（工程力学专业论文）多部位损伤结构的剩余强度研究.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究了含多部位损伤结构的应力强度因子和剩余强度。采用各向异性体 平面弹性理论中的复势方法，以f a b e r 级数为工具，得到了含多裂纹有限大板在任意 载荷作用下应力场的级数解，并应用断裂力学方法确定裂纹尖端的应力强度因子；b 1 入当量屈服应力考虑裂尖塑性区的影响，提出基于带屈服准则的剩余强度分析模型， 能够充分考虑结构尺寸和裂纹之间相互作用对应力场的影响：通过数值计算详细讨论 了结构尺寸和裂纹之间位置关系对应力强度因子和结构剩余强度的影响规律，得到了 一系列对工程应用具有实用价值的结论。 关键词：多部位损伤，应力强度因子，剩余强度，屈服准则 多部位损伤结构的剩余强度研究 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa n dt h er e s i d u a ls t r e n g t ho f p a n e l sw i t h m u l t i p l es i t ed a m a g e a l es t u d i e di nd e t a i l u s i n gt h ec o m p l e x p o t e n t i a lm e t h o di nt h ep l a n e t h e o r yo fe l a s t i c i t yo f a na n i s o t r o p i cb o d y , as e r i e ss o l u t i o nt ot h es t r e s sf i e l do faf i n i t e p l a t ec o n t a i n i n gm u l t i p l ec r a c k ss u b j e c t e dt oa r b i t r a r yl o a d si so b t a i n e db ym e a n so f t h e f a b e rs e r i e se x p a n s i o n ，a n dt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa tt h ec r a c k t i p sa r ec a l c u l a t e db a s e d 0 1 1t h et h e o r i e so ff r a c t u r em e c h a n i c s e q u i v a l e n c ey i e l ds t r e s si si n t r o d u c e di no r d e rt o c o n s i d e rt h ee f f e c t so ft h ep l a s t i cz o n e s 谢t l lw h i c ht h es t r i py i e l dc r i t e r i ai sd e v e l o p e di n t h ea r t i c l es ot h a tt h ee f f e c t so fs t r u c t u r a ls i z ea n dt h ec r a c ki n t e r a c t i o i l so nt h es t r e s s d i s t r i b u t i o nc a nb ec o n s i d e r e da c c u r a t e l y t h ee f f e c t so f p l a t es i z e c r a c ks i z ea n dc r a c k d i s t r i b u t i o n so nt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sa sw e l la st h er e s i d u a ls t r e n g t ho ft h ep l a t ea r e s t u d i e dd e t a i l e d l y s e v e r a lc o n c l u s i o n sv a l u a b l et op r a c t i c e sa r ed r a w n k e yw o r d s ：m u l t i p l e - s i t ed a m a g e ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ，r e s i d u a ls t r e n g t h ，y i e l d c r i t e r i a 一2 南京航空航天大学硕士学位论文 第一章绪论 多部位损伤( m u l t i p l e s i t ed a m a g e ，简写为m s d ) 这一术语最早出现于对1 9 8 8 年4 月发生的a l o h a 航空公司灾难性事故的分析中，该事故被认为是由于众多微小的 疲劳裂纹连接而导致的【l i 。