（通信与信息系统专业论文）基于小波包变换的多载波调制算法的dsp实现(1).pdf

摘要无线移动通信技术为用户提供了良好的空间与时间灵活性。但同时，复杂的无线移动信道特性，有限的无线频谱资源，新业务的不断涌现等对无线传输技术提出了更高要求。调制技术作为无线传输技术的关键组成部分之一，其设计与选择也就具有非常重要的意义。第三代无线通信技术普遍采用的c d i v i a 技术仍无法满足未来视频和多媒体业务的需求。由此第四代无线通信系统倾向于采用多载波调制技术来实现高速、宽带业务。本文的目的在于研究并实现一种新的调制技术基于小波包变换的多载波调制技术。本文从小波与小波包理论出发，详细阐明了基于小波包变换的多载波调制技术的性能特点以及相对于o f d m 系统的优势。继而详细介绍了了一种新型的、可实现快速算法的小波包调制方案，并给出理论分析，证明了方案的可行性。接下来，本文简要介绍了t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 结构及功能特性。在此基础上提出了基于小波包变换的多载波调制技术的软件实现方案及流程。并详细分析了实现过程中需注意的问题。同时，本文在综合考虑了算法的性能及效率的基础上，讨论了部分算法的优化及数据读取。通过在t i 公司t m s 3 2 0 c 6 7 0 1d s pe v m 板上算法的实现，并结合m a t l a b 建模与仿真，进一步分析和验证了采用小波包调制技术的无线移动通信系统在高斯加性自噪声信道、瑞利衰落信道、单频干扰与脉冲干扰并存的信道等不同信道条件下的优良性能。理论分析与实验结果表明，本文提出的快速小波包调制方案作为一种新的调制技术，在功能及性能方面基本能够完成实时调制及解调任务，在提高通信系统性能方面具有独特的优势和潜力，值得进一步研究与探讨。关键词：小波小波包变换多载波调制小波包调制t m s 3 2 0 c 6 7 0 1d m aa b s t r a c tw i r e l e s sm o b i l ec o m m u n i c a t i o np r o v i d e sam o r ee f f i c i e n tw a yo fm e s s a g et r a n s m i s s i o nf o rm o v i n gs u b s c r i b e r s ，w i t hf l e x i b i l i t yi nb o t h t i m ea n ds p a c e h o w e v e i ,t h ec o m p l e xw i r e l e s sc h a n n e l sa n dl i m i t e df r e q u e n c ys p e c t r u ms o u r c ep u tf o r w a r ds t r i c t e rr e q u i r e m e n tt ot h ew i r e l e s st r a n s m i s s i o n t h es e l e c ta n dd e s i g no fw i r e l e s sm o d u l a t i o n d e m o d u l a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nb e t t e r i n gw i r e l e s sm o b i l ec o m m u n i c a t i o np e r f o r m a n c e s c d m a ，w i d e l ye m p l o y e di nt h et h i r dg e n e r m i o nw i r e l e s sc o m m u n i c a t i o ns y s t e m ，h o w e v e r , c o u l dn o tm e e tt h ei n c r e a s i n gn e e d so fh i g h - q u a l i t yv i d e oa n dm u l t i m e d i as e r v i c e s t h ef o r t hg e n e r a t i o np r e f e r st ou s 。i n gm u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o nt e c h n i q u ei no r d e rt op r o v i d et h ew i d e b a n d ，h i g h - s p e e dr a t es e r v i c e s a sar e s u l t ，m u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o nt e c h n i q u eb e c a m ea ，h o t s p o ti nt h e s ey e a r s t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e rl i e so nr e s e a r c h i n gan e wm o d u l a t i o nt e c h n i q u ew p t m c m ( w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m - b a s e dm u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o n ) f i r s to fa l l ，b a s e do nt h ew a v e l e ta n dw a v e l e t p a c k e tt h e o r y , t h ep e r f o r m a n c ea n dt h es u p e r i o r i t yo v e r。