（基础数学专业论文）关于广义aluthge变换和正交投影的相关研究.pdf

关于广义a l u t h g e 变换和正交投影的相关研究 张云 摘要a l u t h g e 变换，数值域，投影与d r a z i n 逆是近年来算子论最活跃的研 究课题中的一部分在算子论的研究中有着重要的理论价值和应用价值对于有 关这方面的研究涉及到了基础数学和应用数学的许多分支。诸如几何理论，算子 扰动理论，矩阵理论，c 一代数，数值分析，系统论和量子物理等等，通过对它 们的研究可使得算子结构的内在联系变得更清晰，使得有关算子论课题的研究具 有更加坚实的基础 本文研究内容涉及无限维h i l b e r t 空间上有界线性算子的广义a l u t h g e 变换 和广义+ 一a l u t h g e 变换的各种谱，数值域，本性数值域和无限维h i l b e r t 空间上正 交投影的积与差的d r a z i n 逆的存在性，正交投影的可交换性等几个方面的内容 在对有界线性算子及其广义a l u t h g e 变换和广义+ a l u t h g e 变换的数值域方面的 研究，给出了更为一般的结果，推广了吴培元在文献【1 1 1 中的两个结果在投影方 面，给出了正交投影的积与差的d r a z i n 可逆的等价刻画及其具体表示此外，还 对正交投影的可交换性，进行了一些初步的研究，全文共分为四章，具体内容如 下 第一章作为全文的预备知识第一节主要介绍了m o o r e - p e n r o s e 逆。d r a z i n 逆，算子的升降标及b - f r e d h o l m 算子等概念第二节主要给出了一些熟知的定 理或已经被证明的定理，如谱映射定理 第二章主要讨论了b ( u ) 上算子的广义a l u t h g e 变换和广义+ a l u t h g e 变换 的各种谱，数值域，本性数值域及三者之间的关系证明了 ( 1 ) w ( t 。) ( t ) ，y te ( 0 ，1 ) ( 2 ) l 圪( t 2 ) i 亿( t ) ，( 0 ，1 ) 第三章通过对算子及其广义a l u t h g e 变换谱关系的研究，得出修正的w j y l 定理( r e s p a - w e y l 定理) 对算子成立当且仅当修正的w e y l 定理( r e s p a - w e y l 定 理) 对算子的广义a l u t h g e 变换也成立 第四章利用分块算子矩阵的技巧，刻画了h i l b e r t 空间上正交投影p 和q 的 积与差的d r a z i n 逆存在的充分必要条件，并给出了它们的d r a z i n 逆的具体表达 形式同时，我们发现了一个有趣的结果：正交投影的积( r e s p 差) 的d r a z i n 可逆 性与正交投影的积( r e s p 差) 的m o o r e - p e n r o s e 可逆性是一致的最后，还考虑 了两个正交投影可交换的等价条件得出了如果两个正交投影的积的谱集只有0 和1 ，那么它们可交换如果两个正交投影的积是e p 算子，那么它们可交换 换性 关键词：广义a l u t h g e 变换极分解正交投影数值域d r a z i n 逆 可交 i i r e s e a r c ho nt h eg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r m a t i o na n d o r t h o g o n a lp r o j e c t i o n si nb ( n ) y u nz h a n g a b s t r a c t ：a h i t h g et r a n s f o r m a t i o n ，n u m e r i c a lr a n g e ，p r o j e c t i o n sa n dd r a z i n i n v e r s e sa r eh e a t e dt o p i c si no p e r a t o rt h e o r ya n da l s oh a v ei m p o r t a n tv a l u ei nb o t h t h e o r ya n da p p l i c a t i o n t h er e s e a r c ho ft h e s es u b j e c t sh a sr e l a t e dt op u r ea n da p - p l i e dm a t h e m a t i c ss u c h 笛g e o m e t r y , o p e r a t o rp e r t u r b a t i o nt h e o r y , m a t r i xa n a l y s i s c 一a l g e b r a ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，s