（机械制造及其自动化专业论文）基于duffing振子的低速重载设备故障诊断方法及应用.pdf

摘要 摘要 在现代钢铁生产企业中，作为生产工具的自动化设备无疑是最重要最关键 的，而钢铁生产设备中很大一部分是转速低、承受载荷大、间歇运动为主的低 速重载设备。这类设备结构复杂，自动化水平比较高，一旦突发故障，维修困 难。且维修成本很高，甚至会引起整个生产中断，造成巨大的经济损失。为了 提前发现早期的微弱故障信号，本课题主要研究了如何利用d u f f i n g 振子来检 测微弱特征信号。 本课题所做的工作主要包括以下几个方面： ( 1 ) 对d u f f i n g 振子检测微弱正弦信号的原理及方法做了理论及仿真研 究。同时在d u f f i n g 振子系统中引入自相关方法来检测微弱正弦信号的幅值， 提出了两种改进的幅值检测方法，并进行了仿真研究。 ( 2 ) 为了能够定量识别d u f f i n g 振子的相位图，本文提出了h u 氏不变矩 和欧氏距离两种指标的定量识别方法，并做了理论研究和仿真验证，并应用于 工程案例分析。 ( 3 ) 针对h u 氏不变矩的优越性，研究了h u 氏不变矩对相位图的自适 应检测方案，并将该方案用于分析实验数据和工程数据，验证了方案的有效性。 ( 4 ) 由于传统故障诊断方法不易发现工程实际中早期出现的复杂调制 信号，而d u f f i n g 振子具有对微弱信号敏感及对噪声的免疫特性，本文研究了 融合自相关和h i l b e r t 解调的d u f f i n g 振子检测微弱调制信号的方法，并将该方 法用于故障案例分析，有效检测出了故障特征信号。 关键词d u f f i n g 振子：定量识别；h u 氏不变矩：自适应检测；调制信号：低 速重载 a b s t r a c t a bs t r a c t t h ea u t o m a t i ce q u i p m e n ta sp r o d u c t i o nt o o l si nt h em o d e mi r o na n ds t e e l p r o d u c t i o ne n t e r p r i s e s ，i su n d o u b t e d l ym o s ti m p o r t a n ta n dc r i t i c a l a n dal a r g ep a r t o ft h ei r o na n ds t e e lp r o d u c t i o nf a c i l i t i e sa r el o w s p e e da n dh e a v y - - l o a de q u i p m e n t w h i c hi sl o w s p e e d ，h e a v yl o a d e da n dm a i n l yh a si n t e r m i t t e n tm o v e m e n t t h i st y p e o fe q u i p m e n th a sc o m p l e xs t r u c t u r ea n di sr e l a t i v e l yh i g hl e v e lo fa u t o m a t i o n o n c e t h e r ei sas u d d e nf a i l u r e ，t h em a i n t e n a n c ei sd i f f i c u l t y ，m a i n t e n a n c ec o s t sa r eh i g h ， a n di te v e ni n t e r r u p t st h ee n t i r ep r o d u c t i o n ，r e s u l t i n gi ne n o r m o u se c o n o m i cl o s s e s i no r d e rt od e t e c tt h ee a r l yw e a kf a u l ts i g n a li na d v a n c e ，t h em a j o rr e s e a r c ho ft h i s p a p e r i st h ea p p l i c a t i o no fc h a o t i co s c i l l a t o rt od e t e c tw e a ks i n u s o i d a ls i g n a l t h em a i nw o r ko f t h es u b j e c ti n c l u d e st h ef o l l o w i n g ： ( 1 ) r e s e a r c h e dt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fc