（金融学专业论文）应用Copula和极值理论计算资产组合的条件VaR.pdf

摘要 本文的目标是使用蒙特卡罗模拟方法计算一个假想资产组合的风险价值v a r 。 因为多元对数正态分布己被证实不适合构造金融序列的条件分布，本文采用了较复 杂的模型来达到这一目标。本文应用s t u d e n t st - c o p u l a 和极值理论( e v t ) 描述四种资 产对数收益率的条件分布；其中t - c o p u l a 表示多元相关结构，e v t 描述四个边缘分 布的极端值。作者使用该条件模型预测1 个交易日内置信度为9 9 的r 。为了检 验此方法的有效性，作者在最近1 0 0 0 个交易日的时间窗内对c o p u l a e v t 模型作了 回顾测试。实证结果有两个发现：一、c o p u l a e v t 方法对突发灾难性事件的预测能 力显著强于忽略了风险因子相关结构和极端值的v a r 方法，如f i l t e r e dh i s t o r i c a l s i m u l a t i o n ；二、c o p u l a e v l 方法在市场平稳的时期有高估风险的倾向。根据这两点， 作者提出了一种综合方法，既对极端波动有较强的敏感性，又减小了高估风险造成 的机会成本。 关键词： 风险价值，c o p u l a ，极值理论，蒙特卡罗模拟 a b s t r a c t t h eg o a lo ft h i sr e s e a r c hi st oc a l c u l a t ev a l u e - a t - r i s ko fas y n t h e t i cp o r t f o l i o u s i n gm o n t e - c a r l os i m u l a t i o n am o r ea d v a n c e dj o i n td i s t r i b u t i o nm o d e li su s e d ， s i n c et r a d i t i o n a lm u l t i v a r i a t eg a u s s i a no rs t u d e n t std i s t r i b u t i o nh a v eb e e np r o v e d t ou n d e r e s t i m a t et a i lr i s k c o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o no f f o u rl o g a r i t h mi n d e xr e t u r n si s m o d e l e db yt - c o p u l aa n de x t r e m ev a l u et h e o r y t i l em o d e li su s e dt of o r e c a s t1 - d a y 9 9 v a ro fas y n t h e t i cp o r t f o l i oe q u a l l yw e i g h t e db yt h e4m a r k e ti n d i c e s b a c k t e s t o nt h i sc o p u l a e v ta p p r o a c hi si m p l e m e n t e di na1 , 0 0 0 一d a yl e n g t hw i n d o w t h e r e a r et w of i n d i n g so u to ft h ee m p i r i c a lr e s e a r c h f i r s t t h ec o p u l a e v ta p p r o a c hh a s a na m a z i n gp o w e ri np r e d i c t i n gs u d d e nc a t a s t r o p h i ce v e n t s ，w h i c hi saw e a k n e s so f t r a d i t i o n a la p p r o a c h e sl i k ef h st h a ti g n o r e sd e p e n d e n c es t r u c t u r e sa n de x t r e m e v a l u e s s e c o n d l y , t