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实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 中文摘要 在实线性空间的框架下，我们引进了三种类型的h e n i g 真有效点利用 实线性空间中关于凸集的h a h n b a n a c h 分离定理，我们分别对上述三种类型 的h e n i g 真有效点建立了标量化定理由此，我们分别获得了关于几乎次类 凸的向量值映照和集值映照的向量优化问题的h e n i g 真有效解的标量化 进一步，利用关于积空间的h a h n b a n a c h 分离定理，我们给出了具有限制向 量值映照和集值映照的优化问题的h e n i g 真有效解的l a g r a n g e 乘数定理许 多已有的结果被推广到实线性空间中一种仅涉及到相对代数内部的h c n i g 真有效性的概念被引入，其标量化定理被获得 关键词：实线性空间；h e n i g 真有效性；标量化；l a g r a n g e 乘数定理 作者：范茜 指导老师：丘京辉( 教授) h e n i gv e c t o r i a lp r o p e re f f i c i e n c yi nr e a ll i n e a rs p a c e a b s t r a c t ，1 l - t e n i gv e c t o r i a ld r o de re t t i c l e n c vi nr e a ll i n e a r s p a c ea n di t ss c a l a r i z a t i o n s a b s tr a c t i nt h ef r a m e w o r ko fr e a ll i n e a rs p a c e s ，w ei n t r o d u c et h r e ek i n d so fh e n i gp r o p e r e f f i c i e n tp o i n t s b yu s i n gt h eh a h n - b a n a c hs e p a r a t i o nt h e o r e mo nc o n v e xs e t si nr e a l l i n e a rs p a c e s ，w ee s t a b l i s ht h es c a l a r i z a t i o nt h e o r e m so ft h et h r e ek i n d so fh c n i gp r o p e r e f f i c i e n tp o i n t sr e s p e c t i v e l y f r o mt h i s ，w eo b t a i nt h es c a l a r i z a t i o n so nh e n i gp r o p e r e f f i c i e n ts o l u t i o n so fv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m si n v o l v i n gn e a r l yc o n e - s u b c o n v e x l i k e v e c t o r v a l u e dm a p sa n ds e t v a l u e dm a p sr e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，b yu s i n gt h eh a h n b a n a c hs e p a r a t i o nt h e o r e mo np r o d u c ts p a c e s ，w eg i v el a g r a n g em u l t i p l i e rt h e o r e m s o i lh e n i gp r o p e re f f i c i e n ts o l u t i o n so fv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m si n v o l v i n gv e c t o r v a l u e dm a p sa n ds e t v a l u e ds e tm a p sw i t hc o n s t r a i n t m a n yk n o w nr e s u l t sh a v eb e e n e x t e n d e dt or e a ll i n e a rs p a c e s an e wc o n c e p to fh e n i gp r o p e re f f i c i e n c y , o n l yi n v o l v i n g r e l a t i v e l ya l g e b r i ci n t e r i o r ，i si n t r o d u c e da n di t ss c a l a r i z a t i o ni so b t a i n e d k e y w o r d s ： r e a ll i n e a rs p a c e s ；h e n i gp r o p e re f f i c i e n c y ；s c a l a r i z a t i o n ；l a g r a n g em u l t i p l i e rt h e o r e m i i w r i t t e nb yf a nx i s u p e r v i s e db yp r o f q i uj i n g h u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名： 篷鲞 日 期：越坌：! 