（系统分析与集成专业论文）对具有随机投资收益的复合资产的破产论研究.pdf

2 0 0 5 午上海大学硕士学位沦文 摘要 风险理论是决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论。它广泛应用于投 资和保险等行业，其丰要研究对象是风险过程。对风险过程的研究有很多方面， 其中对其进行稳定性分析一破产概率的研究，形成了个新的领域：破产王 i ! 论。 破产理论主要是预测经营者在最终或在有限时间内破产的可能性。在进行风险决 策前，对将来的经营过程进行风险稳定性分析，有极其重要的现实意义和理论意 义。当今国际保险市场竞争不断加剧，许多保险集团通过降低保费吸引客户，竞 争导致的利润下降是不可避免的，这凸现了投资在保险业中的重要性，因此研究 具有投资收益的复合资产的破产论更具有实际意义，所以我们可以在经典破产模 型小力入一项投资收益，束分析保险公司经营的安全性以及最终或在短期内破产 的概率。 本义主要研究具有随机投资收益的复合资产的破产论，主要包括以下两个方 面的工作： 第一，我们在经典破产模型中引入一项投资收益总额，并且假定投资收益随 机来到，收益的发生次数服从泊松分布，1 i 同时段收益率f i 同，这种收益包禽两 部分：1 ) 每一次投资事件的固定收益，由常数置表示；2 ) 随机收益率由随机变 量z 表示；即资本x 经过投资后将变为蹦+ 置。在随机变量z 是离散和连续两种 情形下，我们分别给出了索赔额是任意分布的盈余过程的模型和最终生存概率的 方程。在索赔满足指数分布时，我们推导出了生存概率的解析解。此外，我们还 分别给出了收益率z 是离散随机变量和连续随机变量时，z 取不同分布时的生存 概率的数值解，并对离散模型和连续模型的数值解进行了比较。 第二，在假定投资收益总额v ( t ) 服从复合泊松过程，投资收益发生次数服从 泊松过程，且与索赔过程相互独立的情况下，我们给出了盈余过程模型的定义， 推导出了盈余过程的期望和方差。并利用盈余过程的性质，推导出了破产概率的 公式，进一步推导出了破产：概率的上界。 关键词：盈余过程，破产概率，生存概率，随机投资收益，复合p o i s s o n 过程 v 2 0 0 5 年匕海丈学硕l 学位论文 a b s t r a c t r i s kt h e o r yi st h eg e n e r a lt h e o r yf o rt h ed e c i s i o n m a k e rt oa n a l y z ea n dp r e d i c t t h ea m o u n to fr i s k i ti sw i d e l yu s e di nt h ef i e l do fi n v e s t m e n ta n di n s u r a n c e t h e m a i ns u b j e c to fr i s kt h e o r yi st h er i s kp r o c e s s t h er e s e a r c ho fr i s kp r o c e s sc o m p r i s e s o fm a n ya s p e c t s ，i nw h i c ht h ea n a l y s i so ft h es t a b i l i t y - - r u i np r o b a b i l i t yg e n e r a t e sa n e w 疗e i d f u i nt h e o r y r u i nt h e o r ym a i n l yp r e d i c t st h ep r o b a b i l i t yo fr u i nw i t h i n f i n i t ea n di n f i n i t et i m e i tp r o v e st ob ei m p o r t a n tt oa n a l y z et h es t a b i l i t yo ff u t u r er i s k p r o c e s sb e f o r em a k i n gt h ed e c i s i o n t o d a yt h ec o m p e t i t i o ni ni n t e r n a t i o n a li n s u r a n c e m a r k e tb e c o m e sm o r ea n dm o r ed r a s t i c ，m a n yi n s u r a n c eg r o u pt r yt oa t t r a c tc u s t o m s b yd e c r e a s i n gt h ep r e m i u m s ot h ec o n t r a c t i o no fp r o f i ti si n e v i t a b l e t h e r e f o r et h e i m p o r t a n c eo fi n v e s t m e n ti ss t r e n g t h e n e d t h u st h es t u d yo fr u i np r o b a b i l