t h eo f d ma r ep r e s e n t e d a tt h es a m et i m e ，an e wm o d u l a t i o na p p m a c h ，w h i c hc a r lb ei m p l e m e n t e db yf a s ta l g o r i t h m ，i sd i s c u s s e da n da n a l y z e d t h i sp a p e ra l s op r o v e st h ep o s s i b i l i t yo f t h i sn e wm e t h o d t h e nt h es t r u c t u r a la n dt h ef u n c t i o n a lf e a t u r e so ft m s 3 2 0 c 6 7 0 1a r ep r e s e n t e di nd e t a i l b a s e do ni t ，t h es o f t w a r ea p p r o a c ha n dt h ep r o c e d u r eo fw p t - m c ma r ep r o v i d e d m e a n w h i l e ，s o m em a i nt e c h n i q u e si nt h es o f t w a r ed e s i g nr r ed i s c u s s e d a f t e rt h a t ，u n d e rt h ec o n s i d e r a t i o no ft h et r a d e o f f sb e t w e e np r o c e s s i n gs p e e da n ds y s t e mp e r f o r m a n c e ，o p t i m i z e ds o l u t i o n so fs o m ep a r t sa r ep r o v i d e d a tl a s t ，t h r o u g ht h ei m p l e m e n t ，o ft h ea l g o r i t h mo nt i st m s 3 2 0 c 6 7 0 1e v ma n dt h em o d e l i n ga n ds i m u l a t i n g 谢mm a t l a b ，w h i c hu s i n ga w g nc h a n n e l ，r a y l e i g ha n dc h a n n e l sc o r r u p t e db yt o n ea n di m p u l s ei n t e r f e r e n c e ，t h eg o o dp e r f o r m a n c eo fw p t - m c mi sd e m o n s t r a t e da n df u r t h e re x p l o r e d t h ea n a l y s i so ft h ee x p e r i m e n tr e s u l t si n d i c a t e st h a tt h es o f t w a r ei m p l e m e n t a t i o ns c h e m eo ft h i ss y s t e mi sq u a l i f i e dt oa c c o m p l i s ht h et a s ko fw p t - m c m i ta l s op r o v e st h ew p t - m c mh a su n i q u ea d v a n t a g ea n dg r e a t 。p o t e n t i a la n dw o r t ho f f u r t h e rr e s e a r c h i n g k e y w o r d s ：w a v e l e t w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ，m u l f i c a r r i e rm o d u l a t i o n ，w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r mb a s e d - m u l t i c a r r i e rm o d u l a t i o n ，t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 ，d m a独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得垂壅盘堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者签名：骣厅匕昨签字日期：二k 阳；年7 月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解墨盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。