（基础数学专业论文）liénard方程的奇点.pdf

论文摘要 本文研究li 6 n a r d 方程的奇点 关于二维线性微分系统的奇点的分类及判别，文献中已有详尽的论 述，但对于非线性系统则很少触及。对非线性系统的代表一li d n a r d 系 绞灼奇点，除了中心以外，文献仅在讨论稳定憔、振荡性、有界性翻极 限环的存在性等翊题时有些零碎的裔针对往的讨论，缺少系统的、全面 的分析和结论 本文通过对li d n a r d 系统的轨线在奇点附近的形态和分布的分析，给 出了l i 6 n a r d 系统的奇点为稳定( 不稳定) 结点的充分条件，在此前舱 文献中滏未冤到此类结论。还给出了奇点为稳定( 不稳定) 焦点嬲充要 条件，其中的必要性在文献中尚未冤到本文同时讨论了奇点为中心的 条件，在这个问题上文献都要球当f 0 ) * 0 ( 0 c 并c d ) 时有 l r 丛堕出。， f 0 ) j o f 和) 其中a 为大于去的常数本文在增加个附加条件后将“放松为大于等 于零这在别的文献中从未见过本文还讨论了在何种条件下 li 6 n a r d 系统存在奇闭孰 专f _ 】针对l i 6 n a r d 系统的奇点进行讨论，本文是首先进行的。 另外，引辞4 的证确方式和推沦3 及3 7 的内容都是文献中没有的 关键调：奇点，结点，焦点，中心，奇 l j 轨 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h es i n g u l a rp o i n t so fl i 6 n a r de q u a t i o n t h ec l a s s i f i c a t i o na n dc r i t e r i o nm e t h o d sf o rt h es i n g u l a rp o i n t so f2 dl i n e a rl i 6 n a r d ：q u a t i o nh a v eb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e d h o w e v e r ，t h e r ea r em u c hl e s s r e s u l t so nt h e a o n l i n e a rs y s t e m s l i 6 n a r ds y s t e mi sa r e p r e s e n t a t i v eo f n o n l i n e a rs y s t e m s ，b u ta p a r tf r o m ：h ec e n t e r s ，m o s ts t u d i e so nt h ep r o p e r t i e so fi t s s i n g u l a rp o i n t s ，s u c ha ss t a b i l i t y ， ) s c i l l a t i o n ，b o u n d e d n e s sa n dt h el i m i t c i r c l e s ，a r ed e a l tw i t h o n l y t h e s p e c i f i c 9 r o b l e m s c o m p r e h e n s i v ea n a l y s i sa n ds y s t e m a t i c r e s u l t sa r e r a r e l yf o u n di nl i t e r a t u r e b ya n a l y z i n gt h es t a t u e s a n dt h ed i s t r i b u t i o no ft h e s i n g u l a rp o i n t so ft h e l i 6 n a r d ；y s t e m ，a s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fd i s c r i m i n a t i n gt h e s t a b i l i t y o fa s i n g u l a rp o i n t i s 9 r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n an e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o