（固体力学专业论文）弹性地基板无单元法理论与精度研究.pdf

摘要 摘要 无网格法是最近几年刚刚兴起的一种数值计算方法。和有限元相比，无网格法只需 要节点参数信息，摆脱了单元的限制，还有精度高、后处理方便、并可消除体积锁死现 象、收敛性及连续性得到很大提高等优点。其中，无单元g a l e r k i n 法( e f g m ) 是无网格 法中比较有代表性和具有较好发展前景的一种。 在本文中，作者在认真阅读和研究所搜集到的大量参考文献、综合各种无网格法优 点的基础上，首先，对无网格法的基本思想、基本原理、发展现状作了概括性的介绍； 其次，对无单元o a l e r k i n 法在弹性地基板计算中的应用进行了较为深入的探讨：( 1 ) 分别 对高斯型、样条型、奇异型等不同形式的权函数进行比较分析，数值计算结果与级数解 析解的比较表明，高斯型权函数效果较好；( 2 ) 对高斯型权函数进行参数研究，得到地基 板计算中相关参数的选取范围；( 3 ) 对不同节点分布方案和不同高斯积分对计算结果的影 响等作了有益的讨论。总之，将无单元o a l e r k i n 法用于弹性地基板的计算分析，采用高 斯型权函数、合适选取参数，且在边界附近适当加密节点等，可使计算结果与级数解具 有更好的一致性。本文的工作也说明了无单元o a l e r k i n 法在处理高阶连续问题时的合理 性、有效性。 关键词：无单元o a l e r k i n 法：权函数；节点分布方案；弹性地基板 a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o d s ，w h i c ha r en e wk i n d so fn u m e r i c a lm e t h o d s ，a r ed e v e l o p e di nr e c e n t y e a r s ，t h e yo n l yn e e di n f o r m a t i o no fn o d a lp a r a m e t e r si n s t e a do fe l e m e n t s i n f o r m a t i o n f u r t h e r m o r e ，t h e ya l s oh a m eo t h e rm e r i t s ，i n c l u d i n gt h eh i g ha c c u r a c y , t h ec o n v e n i e n c eo f t h e p o s t p r o c e s s o r ，t h ee l i m i n a t i o no ft h ev o l u m e l o c k ，t h ei m p r o v e m e n to ft h ec o n v e r g e n c ea n d c o n t i n u i t ya n ds o0 n a m o n gt h e s em e s h l e s sm e t h o d s ，e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o di s o n e o ft h em o s tt y p i c a la n dp r o m i s i n gm e s h l e s sm e t h o d s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，m a n yw o r k sh a v eb e e nd o n eo nt h eb a s i so ft h es u m m a r i z a t i o no ft h e m e r i t so fa l lk i n d so fm e s h l e s sm e t h o d sa f t e ral a r g en u m b e ro fr e l e v a n tr e f e r e n c e sa r er e a d a n ds t u d i e dt h eb a s i ci d e a s ，p r i n c i p l e so fm e s h l e s sm e f l m d sa n dt h e i rd e v e l o p m e n ti nt h e r e c e n ty e a r sa r ei n t r o d u c e ds y n o p t i c a l l y a p p l i c a t i o n so fe l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o di n e l a s t i cf o u n d a t i o np l a t ea r es t u d i e dd e e p l ya n ds o m eu s e f u lc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e