特授权：苤注盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明)学位论文作者签名：黟似口含导师签名：丽、7 ；欠盈签字日期：埘年7 月，日签字日期：知口3 年7 月日第璋绪言1 1 引言第一章绪言由于c d m a ( c o d ed i v i s i o nm u l t i p ea c c e s s ) 技术，具有较强的抗多径衰落的能力、灵活的信号设计方式等特点，第三代无线通信系统普遍采用c d m a 技术。但对于第四代技术要实现的高速、宽带业务，c d m a 将存在严重的码间串扰，无法满足未来视频和多媒体业务的需求。多载波调制( m c m ) 技术提出于上世纪六十年代，其基本思想是采用多个载波进行信号调制，其实现方法是对一路高速串行信号进行串并变换得到多路并行低速信号，分别调制不同载波，再叠加在一起进行发送；接收端用相应的多个载波对接收信号进行相关解调，得到多路低速率信息数据，再进行并串变换，从而恢复原来的高速信号。与单载波调制相比，这种并行传输体制大大扩展了符号的脉冲宽。提高了抗多径衰落、减小码间串扰( i s i ) 与脉冲干扰、提高频谱效率等优良特性的能力。这在现今的高速无线通信中显得尤为重要。1 2 从正交频分复用( o f d m ) 到小波包调制( w p m )有关正交频分复用( o f d m ) 的概念提出于六十年代，他的基本思想是通过允询：子信道( 采用频分复用) 频谱重叠但不产生互相影响的方法将高速的数据分成若干路低速数据，并且对不同的载波进行调制来并行传输数据。众所周知，频率选择性衰落是由于信号的带宽大于信道的相关带宽造成的。由于每路载频上传输的数据信号是窄带信号，在很大程度上避免了频率选择性衰落。由于各频带之问有一定的重叠，这就大大提高了频谱的利用率。o f d m 不但能够消除频率选择性衰落的影响，也能减轻瑞利衰落的影响。这是因为在传送高速串行码元时，深度衰落将导致邻近的一串码元被严重破坏，造成突发性误码。与串行方式不同，o f d m将高速串行码流转为低速并行码流传输，码元周期较长，远远大于深度衰落的持续时问。这样在出现深度衰落时，并行码元受损轻微。此外，o f d m 还可以通过在码削加保护时隙的方法减小码间串扰。第一章绪言o f d m 的优势是明显的，但也存在不足之处。如：保护间隔的插入带来频谱资源的损失；定时和频率的偏移带来子载波正交性的破坏；信道划分的单一性等。基于小波包变换的多载波调制技术( 简称小波包调制) 实际上是小波包理论与多载波调制技术相结合而产生的一种新的调制技术。它采用刁i 同的小波包踊数作为多载波调制中的子载波，利用小波包函数良好的正交性与时频局域性，可以取得较高的频谱效率和良好的抗衰落与抗干扰性能。与o f d m 相比，小波包调制具有以下主要优点：可以进行更加灵活的子信道配置，从而更有效地抑制幅i 、脉冲干扰、窄带干扰等的影响；更方便地实现满足不同业务和业务质量要求的多速率信号的传输；无保护间隔，进一步提高无线移动通信系统的容量与性能。大量理论分析与仿真结果表明，基于小波包变换的多载波调制技术作为一种新的调制技术，在提高通信系统性能方面具有很大优势和潜力，并且实现方案灵活多样，适于多种通信环境，因而具有广阔的发展前景。1 3 本文主要内容本文的主要工作是对一种快速的小波包调制算法在t m s 3 2 0 6 7 0 1e v m 板上进行实现与优化。本文的具体内容为：第二章全面深入的阐述小波、小波包理论。第三章结合多载波调制技术提出小波包调制的基本系统结构、原理和特性，并与传统的o f d m 进行了比较，从理论上阐述小波包调制的优良性能。第四章主要介绍了小波包调制的m a t l a b 仿真，进一步说明了小波包调制相对于0 f d m 的优越性，提出了一些值得注意的问题及改进的方法。如用平滑基带信号的方法抑制脉冲干扰，用检测能量聚集度的方法检测单频干扰等。第五章在前面仿真的基础上，提出w p d m 的软件实现方案；结合t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 的具体特性，提出了算法的具体解决方案，给出了算法的优化方法、系统流程、d m a 设置等具体描述。第六章给出了算法在t m s 3 2 0 c 6 7 0 1 上的实验结果，从抗干扰、实时性及误码性能角度证明了小波包调制方案的可行性与优越性。本文的创新之处在于：l 、提出了利用平滑基带信号消除脉冲干扰的方法，并实现了算法。第一章绪言2 、提出了利用小波包匹配滤波器实现消除单频干扰的设想，提出了利用检测能量聚集度检测单频干扰的方案并实现了部分算法。