（工程力学专业论文）复杂非线性系统的稳定性.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 本文利用m 矩阵的性质和向量李雅普诺夫函数法，应用微分不等式，研 究了四类非线性系统的稳定性问题。 1 研究一类广义h o p f i e l d 神经网络系统的平衡点的存在性、唯一性与绝 对指数稳定性。这类神经网络将h o p f i e l d 神经网络和细胞型神经网络作为特 例包含。不要求激活函数连续可微和有界，利用拓扑理论，得到了神经网络平 衡点存在性与唯一性的充分必要条件。通过构造适当的l u r i e 型l y a p u n o v 函 数，利用m 矩阵的性质，得到了神经网络绝对指数稳定的充分性判据。 2 在时间滞后连续且有界的条件下，通过分析具有时间滞后的微分不等 式的稳定性，得到了一类时间滞后关联大系统全局指数稳定的一个判据。 3 研究了一类所含时间滞后为时间函数的非线性区间大系统的全局指数 稳定性，在假设内联项是全局l i p s c h i t z 条件下，得到了该类时间滞后区间大系 统全局指数稳定性的充分条件，同时得到了一类时滞区间神经网络系统的全局 指数稳定性。这些判据与时间滞后量无关，所以便于应用。 4 研究了一类关联系统和奇异摄动关联系统，得到了关联系统的渐近稳 定性充分条件；通过把整个系统分解成两个子系统降阶系统和边界层系统， 得到了奇异摄动关联系统渐近稳定的充分条件，为菲线性奇异摄动系统的设计 提供了一种新的方法。 关键词：非线性系统；神经网络；稳定性；向量李雅普诺夫函数；时间滞后； 区间矩阵；奇异摄动系统 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so fm m a t r i xt h e o r ya n dt h et e c h n i q u eo fv e c t o r l y a p u n o vf u n c t i o n ，b ya p p l y i n g d i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e s ，t h es t a b i l i t yo ff o u r c l a s s e so fn o n l i n e a rs y s t e m si sa n a l y z e d 1 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e e q u i l i b r i u mp o i n t ，a n da b s o l u t e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rac l a s so fg e n e r a l i z e dh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s ( g h n n ) a r ei n v e s t i g a t e d t h eh o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k sa n dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sa r et h e s p e c i a lc a s e so ft h eg h n n t h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n so ft h eg h n na r en o t n e c e s s a r yt ob ead i f f e r e n t i a la n db o u n d e df u n c t i o n b ya p p l y i n gt o p o l o g yt h e o r y , t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e e q u i l i b r i u mp o i n to ft h eg h n n i so b t a i n e d b yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o vf u n c t i o n si n l u r i et y p e ，a n du s i n gt h em a t r i xp r o p e r t y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fa b s o l u t e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rg h n n a r eg i v e n 2 t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fi