（基础数学专业论文）与bakryemery+ricci张量有关的拓扑和几何问题.pdf

摘要 摘要 本文主要研究了关于b a k r y 一直m e 巧r i c c i 张量有下界的完备黎曼流形的拓扑和 几何的性质 首先我们对哈密尔顿r i c c i 流的演化方程及r i c c is o l i t o n 的定义进行了回顾，知 道作为r i c c i 流演化方程的不动点的r i c c is o l i t o n 是爱因斯坦度量的推广，并列举了 一些s o l i t o n 的例子 其次介绍y b a k r y 1 三m e r yr i c c i 张量的定义，作为r i c c i 张量的推广有很多类似 的性质，本文列举了比如在几何工具中唯一推广的b o c h n e r 公式，体积比较定理，分 裂定理等几何性质，拓扑上证明出一完备流形具有有限拓扑型，如果b a k r y t 主m e r y r i c c i 张量有一个正的下界，并且以下两个条件之一满足： 1 ) r i c c i 曲率有上界； 2 ) r i c c i 曲率有下界和单射半径大于o 同理，类似可证明出一完备s h r i n k i n gr i c c is o l i t o n 的数量曲率有界，则也能导 出它是有限拓扑型的进而我们提出猜想：任一完备s h r i n k i n gr i c c is o l i t o n 都是有 限拓扑型的 学科分类号：5 3 c 2 0 关键词拓扑曲率张量 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yf o c u s e so ns o m et o p o l o g i c a la n dg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fc o m o p l e t er i e m a r m i a nm a n i f o l dw h o s eb a k r y - e m e r y r i c c it e n s o rh a sa p o s i t i v el o w e r b o u n d a tf i r s tw er e c a l lt h ee v o l u t i o no ft h er i e c if l o wa n dt h ed e f i n i t i o no fr i c c i s o l i t o n ， a n dk n o wr i c c is o l i t o ni st h ee x t e n s i o no fe i n s t e i nm e t r i ca st h ef i x e dp o i n to ft h e e v o l u t i o ne q u a t i o n l a t e r , w eg i v es o m ee x a m p l e sa b o u tr i c c is o l i t o n s e c o n d l y , w ei n t r o d u c et h eb a k r y e m e r yr i c c it e n s o r , a st h ee x t e n s i o no ft h e r i c c it e n s o r , w h i c hh a ss o m es i m i l a rg e o m e t r i cp r o p e r t i e s ，s u c ha sb o c h n e rf o r m u l a ， v o l u m ec o m p a r i s o nt h e o r e m ，s p l i t t i n gt h e o r e ma n ds oo n i nt o p o l o g y , w es h o wt h a t ac o m p l e t er i e m a n n i a nm a n i f o l dh a sf i n i t et o p o l o g i c a lt y p e ( i e h o m e o m o r p h i ct ot h e i n t e r i o ro fa c o m p a c tm a n i f o l dw i t hb o u n d a r y ) ，p r o v i d e di t sb a r k r y e 7m e r yr i c c it e n s o r h a sap o s i t i v el o w e rb o u n d ，a n d ( 1 ) t h er i c c ic u r v a t u r ei sb o u n d e df r o ma b o v e ，o r ( 2 ) t h er i c c ic u r v a t u r ei sb o u n d e df r o mb e l o wa n di n j e c t i v i t yr a d i u si sb o u n d e da w a y f r o mz e r o m o r e o v e r , ac o m p l e t es h r i n k i n gr i c c is o l i t o nh a sf i n i t et o p o l o g i c a lt y p ei fi t s s c a l a rc u r v a t u r ei sb o u n d e d s o ，w eh a v eac o n j e c t u r et h a ta n ys h r i n k i n gr i c c is o l i t o nh a sf i n i t et o p o l o g i c a l 哆p e m a t h e m a t i c a ls u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n2 0 0 0 ：5 3 c 2 0 k e yw o r d st o p o l o g y c u r v a t u r et e n s o r 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下；学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 一躲澎扔 卜沪1 湃期妒日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 湍 v ，萨旷月日 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y 