3 、小波包调制、解调算法在t i 公司t m $ 3 2 0 c 6 7 0 1d s pe v m 二的实现。以往关于小波包调制的研究基本停留在理论研究、仿真阶段，并没有与实际相结合。本文利用c 、汇编语言对小波包调制进行了算法上的实现，进行实时仿真，把理论与实际结合了起来。第二章小波与小波包理论第二章小波与小波包理论3 】 8 f 9 】小波与小波包理论是近十几年迅速发展起米的一种新的数学理沦与方法。作为泛函分析、付立叶分析、样条分析、数值分析等数学理论的完美结晶，它在信号处理、图像处理、语音分析、模式识别等众多领域已得到广泛的应用，并逐渐被应用于通信领域中。本章从傅立叶变换与短时傅立叶变换出发，通过实例，提出引入小波的必然性，并对小波与小波包理论做一简要介绍。2 1 傅立叶变换与短时傅立叶变换f ( 万) 2l ，( f ) e - j 。t c l t厂( f ) = ff ( m ) 叩d 玎( 2 1 )( 2 2 )傅立叶变换是信号处理中非常重要的工具，定义如式( 2 - 1 ) ，( 2 - 2 ) 。它将x ( t ) 从时域映射到频域。其中f ( t ) e 。“成为变换的基函数，而且我们可以产生这样一个基函数集，即任何函数x ( t ) 都可以表示成这些基函数的和。可以看到这些基函数的特点：时间区间都是从卜o o ，+ o 。 ；互相之问只是f 不同。通过傅立叶变换我们可以得到信号中包含的频率分量，及各自分量的大小。对于大多数应用，傅立叶变换已经够用，但是对于非平稳信号，仅用傅立叶变换往往无法满足要求。举个例子，稳态信号x ( t ) = c o s ( 2 * n * l o * t ) + c o s ( 2 $ 兀 2 5 十t ) + c o s ( 2 女5 0 t ) ，在任何时刻都有l o h z ，2 5 h z ，5 0 h z 的频率分量。现考虑另一信号。在 0 ，3 0 0 m s 为2 5 h z ， 3 0 0 ，6 0 0 m s 为l o h z ， 6 0 0 ，8 0 0 m s 为5 h z 。其傅立叶变换仍有l o h z ，2 5 h z ，5 0 h z 的频率分量。但两信号在时域上是完全不同的。傅立叶分析无法将两信号区分。四个频率成分，前者是在整个时域都包含，后者只在一段时间包含。也就是说，当信号的频率随着时间变化时，傅立叶分析只能确定在整个频域的频率特性，而不能描绘出在一短暂的时间间隔内的频率特性。它只能给出待分析的信号有何种频率，而无法确定此频率是在哪个时刻存在。这样就需要寻求一种新的方法代替傅立叶变换。研究信号在局部时间段上信号频域特征的一种i 具是短时傅里叶变换( s t f t4第二章小波与小波包理论s h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。短时傅里叶变换采用对时域信号( 加窗的方法得到时域局部性。先让信号通过一个“窗口”，然后对信号通过“窗口”的部分作傅里叶变换。短时傅罩叶变换又称为加窗傅早叶变换。也可在频域剥，汩)加一个窗口函数得到频域局部性。s t f t 的两种形式：s t f t x ( ，刃) 2i 。( ) g ( 卜7 ) 8 出( 2 3 )s t f t i ( t , ，) 2 女f ( 万) g ( 甜一厂弦“d 珂( 2 4 )由式( 2 - 3 ) ，得到时间信号的频谱是信号在以窗口宽度为长度的时间段上的频谱。虽然短时傅里叶变换的积分域仍然为整个时间轴，但加窗的结果使如上变换得到的只是时间f 附近很小的时削片上的“局部谱”。窗口的位置随着f 的变化在时间轴上平移，这样利用窗口函数可得到时间轴上任意位置附近的时间段的频谱，也即通过窗口函数的作用实现了时域局部化。运用s t f t 得到的是个二维的信号，是基于时间一频率二维平面上的信弓。在这个二维平面上，可以观察特定时间段和特定频率段的信号的特点。也就是说，短时傅里叶变换可以在时间域和频率域同时获得信号的局域性质，这是傅里叶变换所不能办到的，这是短时傅里叶变换相较于傅罩叶变换的优点。时频分辨率由短时傅里叶变换的窗口函数的时频窗口大小来确定。时问窗口宽度越小，相应的时间分辨率越高：频率窗口宽度越小，相应的频率分辨率越好。对于短时傅罩叶变换，当窗口函数一旦选定，则时频窗在时间轴和频率轴方向上的宽度也被确定，时间域上的时间分辨率和频率域上的频率分辨率也被固定下来。时间分辨率和频率分辨率固定，并不随着时问和频率的变化而变化，这是短时傅里叶变换的特点。虽然，短时傅里叶变换能够描述某一局部时间范围的频率信息，但固定频率分辨率和时间分辨率的特点使其分析非平稳信号时仍有不可克服的缺点。非平稳信号对频率分辨率和时间分辨率的要求是按照一定规律变化的，而不是固定的，一成不变的。要分析非平稳信号，需要引入一种分析工具能够分析信号的时频局域性而且时间分辨率和频率分辨率的变化符合非平稳信号的变化规律。小波变换就是这第二章小波与小波包理论样一种有效的分析工具。2 ，2 小波函数与小波变换2 2 1 小波函数的定义若剌一胪允许性卟l 铧舨c 。浯j ，这里驴( 国) 为妒( f ) 的付立叶变换，则称p 为小波函数。小波函数的名称与其基本性质密切相关，不妨从其定义作浅析：由y _知，i l y ( ) | d l 。