（应用数学专业论文）多圆柱上pbloch空间的复合算子紧差分.pdf

中文摘要 本文主要研究了( 单位) 多圆柱上p - b l o c h 空间之间及小p - b l o c h 空间之间的 复合算子的差分形式，给出了它有界性和紧性的一个充分条件 本文主要分为四部分来详细论述上述问题 第一章为引言，介绍了问题研究的背景和研究的必要，以及本文的主要工作 和有待解决的问题 第二章主要给出了一些相关的概念及定理 第三章是一些相关的引理，这些引理都是解决后面问题必备的基础知识和重 要工具，有的在下文中将不再证明而直接应用 第四章是本文的主要部分，在这一部分中，我们重点讨论了复合算子差分形 式在p - b l o c h 空间的上、下界问题，并以定理的形式给出具体的证明进而，给出 其在p - b l o c h 空间紧的一个充分条件 第五章是对整篇论文的总结，并提出了一些尚未解决的问题和进一步研究的 方向 关键词：多圆柱；p - b l o c h 空间；差分；紧性；本性模 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h ed i f f e r e n c eo fc o m p a c to p e r a t o ro np - b l o c hs p a c ea n dl i t t l ep - b l o c hs p a c eo fp o l y d i s cw i l lb ec o n s i d e r e d ，a n dw ew i l lg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ec o m p a c t n e s so ft h ed i f f e r e n c eo fc o m p a c to p e r a t o r ，a n dt h e np r o v ei t t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s 乃ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r t a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp a p e r ，m a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e ma n di n t r o d u c et h e f u r t h e rp r o b l e m n e x ts e c t i o no ft h ep a p e ri sc o m p o s e do fs o m eb a s i c a ld e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s t h et h i r ds e c t i o nc o n c l u d ss o m el e m m a sa b o u tt h i sp r o b l e m w h i c ha r et h eb a s i s o fo u rr e s e a r c h t h ef o r t hs e c t i o ni st h em a i np a r to ft h i sp a p e r ，a n di nt h i ss e c t i o n ，w ew i l ld i s c u s s as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o m p a c t n e s so ft h ed i f f e r e n c eo fc o m p a c to p e r a t o r a tl a s t ，w es u m m a r i z et h ew o r ko ft h ew h o l ep a p e ra n dg i v es o m ep r o b l e m st u l - s o l v e d k e yw o r d s ：p o l y d i s c ；p - b l o c hs p a c e ；d i f f e r e n c e ；c o m p a c t n e s s ；e s s e n t i a ln o r m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者硌眵鳓觌垆z 月踟 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规 定。