（基础数学专业论文）r25空间中余维为2的类时子流形的局部理论.pdf

摘要 本篇文章主要研究了在指标数为2 的5 维伪欧氏空间中的3 维类时子流形m 的局 部性质，并且m 的法平面只含有空间向量在n 5 维欧氏空间和指标数为l 的伪欧 氏空间中曲线，曲面的奇点分类情况已经解决了很多( 【l l 】 4 】 5 8 】 9 】 10 ) 文献【6 】解决 了在5 维伪欧氏空间中3 维l o 1 t z i a n 子流形的情况 有上所述，他们都用了一个非常重要的工具一光型高斯映射和光型高度函数，但 是在本篇文章中，由于在法平面中不存在光向量的限制，我们构造了一个新的高斯映射 来对问题的解决，主要方法和主要结果如下： 本文主要构造子流形m 的管状曲面g m ，类时高斯映射和类时高度函数的方法， 通过证明m 和e m 具有相同的奇异性从而研究g m 的奇点分类即能得m 的奇点分 类有： 定理设m 为中碰的3 维类时子流形，g m 为m 的管状曲面，m 和e m 的 高度函数分别为日，耳日，耳的h e s 8 i a n 矩阵有 日( 。( 0 ) ) = h ( 。( o ) ) or 再有定理 m 为趟中的3 维类时子流形，g m 为m 的管状曲面，霞：g m s j r 则 下列命题等价： ( 1 ) 对某固定的a 母，p o g m 为类日寸高斯函数瓦的退化临界点 ( 2 ) p o 为g m 上的类时高斯映射l 的奇点，使得 = l ( p o ) s ( 3 ) 日= a r c t a 詈l p o = a r c t a n 子| 如时，凰( s p ，s i n p ) ( p o ) = o 可得e m 上的奇点的局部性质，从而得m 上的奇点的局部性质可以说明g m 和 m 的奇异性质相同 关键词：碰空间，类时子流形，第二基本型，类时高斯映射，类时高斯曲率，管状 曲面，类时高度函数 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，o u ra i mi st od e v o e l o pt h el o c a lp r o p e r t i e so f i n d i c a t o r s2t i m e l i k e3 - s u b m a n i f o l di ns e m i e u c l i d e a n5 一s p a c e ，a n dt h en o r m a lo ft h es u b m a n i f o l do n l yc o n t a i n s s p a c e l i k e t h es i n g u l a r i t yo ft h el i n ea n ds u r f a c ei ne u c l i d e a nn s p a c e m 5 ) ，a n dt h e i n d i c a t o ri s1 i ns e m i e u c l i d e a nh a v eb e e nd o n e ( 【1 1 4 】【5 l 【8 】【9 1 0 】) 6 】h a sd e v e l o p e d t h el o r e n t z i a n3 - s u b m a 以i f o l d si ns e m i e u c l i d e a n5 一s p a c e a b o v ea j l ，t h e yu s e dav e r yi m p o r t a n tt o o l 一1 i g h t c o n eg a u s sm a p sa n dl i g h t c o n e h e i 曲tf u n t i o n b u ti nt h i sp a p e r ，w ei n c r e a s e dt h eg e n u so fk n o w ng a u s sm a p st h e d e t a i lm e t h o da n dm a i nr e 8 u l t sa r ea sf b l l o w s ： i nt h i sp a p e r ，w ec o n s t r u c tm 7 sc a n a lh y p e r s u r f a c eg m ，t h et i m e l i k eg a u s sm a p s s a n dt h et i m e l i k eh e i g h tf h n