（应用数学专业论文）burgers方程和广义burgers方程的两点边值问题.pdf

b u r g e r s 方程和广义b u r g e r s 方程的两点边值问题 摘要 本七论b u 噼时程 t t + 牡钍= 互u z 2 l ( o 1 ) 与广义b u r g e r s 方程 缸t - 4 - ，( “) 。= p q ( u 。k( o 2 ) 悯眦彻凰舯勰2 h 吖似油腻黼敢棚。2 了靠扣 主要内容为t ( 1 ) 通过h o p f - c o l e 变换及分离变量方法求解b u r g e r s 方程( 0 1 ) 在区域0 卫 1 ，t20 上的初边值问题所求形式解在t 0 时满足方程及边界条件 ( 2 ) 分别讨论了广义b u r g e r s 方程( o 2 ) 在有对流流函数，( 牡) 及无对流流函数时解 的渐进行为。它们分别趋于相应定常问题的解 ( 3 ) 在文献f 7 j 的基础上，本文对方程( o 2 ) 在区域o z l 上讨论了有大初始值 时初边值问题解的爆破性 关麓调：b u r g e r s 方程。广义b u r g e r s 方程， 、_ 一一， 一 渐进行为，爆破性 、 t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u e sf o rb u r g e r s e q u a t i o n a n dg e n e r l i z e db u r g e r s e q u a t i o n c u ij u l i a n a b s t r a c t 2 i nt h i sp a p e r ，t w o - p o i n tb o u n d a r yv a l u e sp r o b l e m so ft h eb u r g e r se q u a t i o n 讹+ 札t z = 三让嚣a n dt h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o nu t + ，( 钍) z = 王，q ( t z ) z a r es t u d i e d ，w h e r e ，( t i ) i ss m o o t hf u n c t i o na n dq ( ) = 1 丝专i nt h es e c 一 、1 + t 孟 o n ds e c t i o n w ef i n dt h ef o r m a ls o l u t i o nt ot h eb u r g e r se q u a t i o ni nt h er e g i o n 0sz 1 ，t 0 ，a n dt h e nw ep r o v et h a tt h es o l u t i o ni sw h a tw ea r es e a r c h i n g f o rt 0 t ot h eg e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n ，w ed i s c u s si ti nt h er e s ts e v e r a l s e c t i o n s i nt h et h i r ds e c t i o n ，t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so ft h es o l u t i o nf o rt h e g e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o nw i t hc o n v e c t i v ef u n c t i o na n dn o n c o n v e c t i v ef u n c - t i o na r ea n a l y z e d r e s p e c t i v e l y , b o t ho fw h i c ht e n dt ot h ec o r r e s p o n d i n gs t e a d y e q u a t i o n i nt h ef o r t hs e c t i o n ，t h eb l o w u po ft h es o l u t i o ni s d i s c u s s e dt ot h e i n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t h s u f f i c i e n tl a r g ei n i t i a lw h ei nt h er e g i o n o