da s f o l l o w s ：( 1 ) c o m p a r i s o n sb e t w e e nn u m e r i c a ls o l u t i o n sa n da n a l y t i c a ls o l u t i o n sf o rs e v e r a l d i f f e r e n ts t y l e so fw e i g h tf u n c t i o n s ，i n c l u d i n gg a u s s i a nw e i g h tf u n c t i o n ，s p l i n ew e i g h t f u n c t i o na n ds i n g u l a rw e i g h tf u n c t i o ne t c ，a r ep e r f o r m e d t h er e s u l t ss h o wt h a tg a u s s i a n w e i g h tf u n c t i o ni st h eb e s to n e ( 2 ) r a n g e so fr e l e v a n tp a r a m e t e r sf o rg a u s s i a nw e i g h t f u n c t i o na r eg i v e n ，( 3 ) i n f l u e n c e so fn o d a ld i s t r i b u t i o ns c h e m e sa n dt h en u m b e ro fg a u s s i a n i n t e g r a t e dd o t so nc o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa r ed i s c u s s e d i n c o n c l u s i o n ，i fw ea d o p tt h e g a u s s i a nw e i g h tf u n c t i o n ，t h ea p p r o p r i a t es e l e c t i o no ft h e i rp a r a m e t e r sa n ds u i t a b l en o d e s d e n s i f i c a t i o ni nb o u n d a r i e s ，t h e nag o o dr e s u l tw i l lb eo b t a i n e di nt h ec o m p u t a t i o no fe l a s t i c f o u n d a t i o np l a t eb ye l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o dt h er e s u l t sa l s oi l l u s t r a t et h er a t i o n a l i t y a n dv a l i d i t yo fe l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o di nt r e a t i n gt h eh i g h o r d e rc o n t i n u o u sp r o b l e m s k e yw o r d s ：e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ；w e i g h tf u n c t i o n ；n o d a ld i s t r i b u t i o ns c h e m e s ； e l a s t i cf o u n d a t i o np l a t e 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：星匿b 叁互 日期：丝垒年上月j 丛二日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方格内打“”) 作者签名：墨豳量日期：垫堂年上月丛日 导师签名：狴丝錾 日期：丝翌篁年月丛一日 第l 章绪论 l _ 1 引言 第1 章绪论 筏板基础是软土地基上广泛采用的基础形式之 ，而筏板的分析足阻地基上板的分 析为基础的。由于实际工程中情况复杂，除个别情形外，求得地基上板问题的解析觯是 十分网难的。因此，在维大多数情况下，只能借助于数值方浊，如有限元法、边界币7 l 法、有限差分法等。其中，有限单元法是迄今为止非常重要且强有力的数值方法，其在 板与地撼共同作用分析中应用十分广泛。 有限单元法是以微分力程和定解条件的等价积分形式为理论基础的，以分片近似函 数逼近仝域的场函数，最后建立线性方程组求解。在薄板弯曲问题的有限单元法中，要 求近似函数本身及其一阶导数在计算域内连续，使得板单元的构造变得_ | 分复杂，节点 参数电较多，对于几何形状复杂的薄板问题，又将导致节点数的大量增加，因此，其应 用受到一定限制。 