（基础数学专业论文）集值变分包含及系列强收敛定理.pdf

集值变分包含及系列强收敛定理 摘要 本篇硕士论文我们研究一系列广义集值变分包含、一类强增生算子方 程解以及一类非扩张映射的强收敛定理 第二章，我们在h i l b e r t 空间中研究( 只，7 ) 一单调算子的概念，以及与此 相关的预解式算子r 茹a ，利用预解式算子技巧构造了一类迭代算法，求解变 分包含的逼近解问题，并讨论了由此算法产生的迭代序列的收敛性 第三章，我们在b a n a c h 空间中引进一类耳增生算子，并给出了一类 新的( 日，7 ) 增生算子的概念利用新的预解式算子技巧得出一系列广义集 值拟变分包含问题的逼近解 第四章，我们考虑关于正规泛函妒的对偶映象以及其一些基本不等 式，并在实b a n a c h 空间中讨论用一类一致连续的强增生算子求方程如= ， 解的带误差的m a n n 迭代序列的强收敛问题 第五章，我们在实自反b a n a c h 空间中讨论如下收敛问题：设c 是b a n a c h 空间x 的非空闭凸子集，广义对偶映象以具有弱连续性；，是一压缩映 射，r 是一非扩张映射对n 1 ，存在锄c ，k 0 ，有 y n ：= o + a n ( 钿一o ) j t x 卜) 又对t ( 0 ，1 ) ，定义序列 z ) 为： 戤= t y ( z d + ( 1 一t ) p t z t ， 其中p 是x 到口上的阳光非扩张收缩若r 满足条件( + ) ，则当t 一0 时， 以 强收敛到t 的一个不动点 关键词7 7 ) 单调算子，日- 增生算子，预解式算子，相对妒强增生 算子，弱连续对偶映象，非扩张收缩核 s e t v a l u e dv a r i 觚i o n a li n c l u s i o n sa n da s e r i e s o fs t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，8s e r i e so fs t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m sa r ed i s c u s s e d ，w h i c hc o n c e r n w i t hg e n c r a x i z e ds e t v a l u e dv a r i a t i o n a li n c l u s i o n s 。8c l a s so fs t r o n g l ya c c r e t i v eo p e r a t o r e q u a t i o na n dac l a s so fn o n e x p a n s i v en p p i n g s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ec o n c e p t so fr e s o l v e n to p e r a t o ra s s o c i a t e dw i t h ( ， 7 ) 一m o n o t o n eo p e r a t o r si nh i l b e r ts p a c e u s i n gt h er e s o l v e n to p e r a t o rt e c h n i q u e ，w e c o n s t r u c tan e wa l g o r i t h mf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o no ft h i sc l a s so fv a r i a t i o n a li n - c l u s i o n s ，a n dd i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo fi t e r a t i v es e q u e n c e sg e n e r a t e db yt h ea l g o r i t h m i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c eac l a s so fh a c c r e t i v eo p e r a t o r si nb a n a c hs p a c e ， a n dg i v et h ec o n c e p to fan e wc l a s so f ( ，7 ) a c c r e t i v eo p e r a t o r s u s i n gt h en e wr e s o l v e n t o p e r a t o rt e c h n i q u e ，w eo b t a i nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o nf