（系统分析与集成专业论文）网络化系统的鲁棒控制及群体行为研究.pdf

摘要 本文研究了离散网络化控制系统( n c s s ) 的镇定、鲁棒控制以及数字网络 下群体的行为。 第一，研究了基于打包的网络化系统的镇定。对输入输出数据均打包的离散 网络化系统的控制器进行了设计，对相应的闭环系统的稳定性进行了分析，证明 了观测器与增广系统状态反馈的设计满足分离原理。利用线性矩阵不等式方法给 出了控制器的设计。 第二，对于离散不确定网络化系统，在传输数据随机丢失的情况下，分别研 究了利用状态反馈和基于观测器的估计状态反馈的鲁棒日o 。控制问题。利用线性 矩阵不等式方法，设计了鲁棒日o 。控制律，它们不仅保证了相应的闭环系统的鲁 棒随机稳定性，还保证了闭环系统具有各自的性能指标。给出的例子说明了所给 设计方法的有效性。 第三，研究了具有非线性扰动和随机不确定性的网络化控制系统的鲁棒镇定 问题。在假设数据丢失过程是一个独立同分布过程的情况下，将网络化控制系统 建模成离散时间随机切换系统。通过构造随机l y a p u n o v 函数，得到了n c s 在均 方意义下鲁棒渐近稳定的充分条件。 第四，研究了数字网络下一维动态群体的队形控制。网络中的每个成员都是 一个连续时间的动力学系统，而它们之间通讯网络是用一个无向图来刻画的。在 不考虑时延的情况下，利用图论中的一些基本结论及j u r y 判据，给出了群体实 现一致性稳定的充分条件。在假设数据传输存在时延的情况下，主要利用线性矩 阵不等式的方法，给出了群体达到一致性的充分条件。数值例子说明了结论的有 效性。 最后，研究了二维情形下群体的集体行为。同样假设成员之间是通过数字网 络进行相互通讯的。基于图的l a p l a c i a n 矩阵的性质及j u r y 判据，分别在没有领 导者和存在虚拟的不动的领导者的情况下，给出了一致性稳定的条件。对于不同 的情况分别给出了仿真数例。 关键词：网络化控制系统，鲁棒控制，线性矩阵不等式，时滞，群体，队形 控制，一致性稳定 a b s t r a c t t h i st h e s i si n v e s t i g a t e ss o m es t a b i l i t ya n dr o b u s tc o n t r o lp r o b l e m so f n e t w o r k e d c o n t r o ls y s t e m s ( n c s s ) ，a n ds o m eb e h a v i o ro fs w a r mu n d e rd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n n e t w o r k f i r s t l y , t h es t a b i l i t yo fn e t w o r k e ds y s t e mb a s e do nd a t ap a c k e di ss t u d i e d f o r d i s c r e t en e t w o r k e ds y s t e mw i t hi n p u ta n do u t p u td a t ap a c k e d ，w ep r e s e n tad e s i g n o fa c o n t r o l l e r ，a n da n a l y s i st h es t a b i l i t yo ft h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m s i tw a sp r o v e dt h a tt h ed e s i g no ft h eo b s e r v e ra n dt h es t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ro f t h ea u g m e n t e ds y s t e ms a t i s f i e ds e p a r a t i o np r i n c i p l e t h ec o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e r i sg i v e ni nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s s e c o n d l y , f o rd i s c r e t en e t w o r k e ds y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e s ，s u b j e c t t ot h e d r o p o u to ft r a n s m i t t e dd a t aw ec o n