（基础数学专业论文）几类具有时滞和扩散的捕食被捕食模型的周期解.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 几类具有时滞和扩散的捕食被捕食模型的周期解 摘要 由于时滞和扩散现象在生态系统中是普遍存在的，因此用时滞扩散方程 描述捕食系统更符合实际。本文主要通过重合度理论和构造l y a p u n o v 函数的 方法研究具有连续和离散时滞的捕食扩散模型。具体工作如下： 首先，研究了一类具有无限时滞和离散时滞的l o t k a - v o l t e r r a 捕食扩散模 型。通过一个同胚变换将原模型化成一个等价模型；然后在给定的由周期解 构成的空间内，对等价模型适当的放缩以及利用最值原理给出了模型解的上 下界，并通过对解上下界的估计选取有界开集；于是在这个有界开集中利用 重合度理论得到了模型正周期解存在的充分条件；通过构造一个含有二重积 分的l y a p u n o v 函数，得到此模型正周期解全局稳定的充分条件。 其次，研究了一类具有时滞和h o l l i n g i i i 型比率依赖的捕食与被捕食扩散 模型。同样通过一个同胚变换将原模型化成一个等价模型，并对这个等价模 型两边积分；然后利用柯西施瓦兹不等式以及比较原理给出了模型解的上下 界；于是通过重合度理论得到此模型正周期解存在的充分条件；构造含有待 定系数的l y a p u n o v 函数，通过渐近方法选取适当的系数并利用b a r b a l a r t 引 理得到模型正周期解稳定性的充分条件。 最后，考虑放养对模型的影响，讨论了一类具有b e d d i n g t o n 功能反应和 放养的时滞捕食扩散模型。仍通过同胚变换将原模型化为等价模型；然后对 模型两边积分和适当的放缩；于是利用重合度理论得到了模型f 周期解存在 的充分条件；在证明周期解稳定性时，构造了含有两个待定系数的l y a p u n o v 函数，同样通过渐近方法选取适当的系数并利用解的有界性对y ( f ) 进行适当 的放缩，得到模型正周期解稳定性的充分条件。 通过对种群系统周期解的存在性，稳定性的研究可以更好地指导人们利 用自然，改造自然，这对于保持生态系统的多样性和生态环境的可持续发展 有着广泛的理论和现实意义。 关键词时滞；扩散；功能反应；周期解；全局稳定性 p e r i o d i cs o l u t i o n sf o rs e v e r a lk i n d so f p r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t hd i s p e r s a la n dt i m e d e l a y a b s t r a c t a st h et i m e - d e l a ya n dt h ep h e n o m e n o no fd i f f u s i o na r ew i d e s p r e a di nt h e e c o s y s t e m ，a n dt h e r e f o r et h ep r e d a t o r - p r e ys y s t e mi sd e s c r i b e dw i t ht i m e d e l a y d i f f u s i o ne q u a t i o n sm o r ei nl i n ew i t ht h ea c t u a l t h r o u g ht h ec o i n c i d e n c ed e g r e e t h e o r y a n dc o n s t r u c t i o nm e t h o do f l y a p u n o vf u n c t i o n ，s o m ed i f f u s i v e p r e d a t o r 。p r e ym o d e l sw i t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m e d e l a ya r es t u d i e di nt h i s p a p e r m a i lr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , ac l a s so fd i f f u s i v ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t hi n f i n i t ed e l a ya n d d i s c r e t et i m e d e l a ya r er e s e a r c h e d t h eo r i g i n a lm o d e li st r a n s f o r m e di n t oa n e q u i v a l e n tm o d e lt h r o u g hah o m e o m o r p h i s m t h e ni nt