（热能工程专业论文）几个扩展的非对称简单排它过程模型的解析与模拟研究.pdf

摘 要 i 摘摘 要要 非对称简单排它过程(asep)是描述具有“硬核排斥”效应粒子的运动特性的 一维网格模型。asep 模型虽然规则简单，却可以再现丰富的非平衡现象，例如， 边界诱导相变、单缺陷诱导相变、激波形成、自发对称破缺等。近年来，asep 模 型吸引了科学家们广泛的关注，逐渐成为研究生物、物理、化学和交通流等领域 中相关问题的一个重要工具。 本文通过理论分析与数值模拟两种方法研究了几个完全非对称简单排它过程 (tasep)的扩展模型。首先，以交叉道路的实际情况为背景，引入了两条相互交叉 的 tasep 扩展模型；其次，以道路上某些位置会有车辆进出等实际情况为背景， 对 tasep 与 langmiur 动力学(langmiur kinetic，lk)规则相耦合的扩展模型进行 了详细的分析。接着，以核糖体向前跳跃率受周围氨基酸-转运 rna(aa-trnas)资 源有限性的影响为背景，分析了粒子跳跃率与系统密度之间的相关性对系统稳态 流量与密度关系的影响。本文通过理论分析和数值模拟两种方法揭示了这些问题 的非平衡态特性。本文的主要内容如下： 第二章研究了两条相互交叉的 taseps 模型。模型中，水平方向的 tasep 道 采用开边界条件，竖直方向的 tasep 道采用周期性边界条件。通过扩展的蒙特卡 罗模拟和平均场近似解析方法得到了系统的近似解。结果发现：模型的相图特性 依赖于具有周期性边界条件的tasep道的密度。 为了得到它们之间的确切关系， 首先解出了三个临界密度值(c=1/3、1/2、2/3)，然后找出了相对应的四个相图以及 八个不同的稳态相(ll-ld、ll-hd、ll-lh、hh-ld、hh-lh、hl-ld、hl-hd 和 hl-lh)。解析结果和模拟结果相吻合。 第三章研究了并行更新规则下 tasep 与 lk 过程简单耦合时的动态特性。为 了能对模型进行数学解析，文中对两个过程的耦合采用了分为两个子时间步的方 法。之后通过蒙特卡罗模拟和平均场近似解析对模型进行分析，得到了系统的密 度分布图和相图。为了更深入的理解模型的特性，文中分析了系统中激波的变化 情况。 第四章研究了粒子跳跃率与系统密度之间的相关性对系统稳态流量与密度关 系的影响。文中提出了一个粒子跳跃率受系统总体密度制约的 tasep 扩展模型， 通过蒙特卡罗模拟与平均场近似解析方法分析了系统稳态流量与密度的关系。特 别地，以一个具有极值点的粒子跳跃率函数为例，发现系统在跳跃率函数的调节 下，系统密度的连续性被打破，同时得到了两个临界密度和相边界。 第五章给出了全文工作的总结以及对以后工作的展望。 关键词：非对称简单排它过程 硬核排斥 激波 相图 abstract iii abstract asymmetric simple exclusion process (asep) is applied to describe the motion characteristics of particles with hard-core effects in one-dimensional grid model. although the rules of asep are very simple, asep can reproduce rich and complex non-equilibrium phenomena, such as the boundary induced phase transition, single-defect induced phase transition, shock formation, spontaneous symmetry breaking, etc. recently, asep has attracted scientists huge interest, and gradually becomes an important tool for research in biological, physical, chemical and traffic flow issues. this article has a discussion on several extended totally asymmetric simple exclusion processes (taseps) by theoretical analysis and numerical simulation. firstly, on the basis of cross-roads, a tasep model is introduced with two intersected lattices; secondly, there will be vehicles entering or leaving on some locations of road. so