特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅 和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名 曼形 l 签字日期：御年多月，多日 导师签名： 阅鳓 签字日期：硐年多月i 孕日 l 第一章引言 第一章引言 众所周知，多复变函数理论的研究是当代数学发展里的一个崭新领域， 在这其中非常活跃的一部分内容即是多复变函数空间上复合算子理论的研 究之所以这么说，是因为，一方面，多复变函数中域的构成相当复杂，即 使最简单的两个域一一超球和多圆柱一一也不是全纯等价的( 事实上，多 复变中域的分类问题仍是有待进一步解决的难题之一) ，这就使得不同域上 函数空间的结构必然不同，因而研究不同函数上的复合算子的结果也必然 是不一样的；另一方面，在多复变中可以定义很多不同的函数空间，常见 的例如：b e r g m a n 空间、h a r d y 空间、l i p s c h i t z 空间、d i r i c h e t 空间以及它 们相应的加权空间等等，当然还有我们在本文里所研究的b l o c h 空间和加权 的b l o c h 空间，这些空间大多是由单复变中的相应情形推广而来的，但是因 为空间维数跳跃到高维，所以在这些空间上的复合算子的性质不仅比单复 变时复杂得多，并且有一些性质甚至有着根本的不同由于复合算子的多 样性和研究方法的不同，我们虽然已经获得了很多很好的结果，但这还远 远不够就研究内容而言，我们可以探讨算子的有界性和紧性，以及谱的性 质，此外还有乘子的性质等等。就方法而言，可以用一般泛函分析的方法 来研究复合算子的性质，也可以结合复变函数的特点来研究，如利用内函 数、角导数以及本性模等来刻画算子的性质 复合算子的研究对基础数学和应用数学的进一步完善和发展有着重要 意义。例如，其在复解析动力系统理论中起到重要作用；d eb r a n g e s 关于 b i e b e r b a c h 猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算子函数空间 上的算子理论之所以受到普遍关注，不仅因其丰富且深入的理论，而且特 别是它广泛和卓有成效的应用 近几年，对于复合算子的差分形式的研究逐渐成为本领域一个研究热 点，并已获得了显著的理论成果例如， m o o r h o u s e l 通过角导数和伪双曲 度量的方法给出了复合算子差分形式在h a r d y 空间和加权b e r g m a n 空间及 加权d i r i c h l e t 空间的紧性的充要条件； m a c o z 】的文章中借助p o i n c a r e 度量讨 论了复合算子的差分形式在日”空间上的性质；【p e k k a 的文章则重点讨论 了差分在b l o c h 空间和l i p s c h i t z 空间上的紧性和弱紧性等问题而对于( 单 位) 多圆柱上b l o c h 型空间的复合算子及加权复合算子已经由周泽华教授给 1 第一章引言 出了一系列完整的结果( 【3 】、【4 】4 、【5 】5 ) 本文主要是利用本性模这个工具对( 单位) 多圆柱上p b l o c h 型空间 的复合算子的差分进行讨论，并给出其上、下界，进而得到一个判定差分在 p b l o c h 型空间紧的相应充分条件 2 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 在本章中，首先简要介绍一下本文所涉及到的一些主要概念、术语、 性质和结论关于这些概念和结论的更详细内容，见参考文献( 【1 】，【2 、 【3 1 、【4 】、【5 、【6 、 7 】， 8 】、 9 、【1 0 】、【1 4 】、 1 5 】、 2 2 、【2 3 、【2 4 】、 【2 5 】、【2 6 1 、【2 7 】、【2 8 】、【2 9 】、【3 0 0 下面我们依次介绍多圆柱【，n 与多圆柱上的p - b l o c h 空间、小p - b l o c h 空 间、小p - b l o c h 星空间以及它们的一些基本性质。 2 1 多圆柱u n 在本文中，我们用c 表示复数域，c n 表示复数域上的n 维线性空间： c n = ( z 1 ，) ：乃c ，j = 1 ，n ) 设z = ( z l ，) ，w = ( w l ，) 是c ”中的两个点，定义它们的内积为 由此产生z 的模为 2 1 = 尿百万= ( 卅) j - - 1 这样c n 是一个n 维的h a l b e r t 空间 c “中( 单位) 多圆柱的定义为： n c n = 淞，z n ) c n ：蚓加z 第二章基本概念和定理 其中z = ( 钆，) 设咖= ( l ，咖n ) 是q 到自身的一个全纯映射，则由西诱导的复合算子 定义为t ( c c f ) ( z ) = ，( ( z ) ) ， 其中，z q ，日( q ) 用g ( z ，z ) 表示q 的核函数，q 的b e r g m e m 度量也( 钍，札) 定义为： 脚m = 三1 塞掣喁k 吼( 札，u ) = 石鼍裂呦砚， 。