这些从相似的、邻近的结构细节发散的众多微小疲劳裂纹 就是多部位损伤的一种形式。在此之前，因多部位损伤问题而导致的事故也时有发生， 如1 9 7 2 年在俄罗斯的a n 1 0 a 客机失事就是由于机翼下表面上存在的众多疲劳裂纹 造成的。1 9 9 0 年1 1 月，澳大利亚皇家空军的m a c c h i a 7 0 7 6 飞机在作6 9 机动时左翼 失效事故也是由于机翼下表面的多部位损伤问题引起的【2 j 。 多部位损伤问题并不局限于飞机结构中，桥梁、压力容器等工程结构中也容易产 生多部位损伤。1 9 9 8 年9 月2 5 日澳大利亚维多利亚州l o n g f o r d 的e x x o n 气炼制车 间发生爆炸事故，起因是一个再蒸锅容器在焊接处由于存在大量的微缺陷而导致断 裂。此次事故给澳大利亚造成直接经济损失超过1 5 亿美元。这些灾难性事故迫使人 们对多部位损伤现象进行高度重视，提出种切实可行的办法来确定工程结构的损伤 容限和快速准确地评估其剩余强度变得极为迫切。 多部位损伤通常指众多任意长度、任意分布的裂纹，它是老龄飞机及许多工程结 构中存在的一种典型的损伤形式。在飞机结构中，这些裂纹通常沿着机翼和机身上成 排的钉孔方向排列。多部位损伤危及到结构的完整性，严重地影响着结构的使用安全， 由于裂纹之间的相互作用，导致结构的剩余强度比以单一裂纹模型确定的剩余强度低 得多。因此，研究多部位损伤结构的剩余强度问题具有重要的工程意义和很高的实用 价值。 在随后的对不同飞机进行检查的结果表明：多部位损伤问题广泛地存在于老龄飞 机中。对老龄飞机所伴随问题地领域多年来一直在进行世界范围地研究，1 9 9 1 年的 统计数据表明美国舰队的3 1 在使用上均超过了由制造商提供的设计目标，更有甚 者，到2 0 0 0 年为止，世界范围内使用的美国制造的舰队有6 4 已经使用了2 0 年或者 更多年。多部位损伤问题对这些老龄飞机的使用安全构成了潜在威胁。毫无疑问，对 于确保老龄飞机的结构完整性来说，研究多部位损伤问题是专家学者们的必经之路。 1 2 多部位损伤结构的研究概况 研究多部位损伤的关键是要解决多缺口及裂纹群的力学问题，它涉及到多连通域 的边值问题，属计算力学范畴。至今仅有少量的规则排列的无限大板的多裂纹问题具 多部位损伤结构的剩余强度研究 有解析解，这与实际结构中存在的裂纹大小、裂纹方向及分布任意性、且具有任意边 界和载荷条件相差甚远，因此多采用数值方法来研究。 由多部位损伤而产生的结构使用性能的降低可以量化地用强度下降、疲劳裂纹增 长和疲劳寿命等来表征，众多学者多从应力强度因子、剩余强度、疲劳裂纹扩展速率 和疲劳寿命等几方面来研究，并取得了定的成果。i r o r i s a m o l u 4 4 1 提出了随机系统 模型，从可靠性角度研究含有m s d 结构系统的失效概率。j h p a r k 等人【4 5 1 对含m s d 的机身板壳结构进行完整性评估，采用弹一塑性有限元交替方法( e p f e a m ) 计算裂 纹的扩展速率和结构的剩余强度。r m vp i d a p a r t i 等人【46 j 通过计算疲劳裂纹扩展速 率、剩余强度和疲劳寿命来评估含m s d 板件的结构完整性，并编写了相应的m a t l a b 程序。目前研究这一问题主要采用计算力学的方法分析裂纹群的应力强度因子等力学 参量，继而应用断裂力学中的失效判据确定其剩余强度。下面仅就应力强度因子研究 和剩余强度研究两个方面作一简要概述。 1 2 1 应力强度因子研究 线弹性断裂问题的重要研究内容是确定裂纹尖端的应力强度因子，由于裂纹之间 的相互作用，增加了对多裂纹结构研究的难度和复杂性，众多文献中都采用数值方法 进行分析计算。随着计算机技术的飞速发展，很多学者( c h e n l 3 】，c a i l 4 等) 用交替迭 代方法解决多裂纹问题。j h k u a n g 5 1 等根据已有的单一裂纹结果用迭代方法研究二 维平行裂纹的相互影响，指出两裂纹间邻近的两裂尖的应力强度因子受到影响最大， 且该影响与裂纹间距和裂纹大小有关；同时得出两裂纹重叠时应力强度因子的屏蔽现 象。s h aq t e ta 1 【6 , 7 1 和m ac c e ta 1 o 】等通过有限元方法计算权函数来分析裂纹问 题；t f e t t t l l 】采用权函数法研究二维周期分布的边裂纹问题；x w a n g e ta 1 【1 2 】利用权 函数的性质和已有某些形状裂纹的权函数解析式导出三维内置椭圆裂纹问题的近似 权函数。袁杰红等人 1 3 , 4 7 1 采用线弹簧模型通过积分变换方法求解多个共面任意分布表 面裂纹的应力强度因子。 上述研究方法只能解决某些有限情况下特定分布的裂纹问题，对于任意分布的多 裂纹问题，有限元法( f e m ) 无疑是工程实际中常用的方法i l ”。用有限元法计算应 力强度因子时，其精度在很大程度上依赖于单元网格划分的尺寸，q z x i a o 等【1 4 1 用 罚平衡杂交应力单元方法( p e h s ) 分析断裂问题，指出当用四节点等参元计算时， 有些参数如j 积分的计算结果的精度很大程度上也取决于单元网格划分。