a tasep model coupled with tasep and langmiur kinetic (lk) rules is studied. then, as the background of ribosome hoppong forward rate is affected by limitation of the amino acids-transfer rna (aa-trnas) resources, a tasep model is discussed that considers the effect of the corelation between particle hopping rate and system density on the relationship between the steady-state flux and density. the simulation and mathematical analysis of the above problems reveals the characteristics of non-equilibrium state. the main contents are as follows: in the second chapter, the taseps on two intersection lattices are studied, in which the horizontal direction is under open boundary conditions, and the vertical direction is under periodic boundary conditions. the model is analyzed by using the extended monte-carlo simulations and mean-field analysis. approximate solutions of the system are obtained. results show that: the characteristics of the phase diagram of the model depends on the density of the tasep with periodic boundary. in order to identify the exact relationship between them, three critical density (c=1/3, 1/2, 2/3) are obtained. then, four phase diagram and eight steady-state phase (ll-ld, ll-hd, ll-lh, hh-ld, hh-lh, hl-ld, hl-hd, hl-lh) are presented. the analytical and simulation results are in good agreement. in the third chapter, the dynamic characteristics of model coupled with tasep and lk rules are investigated. for theoretical analysis, a method is applied which divides a full time step into two sub-time steps. then monte carlo and the mean field methods are used. the density distribution and the system phase diagram are obtained. for better understanding of the characteristics, further analysis is made on the form and characteristics of the shock in the system. in the fourth chapter, we discussed the effect of the corelation between particle abstract iv hopping rate and system density on the relationship between the system steady-state flux and density. the extended model of tasep is proposed, in which the particles hopping rate is a function of the