n t e r c o n n e c t e dn o n l i n e a r l a r g e s c a l es y s t e m sw i t ht i m ed e l a y si ss t u d i e d ac r i t e r i o ni sg i v e nf o rg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m sb ya n a l y z i n gt h es t a b i l i t yo fd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e sw i t ht i m ed e l a y su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h et i m ed e l a y sa r eb o u n d e d a n dc o n t i n u o u s 3 t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a ri n t e r c o n n e c t e d i n t e r v a ll a r g e s c a l es y s t e m sw i t ht i m ed e l a y si sa n a l y z e d ac r i t e r i o ni so b t a i n e df o r g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h es y s t e m sb ya n a l y z i n gt h es t a b i l i t yo fd i f f e r e n t i a l i n e q u a l i t i e sw i t ht i m ed e l a y su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a ti n t e r c o n n e c t e dp a r ti s g l o b a l l yl i p s c h i t z s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo fi n t e r v a ln e u r a ln e t w o r k ss y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s s i n c ec r i t e r i o n s o b t a i n e da r ei n d e p e n d e n to ft h et i m ed e l a y s ，t h e ya r ee a s yf o ra p p l i c a t i o n 4 a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fi n t e r c o n n e c t e ds y s t e ma n ds i n g u l a r l yp e r t u r b e d i n t e r c o n n e c t e ds y s t e mi si n t r o d u c e d s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o r a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fi n t e r c o n n e c t e ds y s t e m s b yd i v i d i n gs i n g u l a r l yp e r t u r b e d i n t e r c o n n e c t e ds y s t e mi n t ot w os u b s y s t e m sw h i c ha r et h er e d u c e ds y s t e ma n dt h e b o u n d a r ys y s t e m ，ac r i t e r i o ni s s t u d i e df o ra s y m p t o t i c s t a b i l i t yo fs i n g u l a r l y p e r t u r b e di n t e r c o n n e c t e ds y s t e m an e wt e c h n i q u ei sp r o v i d e df o rt h ed e s i g no f n o n l i n e a rs i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 k e yw o r d s ：n o n l i