o ras y s t e mo fs e t v a l u e dq u a s i - v a r i a t i o n a li n c l n s i o n s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ec o n s i d e rt h eg e n e r a l i z e dd u a l i t ym a p 厶w i t hg a u g ei p ，a n d 8 0 m eb a s i ci n e q u a l i t i e sa b o u t 以b yu s i n gac l a s so fu n i f o r m l yc o n t i n u o u sa n ds t r o n g l y a c c r e t i v eo p e r a t o r ，w ed i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c ep r o b l e mo ft h em a n ni t e r a t i v ep r o - c e 籍w i t he r r o r sf o rc o m p u t i n gs o l u t i o n so ft h ee q u a t i o nt x 窑f i l lt h ef i f t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ef o l l o wc o n v e r g e n c ep r o b l e mi nar e a lr e f l e x i v e b a n a c hs p a c e ：l e tcb eac l o s e dc o n v e xs u b s e to fb a n a c hs p a c ex w h i c hh a saw e a k l y s e q u e n t i a l l yc o n t i n u o u sd u a l i t ym a p 厶；fb eac o n t r a c t i v em a p p i n g ，tb ean o n e x p a n s i v e m a p p i n g f o rn 1 ，t h e r ee x i s t sz n p ，k 0 ，w eh a v e 鲰；z + k ( 一o ) 一t x ( ) a g a i n 。f o r t ( o ，1 ) ：w ed e f i n e 魏 a s z t = t f ( x t ) + ( 1 一t ) p t x , ， w h e r epi sas u n n yn o n e x p a n s i v er e t r a c t i o no fxo n t oc i fts a t i s f i e sc o n d i t i o n ( + ) ，t h e n w ep r o v et h a t z ) s t r o n g l yc o n v e r g e st oaf i x e dp o i n to ft8 st _ 0 k e yw o r d s ( h ， 7 ) - m o n o t o n eo p e r a t o r ，h a c c r e t i v eo p e r a t o r ，r e s o l v e n to p e r - a t o r ，s t r o n g l ya c c r e t i v eo p e r a t o rw i t h 妒，n o n e x p a n s i v er e t r a c t 学位论文独创性声明 本人声明所星交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究i 作及取得 的研究成果。论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果。其他同志对本研究的肩发和所做的贡献均己在 论文中作了明确的声明并表示了谢意。 研究生签名：薪帖南日期：妒彩，- 。护 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：。学校有权 保留送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩 印或扫描等手段保存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以用不同方式存不同 媒体_ l z 发表、传播 论文的全部或部分内容。保密的学位论文在解密后遵守此协议。 