，= l 。1 。 这里z q ，t t = ( u l ，札。) c n 2 2b l o c h 空间 按照t i m o n e y 6 1 ，若，之日( q ) ， i i f l l b ( q ) = s u p q l ( z ) o o ， z e q 则称，属于b l o c h 空间日( q ) 此处 ： 钏加s u p 搿叭c n 邛，) 这里v ，( z ) = ( 铧，笔阻、表示，的复梯度，v f ( z ) 珏= 叠掣铆 小b l o c h 空间绵( q ) 是指多项式函数集在b ( q ) 中的闭包记a q 为q 的 拓扑边界按照t i m o n e y 7 】，对于伊中的单位球q = b n ， 玩( 岛) = ，召( 风) ：q ，( z ) 一0 ，z o b n ) ； 对于非球的有界对称域口，定义 岛。p ) = ，b ( d ) ：q ，( z ) 一0 ，2 一矿d ) 称之为小b l o c h 星空间，这里0 2 9 表示d 的特征边界单位球是唯一具有性 质矿d = 劬的有界对称域 4 第二章基本概念和定理 用u n 表示c n ，根据t i m o n e y 6 ，b ( u “) 当且仅当 i i ，| i - 州( 0 ) l + 器喜l 差i ( 1 恢1 2 ) 0 ，若，h ( u n ) ， 忖峙堋卅舄娄船) ”删 慨 则称，属于p - b l o e h 空间矽( u n ) 容易验证，当p 1 时，在范数i p 下矽( 矿n ) 为b a n a c h 空间；当0 p 0 ，使得 i i t x l l y m f x l l z ( v x x ) 紧算子设x ，y 是b a n a c h 空间称线性算子t ：x y 是紧的，如果对 任意有界点列【z 。 cx ， t x 。) 中存在其收敛子列( 或者，对于x 中的任 意有界集b ，夏酉在y 中是紧集) 6 第三章一些引理 第三章一些引理 引理3 1 若d 是非球的有界对称域，则瑶( 口) 是魄( d ) 的真子空间且 魄( 口) 是矽( d ) 的不可分子空间。 引理3 2 【3 l e m m a 2 i 设，伊( u n ) ，我们有以下结论： ( 1 ) 若o 0 那么o ：伊( u n ) ( 瑶( u n ) o r 跟( u ”) ) 一b q ( u n ) 有界当且仅当存在一常 数c ，使得对任意z u n 满足： 熹鼢l 揣。 引理3 4 3 l e m m a 2 4 】设= ( l ，n ) 是泸到自身的全纯自映射，那 么 劬：移( u n ) ( 瞄( u n ) ) 一b 吕。( 泸) 有界当且仅当对于任意l = 1 ，2 ，扎有锄懿。( 扩) 且引理3 3 中的不等式 成立 引理3 5 【3 l e m m a 2 6 】设咖= ( l ，妒n ) 是u n 到自身的全纯自映射，那 么 o ：瑶( 矿n ) 一懿( 沪) 有界当且仅当对任意多重指标7 ，矿懿( v n ) 且引理3 3 中的不等式成立 引理3 6 若 ) 是伊( u n ) 中的有界序列，则存在 ) 的子序列 。】在 v n 的紧子集中一致收敛于，矽( 【，竹) ，此处，全纯 7 第三章一些引理 证明令t ) 为矽( u n ) 中的有界序列，i i f k l l p a 由引理2 ， 乃) 在泸 的紧子集上一致有界，由m o n t e l 定理选出在u n 的紧子集上一致收敛于f ( f 全纯) 的子序列 氖) 由对任意l 1 ，2 ，竹 ， o f j k 。8 | 石z t ? 8 z l 可知 壹1 = 1l 荔lc 一蚓2 ，p = 熙砉i 鲁i c 一蚓2 ，pg u 七训纠i p g 从而，即说明f 矽( 矿n ) 引理3 7 设q 是c 竹中的域，f 日( q ) 若紧集k 和它的邻域g 满足 kcgc cq 且p = d i s t ( k ，o g ) 0 ，则 磐伽) 和s u p i f ( 圳 证明 因为p = d i s t ( k ，o g ) 0 ，所以对任意的a k ，多圆柱 p n = 忙，) ec n ：i 勺一叼i 而p ，歹= 1 ，一，礼) 含于g 由c a u c h y 不等式得， 阻o f ( ) l 等刎s u p 匕i f ( z 胚v ns u g pi f ( 圳 对a k 取上确界即可得证 8 第四章主要定理及证明 第四章主要定理及证明 在本章中，我们将给出主要定理及其证明为了方便定理的证明，我们 先来给出一个命题。 