采用杂交有 限元法虽然可以使计算精度有所提高，但占用更多的机时，尤其是在计算多裂纹问题 时，更为明显。此外，也有不少学者用边界元方法( b e m ) 1 6 - - 1 9 1 和边界积分方程方 法( b i e ) 【2 咐4 1 研究任意分布多裂纹结构的断裂问题，与有限元法相比，边界元法只 一2 一 南京航空航天大学硕士学位论文 需离散边界，因此很大程度上减少了问题求解的自由度，而且计算域内的应力场时比 用有限元法更精确，从某种意义上讲，边界元法在分析此类问题上比有限元法更具优 势。w h c h e n 和t c c h e n l 25 | 用双重边界元方法研究二维多裂纹情况，该方法能够 解决任意分布和数量、任意形状和方向的多裂纹问题，不需迭代就能较准确地模拟各 裂纹之间的相互影响。a c h a n d r a 等人【27 】通过描述微观特性的积分方程方法分析了j 下 交各向异性弹性介质中微裂纹之间的相互作用，并将微观影响引入宏观的边界元分析 中，得到杂交的微宏观边界元列式，用来研究含有众多微裂纹的正交各向异性材料 的断裂性能。近年来许多学者将s c h w a r t z n e u m a r m 交替方法【2 q 与有限元法或边界元 法相结合，提出了有限元交替方法( f e a m ) 2 9 - 3 2 1 或边界元交替方法( b e a m ) 3 3 , 3 4 1 ， 用来研究二维多裂纹的断裂问题，wh c h e n 和c s c h a n g 3 1 , 3 2 1 ；采用有限元交替 方法来分析二维多裂纹混合模型的断裂问题，其中f 3 l j 给出了混合边界条件时的处理方 法：h r a j i y a h 和s n a t l u r i 3 3 1 用边界元交替方法预测了二维多裂纹混合模型的应力 强度因子和权函数，但这类方法都必须用到含中心裂纹的无限大板在裂纹表面作用任 意载荷时的应力场的解析解，而且在计算裂纹位置处的应力分布时需要通过迭代来完 成。 有限元法和边界元法虽然能够计算工程实际中具有任意分布多裂纹结构在任意 载荷作用下的断裂问题，但是由于裂纹尖端的应力奇异性以及裂纹群之间的相互影 响，随着裂纹数目的增加，这些方法都存在着数据准备量大、计算时间长、精度差等 缺点，在工程分析中难以普遍应用。值得指出，结构在任意载荷作用下，裂纹群中的 某些裂纹可能存在闭合现象，导致非线性的摩擦接触问题。从现有的文献来看，对裂 纹闭合接触的研究仅限于极其有限的特殊情形。s b l i u 和c l t h l 2 6 】用边界元方法 分析了考虑摩擦接触的二维裂纹闭合问题，yz c h e n 4 8 】通过叠加办法分析了含中心 裂纹的无限大板在受远场拉伸和一对集中力作用时裂纹的闭合问题。对于任意情况下 的多裂纹的闭合问题，目前尚未加以考虑。 1 2 2 剩余强度研究 含多部位损伤的结构在使用过程中，由于各裂纹之间的相互作用，使得裂纹的扩 展速率加快，当两相邻的裂纹连接在一起，形成一个连续的裂纹时，将导致结构的承 载能力急剧下降，因此对多部位损伤结构的剩余强度研究，主要集中于对多裂纹之间 的连通准则的研究，如带屈服准则【3 7 】、平均位移准则和平均应力准则等，众多学 者为此付出了大量的努力【3 ”“，同时应力强度因子( ，印p ) 准则和净面屈服准则也经 常被用来预测含m s d 结构的剩余强度。e j m o u k a w s h e r e ta 1 3 5 , 3 6 l 、d yj e o n g 和j c b r e w e r 3 8 1 、m c c h e r r ye ta 1 【3 9 l 、b e r tl s m i t he ta 1 【4 0 1 等人用这些准则预测了多部 多部位损伤结构的剩余强度研究 位损伤结构的剩余强度，并通过试验来验证结果的准确性。e j m o u k a w s h e r 等人 3 5 , 3 6 j 做了大量的试验，研究含有中心主导裂纹的试件的剩余强度，指出用。准则和净面 屈服准则预测剩余强度时，由于没有考虑裂尖塑性区引起的承载能力损耗，当试件中 心裂纹两侧含有微小的孔边裂纹时往往高估其剩余强度，而用带屈服准则计算的结果 则与试验结果吻合较好。dyj e o n g 和j c b r e w e r l 3 8 1 提出了平均位移准则和平均应 力准则，并与带屈服准则一起，将计算结果与试验结果相比较，指出用该两准则预测 强度时得到偏于保守的估计，用带屈服准则预测的结果吻合较好，而且平均略高于试 验结果。m c c h e r r y 等人 3 9 1 利用试验同时分析了这五种失效准则的准确性，得出了 相同的结论。b e r tl s m i t h 等人 4 0 】通过试验，提出早先的连接模型预测的结果只在某 些特定的裂纹结构下准确，其他情况下误差很大，修改的裂纹连接模型在不同的板宽 和厚度下有较大的适用范围。由于随着外载的增加，裂纹尖端塑性区不断扩大，带屈 服准则认为：当两个裂纹尖端塑性区刚好发生接触时，原先的两条裂纹合并成一条长 的裂纹。