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运动原子与光场相互作用系统的量了纠缠y9 9 0 0 8摘要内容摘要：量子信息科学是量子力学和信息科学相结合的产物，在量子信息学中，信息的存储、表示、提取都是离不丌量子态及其演化过程的。而量子纠缠态无疑是各种各样的量子态中最为重要的一类了，它在量子信息学的两大主要领域量子通信和量子计算中有着广泛而重要的应用。本文用v o nn e u m a n 熵研究了压缩真空场与运动二能级原子相互作用的量子体系的量子纠缠特性，讨论了初始压缩真空场的压缩度以及运动原子的场模结构参数对该量子体系纠缠特性的影响。结果表明：原子的运动使系统纠缠度的演化具有严格的周期性；在初始压缩度较大( r 3 ) 时，除了一些消纠缠点外，系统将长久停留在最大纠缠态；场模结构参数的增大将导致消纠缠次数的增多。研究了相干态场与运动二能级原子相互作用的量子体系的量子纠缠特性，揭示了光场的初始平均光子数和场模结构参数对该量子体系纠缠特性的影响。结果表明：随着平均光子数的增多，系统纠缠程度在某点将下降，且这种下降的点数增多；场模结构参数的增大将导致消纠缠次数的增多。本文还研究了在j - c 模型中利用二能级原子与单模场的相互作用，制各出原子与光场的纠缠态。随着时间的演化，原子与光场组成体系的纠缠度呈现出周期性变化规律。研究结果表明：在失谐量等于拉比频率时，该体系的纠缠度将长时间处于最大纠缠态。讨论了k 光子j - c 模型中二能级原子与单模场相互作用体系量子纠缠的演化性质。通过计算得出：原子与场纠缠体系的纠缠度随时间做周期性的振荡，多光子过程使振荡频率加快，在失谐量等于拉比频率时，该体系的量子态将长时问处于最大纠缠态。关键词：量子信息；量子纠缠态；纠缠度；运动二能级原子；v o n , n e u m a n 熵运动原子与光场相互作用系统的量了纠缠a b s t r a c tc o n t e n t ：ac o m b l n a t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c sa n d1 n f o r m a t l o ns c l e n c ey l e l d san e ws u b j e c t ：q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e t h es t o r a g e ，d is p l a ya n dr e t r e v eo fi n f o r m a t i o nc o u n d n tw i t h o u tq u a n t u ms t a t e sa n d t h ee v o h t i o no fq u a n t u ms t a t e si nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e a n dq u a n t u me n t a n g l e m e n ti st h em o s ti m p o r t a n to n ei nm a n yk i n d so fq u a n t u ms t a t e s ，i tw i l l h a v ee x t e n s i v ea n di m p o r t a n tu s ei nt w om a i nf i e l di nq u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e - - q u a n t u mc o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u mc a l c u l a t i o nt h ep r o p e r t i e so ft h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e ns q u e e z i n gv a c u u ms t a t ef i e l da n dm o v i n gt w o l e v e la t o ma r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ev o nn e u m a n ne n t r o p y t h ei n f l u e n c e so ff i e l d m o d es t r u c t u r eo fm o v i n gt w o l e v e la t o ma n dt h es q u e e z i n gd e g r e eo fi n i t i a ls q u e e z i n gv a c u u ms t a t ef i e l do nt h ee n t a n g l e m e n to ft h eq u a n t u ms y s t e ma r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a ta t o m i cm o v ec a nr e s u l ti ne v o l u t i o np e r i o d i c a l l yo ft h ed