i t i e sw i t h c o m p o u n d i n ga s s e t so fs t o c h a s t i ci n t e r e s t sb e c o m e sm o r ep r a c t i c a l w ee x t e n dt h e c l a s s i c a ir u i nm o d e lw i t ht w om a i nc o m p o n e n t so fp r e m i u mi n c o m ea n dc l a i m s p a y m e n t t h et h i r dc o m p o n e n tr e f l e c t st h et o t a lr e t u r nf r o mi n v e s t m e n t w es t u d yt h e r u i np r o b a b i l i t i e si nf i n i t ea n di n f i n i t et i m e o u rp a p e rm a i n l yd e a l sw i t ht h ep r o b l e mo fr u i np r o b a b i l i t i e sw i t hc o m p o u n d i n g a s s e t so f s t o c h a s t i ci n t e r e s t s i tc o n s i s t so f t w o a s p e c t sa sf o l l o w s ， f i r s t ，w ee x t e n dt h ec l a s s i c a l r u i nm o d e lb ya d d i n gat h i r dc o m p o n e n t - - t o t a l i n v e s t m e n tr e t u r n w ea s s u m et h ec o m eo fi n v e s t m e n tr e t u r ni sr a n d o m i sf o i l o w sa p o i s s o np r o c e s s a n dt h er a t eo fi n v e s t m e n tv a r i e si nd i f i e r e n tt i m ei n t e r v a l t h i sr i s k i se x p r e s s e db yac o n s t a n ta m o u n tku p o na ni n t e r e s ti n c r e a s i n ge v e n ta n dar a n d o m v a r i a b l ezt h a tr e p r e s e n t st h er e c o v e r yr a t eo f ab o n do rad e v a l u a t i o nf a c t o r t h a ti s t h ec a p i t a lxb e c o m e s 积+ ka f t e rt h ei n c r e a s et h r o u g hi n v e s t m e n tr e t u m w e p r e s e n tt h em o d e lf o ra r b i t r a r yc l a i ms i z ed i s t r i b u t i o n sa n dc o m p u t et h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n sf o rt h ep r o b a b i l i t yo fs u r v i v a ii nt w oc a s e sw h e nc l a i mi se x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n f i r s tw h e nzi sad i s c r e t er a n d o mv a r i a b l ea n ds e c o n dw h e nzi sa c o n t i n u o u sr a n d o mv a r i a b l e a n dt h e nt h ec o m p a r i s o ni sm a d eb e t w e e nt h ea n a l y t i c a l s o l u t i o n so ft h e s et w oc a s e s s e c o n d ，w ee x t e n dt h ec l a s s i c a lr u i nm o d e lw i t hac o m p o n e n to ft h et o t a l i n v e s t m e n tr e t u r nw h i c hi sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s t h et i m e so fr e t u r nt h