h eg i v e ns p a c ew i c hi s p o s e db yap e r i o d i cs o l u t i o n ，t h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so fs o l u t i o n sf o rt h e e q u i v a l e n tm o d e li sg i v e nt h r o u g ha p p r o p r i a t ez o o mt ot h ee q u i v a l e n tm o d e la n d t h ep r i n c i p l eo fb e s tv a l u e t h eo p e nb o u n d e ds e ti sc h o s e nt h r o u g ht h eu p p e r a n d l o w e rb o u n d so nt h es o l u t i o ne s t i m a t e d s o ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e db yt h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r yi n t h i so p e nb o u n d e ds e t s u 佑c i e n tc o n d i t i o n sf o r g l o b a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i c s o l u t i o na r eo b t a i n e db yc o n s t r u c t i n ga l y a p u n o vf u n c t i o nw h i c hc o n t a i na d o u b l ei n t e g r a l s e c o n d l y ，ac l a s so fd i f f u s i v ep r e d a t o r p r e ym o d e l sw i t ht i m ed e l a ya n d h o l l i n gi i if u n c t i o n a lr e s p o n s eb a s e do nt h er a t i oa r es t u d i e d t h eo r i g i n a lm o d e l i st r a n s f o r m e di n t oa n e q u i v a l e n tm o d e lt h r o u g hah o m e o m o r p h i s m a n dt h e e q u i v a l e n c em o d e li si n t e g r a l e do nb o t hs i d e s t h e nt h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d s i sg i v e nb yu s i n gt h ec a u c h y s c h w a r zi n e q u a l i t ya n dc o m p a r i s o np r i n c i p l e s o ， s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t m n e db yt h e c o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y al y a p u n o vf u n c t i o nw i t hc o e f f i c i e n t si sc o n s t r u c t e d i i s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a l s t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e db v u s i n gt h el e m m ab a r b a l a r ta n da p p r o p r i a t ec o e f f i c e n tw h i c hi sc h o s et h o u g h a s y m p t o t i cm e t h o d s f i n a l l y ，ac l a s s o fd i f f u s i v em o d e l sw i t h b e d d i n g t o nt y p ef u n c t i o n a l r e s p o n s e ，s t o c k i n ga n dt i m ed e l a ya r ed i s c u s s e dw h e nt h