e g r e eo fe n t a n g l e m e n t ：t h eq u a n t u ms t a t ew i l l b em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t ef o ral o n gt i m ew h e nt h es q u e e z i n gd e g r e ea r eh i g h ，t h ei n c r e a s eo ff i e l d m o d es t r u c t u r er e s u l ti nm o r ed i s e n t a n g l e ds t a t e t h ep r o p e r t i e so ft h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nc o h e r e n c es t a t ef i e l da n dm o v i n gt w o l e v e la t o ma r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h ey o nn e u m a n ne n t r o p y t h ei n f l u e n c e so fr ie l dm o d es t r h c t u r eo fn o v in gt w o l e v e la t o ma n dt h e l v e r a g ct ) h o t 。nn u m b e ro fi n i t i a lc o h e r e n c es t a t ef i e l do nt h ee n t a n g l e m e n to ft h ea u a n t u ms y s t e ma r ed i s c u s s e d t h er e s u l t ss h o wt h a tw i t ht h ei n c r e a s eo ft h ea v e r a g ep h o t o nn u m b e rt h ed e g r e eo fe n t a n g l e m e n ti nt h es y s t e mw i l ld e c e n di ns o m ep o i n t ，a l s or e s u l ti nm o r es u c hp o i n t t h ei n c r e a s eo ff i e i d m o d es t r u c t u r er e s u l ti nm o r ed i s e n t a n g l e ds t a t e w ep r e s e n tam e a s u r ef o rg e n e r a t i n ge n t a n g l e ds t a t eo fa t o m - c a v i t vf i e l d ，w h i c hi sp r e p a r e db a s e do nt h ej a y n e s c u m m i n g so fa t o m - c a v i t vf i e ldi n t e r a c t i o n t h r o u g hc h a n g i n gt h ei n t e r a c t i o nti m e ，t h ed e g r e eo f重型堕王兰垄塑塑蔓堡旦至笙堕量王型塑e nl a n g l e m e n to ft h ea t o m c a v lt yf i e l dh a sp e r i o d i cc h a n g e i ti ss h o w nt h a tw h e nt h ed e t u n i n gi se q u a lt or a b if r e q u e n c y ，t h eq u a n t u r ne n t a n g l e m e n ts t a t ew i l ls t a yi nt h em a x i m a l l ye n t a n g l e ds t a t ef o ral o n gt i m e i nt h i sp a p e rw es t u d yt h et i m ee v o l u t i o no ft h ei n t e r a c t i o nq u a n t u me n t a n g l e m e n lb e t w e e nat w ol e v e la t o ma n das i n g l em o d ee m i s s i o nf i e l di nk - p h o t o n - cm o d e l w ef i n dt h a tt h ea m o u n to fe n t a n g l e m e n ta r eo s c i l l a t i n gw i t ht i m ee v o l u t i o np e r i o d i c a l l y m u l t i - p h o t o np r o c e s sw i l li n c r e a s et h ef r e q u e n c