（应用数学专业论文）双曲型方程的h1galerkin混合元方法及其数值分析.pdfVIP

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 哥，场根 导师签字： 学位论文版权使用授权书 柄青 l 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 赴可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：寺j 扬霞 签字同期：2 0 0 7 年争月7 ；日玛撕唧 氰 枷 燧 瓤签 山东师范大学硕士学位论文 双曲型方程的h ，g a l e r k i n 混合元方法及其数值分析 于顺霞 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 本文首先采用全离散日1 一g n f e r 讥混合元方法数值模拟线性双曲问题 ， i ( o ) p “一v ( 口0 ) 气和) + 6 ( ) 即+ c ( z 功= ， ，t ) ， ( 羁t ) n z ( 6 ) p ( $ ，o ) = p b ( 茹) ，p ( z ，o ) = p 1 ( z ) ， z q ， 【( c )p ( z ，t ) = o ， $ a q z 我们分别给出一维和多维情形下此问题的两种全离散日1 一g o f e r 七伽混合元格式 一种方法是直接对时间导数进行离散，得到的是三层格式；另一种方法是先通过常规 变换，把方程变成抛物型方程组再进行离散，得到的是二层格式两种方法均得到了 未知函数及流量函数的最优逼近该方法的优点在于，允许有限元空间h 和m 。具 有不同的多项式次数；不必满足l b b 稳定性条件通过严格的数学分析，建立了该 方法的最优l 2 及日1 模误差分析理论 其次讨论了非线性拟双曲问题 ， k i ( o ) t c 一让。i 一，( ) 让一9 ( u ) = 扛，t ) ，( z ，t ) q ， ( 6 ) 札( z ，o ) = 仳o ( z ) ，”( z ，o ) = 札l ( z ) ， z q ， i ( c ) u = o ，z a q ，t 【o ，卅， 和 i ( 口) “一t 。t u 。一，( “) 让t 一9 ( u ) = 扛，t ) ， 扛，t ) q ， i ( 6 ) t 正( z ，o ) = u o ( z ) ，钍f ( $ ，o ) = 1 ( z ) ， q ， i ( c ) t = o ，z a q ，t 【o ，卅， 的半离散日1 一g 口f e r 伽混合有限元方法此问题刻画了神经传播过程中，神经传递信 号关于时间和空间的变化率，具有深刻的物理背景通过数值分析，得到了未知函数， 伴随向量及伴随向量关于时间的导数的最优驴模及日1 模误差估计 山东师范大学硕士学位论文 关键词：双曲问题；日1 6 缸f e r 女讯混合有限元方法；椭圆投影；非线性拟双曲型 方程；最优误差估计 分类号：0 2 4 1 8 2 些銮! 堕蔓查兰塑主兰垡鲨塞 h 1 - g a l e r k i nm i x e df i m t ee l e m e n tm e t h o df o r h y p e r b o l i ce q u a t i o na n di t sn u m e r i c a la n a i j y s i s y us h u 麒i a s c h 0 0 1o fm a t h e m a t i 四，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e 强i t y j i n 矩，s h 她d o d g ，2 5 0 0 1 4 ，pi lc h m a a b s t r a c t i nt h e 丑r s tp a r to f t h i sp a p e r ，w i t hf i l l l y _ d i s c r e t e 日1 g n f e r 七讥m i x e d 矗n i t ee l e m e n t m e t h o d ，w ec o n s i d e rt h es e c o n d _ o r d e rl i n e a rh y p e r b o l i cp a r t i a ld i 髓r e n t i a le q u a t i o n ， l ( o ) p t t v ( z ) 1 跏) + 6 ( g ) 1 跏+ c ( 功p = ，( z ，t ) ， ( z ，t ) q j 1 ( 6 )p 0 ，o ) = 珈 ) ，a ( z ，o ) = p l ( z ) ， 卫q ， i ( c ) p ( $ ，t ) = o ，z a q 正 w e 舒、，et w of u l l y d