研究生签名：磊椭 导师签名：杉万涉 日期：7 一、绪论 ( 一) 、背景 变分不等式是由h a r t m a n 和s t a m p a c a h i a 在2 0 世纪6 0 年代提出并研究 的，从此成为数学科学上一种非常有用的工具变分包含作为变分不等式 的一项重要推广，在微分方程、力学、控制论、对策论、经济平衡理论 社会和经济模型、非线性规划，交通和工程科学等领域有着较为广泛的应 用尤其最近几年，变分包含已在不同方向被新的技巧和方法不断改进和 推广，引起了国内外许多学者浓厚的兴趣，在理论研究与算法研究上取得 了长足的进展具体可见【1 - 7 】到目前为止，有不少作者对求解变分包含问 题已经给出了许多重要而可行的方法，比如投影方法及其变分形式、线性 逼近，离散方法、牛顿方法和以辅助原理技巧为基础的方法特别地，作 为投影方法的一种推广：预解式算子技巧，已经被广泛地应用于研究解决 各类变分包含问题可参考文献睁1 9 利用不同的方法可以构造不同的算法，不同的算法又可以产生不同的迭 代序列，比如经典的m a n n 迭代序列、i s h i k a w a 迭代序列，及在此基础上推广 的带误差的m a n n 迭代序列，带误差的i s h i k a w a 迭代序列等本文在b a n a c h 空间中推广正规对偶映象j 为广义对偶映象厶，并从一类强增生算子着手 讨论方程t x = ，解的带误差的m a n n 迭代序列的强收敛问题 对于经典的不动点问题，不少人做过相关的研究令c 是b a n a c h 空间x 的非空闭凸子集，t 是一非扩张映射对t ( 0 ，1 ) ，定义一压缩映射t t ：c c 为 t t ( z ) = 组4 - ( 1 一t ) t x ，z c ， 其中t c 为t 的一不动点由b a n a c h 压缩原理，正在c 中有唯一不动点 z t c ，即是方程 z t = t u4 - ( 1 一t ) t z t 的唯一解关于序列 施) 的收敛性问题，1 9 6 5 年b r o w d e r 1 8 】证明了以下结 论：若x 是一h i l b e r t 空间，则当t 一0 时，z t 强收敛到t 的一个不动点； 1 9 8 0 年r e i c h 1 9 】证明。若x 是一致光滑b a n a c h 空间，则上述b r o w d e r 的结论 仍成立最近，徐【2 0 】在一般的实自反b a n a c h 空间中，证明了若对偶映象 七是弱连续的，r e i c h 的结论仍成立本文指出，对于更为一般的压缩映射 】 彰，t ( 0 ，1 ) ： 影( z ) = t f c x ) + ( 1 一t ) p t x ，善c ， 其中，为压缩映射，p 是x 到c 上的阳光非扩张收缩，徐的收敛不动点定 理仍成立所得结果推广了上述文献的相关结论 ( = ) 、一些记号与定义 我们将不加声明地使用下列记号及定义 记h i l b e r t 空间为7 - l ；b a n a c h 空间为x ，r 是其对偶空间；范数记作i ，d 是由范数诱导的度量；2 x ，c ( x ) 分别为x 的所有子集族和所有闭子集族； d ( t ) ，r ( t ) 分别为映射t 的有效域、值域。i n t ( d ( t ) ) 表示d ( t ) 的所有内 点；一表示强收敛，一表示弱收敛，二表示弱收敛 正规对偶映象j ：x 一2 r 为t ，( ) = ，x l ( z ，) = l i z l i i i f l l ，l i l l i = l i z l l ) ，v x x 现设有连续正规泛函妒：兄+ 一r + ，满足：妒( o ) = 0 ，妒( r ) 一o 。( r o o ) 称 如：x 一2 为关于妒的对偶映象，其中 山( 。) = ，x i ( z ，f ) = = l i z l i 妒( 1 z ) ，i i l l i ：= 妒( z ) ) ，v 叠x 显然由h a n n b a n s c h 定理易知d ( 如) ：x 且易证如( z ) = 掣j ( z ) 我们定义一个伪度量万：2 x 2 x r u t o o ) ： 反r ，a ) ：= m a x s u pd ( u l a ) ，s u pd ( v l r ) ， 其中，d ( x l s ) ：= 礁忙一圳若万的有效域为闭有界集，则艿为t i a u s d o r f f 度 量 定义1 2 1称多值算子g ：x c ( x ) 为一万一i y i p s c h i t z 连续的，如果 存在常数f 0 ，使得 d ( g ( z ) ，g ( 暑，) ) f i i o 一暑，、b ，暑，x ： 2 二，h i l b e r t 空间中一类集值变分包含及其解的迭代收敛问题 ( 一) ，引言 2 0 0 3 年，黄和方在文献【2 1 】中引进了一类广义单调算子，极大，卜单调算 子，并且定义了相应的预解式算子；文献f 2 2 】中方和黄介绍了另一类单调算 子th - 单调算子，及相应的预解式算子，并且证明了预解式算子的l i p s c h i t z 连续性；在文献【2 