命题4 1 设= ( 1 ，) 是矿n 到自身的全纯自映射定义日( u n ) 上 一算子( 仇2 ) 如下： k r a f ( z ) ：，( 掣z ) ， 具有下列性质：对任意f h ( w 0 ， ( i ) 。，瑶( u 以) c 召& ( 矿“) c 矽( 扩) ； ( i i ) 若郇：伊( 泸) _ 1 3 q ( u n ) 有界，则q 蠡，召9 ( 泸) ； ( i i i ) 对于固定的m ，算子在矽( 矿n ) 上紧； ( i v ) 若o ：伊( 沪) 一伊( u n ) 有界，则劬，b q ( y n ) 紧； ( v ) | i j 一l i 2 ； ( v i ) ( ，一) ，在u “的紧子集中一致收敛于0 证明 ( i ) 设，h ( u 竹) ，= 三 ，( 名) = k i n f ( z ) = ，( r m z ) 首先记 p 叫( 0 ) l + 罢喜融捌l ( 卜j 引2 ) p i 邶嚣喜j 差( 训j ( 1 - | 2 ) p i i 州p 另一方面，厶日( 击护) ，并注| 产到。 r 毛 磊1 ，r 高而c 磊1 扩n 即说明对于固定的m ，及相应的2 ；，j = 1 ，2 ，存在一多圆柱碟满足： ：罢而l ，m ( z ) 一础) ( 列 o ，故对所有的w eu n , 七 1 ，n ) ，由引理3 7 得 、 l 警c 伽，h s u p 。i 警c 叫) | 掣掣咄s u p j f r o ( 小嗽训 等掣( 乇) ；4 何争 壹ki学c叫)i(卜m烃4佗何；_。=l i i ，m 一馊) 舻= i 厶( 。) 一碟) ( 0 ) | + 是u 焉砉l 煎# u w k ( 伽) l ( 1 一恢n p 一。 叫“：= o 又碟) 懿( u n ) ，故，m 瑶( u n ) ，矽( u n ) 。其中，全纯，且i l f l l p m 则序列 鼍) ，i = 1 ，2 ，礼，也 在u “的紧子集中一致收敛于全纯的昙所以当8 充分大，对任意e = d 磊 【警z ：z 而) cu n , l = 1 川2 ，n i 盟o w ( 伽) l e 。i 。 i i k m 乃。一酬l p = i i 刖等沪，( 导扎 = 差黔喜 i 三_ 掣ic 一i 讯1 2 ，p ) + l 办，c 。，一，c i 制s u p 。薹砉l 警c 导z ) j 等圳旷朋川 佗恶等砉l 掣( 卅删- ，( 酬一o ，( 一o 。) 1 0 第四章主要定理及证明 既说明，序列 乃。) 收敛于g = ，瑶( t r n ) c 跟( 泸) cb p ( 泸) 故 在伊( u n ) 中紧 ( i v ) 根据( i ) 和( i i i ) 可直接推出 ( v ) 容易证明对任意f 伊( 泸) ，( j 一) ，( o ) = 0 ，所以， 眦卜驯p = 器喜l 与竽l ( 1 - i 训2 ， 一姒s u p m a xl 瑟k ( 沪( 1 一去) 瑟( ( 1 一圳( 1 刊2 ) p 器蚤l 老”圳2 ) p + ( 1 一m 1 ) 埏u - 三翰一驯( ，州一扣2 ) p 进而，l i j 一i | 2 ) 对v ”上任一紧子集e ，存在r ( 0 r 1 ) ，使得ecr 矿nc cu n 任取z e ， ( j 一j o n ) ，( z ) i = i f ( z ) 一j m ( z ) i = l f ( z ) 一，( r m 名) i = l 1 瓦dc 枷出l = f ，：go f ，唰t 喜铷小 对于t 【r r n ，1 】，z u n ，f f l 有i t z k i = t l z k i 0 ，令g 1 = z u ”：d i s t ( ( z ) ，o u n ) 6 ) ，g 2 = ( z u n ： d i s t ( 咖( z ) ，o u n ) 6 】，g = 叫u n ：d i s t ( w ，o u n ) 6 ) ，注意到g 为c ”的一个紧 子集 则由引弹3 3 弓i 弹3 4 弓| 弹3 5 及命颢4 1 夜们可以得萄l ： 塑童圭墨壅垄壅堡塑 劬一钏e s 罂恶互n i l f l l 1f 差kc z ) | 击镱犏 = 。g l 为i l l m 吲l 尸 w 肛s u 忙p 。z 8 e u g p 21她=i 似2 ) 1 2 ) pf 等掣砌h s u 忙p 。