i s c r e t e 日1 一g n 把r 后饥m i x e d6 n i t ee l e m e n ts c h e m e si no n es d a c e a n d 鼬v e r a ls p a c e s o n em e t h o dd i s c f e t 瞪t h et i m ed e r i v a t i v ed i r e c t l ya n do b t a i n sa t h r e e l e v e ls c h e m e ；a n o t h e rm e t h o dt u r n st h ee q u a t i o ni t ot h ep a r a b o l i cs y s t e m t h m u g ht h ec o n v e n t i o n a lt r a n s f o r m a t i o na n do b t a i n 8at w ol e y e l s c h e m e w 垂o b t a i n t h ea p p r o x i m a t e so ft h es c a l a ru n k n o w na n di t sn u x ( t ec d e ，l c i e n tf i 7 n e s e 夕r n d i e n t ) o p t i m a l l ya n ds t i m u l t a n e o u s l 矿t h ea p p r o x i m a t i n g6 n i t ee l e m e n ts p a c e s a n di “ a r ea l l o w e dt ob eo fd i 行色r i n gp o l y n o m i a ld e g r e e sf o rt h ep r o p o s e dm e t h o d m o r e o v e r ，t h i sm e t h o dd o e sn o tn e e dt os a t i s f yt h el b bc o n s i s t a n c yc o n d i t i o n w eo b t a i n t h e0 p t i m a lo r d e ro fc o n v e 瓣n c et h e o r e “c a l l y t h e nw ec o n s i d e rt h en o n l i n e a rh y p e r b o l i cp r o b l e m l ( 口) 缸t t 一牡。科一，( u ) 钍t 一口( t ) = 扛，t ) ， ，t ) q ， 1 ( 6 ) 牡( 毛o ) = t o ( z ) ，撕( 。，o ) = u 1 扛) ，z q ， 【( c ) t 上= o ， z a q ，t 【o ，? 】， a n d ， l ( d ) t “一t 埘一t 。一，( 让) “t 一9 ( u ) = ( z ，t ) ，( z ，t ) q ， ( 6 ) ( z ，o ) = t l o ( z ) ，t t ( z ，o ) = 让1 ( z ) ， z q ， 【( c ) 让= o ， z a q ，t 【o ，t 】， w h i c hi ss t i m u l a t e db ys e m i d i s c r e t e 日1 一g 耐e r 七伽m i x e df i n i t ee i e m e n t m e t h o d t h r o u g h 3 山东师范大学硕士学位论文 n u m e r i c 胡a n a i y s i sw ep r o v et h eo p t i m a ll 2 一o m la n d 日1 - n o r me r r o r 谮t i m a t e sf o ra p p r o x i m a t i n gt h eu n k n o w nf u n c t i o n ，t h ea d j o i n tv e c t o rf i l c t i o n 船w e ua st h et i m e d e r i v a t i v eo ft h ea d j o i n tv e c t o rf u c t i o n k e y w o r d s ：h y p e r b o l i cp r o b l 锄；冒1 - g 耐e r 航nm i x e d i n “ee l e m e n tm e t h o d ； e l l i p t i cp r o j e c t i o n ；t h en o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a t i o ；o p t i m a le r r o re s t i m a t 档 c l a s s 饱麓t i o n ：0 2 4 1 8 4 山东师范大学硬士学位论文 第一章引言 有限元方法是数值求解偏微分方程的一个重要方法二十世纪四十年代c o 让r n 疵 等人最早从事有限元方法的研究国内最早研究有限元方法的是冯康先生。