c e r nw i t ht h er o b u s th c o n t r o lu s i n gs t a t e f e e d b a c ka n de s t i m a t e ds t a t ef e e d b a c kb a s e do na no b s e r v e r ，r e s p e c t i v e l y b ym e a n s o fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t h er o b u s t 比c o n t r o ll a wi sd e s i g n e d t h e c o n t r o l l e r sg u a r a n t e et h er o b u s ts t o c h a s t i cs t a b i l i t yo ft h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d - l o o ps y s t e m sw i t hp r e s c r i b e dp e r f o r m a n c el e v e l t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e d d e s i g na p p r o a c ha r ei l l u s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e t h i r d l y , t h er o b u s ts t a b i f i t yp r o b l e mf o rd i s c r e t es y s t e mw i t hs t o c h a s t i ca n - c e r t a i n t i e sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n si ss t u d i e d u n d e rt h ea s s u m p t i o no fd a t a d r o p o u tb e i n ga ni d e n t i c a l l yi n d e p e n d e n t l yd i s t r i b u t e dp r o c e s s ，t h en e t w o r k e dc o n - t r o ls y s t e mi sm o d e l l e da sas t o c h a s t i cs w i t c h i n gu n c e r t a i ns y s t e m b a s e do na s t o c h a s t i cl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sw h i c he n s u r et h er o b u s t a s y m p t o t i cs t a b i l i t yi nt h em e a ns q u a r ea r eo b t a i n e d f o u r t h l y , w ei n v e s t i g a t eaf o r m a t i o nc o n t r o lf o rd y n a m i c a la g e n t si nd i 百t a l c o m m u n i c a t i o nn e t w o r k e a c ha g e n ti nt h en e t w o r ki sd e s c r i b e db yac o n t i n u o u s - t i m ed y n a m i c sa n dt h ec o m m u n i c a t i o nn e t w o r ki sd e s c r i b e db yau n d i r e c tg r a p h i i j w h e nt h e r ei sn ot i m e - d e l a y , w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa g e n t sa c h i e v i n g c o n s e n s u ss t a b i l i t yu s i n g8 0 m ep r o p e r t i e so fg r a p ht h e o r ya n dj u r yc r i t e r i o n u n - d e rt h ea s s u m p t i o no ft i m e - d e l a yd u r i n gd a t at