兀单元法采用移动最小：乘法( m o v i n gl e a s t - s q u a r em e t h o d ，简称m i ，s ) 构造的光滑 l = i j 数近似场函数，保留了有限单元法的一些特点，但不需要单元划分，凶此摆脱，单元 的限制，克服了有限兀的不足。与有限单元法相比，无单元法具有如下优点o j ： ( 1 ) 避免了大量的单元网格划分工作并克服了有限元法中由于场函数的局部化近似 所引起的误差； ( 2 ) 为得到离散的线性方程组仅需要对节点和边界条件进彳! j 二描述； ( 3 ) 场函数及其梯度存整个求解域内是连续的，无需寻求光滑梯度场的后处理过程。 有无单几法的上述特点看出，无单元法用于解决要求域内连续的板弯曲( 0 1 ) 问题， 其优辫是明显的。本文对无单，j 法的发展现状、理论基础等进行了系统概述，并对地基 扳无单元法精度影响因素进行了探列。 1 2 无网格法研究进展 近几十年束，有限元法已成为计算力学中解决工程问题的主要数值计算方法。在用 拉格朗同法求解高速碰撞、裂纹动态扩展、局部化等涉及特大变形的问题时，有限元删 拉格明f 1 法求解高速碰撞、裂纹动态扩展、局部化等涉及特大变形的问题时，有限元嘲 涧北大学硕士学位论文 格可能会产生严重扭曲，不仅需要网格重构，而且严重的影响解的精度：对高速冲击等 动态问题，显示时间积分的步长取决于有限元网格的最小尺寸，因而网格的扭曲将使时 川积分步长过小，大幅度地增加了计算工作量；对裂纹的动态扩展问题，由于裂纹的扩 展方向不能事先确定，因而在计算过程中需要不断地重新划分网格以模拟裂纹的动态扩 展过程；有限元近似基予网格，因此必然难于处理与原始网格线不一致的不连续和大变 形等问题；复杂三维结构的有限元网格生成也是极具挑战性的问题。鉴于有限元的这些 缺陷，近几年来国际上许多著名的计算力学学者，如t b e l y t s c h k o ，w k n u ，s n a t l u r i ， j ，1 ( ) d e n ，k - jb a t h e ，o c z i e n k i e w i c z 等t 2 - 4 都对无网格法进行了大量的研究工作。无网 格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分的消除网格，不需要网格的初始划分和重构， 不仅可以保证计算的精度，而且可以减少计算的难度。 对无网格法的研究可以追溯到七十年代对非规则网格有限差分法的研究口l ，由于当 时有限元法的巨大成功，这类方法没有受到重视。1 9 7 7 年l u c y t 和g i n g o l d 等分别提出 了光滑质点流体动力学方法( s m o o t h e dp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ，s p h ) ，并且成功的应用于 天体物理领域中。 n a y r o l e s 等于1 9 9 2 年将移动最小二乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r e ，m l s ) 引入g a l e r k i n 法中，提出了散射单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) 1 6 1 。b e l y t s c h k o 等对d e m 进 行了两点改进，在计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略掉的所有项，并利用拉格朗 同乘子法引入本质边界条件，提出了无单元g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ， e f g m ) ，掀起了无单元法的研究热潮。这类方法比s p h 方法计算费用高，但具有较好的 协调性及稳定性。b e l y t s c h k o 等 7 1 给出了误差估计，对e f m 法中的数值积分方案以及近 似函数的计算方法进行了深入研究们，并对e f m 法用于动态裂纹扩展数值模拟i “。“， 克服了有限元方法在模拟裂纹扩展时需要不断进行网格重新划分的缺点：用m l s 可以 较容易的构造具有c 1 连续性的函数，因此k r y s l 等 1 将e f m 用于板壳分析中；l i u 等| 8 1 将e f m 和边界元法相耦合。用于固体的应力分析：b e l y t s c h k o 和h e g e n 等2 0 1 ，将e f m 方法和有限元方法耦合以发挥各自的优势；b e i s s e l 等【2 。i 提出了节点积分方案，但计算稳 定性较差；周维垣等1 2 2 - 2 3 1 1 对e f m 进行了详细介绍，并应用于拱坝开裂分析中；张建辉 等 2 4 - 2 6 1 将e f m 应用于地基板的内力分析中；庞作会等1 2 7 , 2 8 1 也对e f m 法进行了介绍，并 将其应用于边坡开挖问题中；研究表明，e f m 法精度和收敛速度都高于有限元法，瓶 且没有体积锁死现象，但e f m 法计算量大，并且需要借助于背景网格进行数值积分。 ， 第1 苹绪论 l i u 等2 9 , 3 0 1 根据函数积分变换的思想，基于g a l e r k i n 法提出了重构核质点法 ( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c l em e t h o d ，r k p m ) ，并结合小波( w a v e l e t s ) 的概念，构造了多尺 度重构核质点法( m u l t is c a l er e p r o d u c i n gk e r n e kp a r t i c l em e t h o d ，m r k p m ) 。r k p m 法已 在大量问题的数值分析中得到了应用，如结构动力学| ：3 1 1 、流体动力学阳等。 d u a r t e 和o d e n 等利用移动最小二乘法建立单位分解( p a r t i t i o n o f u n i t y ) 函数，由此构 造权函数和试函数，再通过g a l e r k i n 法建立离散格式，提出了h p 云a ( c l o u d s ) 法，并对这 种方法进行了严格的数学论证。m e n d o n c c a 等i 将该方法用于求解铁摩辛柯梁问题。 g a r c i a 等0 3 4 1 将其用于求解厚板的弯曲问题；刘欣等l ”1 将其用于平面裂纹问题的自适应分 析。o d e n 等口卅又将有限元形函数作为单位分解函数，提出了基于云法的新型h p 有限元 f n e wc l o u d s b a s e dh pf e m ) 。该方法需要借助于有限元网格，破坏了“无网格”的部分特性， 但能很容易进行h 、p 和h p 自适应分析。l i s z k a 等”改用配点格式，避免了g a l e r k i n 格 式中用于积分计算的背景网格，提出了h p 无网格云团法( h pm e s h l e s sc l o u d sm e t h o d ) 。 b a b u s k a 和m e l e n k 等将单位分解法与有限元相结合，提出了单位分解有限元法 ( p a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p u f e m ) 4 n 广义有限元( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d ，g f e m ) 方法。用该方法求解动态裂纹扩展问题时，可以处理任意裂纹形状，并 且不需要划分网格瞰3 9 1 。 a t l u r i 等提出了局部边界积分方程法( 1 0 c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ， l b i e ) 【4 0 。4 2 峙口无网格局部p e t r o v g a l e r k i n 法( m e s h l e s sl o c a lp e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ， m l p g ) 4 6 1 。这两种方法都是用移动最小二乘法建立场函数的近似，用局部 p e t r o v g a l e r k i n 法建立无网格格式，积分是不需要背景网格。l b i e 可以看成是m l p g 的一种特殊情况，但需要进行奇异积分计算。l i u 等 4 7 1 将m l p g 和有限元及边界元相耦 合，充分发挥它们各自的优势。 与有限元法不同，无网格法中使用的近似函数大都不具有插值特性，因此在基于 g a l e r k i n 法的无网格法中处理本质边界条件具有一定的困难。目前已提出了直接配点法、 拉格朗门乘子法、修正变分原理、罚函数法、与有限元耦合法、修正配点法、变换法、 位移约束方程法和奇异权函数法等方法。刘桂荣等人4 8 。5 0 1 建立点插值法，其近似函数具 有插值特性，施加本质边界条件的方法与有限元类似。 河北大学硕士学位论文 1 3 各种无网格法比较 日前已提出了十余种无网格方法，它们之间的区别主要在于所使用的试探两数( 如 移动最小二乘近似、重构核函数近似、单位分解法、径向基函数、点插值法等) 和微分 方程的等效形式( 如g a l e r k i n 法、配点法、最小二乘法、p e t r o v g a l e r k i n 法等) 。例如， e f m 和r k p m 都采用了g a l e r k i n 法，但e f m 用移动最小二乘法建立试探函数，而r k p m 用重构核近似建立试探函数。加权残量法是求解微分方程近似解的一种有效方法，如果 试探函数采用紧支函数，就得到紧支试探函数加权残量法。表1 1 对近年来无网格法的 发展作一总结。 表1 。1 主要无网格法小结 无网格法采用定义在离散节点上具有紧支特性的函数来构造近似函数，这是无网格 法与传统有限元法的主要区别。