system density. monte carlo simulations and mean field method are used to analysis the system. for example, we introduce a particles hopping rate function with an extreme point and found that with the constraints of the hopping rate function, the continuity of the system density is broken. and two critical density and the phase boundary are identified. the summarization and prospect of following research work are presented in the fifth chapter. keywords：asep hard-core shock phase diagram 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：_ 签字日期：_ 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅， 可以将学位论文编入 中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 公开 保密（_年） 作者签名：_ 导师签名：_ 签字日期：_ 签字日期：_ 第一章 绪 论 1 第一章第一章 绪论绪论 1.1 asep 模型研究的背景 在现实生活中，我们经常会遇到各种“交通运输”及其相关现象。例如，在火车 站买票或者去电影院看电影时，我们会看到人们排着长队慢慢前行；在城市，我 们会看到各种为了缓解交通压力而修建或正在修建的高架桥、立交桥、地铁等； 在由一个城市去另一个城市时，我们会乘坐大巴、火车或者飞机。在这些日常交 通活动中，我们发现：人少、有秩序时，就会通行顺畅、快速；人多、混乱时， 就会拥堵、缓慢。一旦形成交通拥堵，就会给我们生活带来不便，对社会经济造 成损失，对环境产生污染等。 在生物体内，也有许多类似的“输运现象”。例如，血液在血管内的流动，各种 物质也会随着血液的流动被运送到有需要的生物组织器官，使生物体可以正常的 代谢生长；在对生命体的存在有重要影响的蛋白质的合成过程，也存在着“输运现 象”，在细胞体内，核糖体像汽车一样在信息 rna(message rna，mrna)上一边 向前滑行， 一边读取 mrna 上的讯息， 根据读取的讯息结合氨基酸， 合成蛋白质； 还有分子马达沿着微管在细胞内外的输运等。这些生物体内的输运通畅是生物体 保持健康的前提。如果这些输运过程产生拥堵或者发生故障的话，生物体将会产 生各种疾病， 如阿尔茨海默病(老年痴呆症)就是由分子马达突变导致神经元退化所 引起的疾病。 为了研究这些广泛存在于现实中的“运输现象”，科学家做了大量的研究工作， 建立了许多理论，其中，有一个性质优良的理论模型，即非对称简单排它过程 (asymmetric simple exclusion process, asep)，这个模型既有良好的数学性质，又 能得到与现实问题相对应的结果。1968 年，以色列数理生物学家麦唐诺 (c.t.macdonald)与吉布斯(j.h.gibbs)为了研究生物体内的蛋白质合成而首次提出 asep 模型1。但是，asep 模型在之后的很长一段时间都没有引起科学家们的足 够重视，直到 1993 年，法国数学家 b.derrida.等采用新的数学方法“矩阵乘积 法”(matrix product ansatz , mpa)严谨的解析了 asep 模型2、3，并得到了模型 的精确解，人们才开始认识到 asep 模型的优良特性。自此之后，相关研究开始 爆发性增长，其应用也由最初的模拟蛋白质合成扩展到呈现各种壅塞现象的粒子 系统。 1.2 asep 模型简要介绍 非对称简单排它过程(asymmetric simple exclusion process, 简写为 asep)是 用来描述具有硬核排斥作用的简单一维格子气系统。模型最初被应用于模拟生物 高聚物的动力学特性，其后又被成功应用于描述表面生长、凝胶体电泳、薄膜通 第一章 绪 论 2 路扩散、蛋白质合成、分子马达以及交通流理论等研究。模型描述了具有“硬核排 斥”效应的粒子系统，具有明显的非平衡特性，对于非平衡统计力学具有重要的研 究意义与价值。 asep模型是由l个格子从左到右依次连接而成的一条一维格子链与在格子链 上依据一定规则运动的粒子组成。粒子以一定跳跃率向左或者向右移动。