3 】中，方和黄进一步介绍了一类新的( 日，7 ) 单调算子，并 利用预解式算子技巧解决一类变分包含问题 本章在h i l b e r t 空间中讨论一类广义单调算子，( h ， 7 ) 一单调算子，推广 了文献【2 3 】中关于肌强单调的概念，并证明了相应预解式算子的存在性及 其l i p s c h i t z 连续性利用预解式算子技巧，我们还建立了一类新的广义非 线性集值变分包含逼近解的迭代算法，并讨论了由此算法产生的迭代序列 的强收敛问题所得结果改进和推广了上述文献中的相关结论 ( 二) 、预备知识 定义2 2 1 设置h ：咒一冗为两单值算子，g ：爿一c ( 为一多值算子， 称t 为 ( 1 ) 单调的，如果 ( t x t y ，卫一y ) 0 ，v x ，y 咒； ( 2 ) 严格单调的，如果 ( t z t y ，z 一3 ，) 0 ，v x ，y 咒， 且等式成立当且仅当y = $ ； ( 3 ) 强单调的，如果存在常数r 0 ，使得 ( t x t y ，卫一暑，) , - 1 1 = 一! ，2 ，v x ，y 7 t ； ( 4 ) s l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数s 0 ，使得 i i t = 一t y js8 1 1 = 一可 v x ，y 7 - 1 定义2 2 2 设，7 ：7 - 1 7 l f 一7 l f 为一单值算子，称町为 ( 1 ) 单调的，如果 ( 仳一 ，7 ( t ， ) ) 0 ，v u ，u 7 - ； ( 2 ) 严格单调的，如果 3 ( t 一t ，刀( t ，t j ) ) 0 ，v u ，t ，e7 _ ( ， 且等式成立当且仅当t ，= “： ( 3 ) 强单调的，如果存在常数j 0 ，使得 似一t ，t 7 ( ，t ，) ) 6 1 1 u t ，2 ，v u ，u 咒； ( 4 ) r l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数7 - 0 ，使得 i i n ( u ，v ) l l * l l u t ，玑v u ，t ，爿 定义2 2 3 设h ：爿一“为一单值算子，g ：7 l f c ( 冗) 为一多值算子， a ：爿x 一f 为一单值算子，称a 为 ( 1 ) 对应第一个变量关于h - g 为p 强单调的，如果存在常数卢 0 ，使得 ( a ( t ，) 一a ( v ，) ，h x h y ) z l l u 一训1 2 ，v ，t ， z ，g ( t ) ，暑，g ( t ，) ； ( 2 ) 对应第二个变量关于日一g 为，y 强单调的，如果存在常数- y 0 ，使得 ( a ( ，札) 一a ( - ， ) ，h x h y ) 一y ”t 一训1 2 ，v “， h ，茁g ( ) ，暑，g ( t ，) ； ( 3 ) 对应第一个变量为8 一l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数s 0 ，使得 ( 且( t ，) 一a ( v ，) 8 1 1 u v i i ，v u ，t ，7 ； ( 4 ) 对应第二个变量为t l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数t 0 ，使得 ( a ( ，“) 一a ( ，v ) l i t l l u 一 l | v u ，t ，7 z 注若以( ，) = a ( ) ，g 三j ，则上述定义中的( 1 ) ，( 2 ) 即为文献【2 3 】中关于肌 强单调的定义；( 3 ) ，( 4 ) 即为本文定义2 2 1 中熟知的l i p s c h i t z 连续的概念 定义2 2 4 设叩：? - i 7 - i h ，日：“一h 为两单值算子，m ：“一2 钾为一 多值算子，称m 为 ( 1 ) 单调的，如果 ( z 一”，u u ) 0 ，地，t ，f ，z j m ( t ) ，暑， f ( 可) ； ( 2 ) 俨单调的，如果 ( z 一暑，叩( t ，t ，) ) 0 ，v u ，t ，7 t ，z ，( u ) ，暮，订( u ) ； ( 3 ) 严格铲单调的，如果 ( 茹一暑，7 ( t ，口) ) 0 ，v u ，t ，7 t ，z m ( ) ，z ， f ( t ，) ， 且等式成立当且仅当 = 蛾 ( 4 ) 强矿单调的，如果存在常数r 0 ，使得 ( z y ，町( ， ) ) r i i u t j 0 2 ，v u ，t ，7 - f ，z 彳( 钍) ，m ( t ，) ； ( 5 ) 极大单调的，如果m 是单调的且 ( ，+ a m ) ( h ) = 咒，v a 0 ； 4 ( 6 ) 极大卜单调的，如果m 是卜单调的且 ( ，+ 入m ) ( 冗) 一7 - ，v a 0 ； ( 7 ) h 单调的，如果m 是单调的且 ( 日+ a m ) ( 7 ) = 咒， c a 0 ； ( 8 ) ( h ，f 7 ) 单调的，如果肘是卜单调的且 ( 日+ a m ) ( 7 l f ) = 7 - i ，v a 0 引理2 2 1 1 2 3 1 设r ：7 - 1 冗一h 为一单值算子，h ：7 l f 一7 l f 为严格俨单调 算子。