n e a rs y s t e m s ；n e u r a ln e t w o r k s ；s t a b i l i t y ；v e c t o rl y a p u n o v f u n c t i o n s ；t i m ed e l a y s ；i n t e r v a lm a t r i c e s ；s i n g u l a r l yp e r t u r b e ds y s t e m 西南交通大学曲南父逋大字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规 定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南交通大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存或汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年后解密后适用本授权书； 2 不保密、，适用本授权书。 学位论文作者签名：支彳珐定 日期：d 8 年月f 日 指导教师签名：雾盎易毛丝 e t 期：细孑年石月，目 西南交通大学学位论文创新性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是在导师指导下独立进行研究工作所得的 成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中作了明确 的说明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 本文的创新内容如下： 1 研究一类广义h o p f i e l d 神经网络系统的平衡点的存在性、唯一性与绝对指数 稳定性。不要求激活函数连续可微和有界，利用拓扑理论，得到了神经网络平衡点 存在性与唯一性的充分必要条件。通过构造适当的l u r i e 型l y a p u n o v 函数，利用 m 矩阵的性质，得到了神经网络绝对指数稳定的充分性判据。 2 研究了一类所含时间滞后为时间函数的非线性区间大系统的全局指数稳定 性，在时间滞后连续且有界的条件下，并假设在内联项是全局l i p s c h i t z 条件的，得 到了该类时间滞后区间大系统全局指数稳定性的一个充分条件，同时也得到了一类 时滞区间神经网络系统的全局指数稳定性。 申明人； 4 赃 0 8 年月fe l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 引言 第一章绪论 随着科学技术的发展，在工业生产和社会生活中的工程控制系统和管理系 统越来越复杂。由于系统所处的动力环境、巨大的能量和机械的复杂性等因素， 系统中需要控制的对象和过程变得非常的复杂，整个受控系统往往呈现为复杂 的非线性、不确定性和时滞行为。比如，航天航空领域的飞行控制、无人机、 电网、核反应堆、液压传动装置和机械臂等复杂的非线性系统。由于系统的复 杂性，因此系统变得难以控制。另外，在这些复杂的工程系统中，故障的发生 往往不可能完全避免。传感器、执行器、控制器所存在的微小变化可能会导致 整个系统的恶化；系统设计的不合理和人为的误操作等也可能使系统发生故 障；环境的变化和使用过程中的损耗，使得系统的零部件可能发生故障。因此 系统的复杂特性给系统的设计带来很大的困难，特别是对系统的安全性和可靠 性的要求越来越高。若保证了系统的安全性和可靠性，就能减少灾难事故所造 成的人员损伤和巨大的经济损失。因此如何设计一套行之有效的控制方案是科 研人员的一大挑战。控制方案不但要保证控制性能并能使系统快速稳定；同时 也要保证系统的安全作业。特别是系统发生故障时，在保持和适当降低某些性 能指标的前提下，保证整个系统仍处于稳定状态是十分重要的。由此可见，研 究复杂系统的稳定性问题的重要性。 稳定性的创始人是俄国数学力学家李雅普诺夫( 1 8 5 7 1 9 1 9 ) 。他首先给出 了稳定性的精确定义，建立了运动稳定性的一套严格的理论体系。李雅普诺夫 创立了两种基本的研究方法：第一种方法是级数展开法。它是将解表示成级数 的形式并在此基础上研究其稳定性，这种方法在理论上是比较完整的，但是将 解表示为级数及判断级数的收敛性却是一个麻烦的过程。再者由于有的微分方 程的求解本身就是很复杂的，甚至有时候很难求得解析解，因此这些都使得该 方法在实用上有很大的局限性。第二种方法是直接法。它不需要求解微分方程， 只要寻找具有某种特性的辅助函数矿，通过研究函数v 及其沿系统解对时间导 数的符号性质就可直接判断其稳定性。由于第二种方法的实用性，所以它发展 很快，而且到今天已经成为研究运动稳定性的基本方法。本文主要利用第二种 方法研究复杂系统的稳定性。 本文所要研究的稳定性是由常微分方程描述的系统的稳定性，主要研究以 下几种类型的复杂非线性系统：动态神经网络系统、大系统、区间系统以及奇 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 异摄动系统。