料的合成与加工。因而，功能梯度材料的开发 研究将涉及多产业、多学科的交叉、合作，是一项庞大的系统工程，它通常由 材料设计、材料合成和性能评估三个部分组成。 功能梯度材料的设计：它是由计算机辅助设计获得最优的材料组成和组分 分布。首先按照包括几何形状和边界条件在内的技术要求，在材料性能数据库 6 和设计基本资料的基础上选择可能的材料成分组合，在预定的混合比分布下进 行热传导和热应力分析；经过多次迭代计算以确定最佳的材料组合和组份分布 形。然后由材料合成部门进行材料的梯度合成；对合成后的材料进行性能评估， 再把测定结果和评估意见反馈给材料设计部门；经过循环设计、制备及评价， 最后研制出满足要求的功能梯度材料。 1 2 2 力学研究现状 功能梯度压电材料是具有机电耦合性能的材料。这类材料因能够实现机械 能、电能之间的相互转换，在信息技术、新材料技术和新兴的智能材料系统与 结构等高技术领域显示出巨大的潜在应用前景，其力学性能的研究正逐渐成为 力学、材料科学和物理学等领域的热点课题。 首先，我们回顾一下板理论的发展历程。l e u l e r 在17 6 6 年发表了板的薄 膜理论的第一个数学表达式，解决了矩形和圆形弹性薄膜的自由振动问题【l 。 在l e u le 基础上，7 a c q u e sb e r n o u l li 引用了格构比拟【l2 1 ，将l e u le ：的比拟 推广到板上，但由于他在运动微分方程中并未包括板的抗扭因素，因此仅仅发 现了理论与实践之间的相似性，而没有普遍的一致性。法国的数学家s o p h i e g e r m a i n 应用变分法得到了关于板的振动微分方程，但忽略了板的中面翘曲所 作的功。j l l a g r a n g e 修正了她的著作，进行了改善，并因此成为使用板的正 确微分方程的第一人。近代弹性理论的创始人c l n a v i e r 推导了具有抗弯刚 度的矩形板的正确微分方程，并利用三角级数求得简支边矩形板的精确解。 s d p o i s o o n 在n a v i e r 的基础上，将板的基本微分方程推广应用于圆板的横向 振动。随着时间的推移，1 8 7 6 年g r k i r c h h o f f 发表了创造性的著作1 1 引，他 被认为板理论的创始人。他的薄板理论建立在两个公认的假设之上：( 1 ) 板中面 法线在板发生弯曲时，仍就保持直线且垂直中面。( 2 ) 在横向荷载作用下发生 小挠曲时，板的中面不受拉伸。k i r c h h o f f 运用虚功原理建立了板的弯曲方程， 在各种薄壁构造设计中得到了广泛的应用。然而，在厚壁结构，尤其是复合材 料厚壁构件领域内，k i r c h h o f f 理论己经不能满足要求了。于是在二十世纪三 十年代中产生了厚板理论：例如e r e is s n e r 1 4 】理论、r d m i n d lin l l5 j 理论和 s a a m b a r t s u m y a n 1 6 】理论等相继出现。当今各家中厚壁结构理论，归纳起来都 人为地引入了一些简化假设。如假设力学量是某一坐标量的多项式，挠度沿厚 度均布即与z 无关，且大多数忽略挤压变形的影响。 众所周知，层问应力是决定叠层复合材料结构强度的一个重要因素，因此， 在进行力学分析时考虑剪应力的影响并准确计算层间应力具有十分重要的理 论意义和实用价值。范家让教授等【1 7 五4 】在初始函数法的基础上抛弃任何有关应 力和位移模式的人为假定，从弹性力学基本方程出发，引入状态空间理论和一 些特殊函数，建立了任意厚度各向同性、横观各向同性和正交各向异性叠层板 7 及壳的状念方程，给出了静、动态分析的精确解析解，使常规分析中6 p 个未 知量减少到仅3 个。由于将层问位移和应力作为状态变量，此解不但满足所有 弹性力学基本方程，计及了全部弹性常数，还满足了层间位移和应力连续条件， 适用于任意厚跨比，并为其它近似数值方法的计算精度提供了依据。但是，解 析解不足之处只能求解规则形状的问题。