r o u g h i n v e s t m e n ti sap o i s s o np r o c e s s w ep r e s e n tt h em o d e lo fs u r p l u sp r o c e s sa n d c a l c u l a t et h ee x p e c ta n dv a r i a n c eo fs u r p l u sp r o c e s s t h e nb yu s i n gc h a r a c t e r so f s u r p l u sp r o c e s s ，w ed e r i v eaf o r m u l ao fr u i np r o b a b i l i t ya n do b t a i na ni n e q u a l i t yt h e s i m i l a ra st h ec l a s s i c a lr u i nm o d e l k e yw o r d s ：s u r p l u s1 ) r o c e s s ；r u i np r o b a b i l i t y ；s u r v i v a lp r o b a b i l i t y ；r a n d o mr a t e so f i n t e r e s t ；c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s 2 0 0 5 年上海人学硕j 学位论义 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 二彤王。口易，f 今 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 2 0 0 5 年 j 每人学硕i 学位论文 1 1 风险理论概述 第一章绪论 “股市有风险，入市要谨慎”这句话可以说已经深深地印入了当今中国股市 投资者的心中，事实上对于所有的投资者和经营者而言，当讨论到投资经营的时 候，大家首先想到的就是风险。风险无处不在，且无法避免。虽然每个投资者对 风险的偏好有很大的差异，但有一点是肯定的，那就是投资者总是希颦在承担最 小的风险情况r 赚驭最大的利润，因此如何衡量风险的大小，如何控制自己在经 营过程中所承担的风险成了每个投资者和经营者最关心的话题，而正是这种最原 始的推动力使得在过去的百年间风险理沦有了长足的发展。 风险理论的发展已经经历了很长的一段时问，e d m u n dh a l l e y 和d a n i e l b e r n o u l l i 对风险理论的发展做出了重大的贡献。e d m u n dh a l l e y 构造了世界1 ：! = 第 张生命表。d a n i e lb e r n o u l l i 提出了以极大效用原理作为决策法则的思想。在 2 0 世纪，h a r a l dc r a m e d 】和f i l i pl u n d b e r g 建立了风险理论研究与一般随机过程 研究之间的关系，把风险理论的研究工作| 2 4 】提高到了一个新的高度。 风险理沦是经营者或决策者对风险进行定性和定鼍分析的一般理沦。它广泛 应用于投资和保险等行业。投资者总是希望选择那些损失小、收益大的项目，而 保险过程是投保人通过缴纳保费获得保障，承保人收取保费、面临赔款风险的过 程。投保过程实际卜是面对风险和收益进行风险选择的过程。为r 能够在风险最 小的情况下获得最大的利润，经营者就要对风险过程进行研究。风险理论的主要 研究对象就是风险过程。风险过程的研究包括很多领域，其中对它进行稳定性分 析即破产概率的研究，形成了一。个新的研究领域破产理论口j 。 破产理论是研究风险经营者经营状况的理论和方法，主要应用于风险经营过 程的稳定性分析，预测经营者在有限时间内或最终破产的可能性，指导经营者的 决策过程。存进行风险决策前，分析将来的风险经营的破产概率，有极其雨要的 现实意义和理论意义，特别在投资和保险行业，这尤为重要。经营者通过采川破 产理论对破产概率进行估计和预测，可决定是否对一个项目投资；保险集团通过 对新险种将来经营过程的稳定性分析，可以决定足否开发这一险种，同时对保费 拟定也有指导作用；这样他们可以通过调节保费来达到减小风险经营过程中的破 2 0 0 5 钾：i ：海大学硕j ：学位沦文 产概率。 1 2 破产论研究背景 在保险数学，也称为精算数学( a c t u a r i a lm a t h e m a t i c s ) 范畴内，破产理论( r u i n t h e o r y ) 是风险理沦( r i s k t h e o r y ) 的重要内容之。现已公认，破产理沦的研究 溯源于瑞典精算师f i l i p l u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文i6 1 ，至今已有近百年 的历史。破产理论的研究既有其实际的应用背景，对概率论的发展也有推进作用。 正是l u n d b e r g 首次在这篇论文巾提出了一类重要的随机过程，即p o i s s o n 过程。 