h a o t i co s c i l l a t o ri nw e a ks i g n a l d e t e c t i o n i n t r o d u c t e da u t o - c o r r e l a t i o nm e t h o dt os t u d yh o wt od e t e c t t h e a m p l i t u d eo ft h es i g n a lu s i n gd u f f i n go s c i l l a t o r ，a n dp r o p o s e dt w oi m p r o v e dr e l a t i v e d e t e c t i v e m e t h o d s ( 2 ) i no r d e rt oj u d g et h ep h a s ep l a n ed i a g r a mq u a n t i t a t i v e l y ，h u sm o m e n t i n v a r i a n t sa n de u c l i d e a nd i s t a n c ew e r er e s e a r c h e db ys i m u l a t i o n a n dw e a k c h a r a c t e r i s t i cs i g n a lw e r ed e t e c t e ds u c c e s s f u l l yu s i n gt h et w om e t h o d s ( 3 ) a st h ea d v a n t a g e o fh u sm o m e n ti n v a r i a n t s ，h o wt oc o n d u c tt h e q u a n t i t a t i v ei d e n t i f i c a t i o no fc h a o t i cp h a s ep l a n ed i a g r a mw i t hi tw a ss t u d i e d ，a n d p r o p o s e dt h ea d a p t i v ed e t e c t i o ns c h e m e i t sf e a s i b i l i t yw a sv e r i f i e db ys i m u l a t i o n a n de n g i n e e r i n gd a t aa n a l y s i s ( 4 ) a sc o m p l i c a t e dm o d u l a t i o ns i g n a li sa l w a y sf o u n di ni n d u s t r i a lp r o d u c t i o n a n di t sd i f f i c u l tf o rt r a d i o n a ld e t e c t i o nm e t h o d st of i n dt h eh i d d e nf a u l ts i g n a l ，t h e d u f f i n g o s c i l l a t o rd e t e c t i v em e t h o d c o m b i n i n g w i t ha u t o c o r r e l a t i o na n d d e m o d u l a t i o nm e t h o dw a sr e s e a r c h e ds i n c ed u m n go s c i l l a t o ri ss e n s i t i v et ow e a k s i g n a la n di si m m u n i t yt on o i s e t w oe n g i n e e r i n gc a s e sw e r ea n a l y z e dw i t ht h i s m e t h o da n dt h ef a u l tc h a r a c t e r i s t i cs i g n a lw a se x t r a c t e ds u c c e s s f u l l y k e y w o r d s c h a o t i co s c i l l a t o r ；q u a n t i t a t i v ei d e n t i f i c a t i o n ；h u sm o m e n ti n v a r i a n t s ； a d a p t i v ed e t e c t i o n ；m o d u l a t i o ns i g n a l ；l o w - - s p e e dh e a v y - l o a de q u i p m e n t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 繇砰嗍纠毕 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：堑眸导师签名：互啤日期： 第l 章绪论 1 1 课题来源 第1 章绪论 本课题来源于对国内各大钢厂的设备故障诊断方法的研究，主要是针对设 备早期的微弱故障特征信号的提取，结合其他故障诊断方法在早期发现故障， 从而避免重大经济损失。