接下来，将对国内外学者对这几种系统的稳定性研究情况做一个 介绍。 1 2 神经网络系统的稳定性概述 神经网络在神经生理学、神经解剖学的范畴内是指生物神经网络；而在信 息、计算机和自动控制等领域内是指向生命学习而构造的人工神经网络。在本 文中，我们研究后一种神经网络。神经网络是由大量处理单元( 神经元、电子 元件、光电元件等) 广泛互连而成的网络。它是在现代神经研究成果的基础上 提出的，反映了人脑功能的基本特性。但它并不是人脑的真实逼真，而是它的 某种抽象、简化与模拟。网络信息的处理是由神经元之间的相互作用来实现的； 知识与信息的存储表现为元件之间分布式的物理关系；网络的学习与识别决定 于各种神经元连接权系数的动态演化过程。 神经网络是一个具有高度非线性的大规模动力系统，除了具有网络的全局 作用、大规模并行分布处理及高度的鲁棒性和学习联想能力之外，它还具有一 般非线性动力系统的共性，即不可预测性、吸引性、耗散性、非平衡性以及不 可逆性等，同时又具有高维性、广泛联接性和自适应学习性等特点。所以说， 神经网络实际上是一个具有高度非线性的超大规模的自适应信息处理系统。 由于本文讨论的是动态神经网络中的一种h o p f i e l d 神经网络；另外 一种动态神经网络是细胞神经网络。h o p f i e l d 神经网络是美国生物学家 h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年提出的神经网络模型【l 】。这一模型是由n 个节点全部 互相联结而成的反馈型神经网络系统。h o p f i e l d 神经网络与细胞神经网络有很 大的相似之处，不同之处在于h o p f i e l d 神经网络系统的神经元为全联结，而 细胞神经网络不是全联结，其采用相邻单元局部联结而成。由于h o p f i e l d 神 经网络可以实现联想记忆，并能实现某种程度的优化计算，因此受到了人们的 高度重视，并对神经网络的理论研究产生了深远的影响。九十年代至今，有很 多h o p f i e l d 神经网络方面的科学著作和论文问世。理论研究往往是应用的前 提，因此有大量的工作主要集中在该类神经网络的基本特性方面，如稳定性、 震荡性、收敛性等。由于神经网络的稳定性是该类神经网络在联想记忆以及最 优化等方面应用的前提，因此其稳定性显得尤为重要。近2 0 多年来关于这方 面的文献就说明了这一点。廖晓昕首先对h o p f i e l d 神经网络的数学模型进行 了改进，取消了关联矩阵对称的假设，但保留了激励函数连续可微且一阶导数 大于零的假设，并对此改进的h o p f i e l d 神经网络模型进行了稳定性分析【z 】。文 献 3 】研究了在激励函数的一阶导数大于零且有界的条件下，得到了h o p f i e l d 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 神经网络全局指数稳定性的新判据。在激励函数满足全局l i p s c h i t z 条件下， 文献4 1 研究了神经网络系统全局指数稳定性问题，并得到了稳定性的充分必 要条件。在激励函数为l i p s c h i t z 连续且关联矩阵属于m o 矩阵的条件下，文献 【5 】研究了神经网络的指数稳定性，并归纳讨论了一些特殊矩阵间的关系。a r i k 等【6 】研究了一些特殊矩阵之间的关系，并在激励函数大于零及关联矩阵属于 m o 矩阵的条件下，得到了神经网络全局渐近稳定的充分性条件。在激励函数 全局l i p s c h t i z 连续、非减以及有界的情况下，张强等1 7 研究了神经网络的全局 指数稳定性，并得到了全局指数稳定的3 个充分条件。在激励函数为有限扇区 和无限扇区的情况下，f o r t i 等【s 】研究了神经网络的全局稳定性以及其在二次规 划方面的应用。在关联矩阵占优且激励函数存在一阶导数的情况下，梁学斌等 9 1 研究了反馈联想记忆的吸引域并给出了指数收敛速度的估计式。q i a o 等【l u j 将非线性测度用于神经网络的指数稳定性分析，并且得到了指数稳定性的充分 条件。在不要求激励函数有界、单调以及非减的条件下z h a n g 1 1 - 1 2 j 研究了一类 时滞h o p f i e l d 神经网络系统的解的存在性、唯一性以及全局稳定性和渐近稳 定性。在激励函数局部l i p s c h i t z 连续的条件下，文献 1 3 】利用m 矩阵理论和 向量l y a p u n o v 方法，研究了一类具有无穷时滞的神经网络系统的稳定性，并 得到该类神经网络平衡点的存在性、唯一性和全局稳定性条件。在激励函数 l i p s c h t i z 连续的条件下，c a o 等【1 4 】研究了一类时滞神经网络的绝对指数稳定 性，并得到了3 个判断此系统稳定性的定理。谭晓惠等【l5 j 利用非线性测度的 概念，在不要求激励函数连续可微、单调非降或有界的条件下，研究了一类 h o p f i e l d 神经网络平衡点的存在性、唯一性以及全局指数稳定性的判据，并给 出了收敛估计速度。