y s t e mt h e o r y , q u a n t u mp h y s i c se t c t h r o u g hr e - s e a r c h ，t h ei n t e r n a lr e l a t i o n sa n dc o n s t r u c t i o n sa m o n go p e r a t o r sc a l lb ef o u n da n d as u b s t a n t i a lb a s i sc a nb ep r o v i d e df o rt h es t u d yo fo p e r a t o r s t h er e s e a r c ho ft h i st h e s i sf o c u s e so nn u m e r i c a lr a n g e ，e s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e a n dd i f f e r e mk i n d so fs p e c t r u mb e t w e e na no p e r a t o ra n di t sg e n e r a l i z e da l u t h g e t r a n s f o r m ，d r a z i ni n v e r t i b i l i t yo fp r o d u c ta n dd i f f e r e n c eo fo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n s ， c o m m u t a t i v i t yo fp r o j e c t i o n so nac o m p l e xh i l b e r ts p a c e t h er e s e a r c ho nt h e n u m e r i c a lr a n g eo ft h eg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r mb r i n g so u tt h en u m e r i c a lr a n g e o fi n c l u s i o nr e l a t i o n s h i p sb e t w e e na no p e r a t o ra n di t sg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r m ， w h i c he x t e n dt w or e s u l t sw h i c h 叭o b t a i n e db yp e i y u a nw u i n ”t h e r e s e a r c ho n p r o j e c t i o n so nac o m p l e xh i l b e r ts p a c ec o n t a i n st h er e p r e s e n t a t i o no fd r a z i ni n v e r s e s o fp r o d u c ta n dd i f f e r e n c eo fp r o j e c t i o n sa n dt h ec o m m u t a t i v i t yo fp r o j e c t i o n s t h e a r t i c l ei sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，s o m en o t a t i o n s ，d e f i n i t i o n sa r ei n t r o d u c e da n ds o m ew e l l k n o w n t h e o r e m sa r eg j y e n i ns e c t i o ni ，w eg i v es o m et e c h n o l o g i e sa n dn o t a t i o n s ，a n d i n t r o d u c et h ed e f i n i t i o n so fm o o r e 。