c t i o n a tt h el a s t ，p r o v et h ec ma n dmh a et h es a m es i n 目l - l a r i t i e sa n dt h ep r o p e r t i e s h a v e ： t h e o r e ml e tm i st i m e l i k e3 一s u b m a n i f o l d si n 磁c ? mi sm sc a n a lh y p e r s u r f a c e t h e 日，霄i sh e i g h tf u n c t i o nr e s p e c t i v e l yo fm a n de m ，t h eh e s s i a nm a t r i xo f 日，霄h a v e ： 日( 瓦( o ) ) = 日( 。( o ) ) or b yt h et h e o r e m ， l e t mi st i m e l i k e3 一s u b m a n i f o l di ns e m i e u c l i d e a n5 一s p a c e ，g | mi sm sc a n a lh y p e r - s u r f a c e ，t h e r ei sam a p s 冠：c m 鼋_ r ， s ot h ef b l l o w i n gp r o p e r t i e sa r ee q u i 、，a l e n c e ( 1 ) af l x e da 5 暑，r g l 订i sg a u s sm a p s 瓦 sd e g e n e r a t ec r i t i c a lp o i n t ( 2 ) ri ss i n g u l a r i t i e so fg a u s sm a p sl ，s ot h a ta = 三( p o ) s 暑 ( 3 ) w h e n 日= a r c t a n 詈l p 0 = a r c t a n 詈k t h e 托( c o s 日，s i n 8 ) ( p o ) = o w ec a ng e tma n de mh a st h es a m es i n g u l a 州e s k e y w o r d s ：t h es p a c e so f 磁，t i m e l i k es u b m a n i f o l d ，t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m ， t i m e l i k eg a u s sm a p s ，t i m e l i k eg a u s sc u r v a t u r e ，c a n a lh y p e r s u r f a c e ， t i m e l i k eh e i 曲t f h n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：盈瘪捆 日期：碰：皇盟 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：坳 指导教师签名 同期 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 日期 电话： 邮编：讨7 0 1 引言 从1 9 5 5 年h w h i t n e y 发表了关于平面到平面的映射奇点开始，奇点理论开始作为 一门独立的数学分支登上了数学舞台之后出现了象r t h o m ，j m a t h e r 和v i a r n 0 1 d 等数学家对奇点理论进行了各方面的完善现在奇点理论已经在几何学、方程学、物理 学等学科上均有很广的运用，在几何学中主要研究曲线，曲面及子流形的奇点问题，由 于研究某个曲线，曲面及子流形时会遇到很多的麻烦，通常我们会借助一个重要的工具 一高斯映射，由于它可以保持曲线，曲面及子流形的几何性质不变 在微分几何的应用中，欧氏空间中的曲线，曲面及子流形的奇点情况做了明确的 分类( 参见文献【1 l | ) 在对指标数为1 的伪欧氏空间的研究中，对一些曲线，曲面的 奇点也已得到比较完善的分类：文献【9 】对3 维伪欧氏空间中的可展类空曲线的奇点分 类进行了研究，主要运用了光型高斯映射作为分类的工具；文献 5 】f 8 】 1 0 1 主要对4 维 m i n k o w s