所谓“非 对称(asymmetric)”，是指粒子向左与向右的跳跃率不相等的情况，如果向左与向 右的跳跃率相等，则称为对称简单排它过程( symmetric simple exclusion process， 缩写为 ssep)， 而如果粒子向左或者向右的跳跃率为零， 即粒子只能进行单方向跳 跃，则称为完全非对称简单排它过程(totally asymmetric simple exclusion process， 缩写为 tasep)；所谓“排它(exclusion)”，是指由于所描述的粒子具有硬核排斥作 用，而引起的一个格子或者只允许一个粒子占据，或者为空的情况。 当 asep 模型采用的是周期性的边界条件时，如图 1.1(a)所示，格子链首尾相 接，形成一个圆周型的道路，当一个格点被一个粒子占据，并且其邻居格点为空 时， 粒子以 p 的跳跃率尝试跳入其右边格点， 以 q 的跳跃率尝试跳入其左边格点。 此时，系统粒子数守恒。 模型也可以采用开放性边界条件，如图 1.1(b)所示，在由 l 个格点组成的格子 链上，其更新规则分三个部分：(1) 在入口格点(i=1)处，如果格点为空，则会有一 个粒子以 的跳跃率跳入入口格点；(2) 在出口格点(i=l)处，如果格点被一个粒 子占据，则该粒子以 的跳跃率跳出格子链；(3) 在中间格点( 1 )处，如 果格点 i 被一个粒子占据，而其邻居格点为空，则粒子以 p 的跳跃率尝试跳入其 右边格点(i+1)，以 q 的跳跃率尝试跳入其左边格点(i-1)，如果 p 或者 q=0，则粒子 只能进行单方向跳动，即为 tasep 模型。下文中如果没有特殊说明，讨论的均为 tasep 模型。 图 1.1 asep 模型示意图。(a) 周期性边界条件；(b) 开边界条件。 第一章 绪 论 3 1.2.1 asep 模型的更新规则 对于 asep 模型，格子链上的粒子跳跃一般有四种基本的更新规则4，下面 给予简单介绍： (1) 随机更新规则(random-sequential update)：在采用随机更新规则的 tasep 系统中，每一个更新时间步，会在具有 l 个格点的系统中随机选取一个格点 i，如 果 1 且格点有粒子占据，并且其下一个格点 i+1 为空，则粒子以概率 pdt 跳入格点 i+1； 如果 i=1， 即在入口格点处， 如果格点为空， 则会有一个粒子以 dt 的 概率跳入入口格点；如果 i=l，即在出口格点处，如果格点被一个粒子占据，则粒 子以 dt 的概率跳出系统，dt 在理论上应为无穷小时间间隔。 随机更新规则是通用主方程在连续时间时的实现，不同的 p 值只是导致时间 尺度的调整。因此，在进行最有效的计算机模拟时，一般只考虑 p=1 的情况。 下面三种更新规则都是在离散时间时的情况，此时前文中的跳跃率应为跳跃 概率，需小于等于 1，且 p+q 亦需小于等于 1。 (2) 局部并行更新(sublattice-parallel update)：如图 1.2(a)所示，在使用局部并 行更新规则时，必须保证格点数目 l 为偶数。更新顺序如下：首先，考虑格子链 的入口格点 1(出口格点 l)的跳入(跳出)， 然后对格子对(2,3)、 (4,5)等依次进行更新， 在此之后，再对格子对(1,2)、(3,4)等依次更新。这种更新规则的最大优势是利用矩 阵乘积法(matrix product ansatz, mpa)解析时易于处理。 (3) 顺序更新(ordered-sequential update)： 如图 1.2(b)所示， 顺序更新规则如下： 首先，从格子链的出口格点 l 开始，如果格点 l 有粒子占据，则粒子以概率 离 开格子链； 然后， 依次更新格子对(l-1, l)、 (l-2, l-1)、 、 (2, 3)， 在对格子对(1,2) 进行更新时，如果入口格点 1 有粒子占据，则粒子跳入格点 2，如果格点 1 为空， 则以概率 从外界跳入一个粒子。在经过一次顺序更新后，系统经历了其演化过 程的一个完整时间步。 由于这种更新规则所有粒子仅仅向右跳跃， 因此， 又称为“向 后顺序更新”。 图 1.2 (a) 局部并行更新；(b) 从左到右的顺序更新。 第一章 绪 论 4 显然， 格点更新的顺序是可以反向的， 即首先从最左端第 1 个格点开始更新， 按上述规则演化直至最右端格点 l，对于 asep 过程来说，这两种更新规则是可以 由“粒子-空格”对称来联系起来的： 即跳入粒子， 可以看作是跳出空格， 反之亦然。 因此，这两种更新规则所产生的结果是类似的。 (4) 并行更新(parallel update)：在每个时间步，对系统中所有格点同时进行更 新，因此又叫“全局并行更新”，这种更新规则下的 asep 过程具有最强的相关性。 在交通流模型的研究中通常采用这种更新规则5。 对于解析计算，最容易进行的是随机更新规则，然而，在蒙特卡罗模拟 (monte-carlo simulations)中，更有效的是顺序更新规则。 1.2.2 模型的解 对asep模型的研究， 人们关注的重点在于系统达到稳态时的密度 和流量 j ， 其中密度 定义为系统中格点被粒子占据的平均概率，而流量 j定义为稳态时粒子 流入或流出系统中任一格点的平均概率。 