o ，即矿具有衰减性，特别地，妒( r ) 是局部非零的( 称为紧支：c o m p a c t l ys u p p o r t e d ) 函数，故称为“小”；同时由( 2 5 ) 知矿( o ) = 0 ，剐i y ( ) 办2 0 ，从而y ( f ) 具有带通性和波动性( 振幅呈正负相间的振荡形式) ，故称为“波”。这便是“小波函数”的由来。2 2 2 连续小波变换令胁( 等) ，则函数甜的连续小波变换定义为町( 口，6 ) = 1 ，b o o ，则可定义离散小波变换为：。；( ，) = 。口i “2i ，o ) 妒( 口i ”，一月b o ) d t ( 2 - 8 )这里y ”( f ) 2 日( 口以一n b 。适当选取小波函数y ，以及m 、乱，则p n ”可构成l 2 空间的一组正交基函数，称为正交小波基函数。例如选盘。22 , b o21 ，则存在具有良好时频局域化特性的小波函数妒，使得一构成l 2 空阃的一组正交基，并得到一种最常见的离散小波变换二进小波变换：( 厂) = 2 ”l 邝) y ( 2 “”f 一月) d r( 2 9 )2 2 4 小波变换与付立叶变换、短时付立叶变换的比较付立叶变换、短时付立叶变换与小波变换具有相似的形式，如下所示：付立叶交换：正变换：f ) 2 _ ，o ) e - r ”t 曲( 2l o )反变换：厂( f ) = 去l f ( 珊) “d ( 21 1 )短时付立叶变换；正变换：趼，r ) 2 _ 厂( ) g 。一f ) e 一础( 21 2 )反变换：厂( r ) = 儿：, s f ( c o ，f ) g o f ) 一川d 础( 2 一1 3 )第二二章小波与小波包理论连续小波变换：正变换：帅6 ) 叫 = 肌) + ( 等渺( 2 _ 反娥m m ；1 肛，城“f ) 警( 2 - 1 5 )但是，出于分析信号时采用的基函数不同，三种变换具有不同的时问与频率分辨率特性：付立叶变换采用正交函数族p ”对信号进行相关分析，由丁：p 持续时间无限长、频谱为单频，故利用付立叶变换对信号进行分析具有时涮分辨率为o 、频率分辨率为无穷大的特点；反之付立叶反变换具有时间分辨率为无穷大、频率分辨率为。的特点。因此付立叶变换在分析确知信号与平稳随机过程时十分方便有效，但对于分析实际中普遍存在的时变信号与非平稳信号却有明显缺陷。短时付立叶变换也称加窗付立叶变换，它采用持续时间和带宽固定的窗函数岛，。对信号进行相关分析，相当于通过一个固定长度与宽度、可滑动的时频窗口来观察信号。适当选择持续时间短、频谱衰减快的g 。，可以获得较高的时频分辨率，从而能够更好地分析信号的时频特性。但是，由于窗函数g 的时频分辨1率固定且不能同时任意小( 依据h e i s e n b u r g 不确定性定理缸v ) ，在对时q 石变信号与非平稳信号进行分析时，短时付立叶变换不可避免地具有局限性。小波变换采用小波函数y 。对信号进行相关分析。小波函数甄。的伸缩与平移特性决定了小波时频窗在滑动过程中长度( 持续时间) 与宽度( 频谱宽度) 可变，从而具有可变的时频分辨率，目其变化规律( 等q 性：带宽与中心频率之比保持不变) 与信号时频分析的要求相符：高频区域的频率分辨率较高，低频区域的时间分辨率较高。因此，与付立叶变换、短时付立叶变换相比，小波变换在分析时变信号与非平稳信号方面具有显著的优势。2 3 多分辨率分析、尺度函数与正交小波函数在数据压缩和数值计算时，一般希望尽量减少冗余度，理想的情况是得到一组征交的小波基函数，即正交小波基。多分辨分析建立在函数空间的基础上，不第二章小波与小波包理论仅为j e 交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为j f 交小波变换的快速算法提供了理论依据。多分辨分析理论在i f 交小波变换理论中具有非常重要的地位。本节中引入的重要概念正是下一章构造正交小波基的基础。23 1 多分辨率分析多分辨翠分析由一系歹0 连续包含的逼近空司组成。定义如f ：定义1 ：闭子空间序列e 脚称为空间p ( r ) 的一个多分辨率分析，若e k 。满足以下条件：( 1 ) 单调性：c 屹2c k lc 亡kc k ：( 2 ) 逼近性：u 一= 三2 ( r ) ，n 矿，= 0 ；，e z( 3 ) 伸缩性：厂( x ) f ( 2 x ) + ，；( 4 ) 整数平移不变性：厂( x ) f ( x 一2 7 女) v j ，i ，j z ：( 5 ) 标准正交基存在性：存在庐，使得瓿，。l 。：是的组标准正交基。这里令办，。( x ) = 2 1 1 2 痧( 2 x 一”) ，_ ，h z ，则由( 3 ) ( 5 ) 知彷，。t 。构成y ，的一组标准正交基。我们通常将庐称为多分辨率分析的尺度函数( s c a i n gf u n c t i o n ) 。由多分辨率分析与尺度函数的定义，我们可以定义和构造正交小波基函数如下：设妒为空间l 2 ( r ) 的一个多分辨率分析e j 。的尺度函数，存在 丸) s ，2 使得：( x ) = 压 。矿( 2 x 一)( 2 1 6 )n e z令= 压( 一1 ) ”岛一。 一功n e z( 2 1 7 )= 印口唯 竹，( 曲= 2 小似27 x 一哟，n e z 则：形，上_ ，。一= 巧+ ，从而l 2 = 甄，上形，一，j ，砂，l 。：是，中的标准f 交基，从而砂。l 。：是三2 中的标准正交基。第二章小波与小波包理论我们通常将y 称为多分辨率分析的小波函数( w a v e l 。