们) ) - ，( 警柙) ) + ls u p 触s u p i l l l = l ，奄薹1l 差ll：g 1 奄，器i 钕1 w s u 忙p 。z s u p e g 2l 灿 ：l 删2 ) p | 等掣m 硼h s u 忙p 。l 小( 0 ) ) - ，( 警帅) ) ( 1 一l 强1 2 ) 91 ( 1 一j 饥( 2 ) j 2 ) p j 州s u 忙p 。麓砉俐2 ，pf 与掣砌| + ( 1 啪1 2 ) 叫等掣 + l j ，j j s u ：p ，做删) 一，( 警) i + m ( o ) ) 一，( 警蜊) j ) g 鄢s u p 。七量) 1 - - - - 。憾i 燃+ 融) | 踹) w 盯s u 忙p 。墨喜 ( 州俐2 ) pi o ( i - k m ) f + 悱s l i p 。胍) ，( 等) f + 眦( o ) ) 一，( 警州) f ) ( 木) 由对称性，不妨只考虑含的项，定义： i 一l s u p sup苎(iill=lz e g 21 = 11 啪| 2 ) p l 堡o 掣w t 砌f i“i 。 1 2 o 器i 刑( o ) ) 一，( 等) i 现在只需证明： 堂1 1 = 0 ，l i m1 2 = 0 m 一m _ o 。 1 3 整堕童圭墨塞垄墨适塑 一 _ _ _ - _ 一一。一 为此，令z g 2 。叫= 咖( 名) g ，则有： 一( 1 - 去) 差( ( 1 一 一蔷一扣l c 一扣) i 一蔷一扣l 设伽= ( w l ，叫2 ，t ，n 一1 ，w n ) ，对于足够大的m ，我1 | j 伺 糕a f ( 小差一扣l 。塞l 老( c - 一扣，以一扣乩胁) 一堕o w z ( ( 一扣，( 1 一去烁哪，胁) i = 妻1 1 枷砥0 2 f ( c 一扣，舢一扣乩扎胁) d ( 1 去喜椰s u pi 鑫1 ，则gcg sc cv n 3 7 ，得 蔷c 小嵩! c 一扣| 2 n v 伍io f ( 叫，1 另一方面，在z w ( u n ) 的单位球上，我们有 础s u p 。( 川础pl 亳c 叫，h s u 舻p 州”卅，pl 差c i ，”p 乩 1 4 、j凇 1 一m c m + 玎面 心 挚挚惴鼢 p p i 一 爷 附 坝 n n m nm、氍。mn学n留札。丹 叫州 叫帕 p d 丢 眶 叩阻 叩阻 舭 叩惮 洲 吼cm 5 ；盯 一 一 弓 ， 由 彬 则 她至2 挑 卜 矿 掰 崛 岛 拙 义 为 定 因 第四章主要定理及证明 即， 恶m o f ( 叫，| 南2 南 联合( 5 ) ，( 6 ) 及( 7 ) 式得， 1 1s 百2 n v n c 而4 互+ 磊c m o4 一d m 从而，l i m1 1 = 0 l o 。 现在，只需证明l i r a 2 = 0 事实上， m - 4 0 0 舳h c 等们胪乓掣拈壹1 = 1 乓们舞酬咖出 由引理3 2 ，对紧子集kcu n ，i ，( 名) l c k i f l l p = c k 令k = 名u n ：l 磊i i 如( o ) i ，i = 1 ，n ) ，因此， ，( 们) ) 一，( 等们川砉( 0 ) i 乓眙d t 礼繇( 一等) = 警， 进而，1 2 血m 一0 类似的，我们可以得到： 当m _ 0 0 ，6 0 时， c lsup唧壹(1圳圳z)pi等掣(俐卜uii l=i z e g 2 。1 = 1 i 口叫2 盯s u 忙p 。忡咖卅等删卜 所以令( 木) 式中m _ 0 0 ，6 0 ，我们得到| i 劬一l l 。的上极限： e = u 岛伽2 s 巩u p 驯 2 在非零处是有界的现在，我们来考虑正规序 列 ，仇= 而筹梳 ，显然，其同样在u ”的紧子集上一致趋于零对于任意 此处， = z = ( z 1 ，锄) u n ：i z l l + 1 ) ， 2 虿丽1 。 m 一 因此， 皿a m n 刨l - - - - 1 鲁l ( 1 | 舯) 毋i 鬻c 刊2 ，p | = 与馨= ( 等暑) ( 端) 学 1 6 第四章主要定理及证明 容易证明m o o 时c m 趋于1 当我们固定某个紧算子k ：矽( u n ) - - - - - 4b q ( u n ) 由 上述的序列 ) 的一致收敛性及算子k 的紧性我们立即可以得到：i i k ，m _ 0 容易证明对于一包含在召& ( u n ) 的序列，若其一致收敛于u 竹的紧子集，则它一 定也在礅( 伊) 及t w ( u “) 中弱收敛于零由0 ，m | | p = 1 ，我们可以得到； i i ( o 一劬) 一g l l2l i r a s u pl i 【( q 一唧) 一g 厶t l g l i r as u p ( i i ( c , 一) i i q i i g f m = l h n s u p ( 1 l ( c , 一q ) h i l q ) 独i n m s u p 舄副监等趔”划2 ) 9 ) = h 絮印舄喜i 豢( 北) ) 甏( 垆鬻( 北) ) 差( z ) l ( 咄斤) 。 