ei m p a c to fs t o c k i n gt o t h em o d e li sc o n s i d e r e d s t i l l ，t h eo r i g i n a lm o d e li st r a n s f 0 n n e di n t oa n e q u i v a l e n tm o d e lt h r o u g hah o m e o m o r p h i s m t h e nt h em o d e li s i n t e g r a t e do n b o t hs i d e sa n di sz o o m e da p p r o p r i a t l y s o ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dt o e n s u r et h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o nt h r o u g ht h ec o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y a l y a p u n o vf u n c t i o nw i t ht w oc o e f f i c i e n t si sc o n s t r u c t e dw h e nt h es t a b i l i t vo f p e r i o d i cs o l u t i o n si sp r o v e d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rg l o b a ls t a b i l i t yo f p e r i o d i c s o l u t i o na r eo b t a i n e dt h r o u g h z ( t ) w h i c hi sz o o m e da p p r o p r i a t l yb yu s i n gt h e b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sa n da p p r o p r i a t ec o e f f i e e n tw h i c hi s c h o s e nt h o u g h a s y m p t o t i cm e t h o d s t h er e s e a r c ha b o u tp e r s i s t e n c ea n d s t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sc a nb e u s e dt og u i d ep e o p l et om a k ef u l lu s eo ft h en a t u r ea n dr e m o l dt h en a t u r e t h o s e w i l lh a v ev e r ye x t e n s i v et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c et o m a i n t a i nt h e d 1 v e r s i t yo fe c o s y s t e m sa n dt h es u s t a i n a b l e d e v e l o p m e n to ft h ee c o l o g i c a l e n v i r o n m e n t k e y w o r d st i m ed e l a y , d i f f u s i o n ，f u n c t i o n a lr e s p o n s e ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t y 1 1 1 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文几类具有时滞和扩散的捕食被捕 食模型的周期解，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发 表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 王鹾日期：渤罗年年月舌日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 几类具有时滞和扩散的捕食被捕食模型的周期解系本人在哈尔滨理工大学 攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨 理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔 滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文 