在文献6、7中，b.derrida, e.domany 等人最初采用递归关系法 (recursion relations) 对 tasep 模型进行了数学解析， 得到了系统的密度和流量的解。 其后， 在文献2、3中，b.derrida 等人首次将矩阵乘积法(matrix product ansatz , mpa)应 用于求解 tasep 模型；在文献8中，j.de gier 等人采用 bethe ansatz (ba)方法也 得到了 tasep 模型的精确解。以上三种方法得到的都是模型的精确解析解，但其 过程复杂、求解困难，只能应用于求解一些简单的 tasep 的扩展模型，对于相对 复杂些的扩展模型，通常用平均场方法(mean-field analysis，mfa)9，来得到模 型的近似解。 在 tasep 模型采用开边界条件、随机更新规则时，定义变量 i 表示格点 i 的 状态，格点 i 有粒子占据时 i= 1 ，格点 i 为空时 i= 0 。则由密度定义知道，格 点 i (1il) 的粒子密度为： i=，其中 为格点 i 的状态的统计 平均量，则格点 i 上的密度的演化方程为： d dt = (1.1) 其中， 表示 dt 时间内，格点 i 为空，而格点 i-1 有粒子占据时， 粒子跳入格点 i 的平均概率； 表示 dt 时间内， 格点 i 有粒子占据， 而格点 i+1 为空时，粒子跳出格点 i 的平均概率。 对于边界格点有： 入口格点 i=1 处， d dt = (1.2) 出口格点 i=l 处， d dt = (1.3) 其中， 表示 dt 时间内，入口格点为空时，有粒子跳入的平均概率； 第一章 绪 论 5 表示时间 dt 内，出口格点有粒子占据时，粒子跳出系统的平均概率。 系统达到稳态时，有 d dt = 0 (1 i l) ，系统流量容易得到： j = = = = = = = (1.4) 采用平均场近似，忽略格点之间相关性，即 = ，并 用 i 代替 ，则密度演化方程简化为： d i dt = i1 1 i i 1 i+1 (1.5) 对于边界格点有： 入口格点 i=1 处， d1 dt = (1 1) 1 1 2 (1.6) 出口格点 i=l 处， dl dt = l1 1 l l (1.7) 稳态时，系统流量近似为： j = 1 1 = i 1 i+1 = l (1.8) 1.2.3 模型相图 下面介绍常用的随机更新规则2,7和并行更新规则10,11下的系统的精确解。 当 tasep 模型采用开边界条件、随机更新规则，并且向前跳跃率 p=1 时，在由入 口概率 和出口概率 构成的相图上呈现出三个稳态相， 如图1.3所示， 当 ， 1 2 时， 系统处于低密度相 (low-density， ld)， 此时， 系统状态由入口概率 决 定，粒子密度 和流量 j 分别为： 1= l= 1 bulk= j = (1 ) (1.9) 式中 bulk 为格子中间格点上粒子的密度。 当 ， 1 2 时，系统处于最大流量相 (maximal-current，mc)，系统密度和 第一章 绪 论 6 流量分别为： 图 1.3 开边界 tasep 在随机更新规则下的相图 1= 1 1 4 l = 1 4 bulk= 0.5 j = 1 4 (1.11) 当 = 1 2 时，系统处于低密度与高密度的共存状态，此时高密度相和低密 度相由一个畴壁 (domain wall, dw)连接在一起， 畴壁的位置在系统中不是固定的， 它随着时间的变化在系统中随机行走，长时间平均后，系统密度分布约为从 到 1 的一条直线。此时，粒子密度和流量分别为： i= + i l 1 2 ，j = 1 ，(1 i l) (1.12) 在 tasep 模型采取并行更新规则时，系统精确解分两种情况：向前跳跃的概 率 p=1 和 p 时，系统处于高密度相(hd)，此时，系统密度和流量分别为： bulk= 1 1+ ， j = 1+ (1.13) 当 时，系统处于低密度相(ld)，系统密度和流量分别为： 第一章 绪 论 7 图 1.4 开边界 tasep 模型在并行更新规则下的相图(本图摘自文献12)。 (a) p=1；(b) p 1 1 p 时，系统处于最大流量相(mc)，系统的 密度和流量分别为： bulk= 1 2 ，j = 1 1p 2 (1.15) 当 ， 1 1 p 时，系统处于高密度相(hd)，此时，系统密度和 流量分别为： bulk= p p2 ，j = (p) p2 (1.16) 当 ， 1 1 p 时，系统处于低密度相(ld)，此时有： bulk= (1) p2 ，j = (p) p2 (1.17) 1.3 asep 模型的应用与发展 asep 模型最初由 mcdonald 等1提出， 并用于分析生物高聚物的动力学机理。 