yo fo s c i l l a t i o n t h eq u a n t u ms t a t ew i l l b et h em a x i m a l l ye n t a n g l e m e n tf o ral o n gt i m ew h e nt h ed e t u n i n gi se q u a lt or a b if r e q u e n c y0k e yw o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i 、o n ；q u a n t u me n t a n g l e m e n t ：t h ed e g r e eo fe n t a n g l e m e n t ：m o v in gt w o l e v e la t o m ；y o nn e u m a n ne n t r o p y运动原子与光场相互作用系统的量了纠缠第一章引言在量子信息学中，信息的存储、表示、提取都离不开量子态( 量子力学用于描述物质系统状态的数学工具) 及其演化过程。而量子纠缠态无疑是各种各样的量子态中最为重要的一类了，它在量子信息学的两大主要领域量子通信和量子计算中有着广泛面重要的应用；另外，对于量子纠缠态性质的研究也使得我们可以更深刻地理解量子力学的观点。1 9 3 5 年，e i n s t e i n 、p o d o l s k y 和r o s e n 提出了著名的e p r 佯谬f “。针对这一令人惊异的现象，薛定谔指出，描述e p r 粒子对的态是一种“纠缠态”其中存在纠缠现象。8 0 年代，人们提出了量子计算机的理论模型【“，这以后，随着量子计算和量子通讯的理论和实验研究的迅速发展【3 】，量子纠缠念充当了量子信息过程基本资源的角色。量子态的远程传输( 】、量子蜜钥分配【6 】、量子纠错 7 j 用的最基本理论就是量子纠缠态。量子纠缠是存在于多子系量子系统中的一种奇特现象，即对一个子系统的测量结果无法独立于对其它子系统的测量参数。它描述了子系统问不可分离的特性。对量子纠缠程度的定量描述是用纠缠度【8 】来定义的。纠缠度是量子纠缠研究中的一个基本量。对于二体纯态的纠缠态的纠缠程度问题已经得到了精确的描述和解决，它等于任一个子系统的约化密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵【9 l 。由于三体或多体系统的复杂性，人们对于三体或多体系统纠缠态的量化一直处在探讨之中，t o n g 等人【1 0 】提出了用于表示三体的纠缠程度的物理量纠缠量。z u o 等人【1 1 】根据该纠缠量的定义，讨论了t a v i s c u m m i n g s 模型中三体纠缠态纠缠量的演化特性。量子纠缠在量子密码、量子隐形传态、量子通信和量子计算机等这些应用的实现过程中，纠缠态的制各起着基础性作用。c i r a c 等人 1 2 】提出利用先后注入同一腔的不同原子与腔场发生共振相互作用制备了如下的两原子纠缠态：1 妒) = 去( | e ) 1 峨+ 峨l e ) ：) ，厶这里l b ) 和j g ) 分别表示二能级原子的上能态和下能态，而脚标1 和2 分别表示原子1 和原子2 。此外，p h o n e i x 等人 1 3 】以及k u d r y a v t s e v 等人【1 4 j 等也提出方案制备了二原子纠缠态。对于三体纠缠中的w 纠缠态是d u r 等人提出的【1 5 】，与三体运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠最大纠缠g h z 态相比，w 纠缠态是一种最强壮的纠缠，因为即使丢失了其中个粒子，剩卜的两个粒子仍处于纠缠态，这对于w 纠缠态的应用有重要的实际意义。近年来很多人提出方案 1 6 埘】制各三体之间的纠缠g h z 态： 妒) = 去( e ) ：峨+ 峨忱峨) ，二以及纠缠w 态：l 妒) = ( 1 0 0 1 ) + 1 0 1 0 ) + i l o o ) j量子纠缠有着非常重要的应用。要想让量子通信变成实用，比如量子加密和远程输送，实现远距离的量子通信，就有必要在遥远的两地之间分配纠缠状态，提高量子纠缠态的品质和数量，减少消纠缠现象。考虑到量子纠缠态作为信息的载体，在实际中可能与各种环境相互作用，导致退相干现象。因此，研究纠缠态与环境相互作用的纠缠性质很有必要。最近，已有作者研究了光场与原子系统在不同环境下的纠缠特性【2 2 _ 矧。文献 2 6 】研究了初始光场为压缩真空场与原子非线性作用过程的纠缠特性，文献 2 7 】讨论了纠缠原子对t - c 模型中三体纠缠态纠缠量的影响，但是都未考虑到原子的运动，描叙一个有效二能级原子与单模量子化光场在微腔内相互作用的标准的jc 模型是量子光学领域中一个精确可解的理想模型。该模型是在忽略了原子沿腔轴空间运动和原子波包宽度与腔模共振波长相比很小的条件下得到的( 既把景子化光场在原子与光场相互作用的尺度上看成是均匀的，原子被看成是静止的) 。经过广泛研究已揭示了许多非经典效应，如原子的拉比震荡崩塌和复原、压缩、非线性耦合以及量子关联等。随着激光致冷和原子囚禁技术的发展，冷原子和超冷原子的获得必须考虑原子的空间运动。因此，人们将j c 模型作了扩展，考虑了原子沿腔轴的运动和不同场模结构的情况 2 9 】。