和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩 印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，e a s e年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 王目擘日期：函俨争月莎日 导师签名： 橇场 日期：函哆7 年年月雾同 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 1 1 综述 第1 章绪论 人们在研究种群灭绝的过程中，发现许多生物的灭绝都是栖息地先行破碎， 连续分布的种群裂成斑块状种群，然后逐一斑块种群灭绝，最后导致整个种群 灭绝。现实中，人们采取了许多有效的保护措施，如在不同类型的斑块之间建 造廊道，以利于种群的扩散( 迁移) ，建立了一些避难所或保护区以避免种群灭绝。 随着认识的不断深入，人们发现生态系统种群相互作用，不仅受当前状态 的影响，而且与过去的状态有关，存在着时间滞后的现象。因此时滞是一种不 应忽略的因素，讨论具有时滞和斑块间扩散的模型更能反映这种现象。当外界 因子发生周期性变化时( 如季节交替，食物供应等) ，生物种群的数量也会呈现周 期性的变化规律。因此，研究模型的周期正解具有非常重大的实际意义。 1 1 1 国内外在该方向的研究现状及分析 对自治斑块种群的研究要追溯到1 9 5 4 年s k e l l e m 的工作。1 9 7 4 年，l e v i n 提议建立斑块环境种群动力学模型【2 】；19 8 9 年，t a k e u c h i 考虑了一般单种群扩 散系统，证明了系统永久持续生存，并且存在唯一的全局渐近稳定的正平衡点【3 】。 关于扩散在捕食被捕食动力系统中也有很多研究。1 9 7 7 年，f r e e d m a n 研究了 两个斑块环境下的捕食与被捕食模型，用定性分析方法得到了该模型正平衡点 存在和唯一性的条件及其全局稳定性条件 4 1 ；1 9 8 4 年，h o l t 研究了两个斑块下 的捕食扩散系统，给出了最佳斑块分布对捕食者与被捕食者共存的影响【5 “】。关 于两种群扩散系统的研究还有很多【7 8 9 】。 随着研究的不断深入，人们开始关注时滞对种群持续生存的影响，并取得 了一些很有意义的成果。1 9 8 7 年，b e r e t t a 和t a k e u c h i 考虑了单种群时滞扩散模 型，证明了正平衡点的存在性和全局稳定性，并且证明了任意正平衡点的局部 稳定性【1 0 1 ；2 0 0 1 年，腾志东和陆征一考虑了同时具有离散和连续两类时滞的单 种群扩散模型，得到了系统永久持续生存的充分条件 1 1 。关于两种群的研究， 也有一些进展。1 9 8 1 年，l os h e n gd a i 提出了具有无穷时滞的l o t k a v o l t e r r a 捕 食系统，研究了系统周期解的问题【1 2 】；1 9 8 7 年，b e r e t t a ，t a k e u c h i 考虑了两种 群时滞捕食扩散系统，得到系统正平衡点的全局稳定性，h o p f 分支以及周期轨 道存在的充分条件【1 3 1 ；1 9 9 7 年，王稳地研究了具有扩散和时滞的捕食者与被捕 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 食者种群的渐近行为，给出了系统一致持久性和平衡点全局渐近稳定性的充分 条件【1 4 1 ；2 0 0 0 年，x u ，c h e n 研究了基于比率的具有扩散和时滞的捕食系统， 给出了解的一致持久性以及系统正平衡点全局渐近稳定的充分条件【1 5 】；2 0 0 5 年， 桂占吉，葛渭高研究了一类具有扩散和时滞的捕食与被捕食系统，证明了在适 当的条件下系统是一致持续的，并构造适当的l y a p u n o v , 函数获得了j 下平衡点的 局部稳定与全局稳定的充分条件【l6 1 。还有很多学者对两种群的捕食模型进行了 研究【1 7 _ 1 9 2 0 1 。对于多种群的研究，1 9 8 8 年，b e r e t t a 和t a k e u c h i 讨论了多种群 的时滞扩散模型，证明了解的有界性及全局渐近稳定性【2 1 1 。这期间自治的时滞 扩散模型得到了很好的发展【2 2 f2 3 2 4 2 5 1 。 然而，在现实环境中，自然界中许多种群的出生率、死亡率以及扩散率等 参数并不是固定不变的，而是一个与时间息息相关的变化量。例如候鸟的季节 性迁移，鱼儿的周期性洄游产卵等等。因此研究非自治时滞扩散种群生念系统 是非常重要的。对于非自治时滞扩散种群模型研究起始于2 0 世纪9 0 年代，近 年来达到了研究的高峰取得了很多研究成果。其中对于单种群非自治时滞系统 的研究也有很多文献。