其中的横向项目有与武钢的万点受控项目及宣钢、唐 钢等钢厂的合作项目，该课题需要对钢厂的在线监测系统采集到的数据及时分 析。同时，该课题受到国家自然科学基金项目“间歇性低速重载设备微弱特征 提取与早期故障诊断研究”( 编号：5 0 7 0 5 0 0 1 ) 和北京工业大学博士科研启动基 金项目“大型低速重载设备微弱特征提取技术研究”的资助。 1 2 课题研究意义 从2 0 世纪6 0 年代末开始，以美国海军研究室( o n r ) 主持创建机械故障 预防小组( m f p g ) 为标志，机电设备故障诊断作为一门科学，进入了有计划 的研究和应用阶段。经过国内外众多学者和工程技术人员的努力和探索，机电 设备状态监测与故障诊断技术在各国国民经济中发挥了重大作用，取得了显著 的经济效益和社会效益。如仅武钢股份有限公司自2 0 0 2 年开展以故障诊断技术 为核心的“万点受控工程”以来，主要生产设备事故及故障率由3 3 l 降至2 3 3 ，设备平均利用率由7 7 8 提高到9 4 3 2 ，近三年直接创造经济效益1 4 亿 元。我国在故障诊断技术方面的研究开展的比较晚，始于2 0 世纪7 0 年代末。 经过近三十年发展，一些高等院校和研究机构在故障诊断的理论研究和工程应 用方面取得了很大的进步，并研制出满足工程需求的监测诊断系统和设备仪器， 开发出专用的诊断软件，大大缩小了与发达国家的差距，在某些方面甚至达到 了国际先进水平。 。 我国是钢铁企业大国，随着工业化水平的逐步提高，钢铁生产设备的结构 越来越复杂，功能越来越齐全，自动化程度也越来越高。同时，随着国内现代 设备的日趋大型化、复杂化、自动化和连续化，低速重载设备起到了越来越重 要的作用，而低速重载设备一旦发生故障，给生产和质量以至人们的生命财产 安全造成的影响往往大的难以估算。为使设备保持正常运行状态所花的维修费 用在企业经营费用中也占了很大的比重，为使这一占有重要地位的设备维修工 作更加高效而科学，就必须对维修对象即设备的劣化、故障状态、故障部位及 其原因有正确的了解，这种要求推动了设备故障诊断技术的发展；同时，信息 传感技术、信号处理技术以及现代测试技术等相关学科的发展，特别是电子计 算机技术的飞速发展，为设备故障诊断提供了极大的技术支持，从而使上述需 北京工业人学- t 学硕十学位论文 要成为可能【lj 。 由于大型设备特别是低速重载设备的振动存在微冲击而不具有高速设备的 高频、强冲击特性，而在工程应用中能够可靠提取此种振动微冲击特征的技术 和仪器较少，对于大量存在的设备测点不能实现妥善的管理，从而导致低速重 载设备零部件出现破碎或断裂等故障隐患时，难以发现，恶性事故频频发生。 低速重载大型设备( 例如斗轮式堆取料机、水泥回转窑齿圈、工业挖掘机、 地铁隧道掘进机、水泥磨的传动设备、卸煤翻车机、螺旋输送机、港口卸船机、 门座式起重机、风力发电增速齿轮箱、高炉无料钟炉顶气密箱大型回转支承、 钢包旋转塔、和炼钢转炉等) 是现代工业的关键设备，若发生突发事故将会产 生连锁反应，严重影响企业的生产和经济效益。2 0 0 2 年1 2 月，武钢集团二炼 钢厂转炉耳轴上大型滚动轴承( 承载2 7 5 吨，转速为0 7 r r a i n ) 发生滚子破碎 和内圈断裂的严重故障，经过1 6 天抢修后恢复生产，直接经济损失为八百万 元。2 0 0 3 年4 月2 0 日，某厂高炉炉顶传动齿轮箱旋转电流升高，布料器多次 起停后，旋转电流均超标，检查发现大型回转支承轴承被压溃，高炉被迫停产 5 天，直接经济损失3 0 0 0 万以上。2 0 0 4 年1 1 月，武钢集团三炼钢厂钢包旋 转塔的大型回转支承( 承载1 2 5 0 吨，转速为l r m i n ) 严重故障无法继续使用， 更换一次需8 天时间，造成经济损失约为2 千万元j 。2 0 0 4 年1 2 月3 0 日， 某厂3 捍炼钢转炉北侧二次输入轴减速机鼓型齿接手齿全部打光，转炉失去控制， 钢水溢出造成两台渣罐车和部分钢轨烧损，此次事故导致停产4 天，直接经济 损失1 0 0 0 万以上。可见，对此类关键设备开展状态监测与故障诊断，已成为大 型企业( 尤其是冶金企业) 的迫切需求，也必将带来巨大的经济效益和社会效 益。 此类设备的突出特点是承载量大、工作转速低、运行工况呈典型的间歇性 且运行中承受较大的冲击载荷。