h ec o p u l a - e v tm o d e lt e n d st oo v e r e s t i m a t er i s k si nr e l a t i v e l y s t a b l ep e r i o d s t h ea u t h o rp u tf o r w a r da ne x t r e m e l ys i m p l ea n de f f e c t i v ec o m p o s i t e a l g o r i t h mb a s e do nt h e s ev i e w s t h ec o m p o s i t ea l g o r i t h mk e e p sah i g hl e v e lo f s e n s i t i v i t yo nm a r k e td o w nt u r n sa n dl o w e r st h eo p p o r t u n i t yc o s ti nh o l d i n gr e s e r v e c a p i t a l k e y w o r d s ： v a l u e a t - r i s k , c o p u l a ，e v t , m o n t e c a r l os i m u l a t i o n i i 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对 本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 特此声明 学位论文作者签名：p o 年s 其f 乙e l 学位论文版权使用授权书 本人完全了解对外经济贸易大学关于收集、保存、使用学位论 文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷 本和电子版本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用 影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或部分的阅览服务；学校有权按照 有关规定向国家有关部门或者机构送交论文；在以不以赢利为目的 的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。保密的学位论文在解密后遵守此规定。 学位论文作者签名：老如雠 导师签名： c 乏 奄夸 f 矽节年岁月，2 ，日 渺年s 月腹日 第1 章引言 1 1 背景分析 风险价值( v a l u ea tr i s k ，v a r ) 是金融机构常用的风险计量和管理方法。 j o r i o n ( 2 0 0 1 ) 对v a r 的定义是：在一定的置信水平和期间内，对投资组合最大预期损 失的衡量。即在一定的持有期和一定的置信度内，某金融工具和投资组合所面临的潜 在的最大损失金额。目前，该方法已经得到国际金融界越来越多的重视和应用，部分 国家已明文规定银行、上市公司、证券公司等机构必须定期公布自己的v a r 值。 v a r 的意义在于，它不仅可以用来作为金融机构评估和管理个别资产或资产组合市 场风险的工具，而且可以用来作为金融监管部门监管金融机构和评估市场风险的手 段。 v a r 本质上是资产组合价值分布的分位数。因为资产组合价值收到多种风险因 子的影响，资产组合v a r 测量可分为两阶段：一、对风险因子的联合分布建模；二、 将风险因子的变动转化为对应的资产价值变动。本文研究的对象是股票市场指数构 成的假想组合，风险因子是上证商业( 0 0 0 0 0 5 ) 、i , 业( o o o 0 0 4 ) 、地产( 0 0 0 0 0 6 ) 和公共 ( o o o 0 0 7 ) 指数。因为股市指数直接对应着股票组合的价值，所以第二阶段实际上被 省略掉了。 1 2 文献综述 1 2 1 无条件条件v a r 方法 v a r 的建模有两种思路，即对风险因子的无条件条件联合分布建模，计算得到 的v a r 值也同样被称为无条件条件v a r 。这两种方法在风险管理中都有使用，需根 据具体情况选择合适的建模方法。无条件模型的隐含假设是多个风险因子时间序列 的联合分布稳定不变，预测时不考虑已有的观测值。在v a r 提出的初期，基于无条 件模型的研究较多。