我们不妨先考虑： l j l t l m s 州z 6 u u p n 声函= il 鬻硼悦圳2 尸 = 嗡u o 删s u p 。壹p 0 西。1 ( 2 ) | 踹i 鼍圳州圳2 ，p u 嬲印妒。飘喜舡) i 篙糯i 鬻似圳”州列2 ，p l i r a s u p 班s u p 。喜融) i 尚器 l i m m i n f 北r a m i nm i 誓( 俐卜眦炉) p l i r a s u p 水s u p a 。砉) l 篙糯h m m i n f c , n i n m s u p 批s m u p 。_ k 舢1 同理， 1 7 第四章主要定理及证明 嗡叩黜喜l 鬻( 北) ) j j 丝o z k i ( 咄印) 9 l i r a s u p 班s u p a 。喜胁) | 燃 所以，原式变为： i | ( 劬一) 一k | i l i r a m s u p 北，s u p ，b ( z ) e a r n 三i i m ( ：) ，蒿 从而， 龋1一i堕ozki龋1( 一l 砂1 ( z ) 1 2 ) p 、。7 i ( 一l 妒1 ( z ) 1 2 ) p 0 劬一印| l e = 砒川郇一劬) 一g l i ki sc o m p a c t ) l i r a s u p 巩此s u p m 。副跏l 篙糯一) 1 篙糯 由于对称性我们只考虑含西的项： 对任意的f = 1 ，2 ，礼，我们可以定义： 驴l i r a 啪s u 洲p 咏。喜胁) j 篙糯 则由此式可以说明，对任意e 0 ，存在一6 0 ，0 面 1 ，使得对于 d i s t ( 西( z ) ，o u n ) 1 6 0 若咖( z ) a m ，l 1 ( 石) l r r n + 1 ，贝01 一r m + 1 1 一i 1 ( z ) l 1 一 南， 从而d i s t ( 妒l ( z ) ，o u ) 南存在w l ，l w l i = 1 ，使得d i s t ( l ( z ) ，w 1 ) = d i s t ( 咖l ( z ) ，o u ) 1 8 第四章主要定理及证明 南 令w = ( 加l ，2 ( z ) ，( z ) ) ，w o u n ，则 d i s t ( ( z ) ，o u ) d i s t ( ( z ) ，加) = d i s t ( 咖l ( z ) ， t 0 1 ) 南 由上述即可说明： i | i i 。a l e 类僦如果我f 取础) = 斋南， 则对所有的l = 2 ，n ，也有： 故 忆n f 一 钏e 丢挚叫 = 元1 备nc 舰酬北。s u p 。k - - - 1 阻瓦z kz ) i 尚糯_ 熹s 巩u p 眇毫隆) i 踹一 令一0 ，a p - - - 得到： e k n 5 - - - * 0 枷s u 删p 咏。k 。, l - - - - 1 阻瓦z kz ) l 踹 进而， l l 劬一c 砂1 1 。 三 s u p 一佗5 - - - * 0 胁t ( 廿( ：) ，品n ) 5 d t 砒( 中( ：) ，8 u ”) 0 ，存在一正0 6 1 ，满足下式 荛麓s u 础p 剖副捌器怕0 妒lz ) i 捌赫卜 成立时，该算子t 是紧的 第五章结束语 第五章结束语 本文只研究了关于复合算子的差分形式在多圆柱上p - b l o c h 空间中的有界 性和紧性等问题，这里主要是通过本性模的方法，来研究复合算子的差分形式的 上、下界问题( 即定理4 2 ) ，进而给出了复合算子的差分形式在多圆柱上p - b l o c h 空间中紧的一个充分条件( 即推论4 3 ) 当然，对于复合算子的差分形式在多圆柱上p - b l o c h 空间中的紧性问题的研 究，本文只给出了一个充分条件，相对于我们比较满意的充分必要条件还有一定 的距离目前，能给出关于差分紧性问题充分必要条件的成果绝大多数是通过利 用为度量方法取得的，而用本性模方法来考虑该问题还鲜有较理想的结果出现， 所以说还有很多基础性的工作需要进一步探究和完善 2 1 垄耋壅壁 -_。