研究表明：原子运动导致了原子布居的非线性瞬时效应【2 9 一，改变了薛定谔猫态的形成时间、场相位动力学的演化特性【3 2 】和光场的非经典性质【3 3 】，减少了光场的长时间压缩 3 4 】，提高了体系的量子态保真度 3 ”。文献【3 5 】中，原子运动和场模结构对原子动力学性质的影响得到了深入的讨论。考虑原子运动，单( 双) 模光场表现不同的量子统计特性 1 3 - 1 4 。由此可见，原子运动所引起的量子效应在实际实验中是不可低估的。运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠本文第三章研究了光场分别为压缩真空场、相干态光场与二能级原子在考虑原子沿腔轴运动时量子体系的量子纠缠特性，结果显示，光场为压缩真空场时，在初始压缩度较大( r 3 ) 时，除了一些周期性的消纠缠点外，系统将长久停留在最大纠缠态，这对于用压缩真空场实现量子通信具有重要意义。光场为相干态场时，随着平均光子数万的增多，系统纠缠程度在某点将下降，且这种下降的点数增多，这将不利量子通信的实现。第四章研究了j c 模型中原子与光场纠缠态的纠缠度，制备出原子与光场的纠缠态，这对在量子信息论中的研究有着重要指导意义，也可能在实际中有着重要应用。运动原子与光场相互作j _ | ：】系统的量子纠缠第二章基础理论原子与辐射场相互作用的效应是当代量子光学研究的中心内容。在原子和辐射场相互作用系统中，原子和辐射场都具有量子特性，但这在经典物理范畴内是不能体现出来的，半经典理论亦有其不能解释的问题，例如自发辐射、激光的光子统计和线宽等。为了更好揭示原子与光场相互作用系统的量子特性，本章先运用全量子理论，从原子与光场相互作用的h a m i l t o n i a n 出发，经过量子化过程引出h a m i l t o n i a n 算符，再对j - c 模型进行推广，得到具有原子运动的j - c 模型。运用原子与光场相互作用系统的纠缠理论，熵理论，从而求得各物理量的期望值。2 1 、辐射场的量子化经典物理中，自由空间电磁场的运动规律由下列麦克斯韦方程组决定：v x 疗：丝m 1程v 。丘；一堕甜v 口= 0v d = 0豆与膏、西与丘的关系由下列方程决定b = 卢o hd = e 0 e其中* o e 。= ( 7 - 2c 为真空中的光速。( 2 1 曲)f 2 1 1 c 1( 2 1 掰)( 2 1 2 )( 2 1 3 )从麦克斯韦方程组和百与疗、西与啻的关系式，可得到电场满足的波动方v z 豆一! 堡：oc3 t ( 2 1 4 )考虑腔场沿z 方向传播，电场沿z 方向极化，得到电场的简正模展开式e x ( z ，f ) 。爿，g ，o ) s i n ( k j z )j( 2 1 5 )运动原予与光场相互作用系统的量子纠缠其中q ，表不振幅，k j2j r l ( j2 1 , 2 ，3 ，) ，为腔长4 ，；( 瓦2 v2 j ：_ m j ) 啦( 2 圳v ，= j t a c ：l 为腔的本征频率，v 为腔的体积，m ，的引入是为了与谐振子作类比相当于谐振子质量的常数。利用麦克斯韦方程组和( 2 1 5 ) 式，得到磁场的表达式：咐，2 列鲁毒卜z ，偿，乃考虑计算电磁场能量的表达式：日蛊三正d f 。2 + 日，2 )( 2 1 8 )将( 2 1 5 ) ，( 2 1 7 ) 代入( 2 1 8 ) 式，得到电磁场的经典哈密顿量：肚l 叫x ( m j v - ，2 q i 2 + p ，)b l 引入正则坐标乃和正则动量p ，它们满足如下对易关系：q j , p ，j = 访d w( 2 1 1 0 口)k 朋，j = 【p ，p ，j = 0( 2 1 m b )引入正则坐标口，和正则动量p 来表示场的产生算符n ，+ 和湮灭算符n j ，得到：叩- i v 一t 再旁。t j l t j q j + 氓) ( 2 1 1 t a )q + e ”72 南j v j q j - - 峨) ( 2 1 1 1 b )将( 2 1 1 1 ) 代入( 2 1 9 ) ，得到量子化的自由电磁场的哈密顿算符：肌n 莩v ，( a j + a j + i 1 )皿z )其中a j , 口+ 满足如下对易关系：a j , a fj ( 2 - 1 1 3 )运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠a i , a ，j = k ，+ ，n ，+ j = 0( 2 t 1 1 4 )将( 2 1 5 ) 式和( 2 1 7 ) 式用场的产生算符4 + 和湮灭算符“表示后，电磁场便量子化了：e 。( z ，f ) ；如，p “叫+ j + e “。) s i n 晔)( 2 - 1 - 1 5 )h ，( z ，f ) ；一i e o c ，a ，e 1 一n ，+ e “。) c o s ( k i z )( 2 1 1 6 )肌，= 阱22 2 、光场与原子相互作用系统的哈密顿量自由电磁场量子化后，电场分量可表示成为：豆( 尹，f ) = 瓦掣 e 。“7 + 日_ c( 2 2 _ 1 )e 表示波矢，瓦表示电场的单位极化矢，n 。表示光场的湮灭算符，。表示光场的频率，h c - 表示厄米共振，s 。= ( h v 。2 e ) “2 。自由电磁场量子化后，它的哈密顿算符可写为： z ；帆“”争( 2 z 2 )辐射场与一个单电子原子相互作用的哈密顿量，在偶极近似下可写为：h ：h 。