如d a n i e l s o n 和d ev r i e s ( 2 0 0 0 ) 考虑到v a r 预测值的稳定性和大 型资产组合生成条件v a r 的难度，使用了无条件模型。具有代表性的还包括 e m b r e c h t s ，e tm ( 2 0 0 2 ) 、b r e y m a n n ，e ta 1 ( 2 0 0 3 ) 、c l e m e n t e 和r o m a n o ( 2 0 0 3 ) 等。 e n g l e ( 1 9 5 2 ) 、b o l l e r s l e v ( 1 9 5 6 ) 、g o l s o n ( 1 9 9 2 ) 等金融时间序列领域的发展很快被 应用到条件v a r 的研究中。由于预测和拟合的优势，条件模型迅速成为市场风险研 究的主流。g a r c h 模型族常用于条件建模，比如r i s k m e t r i c s 就是以i g a r c h 为基 础的条件v a r 方法。 关于无条件和条件模型在风险管理中的利弊已有广泛讨论。b y s t r o m ( 2 0 0 1 ) 作了 两者的对比研究，结果是条件模型的短期预测值更准确。b a l i 和t h e o d o s s i o u ( 2 0 0 8 ) 也表明：由于忽略了收益率分布的时变性，无条件v a r 不适合于短期( 如1 - - d a y ) 的风 险预测。学术界的共识是：无条件模型适合于估计较长时间跨度中的可能损失( 如信 用风险和保险) ，而条件模型适合于波动频繁的市场风险( 见m c n e i le ta l ，2 0 0 5 ) 。 1 2 2 极值理论及其在v a r 预测中的应用研究 极值理论建立在f i s h e r - t i p p e t t ( 19 2 8 ) 和p i c k a n d s ( 19 7 5 ) ，b a l k m a n 和d eh a a n ( 1 9 7 4 ) 两大定理基础上。前者又被称为极值理论第一定理，描述了样本最值的极限 分布，其结论是i i d 样本的极值渐进服从广义极值分布( g e n e r a l i z e de x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n ，g e v ) 。但该定理仅研究样本最值，有一定局限性。后者是极值理论第 二定理，它指出：超过足够高门槛值的观测值的渐进分布是广义帕累托分布( g e n e r a l p a r e t od i s t r i b u t i o n ) ，下文称为g p 分布。极值理论的方法可分为两大类：一是分块 样本极大值( b l o c km a x i m a ) 模型，即将大量的样本值分块并研究每块中的极值；较 新的一类是基于g p 分布的p o t ( p e a k s o v e r - t h r e s h o l d ) 模型，该类模型研究所有超 过预先设定的预设的门槛值的观测值，应用较为广泛。 国外已有一系列文献使用e v t 以改进v a r 的估计效果。一些研究以单一资产 的收益率为对象，如n e f t c i s ( 2 0 0 0 ) 、g e n c a y , s e l c u k 和u l u g u l y a g c i ( 2 0 0 2 ) 、g e n c a y 和s e l c u k ( 2 0 0 4 ) ；以及b a l i t ( 2 0 0 7 ) 等，所得的v a r 显著优于传统方法。在国内， 周开国和缪柏其( 2 0 0 2 ) 用极值方法计算的结果与用方差一协方差方法研究香港恒生 指数，发现极值方法要明显优于方差一协方差方法。很明显，e v t 的优势在单一头 寸的情况下得到了充分证明。但是，e v t 在复杂头寸( 投资组合) 中的应用并不多， 以下两个研究具有代表性。 d a n i e l s s o n 和d ev r i e s ( 2 0 0 0 ) 提出了计算v a r 的半参数方法：用参数化的极值 分布描述收益率的极端波动，两用非参数经验分布表示其正常波动，并通过技术处 理使得两部分的概率和为l ，对6 只股票的实证结果表明，在预测小概率事件的最 坏结果时，半参数法的预测较为准确。与之相比，r i s k m e t r i c s 方法低估v a r ，历史 模拟法则高估v a r 。d 和v ( 2 0 0 0 ) 所用的收益率分布在当时是种创新，但也存在 不足：在组合收益率的计算时沿用了传统的独立生成单个成分股收益率+ 协方差矩 阵c h o l e s k y 变换。