m ：咒一为( 嚣， 7 ) 一单调算子，则( h + a m ) 。是一单值算子 由引理2 2 1 ，我们可以定义如下的预解式算子兄徽 定义2 2 5 设刀：7 l fxh 一“为一单值算子。h ：咒一何为严格，卜单调算 子，m ：7 l f 一2 氕为( 风卵) 一单调算子，定义预解式算子r m h , r t ：h 一爿为 r ：吸( t 上) = ( h + a ，) 一1 ( 让) ，v u 7 t 引理2 2 2 1 2 3 1 设雄：h 一氕为单值r l i p s c h i t z 连续算子，h ：7 - t 一何 为关于常数，强中单调算子，m ：“一为( ，叼) 一单调算子，则预解式算 子r m a ：咒一爿是三一l i p s c h i t z 连续的，即 r i 勉( “) 一r 嚣, v v ) i i - 1 1 缸一训i ，v u ，t ，7 z ( 三) 、广义集值变分包含及其解的迭代收敛问题 设h ：7 - l 一a ，町：“7 - 1 一“为三单值算子，g ：7 l f c ( “) 为一多值算 子，材：h 一为( 髫，刁) 单调算子，考虑以下广义非线性集值变分包含问 题：求乱7 l f ，口g ( u ) ，使得( u ，t ，) 满足 0 a ( u ，t ) + m ( t ，) ( 2 3 1 ) 一些特例： ( 1 ) 若g 暑i ，为单值恒等算子，且m 为日一单调算子，则( 2 3 1 ) 即为文 献1 2 4 1 中的变分包含问题( 3 1 ) ：求钍e 咒，使得 0 a ( u ，) + m ( ) ； ( 2 ) 若g ；，为单值恒等算子，a ( u ，“) = a ( ) ，t 咒，且m 为h 一单调算 子，则( 2 3 1 ) 即为文献【2 2 ，2 5 】中的问题( 3 1 ) ：求t 7 - ，使得 0 a ) + m ( t ) ； ( 3 ) 若g 三f ，为单值恒等算子，m = 却，其中如定义为正则的凸的下半 连续泛函妒：7 l f ru + o 。 的次微分，则( 2 3 1 ) 即为如下非线性变分不等 5 式问题，求缸咒，使得 ( a ( t 工，t 上) ，t ，一“) + i p p ) 一妒( t ) 0 ，t ，h ； ( 4 ) 若a ( u ，t ) = a ( ) ，m = 0 5 k ，其中以是爿的一个非空闭凸子集k 的指 数函数，则( 2 , 3 1 ) 即为文献【4 】的经典变分不等式问题，求“k ，使得 ( a ( 钍) ，移一钍) 0 ，t ，k 下面给出一个求解( 2 3 1 ) 的充要条件 引理2 3 3 设叼：7 - 咒一爿为一单值算子，h ：7 一冗为严格7 - 单调算 子，g ：7 一c ) 为一多值算子，m ：氕一庐为( 日，叶) 一单调算子，则u 7 - ， t ，g ( “) ，( t ，) 是式( 2 3 1 ) 的解的充要条件是 1 3 = r f h , ，r l 旧0 ) 一a a ( u ，l ，a 0 证明由r 熬的定义显然可得 在引理2 3 3 的基础上，给出如下迭代算法： 算法2 3 1 给定咖i n ( d ( g ) ) ， t o g ( 咖) ，定义迭代序列 ) ，t 为 t ，i + 1 = 一+ r 勰旧( ) 一a a ( ，“。) 1 ，a 0 ，( 2 3 2 ) 使得让。+ l i n t ( d ( c ) ) ，g ( ) ，且满足 t ，。+ l t h ( 1 + e 。) d ( c o , 。+ 1 ) ，g ( u 。) ) ， 其中当n o 。时，e 。一0 定理2 3 1 设，7 ：“符一咒为单值r l i p s c h i t z 连续算子，h ：咒一7 l f 关 于常数r 强叼单调，且为6 一l i p a c h i t z 连续算子，g ：“一c ( h ) 关于常数盯强 单调，且为f 一艿一l i p s c h i t z 连续算子；单值算子a ：咒x7 - i 一咒对应第一、二 个变量分别为8 , t l i p s c h i t z 连续，且关于h - g 分别为反，y 强单调，m ：咒一 为( 日，叩) 单调算子当( p + ，y ) 2 r 2 ( s + t ) 2 限备2 一( 1 一凫) 2 r 2 】，1 2 6 + 2 0 时，若存在常数a 0 ，使得 旷品i 坦业生杀喾兰坠幽， 其中南= 川_ = 可孕，则由算法( 2 3 1 ) 定义的迭代序列( 缸。