tf u n c t i o n ) ，杪。t 。：称为空间肜的标准正交小波基函数。2 3 2 尺度函数与小波函数的性质尺度函数妒与小波函数的二迸制伸缩与平移形成的函数集合分别构成了，与巧的标准正交基。深入分析，可以发现与妒的一些有趣的性质与相互关系，这对于我们构造具有良好时频局域化特性的正交小波函数具有非常莺要的意义。2 3 21 尺度函数的性质由于c k ，且矽。是k 的标准正交基，我们有：矿= 。氟，。，h 。= 且卅= 1 。即：( z ) = 扼- y h o ( 2 z 一”)( 2 。1 8 )或d 如) = e - j n r o 2 中( c 0 1 2 ) = h ( m 2 ) o ( 0 1 2 ) ，( 2 ，1 9 )、，二”这里巾( ) 表示妒( x ) 的付立叶变换；h ( 埘) = i i 。p ”。，l 2 ( 0 ，2 , c 1 ) 上以2 z c“为周期的函数，且具有以下性质：l h ( o 】= l ， ( n ) = o ( n 。) ，”呻。( 2 2 0 )1 h ( ) 1 2 + 1 日沏十万) l2 = 1( 2 2 1 )反之，当日白) 为满足以上两性质的付立叶级数，且h ) i o ，当国s o ，刍，则函数中旧) = i e i h ( 2 一，) 是尺度函数痧( x ) 的付立叶变换。因此，可以通过选择满足性质及条件的目妇) ，构造具有良好时频特性的尺度函数( z ) ，庐( x ) 的光滑程度和无穷远处的渐近衰减特性也可以从1的性质估计。由性质可知日0 ) 为低通滤波器，从而由中 ) = 最h ( 2 一一) 知尺度函数第二章小波与小波包理论是一个低通滤波器。23 22 小波函数的性质对于小波函数, ，由于e ck ，故也可用k 的标准正交基办。线性表示有：y ( x ) = 压g ( ”) ( 2 x 一一09 0 0 = 且恒( n ) 1 2 = 1或甲( 曲= 去岛e m “巾妇2 ) = g ( 国2 ) 巾妇2 )v 二“这里g 如) = _ 苫g o q 0p 。且满足吖二”l g ( ) 1 2 + i g ( + 石) 1 2 = 1h i ) g + ( ) + h ( m + 丌) g + ( 6 0 + 石) = 0( 2 2 2 )( 2 2 3 )( 2 - 2 4 )( 2 2 5 )可以证明，条件对于保证杪 一n ) ，月z 为的正交基，4 i 仅必要，而且充分。因此在选定h 洄) 后，可以依据求得g ( 珊) ，进而由w ( c o ) = g ( t o l 2 ) ( t o l 2 ) 求出小波函数。由知g ( c o ) 为高通滤波器，从而由甲) = g ( c o 2 ) 0 ( c o 2 ) 推知小波函数是一个带通滤波器。满足上述条件的g ( c o ) 的个例子是：g ( c o ) = e m h + 洄+ 石) ，对该式取付立叶反变换，可得到g ( c o ) 与h ( c o ) 的冲激响应g ( n ) 与 ( n ) 的关系g ( n ) = ( 一1 ) “ ( 1 一肝) ，如( 2 1 7 ) 式所示。从信号逼近和滤波器的角度看，如果将 ( ) 与g ( ”) 分别看作一个正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数，则通过这样的正交镜像滤波器，可以由信号厂( f ) 的低分辨率逼近信号彳，与细节信号d ，厂重建其高分辨率逼近信号爿，+ l 厂。反之，若将矿( ”) 与g + ( ”) 分别作为正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数，则通过该滤波器的滤波处理，可以将信号，( f ) 的高分辨率逼近信号4 + ，- ，分解为第二章小波与小波包理沦低分辨率的逼近信号a s f 与细节信号d ，厂。这其实就是小波变换中著名的m a l l a t 算法( 或称塔形算法) 及其滤波器实现。2 33m a | ia t 算法及其正交镜像滤波器实现对实际的物理信号( f ) ，在一定的逼近精度下，可以假设f ( o 巧，j 为某一整数，于是有：厂( f ) = a i 厂= c 。妒卅( f )( 2 2 6 )由于= 吩一0 故又可将，( r ) 分解为它在矿。与一，上的正交投影之和：朋) = a s 一。f + d ，一l 厂= c 城扎，t ( f ) + d h 女p h ，。( f )( 2 2 7 )式中的分解系数勺 c 。d 。有f 面的关系：c ，一，。= ：一：。c ，。d 。= g 乙女z( 2 2 8 )其中吃、的定义同上节，即：h 。= = 且i2 = 1g 。= = 且k ( 刮2 = 1 。这一分解过程称为m a l l a t 算法( 也称为塔形算法) 。若令兀一，( r ) = a j _ , f ，则可继续利用m a l l a t 算法，从而快速高效地计算出f ( t ) 的多分辨率分解系数。m a l l a t 算法可以采用正交镜像滤波器来实现。将吃、g ：分别作为正交镜像滤波器的低通滤波与高通滤波系数，则通过该滤波器的滤波处理，就可以将高分辨率的信号，( f ) 分解为其低分辨率的逼近信号与细节信号。如图2 一l ( a ) 所示。