ni sa l s og i v e b o t ho f w h i c ha r en o tf o u n di nl i t e r a t u r e t h ec o n d i t i o nf o ras i n g u l a rp o i n tt ob eac e n t e ri sa l s os t u d i e d t h o u g hm a n yr e s u l t so f ：h ep r o b l e mc a nb ef o u n di np r e v i o u sp a p e r s ，t h e ya r eu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t 高器凼z 倥 l v h i l e f 仁) 0 w h e r eo ”i s c o n s t a n t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ew i d e nt h ec o n d i t i o n _ r da 0b y a d d i n ga na d d i t i o n a lc o n d i t i o n t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o no fs i n g u l a rc l o s e d ) r h i t so ft h el i 6 n a r ds y s t e mi sa l s od i s c u s s e d a sa s p e c i a l t yo ft h i sd i s s e r t a t i o n ，s y s t e m a t i cs t u d yo ft h es i n g u l a rp o i n t so fl i 6 n a r d ：q u a t i o n i sg i v e n s o m em e t h o d sa r er a i s e di nd e r i v i n gt h er e s u l t ss u c ha sl e m m a4 ， ：o r o l l a r y3a n dc o r o l l a r y 3 e t c k e y w o r d s ：s i n g u l a rp o i n t s ，n o d e ，f o c u s ，c e n t e r ，s i n g u l a r c l o s e dc i r c l e 引言 引言 在这篇论文中，我们将考祭f 述二：阶非线性微分方程 窘+ ，( x ) 尝+ g ( 加。， o - 其中， ) 和9 0 ) 在( 一* ，十。) 上有定义并且连续上述方程被称为l i o n a r d 方程， 是通常的有阻尼振动方程 _ d 2 x i _ a 2 坐+ 6 2 工：o d t 。d t 的推广根据物理背景，我们通常假定函数g ) 满足条件 x 9 0 ) 0 ，x 0，0-(2) 此条件可保证恢复力( 弹性力) 与位移反号，也就是恢复力指向平衡点 通过所谓l i d n a r d 变换 y ；i d x + f ( x ) ， “ 可将方程0 - - ( 1 ) 化为等价方程组( 其中f ( x ) 2 o ( x ) d x ) 及等价方程 a y ：一g ) d t ，0-(3) 譬；y f ( x ) ， d t d yg ) 出f “) 一y 0 一( 4 ) 在方程缰0 p ) 和方程o - - ( 4 ) 中并不出瑷两数，( 石) ，蔽丽著不要求函数f 积) 虿导， 但要求f ( 0 1 = 0 秘 设x = x ( t ) ，y = y ( t ) ，( 一。c t 十。) ，为方程组o - - ( 3 ) 的一组解，则内参数方 f 肛工( n，一。f 。+ 。 | y = 罗 青岛大学硕士学彼论文 在x o y 平面中所表示的曲线称为方程组0 - ( 3 1 的一条轨线，我们用字母r 表示，它 也是方程0 - ( 4 ) 的一条积分曲线。轨线_ | j 唾在的x o y 平西称为方程组0 - ( 3 ) 的媚乎 亟。 方程组0 - ( 3 1t o 时刻出发的解 y 。：。y o ( t ；，s rc + m ， l = ) ” 。 在相平面中的图形，称为方程组o - - ( 3 ) 过点( x ( t o ) ，y ( t 。) ) 的一条正半轨，我们记 作r + 而从t 。