十h ，一e f 豆( 2 2 3 )其中h 。表示原子的哈密顿量，h ，表示辐射场的哈密顿量，一打豆表示相互作用部分的哈密顿量。考虑原子算符：= m ，f( 2 2 4 )可用原子算符将原子的哈密顿量表示成为：h 一= e 揪f l = e 。o i 。( 2 2 5 2 )其中e 。为对应于原子的本征态i f ) 的本征能量， 跏构成原子的一组正交完备基。莎= e le ) ( l f ly ) o = 岛( 2 舶2 )其中岛= e ( i l r ij ) 。堡垫! 堕些堑塑三堡旦墨竺堕量王型丝在偶极近似f ，令( 2 2 1 ) 式中的尹：0 和f ：o 得：应= 艺瓦“瓴+ a 。+ )将( 2 2 2 ) 、( 2 2 5 ) 、( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 代入( 2 2 3 ) 得：日。；6 日t + 吼+ 莩e + 壳z t , j 。g t 。( n t + + )其中：g i “- 毽毛s 女h式中忽略了零点能，为了简化，假定以恒为实数。对于二能级原子，有哦。= 屯，因而：g i = g l ”= g t “得到二能级原子与多模光场相互作用的哈密顿算符为：日。；4 y t + 口e + 口。盯。+ e 。) + 6 乏占t p 。+ 口。) o ；+ n 。+ )引入符号：哎= f 口) ( a i 1 6 ) ( 6 |q ；j n ) p巧一= 1 6 ) ( 口j( 2 2 1 1 ) 式可以重新写为( 2 2 a 3 )f 2 2 1 4 )。摹壳口t + n t + 三壳：+ 壳乏乳p + + 盯一) o 。+ n 。+ )( 2 _ 2 - 1 5 )其中甜为二能级原子的跃迁频率，一一。= ( 仁z 岣在旋波近似下，( 2 2 】5 ) 式可化为：肌；h 以+ ”三意：+ 6 三州叩。坩一o )( 2 2 1 7 )对于单模光场与二能级原子相互作用的j c 模型，由( 2 2 1 7 ) 式得到它的哈密顿算符为：h = + n + 吾 m 吒十砖( 叩竹一( 2 2 1 8 )7力却心埘均2互2工2瞄亿。仁亿运动燎子与光场相互作用系统的量予纠缠将( 2 2 1 8 ) 式写为：h = 日。+ h 1( 2 2 1 9 )其中，h 。：h v a + n + 三2 壳盯：( 2 2 2 0 )h l = 囊g ( + + 口一a + )( 2 2 2 1 )在相互作用绘景中，j c 模型的哈密顿算符由下式给出：h ，= e “7 “日1 e “7 4( 2 2 2 2 )利用恒等式：e “b e 一= 占+ 口b ，丑 + 鲁阻，阻, b 1 1 + ( 2 2 2 3 )容易得到：e i ”+ a t a e 。“= a e 。“( 2 2 2 4 )c i t o o z t 2 仃e 一“小= 盯+ e “( 2 2 2 5 )综合( 2 2 1 9 ) 一( 2 2 2 1 ) ，( 2 2 2 2 ) ，( 2 2 2 4 ) 和( 2 2 2 5 ) 有：h = h g ( 盯+ 盯口j 皿+ a + g e 叫出)( 2 2 2 6 )其中，= 一，2 3 、具有原子运动的j c 模型具有原子运动的j - c 模型是j - c 模型的一种重要推广，原子运动和场模结构对其动力学特性有重要影响在现代腔量子电动力学实验中，采用让一原子束沿轴向通过矩形或者圆柱形腔而与不同场模耦合的方法，来考察模场与原子耦合而产生的各种量子效应。我们考虑一个运动的二能级原子与量子光场通过单光子跃迁而发生相互作用的量子系统。为简便起见，取自然量子单位h = 1 ，在旋波近似下，系统的哈密顿量可表示为 2 9 】h = c o o s ：+ 咖+ a + g f ( z ) ( s + 口+ 4 + s 一)( 2 3 1 )式中，d + 和a 分别是频率为0 9 的光场中的光子的产生和湮没算符，s ：和s ：分别对应为原子的反转和跃迁算符，其跃迁频率为m 。，g 为光场与原子相互作用的耦合常数，f ( z ) 为场模形式函数。设原子沿z 轴运动，因此，运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠只需考虑场模形式函数对z 的依赖关系。原子的运动可以具体化为：，( z ) 一f ( v t ) ：s i n ( 旦竺)( 2 3 2 )l式中v 表示原子的运动速度，p 表示长度为的腔中场模的半波数。为了简单起见，假设光场与原子处于共振态( 即是= ) ，并假定原子在t = 0时刻进入腔时处于基态与激发态的相干迭加态i 妒。( 0 ) ) = c o s ( r 2 ) 1 + ) + e x p ( 一i 妒) s i n ( 7 2 ) 一)( 2 3 3 )经过p 个半波长之后离开腔。在相互作用表象中，利用( 2 3 1 ) 式的哈密顿量在二维原子基矢下时问演化算符可写为：u ，0 ) =式中，。舻伽谚2 嘉卜s 华) 不失一般性，选择原子的速度v g l i z ，则 g ) = o p g ) 1 一c o s ( p g t ) 假定初始时刻，腔场模处于数态的任意迭加态：纵o ) ) 2 磊 n )式中， 为光场的光子数统计分布函数。贝0 系统的初态为： 妒扣( o ) ) = i 妒，( o ) ) 妒。