1 1i n t r o d u c t i o n a ni m p o r t a n tp r o b l e mi nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r yi st of i n dac a n o n i c a lm e t r i co na g i v e nm a n i f o l d ，b e c a u s et h ee x i s t e n c eo f ac a n o n i c a lm e t r i co f t e nh a sp r o f o u n dt o p o l o g i c a li m p l i c a t i o n s ag o o de x a m p l ei st h ec l a s s i c a lu n i n f o r m i z a t i o nt h e o r e mi nt w o d i m e n s i o n si e a n yc o m p a c ts u r f a c eh a sac a n o n i c a lg e o m e t r i cs t r u c t u r eo ft h em e t - 血o fc o n s t a n tc u r v a t u r e 。w h i c hp r o v i d e sac o m p l e t et o p o l o g i c a lc l a s s i f i c a t i o n h o w t of o r m u l a t ea n dg e n e r a l i z et h i st w od i m e n s i o n a lr e s u l tt ot h r e ea n dh i g h e rd i m e n s i o n a lm a n i f o l d sh a sb e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nm o d e mm a t h e m a t i c s i n1 9 7 7 ，w t h u r s t o n 1 】f o r m u l a t e dag e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r ef o rt h r e ed i m e n s i o n a l m a n i f o l d si e e v e r yc o m p a c to r i e n t a b l et h r e ed i m e n s i o n a lm a n i f o l dh a sac a n o n i c a ld e - c o m p o s i t i o ni n t op i e c e s ，e a c ho fw h i c ha d m i t sac a n o n i c a lg e o m e t r i cs t r u c t u r e ，w h i c h c o n t a i n s ，a st h es p e c i a lc a s e ，t h ep o i n c a r 6c o n j e c t u r e t h u r s t o n st h e o r yi sb a s e do n b e a u t i f u lc o m b i n a t i o no ft e c h n i q u e sf r o mg e o m e t r ya n dt o p o l o g y ，t h e r eh a sb e e na p o w e r f u ld e v e l o p m e n to fg e o m e t r i ca n a l y s i si nt h ep a s tt h i r t yy e a r s h o w e v e r , t h em o s t i m p o r t a n tc o n t r i b u t i o nf o rg e o m e t r i ca n a l y s i so nt h r e e m a n i f o l dm 3i sd u e t oh a m i l t o n i n19 8 2 ，h a m i l t o n 2 i n t r o d u c e dt h er i c c if l o w o go：一2ot 一= 一z n 二 u t os t u d yc o m p a c tt h r e e - m a n i f o l d sw i t hr i c o f r o m 【2 _ 4 】w ek n o wt h i se q u a t i o nh a s as o l u t i o na tl e a s tf o ras h o r tt i m eo na n yc o m p a c tm a n i f o l do fa n yd i m e n s i o nf o ra n y i n i t i a lv a l u eo ft h em e t r i ca tt = 0 a sac o n s e q u e n c e t h ec u r v a t u r et e n s o r se v o l v eb y as y s t e mo fd i f f u s i o ne q u a t i o nw h i c ht e n d st od i s t r i b u t et h ec u r v a t u r eu n i f o r m l yo v e r t h em a n i f o l d h e n c e ，o n ee x p e c t st h a tt h ei n i t i a lm e t r i cs h o u l db ei m p r o v e da n de v o l v e i n t oac a n o n i c a lm e t r i c ，t h e r e b yl e a d i n gt oab e t t e ru n d e r s t a n d i n go ft h et o p o l o g yo f t h eu n d e r l y i n gm a n i f o l d i nt h ep a s tt w od e c a d e s ，h a m i l t o np r o v e dm a n yi m p o r t a n t 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y