k i 空间中运用光型高斯映射对光型超曲面，空间型曲面的奇点进行分类；文献 7 把维数推广到n 维余维为2 的双曲曲面的奇点分类；文献 6 主要对指标数为2 的 5 维伪欧氏空间中3 维l o r e n t z i a n 子流形进行奇点分类，通过建立母母上的光型 高斯映射作为工具 本文主要对指标数为2 的5 维伪欧氏空间中余维为2 的类时子流形m 局部性质 的研究由于掰的法平面只存在空间型向量，不存在光向量在硝上建立类时高度 函数h ：肘一r ， h ( x ( z ，z ) ，a ) = ，a 碰可得p o m 为m 的奇点的充要条 件( 命题3 2 ) 同时通过缩小余维数使问题简单话，参照文献 7 】的方法，在m 上建立 管状曲面c 7 m = m s 1 同时在c m 上建立类时高斯映射l ：g m _ 翼和类时高度 函数日：g m 奠r ，类似m 上结论可得命题3 4 ，同时可知m 与e m 具有相同 的奇点类型( 定理3 5 ) ，之后主要对e m 上的奇点的研究来判断m 上的奇点的类型 在c m 上奇点的存在性有等价结论( 定理3 6 ) 可得a m 上的奇点的局部性质，从而 得m 上的奇点的局部性质 2 基本概念 设斟= ( 1 ，茹2 ，茹3 ，霉4 ，z 5 ) 陋l ，。2 ，。3 ，z 4 ，霉5 r ) 是五维向量空间 对于饼空间中的任意两个向量x = ( z l ，。2 ，z 3 ，z 4 ，z 5 ) ，y = ( 掣1 抛，掣3 ，弧，拈) x 和y 的伪内积定义为 5 x ，y ) = 一z l y l 一茹2 材2 + 甄玑 i = 3 我们称( 斧，( ，) ) 为五维指标数为2 的伪欧式空间通常将( 舻， ) 简记为磁 对任意的x ，y 磁中，如果 = o ，我们称x 和y 是伪正交的 在伪内积的运算下，当向量x o ，若 ( x ，x ) o ，( x ，x ) = o ，( x ，x ) 勺 = e 岛 双 中 于 其 由 故可得c o d a z z i 型方程 由于( e ，勺) = 如6 ( q ) 两边求外微分可得 灿= 霹：1 6 ( q ) d ( e j ) u “ c b 巧= 2 ：l u 。 u 埘 ( 如i ，勺) + ( e ，d q ) = o 即为 d ( q ) 呐j + j ( q ) = o 因此有 咐= 一d ( e ：) 6 ( 唧) 屿i ， 可得 岫 = 0 ，t = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 由于d x 乃m ，e 4 ，e 5 m 则 ( 麟，e 4 ) = ( d x ，e 5 ) = o ， 即 龇= “5 = 0 因此有 d u 4= 一咄l u l 一岫2 + u 4 3 u 3 = o 毗5= 一u 5 1 u 1 一u 5 2 u 2 + 3 u 3 = o 可得 隧凳鼢矧 存在适当的函数o ，6 ，c ，d ，e ，可，5 ，t ，a ，百，7 c ”( m ，r ) 使得由c a r t a n 引理可知 由于 u 4 l2 删1 + 鼬2 + 叫3 ，u 5 l = 矶1 + n 2 + 酗3 叫4 2 = 6 u 1 + d u 2 + e u 3 ，叫5 2 = b l + i b 2 + 百u 3 u 4 3 = c u l + e 蛐+ ，u 3 ，u 5 3 = 石u 1 + 百u 2 + 7 0 3 ( d x ，e 4 ) = ( 扰，e 5 ) = o 4 则有 ( d 2 x ，e 4 ) = 一( 捎，d e 4 ) = 一甚lu e ，；：lu 暂勺) = 一( u l e l + 叫2 e 2 + u 3 e 3 ，u 4 1 e l + “扎2 e 2 + u 4 3 e 3 + u 4 5 e 5 ) = 一 ( u l e l ，龇l e l ) + ( u 2 e 2 ，u 4 2 e 2 ) + ( 蛐e 3 ，叫4 3 e 3 ) ) = 一 1 e 1 ，( 叫i + “2 + 叫3 ) e 1 ) + ( 叻e 2 ，( 妇1 + 砒+ 删3 ) e 2 ) + ( u 3 e 3 ，( o u l + e u 2 + ，u 3 ) e 3 ) = 一 一( n u + k ，l u 2 + c ( ，1 u 3 ) + 【一( 6 u l u 2 + 玻以+ e u 2 u 3 ) 】 + ( c u l 叫3 + e u 2 u 3 + ，u ；) ) = 一 一口u 一a b ；+ ，u ；一2 6 u l u 2 = 瞰j + c b ；一，u ；+ 2 6 u l u 2 ， 同理 ( d 2 x ，e 5 ) = 一( d x ，d e 5 ) = 一( 墨1u 。