1 9 9 7 年，w a n g ，f e r g o l a 证明了单种群时滞扩散模型j ：_ f 周期解的存在性【2 6 】；2 0 0 7 年，k o u c h e ，t a t a r 通过重合度理论给出了单种群模型 正周期解存在的充分条件，并通过构造合适的l y a p u n o v 函数证明了周期解的唯 一性和全局渐近稳定性【2 7 1 。 关于扩散对两种群时滞系统的影响，国内外很多学者在这方面进行了大量 而又详细地研究。c h a p l a i n 等讨论了两种群在两个斑块下的周期解【2 8 】；19 9 8 年， 宋新宇，陈兰荪考虑了带有连续时滞的扩散捕食模型，证明了在适当的条件下， 渐近周期l o t k a v o l t e r r a 斑块系统是一致持久的，并通过构造合适的l y a p u n o v 泛函，得到了系统是全局渐近稳定的f 2 9 】；2 0 0 3 年，c h e l af e n g d e 等研究了具有 功能反应和时滞的捕食扩散系统，其中被捕食者在两个斑块间具有一定的扩散 能力，捕食者可以在两个斑块中任意走动，讨论了系统的一致持久性和周期解 的存在性以及全局吸引性【3 0 】；2 0 0 6 年，黄玉梅对一类含分布时滞和h o l l i n gi i 类功能反应的扩散模型进行了研究，得到了系统一致持久和其存在唯一全局渐 近稳定的周期解的充分条件【3 1 ；方涛，严建明利用重合度理论讨论了具有连续 时滞和比率型功能反应的非自治扩散竞争系统的正周期的存在性，得到了正周 期解存在的充分条件【3 2 l ；陈福来研究了斑块环境下具有扩散和放养的连续时滞 的l o t k a v o l t e r r a 竞争系统，得到了系统周期解存在性，唯一性和全局渐近稳定 性的充分条件【3 3 】；2 0 0 7 年，王海玲，周寿明研究了一类具有b e d d i n g t o n 型功能 反应函数的捕食被捕食时滞扩散模型，证明了系统在适当的条件下是持久的， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 并利用g a m e s 和m a w h i n s 的重合度理论得到了该模型正周期解的存在性【3 4 】；梁 桂珍讨论了当系数满足一定的条件时，具有连续时滞和h o l l i n gi i 类功能反应的 非自治捕食扩散系统的持久性，给出了系统周期解全局吸引的充分条件【3 5 l ；2 0 0 8 年，徐文雄， 张太雷等研究了一类具有多时滞的h o l l i n g i i 类功能反应非自治 捕食一被捕食系统，利用重合度理论得到了系统正周期解存在的充分条件，推广 了相关的已有结果【3 6 】。对于两种群的研究，还有很多结果【3 7 8 _ 吼辄4 1 1 。 近几年，关于多种群的研究也有一些成果。2 0 0 2 年，g o uqm 研究了三种 群带有m i e h a e l i s m e n t e n 型功能反应函数的捕食扩散模型，证明了系统是一致持 久的【4 2 】；之后李必文用重合度理论证明该模型存在周期解【4 3 】；2 0 0 3 年，柏灵， 王克利用重合度理论的延拓定理讨论了具有比率型功能反应的食物链系统周期 解的存在性问题，得到了保证周期解存在的充分条件】；2 0 0 4 年，陈兰荪等研 究了三种群时滞扩散模型的渐近行为【4 5 1 。 1 1 2 存在的问题及解决措施 国内外学者研究的模型大多数都是只具有一类时滞即离散时滞或连续时滞 的，而且大部分讨论的是只具有扩散项的捕食模型。本文讨论了三类具有离散 和连续时滞的功能性反应的捕食扩散模型。 利用重合度理论证明模型周期解存在性时，运用比较原理放缩时会遇到一 些问题，例如对解的有界性的估计和有界开集的选取，针对具体的问题可选用 不等式放缩及不等式特殊的性质，例如柯西一施瓦兹不等式及不等式变形。 在研究上述三个模型正周期解的唯一性和全局渐近稳定性时，利用渐近方 法构造l y a p u n o v 函数。 1 2 课题来源 本课题来源于导师的黑龙江省自然科学基金项目。 1 3 本文主要内容 1 3 1 具有时滞的l o t k a v o l t e l l r a 捕食扩散模型的周期解 1 9 8 1 年，l os h e n gd a i 提出了具有无穷时滞的l o t k a v o l t e r r a 捕食系统，研 究了系统周期解的存在性问题m 1 1 4 9 1 5 7 。1 9 9 9 年，z h a n gjr 和c h e n gls 研究了 具有扩散和时滞的非自治竞争系统的持久性，其中只有捕食者种群变化率的右 端含有时滞【3 舢1 9 。1 0 2 8 。2 0 0 6 年，刘振杰讨论了一类具有连续时滞的两种群相互作 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 用的l o t k a v o l t c r r a 周期系统，利用重合度理论给出了该系统正周期解存在的充 分条俐3 啪15 们”。本文受上述论文启发研究一类具有时滞的l o t k a v o l t c r r a 捕食扩 散模型 彳( f ) = 五o ) ( 毛( f ) 一a 。