z l k e yw o r d s ：b u r g e r se q u a t i o n ，g e n e r a l i z e db u r g e r se q u a t i o n ，a s y m p - t o t i cb e h a v i o r ，b l o w u p 1 引言 1 引言 1 9 4 8 年，j o h a n n e sb u r g e s 首先用模型： 2 毗+ u u x 2 互让z z 3 ( 1 1 ) 来描述流体中的湍流人们对此方程的研究不断深入，它也就成了描述对流一耗散流之间相互 影响的最原始模型这个方程就被人们以j o h a n n e sb u r g e s 的名字命名为b u r g e r s 方程，它 的特点是能通过h o p f _ c o l e 变换钍= 一警线性化其中初始值问题已经有了很多结果最 初的结果是由文f 28 1 给出的，即，如果初始值在有限区间可积且满足臂u o ( v ) d v = o ( 1 省1 2 ) ， 那么此初始值问题的解可以明确地写出来，且文【8 l 还系统地研究了解的大时间行为及糕性 系数消失时解的行为 初边值问题也有了不少结果k t j o s e p h 在1 9 8 8 年在四分之一平面上，对可积初 始值和分片常边值的b u r g e r s 方程得到了牯性系数趋于零时的弱极限公式，并且证明了这 个弱极限公式对般边值也成立【1 2 1 ；j k e v o r k i a n ，j d c o l e 在1 9 8 1 年对初始值和边界 值为不同常数且p 为比较小的正效时的五种情形( 初始值和边值的符号及二者可能出现的 关系) 进行了讨论【1 4 1 ；在此基础上，k t j o s e p h ，p l s a c h d e v 对y _ + 0 时出现的各 种情形进行了讨论，并得出了在这些情况下解的明确表达式及渐近行为【1 3 】；f c a l o g e r o ， s d e l i l l o 讨论了半直线上在原点处有更一般边值条件日阻( o ，t ) ，t l 。( o ，t ) ；t l = o ( t 0 ) 的初边值问题【1 】 对更一般的粘性守恒率方程 m + ，( 乱) 。= u 。( 1 2 ) t p l i u ，s h y u 首先讨论了相应初边值问题解的渐进行为【2 1 】；之后，t p l i u ，k n i s h i h a r a 巾埘= 巴 线有机地联系起来【2 4 1 也是在同一年。他找到了个典型的流函数q ( s ) = 了丽8 利用 1 1 7 】；p r o s e n a u ，j m a l i k 在1 9 9 0 年还研究了另个典型的耗散流两数q ( 钍z ) 2r 竽乏 到了此问题解的w 1 ( l 叮) 估计( 1s 口曼o o ) 1 1 6 ；之后，j g o o d m a n ，p r o s e n a u ， 本文的第三、四部分，都是以耗散流函数q ( s ) = 了f 8 ；：季作为研究对象的此时对 方程( 1 3 ) ，由于u 。前面的系数一般不是个正常数，有时还与有关，导致方程( 1 2 ) 在第二部分，我们考虑b u r g e r s 方程( 1 1 ) 在区域【0 ，1 】f o ，t 】上的两点边值问题， 其中边值和初值都取常数( 见第二节中的( 2 1 ) ) 首先利用h o p f c o l e 变换将该同题线 性化，然后通过分离变量方法得到线性化问题的形式解p ( 盘，t ) 再根据变换( 2 4 ) 得到原问 萎( 一等c o s p n ：r p 。s i n p m x ) e x p ( 一；疋t ) e 一扩篁百i s 磊i n 五面i 丽。 ，量( 一薏 z + 0 0 8 z ) 似p ( 一；碟。) 则当t 0 时，t ( z ，t ) 满足问题( 2 1 ) 中方程及边值条件 在第三、四部分中，我们将考虑广义b u r g e r s 方程( 1 3 ) 的初边值问题，其中q ( u 。) = 丽u x 删为叶黼函数 在第三部分我们首先讨论无对流项，( t ) ，且两点边值为常数( 不一定相等) 时解的渐进 定理3 1 假设u ( x ，t ) 是( 3 1 ) 的古典解， ( 。) 