模型虽然规则简单，却展示出了一维平衡系统所不具备的、丰富的非平衡现象， 第一章 绪 论 8 例如：边界诱导相变13、激波形成14、自发对称破缺15等。近年来，asep 模 型被科学家们广泛地应用于模拟分析蛋白质的合成16,17,18、分子马达运动19、 交通流研究20、表面成长21、22、凝胶体(gel)电泳(electrophoresis)23、薄膜通 路扩散过程24等。 随着对 asep 模型研究与应用的深入，也为了能模拟分析一些更复杂的实际 情况，科学家们投入了大量的精力去研究 asep 的扩展模型，例如，桥模型(bridge model)25、带有瑕疵的 asep 模型26-32、多道耦合的 asep 模型33-37、与 其他系统耦合的 asep 模型38、39等。 1.3.1 asep 的应用 asep 模型在蛋白质合成中的应用：蛋白质是生命体的物质基础，它是由一条 或者多条肽链组成的生物大分子，而肽链是由氨基酸通过脱水缩合连接而成的， 合成多肽的细胞器是细胞质中的核糖体。但是我们知道，生命体的遗传信息主要 贮存于 dna 的碱基序列中，而 dna 并不能直接决定蛋白质的合成，这就需要一 种中介物质来实现遗传信息的传递，这种中介物质就是信使 rna(message rna， 简写为 mrna)， 信使 rna 在细胞核中把 dna 中的遗传信息精确无误的转录下来 之后，从核孔进入到细胞质，与核糖体结合 (如图 1.5 所示)。 图 1.5 蛋白质合成过程示意图 然后，氨基酸通过转运 rna(transfer rna，简写为 trna)运送到核糖体中的 信使 rna 上，转运 rna 有很多种，每种只能识别并转运一种氨基酸。这是因为 转运 rna 的一端是携带氨基酸的部位，另一端是三个碱基，这三个碱基，只能与 信使 rna 上的特定的三个碱基(一个密码子)配对。 当转运 rna 运载着一个氨基酸 进入到核糖体以后，就以信使 rna 为模板，按照碱基互补配对原则，把转运来的 氨基酸放在相应的位置上，转运完毕以后，转运 rna 离开核糖体，又去转运下一 个氨基酸。 当核糖体接受两个氨基酸以后，第二个氨基酸就会被移至第一个氨基酸的位 置上，并通过肽键与第一个氨基酸连接起来，与此同时，核糖体在信使 rna 上也 第一章 绪 论 9 移动一个密码子的位置，为接受新转运来的氨基酸做好准备。上述过程不断重复 进行，肽链也就不断地延伸，当核糖体移动到信使 rna 上的终止密码子时，蛋白 质的合成过程结束。 用 asep 模型可以简单的对蛋白质合成过程模型化，如图 1.5 所示，每个核糖 体一般会占据信使 rna 上两个密码子的位置，如果以两个密码子的长度为一个格 子来分割 mrna 链，每一个格子就只能容纳一个核糖体。核糖体大约每八分之一 秒会向前移动两个密码子，所以可以把更新时间单位设定为八分之一秒。为了更 接近真实情况，假定核糖体以某一概率向前移动，这样 asep 模型就建立完成。 利用 asep 模型可以详细的计算核糖体个数与合成蛋白质的平均速度间的关 系，模拟结果有助于估计体内蛋白质的合成量40。 asep 模型在分子马达中的应用：分子马达在生物体内的胞质运输、dna 复 制、细胞分裂、肌肉收缩等生命活动中起着重要的作用。对分子马达体系运动机 理的研究有助于人体的健康、疾病的防护。分子马达的有效利用也会为生物医学 领域开拓新的发展空间。 驱动蛋白是一种直线运动的分子马达，它沿微管的运动可以用 asep 模型进 行研究19。对驱动蛋白的研究始于 1985 年，它是由两条轻链和两条重链构成的 四聚体，外观具有两个球形的头、一个螺旋状的杆和两个扇子状的尾，如图 1.6(a) 所示。通过结合和水解 atp(三磷酸腺苷)，导致颈部发生构象改变，使两个头部交 图 1.6 (a) 驱动蛋白的结构；(b) 驱动蛋白在微管上的运动 第一章 绪 论 10 替与微管结合、脱离，从而沿微管的负极(装配慢的一端)向正极(装配快的一端)行 走，将其尾部结合的货物转运到其他地方，如图 1.6(b)所示。 微管是驱动蛋白的运行轨道，它是由 13 条纵向原纤维排列构成的中空管状结 构，直径为 2225nm，每一条原纤维由 和 两种微管蛋白亚基交替排列而成， 这两种微管蛋白形成了长度约为 8nm 的微管蛋白二聚体，实验室观测表明，单个 驱动蛋白沿微管的运动呈梯跳式，平均每步的步长(质心位移)是 8nm，恰好与微管 蛋白二聚体的长度相等，驱动蛋白向前行进一步的平均时间约为每 0.01 秒41。 如果将二聚体的长度规定为一个格子的长度，微管就是一条由二聚体依次排 列的格子链，每个格子最多由一个驱动蛋白占据，当某个格子有驱动蛋白占据， 并且其目标格子为空时，就以某一概率跳入目标格子，每次跳动的距离刚好是一 个格子，这时，asep 模型也就建立了。 驱动蛋白是一个庞大的蛋白家族，它们有着不同的结构，不同种类的驱动蛋 白运送的物质和移动的速度也可能不同， 不过对其利用 asep 模型化的优点在于， 不管其个别特性，而只关注于它们的本质，在处理不同的驱动蛋白时，只需要改 变模型中的相关参数即可。 