与其相比，无网格具有以下优点： ( 1 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，减少了因网格畸变而引起的困难，适用 于处理高速碰撞、动态断裂等涉及大变形和需要动态调整节点位置的各类应用问题。 ( 2 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，适用于分析各 类具有高梯度、奇异性等特殊性质的应用问题。 第1 章绪论 ( 3 ) 采用紧支函数的无网格法和有限元法一样具有带状稀疏系数矩阵的特点，适用 于求解大型科学与工程问题。 ( 4 ) 无网格法的前处理只要节点位置信息，不用网格信息，容易分析复杂三维结构。 ( 5 ) 无网格计算的结果是光滑连续的，不必再进行应力光滑化等后处理。 ( 6 ) 基于m l s 插值得到的近似场函数具有与权函数相同阶次的连续导数，因此适当 选取权函数可得到具有全域连续的任意阶导数，适于分析高阶连续性，例如板弯f f l ( c 1 ) 问题等。 无网格法爿刚刚起步，在严格的数学论证、计算效率、边界条件处理和大量应用实 例方面还不能与成熟的有限元法相媲美，更没形成有效的通用软件。另外，用m i 。s 和 r k p m 等建立无网格近似函数时，涉及到对矩阵求逆，计算量大。与有限，二法不同，无 网格法的近似函数大都不是多项式，因而基于g a l e r k i n 法的无网格法( 如e f m 、r k p m 、 m i 。p g 等) 需要在每个背景网格或节点予域中使用高阶高斯积分以保证计算精度，因此 无网格法的计算量一般大于有限元法。如何提高无网格法的计算效率也是近年来的研究 热点。虽然无网格法还远不成熟，但由于它不需要网格，因此在超高速碰撞、爆炸、裂 纹扩展等领域中具有广阔的发展前景。 1 4 问题的提出 无单元法的数学基础是移动最小二乘法，它利用m l s 方法产生的连续光滑函数来 逼近场函数，并可具有高次的连续性具有要求数据简单，计算精度高等特点，易于处理 裂纹扩展问题。从本质上来讲，无单元方法是一种非线性插值方法，虽有助于提高解的 精度与解的连续性，但是与各种非线性因素交织在一起，相互作用。在研究中还存在许 多困难，主要困难有： ( 1 ) 权函数的选取； ( 2 ) 紧支域半径大小的确定： ( 3 ) 本质边界条件的实现； ( 4 ) 形函数计算复杂： ( 5 ) 计算昂贵等。 问北大学坝士掌位论文 1 5 本文的主要研究内容 无单元g a l e r k i n 法是无网格法中比较成熟比较有发展前景的一种方法。在权函数的 选取、节点分布方案、高斯积分点数的确定等方面都需要进一步的研究和探讨。 在大量阅读和认真研究了现有的参考文献，并分析综合了各种无网格法的优缺点， 在前人所做的研究成果的基础上，本文针对无单元g a l e r k i n 法在弹性地基板计算分析中 的应朋，对下列问题进行了研究： ( 1 ) 对不同形式的权函数对地基板计算精度的影响作了研究。 ( 2 ) 给出了针对地基板问题，高斯( 指数) 型权函数参数的选取方法及其范围。 ( 3 ) 讨论了节点分布方案及不同高斯积分对计算结果的影响等问题，并得出相应结 论。 6 第2 章无单元g a l e r k i n 法 2 1 引言 第2 章无单元g a l e r k i n 法 在众多无网格方法中，无单元g a l e r k i n 法( e l e m e n tf r e eg a l e r k i nm e t h o d ，简称e f g m ) 是最具发展前景的无网格法之一。无单元法的基本思想是：采用移动最小：二乘法构造形 函数，从能量泛函的弱变分形式中得到控制方程，并用拉氏乘子满足本质边界条件，从 而得到偏微分方程的数值解。无单元g a l e r k i n 法与其它数值方法相比具有数值稳定、精 度高、可消除体积锁死( 对不可压缩物体) 、收敛快、表述简便、存储空间小等优点。 2 2 移动最小二乘近似 应用移动最小二乘( m l s ) 插值方法，求解域内任一点位移( x ) 可近似表示为 xh ( x ) = p ，( ) “，( x ) = p r ( x ( 肖) ( 2 1 ) j 其中，p ( x ) 为m 维完备多项式基，g ( x ) 为维系数向量，可以看出移动最小二乘法中 多项式的系数随空间坐标变化。 对于板弯曲问题，板中面为( x ，y ) 坐标面，= b ，y 】7 ，且由于其积分弱形式中包含 场函数的二阶导数，则在a ( x ) 为常数时场函数需能精确表示二阶多项式( 一般，式( 2 一1 ) 的次数比p ( x ) 高得多) 。多项式基可取为常用二次基函数向量 p ( 。r ) = p ( x ，y ) = 1 ，x ，y ，x2 ，x y ，y 2 r ， ( = 6 )( 2 2 ) 系数向量d ( x ) 根据加权最小二乘确定，它使得函数的加权局部近似误差的二二范数 最小： ，= w ( x x ，) 【p 。( x 。如( ) 一i 。】