是相应定常问题的解，令k = 堕二；兰，如果初始导数充分小，即存在常数卢 0 ，使得 | l 让( ，t ) 一t 6 l l bse - c t f f t o ( ) 一u b 瞪， 其中让6 为相应定常问题的解 从而，对上述两种情形，都有结论；当t - + c o 时，u ( x ，t ) 在l 2 中趋于相应定常问 题的解然而对有对流项，但两点边值不相等的初边值问题却没有得到这个结论 在第四部分，在文献【7 】的基础上对上述有对流项的初边值问题，我们讨论了大初始值 问题古典解的爆破性在本部分，我们对对流藏函数，( 札) 及初始值u o ( z ) 作如下假设： l 清建条件 ( 1 ) ，( 钍) 是光滑函致；( 2 ) v t i ，( 一让) = ，( t i ) ，f ( o ) = 0 ； ( 3 ) ，( t 上) o ，v u o ；( 4 ) 当牡_ + 0 时，( t 正) - o o u o ( x ) 满足条件 ( a ) 忙) 是光滑函数；( b ) u + u o ( x ) o ，v z ( 0 ，) ；( c ) u o ( x ) 妒( 。) ，v x 0 其中( 6 ) ，( c ) 中的钍+ ，妒分别是待定的常数和函数我们得到如下结论 定理4 1 设u ( z ，t ) 是d i r i c h l e t 问题( 4 1 ) 的古典解，条件( 1 ) 一( 4 ) 及( a ) 一( c ) 成立如果 ( i ) 存在让+ 2 u ； ( i i ) 条件( c ) 中的妒 ) 是一个光滑函数，存在r 0 ，使得妒( r ) = 札+ ，而且满足 2 b u r g e r s 型方程的边值问题 7 q ( 妒。) 。一，( i p ) 。 0 ，使得当t - - + t 一时，有s u p i u 。( z ，t ) i _ + z 定理4 1 中的假设( i ) 易验证，而假设( i i ) 在第四部分引理4 2 中得到了验证 2 b u r g e r s 方程的两点边值问题 文【1 3 】在区域z o ，t o 上考虑了b u r g e 硌方程u t + ；( 钍2 k = ；u 。的初边值 问题( t ( z ，0 ) = u ，牡( o ，t ) = 让口，u i ，u b 为常数) 的解的明确表达式及渐进行为在此基 础上，本节讨论在有界区域o z 1 ，t 0 上的初边值问题当两点边值及初始值均为常 数时解的表达式考虑如下b u r g e r s 方程的两点初边值问题 t t + t l t l 。= ：t 。，( 。，) ( o ，1 ) ( 0 ，t ) t t + t 上t 正z = 互t ( 。，o ) ( o ，1 ) ( ，2 。) 钍( z ，0 ) = ，z 【0 ，1 】 u ( o ，t ) = u 一，u ( 1 ，t ) = t + t 【0 ，卅 其中u l ，u 一，n + 是常数，且t 一 0 首先求问题( 2 1 ) 的形式解作变换( 见文【1 3 】) 埘：，。， j 0 口一p ( 一詈) ， p = ”唧( 害一等) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 2 b u r g e r s 型方程的边值问毫 则( 2 1 ) 变为 由( 2 2 ) 可知 即 王， 轨2 互p p ( 茁，o ) = e x p ( 一- “y “) ， v p x ( o ，t ) + u p ( o ，t ) = 0 y p 。( 1 ，t ) + u + p ( 1 ，t ) = 0 u ( x ，t ) = t 正，+ 札b = t 正，一( p i n ) $ = ( 0 , 1 3 7 一i n ) 。= ( 一王，l n p ) 。 u ( z ，t ) ：一p 丝 p 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 如果能求出问题( 2 3 ) 解，那么通过变换( 2 4 ) 就可得到问题( 2 1 ) 的解；反之，如果知道 问题( 2 1 ) 的解，通过变换( 2 4 ) 就可得到问题( 2 3 ) 的解因而问题转化到了求同题( 2 3 ) 的解在求解问题( 2 3 ) 之前。我们先给出如下s t u r m l i o u v i l l e 定理 引理2 1 在区间【o ，1 】上特征值问题 文( z ) + a x ( z ) = 0 ，0 z 0 时，所有特征值都是正数 ( i i ) 所有特征值组成一个单调递增以无穷远点为凝聚点的序列 0 a l a 2 a n 0 ，根据引理2 1 有，特征值同题( 2 5 ) 的特征值a 一定为正 数由此可求得( 2 4 ) 的特征函数为 x ( z ) = c 1 s i n 弧茁+ 6 2 c o s v x x ( 2 6 ) z i j u r g e r s 型方程的边值问题1 0 从而 又( z ) = 镢( ac o s 屈一6 2s i n v q x ) ， x ( o ) = , t i c ， 戈( 1 ) = 办( ac o s 弧一qs i n 狐) ， 且x ( o ) = q ，x ( a ) = c 1s i n 孤+ 岛c o s 镢 由( 2 5 ) 。