a n dr e m a r k a b l et h e o r e m sf o r t h er i c e lf l o wa n dl a i dt h ef o u n d a t i o nf o rt h ep r o g r a mt o a p p r o a c ht h ep o i n c a r gc o n j e c t u r ea n dt h u r s t o n sg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r e ，b u tt h e r e w e r eo b s t a c l e s - i nt h ef a l lo f2 0 0 2a n dt h es p r i n go f2 0 0 3 ，p e r e l m a n 5 ，6 】b r o u g h ti n f r e s hn e wi d e a st of i g u r eo u ti m p o r t a n ts t e p st oo v e r c o m et h em a i no b s t a c l e s i nt h ef i e l do fg e o m e t r i ce v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t h es i n g u l a r i t ym o d e l sw h i c ha r i s e a r eu s u a l l ya n c i e n ts o l u t i o n s ，w h e r et h es o l u t i o n se x i s ta l lt h ew a yb a c kt ot i m em i n u s i n f i n i t y i nt h es t u d yo ft h es i n g u l a r i t i e sw h i c he x i s to rf o r mf o rs o l u t i o n so fp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s ，af u n d a m e n t a ln o t i o ni st h a to fr e s c a l i n ga n d a p p l y i n gm o n o t o n i c i t y f o r m u l a st oo b t a i ns e l f - s i m i l a rs o l u t i o n sw h i c hi nr i c c if l o wa r ec a l l e dr i c c is o l i t o n s i nt h i sc h a p t e rw es h a l ls t u d ys o m ep r o p e r t i e sa n d e x a m p l e so f s u c hs o l u t i o n 1 2t h ee v o l u t i o ne q u a t i o no ft h er i e df l o w l e tmb ec o m p a c tm a n i f o l d ，m a i ni n s p i r a t i o no fe v o l u t i o ne q u a t i o ni st h ei d e a s o fe e l l sa n ds a m p s o n 7 w es t a r tw i t ha n ym e t r i c9 硒a n dt r yt oi m p r o v ei tb ym e a n s o fah e a te q u a t i o n i tw o u l db en a t u r a lt ot r yt om i n i m i z ea ne n e r g yf u n c t i o n a l u n - f o r t u n a t e l y , w ec a n n o tf o r ma n yg e o m e t r i c a l l ym e a n i n g f u lq u a d r a t i ce x p r e s s i o ni nt h e f i r s td e r i v a t i v e so ft h e ，s i n c em e ya l w a y sv a n i s hi nn o r m a lc o o r d i n a t e s i th a sb e e n s u g g e s t e dt ou s et h ei n t e g r a lfr d v o ft h es c a l a rc u r v a t u r ea sa ne n e r g y t h i sl e a d st o t h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ( n = c 托m m ) 警= 要觋一2 ， w h i c hu n f o r t u n a t e l yw i l ln o th a v es o l u t i o n se v e nf o ras h o r tt i m e ，s i n c ei ti m p l i e sa b a c k w a r dh e a te q u a t i o ni nr t oe l i m i n a t et h ep r o b l e m ，w es o l v ei n s t e a dt h ee v o l u t i o n e q u a t i o n 誓= 知一2 ， ( 1 2 ) w h e r e7 i st h ea v e r a g eo ft h es c a l a rc u r v a t u r er r = fm y fd v w ec a l l t h i st h en o r m a l i z e dr i c c if l o w f r o m 【2 w ek n o wt h i se q u a t i o nh a sa s o l u t i o na tl e a s tf o ras h o r tt i m eo na n yc o m p a c tm a n i f o l do fa n yd i m e n s i o nf o ra n y i 1 1 i f i a lv a l u eo ft h em e t r i ca tt ：0 2 w ec o n