p e n r o s ei n v e r s e ，d r a z i ni n v e r s e ，a s c e n ta n dd e c e n t o fo p e r a t o r sa n db - f r e d h o l mo p e r a t o r sa n ds oo n i ns e c t i o ni i ，w eg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m s s u c h 嬲s p e c t r a lm a p p i n gt h e o r e m i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s sn u m e r i c a lr a n g e ，e s s e n t i a ln u m e r i c a lr a n g e ，d i f f e r e n t k i n d so fs p e c t r u ma m o n ga no p e r a t o ri t s e l f , i t sg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r m ，i t s g e n e r a l i z e d + a l u t h g et r a n s f o r m w ep r o v et h a t ( 1 ) w ( 7 n ) w ( t ) ，( 0 ，1 ) ，w h i c he x t e n d st h ec o n c l u s i o n sa b o u tn u m e r i c a l r a n g e sb e t w e e nt a n da l u t h g et r a n s f o r mt i n 【1 】 ( 2 ) w o ( 7 1 ) w ；( 丁) ，v t ( 0 ，1 ) i nc h a p t e r3 ，t h r o u g ht h es t u d yo ft h es p e c t r a lp r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e d a l u t h g et r a n s f o r m ，w ep r o v et h a tr - w e y l st h e o r e mh o l d sf o rt i fa n do n l yi fr - i i i w e y l st h e o r e mh o l d sf o rt 1i fa n do n l yi fr - w e y l st h e o r e mh o l d sf o rt 1 ( “a n d a l s ow es h o wt h a ta - w e y l 8t h e o r e mh o l d sf o rti fa n do n l yi fa - w e y l st h e o r e m h o l d sf o rt ，v a ( 0 ，1 ) i nc h a p t e r4 ，l e tpa n dqb eo r t h o g o n a lp r o j e c t i o n so nac o m p l e xh i l b e r ts p a c e b yu s i n gb l o c ko p e r a t o rm a t r i c e s ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed r a z i ni n v e r t i b i l i t yo f p r o d u c ta n dd i f f e r e n c eo fp r o j e c t i o n spa n dq a r ee s t a b l i s h e d ，w ea l s og i v et h e r e p r e s e n t a t i o no fd r a z i ni n v e r s e so fp r o d u c ta n dd i f f e r e n c eo ft w op r o j e c t i o n s i n a d d i t i o n ，w eo b t a i nav e r yi n t e r e s t i n gr e s u l t ：p q ( r e s p q ) i sd r a z i ni n v e r t i b l e i fa n do n l yi fp q ( r e s 尸一q ) i sm o o r e - p e n r o s ei n v e r t i b l e a tl a s t ，w ed os o m e r e s e a r c ho nt h ec o m m u t a t i v i t yb e t w e e nt w op r o j e c t i o n s w ep r o v et h a ti fa ( p q l = o ，1 ) ，t h e np q = q 尸m e a n w h i l e ，w ea l s oo b t a i nt h a ti fp q i se po p e r a t o r ，t h e n 尸q = q p k e y w o r d s ：t h