r a n s m i s s i o n ，w eg i v et h es u f f i c i e n t c o n d i t i o no fa g e n t sa c h i e v i n gc o n $ e u s n ss t a b i l i t yu s i n ga p p r o a c ho fl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa l ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s s o fo u rr e s u l t s f i n a l l y , c o l l e c t i v eb e h a v i o ro ft w o - d i m e n s i o nm u l t i - a g e n ts y s t e mi ss t u d i e d 、阮 a l s oa s s u m et h a tt h e ya r ec o m m u n i c a t e dt h r o u g hd i g i t a ln e t w o r k e d b a s e do nt h e p r o p e r t i e so fl a p l a c i a na s s o c i a t e dw i t ht h eg r a p ha n dj u r yc r i t e r i o n ，w eg i v et h e c o n d i t i o n so fe o u s e n s n ss t a b i l i t yf o rt h ec a s e 8o fn ol e a d e ra n de x i s t i n gav i r t u a l i m m o b i l el e a d e r ，r e s p e c t i v e l y n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep r o v i d e df o rt h ed i f f e r e n t c a s e s k e y w o r d s ：n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m ，r o b u s tc o n t r o l ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l - i t y , t i m e - d e l a y , s w a r l n ，f o r m a t i o nc o n t r o l ，c o n s e n s u ss t a b i l i t y l v 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，。本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名： 日期： 洽珲争 磁u 印 导师签名：黼 日期：一 舢护 第一章绪论 1 1 鲁棒控制及网络化控制系统研究概述 2 0 世纪6 0 、7 0 年代，状态空间、能控性和能观性概念的形成是现代控制理论 的重要突破。状态空间的理论包括能控性、能观性判据，反馈镇定的极点配置定 理和输入输出模型的状态空间实现理论等等。它连同最优控制理论和卡尔曼滤波 理论一起，使现代控制理论形成了严谨完整的理论体系，并且在宇航和机器人控 制等应用领域取得了惊人的成就。但是，这些理论要求系统的模型必须是已知 的，而大多实际的工程系统都运行在变化的环境中，要获得精确的数学模型十分 困难。到了1 9 7 2 年，“鲁棒控制”这个术语在控制理论的文献中首次出现，但 是对于它的精确定义至今还没有一致的说法。其主要分歧就在于对于摄动的定义 上，摄动分很多种，是否每种摄动都要包括在鲁棒性研究中呢? 尽管存在分歧， 但是鲁棒性的研究并没有因此受到阻碍，其发展势头有增无减。在过去的几十年 中，鲁棒控制一直是国际自控界的一个研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系 统在一定( 结构，大小) 的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到 的控制器称为鲁棒控制器。 由于工作环境等因素的变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际过程的动 力学精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以 说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个控制器，使具有不确定 性的对象在它的控制下满足某些控制品质，这就是鲁棒控制。 