l i u 1 6 】研究了一类时滞h o p f i e l d 神经网络的稳定性，得到 了平衡点的存在性以及周期解的指数稳定性的充分条件。文献 1 7 研究了脉冲 型h o p f i e l d 神经网络的稳定性，并得到了周期解的存在性和指数稳定性的充 分条件。w a n g 1 8 。19 】研究了时滞随机h o p f i e l d 神经网络的鲁棒稳定性，利用 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数和线性矩阵不等式理论，得到了系统鲁棒稳定的条 件。s i n g h 2 0 - 2 1 】研究时滞h o p f i e l d 神经网络平衡点的唯一性和全局鲁棒稳定性； 文献 2 2 1 研究了时滞h o p f i e l d 神经网络的收敛理论；z h a n g l 2 3 j 研究了时滞神经 网络的全局指数稳定问题。利用r a z u m i k h i n 和l y a p u n o v 方法研究了时滞脉冲 神经网络的稳定性，得到了这类神经网络的一致稳定性陋j 。文献 2 5 1 对脉冲神 经网络稳定性问题进行了研究，得到了这类神经网络的周期解的存在性和全局 指数稳定性。文献 2 6 1 研究了时滞脉冲神经网络的全局指数稳定性，得到了该 类神经网络平衡点的唯一存在性和全局指数稳定性。从上面所引文献可以看 出，对于神经网络的研究，其范围越来越广，对激励函数的要求越来越松，为 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 了保证计算速度，逐渐地不但要求神经网络渐近稳定，甚至要求其指数稳定或 全局指数稳定。 1 3 大系统和奇异摄动系统的稳定性概述 大系统是指规模庞大、结构复杂、功能众多的系统。现代工业、经济管理、 交通运输、电网控制、网络、社会管理、生态环境等很多领域都涉及关联大系 统的研究问题。一般来说，大系统有几个重要的特点：其一大系统是复杂的实 际系统的抽象和概括；其二大系统有递阶和分散的信息结构；另外大系统是控 制和反馈等过程的高度复杂性。通常研究大系统的方法有两种：集结法和分级 分解法。前者的思路是先将大系统浓缩为低阶模型，然后再对低阶系统进行分 析和综合；后者的思路是先把大系统分解成若干子系统，然后对子系统进行研 究。 为了得到大系统的正常运行条件和性能改进方法，实现对它们的有效控 制，在实际应用的推动下，关于大系统的稳定性理论迅速发展，在国际上成为 了一个十分重要的学术领域。自1 9 世纪末李雅普诺夫稳定性理论出现以来， 上世纪5 0 年代出现了大范围的稳定性理论，6 0 年代中期又出现了大系统的稳 定性理论。1 9 6 6 年b a i l e y 【2 7 j 利用微分方程比较原理和向量矿函数的概念，提 出研究大系统稳定性的向量y 函数方法；1 9 7 0 年t h o m p s o n t 2 8 】提出了标量李雅 普诺夫函数方法；1 9 7 2 年a r a k i 2 9 利用m 矩阵理论进一步简化了稳定性判据； 1 9 8 4 年我国著名学者廖晓听p u j 利用迭代法研究了随机大系统的稳定性；1 9 8 6 年高为炳【3 l 】利用矩阵范数与测度方法研究了大系统的稳定性；1 9 8 7 张毅 3 2 】用 常数变易法研究了大系统的稳定性问题；1 9 9 0 年舒仲周 3 3 】提出了比较方程的 核方程的概念，利用核方程代替比较方程来研究大系统的渐近稳定性；文献 3 4 3 5 】利用向量李雅普诺夫函数，通过集结比较方程研究了一类内联项为非线 性的大系统的渐近稳定性以及一类无限维关联系统的弦稳定。 由于实际的大系统或多或少都存在时间滞后，特别在某些工程系统中，这 种滞后会给系统的正常运行带来很大的影响，因此在研究此类大系统的稳定性 时，引入时滞是必要的。白上个世纪7 0 年代以来，很多中外学者对时滞大系 统的稳定性进行了研究，发表大量的科研成果。文献 3 6 3 7 禾u 用l y a p u n o v k r o a s o v s k i i 理论，研究了一类模糊系统的稳定性问题，并得到了此系统的鲁 棒稳定性准则和稳定的充分条件。年晓红p 驯应用l y a p u n o v 函数方法讨论了具 有时滞的区间大系统的鲁棒稳定性，得到了系统鲁棒稳定的充分条件。文献 【3 9 4 0 研究了不确定关联非线性大系统的稳定性问题，并给出了系统鲁棒稳定 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 的判据。陈东彦 4 1 】利用泛函方法，研究具有时滞时变的不确定大系统的鲁棒 稳定性，并给出了系统鲁棒稳定的充分判别条件。l i u e 4 2 j 利用l y a p u n o v 方法和 r a z u m i k h i n 方法研究具有耦合滞后时间的不确定冲击系统，得到了一类系统 的鲁棒指数稳定性。文献 4 3 】研究一类具有三种不确定因素的非线性大系统 的自适应分散输出反馈稳定性，得到了该类系统的渐近稳定性条件。 