e 。；：1u 5 j q ) = 一( u l e l + “也e 2 + u 3 e 3 ，u 5 l e l + u 5 2 e 2 + u 5 3 e 3 + 吣4 e 4 ) = 一 ( u l e l ，u 5 1 e 1 ) + ( u 2 e 2 ，u 5 2 e 2 ) + ( u 3 e 3 ，u 5 3 e 3 ) ) = 一 ( u l e l ，( 酗1 + b 2 + 酗3 ) e 1 ) + ( u 2 e 2 ，( b 1 + 函2 + 甜3 ) e 2 ) + ( u 3 e 3 ，( 苞u l + 百u 2 + ，u 3 ) e 3 ) = 一 一( 酗；+ 云。l u 2 + 石u l 蛐) + 【一( 讪1 叫2 + 夏谚+ 百u 2 u 3 ) + ( 石。l u 3 + 百u 2 u 3 + ，w ；) = 酗：十孔；一知；+ 2 b l u 2 我们称 ( d 2 x ，e 4 ) e 4 + ( d 2 x ，e 5 ) e 5 = ( n u + 幽；一，嵋+ 2 乩l u 2 ) e 4 + ( 酗 + 孔；一面；+ 2 b l u 2 ) e 5 为肘的第二基本型 设v = 。e 4 + 掣e 5 0 m ，有d v = d z e 4 + 。d e 4 + d 可e 5 + 掣d e 5 ( d v ，e 1 ) = ( d z e 4 + z d e 4 + 由e 5 + 掣如5 ，e 1 ) = ( ( u l e l + u 2 e 2 + u 3 e 3 ) e 4 + z ( u 4 l e l + u 4 2 e 2 + u 4 3 e 3 + u 4 5 e 5 ) + ( u l e l + “也e 2 + u 3 e 3 ) e 5 + ( u 5 1 e l 十u 5 2 e 2 + u 5 3 e 3 + 屿4 e 5 ) ) ，e 1 ) = 一( z u 4 1 + 可“据1 ) = 一b ( 叫l + 如2 + 龇) + 掣( 砌l + 乩2 + 酗3 ) l = _ 【( + 动) u 1 + ( 6 。+ 而) u 2 + ( 凹+ 珂) u 3 1 同理 ( d v ，e 2 )= ( d 。e 4 + 。d e 4 + 4 可e 5 + d e 5 ，e 2 ) = 一【( 6 。+ 5 可) u l + ( d 。+ 动) u 2 + ( e z + 百y ) u 3 其中 ( d v ，e 3 ) = 如e 4 + z d e 4 + 由e 5 + s ，d e 5 ，e 3 ) = ( 凹+ 动) 叫1 + ( e z + 可) 忱+ ( 如+ 7 暑，) u 3 ( d v ，e 1 ) ( d v ，e 2 ) ( d v ，e 3 ) j 一( 口z + 劭) 一( k + 的) 一( 凹+ 动) l = i 一( 妇+ 的) 一( 出+ 咖) 一( e 。+ 动) i u l u 2 + 酚e 茁+ 劢如+ ，v i = 【( n 。+ 动) ( 出+ 动) ( 如+ 乃) + ( h + 勋) ( e z + 动) ( 凹+ 动) + 沏+ 动) ( e z + 动) + 功) 一+ 功) 2 ( 如+ 而) 一( 6 。+ 劢) 2 ( ，z + ：乃) 一( e z + 动) 2 ( o 茁+ 融) 】u 1 u 2 u 3 = 尺：( z ，) u 1 u 2 u 3 ， 媳如，g ) = ( 吐z + 瓦蓼) ( 如+ 西) ( ，z + 了口) + ( 6 + b ) ( 鲍+ 西) ( 馏+ 谢) + ( k + 勋) ( e 。+ 劢) ( + 劭) 一( 凹+ w ) 2 ( 如+ 劫) 一( 6 z + b ) 2 ( ，。+ 7 ) 一( e z + i 9 ) 2 ( n 。+ 西) 称为类时高斯曲率 对任意p m ，m 在点p 的正交坐标标架为 e - ( p ) ，e 2 ( p ) ，e 3 ( p ) ，e 4 ( 珐e 5 ( p ) ) 设 s 1 = c o s p e 4 + s i n 口e 5 姊m ，疗( o ，2 丌】 令e ( p ) = c o s 目e 4 + s i n 口e 5 有 nc 萨嵩糕端端啤m 定义2 ，2 设mc 磁为余维为2 的类时子流形， s 1 = c o s 目e 4 + s i n 目e 5 ，日( o ，2 7 r 】为m 法平面上的单位圆， 称c m = m s 1 为m 上的管状曲面 3 主要结果 定义3 1m 上的函数 h ：m 叫r 满足 h ( x ( 。