鲁棒控制理论发展到今天，已经形成了很多引人注目的理论。在各种鲁棒控 制系统设计方法中，2 0 世纪8 0 年代起逐渐发展起来的三k 控制理论是目前解决 鲁棒控制问题比较成功而完善的理论体系，而且已经出版了一些很好的教材与专 著【7 ，1 7 ，1 8 ，2 4 ，2 7 ，4 2 ，5 3 ，6 1 】。加拿大学者z a m e s 6 9 】在1 9 8 1 年首次提出了这 一著名理论。他考虑了对于一个单输入单输出系统的控制系统，设计一个控制 器，使系统对于扰动的反映最小。在他提出这一理论之后的2 0 年里，许多学者 1 发展了这一理论，使其有了更加广泛的应用。另外还有一些关于鲁棒控制的理论 如结构异值理论和区间理论等。 鲁棒控制理论研究的问题包括控制系统的鲁棒性分析和鲁棒性综合两个方 面。在鲁棒性分析方面，研究的是系统在各种不确定情况下，受扰后的鲁棒稳定 性和鲁棒性能分析。鲁棒性综合即鲁棒控制器设计问题，是基于鲁棒性分析得到 的结果来设计鲁棒控制器，使得系统在不确定性的扰动作用下。仍能保证系统鲁 棒稳定，并满足期望的鲁棒性能要求。鲁棒控制理论的研究对象有连续( 离散) 时 间线性系统 6 2 】，时滞系统【2 0 ，2 1 ，4 4 】，非线性系统 17 】，广义系统【1 2 ，4 1 】等。 在时域内研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论工具是 l y a p u n o v 稳定性理论。早期的结果大多是利用r i c c a t i 方法处理【4 7 ，5 l 】，它将 系统的鲁棒分析和综合问题转化为一个r i c c a t i 型矩阵方程的可解问题。通过 解r i c c a t i 方程，给出系统具有鲁棒性能的条件和鲁棒控制器的设计方法。尽管 r i c c a t i 方程处理方法可以给出控制器的结构形式，便于进行一些理论分析，但在 使用这种方法时，需要事先确定一些待定参数，这些参数的选择不仅会影响到结 论的好坏，而且还会影响到问题的可解性。现有的r i c c a t i 方程处理方法中，还 缺乏找这些参数最优值的方法。参数的人为确定给分析和综合结果带来了很大的 保守性。早期的鲁棒控制研究中，多采用这种方法( 5 6 ，6 5 】) 。 2 0 世纪9 0 年代初，随着求解凸优化问题的内点法的提出，线性矩阵不等 式( l m i ) 理论及方法受到了控制理论界的广泛关注，并成功地应用于控制系统的 理论分析和设计中。许多鲁棒控制的分析和设计可以转化为求解一个或一组线 性矩阵不等式的问题( 可行性问题，凸优化问题或广义特征值问题) 。l m i 方法克 服了p d c c a t i 方程处理方法的很多不足，尤其是1 9 9 5 年m a t h w o r k s 公司推出的 m a t l a b 的l m i 工具箱，极大地方便了线性矩阵不等式的求解，进一步推动了 线性矩阵不等式在系统和控制领域中的应用。 在分布式控制系统中，传感器、控制器、执行器等通过实时通讯网络 构成的闭环反馈控制系统f 6 ，7 0 ，称为网络化控制系统( n e t w o r k e dc o n t r o l s y s t e m s ，n c s s ) 。与传统的点对点结构的系统相比，n c s 具有成本低、易于信息 2 共享、易于扩展维护、灵活性大等优点，因此近几年来被广泛应用于工业控制 中。但是在闭环反馈控制中加入网络传输之后，使得在分析和设计网络控制系统 中运用经典的结果变得很困难，原因在于传统的控制理论中的许多理想化的假设 不再适用于n c s 2 0 ，3 0 ，3 2 ，6 2 ，而且由于网络通讯带宽和承载能力有限，数据 的传输不可避免地存在网络诱导时延、丢包等问题。 目前，在设计控制器时，考虑时滞存在的情况比较多，而针对网络控制系统 的扰动，数据包丢失，多通道传输等情况比较少。对于时滞的情况，控制器的 设计许多文献采用的是l m i 方法【1 5 ，6 3 ，6 4 ，7 1 】对于数据包丢失的情况，文献 7 0 】把具有数据包丢失的网络控制系统建模成带有事件率约束的异步动态系统； 文献 6 6 】利用迭代方法把允许有限个数据任意丢失的网络控制系统建模成切换系 统，其中被控对象是离散时不变系统；文献【3 2 】研究了离散时间网络控制系统的 能量谱密度，其中把数据丢失过程看成是独立同分布过程。 正如前面所述，工程实际控制问题中往往存在时滞和不确定性。而时滞的存 在往往会降低系统的性能甚至引起系统不稳定。因此，有关带有时滞的不确定系 统的鲁棒稳定性和鲁棒镇定问题受到了很大的关注【8 ，9 ，2 0 ，3 8 ，3 9 ，7 2 】。然而， 到目前为止，关于网络环境下不确定时滞系统的研究成果还很少。 