这种线性处理相关结构的方法显得简单化，因为收益率在不同的 波动范围内存在的相关性不完全是线性的。 l o n g i n ( 2 0 0 0 ) 应用极值理论计算模拟的市场头寸( s 和p 5 0 0 指数、s b f 2 4 0 指数 2 多空头寸的组合) 的v a r 。作者使用多元极值分布对风险因子( r i s kf a c t o r s ) 建模，并 通过各种资产收益率对风险因子的敏感性系数计算投资组合的v a r 值。该方法与基 于条件g a r c h 、e w m a 的传统方法相比显著降低了事件风险( e v e n tr i s k ) 。 l o n g i n ( 2 0 0 0 ) 通过应用风险因子的思想，使得基于e v t 计算多头寸投资组合的v a r 成为可能。其不足在于：各种资产收益率对风险因子的敏感性系数把另一个不确定 性引入了模型，不利于预测的准确性。 可以看出，由于维度的影响，直接把e v t 应用于v a r 遇到了一定困难。c o p u l a 的引入，使得基于e v t 的投资组合v a r 计算有了进一步发展。 1 2 3c o p u l a 理论及其在v a r 中的应用 c o p u l a 是近年来广泛应用在金融领域的统计方法，通过它可以将不同收益率的 边缘分布与投资组合中各种收益率的相关结构独立开来，极大的方便了多元分布的 研究。s k l a r ( 1 9 5 9 ) 提出一般化的c o p u l a 函数的概念，它可以将一个d 维联合分布分 解为它的d 个边缘分布和一个c o p u l a 函数，其中c o p u l a 函数描述变量间的相关结 构。 b o u y e ( 2 0 0 0 ) 研究了c o p u l a 理论，主要分析了其在解决金融问题方面的广泛应 用。p a t t o n ( 2 0 0 1 ) 将标准c o p u l a 理论扩展到条件情况，并研究了外汇数据的条件相 关结构。r 0 n l a n o ( 2 0 0 2 ) 对现有文献中c o p u l a 函数的选择、校准以及仿真计算的方法 做了综述，并将上述方法应用到两只股票收益率的时间序列。c l e m e n t e ( 2 0 0 3 ) 提出 g a u s s i a n 和t - c o p u l a 结合e v t 计算投资组合v a r 的方法。作者在研究中采用了 g a m s i a n 和t - c o p u l a 。实证结果表明不含有尾部相关性的g a u s s i a n c o p u l a 不适合于 资产收益率的相关结构，而t - c o p u l a 在较高的维度中( 意大利股市2 0 只股票) 有很好 的表现。h o t t a ，l u c a sa n dp a l a r o ( 2 0 0 4 ) 提出基于g p 分布和c o p u l a 计算股票组合v a r 的方法。他们使用a r m a g a r c h 对两种资产的收益率建模以过滤出新息( 残差项) 。 新息的相关结构使用a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数，两个边缘分布的尾部( t a i l d i s t r i b u t i o n ) 使用g p d 建模。与传统方法的对比显示c o p u l a e v t 模型准确地描述了 资产收益率在负向波动时的相关性。g u e g a ne ta i ( 2 0 0 5 ) 用g p 分布对m s c i 三种指 数( 美、日、法) 对数收益率的尾部分布建模，并分别计算了四种a r c h i m e d e a nc o p u l a s ： g u m b e lc o p u l a 、c o o ka n dj o h n s o nc o p u l a 、f r a n kc o p u l a 、a l l - m i k h a i l h a qc o p u l a 。 作者用f r e e z 和v a l d e z ( 1 9 9 8 ) 提出的q q 图方法对以上几种c o p u l a 作了比较选择。 孔繁利等( 2 0 0 6 ) 研究c o p u l a 理论在投资组合风险管理中的应用，选取上证综指和深 证成指作为研究对象，在等权重投资组合的假设下，结合c o p u l a 函数，计算出在不 同置信水平下的v a r 值。 