但是l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标准，破产理论的严格化是咀 h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典s t o c k h o l m 学派完成的，c r a m e r 将l u n d b e r g 的一i ：作建 立在坚实的数学基础之上，同时还发展了严格的随机过程理论。至此，破产理沦 成为精算师处理绝大多数实际保险问题的主要分析工具。现己公认l u n d b e r g 和 c r a m e r 的工作为经典破产理论的基本定理。 继c r a m e r 之后，h a n su g e r b e r 是当代研究破产论的国际领先学者。c r a m e r 之后破产论研究中最令人瞩目的是方法论的改进。基于f e l l e r 的更新论证和 g e r b e r 的鞅方法的运用使得证明变得简洁。更新论证和鞅证明技巧已经成为研究 经典破产论的主要数学工具。g e r b e r 不仅将鞅方法引入到破产论的研究中，而且 深化了经典破产论的研究内容。他写的数学风险导论m 一郫，已经成为当今 研究这一领域的经典著作。j g r a n d e l l 在为他的专著( a s p e c t so f r i s k ) ) 所写的序 言i 一指出：“任一掌握了g e r b e r 著作i - 所述的风险论知识的读者皆可视为一个精 算师”。 g e r b e r 等人在破产论研究中的主要成果有：索赔总额过程的推广、带扩散 扰动项的复合p o i s s o n 过程和以多种视角的深入探讨，如研究破产前瞬时盈余和 破产时赤字、b e e k m a n 卷积公式等。此外当代破产论研究方向主要有：索赔总额 的推广。、带扩散扰动项的复合泊松过程、完全离散的经典风险模型、重尾分布的 破产论和具有复合资产的破产论等。 1 3 l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型 经典风险模型通常表述如下：给定保险公司一定的初始资本，允许它承保具 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 有某种统计分布的风险，并允许它根据风险的特点连续地( 或者离散地) 收取相 碰的保费。风险理i 仑主要扶定鬃的角度硎冗保险公司经营的安全性，即保险公司 最终破产或在短期内破产的概率有多大。模型的数学表述如下： 设保险公司在时刻t 的盈余( s u r p l u s ) 由下式给出： u ( f ) = u + c t 一x ，t 0 t = l 其中l 是初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费率，x 。( 1 ) 表示 第k 次索赔额，n ( o 表示至时刻t 为i ：发生的索赔次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 噩：k 1 ) 是恒定的、独立同分布的随机变量序列， 记 f ( x ) = r ( x i x ) ，v x 0 r = e x ，】= 肌一，( 叫出： ( f ) ：，0 ) 是以a ( a o ) 为参数的p o i s s o n 过程； t ：1 ) 与 ( f ) = f 0 相互独立。 盈余过程 u ( 小f 0 的一条样本轨道示于图1 ，1 中： i 一 下 厂侈 ， 1 u ( 以f 记 图i 1 盈余过程的样本轨道 2 0 0 5 年_ f 海大学硕士学位皓文 s ( ，) = 一，v x 0 表刁 至时刻t 为止的索赔总额( a g g r e g a t ec l a i m ) 。由模型的独立性假定知 e s ( ，) = 札( ，) k 】_ 和， 保险公司为运作上的安全，要求 c t e s ( f ) = ( c 一 ) f o ，t 0 为此需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设 c = ( 1 + 曰) 础 其1 1 10 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 。 由于p o i s s o n 过程具有齐次独立增量性和模型的独立性假定，知 ! 翼u ( r ) = + ，口 1 i 过，这并不排除在某瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破 产”，以下记，为保险公司首次破产的时刻( r u i n t i m e ) ，即令 t = i n f t ：( f ) o ，i n f o = o o l u n d b e r g 与c r a m e r 研究的是保险公司最终破产的概率( r u i np r o b a b i l i t y ) ： ( “) = p ( t o ，其中坩= “一e ( f ) e f 墨】 o ，v t 0 。 