， ) 分别强收敛 于缸7 - ， g ( u ) ，且( 铭，u ) 是( 2 3 1 ) 的一个解 证明由( 2 3 2 ) 及引理2 2 2 得 n u 叶2 一t ，l + l = t h + 1 一 l j n + l t h + 仉。 + r 熬( 日( 珥i + 1 ) 一a 月( “。+ l ，u n + 1 ) 】一r m i - i , r i 【日( t k ) 一a a ( u ，t 正。) 】i | 6 t t l + 1 一t ，l 一( t k + l 一珥。) + 圳日( + 1 ) 一日( ) 一a m ( + 1 ，u c t + 1 ) 一a ( u 。，) 】i | ( 2 3 3 ) 对于( 2 3 3 ) 的第一项，因为 t l n + l 一一( u n + l v , ) 1 1 2 = i i t h + i t n u 2 2 ( t “+ l t ，t h + 1 一t k ) + l i t k + l t k 2 ( 1 2 口) + l 一 - 1 1 24 - ( 1 - 4 - e 。) 2 西2 ( g ( t ，i + l ，g ( t ，1 ) ) ( 1 - - 2 a + ( 1 + f 。) 2 f 2 ) + 1 - - u 。1 1 2 ；( 2 3 4 ) 对于( 2 3 3 ) 的第二项，因为 1 1 日( + 1 ) 一日( ) 一n a ( 让。+ 1 ，+ 1 ) 一a ( ，) 胪 = 0 日( + 1 ) 一日) 2 2 x n c v , , + 1 ) 一日( ) ，a ( u 。+ 1 ，t t i + 1 ) 一a ( ，t - i ) ) + a 2 0 a ( 珥l + 1 ，i + 1 ) 一j 4 ( t b ，。) 1 1 2 ( 2 3 5 ) 又 i i h c v + , ) - - h ( v ) 1 1 2 6 2 i i t k + l t i n 2 j 2 ( 1 + e 。) 2 f 2 t r 件1 - - u 。h 2 ；( 2 3 6 ) 俾( + 1 ) 一日( ) ，a ( t ，i + l ，t 正1 ) 一a ( ，t ，i ) ) = ( 日( + 1 ) 一日) ，a ( t ，l + i ，u n + 1 ) 一a ( ，“+ 1 ) ) + ( h ( + 1 ) 一日( ) ，a ( ，让n + 1 ) 一a ( ，) ) p t h + 1 一t 正。1 1 2 + 一y l l t “+ l t n 2 = ( 卢+ 7 ) u 叶l t k 2 ，( 2 3 7 ) i i a ( u 。+ 1 ，+ 1 ) 一a ( ，t t 1 ) a ( + 1 + 1 ) 一a ( u 。，十i ) 1 i + i i a ( u 。，+ 1 ) 一a ( u 。，) 0 + t ) t h + 1 一“。h ，( 2 3 8 ) 将( 2 3 6 ) 一( 2 3 8 ) 代入( 2 3 5 ) ，得 日( + 1 ) 一h ( v n ) 一a ( + l ，t ，i + 1 ) 一a ( t ，l ，) l | j 2 ( j 2 ( 1 + e n ) 2 2 2 a ( + 7 ) + a 2 0 + t ) 2 ) i i “+ l t f l 2 ( 2 3 9 ) 再将( 2 3 4 ) ，( 2 3 9 ) 代入( 2 3 3 ) ，得 0 缸。+ 2 一t k + 1h 靠i l u 。+ 1 一珏。i ( 2 3 1 0 ) 其中 靠= 万五鬲丽+ 手痧面习虿习万再厅丽 令 6 l = 万研+ ；痧瓦瑟两可再丽f ， 则当诧一o o 时，靠一秽由题设条件可得，0 1 注若x 是一致光滑的，则山是单值的 ( 二) 、预备知识 首先我们在口- 一致光滑b a n a c h 空间x 中给出一个常用不等式 引理3 2 1 2 7 1 设x 为实一致光滑b a n a c h 空间，则x 为g 一致光滑的当 且仅当存在常数c 口 0 ，使得对所有的z ，y x ，有 z + 训。si i x l l q + 口扫，如 ) ) - 4 - c g l l y l l 。 定义3 2 1 设e h ：x x 为两单值算子，称t 为 ( 1 ) 增生的，如果 9 ( t x t y ，g q ( z 一暑，) ) 0 ，忱，y y ； ( 2 ) 严格增生的，如果 ( t x t y ，j q ( z 一! ，) ) 0 ，比，y x ， 且等式成立当且仅当y = ； ( 3 ) 强增生的，如果存在常数r 0 ，使得 ( t x t y ，山( z 一! ，) ) r l l = 一v i i 9 ，切，y x ； ( 4 ) 关于日强增生的，如果存在常数，y 0 ，使得 ( t x t y ，如( h x 一月z ，) ) 7 1 i x u l l 9 ，妇，y x ； ( 5 ) s l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数s 0 ，使得 i i t x t y l i s l l x v i i ，协，y x 定义3 2 2 设f 7 ：x x x 为一单值算子，称叼为 ( 1 ) 增生的，如果 ( z y ，山7 7 ( z ，! ，) ) 0 ，v 矗y x ； ( 2 ) 严格增生的，如果 ( 尘一y ，山，7 ( z ，暑，) ) 0 ，v x ，y x ； 且等式成立当且仅当y = ( 3 ) 强增生的，如果存在常数6 0 ，使得 ( z y ，山7 7 ( 。