在工程问题中，很多实际系统中存在奇异现象，如直流电动机系统。近二 十年来，对于奇异摄动系统的稳定性研究已经取得了很多有价值的研究成果和 研究方法。例如，s w a r o o p 等】研究了一类无限维奇异摄动关联系统的弦稳定 性，得到了系统指数弦稳定的充分条件；张【3 5 j 利用向量v 函数法研究了一类 具有强非线性耦合项的无限维关联系统，得到了系统弦稳定的充分条件；c h e n 和l i n e 4 孓4 6 】研究了奇异摄动系统的稳定边界，给出了新的稳定性条件；k a 舳和 a b e d 4 7 】用较少的假设条件研究了离散奇异摄动系统，得到了系统的稳定性条 件；利用复合v 函数方法得到了非线性奇异摄动系统的全局指数稳定性条件 【4 剐；采用比较法、向量v 函数和两时间尺度稳定分析方法研究奇异摄动系统， 给出了系统绝对稳定性条件【4 9 】；k h a l i l 5 0 】研究非线性多参数奇异摄动系统，得 到了存在v 函数和系统一致渐近稳定的充分条件；利用两个独立的l y a p u n o v 方程研究不确定摄动系统，给出了系统的稳定域【5 l j ；g r a m m e l 和m a i z u m a 【5 2 j 研究奇异摄动变时间系统的指数稳定性，给出了在正常条件下，均分系统的指 数稳定等价于在小摄动参数下摄动系统的指数稳定。在l y a p u n o v 方法、 c h e t a y e v s 稳定性条件和奇异理论的基础上，得到了一类多重时间尺度奇异摄 动系统的新稳定性理论【5 3 1 。文献【5 4 】研究一类奇异摄动线性系统的渐近稳定性 与稳定性范围，得到当主要项的参数趋于零时这类摄动系统渐近稳定条件。 1 4 区间系统的稳定性概述 在实际工程问题中，通常存在各种不确定因素，其中有一种不确定因素可 描述为系统的状态矩阵的各个元素在一些确定的区域内，这就是我们所要研究 的区间矩阵。诸如元件老化引起系统参数的摄动，飞行器在不同高度、不同马 赫数下导致系统的线性化模型变化等因素，都可以用区间系统来描述。尽管这 种摄动不会改变系统的阶次，但是由于它的存在可以使原来的标称系统设计的 性能指标衰退，甚至破坏系统的稳定性。因此研究区间系统的稳定性是十分必 要的。 近些年来，对于区间系统稳定问题的研究已经取得了一些十分重要的成 果。王以中等【5 5 】利用y o u n g 不等式，特征值和范数的性质，应用l y a p u n o v 第 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 二方法以及随机微分方程的r a z u m i k h i n t y p e 定理研究了一类非线性随机区间 系统的内部稳定性，给出了系统指数稳定的充分条件并在此基础上提出了系统 具有指数稳定性的设计方法。魏晓燕等1 5 6 j 通过构造l y a p u n o v 函数，得到了主 对角线上不含零点的线性区间系统的鲁棒稳定与不稳定的判别定理，以及具有 时滞的区间动力系统的鲁棒全局稳定、鲁棒镇定和鲁棒不变的充分条件。孙敏 慧等【5 7 】利用线性矩阵不等式设计状态反馈控制规律，讨论了广义区间动力系 统的鲁棒以控制问题。利用l y a p u n o v 原理，给出了具有时滞的线性区间动 力系统鲁棒稳定的一些充分条件【5 8 1 。申涛和诸静 5 9 】利用线性矩阵不等式，研 究了区间系统的稳定性问题，得到了该类区间系统鲁棒稳定性的充分条件。张 高明【6 0 】讨论了区间系统的鲁棒稳定性和鲁棒镇定性的有限检验问题，给出了 线段多项式鲁棒稳定性的充分必要条件，并利用该条件对多项式多面体鲁棒稳 定性和鲁棒镇定性进行了有限检验。薛明香和蒋威【6 l 】利用一般的自治退化时 滞微分系统的稳定性的v 泛函判别定理，研究了一类具有时滞的广义区间系 统的鲁棒稳定性，给出了相应区间系统的v 泛函和稳定性判据。马克茂 6 2 】利 用稳定性理论研究了l u r i e 型间接控制系统和直接控制系统，得到了该类系统 的鲁棒绝对稳定性的新判别方法。w e i 6 3 j 研究了通过状态反馈控制的线性区间 系统的稳定性问题，给出了这类闭环系统渐近稳定的判据。文献 6 4 】研究了多 输入输出区间反馈系统的鲁棒稳定性问题，根据系统的反馈矩阵的主对角占 优性得到了系统的鲁棒稳定的充分条件。文献 6 5 $ 1 j 用g e r s g o r i n 圆研究了动 力区间系统的稳定性；文献 6 6 $ 1 j 用线性矩阵不等式技术，得到了奇异区间系 统稳定的充分条件。文献【6 7 研究了一类线性不确定区间系统的稳定性问题， 得到了这类区间系统稳定的充分必要条件。m a o 6 8 - 7 0 】利用线性矩阵不等式研究 了区间动力系统的稳定性问题，得到了该类区间系统的稳定性和二次稳定性的 充分必要条件。文献 7 1 1 研究了随机区间系统并得到了这类区间系统的指数稳 定性条件。文献 7 2 1 根据矩阵酉变换和g e r s g o r i n 理论，研究了线性区间系统 的稳定性问题，得到了系统稳定的充分条件，并且提出了包含优化步骤的区间 系统的稳定域算法。