2 ( 2 3 ) 上式中，式加权的离散误差的模，方括号中的量为节点i 处局部近似与节点量，之间的 差w ( x ) 为权函数，表示节点i 的权函数，w ，( ) = w ( x 一石。) ，月为点紧支域 ( w ( x x ，) 0 的区域) 内的节点数，这些节点称为点的邻近节点。二，是节点= x ，即 7 河北大学- 【学硕士学位论文 节点，的场函数值，不难看出，一般情况下“( x ，) i ，( 参看图2 1 ) 。 j j “r t “ l i i ii 图2 - 1 “，与i ，之间的差别 移动最小二乘近似法中，由于局部特征( 也即“移动”部分) a ( x ) 是的函数，式( 2 3 ) 可以看作传统最小二乘近似法的推，“，在传统的最小二乘近似法中a 是与爿无关的常 数，这里用近似，它表示函数一般并不通过场函数的节点值，丽“插值一般表示函数通 过节点值。因为移动最小二乘一般不通过数据点，所以把它称为近似。 将j 关于a ( x ) 取极小， 有 a j ( 丽x ) ：o o a 伍) a ( x ) a ( x ) = b ( x ) f i 解得a ( x ) = a 。( x ) b ( x ) u ，也即 ( 2 4 ) ( 2 - 5 ) a j ( 并) = 4 一( x ) 口( 一) ，f i = 【爿- 1 ( x ) b ( 爿) 】，d ( 2 6 ) ， 爿( x ) = w 。( ) p ( ，) p ( x ，) b ( x ) = w ( x ) p ( x ) ，w ：( x ) p ( x 2 ) ，w 。( x ) p ( x 。) 1 f 2 7 ) ( 2 8 ) 其中百= “。，“2 ，- ，“。】，式( 2 7 ) o o a ( x ) 是m m 阶矩阵，式( 2 - 8 ) 中的b ( x ) 是n 阶 矩阵，亦即 第2 章无单元g a l e r k i n 法 4 ( ) n月 w ，( ) p ，2 ( ，) w ，( x ) p ，( 足，) p 。( x ，) i o w ，( ) p 。( 工，) p 。( x ，) w ，( x 2 ( ，) ，i f 2 9 、 w ( ) n ( z 】) w 。( x ) p ( x 。) l b ( x ) = l ； ( 2 - 1 0 ) 1w ，) 儿( x ，) ，。( x ) p 。( 以) i “6 = 谚( x 碡 i = 1 其中庐，( ) 为基于移动最小。一：乘法的形函数 谚( x ) ；p ，( 爿) 爿。( ) 疗( ) ， ， 由卜式可以看出5 1 1 ： ( 1 ) 既使基函数p 。伍) 是多项式，近似式( 2 1 1 ) 也不再是多项式 ( 2 ) 若权函数w ，旺) 具有t 阶连续导数，则形函数谚伍) 也具有f 阶连续导数 r 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 3 ) 若权函数w 。伍) 在整个求解域上取一常数，即得到标准的最小二乘法插值函数 但此时域内所有节点的未知数将被耦台，而定义w ，伍) 在一个较小的子域上非零，则将 产生一个稀疏的平衡方程组系数矩阵： ( 4 ) 通过在每一予域或单元上定义( x ) 为分段常数，则也可得到标准的有限单元 法。 2 2 紧支集、定义域和影晌域 众所周知，在f e m 和b e m 中，节点和积分点是两个基本概念。节点指问题求解的 取样点，积分点则指计算数值积分时的取样点( 如g a u s s 点) 。f e m ，b e m 的大量计算主 要涉及积分点对个节点的“贡献。无单元法也是如此。 问北大学工学坝士学位论文 m l s 插值为全区域插值，即一个节点i 的方程系数将涉及所有节点，最终矩阵为满 阵。为使它具有稀疏带状性，无单元法引进了局部权函数，并由此有了紧支集、计算点 的定义域、影响域等的概念”1 。f 面对这几个概念分别进行介绍： 首先，每个节点i 对应一个局部权函数w ，( 爿) ，它仅在半径为的邻域内才不为0 。 在所有积分中乘入权函数后，该积分当然只在_ 圆内的积分点处才须计算数值，因此， 这个w 0 的区域或集合就称为节点i 的紧支集。 其次，无单元法在最终矩阵方程中，所有矩阵和向量与形函数西及其导数有关，而 它的计算又取决于权函数w 及其导数w ，因此，整个计算的关键是求出每个积分点处 的w ，w ，庐，砂。凡在同一个积分点处权函数不为零的所有节点，就称为该积分点 的定义域。紧支域与定义域的关系如下： ( 1 ) 从节点出发来看，其权函数彳i 为0 的区域即其紧支域，反之，从积分点看，在 该点权为非0 的节点即对此积分点有贡献的节点，这类节点的集合就构成了这一积分点 的定义域。 ( 2 ) 节点的紧支集取成简单的圆，在同一积分点处，包含此积分点的所有紧支集即 为此积分点的定义域( 它是任意子域) 。 最后是所谓的影响域的概念，在具体作数值计算时，每个积分点的贡献值将送到其 定义域涉及的各个节点处。因此，在节点f 的方程中，凡有积分点贡献的非0 项如世。就 是i ，j 的耦合项。