因此在应用带屈服准则时，需要计算裂尖塑性区的尺寸，显然，应用不同的 方法计算塑性区尺寸时，预测的剩余强度结果也不同。j h k u a n g 和c k c h e n 【4 ” 采用d u g d a l e 模型，考虑裂纹之间的影响，通过迭代计算塑性区的尺寸，应用带屈服 准则预测了壁板的剩余强度。x d e n g 和j wh u t c h i n s o n 4 2 1 将应变硬化和裂纹扩展阻 力引入d u g d a l e 模型，研究了微小裂纹对含主导裂纹的板材的剩余强度的影响。r g a l a t o l o 和k 一f n i l s s o n l 4 3 1 利用试验与计算相结合研究了含m s d 的对接接头板件的剩 余强度问题。 含多部位损伤结构的剩余强度问题是当今结构完整性研究和寿命预测的关键问 题之一。结构剩余强度的降低依赖于材料特性、结构几何形状、裂纹尺寸和分布等诸 多因素，而现有的预测剩余强度的失效准则适用范围极其有限，而且未能考虑裂纹之 间相互作用对应力场的影响，对于复杂分布的多裂纹结构，由于裂纹之间的相互影响 错综复杂，并且对其破坏机理知之甚少，目前仍无合理有效的分析计算方法。 1 3 本文的主要目的与内容编排 本文旨在前人工作的基础上，深入细致地研究多裂纹平面结构的断裂问题，详细 讨论各种参数对应力强度因子和结构剩余强度的影响规律，为确定多部位损伤尺寸限 制提供依据。 本文第一章中简要评述了全文所涉及领域的发展概况，并指出存在的若干不足之 处。第二章的内容主要为以后几章的研究提供必备的基础，在第三章中利用复势方法 导出满足边界条件的复势函数待定系数方程组，分析了带裂纹板的断裂问题，第四章 则引入失效准则研究多裂纹结构的剩余强度，最后在第五章中对全文内容作出总结。 4 南京航空航大大学硕十学位论文 参考文献 1 n a t i o n a l t r a n s p o r t a t i o ns a f e t y b o a r d ，a i r c r a f t a c c i d e n t r e p o r t ，r e p o r t n t s b a a r 一8 9 0 3 2 s p i t ta n dr j o n e s ，c o m p l i a n c em e a s u r e m e n t sf o ra s s e s s i n gs t r u c t u r a li n t e g r i t y , e n g i n e e r i n gf a i l u r e a n a l y s i s ，2 0 0 1 ，v 0 1 8 ，3 7 1 - 3 9 7 3 c h e nyz a n dc h a n g s c ，a n a l y s i so f t w o d i m e n s i o n a lf r a c t u r ep r o b l e mw i t h m u l t i p l e c r a c k su n d e rm i x e d b o u n d a r yc o n d i t i o n ，e n g i n e e r i n g f r a c t u r e m e c h a n i c s ，1 9 8 9 ，v 0 1 3 4 ，n o 4 ，9 2 1 9 3 4 4 c a ih a n df a b e rk t ，o nt h eu s eo fa p p r o x i m a t i o nm e t h o df o rm i c r o e r a c k s h i e l d i n gp r o b l e m s ，a s m e j o u r n a lo fa p p l i e dm e c h a n i c s ，1 9 9 2 ，v b l 5 9 ， 4 7 9 5 0 1 5 k u a n gj h a n dc h e nc k ，e q u i v a l e n c ef o rt w oi n t e r a c t i n gp a r a l l e lc r a c k s ， a s m ej o u r n a lo f p r e s s u r ev e s s e lt e c h n o l o g y , 1 9 9 8 ，v j l 1 2 0 ，4 2 4 - 4 3 0 6 s h agt s t i f f n e s sd e r i v a t i v ef i n i t ee l e m e n tt e c h n i q u et od e t e r m i n en o d a l w e i g h tf u n c t i o n sw i t l ls i n g u l a r i t ye l e m e n t s ，e n g i n e e r i n gf r a c t u r em e c h a n i c s ， 1 9 8 4 ，v 0 1 1 9 ，6 8 5 6 9 9 7 s h ag t a n d y a n gc t ，w e i g h t f u n c