垒 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盏壹 e l 导师签名广埤日期：，趔 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 引言 芦l 士 jl置 向量优化问题来源于数理经济学中多目标优化规划问题向量优化中 最重要的一个问题就是寻找集合的有效点k u h n 和t u c k c r 1 1 及后来的g e o f - f f i o n 2 1 观察到，有些集合的有效点不能用标量化的方法给出其特征，这对于 实际应用很不方便因此各种真有效点( 即有效点集的真子集) 的概念被引 入首先是k u h n 和t u c k e r 1 及g e o f f r i o n 2 ，再是b o r w e i n 3 ，b e n s o n 4 ，h e n i g 5 等引入了各种真有效点的概念，关于各种真有效点的研究成果也先后发表 b o r w e i n 和z h u a n g 6 在赋范空间的框架下引入了超有效点的概念；z h e n g 7 把 h e n i g 真有效性和超有效性的概念推广到了局部凸拓扑向量空间；g u e r r a g g i o 等 8 】整理了各种真有效点之间的关系 b e n s o n 真有效点和h e n i g 真有效点的概念被引入之后，关于其标量化和 单值映射、集值映射向量优化问题的真有效解，有不少有趣的研究，见 9 - 9 1 4 1 由于在运筹学和经济系统中的应用，近来有学者在实线性空间中推导 了b e n s o n 真有效点及其标量化和单值映射、集值映射向量优化问题的真有 效解，见f 1 5 1 7 但是，在实线性空间中关于h e n i g 真有效点及其标量化和 单值映射、集值映射向量优化问题的真有效解的文章迄今尚未见到本文 在实线性空间的框架下讨论了三类h e n i g 真有效点，有一类是仿照z h e n g 7 】 利用均衡凸吸收集把h e n i g 真有效性的概念推广到了实线性空间；有一类是 用代数内部来定义的真有效点；还有一类是用相对代数内部来定义的更广 的真有效点，是本文所特有的我们首先给出单值映射向量优化问题的各 类h e n i g 真有效解的标量化，进而获得有限制条件的单值映射向量优化问题 h e n i g 真有效解的l a g r a n g c 乘数定理在此基础上，我们建立了集值映射向 量优化问题h e n i g 真有效解的标量化和l a g r a n g e 乘数定理 如我们所知：h e n i g 5 在有限维空间中引入了一类真有效点，即后来以他 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 引言 名字命名的h e n i g 真有效点b o r w e i n 和z h u a n g 6 将h e n i g 真有效点的概念推 广到赋范空间，并建立了相应的标量化定理z h e n g 7 】进一步将h e n i g 真有 效点的概念推广到局部凸空间，并给出了相应的标量化定理x i a 和q i u 1 4 】 在局部凸空间的框架下考虑了几乎次类凸集值映射的标量化及其l a g r a n g e 乘数定理本文在实线性空间的框架下讨论了h e n i g 真有效点的概念及其标 量化，单值映射和集值映射向量优化问题h e n i g 真有效解的标量化以及有约 束的单值映射和集值映射向量优化问题h e n i g 真有效解的l a g r a n g e 乘数定 理我们所获得的结果将已有的上述结果全部推广到实线性空间其中， 我们还考虑了用相对代数内部来定义一类新的h e n i g 真有效点，并给出了其 标量化定理这是一个全新的概念，也推广了h e n i g 真有效点的应用范围 本文的结构如下：第一部分给出了一些基本概念和后面要用的结论第 二部分在代数意义下，介绍了实线性空间中各种有效点的定义第三、四 部分讨论了单值映射向量优化问题的真有效解及其l a g r a n g e 乘数定理第 五、六部分利用第三、四部分的结论建立了集值映射向量优化问题的真有 效解及其l a g r a n g e 乘数定理 2 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 1 预备知识 1预备知识 设y 是实线性空间，y 表示y 的代数对偶空间对于集合acy ， c o n e ( a ) ，c o n v ( a ) ，a f f ( a ) 和s p a n ( a ) 分别表示a 生成的锥，a 的凸包，a 的仿 射包和a 张成的线性子空间 c o n e ( a ) = a o ：a r + ，a a ) ； c o n v ( a ) = 0 ，v a 0 ，入7 ，y + a y 7 a ； i c r ( a ) = ( 秒a ：v y 7 l ( a ) ，| 入 0 ，v a 【0 ，入7 ，y + a y 7 a ) 集合a 的向量闭包记为v c l ( a ) v d ( a ) = 6 y ：b y v a 7 0 ，刍入【0 ，入7 】，b + a y a ) 称集合scy 是锥，若对于任意8 s ，入0 ，有a s s 称锥s 为凸的， 若s + scs ；称锥s 为点的，若sn ( 一s ) = o ) 凸锥s 的正对偶锥定义为： s + ：= 妒y + i 妒( z ) 0 ，比s ) 矿中所有严格正泛函记为s 托，即 s + ：= ( 妒y + i 妒( z ) 0 ，v 2 s 0 , a n 一0 使得 z + a 。可a ，v n n 由于z 一c o t ( b ) ，故存在a 0 使当0 a 口时，有 名+ a y 一c o r ( b ) 取伽足够大使0 0 ， 使得y 2 “0 ，口2 秒cv 取a = m i n ( a 1 ，0 1 2 ) ，则 y 1 + 0 ，a 1 ycv ，y 2 + 0 ，a d ycv ，a y l + ( 1 一入) 可2 + 0 ，q 可cv 所以 0 ，q 】，一定有y l + 7 y v ，y 2 + 7 y v 则 入( 剪1 + 7 y ) + ( 1 一a ) ( 秒2 + 7 y ) = a y l + ( 1 一a ) y 2 + a y v 所以入y 1 + ( 1 一入) y 2 c o r ( v ) 所以c o r ( v ) 是凸集 设y 0 c o r ( v ) ，i 入i 1 当入0 时， v y y ，页1y y j q 0 , y 0 + 0 ，口 妾cv ， 所以入加+ 0 ，q 】可ca vcv 所以a y o c o r ( v ) 即c o r ( v ) 是均衡凸集 因为 y o ，y o + a y 】cc o r ( v ) ，即v o 入 0 ，使得 0 ，a 】可cv 0 c o r ( v ) 取0 o ，v 入2 ( 0 ，入：】有+ a 2 z k 取入= r a i n ) , 1 ，入2 ) ，所以 ( 8 0 ，k o ) + a ( 可，z ) = ( 8 0 + 入可，k o + 入z ) sxk 故( c o r ( s ) ，c o t ( k ) ) cc o r ( sxk ) 反之，设( s o ，k o ) c o r ( sxk ) ，v ( y ，z ) y z | 入7 0 ，v 入( 0 ，入7 】有 ( s o ，k o ) + a ( y ，z ) y z 所以8 0 + 入y s ，k o + a z k 所以8 0 c o r ( s ) ，k o c o r ( r ) 故( s o ，k o ) ( c o r ( b ) ，c o r ( k ) ) ，所以c o t ( , 9xk ) c ( c o t ( s ) ，c o r ( k ) ) 结论成立 口 命题1 5 设s ，k 是锥，则( i c r ( s ) ，i c r ( ( ) ) = i c r ( s ) 证明设v ( u ，z ) l ( s xk ) = s p a n ( sx k 一 s o ，) ) 任取定( s o ，k o ) sxk ，则 l ( s k ) = s p a n ( s k 一( s o ，) ) 不妨设( y ，z ) = ：l ( 8 1 8 0 ，k i 一惫o ) ，n n ，入t r ，8 t s ，七t k ，i = 1 ，2 礼 则易知 冲t 一8 0 ) l ( s ) ，九( 一k o ) l ( k ) i = 1i = 1 由s i c r ( s ) 知：j a l s 7 + t ：1 入t ( s 一8 0 ) s , t 【0 ，q 1 ；由k 7 i c r ( k ) 知： | a 2 k 7 + t 銎1 入t ( 一k o ) k ，t 【0 ，o l 2 】令a = m i n ( c e l ，o l 2 ) 0 ，当t 0 ，q 时， ( s 7 ，k 7 ) 十( 入i ( s t s 0 ) + 九( k i 一s k i = 1 t = 1 即( 8 ，k 7 ) + t ( y ，名) s k ，故( s ，k 7 ) i c r ( s k ) 反之，设( s 7 ，七7 ) i c r ( sxk ) 对于v 可l ( s ) = s p a n ( s s o ) ，可设 n他 y = 九( s t s o ) ，y o = 九( s 一s o ，o ) l ( s k ) i = l = 1 | 口 0 使( s 7 ，k 7 ) + t ( y ，0 ) s k ，v t 【0 ，q 】所以8 7 + t y s ，v t ( 0 ，a 】故 8 7 i