如炼钢转炉空炉重达7 5 0 8 0 0 吨，炼钢时炉重 1 0 0 0 吨左右，转炉传动机构耳轴轴承工作转速为l r m i n ，轴承本身承受 的载荷已经很大，在兑铁水或加废铁时，还有很大的冲击载荷。大型回转支承 作为港口大型装卸机械和高炉无料钟炉顶气密箱等设备的核心部件，具有直径 大( d = 6 0 0 5 0 0 0 m m ) ，转速低( 1 2 r m i n ) ，载荷重( 旋转部分往往重达几十吨乃 至几万吨) ，能同时承受轴向力、径向力和倾覆力矩的特点1 2 j 。此类设备的维修 工期长、危险性大、费用高，而且存在不确定因素，易造成浪费。 1 3 低速重载设备的介绍 低速重载设备部件，如低速重载齿轮箱、滚动轴承等，广泛用于建材、冶 金、矿山等大型企业。它们原值高，许多是非标部件，订购货周期长，一般来 说企业不会储备备件；另外，它们的工况恶劣，短时超载严重，冲击荷载大， 第1 章绪论 这些特点决定了其故障发生率较高， 也会造成严重的经济损失【3 1 。因此， 非常重要。 甚至可能引发重大的安全事故，故障停产 对该类设备部件早期缺陷的故障诊断显得 目前，对大多数机械故障而言，基于振动信号采集分析的故障诊断技术被 认为是最可靠有效、且易于实施的。但是，低速重载设备局部损伤及由缺陷类 故障所引起的振动信号成分，其能量在信号总能量中所占比例很少，并且其频 率较低，容易淹没在设备正常工况的宽频振动信号及其他背景噪声等干扰信号 中而难以分离识别。由于早期缺陷故障引起的周期性微弱冲击响应和调幅信号 具有以上特征，从现有文献看，频谱分析( 包括细化谱、到频谱) 、冲击脉冲法、 时域指标分析( 如均方根值、峰值因子、峭度) 等诊断方法都受到了限制；虽 然包络解调分析( 包括共振解调) ，以及结合小波( 包) 信号分解重构具有的良 好时频细化分析特性，有一些低速重载齿轮箱、滚动轴承故障诊断上表现出较 好效果【4 8 j ，但在信噪比低、正常工况的宽频干扰信号幅值大的情况下，包括解 调谱仍无法有效识别故障特征频率谱线。 1 4 混沌振子在故障诊断中的应用概况 自从1 9 6 3 年美国气象学家l o r e n z 通过对大气对流运动的实验研究，提出 了一组耦合非线性微分方程( 后来被称为l o r e n z 奇异吸引子) 来描述混沌过程 以后，许多来自不同学科的科学家和工程师都对混沌现象表现了极大的兴趣。 从开始的对混沌现象的定性研究，到后来f e i g e n b a u m 发现普适常数之后，又进 入到定量分析阶段。经过多年的研究，将混沌理论应用在一些其它领域，例如 混沌控制，图像压缩，保密通信，市场预测，信号检测等。混沌理论用于信号 检测是2 0 世纪9 0 年代刚兴起的一个崭新的研究领域p j 。 国外，d o n a l dl b i r x 和s t e p h e nj p i p e n b e r g 等人对混沌振子结合c m f f n s 用于噪声背景下信号的检测和分类进行了初步的研究l i ，并试图用神经网络来 解释混沌系统，给了我们混沌应用的启示，但他们仅仅呈现了这样的想法。b o b x l i 和s i m o nh a y k i n 利用混沌和神经网络理论检测海杂波中的微弱雷达目标信 号【l ，给出了些简单的实验结果。c h a n c em g l e n n 和s c o t th a y e s 介绍了利用混 沌轨迹的微扰控制检测微波系统中的微弱信号的方法【i 引。 以上学者的研究工作比较着重于混沌模型的建立与混沌信号或混沌噪声背 景下的信号的处理。 国内，北京师范大学的裴留庆等人在对混沌同步系统频率特性的研究基础 上，指出其各个频段具有不同的信息处理功能，其中一个频段对输入信号具有 放大功能，并用来检测噪声中的正弦信号【l3 | 。浙江大学的王冠宇等人利用混沌 振子的阵发混沌现象检测超声信号的频率4 d5 1 ，并指出了混沌振子检测系统具 有很高的信噪改善比。华中理工大学的何建华、杨宗凯等人将混沌理论和神经 网络结合起来用于探测淹没在混沌噪声中的瞬态水下激光目标信号【l 酬，同时也 指出了白噪声对其检测系统的影响较大。河北工业大学的吕志民等人利用混沌 北京工业大学工学硕卜学位论文 信号检测原理对轴承进行故障诊断【l ，即检测某一频率信号的存在。燕山大学 的姜万录、张淑清等人利用混沌系统的阵发现象来进行齿轮的故障诊断【l8 1 。西 安交通大学的赵向阳等人基于d u f f i n g 方程参数敏感性提取谐振型传感器的频 率取得一定成果，并提出了柔性测量的概念【l 圳。这些文献报道的都是将d u f f i n g 振子应用在正弦信号频率的测量上。 王冠宇等人在对d u f f i n g 振子信号检测方法在频率测量方面做了初步的研 究工作后，又利用统计原理对幅值和相位的检测进行了研究【2 叭2 2 】，但仍处于探 索阶段。