他的研究 成果当时处于世界先进行列【l j 二十世纪六十年代初，有限元方法在许多领域开始广 泛应用，包括船舶，巨型建筑的设计，流体力学以及电磁学等但有限元方法仅能得 到未知函数的近似解，无法直接得到流量函数的近似解 二十世纪七十年代初， 日u 乩j k 口【2 】和b r e 2 z 测在b 一曰稳定性条件f 6 l 的基 础上刨立了混合有限元方法的一般理论二十世纪八十年代初，f n l k 和d s 6 d r n 提 出了一种改进的混合元方法忉，扩大了混合有限元方法的适用范围与标准有限元方 法相比，混合元方法可以同时高精度逼近未知函数及其伴随向量函数，对处理高阶方 程和含有两个或两个以上未知函数的方程更为便利混合有限元解具有很好的物理意 义和物理性能，但这种方法要求所构造的混合有限元空闻必须满足l 口b 相容条件， 给有限元空间的选取带来一定的困难 为了解决上述问题，1 9 9 8 年，a k p o m 基于日1 一g o f e r k 饥有限元法和混合有 限元法，提出了日1 g 缸k r 航n 混合有限元方法，该方法一方面降低了日1 一g n z e r 七锄有 限元方法【8 】对有限元空间的c 1 光滑性要求；另一方面，允许有限元空间k 和 具有不同的多项式次数，不必满足l b b 稳定性条件 日1 一g 叫e r 讯混合有限元方法 可以同时得到未知函数和通量函数的最优逼近a k p n 已将其成功运用到线性抛 物方程【9 】 积分微分方程f l o 】及拟线性抛物方程的求解1 1 l j 全文的主要内容如下： 第二章讨论二阶线性双曲问题 偿囊淼八刈) ( z ，t ) q z z q z a q 正 的全离散日1 g d l e r k 饥混合元方法到目前为止，很多数值方法已经被应用于此方程 的求解，如有限元方法，标准混合元方法【，半离散日1 一g h f e r 七胁混合有限元方法i ， 混合体积元方法【l4 】等关于双曲型方程的全离散方法至今也有许多结果【1 5 1 6 m 本 章我们给出了一维和多维情况下此问题的两种全离散日1 一g o f e r 惫i n 混合有限元格式 格式j - 是对二阶时间导数直接进行进行离散，得到的是一种三层格式；格式，是通过 常规变换先将时间导数降阶，然后再离散，得到的是一种二层格式在2 2 中，我们给 出了一维情况下此问题的两种全离散格式，得到了最优阶误差估计在2 3 中，考虑 5 山东师范大学硕士学位论文 了高维情况下的两种全离散格式，但与一维相比收敛阶未能达到最优在2 4 中，提 出了两种修正的全离散日1 一g 口f e r 七i n 混合有限元格式，通过严格的数值分析，得到 了未知函数及流量函数的最优阶误差估计 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学，化学和生物学的成就和进展， 而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精确化往往是通过建 立数学模型来实现的，而大量的数学模型可以归结为所谓的非线性发展方程非线性 发展方程的研究日益受到广大的数学工作者和工程技术人员的普遍关注和重视这是 因为非线性发展方程涉及的大量问题来自于力学，物理学，化学和生物学等许多数学 物理领域的数学模型，例如生态方程( 种群增长，传染病等) ，神经传播方程。非线性弹 性杆中纵向形变波传播，弱非线性作用下空间变换离子声波传播，对流扩散方程。微 尺度热传导方程和多孔介质方程等。有着广泛的应用，具有深刻的物理背景，需要进 行全面深入的研究 在第三章中，我们就研究了一类非线性拟双曲方程 ， l ( d ) t “一札。t 一，( 仳) 让t 一9 ( 让) = ( 。，) ，( z ，t ) q ， i ( 缸扛，o ) = t 正o ( z ) ，牡t ( z ，o ) = 锃l ( z ) ， z q ， l i ( c ) 钍= o ，z a q ，t 【o ，丁】， 和 l ( o ) 札“一u 。武一u 。