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式( m ) se - r l , v u 0 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似：存在正常数使得( ) c e - r u ，“_ o o 即墼紫= ， ( 2 ) 和( 3 ) 解释了当初始盈余很大，保险公司经营“小索赔”隋形的业务时， 破产是不易发生的。 l u n d b e r g 和c r a m e r 采用f e l l e r 更新理论和g e r b e r 鞅方法严格证明了模型的 主要结论。更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经典破产论的主要数学工具，近期 大量研究文献所研究的模型都是对经典的破产模型不同程度的推j “。 1 4 破产论研究内容 破产论的研究内容大致包含以下五个方面： 最终破产概率： 甲( “) = p ( r o ，v f - 0 。 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 ( “) e - r n v “0 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似：存在正常数日使得( ) c o “”，“斗 即熙磐= t ( 2 ) 和( 3 ) 解释了当初始盈余很大，保险公司经营“小索赔”情形的业务时， 破产是不易发生的。 l u n d b e r g 和c r a m e r 采用f e l l e r 更新理论和g e r b e r 鞍方法严格证明了模型的 丰要结论。更新论证技巧和鞅证明技巧已成为经舆破产论的主要数学工具，近期 大量研究文献所研究的模型都是对经典的破产模型不同程度的推广。 1 4 破产论研究内容 破产论的研究内容大致包含以下血个方面： 最终破产概率： 甲( ) = j d ( 丁 。fc ，( o ) = ) 有限时间内的破产概率”i ： v ( “：f ) = p ( 7 f l u ( o ) = “) 破产前瞬时盈余( s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r e ) ： 破产前瞬时盈余( s u r p l u si m m e d i a t e l yb e f o r e ) ： 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 x = u ( ，一) 破产时赤字( d e f i c i to fr u i n ) ： y = l u ( 7 1 ) l = 一u ( r ) 另外还有刻画保险公司风险的概率规律： g ( “；y ) = p ( u ( r ) - y ；t m fc ，( o ) = “) f ( u ；x ) = p ( u ( r 一) s x ；r o ，f ( “；x ) 与 g ( u ；y ) 也分别存在( 瑕疵) 密度函数( “；z ) 与g ( u ；y ) 。但是，当“ 0 叫， 般很难求出f ( u ；x ) 和g ( “：，) 的显式解，这时叫。在上述瑕疵更新方程两边同乘以 p 一”( r 为调节函数) ，而将瑕疵更新方程化为适定更新方程，从而分别求出它们 的渐进解： f ( u ；x ) c p - r u ，。，v x o ； g ( u ；y ) c ，e “”，“，v y o ； ( 1 4 z b e e k m a n 卷积公式 由g ( u ；y 1 的定义及( 1 4 2 ) 式知 p ( ，i u ( r ) 峰y + 咖；7 1 c 。i “( o ) = o ) “g ( o ；y ) d y = 昙 1 一f ( y ) 砂 这样，g ( o ；力咖可理解为当盈余过程首次低于初始盈余”( 不论“为何值 的同时，首次落差( 记为厶) 介于y 与y + 咖之间的概率，于是，若以首次落差 为条件，对破产概率应用全概率公式，由盈余过程的齐次独立增量性即得 y ( “) = 尸( r 叫“( o ) = ”) 2 0 0 5 年上海大学硕二匕学位论史 = r 尸( f o 。l u ( o ) = “，= z ) g ( o ；z ) 出+ r j p o o o l u ( o ) = “，t = z ) g ( o ；z ) 出 = 导f 。甲( “一z ) - 一f ( = ) 】出+ 詈f t f ( z ) 出 这便足关于破产概率甲( “) 的瑕疵更新方程。 其次，因为 g ( 。；y ) 砂= 等，i i 1 一f ( y ) 咖= 南去 ，一，( y ) 咖 另由概率乘法定理知 p ( y 矧u ( r ) 喀y + 砂；r m l u ( o ) = o ) 这样 = 而1 j i ) ( y l u ( r ) i y + d y l u ( o ) = 。，r m ) e ( y 兰 u ( r ) l y + 方l u ( o ) = o ，t o o ah ( y ) d y 其中 ( ，) = 皇m ( y ) 。 返表明h ( y ) d y 可理解为盈余过程在首次低于初始盈余“( 不沦“为何值) 的 条件下，首次落差厶介于y 与y + d y 之间的概率。 若记n 为盈余过程发生的落差次数，。