，y ，z ) ，a ) = ，a s j 称h 为m 上的类时高度函数 其中 s 2 = x = ( z l ，z 2 ，。3 ，z 4 ，z 5 ) 冗2 l z ：一z ；+ z ；= 1 ) 6 当a o 为鼋中某个固定向量时记h ( x ( 写，y ，z ) ，a 口) 为 。( x ( z ，掣，z ) ) 由m 上类时高度函数可有以下命题， 命题3 2 设m 为磁中3 维类时子流形，设有高度函数 h ：m 影一r ， h ( m ) = 日( m ，a ) a 醴则有下列结论： 1 喾o ) = 等( 肋) = 警0 。) = o 的充分必要条件是 a = c o s 口e 4 + s i n 目e 5 对任意的p o = ( z o ，g o ，翔) m 2 警( 舶) = 喾溉) = 警溉) = 如t h ( h ) ) = o 的充分必要条件是 a = c o s 口e 4 + s i n 扫e 5 ， 且当口= a r c t a n 詈f p 。= a r c t a n 詈l 舶时，弼( c o s 口，s i n 口) ( p o ) = o 其中d e t h ( h ) ( p o ) 为当a 固定时，h 在p o 点h e s s i a n 矩阵的行列式 证明1 h ( x 0 ，z ) ，a ) = = ( x ( z ，可，z ) ) ，a 毋 磐( 伽) = + o 0 o a a a y v ， 恐墨 口ns 一， o 0 + ps0c ， 移口 r 蜃蓦 一口一，d + + 0 p 口 s s 0 0 c c 0 6 j | 证明由于c m 为趟的超平面，设映射 x ：u 【o ，2 丌) - 硝 ) i ( ( z ，可，z ) ，p ) = ( x ( 。，咎，2 ) ，c o s 8 ，s i n 口) ， 有 x ( ( z ，名) ，口) = x ( z ，可，z ) + c o s p e 4 + s i n 口e 5 t x ( 。，可，名) ，e 4 ，e 5 ) r 对叉求偏导得 j i ( ( z ，掣，z ) ，口) = 墨( 茁，可，g ) + ( c o s 臼e 4 + s i n 9 e 5 ) t ，i = z ，! ，z 瓦( ( z ，z ) ，日) = 一s i n p e 4 + c o s 口e 5 设n ( ( 。，可，z ) ，目) = c o s 口e 4 + s i n 口e 5 ， 则有 = = o ， = = 0 故可知n ( ( z ，。) ，口) 分别与瓦，叉口均垂直 所以 n ( ( z ，g ，z ) ，口) s l n 0 e m ，p = x ( z ，。，日) ， 可知叉。，瓦，叉：，x 口，n ( ( z ，z ) ，p ) 可以构成磁空间中的基本标架 由十 一 豢= 鲁( p 0 ) = 警( p 0 ) = 等( p o ) _ o 则 a n ( ( z ，g ，z ) ，口) ， a = c o s 目e 4 + s i n 口e 5 下面建立c m 上的高斯映射 l ：c m _ s 1 ( p ，p ) 卜乱( p ) ，p m ，p s 1 其中鼋= x = ( z 。，石：，。3 ，z t ，船) 磁i z 一z ；+ z ；= 1 ) 为磁中的单位伪球， l ( u ，p ) = z ( u ) + c o s 日e 4 + s i n 日e s 毋的奇点集为甄) = o ，p 磷，札矿 设 ( 。( 珏) ，v ) e a f 9 _ v o ( 让) = 可选择c m 在( 茁( u ) ，v ) 处的坐标系u w 有 1 ) u 为m 的正交标准标架z ( 0 ) = ( 1 ，o ，o ，o ，o ) ， 2 ) 为s 薹处的标准标架v = ( o ，o ，o ，c o sp ，s i n 口) 且有m o n g e 式 ( 1 ) x ( z ，y ) = ( ( z ，y ，z ，口) ，z ，s ，尼( z ，f ，z ，口) ，3 ( z ，孑，口) ) ， ( 2 ) 器( p ) = 器( p ) = 器( p ) 一。