1 3v a r 的计算 v a r 的计算有解析法和模拟法两大类。解析法假设风险因子服从多元正态分布， 可以方便地计算v a r 即分位数。由于多元正态分布包含的信息只有方差、协方差 和相关系数矩阵，因此解析法被更多地称为方差协方差法。但这种假设忽视了现实 情况下金融序列的典型特征如厚尾、非对称波动、自相关和异方差等，广受批评， 目前已濒于淘汰。模拟法的优点是能较好地反映真实的联合分布，它包括历史模拟 和蒙特卡洛模拟。历史模拟完全根据经验分布预测未来的分布，实质上是对已知样 本进行重采样，属于非参数方法。它的特点是不用对风险因子的联合分布建模，因 此计算量小、应用简便。蒙特卡洛模拟则是一个相当广泛的概念，是针对所有参数 化模型的模拟方法。它根据模型参数生成大量的可能情况，虽然需要密集的计算， 但具有非常好的灵活性。 1 4 本文的结构 本文的研究方法可以简单概括为1 2 1 1 2 3 和1 3 节阐述的四个方面：首先， 本文使用条件模型，反映的是收益率的条件联合分布；其次，条件联合分布用c o p u l a 和极值分布建模；最后，使用蒙特卡洛模拟根据模型的校准结果计算一个假想资产 组合的v a r 值。本文的结构如下：第2 章说明用c o p u l a 建立条件模型的理论基础， 并介绍了c o p u l a 领域的前沿成果；第3 章介绍了极值理论和非参数核估计，并说明 两者如何应用于条件边缘分布建模；第4 章是模型的建立和参数估计：第5 章是蒙 特卡洛模拟方法以及回测结果；第6 节提出结论和进一步研究的方向。 第2 章条件c o p u l a 和多元相关结构 多变量联合分布在风险管理中至关重要。如果能对风险因子的联合分布建模， 就可以使用模拟方法计算风险值。长期以来，金融研究的基准是多元正态和t 分布。 两者都属于椭圆分布，表示的是线性的相关关系；虽然它们使用方便，但不能有效 地描述多变量的相关结构。c o p u l a 早在上世纪中期就在统计领域被提出，其标志是 1 9 5 9 年的s k l a r 定理。c o p u l a 早年未能受到重视是被计算能力的瓶颈所制约。近年 来c o p u l a 在多变量非线性相关结构中适应性强、易于建模和模拟的优良性质受到了 越来越多的关注。 4 2 1c o p u l a 理论 c o p u l a 本质上是一个n 维联合分布函数c ，它的边缘分布都是u o ，l 】分布：有 如下性质： 1 ) c ：【o ，1 】n _ 【o ，l 】； 2 ) c ( o ，0 ) = 0 且对每个变量u i 单调非减； 3 ) c 的边缘分布函数c i ( u ) = c ( 1 ，l ，u ，l ，1 ) = u u 是 0 ，1 】内任意值 c o p u l a 的重要理论基础是s k l a r 定理：令f 是n 维联合分布函数并具有连续的 边缘分布函数f l ，f n ，则f 有唯一的c o p u l a 表示式： f ( x l ，x 。) = c ( f l ( x 1 ) ，f n ( x 。) ) ( 2 1 ) s k l a r 定理的推论：令f 是n 维联合分布函数并具有连续的边缘分布函数f l ，f n ， c o p u l ac 满足( 4 ) 式，则对任意的【0 ，l 】“空间中的向量u = ( u l u f l ) 有： c ( u i ，u n ) = f ( f l 以( x i ) ，f n “( x 。) )( 2 2 ) 其中f i 。是f i 的广义逆( 2 1 ) 、( 2 2 ) 的证明见s k l a r ( 1 9 9 6 ) 。 p a t t o n ( 2 0 0 1 ) 证明了上述的标准c o p u l a 可以扩展到条件分布中。他在类似的假 设下，证明了以下两个关系( 简写为二元，并可扩展到多元；其中f 是某条件集) ： f ( x ，y l f ) = c ( f , ( x i f ) ，f 2 ( y i f ) i f )( 2 3 ) c ( u ，v l r ) = f ( f i 一( u l v ) ，f 2 以( v l f ) i f )( 2 4 ) s k l a r 定理及其推论提供了c o p u l a 与原联合分布之间转换的理论基础，并且把 边缘分布和相关结构独立开来。一方面，把边缘分布转化为均匀【o ，l 】分布后可以估 计c o p u l a 参数；另一方面，校准c o p u l a 和边缘分布以后，可以容易地通过模拟方 法生成符合原分布的样本值。