t i o nc a l c u l a t i o n sf o rm i x e d m o d ef r a c t u r e p r o b l e m sw i t l lt h ev i r t u a lc r a c ke x t e n s i o n t e c h n i q u e e n g i n e e r i n g f r a c t u r e m e c h a n i c s ，1 9 8 5 ，v 0 1 2 1 ，1 1 1 9 1 1 4 9 8 m ac c ，c h a n gz a n dt s a ic h ，w e i g h tf u n c t i o n so fo b l i q u ee d g ea n d c e n t e rc r a c k si nf i n i t eb o d i e s ，e n g i n e e r i n gf r a c t u r em e c h a n i e s ，19 9 0 ，v b l _ 3 6 ， 2 6 7 - 2 8 5 9 1 j a ic h a n dm ac c w d g h tf u n c t i o n sf o rc r a c k si nf i n i t er e c t a n g u l a r p l a t e s ，i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo f f r a c t u r e ，1 9 8 9 ，、，0 1 4 0 ，4 3 6 3 1 0 m ac c a n ds h e ni k ，c a l c u l a t i o no fs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r sf o re l l i p t i c a l c r a c k si nf i n i t eb o d i e sb yu s i n gt h eb o u n d a r yw d g h tf u n c t i o nm e t h o d a s m e j o u r n a lo f p r e s s u r ev e s s e lt e c h n o l o g y , 1 9 9 9 ，v 0 1 1 2 1 ，1 8 l - 1 8 7 1 1 tf e t t ，w e i g h tf u n c t i o n sf o rp l a t e sw i t hp e r i o d i c a le d g ec r a c k s ，i n t e r n a t i o n a l j o u r n a lo f f r a c t u r e ，1 9 9 6 ，v b l 7 8 ，r 4 5 一r 5 2 1 2 x w a n g ，s b l a m b e r ta n dgg l i n k a ，a p p r o x i m a t ew e i g h tf u n c t i o n sf o r e m b e d d e de l l i i p t i c a lc r a c k s c 多部位损伤结构的剩余强度研究 1 3 袁杰红，周建平，唐国金，宋先村，多个共面任意分布表面裂纹的应力强度 因子，力学季刊，2 0 0 0 ，v 0 1 2 l ，n o 1 ，7 2 7 9 14 qz x i a o ，b l k a r i h a l o o a n deww i l l i a m s ，a p p l i c a t i o no f p e n a l t y e q u i l i b r i u m h y b r i d s t r e s se l e m e n tm e t h o dt oc r a c k p r o b l e m s ， e n g i n e e r i n g f r a c t u r em e c h a n i c s ，l 9 9 9 ，v 0 1 6 3 ，1 - 2 2 1 5 l i e b o w i t zh a n dm o y e re 一，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d si nf r a c t u r em e c h a n i c s ， c o m p u t e r s & s t r u c t u r e s ，19 8 9 ，v 0 1 31 ，1 - 9 16 ge b l a n d f o r d ，a r i n g r a f f e aa n dj a l i g g e a ，t w o d i m e n s i o n a ls t r e s s i n t e n s i t y f a c t o rc o m p u t a t i o n su s i n gt h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d