为第n 次落差，则由盈余过程的齐 次独立增量性知 “：”1 ) 为非负、独立同分布的随机变量序列，且与n 相互独 立。 4 显然，服从以舌万为参数的几何分布，即有 删刊= 南陆) ”m 。 现以上表示盈余过程的最大落差，即令 三= 学 s ( ，) - c r 这样倬有 2 0 0 5 年上海大学硕l ：学位论文 n 三= l = l 尺( “) = p ( l ) = p i n 厶”i 厂、 k = l = j p ( = ”) p i x ( 1 f 4 t 。 q ( x ) 构造更具一般性的索赔总额过程饵( f ) ：r o 先假定o ( x 1 是x 的非负递减函数，且满足 ! 现q ( z ) = 0 ，f q ( z ) a x m 其次假定 s ( f ；x ) ：i o 的索赔计数过程n ( t ；x ) 是以o ( x ) 为参数的p o i s s o n 过程，而个体索赔额的分布函数则由( 1 4 1 ) 式给m 。最后假定 s ( f ) ：f o 为复合p o i s s o n 过程岱“；x ) ：，0 ) 当x 趋于0 时的极限，称这样的极限过程为广 义复合p o i s s o n 过程。 特别当o ( o ) 0 ) 的b r o w n i a n 运动。此外，假定 缈( ，) ：f 0 ) 和 s ( r ) ：f o ) 相互独立。 显然，破产概率w ( u ) 分解为 v ( u ) = 甲。( u ) v 。( “) 其中甲。，( “) 表示因随机扰动而引起的破产，甲。( “) 则表示因索赔引起的破产。 e ar 为方程m 。( r ) + _ d ，z ：1 + 导，的唯正根，称其为新模型的调节系数。 a 2 0 0 5 年 ：海_ l - = 学硕士学位论文 其中 再设 ( f ) = e 辅m = x ( o ) p 7 【 ( o ) = s “，j ，( ，) = 一凡 y ( f ) + ( f ) 显然， j ，( ，) ：f o 是齐次独立增量过程，再因 = m y ( 卅吨e “w o ) = e x r 五m t ( 尺) 一五一c r e x 一 圭( z 。) ( r ) 2 = e x p a m ，( r ) + o ( r + ) 2 一五一c r = 1 这表明 z ( f ) ：f2o 为正鞅，故类似于经典破产模型，仍可证得 叭垆矿钿盯乩 此外r d u f r e s n e 和g e r b e r 在文【3 6 】中导出了生存概率r ( u ) 和破产概率甲。( “) 满足的瑕疵更新方程：由此也口j 导出、l ，。( ) 与甲( ”) 满足的瑕疵更新方程，若再 利t | f ：i 调节系数月+ 将这些瑕疵更新方程化为适定更新方程，由关键更新定理可分 别导出甲d ( “) 与甲s ( ”) ，从而导出了v ( u ) 的l u n d e r b e r g - c r a m e r 近似。 1 5 3 完全离散的经典风险模型 我们可以按照保赞收取方式把风险模型分为连续模型和离散模型。连续模型 采取连续收费的原则，即以时间为连续变化的基连续地收取保费。离散模型采用 离散收费的原则，即以一定时间长度为收费的单位区间，在每一单位区问内只收 取一次固定的保费。讨论得最多的连续时间经典风险模型是复合泊松模型 ( c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ) ，而讨论得最多的离散经典风险模型是复合二项模 型( c o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ) ，复合二项模型假定在每一单位区间内索赔或者 不发生，或者只发生一次。 2 0 0 5 年上海 学硕十学位论文 在离散模型中一股设盈余过程为： f ) u ( n ) = + n 一x ，v n 0 j = 1 其中，初始盈余“为非负整数，保险公司在每单位时间区间的始端征收1 个货币 单位的保险费，个体索赔额x 。是仅取正整数值的随机变晕，假定 x 。：”i ) 是独 立同分布的随机变量序列。n ( n ) 是参数为| l ，( o p 0 ， 表示股市价格的突然变动，这样更符合实际。 定义r 表示保险公司的总资产，即y = 保费收入一索赔额+ 投资收益( 可以 为负) 。在数学上，】，就是下述随机微分方程的解： i y ，= y + p ，+ ly ，一搬，f 0 ( 2 1 3 ) ； 其中y = 瓦是初始资本。p a u l s e n 和o j e s s i n g ( 1 9 9 7 ) t 6 1 证明了上式等于 鞫+ 肛吲出0 历而形一融n r j + 肛t d 偿 其中，是标准布朗运动，与复合p o i s s o n 过程独立。 2 0 0 5 年l 海人学硕士学位论文 对l 式很自然的一般化是时恻弄次的随机过程： r = y + 0 i - ( r ) 凼+ 0 p ( r ) d k 一善品，+ ? 乓一d ( 善s 。， ，2 o 、一o 这个一般化对研究所谓的绝对破产问题特别有帮助。假设q 和p 是李普两兹 ( l i p s c h i t z ) 连续的，可以推出j 7 是具有扩展因子的强马尔科夫过程。 