江圳，刈 上述结论均在g m 的任意固定点的领域中成立，且有以下结论 定理3 5 设m 上的类时高度函数打的h e s s i a n 矩阵为日( - ) ，c m 上的类时高度函 数的h e s s i a n 矩阵为日( _ - ) ，m 在k 处的法向量为审，则满足 日( k ) ( 札) or = 耳( - ) ( u ) = d l ( u ，劝， d l ( u ，可) 为类时高斯映射l 在点( z ( u ) ，口) 的j a c o b i a i l 矩阵 证明设( z ( 让) ，v ) g m 其中对于固定的 v = ( o ，o ，o ，c o s o ，s i n o ) 。( u ，口) = = ，2 ( z ，可，z ，口) c o s a + 厶( z ，可，z ，口) s i n o 由于可为m 的伪法向量，若固定向量n 则可知可为e m 的法向量， 有； 可( u ，口) = = + = b ( “) + c o s 眠+ s i n 慨 其中由于v s 萋，可以选取可= ( o ，o ，o ，c o s q ，s i n ) 由此爵的h e s s i a n 矩阵仃( - _ ) ( o ) 为 日( - _ ) ( o ) = 其中f = c o s a + ，3 s i n 口 r ： 乃， e 。只 00 r ：e d 日：b f z zf z e 0 一c o s 眠一s i n 婀5 由于_ 4 = c o s 口，5 = s i 乜且足口= 0 ，日口= 0 ，e 日= 0 1 0 放有 日( _ _ ) ( o ) = b 。e ，r ： b z 日，日； f z zf z vf x z 000 o 0 0 一c o s o = 日( h 守( o ) ) o 兄= d l ( o ，审) ， 所以可知m 在类时高度函数的h e s s i a n 型与c m 在类时高度函数的h e s s i a n 型 有相同的性质 定理3 6m 为鹧中的3 维类时予流形，c m 为m 的管状曲面， 日：聊剐一只 则下列三个命题等价； ( 1 ) 对某固定的a g ，m g m 为类时高斯函数瓦的退化临界点 ( 2 ) m 为g m 上的类时高斯映射l 的奇点，使得a = 工) 母 ( 3 ) 口= a r c t a n 詈i 肋= a r c t a n 詈 加时，尬( c o s 目，s i n 日) ) = o 证明定义 ( _ ) = ( p ，a ) 伽鲥l 尝( p ) = 鲁( p ) = 警( p ) = 等( p ) = 。) 由命题3 4 可知 ( 曰) = ( p ，a ) ，奠l a = c o s 口e 4 ( p ) + s i n 目e 5 ( p ) ， 下面考虑标准投射 7 r ：e m 雹- s 詈， 7 r l ( 西) 可等同看作在s ；上的类时高斯映射，故可知( 1 ) 与( 2 ) 等价 因为p 为取的退化临界点，则有如疽( 奴) ( 册) = 口 当 由命题知 故( 1 ) 与( 3 ) 等价 则可知命题( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 等价 目= a r c t a n 詈l p 0 = a r c t a n 詈l 。时 k ( c o s 日，s i n 伊) ( p o ) = o ， 由以上分析可知e m 上的类时高斯曲率等于零的点为g m 上类时高斯映射的奇 点，同时也为类时高度函数甄的h e s 8 i a n 矩阵为零的点 1 1 定义3 7 若m 为磁中余维为2 的类时子流形，对固定的a 鹾n m 与固定的 c r ，若磁中任意一个向量x 满足 = c 则由所有x 所构成的超平面称为类 时超平面用t h p ( a ，c ) 表示 定理3 8 设m 为趟的类时3 维子流形，且g m 上的类时高斯映射l 为常值映射的 充分必要条件为存在唯一的类时超平面丁日p ( a ，c ) ，使得 4c ? 日p ( a ，c ) ，a = c o s 9 e 4 + s i n 日e 5 证明充分性由于三为常值映射 因 可设 l ( z ，9 ，z ，口) = c o s 口e 4 ( p ) + s i n 日e 5 ( p ) 为常数， d = + = o 则可知 = c ， 即 ，= x ( u ) c t 日p ( a ，c ) ，a = c o s 日e 4 + s i n 日e 5 必要性若m = x ( u ) c t 日p ( a ，c ) ， 则有 = c ， 故 d = 0 又因 a = c o s 占e 4 + s i n p e 5 ， + = o ， 由于a 0 m ，有 = o 可得 = o 由于x ( z ，z ) 为m 上任意的点，故有以= 0 即a 为常数 即l ( 。