时刻出发的解 e x = x ( 曷t ，- o o t _ t o ， 在相平面中的图形，称为方程组过点( x ( t 。) ，y ( t o ) ) 的一条负半轨，我们记作f 一 我们称醢线y = ，o ) 为方程组0 一( 3 ) 在相平面中的铅垂等倾线( v e r t i c a l i s o c l i n e ) ，因为在该曲线上任一点处，方程组o - - ( 3 ) 的轨线的斜率孚都等于。 “ 等倾线和y 轴将相平面划分为四个部分，我们分别用字母d 1 。，d l ：，d ：，d 2 2 来 表示它们： d l 。= ( z ，y ) i yz f ( x ) ，z o ) ， d 1 ：= ( z ，y ) i y f ( 工) ，x 0 ) ， d 2 。= ( x ，y ) i yz f o ) ，x s0 ) ， d ：。= ( x ，y ) i y f ( x ) ，x 0 ) 众所周知，方程0 - ( 1 1 具有广泛的理论和实用价值，因此有众多的学者对其进 行研究，有关的文献也相当丰富，其中涉及到解的n 隹一性、有界性、振荡性、稳定 性、周期解的存在性、周期解的个数和分布，以及其它的一些渐近性态， 满足方程组0 - ( 3 ) 的常数解称为该方程组的奇点，电称为l i 6 n a r d 方程0 - - ( i 1 的奇点，山条件0 - - ( 2 ) 及f ( 0 ) = 0 知，点( 0 ，0 ) 是方程组0 - - ( 3 ) 的唯奇点。 讨论方程组在奇点附近的渐近性态对研究方程组解的稳定性、振荡性、周期解， 以及其它的一凿渐近性态有重大的意义，但在文献中没见到对奇点所进行的系统而 2 b l 言 全面的研究，多数文献都是在研究方程组的解的稳定性、极限环的存在性、局部中 心以及振荡性等问题时附带进行讨论 例如，在讨论l i 6 n a r d 方程解的振荡性时，g s a n s o n1 1 1 ( 第3 2 3 页) 对方程0 - - ( 1 ) 提出了下述要求，存在常数 ，o 和6 ，o ，使对一切h c 6 有 因为，( x ) 是连续函数，故条件0 - ( 5 ) 等价于 ，( 0 ) c 0 0 一( 5 ) o 一( 6 ) 条件o - ( 5 ) 或0 一( 6 ) 可保证方程组0 - - ( 3 ) 的奇点( o ，o ) 是不稳定的，即存 在奇点的一个充分小的邻域，使在该邻域内当t 一+ 。o 时，方程组0 - - ( 3 ) 的正半轨 是远离奇点( o ，o ) 的 我们哥疆逶遥梅逢搿谬l y a p u n o v 函数来涯骥这一点玻矿= g 0 + = 1 y 2 ，其中 g o ) 2 g ( s ) d s ， o 一( 7 ) 函数矿 ，y ) 是表示振动系统的能量的一个函数，g o ) 代表势能，：1y 2 代表动能( 在 l i 6 n a r d 方程为等价方程组时，我们有时也取y w 鱼d t ) - 当m t 1 时，沿着方稷组 0 - ( 3 ) 的轨线有 双曷哪) d x i d y = 譬繇) f y f 秘) 1 t - y f 一耳0 雏 = 一占 ) ，( x ) 由。一( 5 ) 可知，当o c h c 1 时，f ) = rf ( s ) d s 与z 反号，再幽。一( 2 ) 式知l ：式 右端为正，即能基函数矿o ，岁) 在乎衡点附近随着时间的增大两增大，因而该平衡点 是不稳定的， 又在讨论l i 6 n a r d 方程极限环的存在性时，a d d r a g i l e v 2 1 ( 4 第2 5 9 页) 要求：存在6 ，o ，使对一切矧c d 有 3 青岛大学硕士学位论文 x f ) 0 u 一【印 前面已证当o - - ( 5 ) 式成立时，对一切h 6 有f ) 与z 反号，从而o - - ( 8 ) 式成立- 其后，同样在讨论l i 6 n a r d 方程极限环的存在性时，a e f i l i p p o v 【3 ( 【1 】第3 4 2 页) 建立著名的f i l i p p o v 变换 z = g ( x ) = g p ) d s ，- - o q x , - i - o q ， 令 x = x 。( z ) ，o sz t g ( 十。) 5 _ g ( s ) d s ， x = z ：( z ) ，o z c g ( 一。) 。