c r ( s ) ，k 7 i c r ( r ) 结论成立 口 5 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 2 关于代数意义下的真有效性 2 关于代数意义下的真有效性 设y 是实线性空间， y o acy ，scy 是凸点锥 ( i ) 称y o 是a 相对于序锥s 的有效点，记为y o e ( a ，s ) ，若( a y o ) n ( 一s ) = o ) ( i i ) 称y o 是a 相对于序锥s 的正真有效点，记为y o p e ( a ，s ) ，若存在 妒s + ，使妒( 珈) = i n f q a ( y ) ：y a ) ，且p 妒( 可) 9 ( 可o ) ，v y a ( i i i ) 称y o 是a 相对于序锥s 的大范围h e n i g 真有效点，记为y o g h e ( a ，s ) ， 若存在凸锥s 7 使s o ) cc o r ( s 7 ) 且c o n e ( a y o ) n ( 一s 7 ) = o ) ( i v ) 称y o 是a 相对于序锥s 的s n x 寸大范围h e n i g 真有效点，记为y o r g h e ( a ，s ) ，若存在凸锥s 7 使s o ) ci c r ( s 7 ) 且c o n e ( a y 0 ) n ( 一s 7 ) = o 】- 若序锥s 具有基e 即ecs 满足：c o n e ( e ) = s 且0 隹e + v 记b ( s ) 是 所有基的集合若存在y 中均衡凸吸收集v ，0 垡e 十y ，& ( e ) = c o n e ( e + y ) ( v ) 称y o 是a 相对于基e 的h e n i g 真有效点，记为y o h e ( a ，o ) ，若 c o n c ( a 一可o ) n & ( e ) = 0 ) ( v i ) 称y o 是a 相对于序锥s 的h e n i g 真有效点，记为y o h e ( a ，s ) ，若 y o n e b ( s ) h e ( a ，e ) ( v i i ) 称y q 是a 相对于序锥s 的广义h e n i g 真有效点，记为y o g h e ( a ，s ) ， 若y o u e b ( s ) h e ( a ，e ) 命题2 1 若y 。是4 的相对于序锥s 的大范围h e n i g 真有效点，则存在凸锥 s 7 ，使得s o ) cc o r ( s 7 ) 有v c l ( c o n e ( a y o ) ) f - i c o r ( s 7 ) = 仍 证明由已知，存在凸锥s 7 ，使趴 o ) cc o r ( s ，) ，有c o n e ( a y o ) n s = o ) 又因为趴 o ) cc o r ( s ，) 所以c o n e ( a y 0 ) n c o r ( s 7 ) = d 由命题1 1 ， v c l ( c o n e ( a y o ) ) n - c o r ( s 7 ) = d 口 6 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 2 关于代数意义下的真有效性 命题2 2 若y o 是a 的相对于序锥s 的相对大范围h e n i g 真有效点，则存在 凸锥s 7 ，使得趴 o ) ci c r ( s 7 ) 且c o n e ( a y o ) n i c r ( s 7 ) = 仍 证明由已知，存在凸锥s 7 ，使s _ o ) ci c r ( s ，) ，且c o n e ( a y d ) n s 7 = o 又 因为i c r ( s 7 ) cs 7 o ) ，所以c o n e ( a y o ) n i c r ( s 7 ) = 仍 口 命题2 3 设y 为实线性空间，s 是】厂上的凸点锥，s 具有基e 则 p e ( a ，s ) cg h e ( a ，s ) cg h e ( a ，s ) cr g h e ( a ，s ) 证明任意的y o y ，则存在妒s 托，使 妒( 珈) = i n f 妒( y ) ：y a ) 令e = y s ：p ( 可) = 1 ) ，v = y yi 妒( 可) i 1 2 所以妒( 一o v ) 妒( - - c o r ( s 7 ) ) 所以 妒( v c l ( c o n c ( f ( x ) 一f ( e ) + s ) ) ) 0 ( 3 1 ) 且 妒( c o r ( s ，) ) 0 ( 3 2 ) 由于s o ) cc o r ( s ，) ，由( 3 2 ) ，妒( s ) 0 所以妒s 托由( 3 1 ) ，妒( ，( x ) ) 妒( ，( 牙) ) 反之，若存在妒矿使妒( ，( x ) ) 垆( ，( 孟) ) ，则令s 7 = 【y y ：妒( y ) o ) 显然c o r ( s 7 ) = ( y l ，：妒( y ) 0 ) ) s 。