，可，z ) 为常值函数 后记 本篇文章主要讨论了在燧中余维为2 的类时子流形m 上的奇点分类，主要通 过构造m 上的管状曲面g m ，并且对m 与c m 具有相同的奇点类型加以证明( 定理 3 5 1 由于时间匆忙，对m 上的具体奇点分类尚未完成，在本论文后的研究中，主要通 过对g m 上的奇点进行分类，通过运用g m 与霹的切触，在局部上讨论c m 与鼋 的趋近程度，再通过一等价与l e g e n d r i a n 等价，可以构造e m 上的距离平方函数 与其函数的f 一截断，从而可以对c m 进行奇点的分类，即可得m 的奇点分类 1 3 参考文献 f 1 v i a r n o l d ，s m g u 8 e i n _ z a d ea n da n c h e n k 0 s i n g u l a r i t i e so fd i 船r e n t i a b l e m 印s 【m 】v o l ri ，b i r k h a u s e r ( 1 9 8 6 ) ， 【2 】j w b r u c ea n dp j g l b l i n ，g e n e r i cc u r v e sa n ds u r f a c e s 【j j j l o n d o nm a t h s o c 1 9 8 l 2 4 ：5 5 5 5 6 1 【3 】t e c e c i l ，l i es p h e r eg e o m e t r yw i t ha p p u c a t i o l l st os u b m a n i f o l d s 【m s p r i n g e r v e r l a g a u g u s t l 9 9 1 【4 】c l e p s t e i n ，t h eh y p e r b o l i cg a u s sm 印a n dq u a s i c o n f o r m a lr e n e c t i o n s 【j j r e i n e a n g e w e m a t h 1 9 8 6 ，3 7 2 ：9 6 1 3 5 5 s i z u m i y a ，d p e ia n dm c r d m e r of u s t e r ，t h el i g h t c o n eg a 璐sm 印o f as p a c e l i k e8 u r e i nm i n k o w s k i4 一s p a c e 【j 】a s i a hj m a t h ，v 0 1 8 ，n o 3 ，p p ，2 0 0 2 ：5 1 1 5 3 0 6 s i z u m i y a ，d p e i ，t h e 研g 一 o f u e dl i g h t c o n eg a u s sm a p o fal o r e n t z i a n3 一s u b m a n i f o l d i ns e m i - e u c l i d e a n 5 - s p a c e j 】( 2 0 0 3 ) 【7 】s i z u m i y a ，d p e ia n dm c r _ 0 m e r of u s t e r a n dm 卫出a h a s h i ，o nt h eh o r o s p h e r i c a l r i d g e s o fs u b m a n i f o l d so fc o d i m e n s i o n2i n h y p e r b o l i cn _ s p a c e j 】b u ub r a zm a t h s o c n e w s e r i e s ，2 0 0 3 ，3 5 ( 2 ) ：1 7 7 - 1 9 8 【8 s i z u m i y a ，d o n g h e p e ia n dm a r i ad e lc a r i i l e nr o c e r of u 8 t e r ，t h el i 曲t c o n eg a u s sm 印o f as p a c e l i k e8 u r f a c ei