有以g i + u - 岛= o 辛g - = 一式云q 又由( 2 5 ) 4 有 ( 牡+ 一t 一) c 。s 以一( p 瓠+ 装) s i n 瓠= o 即 t a n 瓠2 砥u + - - u - ( 2 7 ) p 、， + 耳 令p2 弧，由于衄线! ，2 t a n z 与曲线可2 罚u i + 1 - - 簪t - 有无穷多个交点，所以( 2 7 ) 有无穷多个解 设这无穷多个解为p l ，助，如，一从而a 。= p ：，n = 1 ，2 ，3 ，一， ( z ) = g ( 一去s i n d n x + c 。s z ) ， 其中m 一1 ) 7 r 0 时，u ( x ，t ) 在古典意义下满足问题中方程( 2 1 ) l 及 边值条件( 2 i ) 3 一( 2 1 ) 4 由变换( 2 4 ) 知，如果能证得定理2 2 ，就可以得到定理2 3 ；反之也成立故关键在 于证明定理2 2 定理2 2 的证明：1 要证p ( z ，t ) 在0 。1 ，t 0 中满足方程( 2 3 h ，的关健是 证明 只( z ，t ) ， n = 1 r t ( 岳，t ) n = i p n 。( z ，t ) ， t l = l p n z z ( s c ，t ) f i = l 一致收敛为此我们首先估计妒。= 勰的有界性由( 2 8 ) ，有 又 幔= 0 1 瓦u - s i n z c o s 茁) 2 如 = 瓦- - ) 2 0 1 ( s i n v 。x ) 2 出一篆肛艄啡z 如+ 0 1 ( c o s 酬2 出、 = c 去，2 0 1 竽出一薏肛。z 出+ 0 1 毕出 = ；( 薏) 2 ( 1 一百s i n 2 ) + 靠( c o s 2 p , - i ) + 互1 ( 1 + s 瓦i n 2 # n ) = ；【( 兰u - t n ) 2 _ 惫+ 1 】+ i 1 卜( 去弼1 s i n 2 _ k + 彘c o s 2 胁( 。) ( k ) = 0 1e x p ( 一等) ( 一薏s i n z + c o s p n z ) 如 = 一薏z 1 e x p ( 一等) s i n 脚础+ f 0 1e x p ( 一等) c o s p n x 如 ：一兰j 1 + 如， 王，i k z 5 u r g e r s 型方程的边佳问题1 3 经计算可得 j = z 1e x p ( _ u 。l x ) s i n # n x 出 = 一考z 1s t n p n z d e x p ( 一詈z ) f 。1 = 一考s i n p 。e x p ( 一罟) + 警0 1 exp(一u，ljo z ) c 。s z 如 t 工， t ， ：一兰s i n # ne x p ( 一竺) + 竺坐如， 牡， v 钍， 所以 如= 一毒上1c 毗z d e x p ( 一了u l x ) = 一。y ， c o s p , n e x p ( 一詈) 一1 卜等上1e x p ( _ u ，i _ 5 x ) s i n z 出 一。v ， c o s ，i i e x p ( _ 石u l - 1 ) 】+ 等s i n i - t n e x p ( 一詈) _ 等2 2 厶 从而 ( 妒，) = 踯+ 等) = ( 等s 蛳。一面vc o s p 。) e x p ( _ 罟) + 岳 如= 垒生之尘号争芊笋e x p ( 一罟) + 石丽l l l v ( z s ) 一去【一v n e x p ( u l s i n d n 一詈) + 等列+ 1 2一石五l _ 一一了j + 百+ 。2 j + 兰u l 击s i n e x p ( 一詈) + ( 1 一兰u i ) ，如p n l ， = m u l u 。- 7 十+ 缈d ：v 2 is i n # 一雨u i - - 万牡_ c o s 肛。l e x p ( 一詈) + 根据( 2 1 3 ) ，令l i 矗瞻= j l + j 2 其中 ( t ，一钍一) 扩 t ；+ 疋2 ( 2 1 6 ) 。，l = 互1 i 瓦u _ ) 2 一羡+ 1 】，如= 尹1l 一( 薏) 2 j 1 s i n 2 - h + 靠c 。s 2 p n 下证蕊1 一致有界 2 b u r g e r s 型方程的边值问题 事实上，由5 - u _ 。，显然j 1 又因( n - 1 ) 7 r l 时， 丽1 4 从而，对v 礼，丽靠 0 上一致收敛 由于( $ ) = 一罟i s i n 如z + c o s z ，所以i x ( x ) l 0 ，t 0 ，所以e x p ( 一i v p 。