asep 模型在交通流理论研究中的应用：在交通流理论的研究中，元胞自动机 (cellular automata, ca)是一种成功的微观交通流模型。 最简单的一种一维交通流元 胞自动机的模型就是由 wolfram 在 1983 年提出的 184 号模型42，图 1.7 显示了 此模型的两次演化过程。模型中，道路被分割为等距的格子，每个格子有两种状 态：或者为空(用 0 表示)，或者被一辆车子占据(用 1 表示)。在每一个时间步，若 有车子占据的格点的前方格点为空，则此车向前行驶一个格点，若其前方格点也 有车子占据， 则此车停止前进。 系统采用周期性边界条件以保证系统车辆数守恒。 图 1.7 wolfram 184 号模型示意图 184 号模型具有确定性， 某一格点的下一时间步的状态仅仅由其本身加上前后 两个格点的状态所决定，共有八种演化结果，如下： 111 1 110 0 101 1 100 1 011 1 010 0 001 0 000 0 演化结果可以表示为一个二进制数 “10111000” ， 转化为十进制后即为“184”， 模型因此得名。 由上可以看出，184 号模型即为在并行更新规则下、采用周期性边界条件的 tasep 模型。将 184 号模型(即 tasep 模型)运用于交通流研究，不仅因为它的规 则简单，能揭示交通流中自由运动相和堵塞相之间的相变行为，更重要的是模型 第一章 绪 论 11 能够进行精确的数学解析，使人们可以从数学解析角度对交通流复杂特性有更深 层次的理解。 另外，184 号模型还是后续各种交通流元胞自动机模型的基础。例如，若考虑 逐步有限加速和随机慢化的可能性，并且车辆行进的速度也不再限于每个时间步 只前进一个格点，则为元胞自动机交通流模型中的经典模型ns 模型43；若 将其扩展到二维规则网格中运行，就可得到了描述二维交通流的 bml 模型44； 若在其中引入慢启动规则就得到了 tt 模型45等。 1.3.2 asep 模型的发展 桥模型(bridge model)： 1995 年， m. r. evans 等人在提出的“桥模型”中首先发 现了自发对称破缺现象25 。所谓自发对称破缺是指在对称的微观规则下却出现 了宏观上的非对称稳态相。自发对称破缺是一种重要的非平衡态物理现象。 桥模型是一种简单的 tasep 扩展模型，如图 1.8 所示。在桥模型中，有两种 运动方向相反的粒子，从左向右运动的粒子用 1 表示，从右向左运动的粒子用 2 表示，格子为空时用 0 表示。 在左边界上格点的演化规则如下： 0 1 2 0 在右边界上格点的演化规则如下： 0 2 1 0 在中间相邻的两个格点的演化规则为： 10 1 01 02 1 20 12 p 21 图 1.8 桥模型示意图 尽管两种粒子具有对称的演化规则，但是模拟结果却发现了两个不同的自发 性对称破缺相hd/ld 相和非对称的 ld/ld 相。此时，两种粒子的密度分布如 图 1.9 所示。 带有瑕疵的 tasep 扩展模型：在各种现实的“交通运输现象”中，经常会遇到 一些“瓶颈”， 如在高速公路上的收费站等。 对于这种情况的研究， 就需要对 tasep 模型进行扩展在系统中引入一个“瑕疵点”， 即在系统中的某一个单独格点的粒 子以较小的概率(p1)向前跳跃。在对这种系统解析时，可以以“瑕疵点”为分界点 将系统分解成两个独立的子系统。众多的研究结果表明，该扩展模型与原始的 tasep 模型具有相同拓扑结构的相图， 系统的临界流量与瑕疵点的瑕疵程度有关。 第一章 绪 论 12 图 1.9 两个对称破缺相(hd/ld 相和非对称的 ld/ld 相)的密度分布图 多道耦合的 tasep 扩展模型：在现实世界中，不管是车辆交通，还是细胞内 的输运，普遍存在着两条道路或者两条微管的平行、交叉等耦合现象，这些耦合 在一起的道路或微管相互作用、相互影响。因此，对 taseps 的研究从单道扩展到 两条道甚至多条道变得很有必要。例如，ishibashi 和 fukui 研究了采用并行更新 规则、周期性边界条件的两条一维交叉道路，并且考虑了不同的速度和真实的时 间信息33。foulaadvand 等也研究了一个类似的情况，他们考虑了交通灯和换道 行为34或者在交叉口仅能一个粒子占据的限制35。在文献36中，作者研究了 采用随机更新规则、 开边界条件的两条一维交叉 taseps 模型， 并发现了自发对称 破缺现象。 最近， embley 等研究了网络上的 taseps 模型37， 在他们的工作中， 用“8 字型”的网络表示具有周期性边界条件的两条交叉道路，他们通过把交叉口作 为“明确的顶点”的分析处理，从而得出了通用的解析方法。 与其它系统耦合的 tasep 扩展模型：在公路上，经常会遇到在公路的某些位 置会有车辆的进入或离开，在蛋白质的合成过程中，也会发现核糖体在 mrna 道 上的吸附或脱离等现象。