f o g ( s ) d s ， 它们分别表示函数z = g o ) ；g o ) d s 当x ) o 和x c 0 时的反函数- 又记 墨( z ) = f “( z ) ) ，0 z c g ( + 。) ， f 2 ( z ) = f ( 屯( z ) ) ，0 z g ( 一。) ， 则方程0 - - ( 4 ) 可化为 塑：j 三一，0 。z c g ( + m ) ，o - - ( 9 ) d z 墨( z ) 一y 塑： ! ，0 。zc g ( 一o o ) ， o - - ( 1 0 ) dz e 0 ) 一y 然后，f i l i p p o v ( 【4 】第2 1 1 页) 给出下述条件： 存在6 ，o 和0 c c 百，使对一切0 czc 6 有 ( z ) s ( z ) ； o - - ( 1 1 ) 又存在序列 z ，) ，z ，。一+ 0 ，h 一。，使得 巧( z 。) f 2 ( z 。) ； o - - ( 1 2 ) 同时还有 f l ( z ) 口正， o 一( 1 3 ) f 2 ( z ) 一口正 o 一( 1 4 ) 当条件o - - ( 5 ) 或o 一( 6 ) 成立时必有 引言 巧q ) c o c 只0 ) ， 从而条件o - - ( 1 1 ) 一o 一( 1 4 ) 成立，f i l i p p o v 的条件比d r a g i l e v 的弱 称奇点( 0 ，0 ) 为方程组0 - - ( 3 ) 的中心，若存在奇点( 0 ，0 ) 的一个6 邻域， 使过该邻域内任意一点的轨线都为环绕奇点( 0 ，0 ) 的闭轨为和全局中心问题区 别，我们也称之为局部中心 在讨论l i 6 n a r d 方程的中心时，t h a r a 和t y o n e y a m a 5 j 给出了下述两条件： 1 ) f ( 6 。1 ( 一w ) ) ；f ( g 。1 ( w ) ) ，l w i cw 0，0-(15) j 比处w = g ( x ) s g n x ，一 z + o 。，m 自= r a i n 以+ 。) ，一w ( 一o 。) ) 条件o - ( 1 5 1 就相当于f i l i p p o v 记号下的 r l ( z ) ；f ( x i ( z ) ) s f ( x 2 ( z ) ) = f 2 ( z ) ，0 z 0 ，x 0 ； n 在整+ x o y 平面上，方程组0 - - ( 3 ) 的解关于初值具有唯一性( 实际上应该排除奇 点( 0 ，0 ) ) 我们在文【1 3 】中改进了上述结果，这就是下面的引理1 引理1 设 1 ) e ( x ) a n 占 ) 在( 一m ，+ o 。) 上连续； 2 ) 在任何有限区间内占狂) 最多有有限个零点 则过孝| ! l 平蠹中任一点( 强，y 。) ，舅( 均) 0 ，方程终0 - ( 3 ) 有难一的孰线+ 引理1 改遂了文【2 】中的d r a g i l e v 0 ，当0 x c6 ( 一6 x 0 ， 口f 故正半轨右行，从而负半轨左行，只有负半轨趋向原点又在d 1 。内有 豢a 一删 o ，f 故正半轨下行，从而负半轨上行，故它只能从x 轴的下方向上趋向原点 设y ) 为负半轨的表达式，则存在6 ，0 ，使当o c z c 6 时有 yx ) 0 ， 故当0 c x c6 时有 ，( z ) 0 ，当0 工 ，( n 一+ * ) t 矮褥芦瓴) s o ； 2 ) 存在常数6 o ，当0 x c 6 ( 一dc z 0 ) 时有 f 扛) ) 0 ，1 - - ( 3 ) 。曩存在嚣数群 三，经当0 c 羔t 6 ( 一6t 茗t 0 ) 时有 e 粤接出：黯f o ) ， l 一( 4 ) j of f 奠 、。 3 ) 存在常数d ，0 ，当0 c xc d ( 一6 c x c 0 ) 时1 - - ( 3 ) 成立，且存在常数 0 s 三，使当0 善d ( 一6c 茁c 0 ) 时i 一( 成立，又存在序翔 x ， ，矗一+ 0 ( 一o ) ，( 。+ 。) ，帮常数声毓三( 1 + 撕= 石) 镬褥 殳嚣懿罐鼢 1 0 第一章l i 6 n a r d 方程轨线的嵬向分析 涯明。仅涯旗号努懿憾形 若1 ) 成立，则由萼l 理3 知结论成立 下面假定2 ) 成立如果方程组0 - ( 3 ) 有一条正半轨，记为f + ，在区域d 1 ：内 趋自嚣点，设其表达式菇y ( x ) ，并定义岁( o ) = 0 ，铡瞧攫论2 螽貔叙述懿 u y 协j ，【x j ，1 一( 5 ) 再由1 一( 4 ) 有 州= j ：斋如r 器出拼( 矿” t - ( 6 ) 当a z l 时，1 - ( 5 ) 和1 - ( 6 ) 矛盾，引理结论成立下设0 - 0 ，当0 c x 6 ( 一6 x c 0 ) 时有 f ) c 0 ， 且存在常数a ，三，使当o 。