i n t j n u m e r m e t h o d s e n g ，1 9 8 1 ，v 0 1 1 7 ，3 8 7 4 0 4 1 7 a p o r t e l aa n dm h a l i a b a d i ，t h ed u a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ：e f i e c t i v e i m p l e m e n t a t i o n f o rc r a c kp r o b l e m s ，i f l t j n u m e r m e t h o d se n g ，1 9 9 2 ，v 0 1 3 3 ， 1 2 6 9 1 2 8 7 18 a p o r t e l a ，m h a l i a b a d ia n dd p tr o o k e ，d u a lb o u n d a r ye l e m e n ta n a l y s i so f c r a c k e dp l a t e s ：s i n g u l a r i t ys u b t r a c t i o nt e c h n i q u e ，i n t j f r a c t 19 9 2 ，v 0 1 5 5 ， 1 7 2 8 1 9 ym ia n dm h a l l a b a d i 。d u a l b o u n d a r y e l e m e n tm e t h o df o r t h r e e - d i m e n s i o n a lf r a c t u r em e c h a n i c sa n a l y s i s ，e n g a n a l b o u n d a r ye l e m e n t s ， 1 9 9 2 ，v 0 1 1 0 ，1 6 1 1 7 1 2 0 j w e a v e r ，t h r e e - d i m e n s i o n a lc r a c ka n a l y s i s ，i n t j s o l i d ss t r u c t ，1 9 7 7 ，v 0 1 13 ， 3 2 1 3 3 0 2 1 k t a k a k u d a , s t r e s ss i n g u l a r i t i e sn e a rc r a c kf r o n te d g e s ，b u l l j s m e ，1 9 8 5 ，v o l 。 2 8 ，2 2 5 2 3 1 2 2 k t a k a k u d a ，tk o r z u m ia n dts h i b u y a ，o ni n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d sf o r c r a c kp r o b l e m s ，b u l l j s m e ，1 9 8 5 ，v o j 2 8 ，2 1 7 1 2 2 4 2 3 l j g r a y , j em a r t h a a n d a r i n g r a f f e a , h y p e r - s i n g u l a ri n t e g r a l si nb o u n d a r y e l e m e n tf r a c t u r ea n a l y s i s ，i n t j n u m e r m e t h o d s e n g ，19 9 0 ，v 0 1 2 9 ， 1 1 3 5 1 1 5 8 2 4 e z p o l c h ，ta c r u s ea n dc j h u a n g ，t r a c t i o nb i es o l u t i o n sf o rf l a tc r a c k s ， c o m p u t m e c h ，1 9 8 7 ，v j l 2 ，2 5 3 - 2 6 7 2 5 、hc h e na n dtc c h e n ，a ne f f i c i e n td u a lb o u n d a r ye l e m e n tt e c h n i q u ef o r at w o d i m e n s i o n a lf r a c t u r ep r o b l e mw i mm u l t i p l ec r a c k s i n t j n u m e r 一6 南京航空航大大学硕士学位论文 m e t h o d se n g ，1 9 9 5 ，v o l3 8 ，1 7 3 9 1 7 5 6 2 6 s b l i ua n dc l t a n ，t w o - d i m e n s i o n a lb o u n d a r ye l e m e n tc o n t a c tm e c h a n i c s a n a l y s i so fa n g l e d c r a c kp r o b l e