s i d e rt h ee v o l u t i o ne q u a t i o n ( 1 2 ) o nm n t h ef a c t o r ，s e r v e st on o r - m a l i z et l l ei d c c in o ws ot h a tt h ev o l u m ei sc o n s t a n t t os e et h i sw eo b s e r v et h a t d v = 厩如a n d t h e n 瓦0l o g 两= 丢严妄- - f - - 冗， 面d 厶彤= 厶( r 一冗) d y = o n o wi ti sa w k w a r dt oh a v et h en o r m a l i z i n gf a c t o rp r e s e n tu n t i lw er e a l l y n e e d i t 】m e r e f o r e ，w ew md e a lf i r s tw i t ht h eu l m o r m a l i z e de v o l u t i o ne q u a t i o n ( 1 1 ) w h i c h i s e a s i e rt 0h a i l d l e t h et w oe q u a t i o n sd i f f e ro n l yb yac h a n g eo fs c a l ei ns p a c ea n da c h a l l g eo fp 嬲l i i l e t r i z a t i o ni nt i m ef r o m 2 t h u ss t u d y i n gt h eb e h a v i o r o ft h er i c c l f l o wn e a r l em a x i i a lt i m ei se q u i v a l e n tt os t u d y i n gt h el o n g - t i m eb e h a v i o ro ft h e n o m a l i z e dr i c c if l o w i ti sw o r t hn o t i n gt h a tf o ras p h e r e 舻t h en o r m a l i z e de q u a t a o n i sc o n s ta n _ t ，w h i l et h eu n n o r m a l i z e de q u a t i o ns h r i n k st oap o i n t i naf i n i t et i m e n e r ei so r d vas m a l lc l a s so fg e n u i n ef i x e dp o i n t so ft h e r i c c if l o w ar i e m a n n i a n m a n i f o l d ( a 夕n ，9 ) i s a f i x e d p o i n t o f t h e u n n o r m a l i z e d r i c c i f l o w ( 1 1 ) i f a n d o n l y i f t h e m e 仃i c 口i sr i c c if i a t ac o m p a c tm a n i f o l d ( m 礼，g ) i sa f i x e dp o i n to ft h en o r m a l i z e d r i c c if l o wi fa n do n l yf li t sa v e r a g ec u r v a t u r ei sc o n s t a n ti e r = c ，c ( i s ac o n s t a n t ) a n d r c = c ，g ，h e n c ei f a n do n l yi f9i sa ne i n s t e i nm e t r i c - n l e r ei sh o w e v e ral a r g e rc l a s so fs o l u t i o n sw h i c hm a y b er e g a r d e da sg e n e r a l l z e d f i x e dp o i n t s t h e r ea r ec a l l e ds e l f - s i m i l a rs o l u t i o n so rr i c c is o l i t o n s i nt h ef o l l o w i n g s e c t i o nw eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h er i c c is o l i t o n 1 3 r i c c is o l i t o n sd e f i n i t i o n d e 痂n i t i 佃1 1as o l u t i o nt oa ne v o l u t i o ne q u a t i o nw h i c hm o v e su n d e ra o n e 。 p n m m e t e rs u b g r o u po f t h es y m m 已t r yg r o u po ft h ee q u a t i d ，li sd e f i n e db ya s t e a d y 舳j f 一 幻托t h e 町聊m g 鲫g 阳印d 厂加尺泐f 如w 伽勉泐饶口血删够啪口础毓g 加够脚。 p 黜t h a t ( m t , 9 ( 亡) ) i sa s o l “t i o no f t h e ( 1 。1 ) o na t i m pi n t e r v a lc o n t a i n i n g0 o n es 秽 夕( 亡) 话口s g i f - s o l “t i d ，lo f t h er i c c if l o w 矿咖e 彤e x i s ts c a l a r s 矿( 亡) a n dd i f f e o m 。