1 2群体运动行为研究概述 群体( s w a r m ) 原是生态学中经常使用的一个普通名词。在其它科学领域也使 用这个名词，例如，在计算方法中有所谓s w a r m 算法。在复杂适应系统( c a s ) 理 论中，s w a r m 作为一个系统仿真的软件工具集被广泛使用。近年来“群体”作 为一个专用科学词汇频频出现在系统科学，特别是在控制科学的许多文献中 【1 4 ，1 9 ，5 9 ，6 0 1 。目前群体已成为系统科学、控制科学的一个重要的概念，对群 体的研究已经成为一个新的研究领域。群体是由许多成员组成的复杂系统。在自 然界。有病毒、细菌群体、蝗虫群、蜜蜂群、蚁群、鱼群。城市生活中，有车辆 群。竞技场上，有不同类型的运动员团队。在军事行动中，兵团、军、师、团等 在战场上的活动中就是一个群体，它的成员可以是一个班、一个排或士兵。用系 3 统科学研究群体时，群体中的成员或个体( m e m b e r ，a g e n t ) 被描述为一个简单的 动力系统，群体中每一个成员具有一定自主活动能力，群体中的成员之间以某种 拓扑结构实现相互通讯。每一个成员通过通讯系统获得其他成员的运动信息，或 直接获得领导的指令( 控制) ，然后对自身的运动做出决策。每个成员的运动最终 会影响到整个群体的行为。群体行为的研究与群体的协调控制是两个不同而又密 切相关的研究课题。对群体的研究，看重的是它的整体行为，而( 可以) 忽略个别 成员或少数成员的“越轨”行为。虽然每个成员仅具有简单的动力性质，也可能 具有某种简单的自主决策能力，但只要群体的各成员之间具备某种通讯联系，即 使这种通讯联系是很脆弱的，整个群体也可能涌现出某些奇特的整体行为，表现 出一些智能特征，甚至能表现出高级的智能特征。因此我们说，群体和群体行为 是一类典型的复杂系统。群体的行为可分两种类型：自治的群体和受控的群体。 对某些工程群体，自然群体，社会群体，系统科学家用定量的方法建立群体 行为的数学模型，并研究如何对这些群体实施有效的控制，使整个群体涌现出我 们所期望的群体的行为，或我们所力求避免的群体的行为。这对预防某些病毒、 疾病的传播及控制交通运输网络系统中车辆使之合理运行等有很大的指导意义。 系统科学家也可以指导工程师或某领域专家设计、制造( 人工的) 群体的成员，使 它们具有所期望的动力学性能，并合理组织群体的通讯结构，使该群体具有很好 的协调能力，具有期望的集体行为。例如，制造具有自主活动能力及自主决策能 力的机器人，无人驾驶飞行器，无人驾驶车辆，并设计各成员之间合理的通讯联 系方式，那么我们可能用较低制造成本及较低控制成本，使这个群体具有我们所 期望的行为，并能实施有效的协调控制。 群体和群体行为的研究方法不同于传统的非系统科学的研究方法。以生物数 学方法为例，传统的生物数学方法较多地重视群体的局部细致的数学描述，例如 用积分一微分方程等描述生物行为，较少重视研究群体成员之间的耦合作用与相 互作用性质，及群体的宏观动力特征等。当然，还有其它不同点 4 ，1 6 ，4 3 1 。用 系统科学的观点、方法研究群体，重点是考查群体的宏观性质，以及对群体的宏 观调控能力的研究。群体行为科学则重视成员( 微观) 与群体( 宏观) 的动力学之间 的关系，研究运动从简单到复杂的演化，进而揭示群体整体的宏观动力学特性。 4 群体行为研究及协调控制己成为系统科学、系统控制科学的一大研究热点。 这些文献发表在系统科学、控制科学、物理学、数学等科学杂志上。系统科学从 生态系统、社会系统、军事科学、工程系统等领域中抽象出群体及群体行为的各 种不同类型的数学模型作为研究对象，对群体行为的协调控制，着重研究它的稳 定性、同步、群体的聚集或形成某种队形( 这也是一种群体行为的稳定性现象) 的 条件( 2 2 ，2 3 ，3 5 】以及与群体行为相关的自组织与协调【1 ，2 ，2 8 ，2 9 ，4 5 ，5 7 。在 现有文献中，群体模型中的成员( a g e n t ，m e m b e r ) 大多用质点来描述( 也有少数 文章，例如 3 5 】，考虑到成员的尺寸问题) 。成员的动力系统模型都比较简单，有 的仅考虑位移，有的考虑成员的运动可用一个积分器描述1 4 0 ，4 9 】，或用n e w t o n 运动定律，成员的状态方程是二、三维的动力方程 3 6 】等。还有些作者用某类函 数定义成员的动力学状态方程，这类函数可以描写成员的一些特别的性能，例如 根据两个成员的距离，成员之间产生吸引或排斥效应【1 0 ，2 2 ，3 7 ，4 3 ，5 4 卜群体的 行为模型中，成员之间的通讯或耦合结构，可用许多不同方式来描述。各具有 特色，反映出许多不同群体的行为特性。用代数图论来描述群体的各种通讯结 构【1 6 ，3 7 ，4 9 ，5 8 】是一种很有效的方法，代数图论已成为描述群体行为模型的一 个主要数学工具。