r 。d ( 一d 。x 。0 ) 时有 4 怒丞掰， 3 1 存在常数毋，0 ，当0 c x c 6 ( 一dc x 0 ) 列1 一( 1 1 ) 成立，且存在常 数o “g 一1 ，使当0 c x 6 ( 一d c z c 0 ) 时l 一( 1 2 ) 成立，又存在序列 吒 ，x 。一+ 0 a 、， l 2 l l (l 一 一 l l 第一章l i 6 n a r d 方稳轨线的走向分析 ( 一o ) ，( h 一+ 。) ，和常数芦z 当( 1 + 撕= 磊) 使得 f 禁出g 卢，( _ ) j f ) ，“) 。 注在弓i 理4 及4 巾，若a = o ，1 1 , 1 1 谴丢( 1 + 1 - 4 1 7 1 7 ) 一1 ，故取；1 即可丽 当“。0 时，1 - ( 4 ) 或l 一( 1 2 ) 必然成立，瓣诧有下述接论： 推论3 1 ) 存在序列 x , j ) ，矗一+ o ( - 0 ) ，( 托一+ 。) ，使得f ( ) s 0 ； 或2 ) 不存在上述序列 r ) ，但存在序列 k ，一+ o ( 一0 ) ，( h 一+ o 。) ， 使得 r型旦出zf阮)；do f “) 。 则方程组o - - ( 3 ) 的正( 负) 半轨不能在d l ：( d ：) 内趋向原点 雄沧3 。1 ) 存在i ! 葶列 ，吒一+ o ( 0 ) ，( 栉一+ 。) ，使德f 瓴) 豪o ； 或 2 ) 不存在上述序歹0 ) ，但存在序列 7 ，一十o ( 一0 ) ，( 辫一+ m ) ， 使得 f 器赢s f 阮) ； 则方程组0 - ( 3 ) 的负( 正) 半轨不能在d 1 ，( 噬，) 内趋向原点 推论3 和3 ，文献中没有粪似的结论另外，关于弓 理4 和引理4 ，我们还有 下述几个推论 推论4 着存在常数6 ，o 和a 4 1 - - ，当o x c 6 一6 茗c o ) 时 志怒杰a 则方理组0 一( 3 ) 的所有轨线不能在右( j i - ) 半平面内趋向原点这是文【6 】的结采 推 5 若存在常数d ，0 和0 n 垢，当0 * 。d ( 一6 x 0 ) 时 f ( x ) s8 g ( x ) ， 1 - - ( 1 3 ) 则9 1 理4 的结论成立 青岛大学硕士学位论文 证明只证0 并6 的情形 若存在序列 _ ) ，一+ o ，( 芘一+ 。) ，使得f ( ) s 0 ，刚缩论成立下面假 定 0 t x 6 时，f ( x 0 出1 - ( 1 3 ) 商 器出楚鑫出詈厕；2 刖 因为o t n t 西，故有砉，丢推论5 得证 推论5 ，。羞存在攀数6 ，o 棚o a 否，n 0 x c 6 ( 一6 t 并c o ) 时 f 0 ) 一g 店g ) ， 则引理47 的结论成立 推论5 和推论5 是文【1 4 】的结果 弓 理5 设 1 ) 存在常数6 ，0 ，当0 c x d ( 一d x 0 2 ) 任给 1 4 ，当c6 ( 出删) 时，d ，o 黑f 出s 口荆 4 “1 、7 则任给常数x 0 ，0 d ( 一6 j 。 0 ) ，方程组0 - - ( 3 ) 的从( x 0 ，r ( x o ) ) 出发的 l 卜( 负) 半轨，将在曲线y = f ( x ) 和正( 负) 半x 轴z 间的角形区域内趋向原点 证明仅证括号外的情形 任给y o c0 ，过点( 0 ，y o ) 做方程组0 - - ( 3 ) 的一条负半轨，记之为f 一，设其表 达式为y ( x ) 以卜+ 证明，当o c z c6 时，半轨r 一将永远位于曲线y ：三f ( x ) 的下方， 即有 y 0 ) c a f ( x ) ，o c xc6 ， l 一( 1 4 ) 否则，由y ( 0 ) = y o c 0 知，应存在0 x 。 6 ，当0 x 五时，1 一( 1 4 ) 成立，而当x = z l 时有y ( x 1 ) ：三f ( z 1 ) 将。一( 4 ) 式在【o ，x 1 】上积分，由1 - ( 1 4 ) 及y 。c o 有 丢地一”胪1 斋出 塑二皇型! ! ! 型查堡塾垄塑查塑坌堑 。f = 婪出。2 ，- 墨盟出， j o ，( j ) - y ( s ) j o f ( s ) 1 即有 d o 梨f ( s 加三4 f ( x 。) ， 、 ”7 于是存在。