一，( 乱) t 一9 ( 缸) = ( z ，t ) ，( z ，t ) q ， l ( 6 ) ( z ，o ) = 让o ( z ) ，乜t ( z ，o ) = t i ( 工) ， z q ， l i ( c ) 牡= o ， 露8 q ，t f o ，t 】， 的半离散日1 g b f e r 七讥混合元方法此问题刻画了神经传播过程中，神经传递信号“ 关于时间和空间的变化率，是一类新型的非线性发展方程关于这类方程解的存在唯 性，解的渐近性质已有了一些结果，见【”19 l 及其参考文献，但关于其数值分析还没 有见到太多的结果【2 0 ，2 1 t 2 2 ，2 3 】 本章提出了此非线性拟双曲方程的半离散日1 g 缸z e r 女伽混合有限元方法关于抛 物型及抛物型积分微分方程的数值分析已有许多结果f l o ，孔，矧我们首先利用常规变换 把问题转化为抛物型或抛物型积分微分方程组，然后对方程组应用日1 一g o f e r m 混合 元方法通过数值分析，得到了未知函数，伴随向量及伴随向量关于时间的导数的最 优阶l 2 和圩1 模误差估计 对文中出现的记号做一些必要的说明，用钿( s ) 表示s 0 6 d f 删空间，其范数记 6 山东师范大学硕士学位论文 为”队| p ，s ，日( s ) = w ，2 ( s ) ，其范数记为”s 当s = q 时将s 省略若k = o ， 甩l 2 ( q ) 表示相应的空间，范数为c ，e 分别表示普通常数和小正数，在不同的 地方具有不同的含义 设x 是s o 的f 伽空间，( z ，t ) 在q 陋，6 】上适当光滑，则可定义空间p ( 0 6 ；x ) 及相应的范数如下 ，6 胪( o 加；x ) = ，：0 ，( ，圳殳出 o p l = 密，? + o o 为了书写方便，我们引进下面的记号t 取正整数，设时间步长为r = 丁，k = n 下= o ，) ，对在t = t n 有定义的函数口，记 口“= 口i b k ，口”+ = ；( 口”+ ”+ 1 ) ，a 口“+ i = ；( “+ 1 一 “) ， t ，n = ( n + 1 + 2 口”+ u ”一1 ) = ；( “+ i + 钉“一吾) a 矿= 去( ”+ 1 一 ”一1 ) = ；( 俨+ ；一口”；) = ；( a 矿+ + a ”；) 巩俨= 击( 口“+ 1 2 扩+ 矿一1 ) = ；( 岛口；一a 护一；) 标准的混合元方法能同时高精度地逼近未知函数及其流量函数，但是传统的混合 元法必须满足l b b 相容性条件【2 6 - 2 7 ，2 8 一，限制了有限元空间的选取因此。p n n 删 提出了日1 g h f e r 觏n 混合有限元方法这种方法有限元空阎k 和w 名可以选取任意 不同次数的多项式空间，并且不需满足l b b 相容性条件，尽管要对解的正则性要求 高一些，但对于流量的三2 模误差估计可得到较好的阶。而且对p 的扩和h 1 模误差 估计中对有限元网格不需要拟一致的条件 本文对此方程提出了两种全离散日1 g o f e r e 饥混合元格式一种是直接在半离散 格式的基础上对时间进行离散，得到的全离散格式，此格式是一种三层格式；另一种是 引入一新的变量将原方程化成抛物型方程组再进行离散，得到的是两层格式，并同时 得了到伴随向量关于时间的导数的最优阶逼近在2 2 中。研究了一维情况下的双曲 8 山东师范大学硬士学位论文 型方程，得到了全离散的最优阶误差估计在2 3 中，研究了二维三维的情况，但与 一维相比收敛阶未能达到最优在2 4 中，提出了两种修正的全离散日1 一g o z e r 七f ，l 混合有限元格式，并且得到了此情况下的最优阶误差估计 2 2 一维双曲问题的全离散h 1 - g a i e r k i n 混合有限元方法 我们考虑下面的双曲型偏微分方程 鼽一( 聊k + 6 + c p = ，0 ，亡) ，0 ，t ) ( o ，1 ) z( 2 2 1 ) 边界条件为 p ( o ，t ) = p ( 1 ，t ) = o ，t ，( 2 2 2 ) 初值条件为 p ( z ，o ) = 肋( z ) ，p ( z ，o ) = p 1 ( z ) ，$ ，= ( o ，1 ) ( 2 2 3 ) 其中，a = 裳，风= 赛，= ( o ，卅，t o 的整数。 0 2 f 训口一f f l p ( ，) + 一8 - ，( ，) ) s e ”1 舾f | 旷“，封捌( ，) n 渺1 9 ( ，) ， 9 山东师范大学硕士学位论文 。；吼m 一 n 慨，) + 圳删一切一训g 扩1 肿”，删w 州一( n 于是分别基于( 2 2 5 ) 和( 2 2 7 ) 我们有下面两种形式的半离散格式 基于( 2 2 5 ) 的半离散日1 一g 口f e r 自伽混合有限元方法是；求t p ，“ ) k 满足 l ( 口) ( n 协。) = ( 口( z ) ，；) ， ， ( a 他蜘锹) + ( ，桃。) - ( 卢“k h ) ( 2 2 8 ) l+ ( q 耽，埘h ) 一( ，删k ) ，凹 w 么， 其中( o ) ，u m ( o ) 分别为钍o ( 。) = 印妇( z ) ，t l = 0 p l 。( z ) 的某种近似这两个方程构成 了微分代数方程。