对群体的控制目标有很多不同的提法，例如要求群体中的成员 能跟踪群体的领导，实现成员之间的同步运动，绕过障碍物，避免被劫，或控 制群体能最终形成聚集( c o h e s i v ea c t i o n ) ，形成某种队形( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 或形 成散逸现象。另一种常见的问题是对群体的控制实现所谓一致性控$ 1 j ( c o n s e n s u s c o n t r 0 1 ) 等等。目前研究较多的问题是，对给定一类群体，群体中的成员具有怎 样的动力特性以及成员问具有怎样的通讯结构或耦合性质，群体才能具有上述的 特殊功能。 1 3 本文的主要工作和章节安排 本文主要分为两部分，第一部分利用线性矩阵不等式方法，研究了具有不确 定性的网络化系统的鲁棒控制；第二部分主要对数字网络下群体的一致性稳定问 题进行了研究。全文的内容安排如下： 5 第一章为全文的绪论部分。第一节概述了鲁棒控制及网络化控制系统的研究 状况；第二节对群体运动行为进行了概述；第三节介绍了本文的主要工作和章节 安排：第四节给出了本文的符号约定；第五节简要介绍了线性矩阵不等式的一些 基本概念和l m i 工具箱：第六节介绍了本文中将要用到的其他一些数学知识。 第二章研究了基于打包的网络化系统的镇定。第一节对输入输出数据均打包 的网络系统的控制器进行了设计；第二节对闭环网络化控制系统的稳定性进行了 分析，证明了观测器与增广系统状态反馈的设计满足分离原理；第三节利用线性 矩阵不等式方法给出了控制器的设计；第四节给出了数例仿真；第五节对全章进 行了小结。 第三章研究了不确定网络化系统的鲁棒至乙控制。第一节对所要讨论的问题 进行了描述：第二节给出了主要结果 第三节给出了仿真例子；第四节为本章小 结。 第四章针对网络传输数据丢失的情况，给出了基于观测器的网络化系统的鲁 棒士k 控制。第一节对所要讨论的问题进行了描述；第二节给出了主要结果；第 三节给出了仿真例子：第四节为本章小结。 第五章研究了具有非线性扰动和随机不确定性网络化系统的鲁棒镇定问题。 第一节为问题描述：第二节给出了得到的主要结果；第三节给出了仿真例子；第 四节为本章小结。 第六章针对一维情况下的动态群体，在假设群体中的成员通过数字网络进行 通讯的条件下，研究了它的一致性稳定问题。第一节不考虑时延的情况，给出了 群体达到一致性稳定所需的条件：第二节假设数据传输存在时延的情况下，给出 了群体达到一致性稳定的条件；第三节为全章小结。 第七章研究了二维情形下动态群体的集体行为，同样假设它们是通过数字网 络进行通讯，给出了群体达到一致性稳定的条件。第一节在假设没有领导者的情 况下，给出了群体行为出现一致性稳定、周期轨道和发散等情况的条件；第二节 假设存在一个( 虚拟) 领导者的条件下，得到了达到一致性稳定的条件，并给出了 例子；第三节为本章小节。 6 第八章对全文进行了总结和展望。第一节对全文的主要贡献进行了总结；第 二节对一些有待于进一步研究的问题进行了说明。 r ，r ，r ”。“ i k m r t r ( m ) m o ( m 0 ) m n ( m 2 n ) m 一1 k 。( m ) a 唰。( m ) i i m i i 恻i d i a g ， h o ，n 一1 】 忆 ( q ，p ) “ 恢 n g = ( y ，占，4 ) d ( g ) l = d a 1 4 符号约定 实数，k 维实向量空间，m 礼阶实矩阵空间。 k k 阶单位矩阵，在不致混淆时下标k 可省略。 矩阵m 的转置。 矩阵m 的迹。 矩阵m 对称且正定( 半正定) 。 矩阵m ，对称且m n 0 ( m n 0 ) 。 矩阵m 的逆( 如果存在的话) 。 对称矩阵m 的最大特征值。 对称矩阵m 的最小特征值。 矩阵m 的谱范数，即、压：= 了砑可可。 向量z 的欧氏范数，即、，历豸。 分块对角矩阵。 【o n 一1 】上平方可求和的向量序列构成的空间。 f 2 范数。 完备概率空间，其中n 为样本空间，芦为q 的子集构成的盯代数， p 为概率度量。 数学期望算子。 兀p ) 范数，i i p l l z 恢= 纠笥z - ( k ) 名( 七) ) l 2 。 集合 1 ，2 ， ，其中为正整数。 顶点集为y ，边集为，邻接矩阵为的图g 。 对角矩阵，其对角线上的元素为图9 的邻接矩阵4 的每一行的和。 图g 的l a p l a c i a n 矩阵 7 1 5线性矩阵不等式 一个线性矩阵不等式可以表示为如下的一般形式： f ( z ) ：= 昂+ 墨最 0 ( 1 1 ) t = 1 其中，童= z l ，x 2 ， 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式( 1 1 ) 的决策 向量，e = 巧r ，一，i = 0 ，1 ，竹是一组给定的实对称矩阵。 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式问题，或不具有 ( 1 1 ) 式的形式。