-_-_一一一一 参考文献 【1 】1 史济怀，多复变函数论基础，高等教育出版社， 1 9 9 6 【2 】张恭庆，林源渠，泛函分析讲义，高等教育出版社， 1 9 8 7 【3 】z h z h o ua n dy l i u ，t h ee s s e n t i a ln o r m so fc o m p o s i t i o no p e r - a t o r sb e t w e e ng e n e r a l i z e db l o c hs p a c e si nt h ep o l y d i s ca n dt h e i r a p p l i c a t i o n s 。j i n e q a p p l ，2 0 0 6 ( 2 0 0 6 ) ，1 - 2 2 【4 】z h z h o ua n dj h s h i ，t h ee s s e n t i a ln o r m o fa c o m p o s i t i o no p - e r a t o ro nt h eb l o c hs p a c ei np o l y d i s c s ，c h i n a n n o fm a t h ( s e r i e s a ) ，2 0 0 3 ，2 4 ( 2 ) ：1 9 9 - 2 0 8 f 5 1z h z h o ua n dj h s h i ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h e b l o c hs p a c ei np o l y d i s c s ，s c i e n c ei nc h i n a ( s e r i e sa ) ，4 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 8 6 - 2 9 1 【6 】r t i m o n e y ，b l o c hf u n c t i o ni ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，i ，b u l l l o n d o nm a t h s o c ，1 9 8 0 ，1 2 ( 3 7 ) ：2 4 1 2 6 7 【7 1r t i m o n e y , b l o c hf u n c t i o n i ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，i i ，j r e i n ea n g e w m a t h ，1 9 8 0 ，3 1 9 ：1 - 2 2 【8 】k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r yi nf u n c t i o ns p a c e s ，m a r c e ld e k k e r ， n e wy o r k ，1 9 9 0 【9 】k h z h u ，s p a c e s o fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si nt h eu n i tb a l l ， s p r i n g e r ，2 0 0 4 【1 0 】c c c o w e na n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r s o ns p a c e s o fa n a l y t i cf u n c t i o n s ， c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 【1 1 】w r u d i n ，f u n c t i o nt h e o r yi nt h e u n i tb a l lo fc 竹，s p r i n g e r - v e r l a g ， n e wy o r k ，1 9 8 0 参考文献 【1 2 】j h s h a p i r o ，t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p e r a t o r ，a n - n a l so fm a t h ，1 9 8 7 ，1 2 5 ：3 7 5 - 4 0 4 【1 3 】j g a r n t e e ，b o u n d e da n a l y t i cf u n c t i o n s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e w y o r k ，1 9 8 1 一 1 4 】p l d u r e n ，t h e o r yo fh ps p a c e s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o