丁皓江等( 2 5 】引入状态变量，采用满足 边界条件的状态变量函数，利用状态变量法分析了四边简支压电矩形厚板弯曲 问题。p a n 2 6 j 研究了压电压磁材料组成的四边简支板的精确解。王建国【z 7 , 2 8 在层状压电结构的分析方面也做了富有成效的研究工作。通过引入状态变量， 建立了层状压电体半空问问题的状态变量方程，利用h a n k e l 变换，求出了层 状压电半体空间轴对称问题和非轴对称问题的状态变量解。 功能梯度压电结构中，物性参数随坐标变化而变化，弹性场与电场并存， 基本方程包含力场和电场，求解十分困难。近年来，为了实际应用的需要，关 于压电材料的理论在国内外都取得了广泛的成果；在精确解，简化理论解，有 限元解，边界元解等多种分析方法上都取得了不少的进展。r e d d y 和c h e n g j 用渐进展开式结合传递矩阵公式得到了智能功能梯度( f g ) 结构( 由弹性f g m 层 和压电层组成) 的渐近解。h u a n g 3 0 】用有限元方法分析了智能功能梯度压电结构 的热电响应。c h e n 和d i n g t ”】基于状态方程分析了四边简支压电功能梯度板的 弯曲问题。陈伟球和丁皓江【3 2 】研究了功能梯度压电材料矩形板的自由振动问 题。吴瑞安对功能梯度压电材料平板进行了力电耦合结构分析【3 ”：并从压电材 料基本方程出发，导出并求解了四边简支、接地条件下功能梯度压电材料矩形 板的自由振动方程【34 1 。仲政，尚尔涛【3 5 】对四边简支、接地、等温的功能梯度热 释电材料矩形板进行精确三维分析。l i 和w e n g 3 6 】，胡克强，仲政【”os 】基于三 维弹性理论和压电理论，对材料系数按指数函数规律分布的功能梯度压电板条 中的裂纹问题进行了求解；j inb 、z h o n gz 【3 9 】等对功能梯度压电材料的反平面 裂纹问题进行了研究。l i u 和t a n i 4 0 】研究了波在功能梯度压电板中的传播问 题。l i m 和h e 4 1 】给出了复合梯度压电层合结构的三维精确解。p i nl u ，l e e 【4 2 j 等利用s t r o h - 1i k e 方法计算了四边简支功能梯度压电板问题。e p a n 和 f h a n 4 3 】研究了四边简支功能梯度层合板的磁、电、弹耦合问题。黄小林，沈 惠申 4 4 , 4 5 l 基于r e d d y 高阶剪切变形理论和广义k 6 r m d n 型方程，求得了热环境 下带压电层的功能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力响应的解析解； a l m a j id 46 】等对经典层合板理论进行了改进，以考虑力电耦合效应，分析了功 能梯度压电板的应力和平面外弯曲问题。o o t a o 和t a n i g a w a l 4 ”利用近似层合模 型，用级数展开的办法分析了简支f g m 压电矩形板的三维瞬态温度场分布及其 热应力分布。伍晓红，沈亚鹏【48 】基于三维弹性理论和压电理论，用幂级数展开 的方法求解了四边简支的有限长矩形f g m 压电板的自由振动频率。刘玮，闫铂 4 9 】基于经典板理论，研究了四边简支压电功能梯度矩形薄板的屈曲问题。陈江 义，熊滨生，陈柳【50 】利用状态空间法对功能梯度电磁弹性多层板场变量的精确 解进行了分析。朱吴文，李尧臣，杨昌锦【5l j 利用变分原理和功能梯度压电材料 的本构关系、几何关系、板的边界条件等，推导出功能梯度板的有限元方程。 对于边界元的研究，丁皓江【5 2 】等人从压电介质的基本方程出发，得到含有 体力的基本方程的一般解。并对状态方程进行f o u r i e l - 变换得到通解，对单位 集中力和单位电荷的情况，给出了压电介质平面问题的有限形式的基本解。 l e e 5 3 】基于线性弹性理论，建立了以电势和位移为主要变量的边界积分方程， 推导出各向同性压电材料的二维基本解。