但可以通过适当的处理将问题转换成具有( 1 1 ) 式形式的一个线 性矩阵不等式问题。例如，l y a p u n o v 矩阵不等式： a 7 p + p a 0 ， a r 2 。2 ( 1 2 ) 可以将其化为( 1 1 ) 的形式。令 其中 p ( z ) ( 1 3 ) 在许多将一些非线性矩阵不等式转化成线性矩阵不等式的问题中，我们常常 用到矩阵的s c h u r 补引理。 8 b孤+兄现 1 j + 现如。三 z n 现+ rl【昂 = = o o o 1 1 o 0 o rl rl | i = o = b ， ， 于 1j 1j铲 o o 1 o 黜 卜卜卜卜蚴 = | | 叭 昂 恳 贝 a 只 +r序 | | r令并 o r政 。：i s c h u r 补引理设q ( x ) = q 7 0 ) ，r ( x ) = r e ( z ) ，s ( z ) 是z 的仿射函数， t 嚣矧 以下三个条件是等价的： 1 ) t ( x ) o ； 2 ) q ( z ) 0 。r ( x ) 一s ( z ) q 一1 ( z ) s ( z ) o ： 3 ) r ( x ) ，0 ，q ( x ) 一s ( z ) r 一1 ( z ) s 7 ( z ) 0 例1 1 设a ，b ，q = 驴，r = 彤 0 是适当维数的常数矩阵，则应用 s c h u r 补引理，可以把关于对称矩阵变量p 的二次矩阵不等式 p + p a p b r 一1 8 7 p + q 0 转化为下面的线性矩阵不等式 a 7 p ： + q ? 。 下面介绍三类标准的线性矩阵不等式问题。 ( 1 ) 可行性问题( f e a s i b i l i t yp r o b l e m ) ：对给定的线性矩阵不等式f ( x ) 0 。按多项式的系数，构造朱利阵列如 表1 1 所示。 裘1 1 皋利阵列 行数 z 0：10 2名3 z n 一七 z ”一1z n 1 a oa la 2a 3a m - k a n 一1a n 2 一l0 ，l 一2a n - 3 0 2a la o 3 6 06 16 26 3 - k k k 一1 4 6 竹一1 一2k 一3k 一4 b k l 5 c 0c lc 2c 3c - n - 2 6 c - 2a n - sc n 一4a n - 5 c d 2 n 5 伽p 1耽p 3 2 n 4 p 3p 2 p lp o 2 n 3 口o q 1 口2 1 4 在朱利阵列中，第2 后+ 2 行各元是2 七+ 1 行各元的反序排列。从第三行起， 阵列中各元的定义如下： 诛 k = 0 ，1 ，n 一1 6 0k 小1 l ；凫：o ，1 ，n 一2 6 n lkj d 。：i c o 卜z i； 七：。，1 ，n 一3 l 一2 i 伽= p o 伽p 3i ，。，= p o ：i ，砚= p o ：l 特征方程m ( z ) = 0 的根，全部位于z 平面上单位圆内的充分必要条件是 。c ， 。，。c 一， 三：雾：凳罢蓁筹 i a o l i k 一1 l ，i c o i i 2 d 0 i i 厶一3 1 ，i q o i i q 2 i 后面几章中经常要用到以下几个引理： 引理1 a 1 5 5 设a ，d ，e ，f ，p 是适当维数的实矩阵，其中p = p 0 ，p f i 。若对于任意的g 0 ，且满足p e 4 d d 7 0 成立，有 ( a + d f e ) 7 p 一1 ( a + d f e ) x ( p e 一1 d d 7 ) 一1 a + i 丁e 引理z 2 1 2 z 对于任意的z ，y f p ，下式总是成立： x t y + y t x 2 t 2 + y t y 1 5 七俨 n彻 肌 j i k 引理1 3 【3 】若9 是有m 个顶点的连通无向图，则的特征值除了一个零特征根外 其余均为正实数。 1 6 第二章基于打包的网络化系统的镇定i 有关数据在网络中的传送，文献 3 3 ，6 7 】采用了不同的方式，并相应讨论了 系统的稳定性。其中文献 3 3 】是对具有随机时延的网络化控制系统按前馈反馈进 行设计，讨论了相应的闭环系统的稳定性。文献【6 7 】讨论在数据包丢失和网络时 延的情况下，根据某些线性矩阵不等式的可行解，求得一个利用状态或输出进行 反馈的控制器，该控制器使得网络化控制系统稳定。网络化控制的一个重要的特 点是，被控对象与控制器之间通过公共网络传输数据。被控对象的输入数据往往 需要暂存在缓存器等待服务器处理发送。同样，控制器输出也需要暂存在缓存器 等待处理发送。因此我们采用了一种网络数据传输协议，它要求输入与输出数据 均以打包方式传送。本章讨论了在该协议下一个输出预测控制的设计方案，并对 其稳定性进行了分析。证明了观测器的设计与广义的状态反馈的设计满足分离原 理，并用l m i s 给出了具体的用m a t l a b 实现的求解方法。 