eg e n e r a l i z e da l u t h g et r a n s f o r m a t i o n ；p o l a rd e c o m p o s i t i o n ；o r - t h o g o n a lp r o j e c t i o n ；n u m e r i c a lr a n g e ；d r a z mi n v e r s e ；c o m m u t a t i v i t yp r o p e r t y i v c ： z ： z ： a ： a ： 咒： 召( 日) ： ( h ) ： o ( t ) ： 冗( t ) ： a f ( t ) ： r ( t ) ： 丌： 主要符号表 复数域 所有整数之集 复数z 的共轭 集合的闭包 集合的闭凸包 h i l b e r t 空间 日上全体有界线性算子空间 日上全体紧算子之集 表示算子t 的谱 表示算子t 的值域 表示算子t 的核 表示算子t 的谱半径 b ( h ) 一层( 秆) ( h ) 上的典型映射 4 1 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：盔室日期：迦z ：8 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表木论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：0 盘云 日期： 前言 数值域作为泛函分析的重要组成部分一直以来备受国内外的关注尤其随着 1 9 1 9 年著名的t o e p l i t z - h a u s d o r f f 定理被证明之后，这方面的研究更为活跃许 多学者象p r h a l m o s ，t a n d o ，c p e a r c y , p e iy u a l lw u 等也在这方面做了大量 的研究工作关于数值域的文章也层出不穷，因此近年来得到了很大发展，使得 数值域成为一个非常活跃的领域有关这方面的研究涉及到了基础数学和应用数 学的许多分支，例如泛函分析，算子理论，g 一代数，不等式，数值分析，扰动 性理论，系统论和量子物理等等，并且在这些分支得到了广泛的应用 对于无限维h i l b e r t 空间上的任意有界线性算子t ，a a l u t h g e 在1 9 9 0 年讨 论p - 亚正规算子时定义了它的一种变换t = i t i u i t i ，( 其中t = u i t l 是算子 t 的极分解) 即算子t 的a l u t h g e 变换( 【2 】) 2 0 0 1 年，t y a m a z a k i 在讨论r 与 p 亚正规，l o g - 亚正规，廿亚正规算子的幂次之间的关系时又引入一个新算子 t ( ) = i t ig u i t i ，命名为算子t 的a l u t h g e 变换( 1 6 】) 这两个算子的引入为 算子论的研究注入了无限活力，众多学者开始了对t ，t 和t ( ) 的诸多性质的研 究例如三者的各种谱，数值域，不变子空间格，各种拓扑下的连续性等问题已经 有了相当深入的研究( 参见【1 】一【5 】) 其中在对三者数值域方面的研究，2 0 0 2 年台 湾学者吴培元在文【1 1 中给出了两个结论，即对任意的8 ( “) 中的算子t 有w ( t ) w ( t ) 和w ( t ) = w ( t ( ) ) 成立最近，吉国兴等人在文【9 】中又进一步对它的 本性数值域，极大数值域，本性极大数值域进行了研究m c h o 和k t a n a h a s h i 在文献f 8 】中，对于任意的算子t 8 ( 爿) ，研究了算子t 的广义a l u t h g e 变换 p = i t i u i t l l 。( 其中0 t 1 ) 类似地，我们可以定义了广义a l u t h g e 变换 那么我们不禁要问算子丁及其广义a l u t h g e 变换和广义+ 一a l u t h g e 变换三者的数 值域是否也存在类似的关系呢? 本文就是在此基础上，对三者的数值域，本性数 值域以及对正交投影积与差的d r a z i n 逆可交换性进行了研究，主要内容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定 理等第二节我们介绍了各种谱，广义a l u t h g e 变换，广义a l u t h g e 变换等概 念第三节主要给出了一些熟知的定理 第二章我们讨论了层( h ) 上算子的广义a l u t h g e 变换和广义+ 一a l u t h g e 变换 的各种谱，数值域，本性数值域及三者之间的关系证明了 ( 1 ) ( p ) w ( t ) ，v t ( 0 ，1 ) ( 2 ) w 。