o ) 五o ) 一q ( t ) x l ( t f ) 一，i ( f ) 而o ) ) + d i 0 ) ( o ) 一五o ) ) 爱( f ) = 而o ) ( 乞( f ) 一a 2 ( f ) 而( f ) 一c 2 ( t ) x 2 ( t f ) ) + 0 2 ( f ) ( 五o ) 一x 2 ( t ) ( f ) = 屯o ) ( 一岛( f ) 一心( t ) x 3 ( t ) + r 2 ( t ) f t _ 。f ( t - s ) 五o ) 出) 其中五( f ) ，x 3 ( t ) 分别表示t 时刻被捕食者种群与捕食者种群在第一个斑块的密 度；x ，( f ) 是t 时刻被捕食者种群在第二个斑块的密度；d ，( f ) o = 1 ，2 ) 是被捕食者 种群五( f ) ，z ，( f ) 在两个斑块之间的扩散系数；r 表示种群幼仔成长到成年的时 间；t ( f ) ，a ，( f ) ，r j ( t ) ，c ，( t ) ( f = l ，2 ，3 ；= 1 , 2 ) 均为连续的严格的正周期函数；f ( s ) 是定义在( o ，0 0 ) 上的连续非负函数且满足r f ( s ) d s = l 。 j u 本文利用重合度理论讨论正周期解的存在性，并通过构造合适的l y a p u n o v 函数研究正周期解的唯一性，全局稳定性。 1 3 2 具有时滞和h o l l i n g i i i 型比率依赖的捕食扩散模型的周期解 2 0 0 2 年，苟清明和蒲志林研究了非自治比率型的l o t k a v o l t e r r a 扩散系统的 一致持久性问题，建立了新的判据【2 0 】2 7 睨8 0 。2 0 0 4 年，董士杰和葛渭高研究了一 类非自治比率型的l o t k a - v o l t c r r a 周期扩散系统的正周期解存在性问题，给出了 周期解存在的充分条件【3 9 】1 3 2 。1 4 1 。同年，黄玉梅等研究了一类非自治的含分布时 滞和斑块迁移的周期l o t k a - v o l t c r r a 竞争系统，对模型进行了定性分析，得到了 其正周期解一致持久性和全局渐近稳定性 4 0 1 4 4 2 喇5 。本文综合上述论文考虑一类 具有时滞和h o l l i n g i i i 型比率依赖的捕食扩散模型 石：(f)2_o)以-(f)一6l(f)xt(f)一m!(生t)端x 一屈( f ) j 二毛( s ) z - o + s ) 出 + 3 。( f ) + x i ( f ) “7 d o ) ( x ：o ) 一z 。0 ) ) x = x 2 ( f ) 以2 ( f ) 一b 2 ( f ) x 2 ( f ) 一织( f ) j - f e o 尼2 ( s ) x 2 ( h s ) 出 + d 2 ( t ) ( x l ( f ) 一石2 ( f ) ) z ；o ) = x ，( f ) 一口，( f ) 一如o ) z ，o ) + ：i 石忑a 2 ( i t 二) x _ , i 2 _ ( t _ - ：而r ) 一 ，”( f ) x 1 。( f f ) + x i ( f f ) 屈( f o f 后，( s ) x ，( hs ) 凼 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 其中而( f ) ，而( f ) 分别表示t 时刻被捕食者种群与捕食者种群在第一个斑块的密 度；x ：( f ) 是t 时刻被捕食者种群在第二个斑块的密度；皿( f ) ( f = 1 ，2 ) 是被捕食者 种群x l ( f ) ，x 2 ( f ) 在两个斑块之间的扩散系数；a i ( f ) ，包( f ) ，屈( f ) ( f = 1 , 2 ，3 ) ， d i ( f ) ，口，( f ) ( i = 1 , 2 ) ，m ( t ) 是连续的严格正周期函数；k i ( s ) o = 1 , 2 ，3 ) 是分段连续 函数并且rk ，( s ) d s = l ( f = 1 , 2 ，3 ) 。 j f 本文利用重合度理论讨论正周期解的存在性，并通过构造合适的l y a p u n o v 函数研究正周期解的唯一性，全局稳定性。 1 3 3 具有b e d d i n g t o n 功能反应和放养的时滞捕食扩散模型的周期 解 2 0 0 3 年，柏灵和王克利用重合度理论的延拓定理讨论了具有比率型功能反 应的食物链系统周期解的存在性问题，得到了周期解存在的充分条件m ”一。2 0 0 5 年，高建国利用重合度理论研究了一类具有离散和连续时滞及基于比率的捕食 系统周期解的存在性，得到了周期正解存在的充分性( 4 l 】3 1 5 啦o 。2 0 0 7 年，王海玲 研究了一类具有离散时滞和b e d d i n g t o n 功能反应的捕食扩散模型，得到了系统 周期解存在的充分条件【2 8 】5 3 7 巧6 0 。