，暑，) ) 6 o y u q ，v x ，y x ； ( 4 ) r l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数7 - 0 ，使得 町( z ，u ) l i r l l x 一，v x ，y x ； 定义3 2 3 设a ：xxx x ，h ，9 ：x x 分别为单值算子，称a 为 ( 1 ) 对应第一个变量关于h - g 为卢强增生的，如果存在常数卢 0 ，使得 ( a ( z ，) 一a ( y ，) ，山( 日夕( 茁) 一日夕( ) ) ) z l l = 一暑，1 1 9 ，v 毛暑，x ； ( 2 ) 对应第二个变量关于h - g 为，y 强增生的，如果存在常数7 0 ，使得 ( a ( ，z ) 一a ( ，! ，) ，山( 日g ( 霉) 一日0 ) ) ) 7 1 1 = 一耋，i 卜，比，暑，x ( 3 ) 对应第一个变量为s l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数s 0 ，使得 j i ( a ( z ，) 一a ( y ，) f | s 0 石一暑，v x ，y x ； ( 4 ) 对应第二个变量为t l i p s c h i t z 连续的，如果存在常数t 0 ，使得 0 ( a ( ，。) 一a ( ，y ) i i t l l = 一0 ，v x ，x 定义3 2 4 设7 ：x x x ，h ：x x 为两单值算子，m ：x 一2 x 为一 多值算子，称m 为 1 0 ( 1 ) 增生的，如果 ( “一t ，山( z 一暑，) ) 0 ，比，y x ，t m c x ) ，t ， f ( 暑，) ； ( 2 ) ，卜增生的，如果 ( t 一t ，j ；7 7 ( o ，毫，) ) 0 ，毫，x ，t j h ( 茁) ，t ， 彳( 暑，) ； ( 3 ) 严格俨增生的，如果 ( t 一t ，j 口”( 卫，暑，) ) 0 ，忱，y x ，t l m ( j b ) ， m ( 暑，) ； 且等式成立当且仅当y = z ； ( 4 ) 强铲增生的，如果存在常数r 0 ，使得 ( u t ，j ；叩( z ，暑，) ) r l l x y l l ，忱，暑，x ，u f ( z ) ， f ( 暑，) ； ( 5 ) m - 增生的，如果m 是增生的，且 ( j + a m = x ，枞 0 ； ( 6 ) 日一增生的，如果m 是增生的，且 ( 日+ a m ) x = x ，坝 0 ； ( 7 ) ( ，7 ) 一增生的，如果m 是卜增生的，且 ( 日+ a m ) x = x ，v a 0 引理3 2 2 设町：x x x 为一单值算子，嚣：x x 为严格 卜增生算 子，m ：x 一2 x 为( h ，7 7 ) 一增生算子，则( h + a m ) _ 1 是一单值算子 证明设x ，z ，可( h + a 彳) - 1 ( 乱) ，则有 一月( $ ) + 缸a ，( z ) ， 一丑( j ，) + t a f ( 髟) 又m 是矿增生的，即有 一( ( 一h ( x ) + t ) 一( 一聂。( 管) + t ) ，而7 ( z ，彩 = ( ，醪( 。) 一丑( ! ，) ，五刁( z ，矽) ) 0 ， 由凹的严格增性得y = z ，从而( h + a m ) _ 1 是单值的 由引理3 2 2 ，我们可以定义如下的预解式算子r 数 定义3 2 5 设，7 ：x x x 为一单值算子，日：x x 为严格矿增生算 子，m ：x 一2 x 为( h ，露) 增生算子，定义预解式算子兄数：x x 为 冗：l ( 。) = ( h + a 扩) 一1 ( 茹) ，、z x 引理3 2 3 设：x x x 为单值7 | 一l i p s c h i t z 连续算子，h ：x x 为 关于常数r 强俨增生算子，肘：x 一2 x 为( h ， 7 ) 一增生算子，则预解式算子 r 熬：x x 是一l i p s c h i t z 连续的，即 i l 宅磊工( 霉) 一r h , n y 、0 z y l l ，v 窑，毫，x 1 1 证明设卫，耖x ，由r 数定义，有 兄勰( 茹) = ( 日+ a 彳) 一1 ( z ) ，r f h , t a l ( 暑，) = ( h - 4 - a 肘) 一1 ( ) ， 即可得 x 1 一日r 徽( z ) ) m ( r 织( z ) ) ，妄国一片r 嬲( ! ，) ) m ( 瑞( 掣) ) 因为m 是叩增生的，故 任一j 了r 嬲( z ) 一白一日r 勰( 耖) ) ，如，( r 勰( 。) ，r 嬲( ) ) ) = ( 。