m s ，e n g i n e e r i n gf r a c t u r em e c h a n i c s ，19 9 2 ，v 0 1 4 2 ，n o 2 ，2 7 3 2 8 8 2 7 a c h a n d r a k x h ua n dy h u a n g ，ah y b r i db e m f o r m u l a t i o nf o rm u l t i p l e c r a c k si no r t h o t r o p i ce l a s t i cc o m p o n e n t s ，c o m p u t e r s & s t r u c t u r e s ，19 9 5 ，v o l 5 6 ，n o 5 ，7 8 5 7 9 7 2 8 gc s i h m e c h a n i c so ff r a c t u r ei ：m e t h o do fa n a l y s i sa n ds o l u t i o n so fc r a c k p r o b l e m s n o o r d h o i f , l e y d e n ，t h en e t h e r l a n d s ( 1 9 7 3 ) 2 9 tn i s h i o k aa n ds n a t l u r i ，a n a l y t i e a ls o l u t i o nf o re m b e d d e d e l l i p t i c a lc r a c k s ， a n df i n i t ee l e m e n t a l t e r n a t i n gm e t h o d f o re l l i p t i c a ls u r f a c ec r a c k s ，s u b j e c t e dt o a r b i t r a r yl o a d i n g s e n g n g f r a c t u r em e c h ，1 9 8 3 ，v 0 1 1 7 ，2 4 7 2 6 8 3 0 pe o d o n o g h u e ，tn i s h i o k aa n ds n a t l u r i ，m u l t i p l es u r f a c ec r a c k si n p r e s s u r ev e s s e l s ，e n g n g f r a c t u r em e c h ，1 9 8 4 ，v 0 1 2 0 ，5 4 5 5 6 0 31 wh c h e na n dc s c h a n g a n a l y s i so ft w od i m e n s i o n a lf r a c t u r ep r o b l e m s w i mm u l t i p l ec r a c k su n d e rm i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，e n g i n e e r i n gf r a c t u r e m e c h a n i c s ，1 9 8 9 ，v 0 1 3 4 ，n o 4 ，9 2 1 9 3 4 3 2 w th ，c h e na n dc s c h a n g a n a l y s i so ft w od i m e n s i o n a lm i x e d m o d ec r a c k p r o b l e m sb yf i n i t ee l e m e n ta l t e r n a t i n gm e t h o d ，c o m p u t e r s & s t r u c t u r e s ，1 9 8 9 ， v 0 1 3 3 ，n o 6 ，1 4 5 1 1 4 5 8 3 3 h r a j i y a ha n ds n a t l u r i e v a l u a t i o no f k f a c t o r sa n dw e i g h tf u n c t i o n sf o r 2 一dm i x e d m o d em u l t i p l ec r a c k sb yt h eb o u n d a r ye l e m e n ta l t e r n a t i n gm e t h o d ， e n g f r a c t m e c h ，1 9 8 9 ，v o l3 2 ，9 1 1 - 9 2 2 3 4 wh c h e na n dy _ m t u t h e r m a la n a l y s i sf o rt w o d i m e n s i o n a lf r a c t u r e p r o b l e m su s i n gb o u n d a r ye l e m e n t a l t e r n a t i n gm e t h o d ，c o m p u t e r s & s t r