2 t ) 关于t 0 一致收敛，从而p 扛，t ) 一致收 n = l “ 敛 + o o+ o o+ o o 3 下证p n 。，r 。，r 一致收敛 t t = 1n = ln = l 由于r 。= 妒。矗( z ) e x p ( 一i 2 p , 。2 t ) = 妒n (熹c 。s p n z - - s i n p 。z ) 似e x p ( 一百3 p 。2 t ) p 肛n z 。 2 b u r g e r s 型方程的边值问题 又由( 2 1 6 ) 及i 赢扛) l 的一致有界性， 此式右边在z 0 时一致收敛，因而，k 一致收敛 t = l + 0 0+ o o 同理可证r 。，p n t 一致收敛 n = 1n = 1 g q _ - o op 。e x p ( 一；肛：t ) n = i 4 再证p ( z ，t ) 满足( 2 3 ) 中方程及边值条件由上面可知 r ( 卫，t ) 只( 童，t ) r 。( z ，t ) = k ( 。) ( 一互v p 。2 ) e x p ( 一j s 2 t ) ， 。( 一羔c o s p n x “n z ) e x p ( 一弘t ) p “【一瓦 一8 1 n z ) 8 x p 【一i p 圳 ( 一疋) ( 一薏s i n z - b e o s d n g ) e x p ( 一i v p n 2 t ) ( 一p ：) o ) e x p ( 一弘t ) ， 所以p t = ；j k 即p ( x ，t ) 满足( 2 3 ) 1 又由于 r ( o ，t p ( o ，t ) 只( 1 ，t p ( 1 ，t ) 再利用( 2 5 ) ，得到 妒。p 。( 一去c o s 一s i n ) e x p ( 一百2 h 2 t )【一；石0 0 8 一8 m ) 8 x p 【- 互h 妒。( 一等c o s 一s i n ) e x p ( 一i 2 2 t ) ( 一老s i n 肛n + c o s p n ) e x p ( 一；疋t ) 只( o ，t ) + u p ( o ，t ) = 0 ，b ( 1 ，t ) + t l + p ( 1 ，t ) = 0 从而p ( x ，t ) 满足边值( 2 3 ) 3 一( 2 3 ) 4 至此定理得证 佃=嚣慧删 2 np 扩一2 卜 d 印 疋 e 一2 竺， 州 一 e n n 妒 蚧 抽暑暑脚佃= 3 广义b u r g e r s 方程的两点边值问题 1 6 注：所求形式解p ( z ，t ) 是否满足初始条件尚未证明，关键问题是能否得到级数 + o o+ + + o o r ( 。，t ) ，r 。( z ，t ) ，r t ( z ，z ) ，p n 。( f ) n = ln = ln = 1 n = l 在0 z 1 ，0 上一致收敛从而也未能证明形式解缸 ，t ) 在0 z 1 ，t 0 上 为问题( 2 1 ) 的解 3 广义b u r g e r s 方程的两点边值问题 对广义b u r g e 碍方程( 1 3 ) ，文1 1 6 1 取耗散流函数q ( ) 。i _ 乏在有界区 域陋o ，z 1 】上讨论了两点边值问题古典解的渐进行为；而文【17 】对耗欺流函数q ( ) = 在第三、第四节，我们所选取的耗散流函数都是q ( u 。) = 首先考虑无对流项的两点边值问题解的渐进行为对无对流项广义b u r g e r s 方程的两 点边值问题 t l t = 王，q ( t k ) 。，( 0 ，l ) ，t o 钍( o ，t ) = 让一，u ( l ，f ) = “+ ，t 0 u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，z 0 ，l l ( 3 1 ) 其中 哺散流函数扣焘。注意州2 南 。m 舳 何，问题( 3 1 ) 都是抛物的 引理3 1 考虑两点边值问题( 3 1 ) ，假设“o c 3 【0 ，纠，i | 札圳p 有界，那么对 南 3 广义b u r g e r s 方程的两点边值同志 v t 0 ，下列估计式成立 牡。i i c o 。i i 碥i l l * 1 7 牌耻 z ， 有唯一古典解 ( z ) = 当z + t | 一 硼渊。锄奸硼允棚扣。划“) 删南划以而 ( 3 2 ) 的解，令七= 坦- 型，如果存在p 女，使得钏p 0 由已知l l u 6 l l l * p 七，利用引理3 1 ， 有i i 钍。l p k 兮l l 七辛- k u 。 o 2 ) 当v 。= 一k 时，由引理3 1 ，有u 。一女= 一( 七一牡。) 