这样，i 点方程中所有非0 元对应节点的集合称为f 点的影响域。事实 上，影响域就是i 点紧支集内所有积分点定义域的并集。这与有限元的带宽类似。例如 刚度矩阵计算公式为 k 。= ，d 办，d x ( 2 1 3 ) 对某个积分点x ，只要谚。和妒。不为0 ，k 就有贡献。 2 3 权函数 权函数w ，( ) = w ( x x ，) 是无单元法的重要组成内容。从函数逼近论的角度来看， 使用权函数的目的可以使近似解和精确解在某一划定区间上拟合的更好，或者说，着重 强调了二者在分区域中的拟合关系。 1 0 第2 章无单元g a l e r k i n 法 w ( r ，_ 掣1 嘉芸一r ， 2 1 4 ) = 一e 郴，“) 。( 一) 吣，= 护“怎 p ，s ， w c r ，= ：一6 r 2 十8 r 3 3 r 4 r ， z ： c z 一e ， w c r ，= ：一1 。，3 + 1 5 r 4 6 ，5i 詈， c ：一， w，=2：，。3一-44，r 2 + + 。4 r ：二a r 3 ，。，r ， 1 时 f r l = 0 。 2 4g a l e r k i n 法 g a l e r k i n 法足加权余量法的一种，目前在无网格法中也较常采用，经常称为无单元 g a l e r k i n 法( e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ) 。g a l e r k i n 法是积分形势下满足基本微分方程和 自然边界条件，也称弱形式( w e a kf o r m ) 。 以简单的泊松方程为例，其控制方程和边界 条件为 v 2 “= f 在域v 内，( 2 2 3 1 “( x ) = 玎( x )在边界l 上，( 2 - 2 4 ) “，。0 ) ；，= i在边界f t 上， ( 2 - 2 5 ) 式中n 为边界上的外法线。上式的积分形式为 “。巍，。矗矿= i f s u d v 一扛。打 ( 2 - 2 6 ) 将式( 2 - 1 1 ) 带入上式，即得到离散方程 【百】 ) = f ( 2 - 2 7 ) 式中女为带求的未知量， 世z ，2 量谚以，d 矿 ( 2 - 2 8 ) 兀= f 办矿一f 九，。d r ( 2 - 2 9 ) _ l ：述两个积分都需要用数值积分的方法来计算。在用g a l e r k i u 法时，可采用背景网 格( b a c k g r o u n dm e s h ) 法。像有限元法一样把求解区域划分为网格，积分就在每个单元巾 1 2 第2 章无单元g a l e r k i n 法 进行。网格只在积分中起作用，所以称为背景网格。 2 5 本章小结 本章对无单元伽辽金法的基本思想、基本原理作了概括性介绍，对紧支域、定义域、 和影响域等几个概念进行区分，列举了计算中常用的权函数，并着重介绍了权函数及伽 辽金法等重要概念。 河北大学_ t 学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章w i n l k e r 地基板无单元g a l e r k i n 方法 地基板是土木工程中重要结构之一，为了确定承载力和沉降量，必须对它进行精确 计算。由于天然土的力学性质十分复杂，在数值计算时须将其理想化。对于理想化的士 的形态模型主要有三种：w i n k l e r 模型( 单参数模型) 、双参数模型、弹性半空间模型。这 三种模型都属于弹性模型，虽然它们不能被天然的土体所严格满足，但他们能较好的描 述土体形态，满足工程计算需要。 在弹性介质地基板的数值分析中用得较多的是有限元法。用有限单元法计算弹性介 质地基板时须划分板单元，除了单元边界上位移相容外( 即单元必须不相互重叠或脱离) ， 对板单元而言，还要求跨越单元相互边界时斜率连续，否则将在界面上导致无限大的曲 率。为了满足位移相容和斜率连续的要求，有限元法板单元的节点参数至少要求三个： 挠度w ，x 方向转角目，y 方向转角0 ，对无单元法而言，只需要一个节点参数w ，就 可构造出高次连续的近似场函数，近似场函数在整个板域内位移和斜率均连续。因此， 无单元法在板弯曲( c i ) 问题中的应用，其优势是明显的阻2 6 1 。 本章简述了w i n k l e r 地基模型、弹性地基上板的基本方程，并在文献【5 1 研究工作的 基础j 二，应用最小势能原理、虚功原理，建立了w i n k l e r 地基上板的无单元法，给出板 与地基相互作用的无单元法刚度矩阵计算公式。 3 2w i n k l e r 地基模型 w i n k l e r ( 1 8 6 7 年) 模型是一种简单的线弹性地基模型。它假定地基表面上任一点处的 竖向位移w ( x ，y ) 与所承受的压力强度p ( x ，y ) 成正比，而与作用在其它点的压力无关。 这种线性关系可表示为： p ( x ，y ) = k w ( x ，y ) ( 3 一1 ) 其中，k ( k n ，m 3 ) 为地基基床系数，可由试验确定；p ( k p a ) 为地基表而某点所受的压力 强度；w ( m ) 为该点的地基位移沉降。 