州小j i 以y ) 等咖) _ g ( y ) 茜咖) 翼咖叫_ g ( 枷拆 + 2 rf ( g ( y ( 1 + s ) ) 一g ( y ) ) d f r ( s ) 其中当g 是两次连续可微函数时，过程y 属于跳跃一扰动过程类，当p = 0 时属y - 分段确定性过程。参考d a s s i o sa n de m b r e c h t s ( 1 9 8 9 ) 1 l 】。 另。类经常参考的是非齐次随机过程： r ：y + k ( 。，t ) 出+ i 芦( 。，i ) d 暇一芝& ，一i 扩( s ，= ) ( 出，出) 其中是随机计数测度，e 是某个标虽空间。 大多数研究基本都讨论破产概率，因此设d 是实数，定义 巧= i n f t o ；r d ，0 = 秽 再 歧 ( y ，f ) = 尸( 弓f ) ，虬( y ) = 尸( 黟 o 。) 简记为( t ) = ( y ，f ) ，妒( y ) = ( y ) ，绝大多数研究重点是无限时间破产概 率q t ( y 1 ，主要是因为解析解较为容易求得，比较容易反映保险公划偿付能力的 状况。仍是要找到t 的分布是一个棘手的问题，研究其拉普拉斯( l a p l a c e ) 变 换q p ”】又是另种方法。g e r b e r 的鞍方法对破产沦的研究非常有效。 2 2 一些运用 2 2 1 固定投资收益 当t o - ，= 盯。= 五。= 0 ，即没有扰动、没有随机收益，只有固定保费收入和固 定利率投资收益的情形。以下是前人推导出的固定投资收益的五个结论： ( 1 ) 当索赔额服从指数分布情形时，t a y l o r ( 1 9 8 0 ) u 0 1 和d a s s i o sa n d 2 0 0 5 年 ：海大学硕士学位论文 e m b r e c h t s ( 1 9 8 9 ) 1 给出了破产概率的精确解。 ( 2 ) 当索赔额服从e r l a n g 分布( 即有限个指数分布之和) 情形时，a s m u s s e n a n db l a d t ( 1 9 9 6 ) t2 1 以两系统的常微分方程的回归解的形式来描述破产概率。 ( 3 ) s u n d ta n dt e u g e l s ( 1 9 9 5 ) 1 3 1 推导出了生存概率满足的积分方程，通过该 方程利用l a p l a c e 变换求出了初始资本为0 对的破产概率，井f 、得出破产概率的 c h e m o f f 形式不等式。 ( 4 ) 当索赔额服从w e i b u l l 分布，即l b ( x ) = e 。，0 0 的泊松分布。( t ) ，个体索赔额r 0 独立同分布，分布函数 为，( y ) ，具有期望 0 。离散随机变量z 代表一次随机 收益事件的收益率，例女股份和债券的收益情况。e ( z = z ，1 = p i ，i = 1 ，2 ，m ， 0 4 1 ，n = l 。当投资收益事件发生时，资本就随着因予4 而增长，同时 百 内含的保护限制带来固定值的增长，增长k 0 ，因此x - - 9 z t x + k 。这一部分是 固定连续的保费收入0 投资保证的。在第h 次收益来到时刻，( ) ，原始资本由x 变 2 0 0 5 年i 二海大学硕士学位论文 为2 1 x + k 。由此导出了在时间t ，保险公司盈余资本的随机过程r ： h l i ) r ( ) 、 量= r + c t 一艺一( ( 1 一z ) 暑f 砷一k ) 当资本冠 _ o t z = 弓) ，o z j l ， 推出 u ( x ) = u i ( x ) e ( z = 0 ) = q ( x ) p ，。 当然对任意0 z 1 。( 倒”叫训“南) ( 3 2 5 ) (，k，n， t 1 2 0 0 5 年上海人学硕士学位论文 + e 矸。e y 彳1 一。磊l 肛。篙- 1 - = 。( i ，) e儿- 1 c r 川训+ - 点= o ( 3 2 6 ) 。磊，巧a f = 。 z ，) 这样我们可以推出( 3 2 5 ) 等于0 ，然后， 母2 蕊赢砂“ 即 删而焉巍而2 8 ) 第三步：对i 寸o o ，使得4 l 。+ 彳。= 0 ，令 删再考豫而 最后解边界条件 4 2 。= 一黔卅，对f o o ( 3 z 9 ) m u ( ) = u ，( x m 。璩= i ( 3 2 1 ) 悻l 至此我们有+ 1 个待定系数z 0 , 0 ，纠”，i = 1 2 一m ，和m 个方程( 3 2 7 ) 以及 方程( 3 2 1 ) ，因此我们能得到形如( 3 2 3 ) 的唯一解。 偏离变量的微分方程的原理可以证明在对应的积分算子收敛的情况f 方程 有唯一解e 这里我们省略证明过程。( 类似证明可参考t h o m a ss ，r o b e r tf t ， 2 0 0 5 年 ：海大学硕士学位论文 3 2 3 数值解 表3l 数值计算的参数 参数 五，x k 值 10 11 0 1 我们用表3 1 的参数进行数值运算。通过截断指标系数= 8 0 可以计算出方 程( 3 2 3 ) 的系数。在限制条件( 3 2 7 ) 和( 3 2 i ) 下我们计算出了待定系 数，这里我们在方程( 3 2 9 ) 中取往l = 8 0 处的有限截断。用c + + 晤言我们计算 出了在量= 。2 处，z 取不同分