( t t ) w ：( t ) ，( 0 ，1 ) 推广吴培元在文献1 中的结果 第三章通过对算子及其广义a l u t h g e 变换谱关系的研究，得出修正的w e y l 定理( r e s p a - w e y l 定理) 对算子成立当且仅当对算子的广义a l u t h g e 变换( r e s p a - w e y l 定理) 也成立 第四章利用分块算子矩阵的技巧，刻画了正交投影的积与差的d r a z i n 逆存 在的充分必要条件，并给出了它们的d r a z i n 逆的具体的表达形式最后，还考虑 了两个正交投影可交换的一些等价刻画 2 第一章预备知识 1 1 引言 本章主要介绍文中要用到的一些符号，定义和后两章要用到的一些定理首 先主要介绍d r a z i n 可逆算子，算子的升降标等些常用概念其次给出本文中所 需要的几个重要定理 下面是本文中用到的一些记号 用咒表示复可分的h i l b e r t 空问，d i m t - i 表示空间“的维数，( ，) 和”0 分别表示氕中向量的内积和范数，用b ( 爿) 和x ：( r t ) 分别表示咒中的全体有界 线性算子和h 上的全体紧算子所组成的集合当空间瓦c h 时，用j c 上表示咒在 咒中的正交补子空间，c 表示复数域，z 表示所有整数集，乏表示复数z 的共 轭，7 r 表示s ( n ) 到c a l k i n 代数日( h ) c ( 咒) 上的典型映射p ( t ) ，盯( t ) ，( 刁， 西。( t ) 和( 丁) 分别表示算子t 的豫解集，谱，左本性谱，右本性谱及本性谱 用n ( t ) 和r ( t ) 分别表示算子t 的核空间和值域空间，用万表示集合a 的闭 包。用a “表示集合a 的闭凸包 对任意的有界线性算子丁，我们记t = u i t i 是算子t 极分解，其中i t i = ( t t ) ，u 是具有起始空间r ( i t i ) 和终止空间r ( t ) 的部分等距算子显然，我 们有u u i t i = i t i = i t l u u 成立，而且当n ( u ) = n ( t ) 时，t 的极分解是唯 一的 1 2 基本概念 定义1 - 2 1 1 1 1 l 设t b ( 咒) ，如果r ( t ) 是闭的，并且要么d i m n ( t ) ，要 么d i m n ( t ) o 。，则称r 是s e m i - f r e d h o l m 算子，此时称i n d t = d i m n ( t ) 一 d i m n ( t ) 为算子t 的( f r e d h o l m ) 指标，简记为l ( r ) 如果兄( 即是闭的， d i m n ( t ) o 。而且d i m n ( t ) o 。，则称t 是f r e d h o l m 算子，令i p ，和，分别 表示s e m i - f r e d h o l m 算子之集和f r e d h o l m 算子之集 定义1 2 2 l m l 对于任意的算子a 8 ( 爿) ，如果存在算子a t b ( h ) 满足下 列四个等式。 3 a a a = a ，a 1 a a t = a t ，( a a ) = a a ，( a 月) = a a 则称是a 的m o o r e 。p e n r o s e 逆 显然，若a 存在m o o r e p e n r o s e 逆，它的m o o r e - p e n r o s e 逆是唯一的易知 a 是m o o r 昏p e n r o s e 可逆的当且仅当佗( a ) 是闭的 定义1 2 3 1 1 7 1 对于任意的算子a b ( 九) ，如果存在a d b ( h ) ，满足下列等 式l a k + l a n = a 七a d a a d = d a a d = a d a 则称a d 是a 的d r a z i n 逆 同样地，我们知道a 的d r a z i n 逆若存在也是唯一的 定义1 2 4 1 1 7 1 若存在非负整数n 使得( 小) = a f ( a + 1 ) ( 冗( 印) = 冗( a n + 1 ) ) ， 则称a 有有限升( 降) 标若a 有有限升标，满足( a o ) = 厂( 小+ 1 ) 的最小整数 n 称为a 的升指标类似地。若a 有有限降标，满足7 9 ( a 6 ) = 7 9 ( a 6 + 1 ) 的最小 整数6 称为a 的降指标 易知，如果a 有有限升指标和降指标，则升指标n 和降指标6 是相等的我 们把这个非负整数q 做a 的d r a z i n 指标，记作i n d ( a ) 定义1 2 5 1 16 j 对任意算子t 8 ( 咒) 及任意的整数n ，我们定义矗为算子 t 在空间r ( p ) 上的限制，即从兄( p ) 到兄( p ) 的映射( 特别地t o = 丁) 如 果对某个整数n ，值域空间r ( p ) 是闭的且矗是f r e d h o l m 算子，那么丁叫做 b f r e d h o l m 算子 定义1 2 6 1 1 1 j 设任意算子t 