丁皓江【“】应用位势理论的一种调和函 数，得到空问单位力的作用下的基本解。 关于动力计算方面，陈伟球【5 5 1 用状态空间法对压电材料板的自由振动作了 三维分析。丁皓江，国风林【5 6 】等人从耦合的三维压电热弹性理论出发，分析了 横观各向同性热电材料简支矩形板的自由振动，并给出了精确解。陈塑寰p ，j 推导了含有压电材料结构的动力方程，得到模态形状和相应模态电压以及各固 有频率随反馈增益的变化情况，通过改变反馈增益来调节结构的固有频率。 半解析半数值方面，周俊，陈玲【5 8 】采用样条有限条法，分析了考虑横向 剪切变形和转动惯量效应的多层复合板的横向振动，推导了板的刚度矩阵、质 量矩阵及振动微分方程，计算了两种不同边界条件下板的固有频率。秦荣垆吼 6 1 】提出一个分析复合材料板壳的样条有限点法建立了静力分析热效应分析稳 定性分析及动力分析的新计算格式这个方法是以b 样条函数高阶剪切变形 理论及变分原理为基础而建立的由于采用样条离散化不存在剖分协调问题。秦 荣，王涛 6 2 】，以智能梁为例研究智能结构分析的新理论新方法以样条有限点法 为例，从位移模式出发，以智能本构关系、瞬时变分原理和样条离散化为基础 建立了压电智能梁振动主动控制分析的控制方程，分析了两个典型算例。王涛， 王继兵【6 3 】用位移参数法构造了样条基函数，在此基础将薄板进行单样条离散， 建立了薄板的样条离散化总势能泛函，利用最小势能原理，最终得到薄板的 挠度及弯矩。 样条有限点法是一种半解析半数值方法，充分发挥了样条函数的紧凑、 精度高的优点，克服了有限元方法中由于场函数的局部化近似所引起的误差， 场函数及其梯度在整个求解域内是连续的。功能梯度材料的显著特点是物性参 数沿着梯度方向变化，而样条有限点法可以将变化的物性参数直接在梯度方向 积分求得整体的物性参数矩阵。在求解的过程中力学概念非常清晰，也易于编 制程序。 以上简要的介绍了力学的发展进程和功能梯度压电材料的力学研究情况， 本文将在以上研究成果的基础上，利用样条有限点法对功能梯度压电材料的力 学性能做一些研究。 9 1 3 本文的主要工作 通过引入不同的边界位移函数，利用文献【6 4 】中介绍的样条有限点法，将探 讨坊能梯度压电板的材料常数沿板的厚度方向按照多项式函数、指数函数、幂 函数、f 弦函数规律梯度变化下，功能梯度压电梁板的静动力问题和稳定性问 题。 1 简要介绍了压电材料，功能梯度材料和功能梯度压电材料的发展和应 用；简要回顾了力学的发展进程，简述国内外功能梯度压电材料的力学研究情 况。假定材料物性参数的4 种不同函数分布，并进行了一定的计算比对。介绍 3 次b 样条函数的性质和优点，在此基础上对形函数进行研究，分别介绍以节 点位移和广义参数建立形函数，构建位移函数的方法。 2 利用半数值半解析的方法对功能梯度压电板进行力学计算，解答功能梯 度压电板的静力问题。借用弹性力学大变形理论，对板大变形问题用半解析半 数值的方法进行计算。对所推导的公式进行变量分离，使得公式可以在厚度方 向上直接积分，将厚度方向上变化的功能梯度效应变成一个常数矩阵，得到经 过积分后的物性参数。编制程序，计算功能梯度压电梁的静力问题。 3 从能量角度出发，借用经典薄板假定，利用样条有限点法推导功能梯度 压电薄板受纵向荷载发生屈曲变形的临界荷载。 课题研究的意义在于用样条有限点法这种半解析半数值的方法计算功能 梯度压电梁板的静力问题和动力问题和屈曲变形问题。为功能梯度压电结构的 设计和材料优化提供了一种方法。 1 0 第二章功能梯度压电板静力问题样条有限点法的基本原理 2 1 功能梯度压电材料的计算模型及其物性参数 2 1 1 功能梯度压电材料的计算模型 由于功能梯度压电材料的组成和性能在空间上的连续变化，减少了传统压 电材料在分界面上了应力集中，大大提高了压电材料的可靠性和寿命。不同的 梯度变化模型决定了组成和性能的具体变化方式，不同的变化方式又决定了材 料内部应力的不同。因此，对材料参数按不同梯度模型的变化的研究是十分有 意义，也为计算功能梯度压电材料的力学性能提供了可能。 