( a ) 信号的小波包分解一1 _ ，( b ) 信号的小波包重构图2 - 1m a l l a t 算法的正交镜像滤波器实现框图 第二章小波与小波包理论m a l l a t 算法的重构过程为：= 吃a ，+ 冀 k - 2 n d h ，。，z ，k z( 2 2 9 )n zj ? e z同样可采用正交镜像滤波器实现，如图2l ( b ) 所示。m a l l a t 算法为信号的难交小波分解与重建提供了一种快速高效的方法，因此也被称为快速小波变换。正如快速付立叶变换( f f t ) 对于付立叶分析具有重要意义一样，快速小波变换对于小波分析具有重要意义。2 4 紧支小波的定义在小波理论中采用支集( s u p p o r t s ) 来表示时域( 离散) 信号长度，具有有限支集的小波函数称为紧支小波( c o m p a c t l ys u p p o r t e dw a v e l e t ) 。紧支小波的优点在于其对应的正交镜像滤波器为f i r 滤波器，这为实际应用中小波变换的实现带来很大方便。紧支小波的一个典型例子是d a u b e c h i e s 小波族，它是选择r ；0 ，12 一i。日( 国) = _ 等。 。e ”。( 。日( 卯) 表示与每一n 值对应的h ( 鲫) ) 构造出来的。二n = o25 小波包函数与小波包变换小波包理论是在小波理论的基础一h 发展起来的，它克服了小波变换对高频信号或信号高频成分的频率分辨率低的缺陷和不足。小波变换具有等q 特性( 带宽与中心频率之比保持不变) ，这使它在时变信号或非平稳信号的时频分析方面，与付立叶变换或短时付立时变换相比具有很大优势。但同时，这一特点决定了它在分析高频信号或信号高频成分时的低频率分辨率。从多分辨率分析的角度看，小波变换仅能将高分辨率的逼近信号分解为低分辨率的逼近信号和细节信号，而无法对细节信号作进一步的分解。因而当某些情况下要求对高频信号或信号细节作更为灵活、细致的分析与处理时，小波变换显出了自身的局限。小波包变换是在小波变换的基础上，对高频信号或信号细节作进一步的分解，因而小波包变换有效地弥补了小波变换之不足，对于信号的分析与处理更为灵活、精确。从小波包变换的角度看小波变换，后者其实是前者的一个特例。第二章小波与小波包理论2 5 1 小波包函数的定义对于多尺度分析中的标准正交尺度函数和小波函数v ，有双尺度方程) = 压魄纰一肼 p ( x ) = 五孝鼠( 2 工一d 其中吃和乳分别为相应的_ i e 交镜像滤波器的低通与高通滤波系数。令。( x ) = 矽( x ) ，( z ) = 妒( x ) ，则由下面的递推关系定义缸。( x ) ) 。为i ：。( x ) = 2 巩。( 2 x - k )k 融) ：压量刚水h ) 。则如。( x ) 。被称为由尺度函数导出的小波包函数。由小波包函数的定义可知，小波包函数是小波函数的推广。2 5 2 小波包函数的性质2 521 小波包函数的频域表示引理1v n z ，则i 1 有唯一的二进制表示”= 勺2 h ， o ，1 )( 2 3 1 )定理1 设”e 且n = 砉f ，2 l ，e o ，1 ，h 。( 国) 2 三莩n z ，h i ( ) = 三军吼z 则由标准正交尺度函数矿导出的小波包函数缸。( x ) 。；。的付立叶变换为丘。( ) ：n h 。，( 罟) ，甜e r女：1( 2 3 2 )2 5 2 2 小波包函数的正交性小波包函数最重要的性质在于其平移与尺度正交性，即有下面的定理定理2 设 以( _ 】f ) 。是由标准正交尺度函数导出的小波包函数，则：第二章小波与小波包理论 = j m ，k z( 2 - 3 3 )定理3 设诅，。( x ) 。是出标准正交尺度函数谚导出的小波包函数，则： = 0 ，七z ，n( 2 - 3 4 )定理2 表明每个小波函数的非零平移j f 交性，该性质在小波包调制中可用来消除码间干扰i s i ，尤其是具有紧支撑的小波函数在抑制i s i 时更显优势。这也是我们在小波包调制方案中采用d b 4 小波的原因之一。此方案将在后而提到。定理3 表明小波包中的不同函数的非零平移正交性。它可用来消除邻信道干扰i c l 。2 5 3 基于小波包函数的正交子空间分解定理4 设弘。( x ) 。；。是由标准正交尺度函数导出的小波包函数，令u 净s p a n 2 m 以( 2 x - k ) 1k z )赚雕中j z , nc 进而有下面的定理：定理5u ；”上町“1u a = u j 2 ”o u ，2 ”。，i ，z ，”u o 定理6 对j n ，有( 2 3 5 )( 2 3 6 )= u i o u 五；= u ，_ 42o 己， 2o u ，6 2o u ，7 2= u ，2 一k 女o v 茅；1 。u 茅：_ 12 3 7 = 簖( g u f o o 簖”一1且对每个m = o , - - , 2 + 一1 ，k = 1 ，和j = 1 , 2 ，函数集f w 2 k + , , , ( 2 。- kx - - 1 ) 卜蜘嘴的一个标准正媳定理7 将全体自然数的集合n 划分为，。：2 k n , ，2 + 1 ) 一1 以n , k z 两釜三至尘鎏皇! ：鎏垒堡笙两不相交的形式，记为k ，】，则 2 吃( 2 f 一) i 如】l 蚋胁：是r ( 矗) 中的一组标准正交基。由以上定理和多分辨分析可以得到基于小波包的l 2 ( 月) 的一种正交子空间分解上2 ( r ) = q 哆一。