8 ) 如果r 是指标为0 的p r e d h o l m 算子， 那么t 叫做w e y l 算子；如果丁有有限升降标的f r e d h o l m 算子，那么算子r 称 为b r o w d e r 算子 ： 定义1 2 7 1 0 1 对任意算子t b ( 7 - t ) ，我们称集合 i 矿( t ) = a c ：a = ( t x ，z ) ，0z0 = 1 ) 4 为丁的数值域，w ( t ) = s u p ial ：a ( 丁) ) 为t 的数值半径 我们知道，对任意有界线性算子t 数值域w ( t ) 的闭包包含算子t 的谱 定义1 2 8 嘲对任意算子t b ( 爿) ，我们称集合w ；( t ) = a c ：存在一弱 收敛于零的单位向量列 z 。) 满足当n 一时，( 7 _ 。，z 。) 一埘为t 的本性数 值域 类似地，对于任意的算子t ，本性数值域w ：( 丁) 包含算子丁的本性谱 现在给出有界线性算子t 的广义a l u t h g e 变换f 和广义一a l u t h g e 变换齐 的定义 定义1 2 9 r l 令t = u i t l 是算子t 的极分解，则 ( 1 ) 乒= i t i w i t l l 一称为算子t 的广义a l u t h g e 变换 ( 2 ) 参“：i t 1 2 u i t * 1 1 一t 称为算子丁的广义一a 1 u t h g e 变换( 其中0 t 1 ) 我们知道算子的极分解是不唯一的，然而根据定义，可以证明p 和p “是 与部分等距算子u 的选取无关的 对任意算子t b ( h ) ，我们用( t ) ，( t ) ，a d ( t ) ，叨。( t ) ，o r b 。( t ) ，和矿b b ( t ) 分别表示算子t 的w e y l 谱，b r o w d e r 谱，d r a i n 谱，b 本性谱，b - w e y l 谱 和b - b r o w d e r 谱，定义如下： ( r ) = a c ：t a 不是w e y l 算子) ， a b ( t ) = a c ：t a 不是b r o w d e r 算子) ， o d ( 刀= a c ：t a 不是d r a z i n 可逆的) ， 口b 。( t ) = a c ：t a 不是b - f r e d h o l m 算子) ， o b 。( t ) = a c ：t a 不是b - w e y l 算子) ， 和 a b b ( t ) = a c ：t a 不是b - b r o w d e r 算子) 5 1 3 预备定理 引理1 3 1 令t = u i t i 是算子t 的极分解，则 ( 1 ) t = u i t i 是算子r 的极分解； ( 2 ) ( 丁) = 丁( ； ( 3 ) t ( ) = u t u 引理1 3 2 1 8 l 对任意算子t 8 ) ，有盯( t ) = 盯( 丁) = 盯( 丁( ) ) 定理1 3 3 ( 极分解定理) 设a b ) ，则存在一个从a f ( a ) 1 到冗( a ) 的 部分等距算子u 使得a = u i a i 定理1 3 4 【1 1 j ( 谱映射定理) 设一4 是一个口代数如果o a ，则对于仃( ) 邻域上的每一个解析函数，都有盯( ，( n ) ) = ，( 盯( ) ) 定理1 3 5 【12 1 ( d o u g l a s 值域包含定理)如果a 和日是h i l b e r t 空间h 上的 有界线性算子，则以下命题等价 ( 1 ) u ( a ) c 冗( b ) ， ( 2 ) 存在一个常数e 使得a a c 2 b b ， ( 3 ) 存在一个有界线性算子d 满足a = b d 定理1 3 6 1 1 1 1设t 8 ( h ) 是正算子，则存在唯一的正算子a b ( h ) ，使 得a 2 = t ，称a 为t 的平方根，记作丁当t 与s 可交换时，t 亦与s 可交 换 6 第二章算子的广义a l u t h g e 变换的数值域和本性数值域 2 1 引言 在1 9 9 0 年，a a l u t h g e 讨论p _ 亚正规算子时定义了一种变换t = i t i u i t i ， ( t = u i t l 是算子丁的极分解) 即算子丁的a l u t h g e 变换( 【2 1 ) 2 0 0 1 年，t y a m a z a k i 在讨论t 与p 亚正规，l o g - 亚正规，肛亚正规算子的幂次之间的关 系时又引入一个新算子t ( ) = i t 1 u i t * i ；，命名为算子t 的。一a l u t h g e 变换( 【6 】) 这两个算子的引入为算子论的研究注入了无限活力，众多学者开始了对t ，t 和 丁( ) 的诸多性质的研究例如三者的各种谱，数值域，不变子空间格，各种拓扑下 的连续性等问题已经有了相当深入的研究其中在关于三者数值域的研究方面， 2 0 0 2 年台湾学者吴培元在文【1 1 中给出了两个结论，即对b ( 咒) 中任意的有界线 性算子t 有( 1 ) w ( t ) w ( t ) ，( 2 ) w ( t ) = ( t ( ) ) 成立最近。