文献 7 3 1 研究了一类区间系统的最大准确稳定域的问题， 给出了该类系统的稳定域的具体算法。文献 7 4 研究了时滞离散区间系统的同 步静态输出反馈稳定性问题，根据矩阵谱范数得到了这类系统同步稳定控制存 在的充分条件。文献 7 5 1 n 用线性矩阵不等式，得到了一类动力区间系统鲁棒 以控制的充分必要条件。文献 7 6 】研究了连续型和离散型区间大系统的稳定 性问题，利用g e r s g o r i n 理论得到了此类系统稳定的充分条件。g u o 7 7 1 禾l j 用线 性矩阵不等式理论研究了动力区间系统的稳定性问题，给出了这类系统稳定的 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 充分条件，并且得到了系统鲁棒稳定度。 1 5 本文的主要研究内容 本文第二章研究在激励函数为非线性的情况下，h o p f i e l d 神经网络平衡点 的存在性、唯一性以及绝对指数稳定性；第三章研究一类时滞时变非线性关联 大系统的全局指数稳定性；第四章研究具有时滞时变的区间大系统的全局指数 稳定性；第五章研究奇异摄动关联系统的渐近稳定性。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 第二章h o p f ieid 神经网络的绝对指数稳定性 2 1 引言 h o p f i e l d 型神经网络【7 驯的两个主要应用是联想记忆和最优化计算。根据其 不同的应用，需要做出不同类型的定性分析。联想记忆神经网络具有多个分别 对应于记忆模式的平衡点，因此定性分析的目的是得到这些平衡点局部渐近稳 定的条件。对于最优化计算神经网络，理想情形是有且只有一个全局渐近稳定 的平衡点。此时，定性分析的目的是得到网络具有全局渐近稳定平衡点的条件。 最优化计算神经网络的平衡点一般对应于具有物理意义的最优途径，而构造神 经网络的目的是通过网络解的渐近性，使解趋于平衡点从而找到最优途径。一 般而言，平衡点是事先不知道的。所以平衡点的存在性是这一类网络的重要问 题之一，也是稳定性研究的前提。文献 1 2 6 ，7 9 8 1 研究了各种神经网络平衡 点的存在性与稳定性。出于计算速度的考虑，一般要求所设计的神经网络具有 指数稳定的平衡点。文献 3 4 ，1 3 1 6 ，2 2 ，2 5 2 6 ，8 1 】研究了h o p f i e l d 型神经网络 的平衡点的指数稳定性，得到了一系列成果。在实际中，不可能精确知道神经 网络的激活函数，但知道激活函数的某些性质，即知道激活函数属于某类函数。 这使得研究神经网络的绝对稳定性成为必要。所谓神经网络的绝对稳定性指的 是，对于属于某一类的任意函数和任意输入，神经网络具有渐近稳定的平衡点。 本章中主要研究神经网络系统的平衡点的存在性和指数稳定性。放宽对神 经网络的激活函数的要求，即不要求激活函数有界和可微，这使得到的绝对指 数稳定性结果适用于h o p f i e l d 型神经网络和细胞型神经网络【8 2 1 。 2 2 神经网络系统的平衡点的存在性 h o p f i e l d 网络是模仿生物神经元及其网络的主要特性， 的一种动态神经网络，其数学描述为 文= 一刃k + 殆( x ) + ， 利用模拟电路构造 ( 2 - 1 ) 式中：d = d i a g ( d l ，一，d 。) ，d ， 0 ( i = 1 ，以) ；t 为实连接权矩阵，表示神经元 之间的关联强度；x 为网络节点状态，x = ( j c l ，x ：，x 。) t ；非线性激活函数 g ( x ) = ( g ，( z 。) ，g 。( 石。) ) t ，g ( 0 ) = 0 ；，表示外部输入量，本文中设为万维常 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 向量。 定义2 1 如果函数g ( x ) = ( g 。( x 。) ，g 。( z 。) ) t 满足以下条件g ；( t ) ： r r 为单调非减函数，且存在常数形，0 形 心l i f m l | _ m i i _ m + o o 故h ( x ) 是足”上的同胚。 必要性。由于对任意函数g g 和i r ”，系统( 2 1 ) 有唯一平衡点。设 g 。( t ) = t ( i 工f + ll - ix i 一1i ) 2 ( 0 k j 彬) ，i = 1 ，2 ，万，i = 0 ，这时g g ， 系统( 2 1 ) 有唯一平衡点。显然，平衡点只能在集合q 寻 xi x 。| 0 ，使得矩阵 【及r 】，= ( a t + t t a ) 2 为正定的，则称矩阵r 为对角稳定性的( l y a p u n o v d i a g o n a ls t a b i l i t y ) ，记为t l d s 。 引理2 4 8 】若一丁+ d w 一1 l d s ，则对任意函数g g 和任意i r ”，h 为 r “上的同胚。 文献【8 在证明引理2 4 的结论时，实际上用到了g ( o ) = 0 这一条件。