0 y - 刃弄函i 万面砺罚百丽 1l 于是有 别d 叫( ，圳艮+ a i j w 。( ，眺：。 舯a = 而霈毒筹器丽 由p o i n c a r e 不等式，有 别d 伽( ，啪：+ c m ，呲。s o 3 广义b u r g e r s 方程的两点边值问是 再利用g r o n w a l l 不等式，可得结论成立 推论由估计式( 3 3 ) 知：当t _ o o 时，( ，t ) 一口( ) 1 1 l ：_ 0 1 9 其次考虑( 1 2 ) 的初边值问题解的渐进行为对有对流项的广义b u r g e r s 方程的两点 边值问题 t l t + ，( 让) 。= p q ( t 上。) 。，p 0 ，t 0 ，z ( 0 ，五) “( 0 ，t ) = u ( i ，t ) = t 6 ，t 0 u ( x ，0 ) = t 0 ( z ) ，z 【0 ，l 】 其中u b 为常数，p 0 ，u o ( o ) = u o ( l ) = 撕，q ( t 。) = 先考虑相应的定常问题，有如下结论 ( 3 4 ) 引理3 4 对定常问题 r l ，( ) 。= q ( ) 。，。( 0 ，工) ， ( 3 5 ) l ( o ) = v ( i ) = t 6 ， 髁嘶黼膝件南k d 焉k o 舷髓( 3 5 ) 张p 古姗 0 ) 三u 6 址明：珂l j a j l 乘以 ，然后夭于z 征i u 纠上积分，则 z 。”m ) 。如= p o q ( ) 。池 分部积分，左边= ”，( ”) i 皇= 。一o ，( ”) 。如= 一z f ( ”) d z = 一上f ( u ) 。d 茁= 。 ( 其中f ( s ) 为f ( s ) 的原函数) 由引理中的条件，右边为 “南k r 惫k 沪焉蜒o ， 南 3 广义b u r g e r s 方程的两点边值问题 2 0 引理3 5 考虑问题( 3 4 ) ，若u o c 3 【o ，纠，且存在o 0 ，使得 i i q ( u ；) i i l * + 2r l ( u o ) l l l 一o 0 使得 i l ( ，t ) 一t “| i b e - c t i l u o ( ) 一u 6 l i 各 ( 3 7 ) 证明：令叫( z ，t ) = “( 茁，t ) 一u b ，在( 3 4 ) 1 的两边同时乘以i p 铝【o ，l 1 ，并关于z 在 o ，l 1 上积分，则有 j ( 啦i p 如+ o ，( u ) 。妒出= 扩o q ( u 。) 。妒如 取妒= 加，则叫。= u 。，叫。= 牡。，且j ( ，) 。加d 。= 一o ，( 缸) 牡。出= o ，所以 z o l w t t m 出+ j ( m ) 。”如+ v 上q ( u 。) w ，d x = 。 净跏( t ) | 艮+ o l f 础+ v o 燕如- o 由b 暗13 , 6 ，有 装di ( ，傩。+ 了南刊( ，崛。 o 上，有大初始值的广义b u r g e r s 方程( 1 3 ) 的d i r i c h l e t 边值问题解的爆破性 考虑如下模型 t l t + ，( t ) 。= q ( 钍。) 。，z ( 0 ，三) ，t 0 ，p 0 u ( o ，t ) = 0 ，u ( l ，t ) = u + ，t 0 u ( x ，0 ) = t o ( 童) ，z ，目 舯q 0 ，v u 0 ；( 4 ) 当u _ + 0 0 时，( u ) _ + o o ( 4 1 ) 初始值u o ( x ) 满足条件 ( a ) u o ( x ) 是光滑函数；( b ) 钍+ 伽扛) 0 ，v x ( 0 ，三) ；( c ) u o ( x ) 妒扛) ，v z 0 ， 其中+ ，妒0 ) 分别为待定的常数和函数 定理4 1 设u ( x ，z ) 是d i r i c h l e t 问题( 4 1 ) 的古典解，条件( 1 ) 一( 4 ) 及( a ) 一( c ) 成立如果 ( i ) 存在u + 2 u ； ( i i ) 条件( c ) 中的妒( z ) 是一个光滑函数，存在r ( o ，l ) 使得妒( r ) = u + 而且妒满 yf(、(。p，)x一-。，m甲y、q。，(p：x)。ilz(0l) c 4 s ， 证明：由于q ( s ) 2 了南是严格单调递增的，因而是可逆的，且q 一1 ( z ) = 了禹也是单调递增的由( 4 3 ) ，有，( 妒) 一m p q ( ) = g ，即= q - 1 ( 丛专笔善) 矛醑纠 所以 ，口( z ) d u 厶矛鬲一 其中常数gm 应满足第二个边值条件 f 而d 呖 u 乩 设面：= 溉妒( z ) ， 令 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 。