一f 一( 日r 勰( 茁) 一日r 徽( ! ，) ) ，而7 7 ( r 徽( 茁) ，兄勰( s ，) ) ) 0 ， 从而 7 - 一1 霉一i i r 嬲( z ) 一r 勰( 3 ，) 0 。一1 i i 。一y 1 1 i i 如7 ( 冗嬲( z ) ，r 嚣玉( ) ) ( z 一| ，由叩( r ：器( 。) ，r ：! ：& ( 暑，) ) ) ( h r 嬲( $ ) 一p i r h n 。( 可) ，j q u ( r m , a ( 。) ，r 嬲( ) ) ) r l l r ：飘( 功一r ：飘( ! ，) n 。 因此 i i r 协( x ) 一r 熬( s ，) = i i z 一i i ( 三) 、广义集值拟变分包含及其解的迭代收敛问题 设h ，g ：x x ，a ，7 ：xxx x 分别为单值算子，只t ：x 一2 x 为两集 值算子，肘：x 一2 x 为( 日，7 ) 增生算子本章主要考虑以下广义非线性集 值拟变分包含问题：求茹，掣x ，u f ( 扩) ， t ( z ) ，使得( 茁，玑牡，t ，) 满足 0 日g ( z ) 一月7 9 ( 可) + p ( 以( ，y ) + m ( g c x ) ，t ) ) ，( 3 3 1 ) 0 h g ( y ) 一h g ( x ) + a ( a ( z ，暑，) + 彳( g ( 暑，) ，t ，) ) ( 3 3 2 ) 一些特例t ( 1 ) 若a ( ，) = t ( ) ，m ( ，) = m ( ) ，g 兰i ，且z = g ，p = a ，则( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 即为 文 2 6 1 中的变分包含问题( 3 1 ) ：求仳x ，使得 0 a ( “) + 朋( 珏) ； ( 2 ) 若x 为h i l b e r t 空间，m ( ，) = m ( ) ，gi ，且z = y ，p a ，则( 3 3 1 ) ， ( 3 3 2 ) 即为文【2 4 】中的变分包含问题( 3 1 ) ：求u x ，使得 0 a ( u ，u ) + m ( 仳) 下面给出( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 解存在的充要条件 引理3 3 1 设h ：x x 为严格咿增生算子，卵：x x x ，g ：x x 为两单值算子，e t ：x 一2 x 为两集值算子，m ：x 一2 x 为( 日，卵) 增生算 】2 子则z ，暑x ，“f ( 毫，) ， t ( z ) ，使得x ，玑“，t ，) 是( 3 3 1 ) ，( 3 3 2 ) 的解当且仅当 g ( z ) = r 嚣0 ，。) ，p ( j 了9 ( 暑，) 一p a ( x ，s ，) ) ，兄m h , ( v l 傅) ，户= ( 日+ p m ( ，t ) ) 一1 ， g ( y ) = r 嚣7 。) ( 日9 ( z ) 一a ，掣) ) ，r 嚣0 。) = ( 日+ a m ( ，t ，) ) 一1 证明由r 教的定义显然可得 在引理3 3 1 的基础上，给出如下迭代算法 算法3 3 1 设i n t ( d ( t ) ) ，y o i n t ( d ( f ) ) ，u o = f ( 珈) ，t j o = t ) ，定义迭 代序列 ， ， ， ) 为； z n + l = 一g ( 靠) + 兄韶t - i ) 。p ( 日9 ( ) 一p a ( ，鼽) ) ，p 0 ， ( 3 3 3 ) 铷+ l = 一g ( 铷) + 兄嚣z 锄) ， ( 日9 ( 霉n ) 一a a ( z n ，) ) ，a 0 ， ( 3 3 4 ) 使得x n + 1 i n t ( d ( t ) ) ，+ 1 i n t ( d ( f ) ) ，t t l f ) ，t ( ) ，且满足 i i + 1 一“。( 1 + f 。) d 妒( 踟+ 1 ) ，f ( ) ) ，( 3 3 5 ) t k + 1 一t n l l ( 1 + ) d ( 丁( z 。+ 1 ) ，t ( z 。) ) ，( 3 3 6 ) 其中n = 0 ，1 ，2 ，一，p 0 ，a 0 定理3 3 1 设，7 ：x x x 为单值r l i p s c h i t z 连续算子，h , g ：x x 分 别为单值d ，一l i p s c h i t z 连续算子，且关于常数r ，口强咿增生，f ，t ：x c ( x ) 分别为南，一万一l i p s c h i t z 连续算子；a ：x x x 对应第一、二个变量