巾f z 函邶 3 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y 妒ts u c ht h a t g ( t ) = 盯( 亡) 饼( z ，0 ) 扣r a h t o nt h eo t h e rh a n d , s u p p o s et h a t ( m n ，9 0 ) i sa f i x e dr i e m a n n i a nm a n i f o l ds u c h t h a tt h ei d e n t i t y 一2 r c ( g o ) = l x g o + 2 ) - 9 0 h o l d sf o ，s o m ec o n s t a n t 入a n ds o m ec o m p l e t ev e c t o rf i e l dxo nm 竹i n 施如c a s e w es a y9 0i sar i c c is o l i t o n i fxv a n i s h e si d e n t i c a l l y , ar i c c is o l i t o n 括s i m p l ya n e i n s t e i nm e t r i c c o n s e q u e n t l y , a n ys o l u t i o no ft h ea b o v e i d e n t i t ym a yb er e g a r d e da sa g e n e r a l i z a t i o no f a ne i n s t e i nm e t r i c b yr e s c a l i n g , o n em a ya s s u m et h a ta 一1 ，0 ，1 ) t h e s et h r e ec a s e s c o r r e s p o n dt os h r i n k i n g , s t e a d y , a n de x p a n d i n gs o l i t o n s , r e s p e c t i v e l y t h u sas e l f - s i m i l a rs o l u t i o ni sas o l u t i o no ft h ee v o l u t i o n e q u a t i o n ( 1 1 ) h a v i n gt h e a b o v es p e c i a lf o r m am e t r i ch a v i n gt h i sf o r mc h a n g e so n l yb yd i f f e o m o r p h i s ma n d r e s c a l i n g t os e e t h es i g n i f i c a n c eo ft h i sf a c t ，l e tu sd e n o t eb y m 佗t h eb u n d l eo fs y m m e t r i c ( 2 ，o ) 一t e n s o r so nm na n db y 对m 礼t h es u b b u n d l eo fp o s i t i v e d e f i n i t et e n s o r s t h e nt h es p a c eo fr i e m a n n i a nm e t r i c so nm n m a yb ew r i t t e na sc 0 0 ( m 礼s 享m 他、l e t d ( m 竹) d e n o mt h ed i f f e o m o r p h i s mg r o u po fm n b e c a u s et h er i c c if l o wi si n v a r i a n t u n d e rd i f f e o m o r p h i s m ，i tm a yb er e g a r d e da sa d y n a m i c a ls y s t e mo nt h em o d u l is p a c e c 。( m n ，耐m n ) d ( m 亿) o fr i e r n a n n i a nm e t r i c sm o d u l od i f f e o m o r p h i s m s i nt h i sc o n t e x t ，r i c c is o l i t o n sc o r r e s p o n dt og e n e r a l i z e df i x e dp o i n t s av e c t o rf i e l dxt h a tm a k e sar i e m a n n i a nm e t r i ci n t oar i c c is o l i t o nm a yn o tb e u n i q u e t h en e x te x a m p l ei l l u s t r a t e st h i s e x a m p l e1 1l e t ( 舻，n ) d e n o t ee u c l i d e a ns p a c ew i t hi t ss t a n d a r dm e t r i c s i n c e t h em e t r i ci sf l a t 。t h et r i v i a ls o l u t i o no ft h ea b o v ei d e n t i t yo b t a i n e d b yc h o o s i n gx = 0 l e t su sr e g a r dt h i sa sa s t e a d yr i c c is o l i t o n b u ti tm a ya l s ob er e g a r d e da sa ne x p a n d i n g s o l i t o n , c a l l e dt h eg a u s s i a ns o l i t o n ，b yt a k i n g 入= 1a n d c h o o s i n gx = v ，= 互1h 2 4 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y i nc a s et h ev e c t o rf i e l dx a p p e a r i n gi nt h ea b o v ei d e n t i t yi st h eg r a d i e n tf i e l d 。