入( y + e ) 不妨设为y 代数开的均衡凸吸收集，则可证 s v ( e ) = u a o 入( y + e ) 令s = s v ( e ) ，贝0 s ( o cc o r ( s ) = c o r ( s v ( e ) ) 由c o n e ( f ( x ) 一厂( 牙) + s ) n s v ( e ) = o ) ，可知 c o n e ( f ( x ) 一厂( 牙) + s ) n - c o i f s ) = 仍 由命题1 1 知： v c l ( c o n e ( f ( x ) 一f ( x ) + s ) ) n - c o r ( s 7 ) = 仍 由于厂( ) 一f ( x ) 在x 上几乎s 一次类凸，则v c l ( c o n e ( f ( x ) 一，( 牙) + s ) ) 为凸由 引理3 1 ，存在y 上的线性泛函妒，使c p ( v c l ( c o n e ( f ( x ) 一厂( 牙) + s ) ) ) 妒( 一c o r ( s ，) ) 所以 妒( v c l ( c o n e ( f ( x ) 一f ( x ) + s ) ) ) 0 ，( 3 3 ) 且 妒( c o r ( s ，) ) 0 ( 3 4 ) 因为s o ) cc o r ( s ，) ，由( 3 4 ) 知：妒( s ) 0 ，所以妒s 托由( 3 3 ) 知： 妒( ，( x ) ) 妒( ，( 牙) ) 反之，若存在妒s + 使妒( ，( x ) ) 妒( ，( 牙) ) ，令0 = s s ：妒( s ) = 1 ，则易证 e 是s 的一个基令v = y y ：i 妒( 可) i q o ( - i c r ( s 7 ) ) 妒( v c l ( c o n e ( f ( x ) 一，( 孟) + s ) ) ) 0 ( 3 5 ) 妒( i c r ( s ，) ) 0 1 3 ( 3 6 ) 实线性空问中h e n i g 向量真有效性和它的标量化3 关于单值映射向量优化问题的真有效解 特别地在( 3 5 ) 中取0 s ，则有妒( ，( x ) 一，( 牙) ) 0 ，即l ，9 ( 厂( x ) ) 垆( ，( 童) ) 由 ( 3 6 ) 及s _ o 】- ci c r ( s ) 知妒s 州 反之，若存在q o s + 使妒( ，( x ) ) 妒( 厂( 孟) ) ，令e = s s ：妒( s ) = 1 ) ，则易证 e 是s 的一个基令v = y y ：l 妒( 可) i 0 ，于是 9x ) 一三c 。r ( k ) = 一c 。r ( 研 16 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化4 关于单值映射的l a g r a n g e 乘数定理 这与g ( x ) 隹一k 矛盾故：q ( ( ，( z ) 一，( 蚕) ，9 ( z ) ) + ( s ，尼) ) 隹( 一c o r ( s 7 ) ，一c o r ( k ) ) 综合( i ) ( i i ) 知，( 4 2 ) 成立因为( - c o r ( s ，) ，一c o r ( k ) ) 是yxz 中开集，所 以从( 4 2 ) 知 v c l ( c o n e ( f ( z ) 一，( 面) ，g ( z ) ) + ( s ，k ) ) n ( - c o r ( s 7 ) ，- c o r ( k ) ) = 仍 由命题1 4 知：s ，k 为锥，则( c o r ( s ) ，c o r ( k ) ) = c o r ( sxk ) 由( ，( ) 一，( 牙) ，g ) 在x 上是几乎s k 一次类凸则v c l ( c o n e ( f ( x ) 一，( 牙) ，9 ( z ) ) + ( s ，k ) ) 为凸 由引理3 1 ，存在( 矽，妒) ( s + ，k + ) ( o ，o ) ) = y + xz 4 ( o ，o ) ) ，使 ( ( 矽，妒) ，v c l ( c o n e ( f ( x ) 一 厂( 孟) ，9 ( z ) ) + ( s ，k ) ) ) 0 ( ( 妒，妒) ，一c o r ( s 7xk ) ) 即对于任意z x ，q 0 ，有 矽( q ( ，( z ) 一厂( 牙) + s ) ) + q p ( o l ( g ( x ) + k ) ) 0 矽( - c o r ( s 7 ) ) + 妒( 一c o r ( k ) ) 所以： 砂( ，( z ) 一，( 孟) ) + 妒( 9 ( z ) ) 0 ，v x x ， ( 4 3 ) 且 妒( c o r ( s ，) ) + 妒( c o r ( k ) ) 0 ( 4 4 ) 因为k 是锥，从( 4 4 ) 知 矽( c o r ( s ，) ) 0 ，( 4 5 ) 妒( c o r ( k ) ) 0 ( 4 6 ) 根据( 4 6 ) ， 妒k + ( 4 7 ) 因为牙e ，所以夕( 孟) 一k 由( 4 7 ) 知妒( 9 ( 牙) ) 0 在( 4 3 ) 中，令z = 孟，则 妒( 9 ( 牙) ) 0 所以妒( 夕( 牙) ) = 0 下证：妒0 若妒= 0 ，因为( 妒，妒) ( 0 ，o ) ，所以妒0 ，即妒k + o 根据( 4 3 ) ，妒( 9 ( z ) ) 17 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 