l ，i r a 。t p x ( z ) = o ，其中面 1 取c = ，( 豇) g ( 豇，m ) ：= o ”面酮d u 4 广义b u r g e r s 方程f 的爆| t 性 下面证明存在豇，m ，使得 g ( 面，9 t $ ) = l ( 4 7 ) 易知a ( a ，m ) 关于面，m 都是连续的又对v 面，m 1 ，有g 忙，m ) 0 ，且当 m _ 时，有g ( 豇，m ) - o o 另一方面。令m ：丛堕 l ，得到 r o g ( 面，( 面) ) = j u 茎i u i 潲研1 p i 。o - 1 - 蚴 1 、一 儿b ) ， 不等式的得出是由于q _ 1 的单调递增性及，在“ 0 时的递减性当i 训充分大时 q - ( 1 一丑f ( 盟a ) 、j 也充分大，因此存在面= 面。沁使得 ( ，一篇) 掣 眦g ( 等鲁 由于g 的连续性，必然存在面，m ，使得( 4 7 ) 成立这样，我们便得到问题( 4 3 ) 解 的存在性由极值原理知u 妒0 ，再由( 4 4 ) 得 0 从而引理证毕 g l l l l4 2 假设( 1 ) 一( 4 ) 成立那么对任何满足钍+ 矿 0 ， 一定存在一个光滑蠡敬妒( z ) 满足( 4 2 ) ，且妒( r ) = 矿 证明：利用引理4 1 ，取( 4 4 ) 中的妒，易得( 4 3 ) 成立，不过此时妒( r ) = 钍+ ，从而 ( 4 2 ) 成立由于妒( o ) = 0 ，妒。 0 ，故存在r ( o r l ) ，使得妒( r ) = + 面 堕卜 矿 4 广义b u r g e r s 方程解的壤耻性 引理4 3 假设条件1 ) 一4 ) ，( a ) 一( c ) 成立那么问题( 4 1 ) 的解有界具体如下 t l + u ( x ，t ) 0 ，v 石( 0 ，l ) ，t ( 4 8 ) 且对任意u + ，t l + “+ 0 ，使得让( r ，t ) 札+ 引理4 3 得证 定理4 1 的证明 由引理4 1 ，引理4 2 有q ( ) 。一，( 妒) 。 0 ，且存在r ，使得妒( r ) = u + ， 0 上u ( z ，t ) d x r u + ( 4 1 0 ) 五d 厶r t 正。，t ) 如= 一，( t ( r ，t ) ) + ，( t l ( 。，t ) ) + q ( t 正。( r ，t ) ) 一v q ( u 。( o ，) ) 辛茇dr 。篓焉( x ) d x 刊辛上u ( 叫) 如- q 抖上 t 时，( 4 1 0 ) 与( 4 1 1 ) 矛盾 有界故必有l i 婴s u pi u x ( x ，t ) i = o o 否则，由严格抛物方程理论，正则解整体存在 t - - 7 0 ( z l 誊者文献 参考文献 1f c a l o g e r o ，s d e l i l l o ，t h eb u r g e r se q u a t i o no nt h es e m i l i n ew i t hg e r n e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa tt h eo r i g i n ，j m a t h p h y s , 3 2 ( 1 9 9 1 ) ：9 9 1 0 5 【2 】j d c o l e ，o naq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o no c c u r i n gi na e r o d y n a m i c s q u a r t a p p l m a t h ，9 ( 1 9 5 1 ) ：2 2 5 - 2 3 6 【3 】3d i n gx i a q i ，j i uq u a n s e n ，h ec h e n g ，o nan o n h o m o g e n e o u sb u r g e r se q u a - t i o n ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e sa j ，v o l4 4 n o 8 ( 2 0 0 1 ) ：9 8 4 - 9 9 3 【4 】董光昌，非线性二阶偏徽分方程，他用数学丛书) 清华大学出版社( 1 9 9 8 年版) 【5 】f r i e d m a na ，p a r t i m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p e ，( e n g l e w o o d c l