w e h a v et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n d e f i n i t i o n1 2w e s a yt h a taq u a d r u p l e ( m n ，g o ，f 0 ，c ) ，w h e r e ( m n ，g o ) i sa r i e m a n n i a nm a n i f o l d , f o ：m n _ ri sa f u n c t i o na n d 兄i sag r a d i e n tr i c c is o l i t o ni f r c ( 夕o ) + v 9 0 v 9 0 f o + - 互g o = 0 h e r ex t 9 0 d e n o t e st h ec o v a r i a n td e r i v a t i v ew i t hr e s p e c tt o9 0 而rr e a s o n sw es h a l l s e eb e l o w , w es a yt h a tg o i se x p a n d i n g ，s h r i n k i n g , o rs t e a d y , 矿e 0 ， 0 ， r j j 妒( 亡) ：m n m ni st h ei - p a r a m e t e rf a m i l yo fd i f f e o m o r p h i s m sg e n e r a 纪db y x ( 亡) = ；未s g r a d g 。i o t h a ti s ， 裳) ( z ) = 丽1 ( 肿喀。删) ( 圳 仨，) g ( t ) i st h ep u l l 施政b y 妒( 亡) o f g ou p t ot h es c a l e f a c t o rr ( t ) ? g ( t ) = 7 - ( t ) 妒( 亡) + g o 5 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y p jf ( t ) 如t h ep u l lb a c kb y 妒( 亡) o f f o ? f ( t ) = y oo 妒( ) = 妒( 亡) 奉( f o ) 觑( 9 ( 亡) ) + v g ( t ) v 鲋m ) + 寺9 ( 亡) = o 伊口如( t ) 厂( 亡) ) p 阳0 3 。 d e f i n e ，7 - ( t ) = e t + 1 s i n c et h ev e c t o rf i e l dg r a d g o y oi sc o m p l e t e ，t h e r ee x i s t sa 1 一 p a r a m e t e rf a m i l yo fd i f f e o m o r p h i s m s 妒( t ) ：m 礼一m 礼g e n e r a t e db yt h ev e c t o rf i e l d s 7 南g r a d g 。f od e f i n e d f o ra l l 亡s u c ht h a t 下( t ) 0 t h e nd e f i n ef ( t ) = y oo 妒( t ) a n d g ( t ) = 7 i ( 亡) 妒( t ) + g o w ec o m p u t e 扣颓归高。m ) 缸。( 蝌砒 阮h a v e 7 - ( 亡。) 知_ t 0 ( 妒( 亡) + g o ) = 7 ( ) l ( - 1 ) 。甍i t = t 0 ) 妒( 亡。) + 卯= 己g r 嘞。) ，( t 0 ) 9 ( ) ， w h i c hh o l d ss i n c e 晏l t ：t 。妒( 亡) = 承1 西9 r 口d 9 。，0 = 妒( ) 。( 9 r 口如( 厂( ) ) h e n c e ( e v a l u a t i n ga t ti n s t e a do ft o ) 珈) = 南北) + l g r a d g ( o f ( t ) g ( n a n d - 2 r c ( g ( t ) ) = 妒( t ) + ( 一2 r c ( g o ) ) = 妒( 亡) 。( e g o + l g r 以如z o g o ) h e n c e 爰夕( 亡) = t ) + l g ，咖删9 ( 亡) = 一2 r c ( 夕( 亡) ) f i n a l l yw ec a l c u l a t e 差( 叫) = ( 晏) ) ( 训z ) = 丽1 妒n d j o l 2 ( ) ( 圳= i 舯肌驯狲硝 第一章r i c c is o l i t o n st h e o r y 口 r e m a r kj 驴= 0 ，t h e ng ( t ) i sd e f i n e d f o ra l lt ( 一，) ；扩 0 ，t h e ng ( t ) i s d e f i n e d f o rt ( - ：e ，o o ) ；a n d 纩 0 ，c g c a ni si s o m e t r i ct o9 c 帆i np a r t i c u l a r , e 9 札= 妒弛n ，w h e r e 妒= c 考i d r n b e c a u s eo ft h i s ，w em a yt h i n ko f ( 形，弛n ) n o to n l ya s as t e a d yg r a d i e n tr i c c is o l i t o nb u ta l s oa se i t h e ra l le x p a n d i n go ras h r i n k i n gg r a d i e n t r i c c is o l i t o n l e t t b e a p o s i t i v e s m o o t h f u n c t i o n o ns o m e i n t e r v a l a n d d e f i n e 妒( 亡) = 丁( 亡) 一考乏d r n t h e n g ( t ) = 他= 下( t ) 妒( t ) + 夕( o ) c h o o s e 丁( 亡) = e t + 1w h e r e r ，s ot h a t 妒( 亡) i sa1 - p a r a m e t e rf a m i l yo fd i f f e o m o r - p h i s m s i fw ed e f t n e ，( z ，亡) = 一筹苗，t h e n ，( 亡) = ，( o ) 。妒( 亡) ，g r a d g 。，( o ) = 一专z a n d 丢) ( z ) = 一知) 也= 南( 肿d g o f ( 0 ) ( ) ( 圳 a tt i m etw ec a l c u l a t e 2 r c ( 删+ 南们) + l g r a d a ( o f ( t ) g ( 归南弛竹一南岛r 谢g e a n l a ：1 2 g 一= o ， ( r c ( 9 ( ) ) 兰0 ) s oi f = l ，t h e n ( 秒，9 c 帆) i se x p a n d i n gr i c c is o l i t o na n di fe = - 1 ， t h e n (