因为刚度矩阵是正定的，因此( 2 2 8 ) 对于给定初值是唯一可解的 基于( 2 2 7 ) 的半离散日1 6 吲e r 航疗混合有限元方法是：求切 ，弧， 满足 r i ( 回刘h ；) = ( d ( z ) 让 ，) ， ， 蛳瑚 ) “叫邓姚o ( 2 2 9 ) l+ ( c p ，t 蜥。) 一( ，叫 。) ，t 饥， l ( c ) 锄= 弧， 其中“ ( o ) ，( 0 ) 分别为牡o ( z ) = 咖。( z ) ，驰( z ) = 印t 。( z ) 的某种近似这三个方程 构成了微分代数方程，因为刚度矩阵是正定的，因此( 2 2 9 ) 对于给定初值是唯一可解 的 对应( 2 2 8 ) 和( 2 2 9 ) 我们有下面两种全离散格式 我们将( 2 2 8 ) 关于时间离散化，并将( 2 2 8 b ) 中的撕，p ，在t ，1 ，t 。，“+ l 的值作 权平均得下面的日l - g n f e r 伽混合有限元方法的全离散格式，：求t 赡，嵋) 嘶； 满足 i ( ) ( ? 纯，u h ) = ( 甸让z ，。) ，= o ，1 ，2 ，) ， ( 6 ) ( 。巩口：，姚) + ( 缸：二 ，乱k ) = ( 触，雠。) + ( 醒“，t ) ( 2 2 1 0 ) 【 一( 尸， ，叫 。) ，t 粕，( n = l ，2 ，一1 ) 。 上述格式的初值按下面方式确定 a ( u 。一乱2 ，”曲= 0 ( 2 2 1 1 ) ia 向一t ；，t 妇) = o ，v 钮 w ， 1 0 山东师范大学硕士学位论文 其中矿= t o + f 1 ( z ) + 譬u 器，吨可由( 2 2 1 ) 式算出a ( ，) 的定义见下文 将( 2 2 9 ) 关于时间离散化，得日1 一g d f e r 七伽混合有限元方法的男一种全离散格 式：求 壤，噱，霹 满足 ， i ( n ) ( 暖。) = 0 ) u z ，讥。) ，讥，( n = o ，1 ，2 ，) ， ( 的( 僦川+ ( 落5 ) - ( 雕川+ ( 群5 川 ( 2 2 1 2 ) i一( 尸+ ，) ，蛳，协= o ，1 ，2 ，一1 ) ， l ( c ) 岛“：+ ：扩5 ，。o ，1 ，2 ，一1 ) 上述格式的初值按下面的方式确定， ， a 一醒，叫 ) = o ，a 一口2 ，叫 ) = o ，( 2 2 - 1 3 】 ia ( u + 一t ：，) = o ， 下面我们分别给出全离散格式，和的误差估计 定义如下的椭圆投影删 诹，氟) ：【o ，明嘶。k 满足 a ( u 一诹，t ) = o ，v 叫 ，( 2 2 1 4 ) ( 2 一而；，锄) = o ， 取 ( 2 2 1 5 ) 其中a ( 珏，t ，) = ( ，j + 支( 程，) ，这里选取a 使a ( ，) 是置1 一正定的，即存在常数 o o o ，使得a ( ，u ) o 限口日1 ，且容易证明a ( ，) 是有界的 令p = 札一诹，叼= p 一磊，对于n ，7 有下面的估计f 圳 i l p b + i i p f 儿+ 0 所t i i j c ，产+ 1 一( i l t i i i + 1 + 0 札t i j k + 1 + i i 乱“0 k + 1 ) ，j = o ，1 ( 2 2 1 6 ) l i 目吣+ | l 叩f 虬+ 0 仇t c 7 + 1 一( i l p r + l + 0 p r + l + 0 p t r + 1 ) ，j = o ，1 ( 2 2 1 7 ) 进而对j - 0 ，l 和ls p 有 俐忉，( j ) c 胪+ 1 一硼u i i + l 口( ( 2 2 1 8 ) i 忉，( ，) g 件1 邗训矿+ l ，( 即 ( 2 2 1 9 ) 对于p = o o ，需要有限元网格满足拟一致的条件 我们先给全离散格式，的误差估计，即下面的定理2 2 1 定理2 2 1 设( p ，t ) ，( 瑚，嵋) 分别是方程( 2 2 5 ) 和( 2 2 1 0 ) 的解若u l ( 日+ 1 ) ，u t l 2 ( l 2 ) ，饥上户( 日+ 1 ) ，鲰l ( 日七十1 ) ，u t t l o o ( 妒) ，u 州 山东师范大学硕士学位论文 工* ( 工2 ) ，p l ”( 日r + 1 ) ，p t 。( 日r + 1 ) ，初值如( 2 2 1 1 ) ，则下充分小时， 无关的常数c ，使得对任何1 n 成立 i 矽一 一薪一 0 + 划铲一；一壤一 j l isg 【妒i n ( + l ，r + 1 ) ( 0 “| | l ( 日+ 1 ) + l l 毗0 l ( 日+ 1 ) + i i t m | i 工( 日k + 1 ) + i l p 0 l ( 丑，+ ，) + i l a l l l * ( 旷+ 1 ) ) + r 2 ( i l u 0 * ( 弘) + i i 钍n “0 l * ( 口) + l l 让t 40 l ，( 驴) ) 】 存在与l l l ，r ( 2 2 2 0 ) 证明令u 一讥= 似玩) + ( 锄一t ) = p + 毛p 一肌= 白一磊) + 慨一p ) = ，7 + e p 与卵的估计由( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 已经给出。