( o ) )由此得在任意时刻f 系统态矢l 妒，口( f ) ) = u ，( f ) 妒疖( o ) )= f d ) f + ) + 例一)这里i d ) = 蠢f c o s 詈细s ( 风。( 2 3 4 )回力砷3333300bq运动原子。，光场相互作_ ； 】系统的量了纠缠嘲畦e x p ( 却) 几s i n ( 风) ( 2 3 1 0 )e ) = 静n 扣( _ f 龇c o s ( 厩 ( f ) )一i c o s 要 一，s i n ( f f n n g o ( t ) ) t ，1 )( 2 3 1 1 )利用上式可得在任意时刻t 系统的密度距阵州归删嘲眨s m ，根据上式得光场的约化密度距阵为：p ，o ) = 玩( p o ) ) ；i d ) ( dj + i e ) ( e l( 2 3 1 3 )原子的约化密度距阵为：p 。，；升，c p 。，z 墨l ：；墨i ：；c 2 - s - ，4 ，由初始条件，利用( 2 3 1 3 ) 式和( 2 3 1 4 ) 式确定的光场与原子的约化密度距阵，就可以对运动原子与光场相互作用系统的压缩效应进行研究。2 4 纠缠理论2 4 1 、e p r 佯谬e i n s t e i n 就量子力学的基本概念与b o h r 多年争论之后，于1 9 3 5 年和p o d o l s k y 和r o s e n 等共同发表了一篇重要文章 1 l ，文章认为，利用理想实验的逻辑论证方法，可以表明量子力学不能给出对于微观系统的完备的描述。通常称他们的论证为e p r 佯谬。他们的论证建立在两个主张的基础上：( 1 ) 定域因果性观点。即：如果两次测量( 或一般地说，两个事件) 之间的四维时空间隔是类空的，两次测量( 两个事件) 之间就相互无关，彼此不存在因果关系。( 2 ) 物理实在元素的观点。即：作为个物理实在的元素，任可观测的物理量，必定在客观上以确定的方式存在着。也就是说，如果不去扰动一个系统，这个系统的任何可以观测的物理量在客观上应当具有确定的数值。运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠由这两个主张便立即得出，以类空间隔分开的两个系统具有彼此相互独立的物理实在性，这便是e p r 佯谬的核心思想定域实在论。遵循e p r 佯谬的思路，1 9 5 1 年b o h m 提议1 3 9 1 ，考虑由1 2 自旋的两个相同原子a 和b 组成的一个双原子分子，处于总自旋为零的状态上，分子因受某种影响而分解，两个原子反向飞出，但它们的自旋仍处于关联态 妒) 。上：妒) 。= 击( ) 。+ t ) 。)( 2 4 1 1 )反向飞行使它们彼此间的距离拉开得越来越大，于是，只要对它们作分别测量的两次测量时刻足够靠近，这两次测量所构成的两个事件将是类空间隔。因此，对原子a 的测量应当不会对原子b 造成任何影响。首先，考虑可观测量口? ；+ 1 ，则可以肯定地推断b 处于盯? e 一1 。反之，如果测得? = 一1 ，则知仃? ；+ 1 。总之，一旦对a 作了盯，的测量，则b 的盯值在客观上就是确定了的。并且，因为测量时间与距离所构成的间隔是类空的，从狭义相对论的定域因果律得知，对a 的测量不会影响到b 的状态。这样，按定域实在论的观点，盯? 应当是一个物理实在的元素。也就是说，不论人们是否对b 作测量，盯? 在客观上是确定存在着。其次，考虑可观测量仃。，若对a 测得0 2 = + 1 ，应可推知盯! 1 ，因为这时：。( q 卅峨。= 击( 。( t 卜( 1 。= 吾d l t ) 。一l 。) b )1，口i，7= 万1j q = 一1 ) 。( 2 札2 )同样，若测得盯：= 一1 ，则知口? = + 1 。总之，对a 作了c r ，的测量，便肯定地知道b 的数值，而又不会扰动b 粒子的状态。也就是说，也是一个物理实在的元素，客观上也有确定值。第三，盯，的情况也类似，即口? 也是一个物理实在的元素，客观上也有确定信。运动原了与光场相互作用系统的量子纠缠概括起来说，口? ，d ? ，口? 都是物理实在元素。也就是说，它们在( 对b粒子作) 测量之前，客观上就是唰时确定地存在着。然而，按照量子力学的观点，由于相应算符彼此不对易，它们在客观上就是不能同时具有确定值的，甚至每个粒子自旋指向本身也并不确定，这就是e p r 佯谬的内容。e i n s t e i n 说，这个佯谬表明：要么，量子力学中利用波函数的描述方式是不完备的：要么，即便类空间的两个子系统之间的实际状态也可以是不独立的。根据定域实在论观点，e i n s t e i n 否定了第二条的怀疑，于是他认为，量子力学的波函数描述方法是不完备的。这导致后来许多人猜测量子力学之外有隐变数存在。量子力学的回答是：量子力学之外的所谓隐变数是不存在的，量子力学的波函数描述方式是完备的。与此同时，e i n s t e i n 的定域因果性原理作为对测量影响的原则度量也是正确的，e p r 佯谬中错误的只是物理实在论观点：虽然测量事件是类空间隔，但作为子系统的b 粒子本身已不独立，它的自旋仃? 其值和a 的自旋盯? 其值紧密关联，形成统一系统的一个统一状态。因此，对a 的测量将影响( 而不是“不会影响”如e i n s t e i n 所认为的) b 的取值，对a 的三组测量将分别对b 的自旋取值造成不同的影响。量子力学主张，可能的结果依赖于所进行的测量，不同的测量将带给态不同的塌缩，就会得到不同的测量结果。