2 1输入输出数据均打包的网络化系统的控制器的设计 在本节我们提出了n c s 的控制器的一个设计方案，即用接收到的输出数据包 里的数据组来预测将来的控制。网络预测控制系统如图2 1 所示。 - q 预测控制器 _ 至乎臣丑连酽 网 困 络 e = 匕二= ：j 田2 ，1 网络预测控制系统 1 华东师范大学学报( 自然科学版) 已接收 1 7 其中缓存器的作用是在数据通过网络传输之前进行打包，而寄存器的作用在于当 数据包到达预测控制器之前先放在该寄存器中，并取代原来的数据包。我们假设 每一个数据组均有时间标签。需要指出的是，所谓组数据实际上是指每组数 据均为一个输出或输入向量。 考虑下列离散系统 x k + l2 a x k + b u k ，。1 、 y k ：c z 女 j 其中z k ，缸r m 。y k r 1 分别是系统的状态、输入和输出向量，a r ，一，b i p 。m ，c 剐一为已知的实常数系统矩阵。为了简单起见，我们假 设在第一个输入数据包被成功接收之前需要用的的输入数据均为零，并假设b 是 列满秩的，( a ，g ) 为完全能观测。 为了便于理解，我们可以对前面提出的传输协议做如下的描述：输出数据并 不是通过网络立即传送给控制器，两是先存放在缓存器1 当中，当存满组之后 并不是立即发送，而是在下一个输出数据到达缓存器l 后才通过网络发送出去。 控制器从寄存器1 中每一次取出被控对象的一组输出数据，利用观测器对状态进 行估计，然后根据观测器估计的状态、系统输出以及前面得到的控制，经过计算 得到2 n 一1 步预测状态，对其进行反馈得到相应的控制量。但是该控制量也并 不是立即作用于被控对象，而是先暂时存放在缓存器2 中，当存满组之后通过 网络传送给被控对象，然后将控制包里的数据组按顺序作用与被控对象。 根据前面提到的假设，当数据包 y k n ，y k n + 1 ，轨+ 1 ) n - 1 ) 被传送到预测控 制器时，输入数据同时开始打包。在得到一个输入数据包 扎( + 2 ) 一1 ，u ( k + 2 ) ， u ( k + 3 ) 一2 ) 的同时，也得到一个输出数据包 ! ，( + 1 ) n ，y ( k + 1 ) i v + l ，y ( k + 2 ) 一1 ) 。 首先我们给出如下的状态观测器 圣知+ t l k = a 圣纠七一1 + b u l , + l ( 玑一c 譬纠七一1 )( 2 2 ) 其中窑+ l i i p 为一步预测状态，且有如i 一1 = x 0 。我们利用y k n + j 和已从预测 控制器得到的输入数据包中的数据预测出圣f + 2 ) n l + 3 l k n + i ，然后对它进行反馈得 到预测控制，再将该组控制输入逐个作用于被控对象。得到相应的输出数据包。 1 8 根据状态观测器( 2 2 ) 和输出y k ，从时刻k + 1 到k + 2 n 一1 的预测状态为 从而有 孟+ l 悻= a 圣女忙一1 + b u k + l ( y k c ：k l k 1 ) ， i ：k + 2 1 k = 触+ 1 j + b + 1 ， ( 2 3 ) ； 童七+ 2 一1 降= a 岔膏+ 2 一2 i 七+ b u k + 2 n 一2 2 n - 2 童“2 一l 忙= a 2 一2 ( a l c ) & k t k i + a 2 一2 三雏+ a 2 n - 2 - 1 口“ ( 2 4 ) l = 0 预测控制可由下列式子给出 仳 + 2 一12k x k + 2 n l 限 其中k r “。”为状态反馈增益矩阵。于是我们得到一个预测控制律 ( 2 5 ) 2 n - 2 + 2 n 一1 = k a 2 一2 ( a l g ) 圣i k 一1 + a 2 2 l 弧+ k a 2 一2 一b 札“ ( 2 6 ) f = 0 _ i = 0 ，1 ，2 ，。我们再次强调，根据( 2 6 ) 式，预测控制在k + 2 n 一1 时刻的量 是由从寄存器1 中取出的在k 时刻的输出数据鲰，预测状态估计氟1 以及控 制量毗，“2 一2 决定的。 2 2闭环网络预测控制系统的稳定性分析 对数据传输具有输入输出打包协议的网络化控制系统，本文给出了网络预测 控制器的一个设计方案，该控制器由两部分组成： 1 由( 2 2 ) 、( 2 4 ) 组成的预测状态观测器； 2 由( 2 5 ) 组成的反馈控制器， 注：下面有关矩阵中涉及到的0 均指相应维数的零矩阵，而i 指对应维数的单位 矩阵。 】9 我们的目的在于如何设计控制器从而使得闭环系统稳定。根据前一节给出的 预测控制方案 钍七 =k a 2 一2 ( a l c ) 圣k 一2 + l f 蠹一2 n + k a 2 一2 慨一2 + 1 2 n - 2 + j r a 2 一2 一b u k 一2 + 1 + l 1 = 0 将上式代入( 2