所以我们只需估计f 与( 由( 2 。2 5 ) 一( 2 2 1 0 ) 及( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 得误差方程 ( 0 “，。) = ( z ) 矿+ 素，u 。) + 似( z ) p + ， h ) ，珊， ( n a t f “，t t ， ) + a ( f “，t u ) = 一( n a 比矿，t t i ) + a ( p ，叫 ) + a ( 矿 ，叫 ) + ( 卢p n ， ，叫h ) + ( 卢“ ，叫 ：) + ( c ( ，牡，h ) + ( c 矿，t l j h ) + ( o 盯“，叫 ) ，叫 - ， 其中c r n = 巩矿一t 0 1 ，由乳口f 甜展式可得 m 阻纠| f “1 i j 孙：d f o l 一1 在( 2 2 2 1 ) 中取咖= ( n + i 得 1 1 0 qij e ( 0 矿+ 钏+ i i f ”钏) 在误差方程( 2 2 2 2 ) 中取蛾= 反p 得 似九p ，反p ) + j 4 ( p ，岛p ) = 一( o 如矿，a p ) + a ( p ，a p ) + a ( 矿， ，a p ) + ( 卢矿， ，( a t p ) 。) + ( 卢f “ ，( a p ) 。) + ( “u ，( a p ) ；) + ( c 矿“，( 侥p ) 。) + ( d 矿，a p ) 对上式右端第六项运用格林公式并整理得 ( q 巩p ，a p ) + a ( p “，a p ) = ( 口矿一a 如矿，a t p ) + ( a ( 矿， + p ， ) + ( c ( “， ) 。，晚p ) + ( 研“ ，( a p ) 。) + ( 卢矿“，( 玩p ) 。) + ( 卢f “ ，( a p ) 。) = + 五+ 厶+ 厶+ 厶 下面分别估计上式各项对左端第一项。有 ( 口民p ，a t p ) = 去( o ( a “+ 一a p 一) ，a “+ + a t f “一 ) = 去( ij a l a p + 壬2 一i i 口 鼠p 一孟2 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) ( 2 2 2 3 ) ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 对左端第二项。有 a ( p ， ，魂p ) = 去a ( p + + p 一 ，f “+ ；一p 一 ) = 去( p + j ，p + ；) 一a 健n i ，f n 一 ) j 下面分别估计( 2 2 2 5 ) 右端各项对隅利用柯西不等式，有 j 五j = j ( o 盯”一口如矿，a i p ) j sg ( 1 j a r n 2 + j j 巩矿jj 2 + jj 夙p + 吾| | 2 + | j a p 一钏2 ) 对i 五i ，由( 2 2 2 4 ) 式及柯西不等式，有 i 如l = i d ( 矿，；+ p - ) + ( o p ， ) 。，a t p ) i c ( i 瞎n + 1 1 2 + i l p 一；0 2 + i i 矿+ 1 1 2 + 0 矿一0 2 + i i a p + 1 1 2 + i l a t p 一 1 1 2 ) 对厶，整理并利用柯西不等式，有 厶= ( c 矿 l ，( a f f n ) 。) = 去( c ( 町“+ ；+ 矿一；) ，( 器+ 音一g 一；) ) = ；f ( 研叶；，g + 5 ) 一( c 矿一；，器一 ) 】 一去f ( c ( 矿+ 一矿一 ) ，g + 5 ) + ( c ( 可”+ 一矿一 ) ，g 一 ) 】 = a ( 铆“，器) 一慨( 印“) ，0 o ) a ( c 矿，g ) + c ( 1 i a 矿0 2 + i 悟“+ 旧+ i | p 一 旧) 与厶类似，对厶及厶，有 厶= ( 口矿， ，慨f n ) 。) 反( 卢矿，嚣) + e ( 0 a 矿1 1 2 + l k “+ 瞻+ i 陪“一；孵) 厶= ( 成m ，( 巩p ) 。) a t ( 卢p ，器) + c ( i l a t p i i 2 + i i p + 圭i + i | p 一吾 ) 把上面各项估计代入( 2 2 2 5 ) 得 去( f f o a p + 主h 2 一i b 磊p 一吾f 1 2 ) + 丢( p + ，p 十 ) 一4 ( p 一 ，f n 一 ) j e ( “盯“f f 2 + f f 鼠矿f f 2 + f f a f “+ ；f f 2 + f f a f 4 一 f f 2 + f f 最矿1 f f 2 + f f a p ”1 1 2 + f j p + 圭 + | j p + | j 2 + | j f “一圭2 + i 妒一钏；+ f | 矿+ 钏2 + | j 矿一圭i | 。) 