吉国兴等人在文 【9 】中又进一步证明对于本性数值域有( 1 ) 眠( t ) w e ( t ) ，( 2 ) 瞰( t ) = 眶( t ( ) ) 在本章中我们证明算子及其广义a l u t h g e 变换和广义一a l u t h g e 变换同样具有类 似的性质 2 2 算子的广义a l u t h g e 变换的数值域 设咒是可分无限维h i l b e r t 的空间，8 ( h ) 表示咒上的所有有界线性算子组 成的b a n a c h 代数，疋( 咒) 表示所有紧算子的全体设丌是b ( n ) 到c a k i n 代数 b ( 爿) 肛( h ) 上的自然映射设t b ( h ) ，我们易证t ，t t ，f ( ) 三者之间有如下 关系 引理2 2 0 对于任意的算子t b ( n ) ，t = uitl 是算子丁的极分解，则 ( 1 ) p = 扩l t i 是算子p 的极分解 ( 2 ) ( 而) = 面( i ，t ( o ，1 ) ； ( 3 ) f ( + ) = u f ，t ( o ，1 ) 引理2 2 1 t 6 l 对于任意韵算子a ，x g ( h ) ，如果a 是正算子，则对于任意的 r e o ，1 1 ，z c 有下面的不等式成立 7 0a 7 x a l 7 一z ll i - - - i la x z l0 70x a z l1 1 1 7 利用算子矩阵分块的技巧，我们分别给出t ，t t ，t t ( ) 三者的矩阵表示形式 如果对空间爿按照7 - 1 = n ( t ) o 丽进行正交分解，那么算子t 和u 有如下 的矩阵形式 t = ( ：口a ) u = ( ：茏) 通过计算可得，在空间爿= n ( t ) o 丽分解下， f = ( ：呈) ， 其中x = ( a a + b b ) u 2 ( a a + b + b ) 孚 事实上，u 是从( t ) 1 到瓦两上的酉算子从空间( t ) o 丽到空间 n ( t ) o 瓦丽上，u 有如下的矩阵形式 u = ( ：最) ， 其中v o 是一个酉? z - - 子 因为u f u ：齐”，所以算子f ( ) 在空间7 - l ：n ( t ) 。瓦丽分解下有如下 的矩阵形式 排( ：) ， 其中y = v o x v ； 定理2 2 2 对于任意的算子t 8 ( h ) ，t = u l t i 是算子t 的极分解，则对 于任意的t ( 0 ，1 ) ，有 ( 1 ) 而而：w ( 齐) ； ( 2 ) w ( f ) ( r ) 8 证明：( 1 ) 设t 8 ( h ) ，若取n ( u ) = ( t ) ，则算子? 有唯一的极分解 t=u iri ，显然有n ( t ) = ( iti ) = n ( u ) 且瓦i 巧= 瓦丁i 可 利用上述的矩阵表示形式，在空间何= n ( t ) o 丽空间的分解下，那么 算子r 有如下的矩阵形式 其中x = ( a a + b + b ) u z ( a a + b b ) 孚 ，一一 事实上，u 是从( 丁) 上到面两上的酉算子从空间( 丁) o 丽到空间 ( p ) o 面丽上，u 有如下的矩阵形式 c ，= ( ：品) ， 其中v o 是一个酉算子 因为面矿= f ”，所以算子f ( ) 关于空间7 - i = n ( t ) 。i 丽分解下有如 下的矩阵形式 ， 批0 ；) ， 其中y = u o x u ； 由于x 和y 酉相似，因此( x ) = w ( y ) 易知 w ( x ) w ( t 9 ( ( x ) u o ) ) “ 同时有 w ( y ) ( f p ) ( ( y ) 【j o ) ) “ _ f _ = = 万 因此只需证0 w ( p ) 当且仅当0 ( p ) 不妨设0 隹w ( p ) ，则0 隹o ( t ) ，即p 可逆故iti 和itj 1 。可逆且u 为 酉算子因此t 和f + 都可逆，即0 隹口( f + ) 故0 隹( 齐) 。 相反，假设0 譬w ( o ) ，我们类似地，可得到0 隹( f ) 因此对于任意的t ( 0 ，1 ) ( f ) = w ( f 、。) 9 ， a b o x 0 o o 0 ，一，一 = = r p ( 2 ) 我们分两种情况加以考虑 ( i ) 当d i mk e r a d i mk e r a 时，这时我们可以选取丁的极分解t = u ti 中 的部分等距算子u 为等距算子因此根据引理2 2 1 ，有 07 、一z j0 tiu z j 旷0uftl - z l 旷。 = 0 矿( t z s ) u r 一2 圳1 。 0t z j0 ，v z c 因为w ( t ) = n c z c ：i 。