长春大学和吉林大学的聂春燕、李月等人利用混沌检测理论来处理薄 油气储层中的微弱信号，并对混沌系统检测方波信号的幅值做了一些研究【2 3 _ 2 6 1 。 但到现在为止，利用混沌检测系统，还没有一种更好的测量幅值和相位的方法。 对于d u f f i n g 振子相位图的变化情况，通常都是人眼来判断，这是一种直 接的定性的方法，不便于实现计算机的自动化。本课题研究了相位图的定量识 别方法，并与李强提出过的二维近似熵方法进行比较。同时，由于钢厂存在较 多的大型低速重载设备，对采集的微弱调制信号如果能够在早期发现并作出故 障诊断结论会减少重大经济损失，本课题研究了基于d u f f i n g 振子的调制信号 分析，并对工程案例进行了诊断分析。 1 5 本文的研究内容及结构 围绕d u f f i n g 振子在低速重载设备故障诊断中的应用，本文主要开展了下 述研究工作： ( 1 ) 对d u f f i n g 振子模型进行了简单的仿真，并详细介绍了d u f f i n g 振子 检测正弦信号的基本原理及方法，仿真分析了不同因素对检测方法的影响。针 对某个频段范围内的未知频率信号，介绍了采用混沌振子阵列的方法进行检测。 当该频率的信号被检测存在的情况下，探讨了两种检测信号幅值的新方法，并 进行了比较。 ( 2 ) 针对d u f f i n g 振子的相位图识别，提出了两种新的定量识别方法， 并与李强的二维近似熵进行比较，得到h u 氏不变矩方法的优越性，并用该方 法对试验台数据进行了分析。 ( 3 )发现了采样频率和检测频率之间必须满足5 0 倍以上的关系。针对 之前提出的h u 氏不变矩方法，为了能够在实际中实现自适应检测，分析了各 个参数对h u 氏不变矩的影响规律，并提出了利用h u 氏不变矩的d u f f i n g 振子 自适应检测方案。 ( 4 ) 针对d u f f i n g 振子检测信号的局限性，本文研究并提出了融合自相 关和h i l b e r t 解调的d u f f i n g 振子检测微弱调制信号的方法，对该方法做了仿真 分析和实际应用。 ( 5 ) 将以上方法应用于现场数据的案例分析，得到的结论与实际相吻 第l 荦绪论 合，从而验证了方法的有效性。 论文的总体安排如下： 第一章提出了本课题的研究意义，并介绍了国内外相关研究概况。 第二章首先介绍了d u f f i n g 振子的基本原理，分析了应用d u f f i n g 振子来检 测微弱正弦信号的原理和方法，并仿真分析了噪声、异频信号等对混沌振子检 测的影响。然后分析了间歇混沌产生的原因并用混沌阵列来检测未知频率的信 号。当信号的频率检测出来以后，探讨了两种检测该频率信号幅值的新方法。 第三章首先提出了两种定量识别d u f f i n g 振子相位图的新方法，然后将这 种方法和二维近似熵进行了比较。 第四章讨论了利用混沌振子检测信号时采样频率与待检频率之间需要满足 的关系，并仿真分析了各个参数对h u 氏不变矩的影响从而实现对d u f f i n g 振子 相位图的自适应检测。 第五章提出了融合自相关和h i l b e r t 解调的d u f f i n g 振子微弱调制信号的检 测方法，做了相关仿真分析，最后用于实际工程数据分析。 第六章是应用d u f f i n g 振子结合其它相关方法进行实际工程案例分析，主 要是钢厂棒材轧机的轴承和齿轮故障分析。 第2 章d u f f i n g 振子实现微弱正弦信号的检测 曼! 皇苎鼍曼皇鼍曼! 曼! 皇曼皇曼! 皇曼寰- 一 e me l e e i i i ! 曼! ! ! ! 皇! 蔓! 鼍曼! ! 皇曼曼曼! 皇曼曼曼曼曼曼 第2 章d u f f i n g 振子实现微弱正弦信号的检测 混沌现象是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它是既普遍存在又 极其复杂的现象。它的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状 态：静止( 平衡) 、周期运动和准周期运动，而是一种始终限于有限区域且轨道 永不重复、性质复杂的运动。混沌运动模糊了确定性运动和随机运动的界限， 它具有不可重复性，局部不稳定而整体稳定，对初值具有强的敏感性等性质1 2 7 】。 混沌科学和量子力学、相对论并称为2 0 世纪人类三大科学成就。但是，究 竟什么是混沌，至今还没有一致的严格的定义。1 9 7 5 年李天岩和j y o r k e 在美 国数学月刊上联合发表的一篇短文周期3 蕴含混沌，第一次引入“混沌 概念( 英文c h a o s ) 。该文指出，对于闭区间上连续函数( x ) ，如果满足下列条 件，便称它有混沌现象【2 8 】： ( 1 ) 厂的周期点的周期无上界。 ( 2 ) 厂的定义域包含有不可数子集s ，使得 ( a ) 对于任意两点x ，y s ，都不会有l i m 驴”g ) 一厂”) ) = 0 ； ( b ) 对于任意两点x ，y s ，都存在正整数列以l 门2 玎3 仇 ( - o6 6 4 ) ，虽然有 噪声影响，振子仍发生了由混沌向大尺度周期状态的相变，如图2 - 4 ( d ) 、( e ) 所示。当噪声方差增大至04 9 时，在强烈噪声的影响下，振子的大尺度周期状 态发生了较大的波动，仅靠目测己不可分辨，如图2 _ 4 ( f ) 所示。即便如此， 根据式( 2 4 ) ，在图2 - 4 ( e ) 中，混沌振子可检测的信噪比已达到- 4 41 6 3 d b 。 综上所述基于d t t f f i n g 方程构建的混沌振子微弱信号检测模型对噪声具 有一定程度的免疫力，而对与内部周期摄动力频率相同的外加微弱周期信号则 具有较高的敏感性。同时，图2 1 4 ( f ) 所示是一种无明显规律的阵发混沌现象， 目澜阿知振子未发生相变，如果按理想情况分析就会得出输入信号中不存在频 率为乱= 6 0r a d s 的微弱周期信号的错误结论。因此。仅依靠目测进行混沌振子 相位图的相变识别往往会限制混沌振子的检测效果，在应用基于d u f f i n g 振子 的微弱信号检测中，相变的判断需要一种客观、准确和快速的量化测度。下一 章将对各种量化测度进行详细阐述。 囤 斓 ? _ r f 下? c a ) j 2 = 0 0 1 ，e = 0( b ) 口2 = 0 2 5 ，e = 0 黼j 口 c ) 口2 = 0 4 9 f = 0( d ) o - 2 = o0 1 f = 0 0 0 6 ( e ) 口2 = 0 2 5 ，e = 0 0 0 6( o 口2 = 0 4 9 ，e = 0 0 0 6 图2 * 4d e m n g 振于对噪声和古噪信号的响应相位图 f i 胛 e2 * 4r e s p o n d i n g p h a s e p l a n e d i e g r a m o f d u f i 日n g o s c i l l a t o r f o r n o i s e a n ds i 目r 1 8 l i n c l u d i n g n o l s e ( 2 ) 异频信号对检测的影响 前文介绍了通过混沌振子相位图的变化可以检测与系统内部周期摄动力 频率相同的徽弱周期信号，并分析了噪声对检铡效果的影响。下面讨论与振子 内部周期摄动力的频率不同的外加周期信号对振子状态变化的影响。 首先，假设待酒信号中不吉有与振子内部周期摄动力频率相同的周期成分， 即特测信号加入振子后不会由于同频周期成分的存在而引发相变。令振子内部 周期摄动力的频率= 6 0r a d s 、幅值五( = 0 6 4 ) r ( o6 6 4 ) ，振子处于丈尺度周期 状态，如图2 - 3 ( f ) 所示。将e = 00 3 ，口= 0 ，q 分别等于5 9 r a d s 、6 1 r a d s 、 l r a d s 和l o o r a d s ； 只= 0 l ，0 = 0 1 分别等于5 9 r a d s 、6 1 r a d s 、l r a d s 和 l o o r a d s ； = 0 6 ，日= 0 ，m 1 分别等于5 9 r a d s 、6 1 r a d s 、l r a d s 和l o o r a d s 的三组微弱周期信号加入振子，结果如图2 - 6 、2 - 7 和2 - 8 所示。 15 1 05 c _ o5 1 21 岛 ( a ) m i = 5 9 r a d s( b ) q = 6 1 r a d s ，：宝。舶 ! ：! ：尘l i i ：i 塑：塑：i 罂 ( a ) o ，= 5 9r a d b 囝 ? 彳1 _ f 1 ( c ) - = l r a d s( d ) n = l o or a d s 图2 - 7 音特测频率、丘= 0 l 时d u f i 5 n g 撮于对异频信号的响应相位圈 f i 霉鹏2 4 陆p o l l d 吨p h a s e p l a n e d i 孵 a m o f d u m n go s c i l l a t o r d i f f e r e n t 岫呲r 啊s 培i l a l w h e n t o - b e - d e t e a e d f i e q u e n , ：ys i g n a l i s i n c l u d e d a m d p a r a m e t e r 只缸0 1 ”，帖。：；。舭 ! ：茎三些i ；茎三茎堡圭茎塞耋耋 图j 国 ( a ) q = 5 9 r a d s( b ) q = 6 1 r a d $ 固 ( c ) q = 1 r e d s( d ) q = 1 0 0 r a s 图2 罐古待测频率、e = 0 6 时d u r i n g 振子对异额信号的响应相位图 f i g u r e 2 - sl k p o n d