此外，我们还可以用任何一种c o p u l a 把各种单变量分 布组合起来，构造出传统参数化方法不能表示的联合分布。( 2 3 ) 、( 2 4 ) 意味着在条 件建模中同样可以利用c o p u l a 的这些优良性质。 常用的c o p o u l a 函数族包括椭圆c o p u l a 和a r c h i m e d e a nc o p u l a 。g a u s s i a n c o p u l a 以及本文中使用的t - c o p u l a 属于椭圆c o p u l a ，它们分别是根据多元标准正态分布和 t 分布定义的。假设向量x 服从多元t 分布且均值为0 ，即x 的密度函数为( 见c h e r u b i n i 和l u c i a n o 2 0 0 4 ) ： m ，咖蒜( “半厂亿5 ， 其中是相关矩阵，v 是自由度。对应的t - c o p u l a 是： c ( u l ，) = t d ( f ，1 ( ”i ) ，t v - lu d ) ) ，( u 19 - o o ，) 0 ，1 】4 ( 2 6 ) 其中b 是( 8 ) 所示的d 维髓机向量，0 是自由度为v 的标准单变量t 分布。 t - c o p u l a 的特点是呈现多个变量之间的尾韶相关性。这种相关性在分布的左右 两端是对称的：其他条件相同的情况下，自由度越小则尾部相关性越强。固2 1 和 2 2 分别是自由度为3 和5 、相关系数为08 的二元t - c o p u l a 联合概率密度可以看 到，由于自由度较低圈2 i 在接近( o 冉) 和( 1 ，1 ) 的两端密度高于圈2 2 。 田2 t 自由虞为3 的= 元脚血2 2 鱼由鹰为5 的二元“坤d 2 2c o p u l a 前沿领域和本文c o p u l a 的选取 统计学界正在探讨有关c o p u l a 的两个前沿甸题：多维c o p u l a 以厦拟台优度检 验( g o o d n e s s - o f - f i tt e s t ) 。为了能精确地对多元相关结构建模，研究者们已不满足于 g a u s s l a n 和t 等椭圆c o p u l a ；更精巧和复杂的相关结构被设计出来。c o p u l a 拟台优 度检验要解决的问题是：哪个c o p u l a 函数族能更好地描述现有观测值 多元分布是金融研究和应用的重点和难点传统的多元正态和t 分布显然不是 好的选择；而在c o p u l a 的丈献中，二元分布占了大多数，真正意义上的多元c o p u l a 非常有限。这里举几个倒子：i v l a s h a l 和z e e v i ( 2 0 0 2 ) 以及d o t a f i c 和s h m i d ( 2 0 0 5 ) 等 实证研究表明g a wc o p u l a 不适合金融收益率羲据；s c h m i d t 和 n 舯d 0 嗍口6 ) 指出t - c o p u l a 的缺点是不论其维度高氍只有一个尾部相关性参 数；a r c h i m e d e a nc o p u l a 在二元分布中表现较好但很难直接扩展到多元分布，等 等 为了描述复杂的相关结梅一有一种自然的想法：把多元分布用= 元c 聃如程层 分解：或者说将多个二元c o p u h 用更高层次的c o p 山组合起来这被辣为层次 c o p u l a ，最早在j o e ( 1 9 9 7 ) 提出，近几年来吸引了不少学者的注意b o f g 和a a s ( 2 0 0 7 ) 将层次c o p t l a 的结构总结为两大类，即成对c o p u l a 和嵌套c o p u l a 其中嵌 套c o p u l a 可分为三种：全嵌套、半嵌套和层次墩套结构；e m b r e c h t se ta 1 ( 2 0 0 3 ) 8 和 一心。妙 w h e l a n ( 2 0 0 4 ) 讨论了全嵌套和半嵌套结构，关于层次嵌套的研究主要有m c n e i l ( 2 0 0 7 ) 和s a v u 和t r e d e ( 2 0 0 6 ) 。各种层次c o p u l a 的结构图和数学描述参考b e r g 和 a a s ( 2 0 0 7 ) 。该文章认为，d 维分布可包含d ( d 一1 ) 2 个相关关系，成对结构也能包含 这样多的二元c o p u l a ，而嵌套结构最多只能包含( d - 1 ) 个：而且，成对结构中的每个 二元c o p u l a 可以来自不同的函数族。