一ai 0t a j0 ， 所以w ( p ) w ( t ) ，v t ( 0 ，1 ) ( i i ) 当d i mk e r a d i mk e r a 时，我们用小来代a 作用到上式，即可得 w ( t “) w ( t ) 因此由定理2 2 2 ( 1 ) 和引理2 2 0 知， w ( t 1 - ) = ( t “) w ( t ) ( 0 ，1 ) ， 由t 的任意性，可得 ( f ) cw ( 印，v t ( 0 ，1 ) 综上所述，w ( t ) ( t ) ，( 0 ，1 ) 证毕 注：特别地，我们令t = j 1 ，即得到了吴在文献【1 】中，证明的结论w ( t ) w ( t ) 。= _ = 一 w ( t ) = 彬( t ( + ) ) 1 0 2 3 算子的广义a l u t h g e 变换的本性数值域 首先我们给出本性数值域的一些重要的结论； 引理2 3 1 对于任意算子t 8 ( 咒) ，w 。c t ) 是一个非空闭凸集且包含本性谱 以( t ) 定理2 3 2 对于任意算子t 8 ( 咒) ，有w ：( t ) = w ：( t ) = 天：a w ：( t ) ) 在文献【9 】中，吉国兴等人证明了对于任意的算子t 8 ( 咒) ，有w ：( t ) w ：( t ) 在本小节我们利用类似的方法，主要来讨论算子t ，p ，p ( ) 的本性数值 域之间的一些关系 、一 引理2 3 3 设算子t 8 ( 咒) ，则对于任意的紧算子k 丘( 咒) ，有( t + k ) t 一 弘瓦) 证明。由于口+ ) ( t + k ) = t 。t + k 1 ( 其中k 1 c ( h ) ) ，即it + k1 2 = it1 2 + k 1 因此用自然映射7 r 对等式两边作用，可得 7 r “r + ki ) = 7 r ( iti ) 即lt + kl iti 咒( 爿) 则对于任意的f ( 0 ，1 ) ，我们有it + 七i - iti 尼( “) 设t = uri 和r + k = vit + k1 分别是t 和t + 的极分解， 因此 k = v it + i uitl ( 咒) 因为y ( it + ki iti ) 瓦( h ) 且y ( 1t + kj iti ) + ( y u ) lti 瓦( h ) ， 所以( y 一) iti 疋( h ) 如果l t i 是可逆的，那么( y u ) i t l 咒( 咒) 否则令i ( x ) = z 1 _ ，z 【0 ，l ltm ，我们可以选取一列多项式r ( ) 且r ( o ) = 0 ，使得l i l ，1 。ir f | - 0 根据s t o n e - w e i e r s t r a s s 定理，可得 ( y u ) r ( i r i ) 足( 珂) 因此( v u ) iti t 【) 由于对于任意的t ( 0 ，1 ) ，it + ki 一itj 咒( 咒) 由于( t + k ) 一t 。 = l 丁+ i 矿it + k1 1 一一iri u t 1 1 “ = i 丁+ ki y ( i ? + k1 1 一it1 1 一) + fr + 1 2 ( y u ) ft1 1 _ t + ( ft + ki 一f 丁f ) ftf 1 - 故( t + k ) 一p 瓦( h ) 证毕 定理2 3 4 设算子t b ( 咒) ，则对于任意的t ( 0 ，1 ) ，有 职( f ) ：职( 膏) 证明：事实上，若取n ( u ) = ( it1 ) ，则t = ultl 是算子t 的唯一极分解 _ 二 。 我们知道在空间爿= n ( t ) or ( t ) 的正交分解下，t 。有如下的矩阵形式 f = ( ：呈) 在空间爿：n ( t ) 。瓦两的正交分解下，哥。有如下的矩阵形式 批( ：；) ， 其中x 和y 酉等价即y = x 因此，显然有 w ：( x ) = 仰：( y ) 同时有 眦) 毗( f ) ( 职( x ) u o ) “， 并且 毗( y ) 哦( f ) ( 眦( y ) u o ) “ 下面只需证o w ；( 每) 当且仅当0 w ：( f ) 如果0 毗( f ) ，那么0 眦( 再) 若不然，假设0 譬眦( f ) 则毗( i ) ：毗( y ) 且0l ( 募) 根据引理2 3 1 ，我们知道0g ( 耳) 因此t t 是f r e d h o l m 算子 故w 。( t 9 = 亿( x ) = h ，e ( y ) = w ：( r ) 矛盾 类似地，我们可以证明如果0 u 名( p ”，) ，那么0 w e ( p ) 证毕 特别地，令t = 即可得a l u t h g e 变换和一a l u t h g e 变换本性数值域是相等 推论2 3 5 1 9 1 设算子t 8 ) ，则u 名( t ) = 毗( t ( ) 定理2 3 6 设算子t b ) 则对于任意的t ( 0 ，1 ) ，有w ：( p