为了解决这些问题，促使科学家们开始研究 tasep 与其 他过程相耦合的模型。例如，h. hinsch 研究了 tasep 与一维扩散系统相耦合的情 况，并通过扩散系数与粒子跳出的概率对系统的相图进行了分析38。a. parmeggiani 等人研究了 tasep 与 lk (langmuir kinetics) 相耦合的情况39，即 考虑 tasep 道上有粒子跳入跳出时的 tasep 扩展模型，并且发现在系统参数取 某些特定值时，系统中会出现有一个激波连接起来的低密度与高密度的共存相。 第一章 绪 论 13 1.4 本文的主要工作 asep 模型能得到快速的发展， 与其简单的模型规则和优良的特性是分不开的， 在对其研究背景、基本规则、实际应用与扩展模型进行了一些简单的介绍，并对 前人的研究工作进行了回顾之后，将开始本文的论述。 本文对几个 tasep 扩展模型进行了研究。首先，考虑到交叉道路的情况，引 入了两条相互交叉的 tasep 扩展模型；其次，为了对有粒子跳入跳出的实际情况 的研究，对 tasep 与 lk 规则相耦合的扩展模型进行了详细的分析。接着，还对 粒子跳跃率与系统密度相关时系统流量与系统密度之间的关系进行了分析。对以 上模型的模拟与数学分析揭示了一些非平衡态特性。本文的结构如下： 第二章研究了两条相互交叉的 taseps 模型。其中，水平方向的 tasep 道为 开边界条件，竖直方向的 tasep 道采用周期性边界条件。在工作中，采用了扩展 的蒙特卡罗方法对模型进行计算机模拟，并用平均场理论对模型进行了分析，得 到了系统的近似解。结果发现：模型的相图特性依赖于具有周期性边界的 tasep 道的密度 。为了得到它们之间的确切关系，找出了系统的三个临界密度值 ( _c = 1/3 、 1/2 、 2/3 ) 和相对应的四个相图。最后，通过计算机模拟和平均 场近似计算得到了系统所有稳态相的密度图和相边界。解析结果和模拟结果相吻 合。 第三章研究 tasep 与 lk 两种过程在开边界条件、并行更新规则下简单耦合 的情况。论文中，为了能对模型进行数学解析，对两个过程的耦合采用了分为两 个子时间步的方法。之后分别采用了蒙特卡罗方法和平均场近似方法对模型进行 模拟与数学分析，得到了系统相图和对应的密度分布图，并发现在某些参数下， 系统中将会有激波形成。为了更深入的理解模型的特性，文中利用平均场理论对 激波的位置和高度进行了分析计算，得到了激波位置与高度随不同系统参数的变 化情况。特别地，这两种方法得到的结果有很好的吻合。 第四章提出了一个考虑粒子跳跃率受系统总体密度制约的 tasep 扩展模型。 论文中，在粒子跳跃率为系统密度的不同函数时，通过蒙特卡罗模拟与平均场分 析方法对系统的流量与密度之间的关系进行了分析研究。文中以一个带有极值点 的粒子跳跃率函数为例，发现系统在跳跃率函数的调节下，系统密度的连续性被 打破，并找出了系统的两个临界密度和相边界。 第五章对全文的工作做了总结，并对今后的工作进行了展望 第二章 具有不同边界条件的双道交叉的完全非对称简单排它过程(tasep)分析 15 第二章第二章 具有不同边界条件的双道交叉的完全非对称简单排具有不同边界条件的双道交叉的完全非对称简单排 它过程它过程(tasep)分析分析 真正的道路系统是一个复杂的网络，在现实世界中，从车辆交通到细胞内的 输运，普遍存在着两条道路或者两条微管的交叉现象，因此，对 taseps 的研究从 单道扩展到两条交叉道便很有必要。 本章的工作是由最近发表的两篇文章启发所做出的。其一为：文献33中， ishibashi 和 fukui 研究了采用并行更新规则、周期性边界条件的两条一维交叉道 路，并且考虑了不同的速度和真实的时间信息；其二为：文献36中，作者研究了 采用随机更新规则、 开边界条件的两条一维交叉 taseps 模型， 并发现了自发对称 破缺现象。 2.1 模型简介 本章将考虑两条相互交叉的一维 taseps 道的情况水平方向采用开边界 条件，竖直方向采用周期性边界条件。这种情况经常会在道路交通中遇到，例如， 一条直道与一条环道相交。 另外， 在分子马达运动中也可能会遇到。 模型如图 2.1(a) 所示。两条 taseps 道具有相等的长度 l，并且有一个交叉点格点 c。 lattice 1 表示水平方向的具有开边界条件的 tasep 道，而 lattice 2 表示竖直方向上具有 周期性边界条件的tasep道， 格点1和格点l分别表示lattice 1上的入口和出口， 在 lattice 2 上粒子会从格点 l 跳入格点 1。 在进行计算机模拟时，采用了随机顺序更新规则。作为初始条件，文中设定 lattice 1 上所有格点为空， 而在 lattice 2 上将会有 l 个粒子随机分布， 即， lattice 2 的密度固定为 。粒子在 taseps 道上运动，并且在交叉口不会换道。注意我们 的规则不同于文献38