u c t u r e s ， 1 9 9 4 ，v 0 1 5 0 ，4 0 1 4 0 8 3 5 e j m o u k a w s h e r m b h e i n i m a n na n da eg r a n d tj r , ，r e s i d u a ls t r e n g t ho f p a n e l sw i 也m u l t i p l es i t ed a m a g e ，j o u r n a lo fa i r c r a f t ，1 9 9 6 ，v 0 1 3 3 ，n o 5 ， 1 0 1 4 一1 0 2 1 3 6 e j m o u k a w s h e r ，m a n e u s s e la n da f g t a n d tj r a n a l y s i so fp a n e l s 、v i t l l m u l t i p l e s i t ed a m a g e a i a a 一9 4 1 4 5 9 一c e 3 7 t s w i r l ，d a m a g et o l e r a n c ec a p a b i l i t y , i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo ff a t i g u e ，1 9 9 4 ， 7 多部位损伤结构的剩余强度研究 v 0 1 1 6 ，n o 1 ，7 5 9 4 3 8 d 1 】f j e o n ga n dj ，c b r e w e r o nt h el i n k u po fm u l t i p l ec r a c k s e n g i n e e r i n g f r a c t u r em e c h a n i c s ，1 9 9 5 ，v 0 1 51 ，n o 2 ，2 3 3 2 3 8 3 9 m c c h e r r y , s m a l l ，b h e i n i m a n na n da f g r a n d tj r r e s i d u a ls t r e n g t ho f u n s t i f f e n e da l u m i n u mp a n e l sw i t hm u l t i p l es i t ed a m a g e ，e n g i n e e r i n gf r a c t u r e m e c h a n i c s ，1 9 9 7 ，v 0 1 5 7 ，n o 6 ，7 0 1 7 1 3 4 0 b e r tl s m i t h ，p e r r ya s a v i l l e ，a d i lm o u a ka n dr o yy m y o s e ，s t r e n g t ho f 2 0 2 4 一t 3a h t m i n u mp a n e l sw i t h m u l t i p l e s i t e d a m a g e ，j o u r n a l o fa i r c r a f t ， 2 0 0 0 ，v 0 1 3 7 ，n o 2 ，3 2 5 - 3 3 1 4 1 j h k u a n ga n dc k c h e n t h ef a i l u r eo fl i g a m e n t sd u et om u l t i p l e s i t e d a m a g eu s i n gi n t e r a c t i o n s o fd u g d a l e t y p e c r a c k s f a t i g u e & f r a c t u r eo f e n g i n e e r i n gm a t e r i a l s & s t r u c t u r e s ，1 9 9 8 ，v 0 1 2 1 ，1 1 4 7 - 1 1 5 6 4 2 x i a n g y a n gd e n g a n dj o h nw h u t c h i n s o n a p p r o x i m a t e m e t h o d sf o ra n a l y z i n g t h eg r o w t ho f l a r g ec r a c k si nf a t i g u ed a m a g e d a i r c r a f ts h e e tm a t e r i a la n d l a p j o i n t s ，f i n i t ee l e m e n t si n a n a l y s i s a n dd e s i g n ，1 9 9 6 ，v 0 1 2 3 ，1 0 1 1 1 4 4 3 r g a l a t o l oa n dk 一f n i l s s o n a ne x p e r i m e n t a la n dn u m e r i c a la n a l y s i so f r e s i d u a ls t r