本文基于以上论文考虑一类具有b e d d i n g t o n 功 能反应和放养的时滞捕食扩散模型 x ：( f ) = x o ) 1 ( d 一口t ( f ) x - ( f ) 一i 石了： 三甚一 ，u 屈( f ) l 后l ( s ) x l ( f + s ) 凼】+ d l ( f ) ( 工2 ( f ) 一x l ( f ) ) + s l ( f ) x 2x 2 ( t ) r z ( t ) 一a 2 ( t ) x 2 ( t ) 一屈( f ) l 后2 ( j ) x 2 ( f + s ) 凼】+ 一u d 2 ( f ) ( x i o ) 一x 2 0 ) ) + s 2 ( f ) x ；( f ) = x ，o ) 一吒o ) 一以，( f ) z ，( f ) + i 石了j j i c 百2 _ ( 二t ) ；x 歹, ；( t 了- 石r 万) ；而一 屈( f ) ok 3 ( s ) x ，( h s ) 凼一塑坚盟一 肿) 一 ) 州h 蛐一而意萧靠丽1 x ：( t ) = x 4 ( f ) 一r 4 ( t ) 一a 4 ( f ) x 4 ( t ) 一p 4 ( t ) i ，k 4 ( s ) x 4 ( t + s ) d s + 产u c 4 ( t ) x 3 ( t f ) 1 办“) + x 1 ( f f ) + v ( t ) x d o f ) 。 其中x 沁) ，石( f ) ( f = 1 ，2 ；= l ，2 ) 分别表示被捕食者种群和捕食者种群的密度， _ ( f ) ，石：( f ) 分别表示被捕食者种群在斑块i 和i i 中的密度，而捕食者种群被限制 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 在斑块i 中不能扩散；x 3 ( t ) 以而( t ) 为食，x 4 ( t ) 以x 3 ( t ) 为食；如此相继捕食，形 成了一个生物食物链；d 以) o = 1 ，2 ) ，s ，( f ) ( f = 1 , 2 ) 分别表示被捕食者种群在斑 块i 或i i 中的扩散率及投放率；( f ) o = 1 , 2 ，3 ，4 ) 表示自然增长率； a i ( f ) ( i = l ，2 ，3 ，4 ) 表示密度制约函数；k i ( j ) o = 1 , 2 ，3 ，4 ) 是分段连续函数并且 f k ，o ) d s = 1 ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 。 本文讨论模型解的有界性，通过重合度理论研究该模型的正周期解的存在 性，并给出正周期解的唯一性，全局稳定性的充分条件。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 2 1 时滞微分方程的基本概念和基本定理 2 1 1 基本概念 一般的，称形如 朋f ) = f ( t , x , x ( 卜f ) ) ， to(2-1) i 石o ) = 伊( f ) ，t t o 的微分方程为非自治的时滞微分方程，称r 为时滞量。时滞量可以依赖于时间t 和现在的状态，因而记f = r ( t ，x ( f ) ) 。其中x ( t ) = ( ( f ) ，x e ( t ) ，( f ) ) 2 c ( n ，r ”) 。 若方程( 2 1 ) 所代表的是某种群生态现象的模型，本文假设模型( 2 - 1 ) 的所有 解满足如下初始条件 。 x i ( 臼) = 缈f ( p ) 0 一r , o ，f = l ，2 ，n ， ，、 伊，( 口) 0 ， 江1 , 2 ，n 、 为具体描述种群的不同生存状态，给出以下定义。 设z ，z + ，r ，r + 分别表示全体整数，全体正整数，全体实数和全体正实数所组 成的集合；r ”表示n 维欧式空问。 定义2 1 t 4 6 1 如果模型( 2 1 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的解x ( t ，够) = ( x l ( f ，妒) ，恐o ，妒) ， ，石。( f ，伊) ) 丁在r ：上存在且t ( f ，伊) 0 ( i = 1 , 2 9 0 9 n ) ，则称x ( t ，缈) 为模型( 2 1 ) 的正 解。 定义2 2 t 4 7 1若存在正常数m 和m 使得对模型( 2 1 ) 的任何正解x ( t ，伊) = ( 工l ( f ，) ，x 2 ( f ，缈) ，x 。( f ，缈) ) 都有t = 丁( 9 ) 0 ，使得m x i ( f ，缈) m 对一切t t 和江1 , 2 ，n 成立，则称模型( 2 1 ) 的解是持久的。 定义2 3 t 4 7 】9 0 7 如果对模型( 2 1 ) 的任何两个正解x ( f ，仇) = ( x l ( f ，仇) ，x ：( f ，吼) ，x 。( f ，仇) ) ( 尼= l ，2 ) 都有l i m ( x 心，仍) 一x i ( f ，缈2 ) ) = 0 ，对每个扛1 , 2 ，以，则 模型( 2 1 ) 的解是全局渐近稳定的。 设x ，】，是两个b a n a c h 空间。