1 3 山东师范大学硬士学位论文 + a ( c ，7 ”，器) + a ( 卢矿，器) + a t ( 卢p ，器) 两边同时乘以2 r ，关于n = 1 ，2 一1 求和，并注意到口的有界性且由a 的正定 性及有界性，并利用f 一t 曲不等式，有 ij a f 一邪+ i 瞎一揶 c ( 0 a j 2 + i l f l l i + i i 叩jj 2 + 0 7 0 1 1 2 + 0 1 1 2 + j l 矿0 2 ) 一l + c r ( j j 盯“| 1 2 + i i a k 矿旷+ j j a 矿| | 2 + j | 岛矿j 1 2 ) 繁1 + c - ( 0 a p 一知2 + l | p 一瓠2 + 0 p 一知；+ i | 矿一2 ) + s 瞻一钿 ，l = 1 当l e 充分小时，由g 中m 删口“引理及( 2 2 2 3 ) 得， 0 默一种+ 忙一犏 e ( j | a f 1 1 2 + i 垮 旧+ 0 叩2 + 0 7 0j 1 2 + i i p 2 + 0 矿1 1 2 ) r l + c 7 ( 1 | 盯”旷+ ij a ! c t 矿酽+ 0 a 矿1 1 2 + i i a p n i l 2 ) + c 下0 矿一 酽 n = ln = l c ( 1 l a f j | 2 + i | f 惦+ 0 ，7 0 2 + 0 叼oj 1 2 + i i p 1 1 2 + 0 矿1 1 2 + 下4 i i 钍t 1 1 2 ，( 驴) ) + c ( f ( j j a t 矿2 + j ja t 矿j j 2 + l l a 矿l j 2 ) + l j 叫j 2 。( ，) ) n = 1 并注意到 c l i 1j l s 以任1 ，f 1 ) = a ( 嚷一以，f 1 ) = 以( 砚一t 。+ 牡+ 一牡j ，f 1 ) = a ( 砚一q + ，f 1 ) = a ( 诹一t 正1 + “1 一牡，f 1 ) = a ( t 正1 一“，f 1 ) c | j 牡1 一锃j j li 鹰1jj 1 由+ 的取法及泰勒展式可得 i 碡1 1 1 1 c 8 u 1 一u 1 1 1s ( 歼3 ( 0 u i i l * ( l 。) + i 。l - ( 弘) ) ， f f f 8 。：l i 至： # i i 。c ，。( i 珏。f i 。( ，) + l l 珏。i j 。( 。，) ) ， ij a f o ：o # o c r 。( o “。i k 。( l 。) + i i u 硝。i i l 。( 。，) ) 所以，由( 2 2 1 6 ) 一( 2 2 1 9 ) 及( 2 2 2 3 ) 得 l | f 一 i h c 【 m “( + 1 r + 1 ) ( i i 0 l ( 日 + 1 ) + i i 让t i l l ( 日 + t ) 1 4 山东师范大学硕士学位论文 + | | 札“0 l ( + t ) + i b | | l ( 日r + t ) + i l p t 0 l ( h ，+ t ) ) + 7 2 ( 1 f 让f i fj f l 一( 伊) + i l u 。0 l * ( l 2 ) + i i “一0 l 2 ( l 2 ) ) 】， | | f 一 i | si i f 一 0 l c 【危m 1 “( 七+ 1 ，7 + 1 ( | | “0 l ( j ：r - + z ) + l i t 0 l ( 日+ - ) + i l “f i l ( 日i + - ) + i j p l i l ( h ，+ - ) + i l p t l i 工( 日r + - ) ) + 7 2 ( i i 钍l l l 陋2 ) + f i “。饿i | l ( p ) + l l “p l i 胪( p ) ) 】 将上式代入( 2 2 2 4 ) ，并注意到( 硪，所以 | j ( 一 i | c i l d ? 一5 i i e 【 “n 似+ 1 ，r + 1 ( i l “f c 。( 日+ - ) + l l u 。j j l 。( j = r - + t ) + j | “f i l l ( + ，) + i l p 0 工( 胃r + 。) + 0 p t 0 l ( h r + 1 ) ) + 7 - 2 ( j j u i i l ( l 2 ) + l l u 科t 0 l 犯2 ) + i i 一0 l ：( l 2 ) ) 】 最后由三角不等式得结论成立证毕 我们接着给出全离散格式，的误差估计，即下面的定理2 2 2 定理2 2 2 设p ，u ) ，( p n ，牡z ) 分别是方程( 2 2 7 ) 和( 2 ，2 1 2 ) 的解，若t l o o ( 日七+ 1 ) ，让t 4 三2 ( 工2 ) ，啦工o o ( 日七+ 1 ) ，札比l o 。