这里，所谓b 的盯? 三者同时具有物理实在性的观点是和量子力学原理相违背的，是客观上不成立的主观主义推断。其决定性的分歧在于e i n s t e i n 等人不能理解：第一，量子力学中自旋态的构造及其( 因测量造成的) 塌缩均是非定域的( 这种非定域性将两个子系统a 和b 联结成为一个不可分割的量子系统) ；第二，对同一个态所作的不同测量将会造成不同的塌缩，得到不同的结果。迄今为此，实验一直支持以下观点：( 1 ) 量子力学的描述是完备的，不存在隐变数( 塌缩的不确定性是本质的，并非量子力学描述不完备的体现) 。( 2 ) 自旋态的构造以及自旋态的塌缩都是非定域的，而不是定域的。( 3 ) 物理实在论的观点是不对的。它的错误不仅在于要求微观粒子在任何状态下，它的可观测量都必须客观上是确定的，而且还在于它对测量的看法：对测量的影响塌缩持定域的观念，并且不理解不同的测量会造成不同的塌缩。运动原了与光场相互作用系统的量子纠缠2 4 2s c h m i d t 分解( 1 ) 可以证明，总可以将a + b 系统的任一纯态f 纠。表不为如f 标准的表达式，称为s c h m i d t 分解式：跳。= 厄i i ) 。忱，( a = 1 ) ，( 2 4 2 1 )这里， l i 。) 和伽) 。) 分别是和曩b 中的某种两组特殊的( 即和f 妒) 。有关的)正交基，。( i l 屯= 岛和。窜7 ) 。= 岛证明：此系统一般纯态可以表示为i 妒) 。2 1 4 1 ) z h 1 0 。，这里， i i ) 。) 和 j 岸) 。) 分别是曩乞和中的正交归一基，而且仡；慨注意，f ) 。 不一定是正交归一的。1原则上，对于子系统a 任意状态n ，总可以选到这样一组a 正交基 f 力。) ，使得几在这组基中是对角的。假定上面的 1 1 ) 。 就是这组基，于是有以e 韪h i i 另一方面，用态 妒) 。x - t - t i 统b 的部分求迹也可以表示这个p 。，即舻 ) 。钒 i ) 。( 儿( 琊loj； 阮( 和l ；) 。( 讲= 。 ，h 2 + 阡= 1 ，( 口，b c ) 体系的量子纠缠态中，最为重要的是如运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠下四个量子纠缠态：l ) 2 m = 去+ ) 。l 一) 。+ - i 一) 。l + ) 。)( 2 4 3 8 )v 二l 中) 2 a b = 去( h h + - i 一) 。i - ) 。)( 2 4 3 9 )v 二其中，i 掣) 一”称为单重态( 具有粒子交换反对称性) ，其它三个态称为三重态( 具有粒子交换对称性) 。这四个态构成两比特体系所张开的四维h i l b e r t 空间的一组标准正交基，被称作b e l l 基( 也称作b e l l 态) 4 0 1 。b e u 态是具有最大纠缠程度的两比特纯态，常称作最大纠缠态，即不可能通过任何方式再增大它的纠缠度量了。由于b e l l 态这一独特的性质，使得它在量子信息学中有着极为重要的应用。处于纠缠态的系统在被测量时表现出一种相当奇特的关联性质。以两比特体系的b e l l 态中) m = 去+ ) 。h - + 1 - ) 。i 一) 。)( 2 4 3 1 0 )吖二为例，当对a 比特进彳亍】+ ) ，1 一) 正交基的测量时，若得到测量结果为f + ) ，则b 比特此时将肯定处于l + ) 态，反之则b 将处于i 一) 态；如果对a 进行的是忑10 + ) + j 一) ) ，西1 ( 卜) 一f 一) ) 的正交基测量，b 仍然将总是处于与a 的测量结果相同的态。这种强烈的关联性质已经超出了经典力学体系所可能具有的经典关联，而且最有趣的一点是，按照量子力学的预言，即使a 、b 在空间上距离非常远，纠缠态使得上面所说的这种关联依然存在，即量子力学具有非局域性，这一结果曾经使得a l b e r te i n s t e i n 也感到无法接受，以至他于19 3 5 年与p o d o l s k y 及r o s e n一起提出了著名的e p r 佯谬 1 】。纠缠不仅仅局限于两方，多方纠缠有着更为复杂微妙的性质，不过在实验上实现也更为困难。以三比特量子体系为例，最常用的纠缠态是g r e e n b e r g e r - h o m e z e i l i n g e r ( g h z ) 态 4 1 ，4 2 】：i v ) 2 忑d + ) - l + ) 2 卜n + e i a l 一) ，4 _ ) 2 卜) ( 2 觚1 1 )运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠它也具有与b e l l 态类似的纠缠关联性质，这一点使得它与b e l l 态一样成为检验量子力学非局域性的有力工具。三粒子纠缠中还有一种形式的纠缠，称为w 态，具体形式如下：去( i o o l + 1 0 1 0 ) + i l o o ) )v j它与g h z 态不能通过局域操作和经典通信相互转换。至于更多粒子的纠缠，其结构和分类更为复杂。4 、w e m e r 态在具有纠缠的两比特混合态中，有一类典型的态叫做w e m e r 念【4 3 】，一般可以由b e l l 态经过各项同性的消相干过程得到，通常可写成如下形式：p 。