，三，使得 4 一g 。( ，q 、d s ，d f ( x o ， o f 0 1 与条件2 ) 矛羼。1 - - ( 1 4 ) 褥证 由l 一( 1 4 ) 知，r 一不姥在( o ，6 ) 内自f 而上穿过曲线y ；要f ) ，由蜘。o 麴任意性知，方程缀o 一固从负半岁辜虫( 狳联点) 出发豹负半孰，当o ；z 。5 时， 均不畿自下蕊上穿过穑线y 。i f ( x ) 因焉鼠藤线y = f 主任一点出发静歪半鞔不 能和负半y 轴相交，而只能在曲线y 。f 扛) 和芷半x 轴之间的角形区域趋向僚点，如 图1 3 引珲5 证肇 学 、 爱磅 0灰岳 ，7 7 曩。菇 ， 壤 ，”p ” 图1 。3 引理5 设 1 ) 存在常数6 ，0 ，当o x c 6 ( 一6 x 0 ) 时，0 ) c 0 1 5 青岛大学硕士学位论文 2 ) 任给“， ，当t d ( - 6 x o ) 对，菇器斑潲； 则任给常数，0 6 ( - 6 x o 0 ) ，方程组o 一( 3 ) 从( x o ，f ) ) 出发的负 ( 正) 半孰，穆在曲线) ，= f ( x ) 和i f - ( 负) 半石轴之闻蠹句角形区域趋向原点 引理5 和引理5 改进了文e 6 的结果，那里要求的条件是，当0 c h c c l 时有 柳器出壬， 此条件比引理中的条件2 ) 强 推论6 若存在常数d ，0 ，对任意的常数0 c nc 百，当0 c 工c 6 ( 一6c zc 0 ) 时，f ( x ) 苫口g ( x ) ；则引理5 的结论成立 证明我们证明引理5 条件成立条件1 ) 显然成立，再由假设有 f 器出s 蒜出= 詈厕s 2 刖， 耿口= 砉，由。c nc 百知a 是大于三4 的任意常数引理5 条件2 ) 满足，推论6 得 证 推论6 ，若存在常数6 ，0 ，对任意的常数o c 口c 百，当0 c z c 6 ( 一6c 工c 0 ) 时，f o ) 一4 g ) ，则引理5 的结论成立 特别地，当f ) = 舨西丽时，推论6 成立，当f o ) s 一柝万丽时，推论6 成立， 这是文 7 的结果 引理6 没r l 是o 一( 9 ) 过( 2 0 ，墨( 钿) ) 的积分曲线，它和f 、负半) ，轴的交 点分别为a 1 ，b i ；r 2 是0 - - ( 1 0 ) 过( z 0 ，f 2 ( z o ) ) 的积分曲线，它和正、负半) ，轴 的交点分别为a 2 ，b 2 若当0 c z c 。o 时有 e ( z ) f 2 ( z ) ， 1 - - ( 1 5 ) 则有 y y a ：，y b ，y b ：- 卜( 1 6 ) 第一章l i n a r d 方程轨线羽走向分析 蒋还存在序y u z ，g n 一+ o ( n 一+ 。) ，使得 并且肖 曩( 磊) 乒f 2 舷) ， y 4 0 ， y 马0 1 - - ( 1 7 ) 1 一( 1 8 ) 则必丽 y y a 。，y 最y b z 1 0 9 ) 如图1 4 左 证鞘 记 群一 ( z ，y ) t f i ( z ) y ) ，i 一1 ，2 ， 并设_ ) ，l l ( z ) 为0 - - ( 9 ) 的积分曲线r l 在g f u 的表达式，y t 2 ( z ) 为。一( 9 ) 的积分曲线r l 在g 尹的表达式，y 2 1 ( z ) 为。一( 1 0 ) 的积分曲线f 2 在g f 2 的表达式，y 2 2 0 ) 为。一( 1 0 ) 的积分曲线r 在g 5 2 的表达式，如图1 4 右 旧 冉l 舅孵 如 0 醣 夕乇 口 荔 ，k c q o f 乇1 葛，龄) 图1 4 t i t 1 一( 1 5 ) 式，当0 0 ，1 - - ( 2 3 ) 由o - - ( 3 ) 轨线的唯一性，y n 0 ) 可看作o - - ( 9 ) 过( o ，y ) 的右行最小解，从而 0 z z o 时有 ) ，2 l ( z ) 2y l l 0 ) ， 1 - - ( 2 4 ) 再由1 - - ( 2 2 ) ，0 cz z 0 时有y 2 1 ( z ) z y n ( z ) ，与1 - - ( 1 7 ) 矛盾，故y “，同 理可证y 且y b 2 引理6 得证 注意，若没有条件1 _ ( 1 8 ) ，得不出1 - - ( 1 9 ) ，因为此时可能有= _ y 4 ；o 或 = y 岛= 0 ，而0 一( 3 ) 过( 0 ，0 ) 的轨线不具唯一性，y l l ( z ) 不一定是o 一( 9 ) 过 ( o y a ) 即( 0 ，0 ) 的右行最小解，从而1 一( 2 4 ) 不一定成立 引理6 设r l 、r 2 及4 、岛、如、b 2 同引理6 若当0 z z o 时有 岛( z ) 最( z ) ， 则有 y 爿is 蝴2 ， y 口s y 拉2 若还存在序列 z 。) ，z n 一+ o ( n 一+ 。