i f f s ，n j ；p r e n t i c e - h a i l ) ( 1 9 6 4 ) 【6 】j g o o d m a n ，n o n l i n e a ra s y m p t o t i cs t a b a l i t y o fv i s c o u ss h o c kp r o f i l e sf o r c o n s e r v a t i o nl a w s ，a r c h r a t m e c h a n a l ，9 5 ( 1 9 8 6 ) ：3 2 5 - 3 4 4 ( 7 1j g o o d m a n ，a k u r g a n o v a n dp r o s e n a u ，b r e a k d o w ni nb u r g e r s - t y p ee q u a - t i o n sw i t hs a t u r a t i n gd i s s i p a t i v ef l u x e s ，n o n l i n e a r i t y ，1 2 ( 1 9 9 9 ) ：2 4 7 - 2 6 8 【8 】e h o p f ，t h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nu + _ t i = u # ，c o m m p u r e a p p l m a t h ，1 3 ( 1 9 5 0 ) ：2 0 1 2 3 0 9 】l i n gh s i a o ，t a i p i n gl i u ，c o n v e r g e n c et on o n l i n e a rd i f l i s i o n w a v e sf o r s o l u t i o n so fas y s t e mo fh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w aw i t hd a m p i n g c o m m m a t h p h y s ，1 4 3 ( 1 9 9 2 ) ：5 9 9 6 0 5 誊考文献 【1 0 】q u a n s e nj i u ，t w o - p o i n t sb o u n d a r uv a l u ep r o b l e m sf o rs t e a d yb u r g e r s e q u a t i o n ，j c a p i t a ln o r m a lu n i v e r s i t y , 2 1 ( 2 ) ( 2 0 0 0 ) ：1 0 1 4 【11 】q u a n s e n j i ua n dt a o p a o ，b e h a v i o r s o ft h es o l u t i o n st os c a l a rv i s c o u sc o n s e r v a t i o nl a w so i lb o u n d a r yi n t e r v a l ，a c t a m a t h a p p l s i n i c a ，e n g l i s h 【1 2 】k t j o s e p h ，b u r g e r se q u a t i o ni n t h eq u a r t e rp l a n e ，af o r m u l af o rt h e w e a kl i m i t ，c o m m p f e a p p l m a t h ，v o lx l i , ( 1 9 8 8 ) ：1 3 3 - 1 4 9 【l3 】k t j o s e p h ，p l s a c h d e v ，i n i t i a lb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rs c a l a ra n d v e c t o rb u r g e r s e q u a t i o n ，s t u d a p p l m a t h ，n o 4 ，1 0 6 ( 2 0 0 1 ) ：4 8 5 - 5 0 5 f 1 4 】j k e v o r k i a na n dj d c o l e ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d s i na p p l i e dm a t h e m a t i c s ， s p r i n g e rv e r l a g , n e wy o r k , 1 9 8 1 f 1 5 】姜礼尚，陈亚浙