设m ：x - - y 是一个映射，用d o m m 表示m 的定义域，i i i l m 表示m 的值域，k e r m 表示m 的核，k e r m = 缸ix x ， m ( x ) = 0 ) 。 设，n cx 是x 的子空间，并且on = x 。用d i m n 表示的维数， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 c o d i m n 表示的余维数，即c o d i m n = d i m x d i m n = d i m n 。设集合q c x ， 磊表示集合q 的闭包，孢表示集合q 的边界。 定义2 4 4 8 1 设x ，】，是赋范向量空间，l ：d o m lcx _ y 为线性映射。如 果d i m k e r l = c o d i m i m l 0 ，存在万 0 ，对任意的五，x 2 1 ，满足i 五一恐i 0 ，始终存在万= 万( s ) 0 ， 使得对于任意的t l , t 2 【口，6 】，只要k - t 2 l 0 ( f = 1 , 2 ，3 ) 。 证明对任意s ， 0o = 1 , 2 ，3 ) ，由模型( 3 1 ) n - i 构造如下方程组 哈尔滨理工人学理学硕士学位论文 工：o ) = x l ( f ) ( 占i ( t ) 一a t ( t ) x l ( t ) 一c i ( t ) x i ( t r ) 一( t ) x 3 ( f ) ) + d l ( f ) ( x 2 ( f ) 一工l ( f ) ) + 占l x ：( f ) = x 2 0 ) ( s ：o ) 一口：( f ) x ：( f ) 一c ：( f ) x 2 ( f f ) ) + ( 3 - 3 ) d 2 ( f ) ( x l ( f ) 一x 2 ( f ) ) + 占2 x ；( f ) = x 3o ) ( 一占3 ( t ) 一a 3 0 ) x 3 ( f ) + 厂2 ( t ) i 。f ( s ) x lo s ) d s ) + 占3 设x ( t ) = ( x l ( f ) ，x 2 ( f ) ，x 3 ( f ) ) 是式( 3 - 3 ) 满足初始条件( 3 2 ) 的解，则x i ( f ) 0o = 1 ，2 ，3 ) 。若不然，不防设存在p 0 ，使( p ) = 0 ，且任意t ( o ，p ) ，x i ( t ) 0 ( i = 1 ， 2 ，3 ) ，则z ：( p ) = d i ( p ) z 2 ( p ) + 毛毛 0 。于是由连续性，存在万 0 ( 万 0 ，从而有而( p 一么) 0 ，t 0 。同理可证而( f ) 0o = 2 ，3 ) 。由于方程组( 3 3 ) 的解关于参数 ( i = 1 , 2 ，3 ) 是任意的，令f ，一0o = 1 , 2 ，3 ) ，得模型( 3 1 ) 的解石( f ) = ( 玉( f ) ，x z ( t ) ， x 3 ( t ) ) 满足( f ) 0o = 1 , 2 ，3 ) ，t 0 ，于是由模型( 3 一1 ) 及初始条件( 3 - 2 ) ，则可得 结论。证毕。 对模型( 3 1 ) 作同胚变换一( t ) = e 峨“( 扛1 , 2 ，3 ) 则模型( 3 1 ) 在变换下可化为 “：o ) = q ) 一a lo ) p “一c lo ) p “卜一1 ( f ) p l f 3 一d lo ) + d l ( f ) p ”2 一“- “； ) = s 2 ) 一口2 ( f ) p 沁一c 2o ) e “2 卜- d 2o ) + d 2o ) p “l 一“2 ( 3 4 ) “= - - s 3 ( z ) - a 3 ( f ) e 州f + 吃( f ) r f o ) e u , ( t - s ) d s 令x = y = 甜o ) = ( 甜i o ) ，扰2 0 ) ，“3 0 ) ) r c ( r ，r 3 ) i 咋( f + 缈) = 咋o ) ，i = 1 ，2 ，3 忖。( f ) ，“：( f ) ，甜，( f ) ) r = t m e o a x , o j | “。( f ) i + i 甜z ( f ) l + 卜，( f ) i ) ，则x ，】，在i i i i 范数下是 b a n a c h 空间。 设变换l：doml 1 3x - - - y l ( u 。( 吐u ：( f ) ，u 3 ( f ) ) 7 = ( “：( f ) ，u ：( f ) ，u ；( f ) ) 7 其中d o m l = ( “l ( f ) ，“2 ( f ) ，( f ) ) r c l ( r ，r 3 ) 。 n ：xjx qo ) 一口l ( f ) e 蝴一c lo ) p ”卜”一o ) p “，一d l ( f ) + d l ( f ) p 2 卜1 占2o ) 一口2 ( f ) p 2 一c 2o ) p “2 卜 一d 2o ) + d 2 ( f ) p 川叫2 一岛( f )