= z l v ) 一( w + ( ，一z ) ( 2 4 3 1 3 )其中l v ) 一为b e l l 态中的单重态，i 为4 阶单位矩阵，0 c z t l ，p ，为w e m e r态的密度矩阵。w e m e r 态的有趣之处在于，当彳，妄时，它是存在纠缠成分的。目前在理论上w e m e r 态的性质已经得到了较多研究 4 4 】，而且还是进行纠缠纯化研究的一个重要工具【4 5 】；在实验上，在国际上首次利用自发参量_ 卜转换及可控消相干过程完成了x 成分大小可控的w e m e r 态制各实验【4 6 。2 5v o l ln e u m a n n 熵 9 1熵的理论在光学中的若干应用，最先由g a ma l4 7 】对于部分相干光场作了考察。在量子力学中，熵被定义为：s = 一t r ( p l n p ) ( k = 1 )( 2 5 1 )式中p 为给定量子系统的密度算符，玻尔兹曼( b o l t z m a n n ) 常数k 被定为1 ，如果p 描述纯态，则s = 0 ，如果p 描述混合态，则s 0 。因此，熵s 是系统偏离纯态的程度，能够提供系统无序程度，即不确定程度的信息。但是，式( 2 5 1 )描述的是一个封闭系统中与时间无关的熵，即当封闭系统初始处于纯态( 混合念) 时，它在时间进程中将保持纯态( 混合态) 。但通常物理上感兴趣的是与外界有相互作用的开放系统，或一个系统中有相互作用的各予系统。显然，描述全系统的密度没有告诉关于予系统动力学行为的信息，这样就需要一个描述子系统的约化密度统计算符，通过该算符定义的熵可以反映子系统的动力学行为。对于具有相互作用的光场原子全系统，其子系统的约化密度算符分别为：运动原子与光场相互作用系统的量子纠缠p r ；丁t ( p ) ，p 。= t r f ( p )( 2 5 2 )式中巩代表原子系统变量求迹运算，t r 代表光场系统变量求迹运算。p 为光场与原子的密度算符。当两体量子态处于纯态l 妒) 。时，a 和b 之间的纠缠度定义为这个态约化密度算子的y o nn e u m a n n 熵( 又称为部分熵) ，即s ( 一)e ( 炒) 。) ；s ( n ) ；- t r a ( p 。i o g n ) ，( 2 5 3 )其中p 。为在纯态i 妒。) 下a 子系的约化密度矩阵p “t 玑q t f ，) 。缈1 )( 2 5 4 )因为a 和b 总体系处于纯态，有s ( p a ) = s ( 如) ，所以纠缠度可定义为任何一个子系的y o nn e u m a n n 熵。b e n n e t t 证明【4 8 1 ，通过对非最大纠缠对的n 个拷贝进行局域操作和经典通信，可以浓缩它们的纠缠到数目较少的最大纠缠对上。这里的最大纠缠对定义为当两子系共处于纯态妒) 时，若各子系均处于密度矩阵为单位矩阵的倍数描述的态时，f 妒) 称为这两个子系的最大纠缠态。从定义也可看出，它们的纠缠度最大。对于两体两维系统，最大纠缠度为1 。若每个非最大纠缠对的纠缠度为e ，当n 足够大时，可以得到最大纠缠对的数目渐近于n e ，这称为纠缠浓缩( e n t a n g l e m e n tc o n c e n t r a t i o n ) 。相反的，从起始的n 个最大纠缠对出发，通过局域操作和经典通信，可以制备出数目更多的非最大纠缠对，在n o 。极限情况下，可以保持总的纠缠度( 部分熵) 不变，这称为纠缠稀释( e n t a n g l e m e n td i l u t i o n ) 。因此从这种意义上浇，纠缠浓缩和纠缠稀释是可逆的：v o nn e u m a n n熵对于两体纯态而言是一个好的纠缠度量，因为它很自然地满足上一节中指出的纠缠度量的几个基本条件，并且在上述可逆操作下，保持守恒。运动原了与光场相互作用系统的量子纠缠第三章光场与运动二能级原子相互作用的量子纠缠3 1 、压缩真空场与运动二能级原子相互作用的量子纠缠量子纠缠是量子力学不同于经典物理最奇特最不可思议的特性。如果由m个子系统组成的系统的密度算符不能写成p ”= 罗# n “o n 。o o n ”的形式，则这m 个子系是纠缠的。对于最简单的两体系统，如果态矢不能成两子系态矢的直积形式i v 。= i 妒 。o f z 。，那么称这两个子系统是纠缠的。在这种情况下，两个子系统不再是独立的，即对一个子系统的测量，不仅能给出另外一个子系统的信息，而且还提供了对这个子系统进行操纵的可能性。自从量子纠缠首先被e i n s t e i n p o d o l s k y r o s e m ( e p r ) 1 】和s c h r o d i n g e r l 4 9 】提出以来，它一直是物理学中一个引人注目的研究领域，在量子信息处理方面具有重要的意义【5 0 】。考虑到量子纠缠态作为信息的载体，在实际中可能与各种环境相互作用，导致退相干现象。因此，研究纠缠态与环境相互作用的纠缠性质很有必要。最近，已有作者研究了光场与原子系统在不同环境下的纠缠特性【2 2 - 2 7 。文献 2 6 j 研究了初始光场为压缩真空场与原子非线性作用过程的纠缠特性，文献1 2 7 】讨论了纠缠原子对t - c 模型中三体纠缠态纠缠量的影响，但是都未考虑到原子的运动，随着腔q e d 的发展，运动原子与光场的相互作用逐渐引起了广泛关注 s l - 5 2 1 ，在文献 3 6 1 q b ，原子运动和场模结构对原子动力学性质的影响得到了深入的讨论。考虑原子运动，单( 双) 模光