矿：。矿。彬。，e zo w ：o 阢。o wo u 3o wo 硪o 子空间，：，- 2 ，一1 ，o 的标准正交基矿m ) 与子空间w ，m ：2 , 3 ，4 的标准正交基“。 一) ，j i z 的并集( “。( x 一) 。， ( x ) lj = ，一1 ，0 ；：2 , 3 ，4 ，尼z l构成( 丑) 空间的一个正交规范基。事实上，只要从小波包函数族张成的全部子空间 u ? i ”e ，z ) 中选出个子集，子集中的子空间两两正交，且所有的子空间的并集为三：( r ) 的一个覆盖，就能够得到r ( r ) 的一个证交子空间分解，如图2 - 2 所示，相应子空阳j 标准正交基的并集构成上2 ( r ) 的规范正交基。夥? | n n z 的标准难交基的全体 2 “2 甜。( 27 工一后) l ，七z ，月 称作标准正交小波包基库。上：( 励的标准正交基是标准正交小波包基库的一个子集。( a ) 小波包完全分解k ( b ) 小波分解( 小波包分解特例)v今够八众、以懒，rb 八衫气八第二章小波与小波包理论( c ) 一种任意小波包分解2 5 。4 快速小波包变换。、，、矽：沙，驴：v ，户旺晓皖矽( d )种任意小波包分解图2 - 2 小波包分解树图m a l l a t 算法( 见前2 3 3 节) 可以进一步推广到信号的小波包变换中，称为快速小波包变换。定理8 设讧。( x 减。是由尺度函数矿导出的f 交小波包函数，信号厂( x ) 在子空间u ? 中的系数表示为：掣= e 厂o ) 2 m a ( 2 。x k ) a x ，ke z( 2 3 8 )n f ( x ) 在子空间u 三和u 。2 n + 1 中的系数可表示为c h 和c 。1 ，且有快速小波包变换算法f c y = 砬：。c i c 卜1 = g - ：。c lf以及快速小波包反变换算法c ；7 = = 。一。，c ? ”一1 + g k - 2 1 c ? ”+ 。一1 ( 2 _ 4 0 )f其中 。、g 。的定义同2 3 3 节。7 胁叱【 - 1 “( 蚪) e x p ，2 n nf )( 3 5 )x ( 归乞“功唧( ，面? )(35)n=ox ( t ) = ( ) = 芝：d ( h ) e x p ( j z 等n k ) ，o 兰t ( m 一1 )( 3 6 )n = 07 由( 3 - 6 ) 式可知，x ( 七) 恰是d ( 胛) 的离散付立叶反变换i d f t ，因此o f d m 调制信号可通过对并行子数据流进行i d f t 得到。同理，o f d m 信号的解调可以通过离散付立叶变换d f t 实现。从而，利用离散付立叶反变换与变换的快速算法i f f t f f t ，可以方便高效地实现0 f d m 系统的调制与解调。o f d m 基于i f f t f f t 的实现框图如图3 4 所示：串行出并并i f f t一竺兰卜f f r百变变换换幽3 4o f d m 基于i f f t ，f f t 的实现框图2 l数据第三章多载波调制与基于小波包变换的多载波调制o f d m 系统- - ；f o o 更具体的实现框图如图3 5 所示图3 - 5o f d m 系统具体实现框图3 3 基于小波小波包变换的多载波调制基于小波d , 波包变换的多载波调制( 简称小波包调制) 技术是采用小波小波包函数作为子载波的一种新的多载波调制技术。它是将数学中的小波d , 波包分析理论与通信中的多载波调制技术的结合。与o f d m 相比，基于小波d , 波包变换的多载波调制系统在抗干扰能力、频谱效率、传输速率、安全策略等方面具有独特的优势。目前研究表明，小波包调制系统具有良好的传输性能和应用前景。3 3 1 小波包调制系统的基本结构如上文所述，实际上小波包调制是采用小波包函数作为子载波的一种多载波调制方式。近年来，随着小波理论在通信方面研究的展丌，国内外提出了几种典型的小波包调制方案：如分形调制、小波包复用、跳支小波包复用、基于小波包变换的多载波码分多址等，但其核一i i , 结构大体相同。具有如图3 - 6 所示的的基本结构1。毒图3 - 6 小波包调制基本结构第三章多载波凋制与基于小波包变换的多载波调制波原理【1 4 心】。若不考虑射频载波，小波包调制信号可表示为s ( f ) = 仃胁m 丸( f 一”i )( 3 7 )( ，州) r ”其中盯。【疗】表示以小波包函数九为载波的信道中传输的数字信号，r 表示小波包函数序对( f ，m ) 的集合，、m 分别表示小波包函数的尺度和中心频带的序号。s ( f ) = i 【膏硫一( f 一)3 7 式可等效表达为州明：k 厶岬，n 川玎】3 8 我们先来看一下推导的过程：由于。o ) = 厶 t 】九一( f 一i 瓦)( 3 9 )( 其中厶表示由丸到丸。的等效滤波器系数，即厶= ( 丸( f ) ，丸，o - k 2 - o ) ) )将上式代入( 3 7 ) 式，可得j ( f ) = o s , n l f i k 痧o 。 t - ( 2 n + k ) t o )( ，m ) e r k( 3 一1 0 )由( 3 8 ) 盯。，【明= ，。 k - 27 n a 。【” 可得( ，) e r ”j ( f ) = c r 0 。嘲( t - l i t o )( 3 1 1 )图3 - 6 对应小波包调制系统的等效