o ) ，使得 鼻( z 。) f 2 ( z 。) ， 1 8 第一章l i 6 n a r d 方程轨线的走向分析 并且有 0 ，y e 0 ， 则必有 y y ， y 口 y b ： 。 引理7 若引理6 或引理6 的条件成立，则在区域 x s 工o ， i y l 0 ，c ( x o ) = z o ) 和区域 x x 0 ，l y l + 。， ( x 0 t 0 ，g ) = z 。) 之内，方程组0 - ( 3 ) 均无闭孰 证。我髓诬明在善s 勤，| y c + 。内方程缝o - ( 3 ) 无爨辕反乏，竣方稷组 o - - ( 3 ) 在j ! 二述区域内有闭辘f ，它耱等赜线y = f 囊) 的交点分剐秀( 鼍，f 园) ) ( 0 _ x o ) 和( 石2 ，g 2 ) ) ( x 2 g ( x 2 ) 即z 1 ，。2 ，此时与闭轨r 相对应，方程0 一( 9 ) 和0 一( 1 0 ) 的 积分彗螽线为0 鞫f 2 ，( 觅图1 5 右) n _ a q ( z 2 ，f l ( z 2 ) ) 傲方稼o - - 9 ) 豹狡 分曲线f j ，即圈中的魑线弧a l 髫，姆前蘧分柝应蠢 ) ， y = y 4 而由引理6 又应有 y r _ ) ，4 ， 又产生矛盾，引理结论成立 对巧( z ) sf 2 ( z ) ，0 c zc z lsz 。的情形，证明类似，从略 同样可以证明在区 域 x 工o ， i y i + ， 之内，方程组0 - - ( 3 ) 无闭轨引理7 得证 、矿 a ，( 心 溉i!呐、 “z o 少1 8 ( 艮1 j、孑 矾0 。弋 “ 凝_ o b ： 侈4 b t ( 氏 图1 5 第二章l i d n a r d 方程奇纛分粪的判掰条件 第二章l i 6 n a r d 方程轰点分类的判另4 条件 定理1 竣存奁6 ，0 ， 1 1 当0 c z 一6 时，引理5 括号外的条件成立； 2 、当一6t 并c o 时，引理4 括号内的条件之一成立 鬟l 奇点( o ，0 ) 是方程组o 一( 3 ) 的稳定结点， 证明任取o x oc 6 ，过点4 ，f ( ”做方程组o - - ( 3 ) 的正半轨r ；，过点 a 2 ( 一搿o ，( 一) ) 做方程组0 - - ( 3 ) 的负半轨巧 出弓l 理5 知，e 将在破2 内趋向奇点( 0 , 0 ) ，两由推论1 ，与r ；相应的负半轨e 不在最1 内趋逡奇点( 0 , 0 ) ，器由弓l 理2 知，f - 姆鄹正半y 糖相交于琏，y 热，0 藤 出弓i 理4 括号内的祭件知，巧不能在岛2 内麓向奇点( 0 , 0 ) ，搿由弓| 理2 翔，巧将 和负半y 轴相交 首先假设_ y 鼠，y 鼠，此时设r - 穿过正半y 轴与x 一相交于c 1 ，巧穿过负半y 轴与x ：确相交于c 2 ，我们用g l 表示由轨线弧4 g 、爿z c 2 和直线段掣2 、4 岛所 i 羽的区域如图2 。1 手 b ， 囊、 菇。? 7 l 图2 1 4 髟 卜泌m ；? k 。 九 7 & 一 网为在区域d 1 2 ( d 2 2 ) 内，方程组0 - - ( 3 ) 的j f 半轨向左前进，而轨线之问又 2 1 青岛火学硕士学位论文 不能相交，故方程组。一( 3 ) 的正半轨不能从q 内跑到q 外，又因为半轨聪趋向奇 点( 0 , 0 ) ，救方程组0 - - ( 3 ) 的孰线不能爨绕驽点( 0 , 0 ) 旋转，其在嚷内的正半软 只麓趋两难一静奇点( 0 ，0 ) 又国弓l 壤4 期，方程缴o 一 3 ) 豹受半辕不能在左半平瑟趋囱糕点，瑟凑推论1 熟，这些受拳孰又不戆在骞半乎疆趋向爨点，数出结点的定义，鸯点( 0 ，0 ) 是方 程鳃o 一( 3 ) 的稳定结点 其次假设y 且“y 鱼，此时瓦将穿过正半y 轴，并继续左行而在1 1 2 的右边穿过等 镁线y 。f ) ，爨零l 受半芦睾虫棚交，继续右翁与x = x o k t t 交q ：q 我们用q 表示由 鞔线弧焉马q 和轰线敬4 q 所爨的逡域磐鹜2 t2 - v 。 