4 关于单值映射的l a g r a n g e 乘数定理 0 ，比x ，这与假设( c ) ：妒( 9 ( z ) ) nr 一仍矛盾所以砂s + i ，则存在吾s ， 使矽( 吾) = 1 定义算子t ：z y 如下： t ( z ) = 妒( z ) 吾，v z z 注意到妒k + ，否s ，所以妒( ) 0 ，且 t ( k ) = 妒( k ) 否cs 因此t l + ( z ，y ) 结合( 4 8 ) ，( 4 9 ) 知 t ( 9 ( 牙) ) = 0 由( 4 3 ) ，( 4 8 ) 对于任意z x 有 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 妒( ，( z ) + t ( z ) 一厂( 牙) ) = 妒( ，( z ) 一，( 牙) ) + 妒( t ( z ) ) = 砂( ，( z ) 一，( 牙) ) + 妒( z ) 矽( 吾) = 妒( 厂( z ) 一，( 雪) ) + 妒( z ) 0 所以 妒( ，( z ) + t ( z ) ) 妒( ，( 互) ) ，v x x ( 4 1 1 ) 即有移( ，( z ) + t ( 9 ( z ) ) ) 砂( 厂( 勇) ) ，v x x 且矽s + i 所以 f ( x ) p e ( ( f + 丁g ) ( x ) ，s ) cg h e ( ( f + t g ) ( x ) ，s ) 口 定理4 2 设x ，z 是实线性空间，z 上的偏序由凸锥s ，k 决定，并 设牙e 若存在t 矿，使牙是( u v m p ) 的大范围h e n i g 真有效解，则牙是 ( c v m p ) 的大范围h e n i g 真有效解 1 8 实线性空问中h e n i g 向量真有效性和它的标量化 4 关于单值映射的l a g r a n g c 乘数定理 证明对于任意z e ，有夕( z ) 一k 因为t ( 一k ) c s ，所以t ( g ( z ) ) - s 因此 _ o 】- ct g ( x ) + s ，( 4 1 2 ) 于是 f ( x ) 一，( 孟) c ，( 。) 一，( 孟) + t y ( x ) + s ，y x e ( 4 1 3 ) 结合( 4 1 3 ) ，( 4 1 4 ) ， s ( e ) 一，( 孟) c ( f + t g ) ( e ) + s f ( 2 ) c ( ，+ t g ) ( x ) + s 一，( 勇) ， 所以 s ( e ) 一，( 牙) + sc ( f 十t a ) ( x ) + s + s 一，( 岔) = ( f + t g ) ( x ) + s 一，( 牙) 即有 c o n e ( f ( e ) 一，( 面) + s ) cc o n e ( ( y + t g ) ( x ) 一，( 孟) + s ) ( 4 1 5 ) 根据条件：f ( 2 ) g h e ( ( f + t 9 ) ( x ) ，s ) ，所以 c o n e ( ( ，+ t g ) ( x ) 一，( 牙) + s ) n ( - s 7 ) = o ) ， 再结合( 4 1 5 ) ， c o n e ( f ( e ) 一，( 孟) + s ) n ( 一s 7 ) = o ) 即，( 牙) g h e ( f ( e ) ，s ) 口 定理4 3 设y 是实线性空间，scy 是凸点锥，c o r ( k ) 谚设牙e 且( ，g ) 在x 上是相对实体s k 一次类凸更设( c v m p ) 满足假设条件( c ) ，若牙 是( c v m p ) 的相对大范围h e n i g 真有效解，则存在t l + ，使t ( g ( 牙) ) = 0 ，且 牙是( u v m p ) 的相对大范围h e n i g 真有效解 1 9 实线性空间中h e n i g 向量真有效性和它的标量化4 关于单值映射的l a g r a n g e 乘数定理 证明因为牙是( c v m p ) 的相对大范围h e n i g 真有效解，即，( 牙) r g h e ( f ( e ) ，s ) 则存在凸锥s 7 ，使得i c r ( s 7 ) ) 趴 o ) ，有c o n e ( f ( e ) ，( 牙) ) n i c r ( s ，) = d ，所以 c o n e ( f ( e ) 一f ( x ) + s ) ) n - i c r ( s 7 ) = 仍 ( 4 17 ) 若不然，存在z + 8 0 c o n e ( f ( e ) 一，( 牙) + s ) n i c r ( 8 气那么z + s 0 一i c r ( s ，) ，即 z 一i c r ( s 7 ) 一8 0c i c r ( s ) ，所以z c o n c ( f ( e ) 一，( 面) ) n i c r ( s ，) 矛盾于是我 们断言： c o n e ( ( f ( x ) 一，( 孟) ，9 ( z ) ) + ( s ，k ) ) n ( - i c r ( s 7 ) ，- - i c r ( ( ) ) = d ，v x x ( 4 2 7 ) 因为( ，g ) 在x 上是相