( 日+ 1 ) ，让l o o ( l 2 ) ，u z l ”( l 2 ) ，p l o o ( 日件1 ) ，仇l 。( 日件1 ) ，初值如( 2 2 1 3 ) ，则7 充分小时，存在与 ，r 无关的常数e ，使得对任何0sn 成立 i i p ”一璐l f + | | “一“：j l + l l “? 一札：t0 c ( ”“( + 1 ，7 + 1 ) + r 2 ) ( 2 2 2 6 ) 证明令 “一札 = ( “一诹) + ( 讯一u ) = p + f ， 口一咖= ( g 一磊) + ( 磊一肌) = e + 口， p 一肌= ( p 一磊) + 慨一p ) = 叩+ ( p ，7 与e 的估计已经由( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 9 ) 给出，所以我们只需估计f ，( 与口 由( 2 2 1 4 ) ，( 2 2 1 5 ) 及( 2 2 7 ) 一( 2 2 1 2 ) 得误差方程 ( 0 ，。 。) = ( 口矿+ 三，。) + ( o p + 音，。) ，k ，( 2 2 2 7 ) ( 血a 口n + ，伽 ) + a ( f n + ，叫 ) = 一( 口a e “+ ，t ， ) + a ( f n + ，加 ) + a ( p n + ，训 ) + ( c ( ”+ ；，t j 。) + ( c 矿+ ，t 。) + ( 卢矿+ ；，t 。) ( 2 2 2 8 ) + ( 卢f n + ，叫h ) + ( n 盯n ，叫 ) ，伽 w 名， 1 5 山东师范大学硕士学位论文 其中矿= 矿+ ；一龟矿+ ； 在( 2 2 2 7 ) 中取= ( n + 得 j 1 0 + 钿c ( i l 矿+ 知+ j j p + 吾| j ) ( 2 2 2 9 ) 在误差方程( 2 2 2 8 ) 中取蛳= 岛f ”+ = 俨+ + 扩，其中铲= 晚矿+ ；一口n + + ( e n + 一 a 矿) ，得 ( d a 俨+ ，a p + ) + a 嬉n + ；，a t f n + ) = ( 珊严一矾e n + ；，a t n + ) + d ( 矿+ ；+ p + ；) ，a p + ；) + ( c f 蚪；， f 畔 ) 。) + ( c 矿+ 三，( a t p + ；) 。) + ( 卢矿+ ， p + ) 。) + ( 卢p + ；，( a p + ) ；) = + 五+ 厶+ 厶+ 厶+ 厶( 2 2 3 0 ) 下面分别估计上式各项对左端第一项，有 ( a a 俨+ ，巩“+ ) = ( o a 日n + ，口“+ ；) + ( o a 口n + ；，铲) = 丢( a ( p ”十1 一矿) ，口“+ 1 + 矿1 ) + ( a a 口“+ ；，6 “) = 去( 0 q 俨+ 10 2 一i l n 卵0 2 ) + ( o 晚口，铲) 上式右端第二项利用分部求和，有 一l 一l l 下( o a 日“，删= f 7 - ( ( 口州一酽) r ，咧 n = 1n = 1 e | | 口j 1 2 + c ( f | 6 一11 1 2 + 1 1 6 11 1 2 + i i p l1 1 2 ) ，一l + l 了r ( j j 俨2 + ij a 扩+ ；| | 2 + | | a 矿一j j 2 + j | 巩矿2 + 一) n = 2 对( 2 2 3 0 ) 左端第二项，有 以( “+ ，鼠p + ) = 去a ( f “+ 1 + p ，“+ 1 一f “) = 丢【a 佳“+ 1 ，“+ 1 ) 一a ( f “，“) 】 下面分别估计( 2 2 3 0 ) 右端对i i ，利用柯西不等式，有 j j = j ( d ( 口“一岛e ”+ ) ，a f “+ ) j = j ( 口( 矿一a e ”+ ) ，p “+ + 扩) l se ( 0 矿i | f 2 + 0 反e ”+ f 1 2 + i f 口”+ 1 1 2 + l f 扩l i f 2 ) 对阮f ，利用柯西不等式。有 i 丘i = i ( a ( p + + 矿+ ) ，a 。p + ；) i 1 6 山东师范大学硬士学位论文 = i n ( f “+ ；+ 矿+ ) ，俨+ ；+ 扩) l e ( 8 p + 2 + l l 矿+ l | 2 + 俨+ i f 2 + 博n 0 2 ) 对l 厶i ，由格林公式及柯西不等式，并利用( 2 2 2 9 ) ，有 f 磊f = “：”+ ；，( a 。p + ；) 。) f = = f ( ( o p