z 图2 1 功能梯度压电材料的计算模型 x 本文所选取的功能梯度计算模型如图2 1 所示，材料的物性参数功能梯度 变化是沿z 轴方向变化的。假定材料的物性参数从底面到顶面按照某种函数变 化，材料的功能梯度变化只是z 的函数。在z 不变的情况下，材料的物性参数 是相同的。 2 1 2 功能梯度压电材料的物性参数 功能梯度压电材料本质上是一种非均匀复合材料。因此，对功能梯度压电材 料板壳结构作分析时，首先需要知道其物性参数( 如弹性模量、热胀系数等) 的 变化情况。 通常的做法是借用细观力学的已有成果来预测功能梯度压电材料的物性 参数【65 | 。最简单的是基于v o i g t 等应变假设的线性混合律，即 p = 1 = 1e _ + ， 其中，e 和，分别为第j 种组份材料的材料性能参数和体积率，且满足 ，= 1 ，皇i( 2 1 ) 出于功能梯度压电材料各组份材料体积率变化范围很大( o 一1o o ) ，此 种估算有时显得比较粗糙。 另一种m o r i - t a n a k a 方法来估算功能梯度压电材料的等效体积模量【6 6 ，6 引。 k k 1 一 k 2 一k ti + ( 1 一y 2 ) ( k 2 一k t ) ( k i + 47 3 “i ) 一l 一 j 2 雒2 一“1 + 、一y 2 ) ( p 2 一p 、) lp i 七又) 斤：碰坚塑型 “ 6 f ，k + 2 鸬夕 口一口1 1 k 一1 k l - - - - - - - - - - - 一= = ：- - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 a 2 一a l1 k 2 1 k 1 ( 2 2 ) r 2 一k l1 + f ，1 一) ( i f 2 一誓i ) 3 k , 其中弹性模量k ，剪切模量“，热胀系数口和热传导系数r ，圪为颗粒的 体积率。功能梯度压电复合材料通常由陶瓷和金属两相材料组成。此外，我们 还需要知道功能梯度压电材料物性参数在空间的变化规律。对于板壳结构材料 物性参数一般仅沿厚度方向变化。因此，一种合理的做法是假定功能梯度压电 材料热物参数沿厚度方向变化的【6 9 】。 将功能梯度压电材料热物参数沿厚度表示为幂律变化，如取坐标原点位于 板的底面，z 为垂直中面的法向坐标，假设材料的体积率遵循： t ， ，z 、p y ，2t f 2 3 ) 其中h 为板壳的厚度，p 为形状因子，它表征了组份材料的体积分布规律。 当p = 0 时，退化为均匀各向同性材料。 根据式( 2 1 ) 和式( 2 - 3 ) ，功能梯度压电材料的物性参数( 如弹性模量、热 胀系数、热传导系数、质量密度等) 可表示为： k z ) = k t y t + k b ( 、一y t ) 形= ( ( 2 4 ) 当z = h 时，k = k ，即为顶部物性参数； 当z = 0 时，k = k 。，即为底部物性参数。 1 2 其中k 可代表弹性刚度系数、压电系数和介电系数。 k ，= k ，巧+ k 。( 1 一杉) ( 2 5 ) 其中k ，可代表弹性刚度系数、压电系数和介电系数，其中z 。= 0 ；k ，、k 。 分别为功能梯度压电材料板壳顶部( 或外部) 和底部( 或内部) 的物参，矿为顶面 材料的体积份数分布，p 为形状因子，它表征了组份材料的体积分布规律。 如图2 1 取坐标原点位于板的底面，z 为垂直中面的法向坐标。当顶面和 底面物性参数已知情况下，板的材料遵循如下梯度分御规律【7 0 l ： k ( z ) = kb f ，( z ) ( 2 7 ) 其中k 可代表d 、e 、 ，分别为弹性刚度系数、压电系数和介电系数， 蚝为功能梯度压电材料板壳底部( 或内部) 的物参，以f ，z ，j 为材料的体积份数分 布函数。 一般情况下， f ，z ) 三种函数形式： 1 指数函数形式：五( z ) = p 口州 2 幂函数形式： z ( z ) = ( 1 + 云)