只要 用f ( x ) = g ( x ) 一g ( o ) 代替文献【8 】证明中的g ( x ) ，就可使其证明适用于 g ( o ) 0 的情况。直接使用引理2 4 可得以下结论： 定理2 2 若一r + d w _ 1 l d s ，则对任意函数g g 和i r “，系统( 2 1 ) 有唯一的平衡点。 2 3 神经网络的绝对指数稳定性 引理2 5 设丁为n 阶矩阵，d 和形是正定对角阵，并使一丁+ d w 1 l d s ， 即存在正定对角阵口使 a ( 一t + d w _ 1 ) 】， 0 ；则存在k 0 ，占 0 ，刀阶非奇 异阵q 和厂以及二个对称正定矩阵) ，o = d i a g ( 7 0 l 一，。) ，p = p t ，和半正定 矩阵口= 口t 使 西南交通大学硕士研究生学位论文第14 页 fp ( 一d ) + ( 一d ) p = - ( q q t + z e 。) 尸( 刁) = - q r + k a ( - d ) + 】，。( 2 - 1 4 ) 【f t f + h = 2 组口( 一丁) 】，+ 2 7 0 w 。 证明：选择正数k 使 七= 警1 1 1 利1 1 2 2 ( 2 - 1 5 ) 8 “ 、7 其中= 兄。 口( 一t + d w 一) 】，) 0 ，九表示矩阵的最小特征值。选择 ) ，o = k a d 0 ，在这样的选择下，式( 2 - 1 4 ) 为 i p ( - d ) + ( 一d ) p = - ( q q t + 腰。) p ( 一丁) = 一q r ( 2 - 1 6 ) i 厂t 厂+ 仃= 2 k a ( - t + d w 一) 】， 取q = e 。( 单位阵) ，这样式( 2 - 1 6 ) 的第一式中取p = p t = ( 1 + 占) d - 1 0 在 式( 2 1 6 ) 中第二式中取j = 吉( 1 + 占) d t ，代入式( 2 - 1 6 ) 中第三式得 口= 口t = 2 k 口( - t + d 儿一华( 矿r 2 牲。一华( 矿盯丁( 2 - 1 7 ) 考虑到忪_ 1 丁眶= 九 ( d r ) td - i t ，再由式( 2 - 1 5 ) 和式( 2 - 1 7 ) 得 口 2 舡一半妒帕耻。 定理2 3 在系统( 2 1 ) 中，若一丁+ d w 1 l d s ，则对任意g g 和i r “， 系统( 2 1 ) 存在唯一平衡点且是全局指数稳定的，即系统( 2 1 ) 是绝对指数 稳定的。 证明：当一r + d w 1 l d s 时，由定理2 2 知系统( 2 i ) 存在唯一平衡 点t 。做坐标平移z = x - - x 。，则系统( 2 1 ) 可变为 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 之= 一d z + r f ( z )( 2 1 8 ) 其中，( z ) = ( 彳( 乙) ，六( z 。) ) t ，z ( z ，) = g ，( z ，+ x 。，) - g ，( x 。，) ，i = 1 , 2 ，z 。 f ( 0 ) = 0 ，f g ，且与g 有相同的形。系统( 2 - 1 8 ) 有唯一的平衡点z - - o 。 由一丁+ d 形一1 l d s ，则存在及= d i a g ( a l 一，口。) o 使 度( 一t + d w 。) 】。 0 取如下l u r i e 型l y a p u n o v 函数 y ( z ) = z t 段+ 2 唼识r ，( p ) 和 其中p = p t = ( 1 + 占) d - 1 2 o 为对称正定矩阵，占为正常数。而取 七= 坐8 望驴邢，z i i1 1 2 ， 其中= l a ( 一t + d w _ 1 ) 】。) 0 ，九表示矩阵 a ( 一r + d 形- 1 ) 】，的最小特征 值。 2 嘻口，r ，( 纠印2 尼喜口tr p 形咖= 唼口，形z ； 令i = m m 。 ( 1 + e ) ( 2 d j ) ) ，2 = 罂娶 k a ，形+ ( 1 + e ) ( 2 d m ，故有 、1 ，n ，l t i ，以j i | | z1 1 2 矿( z ) z 2 忆1 1 2 和 矿( z ) = z t p ( 一d ) + ( 一d ) p z 一2 z t 【p ( 一r ) 一 礁( 一d ) ，( z ) 一2 矿t ( z ) a ( 一r ) 】，厂( ：) ( 2 - 19 ) 又 l ，( z ；) i 形lz ；l ，z , z ( z 。) 0 ， 所以 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 ，2 ( z ；) 彬z ；z ( z ；) ， 故 f t ( z ) 】，o w 一，( z ) z r 7 0 ( z ) ( 2 2 0 ) 其中，) ，o = d i a g ( y ，y 弧) 。 将式( 2 1 9 ) 写成： 矿( z ) = z t p ( 一d ) + ( - d ) p j z 一2 z t p ( 一丁) 一胁(