1 4 第3 章弹性地基板无单元g a l e r k i n 法 ( a 1 柔性基础 i i i | 1 4 | _ l 山山二l 叫“、反力 f b l 刚性基础 图3 - 1w i n l d e r 地基模型示意圈 w i n k l e r 地基模型的特征是把土体视为有系列侧面无摩擦的土柱或彼此独立的弹 簧组成，其变形具有弹簧变形的特点，相邻弹簧之问变形互不影响，即在基础地面下的 体立即产生于基底压力成正比的沉降位移，而在基底范围之外的士体位移为零，如图 3 - 1 所示。地基反力分布图形与位移图形相似，相似系数即为基床系数k 。这种模型忽 略，地基士体抵抗剪切变形的能力，即土体中剪切应力，因此导致了上述变形特征，这 是与实际情况不符的。事实上，由于土体中剪应力的存在，使得地基中的附加应力向基 地周围土体中扩散，从而引起基础以外没有压力的地基表面也产生沉降变形。 w i n k l e r 地基模型计算简便，只要k 值选择合适，可获得比较满意的结果。当地基抗 剪强度低以及压缩层较薄时，选用该模型比较适宜。 3 3 地基上板的基本方程 3 3 1 基本假设 板的几何形状是以其中面的几何图形来表示的。所谓中面，就是平行于板面、平分 板厚度h 的平面，如图3 2 。在板的理论中，k i r c h h o f f 薄板小挠度理论占有重要地位。 具主要假设是： ( 1 ) 垂直于中面的正应变忽略不计，板的挠度w = w ( x ，y ) 只是水平向坐标x 和y 的函 数，与竖向坐标z 无关，即： ：掣：0( 3 2 ) 舻丁琴弓7易暴垂可荔 河北大学工学硕士学位论文 ( 2 ) 板中面内各点不发生平行于中面的位移，中面内各点的水平向位移“和v 均为 零，即有： “k = 0 ，v b = 0 ( 3 3 ) ( 3 ) 横向剪力引起的变形忽略不计，变形前垂直于中面的法线，变形后仍垂直于中 面，由此可知： y 。= y ：，= 0 ( 3 - 4 ) r ) 面 图3 - 2 地基上承受竖向荷载的板 浚薄板挠度理论的适用范围是板宽b 与扳厚h 之比b h 1 0 ，且最大挠度在 h 1 0 矗1 5 以内，同时也不大于b 5 0 。当板厚超出上述范围时，横向剪力引起的变形不 能忽略，薄板理论的第一条假设不再成立。因此，r e i s s n e r 提出了厚板理论，但较薄板 理论要复杂得多。许多实例对比分析表明，薄板与厚板两种理论的差异与板的宽厚比的 平方( 曰 ) 2 成反比，并随着e l k 的增加，厚板理论的分析结果趋向于薄板理论。在实用 上一般认为e l k 1 0 时的薄板理论的结果己具有足够的精度，不必采用复杂的厚板理 论。另外，工程中常遇到基础板或筏基的材料性质，特别是弯曲刚度，在两个互相垂直 的方向上互异，可视为结构上的正交各向异性板。为了不失一般性，本文以薄板小挠度 理论的正交各向异性板为例给出基础板的基本方程。 3 3 2 基本方程 ( 1 1 几何方程 第3 章弹性地基板无单元g a l e r k i n 法 薄板理论的位移函数： 身掣a “2 一。了，v = o _ ，w = w ( x ，y )( 3 - 5 ) 由e 式求导易得薄板小挠度理论的几何方程： 铲z 窘一一z 雾，矿也笔( 3 - 6 ，屯一2 万一一。万y w 一盈丽 ) ( 2 1 物理方程 根据线弹性应力应变关系和几何方程，物理方程用位移表示为 ez ，矿2 w护2w- 。x- 仃i 一而万+ 以矿 仃，：一生( 害了02 w )( 3 7 ) 仃一1 - i g i g , 矿+ 段万 铲一骞 式中，e ，、e ，和t ，、，分别为基础板材料在x 、y 轴方向的弹性模量和泊松比，而且 有，e 。芦，= ，；g 为基础板的剪切模量。 ( 3 ) 内力与位移的关系 将基础板中的应力在板厚范围内沿长度进行积分，得到基础板横截面单位长度上的 内力，其作用面如图3 3 所示： m 。 m 。 + d ， + d m 。逃。= 越。鼍 k 嘏窘+ h 舄， k 书，窘+ h 惫， ( 3 - 8 a ) ( 3 8 b ) w w 扩一a，扩一穰 塑掰生矿 d ， d ( ( 一 一 = = 。，。一：，：! ，：塑些奎兰堂堂鎏塞 围3 - 3 地基板上的内力 式中m ：、m 。、o x ( 吩、m 。、q ，) 分别为垂直于x ( y ) 轴的横截面上，板单位长度截 面上所承受的弯矩、扭矩和剪力( 弯矩以板底受拉为正，扭矩和剪力以图示方向为正) ： d ，、b 为正交各向异性板的抗弯刚度，嘎，为抗扭刚度，d 。为副刚度，h 为派生的等 效抗扭刚度，各刚度的表达式为： 色= 蒜岛以= 面e y 而h3 ，= 鲁 日= 砭e 可。二：f l i yh 万3 = 丽e y d i h 万3 ，胃= q + 2 。 ( 3 9 ) 1 2 ( 1 一。)1 2 ( 1 一，。) 1 。” 。7 其中h 为基础板的厚度。 通过积分同样可得边界上的合成剪力： t = vy = + ( 4 d x y + d 1 ) 筹】 + ( 4 d y + d t ) 砺o