k 刃i 魂 溉i 。 r 1 ) 7 0 ，w 0 孑 k “-融) 蜒 6 。 图2 2 f ( 前( 。，x 0 在g 2 内方程组0 - - ( 3 ) 的正半轨不能从内部跑到外面，7 n nr ；l s n n a ( 0 ，0 ) ，故方程组0 - - ( 3 ) 的轨线不能再绕奇点( o ，0 ) 旋转，其在g 2 内的正半轨 只能趋向奇点( 0 ，0 ) 又根据前面的论证，方程组o 一( 3 ) 的负半孰不能趋向原点，故奇点( 0 ，0 ) 是 方程组o - ( 3 ) 的稳定结点定理l 证毕 定理1 设存在d ，0 ， 1 、当一6c xc 0 时，引理5 括号内的条件成立； 第二章l i d n a r d 方程奇赢分类的判潮条件 2 ) 当0c x 6 当时，引理4 7 括号外的条件之一成立： 翊奇点 阳， j 。 少7 h 少， 蒲哪， 1 0 近 夕r j 矗 定理2 设存在6 ，0 ， 1 1 当0c xc6 时，引理5 括号外的条件成立； 2 1 当一6c x c0 时，引理4 括号内的条件之一成直 则奇点( 0 ，0 ) 是方程组o ( 3 ) 的4 i 稳定结点 定理2 设存在d ，0 ， 1 1 当一dc c0 时，引理5 括号内的条件成立； 2 1 当0c x c6 时，引理4 括号外的条件之一成立 则奇点( 0 ，0 ) 是方程组0 - - ( 3 ) 的不稳定结点 寄岛大学硕士学位论文 定纛3 薷存在吾，0 ，当o s l x l “毋瓣，雩l 疆5 滟条襻或立，粼存在o c 盏c d ， 砖任意躲，o b | ，露e 褥在内趋向奇点( 0 , 0 ) ，鸯推论t 懿，不靛在强i 内趋趣奇点，珑不然在岛1 内趋向奇点，从而由弓j 理2 知，它们必与丁e 半y 轴稠交，设交点分剐为b x 和b 2 ，觅 篷2 4 。 岛、 (劳 一再 o h 一 7 麟2 4 & ? 一置0 ( 1 首先假定) 】口y 且，见左图，此时r + 将穿过等倾线ym f ) 而进入d 1 2 ，然后在r 1 的 左边趋向奇点( o ，0 ) ，设e 在右半平蕊与等倾线交点的横坐标为吻，取 6 1 = m i n 鼍，x 2 ，则当0 t 钿1 c 6 1 时，方程组0 - - ( 3 ) 过点峋，f ( x o ) ) 的正、负半 轨只能趋向奄点( 0 ，0 ) ，并与后者越构成奇闭轨 如采y 扭y 且，觅右黼，可类戗谣嘲定理3 褥证 定理3 若存在6 ，0 ，当o c h cd 时，引理5 的条件成立，则存在o 文d ， 对任意豹均，0 i x o | c ，方程缓o - - ( 3 ) 过点 0 ，使对一切0 z 6 有f l ( z ) f - 如( z ) ， 2 ) 下述三条件之一成立( 对照引理4 及4 ) ： ( i ) 存在序列 ，一+ o ( 疗一。) ，使得f ( x n ) = 0 ； ( i i ) o c 工c d 时，f ( 并) 一o ，且存在“，主，使对切。一z c x l ( 6 ) 有 志器穗：群， ( 其中x l ( z ) 是函数z = g 0 ) 当x ，0 时的反函数) ； ( i i i ) o c z 6 时， ) * o ，且存在0 s 口s 。1 ，使对一切o z _ ( 6 ) 有 高群蔷幽z a ， 又存在序列 垓) ，黾一+ o ( n 一。o ) ，和常数筘喜( 1 + 撕= 石) ，使得 瓦1 _ ) j r 。og f ( 。x ) ) 教z 芦； 则奇点( 0 ，0 ) 悬方程组0 - - ( 3 ) 的中心 迁甥。经取0 0 ， y 丑 0 ，_ ) 口i2 y b 2 0 ， 则方程组0 - ( 3 ) 在原点处具有局部中心 事实上由：r - f ( x ) 8 苫 ) 都是奇函数，敌f p ) ；厂。) 蠡，g o ) = g p ) 丞都 麓稻函数，稃由f i l i p p o v 交换，0 x + * 时有 2 = g 缸) 一g ( 曲， 曩0 ) = f ( x 1 0 ) ) = f 0 ) ， f z ( z ) ；f 0 2 和) ) * f ( - x ) ， 其中屯0 ) 和x 2 ( ) 分剐为# = g ( z ) 在茁，0 和工c 0 怒的反函数由f o ) 。，( 啊) 知， 0 z t g ( + 。) h 寸，巧( z ) = 曩( z ) ，从而定理4 祭件1 ) 成立 若定理4 条件2 ) 中( i ) 成立，则定理4 条件满足，结论成立下设此条不成立， 即存在6 ，0 ，对一切0