因此，成对c o p u l a 有极好的适应性，拟合优 度好于嵌套c o p u l a ，实证结果也证实了这种设想。 大量的统计、金融文献论述了c o p u l a 的优良性质。但是在实际应用中存在众多 的c o p u l a 函数族，究竟哪种能最好地描述现有多元观察值的相关结构呢? 用数学形 式描述为以下的检验： 爿r o ：c c j ，c ：= c o ；9 o ) ； 其中c 是真实c o p u l a ，c o 是假设的某个参数形式的c o p u l a 。 这就是近来受到关注的c o p u l a 拟合优度检验问题。g e n e s t e ta 1 ( 2 0 0 7 ) 将现有方 法总结为三类：检验特定c o p u l a 族如g a u s s i a n 或t - c o p u l a 的、可用于各种c o p u l a 但需要主观假设或对数据分类的、可用于各种c o p u l a 且不需要主观假设的。直到最 近，新的检验方法和统计量还在不断的被提出。 层次c o p u l a 虽有理论上的优势，但其进入实证研究阶段是在2 0 0 7 年后，目前 能查阅的研究很少，可靠性还没有得到验证。另外其模型构造非常复杂，算法还不 成熟。比如a a se ta 1 ( 2 0 0 7 ) 提出了直接用最大似然法估计整个层次c o p u l a 参数的算 法，但其不足是必须在事前主观指定每个c o p u l a 的函数种类，不能发挥成对c o p u l a 可自由综合多个函数族、实现最优相关结构的优势。加上拟合优度检验主要是针对 二元c o p u l a ，多元c o p u l a 的检验方法还没有定论，很难判断究竟采用何种结构较 好。综上所述，层次c o p u l a 目前还处在统计学界探讨的阶段，超出了本文研究的金 融风险范畴。 本文的研究对象是上证四种指数，属于同类资产。经过大量研究验证，t - c o p u l a 在资产同质性较高的情况下可以达到比较好的建模效果。因此，本文的条件相关结 构选用t - c o p u l a 来表示。 第3 章单变量分布 3 1 极值理论( 广义帕累托分布) 极值理论是统计学的一个分支，最初是作为研究稀有事件的概率理论。它在风 险值测量中有重要意义，因为v a r 或e x p e c t e ds h o r t f a l l 之类风险值受风险因子尾部 分布影响极大，而尾部分布的形状由少数极端事件( o u t l i e r ) 决定。极值理论的主要优 点在于：可以准确地描述分布尾部的分位数：具有解析的函数形式，计算简便：在 极端条件下，用极值理论方法得到的v a r 估计值与经验分布非常接近；提供了超越 样本的预测能力：有完备的数学理论支持。众多研究表明，极值理论的应用显著改 善了v a r 估计值的准确性，见g e n c a y 和s e l c u k ( 2 0 0 4 ) 、b a l i 1 ( 2 0 0 7 ) 等。 分别基于以上两个定理，极值理论的方法可分为两大类：一是分块极大值( b l o c k m a x i m a ) 模型，即将大量的样本值分块并研究每块中的极值；另一类是基于g p 分布 的p o t ( p e a k s o v e r - t h r e s h o l d ) 模型，该类模型研究所有超过预先设定的门槛值的极 端情况。分块极值方法数据利用率不高，分析也较复杂。在市场风险研究中，除了 b o u y e ( 2 0 0 2 ) 使用分块极值的g e v 分布，绝大多数都用了p o t 模型的g p 分布。需 要注意的是：在多元建模中虽然有多元极值分布可以利用，但是其理论非常复杂， 应用前景不佳( 可以参考e m b r e c h t se ta l ，1 9 9 7 ) 。近年来，使用极值理论的研究多用 它对单变量建模。 g p 分布是指数分布和帕累托分布的无缝衔接，其函数形式如下，包含一个形 状参数芒和尺度参数1 3 。 g 。( 石) ： 1 一( 1 + 乒7 矿。，f o ， ( 3 1 ) ” 【l e x p ( 一x 仞，善2 0 其中，p o ，当号0 时，x o ：而当芎 o ，g ，p ( x ) 是重新参数化的普通帕雷托分布。 如果芎= 0 ，对应的是指数分布。如果芎 0 ，则对应于帕雷托1 1 分布。相关极值理 论和证明参见e m b r e c h t se ta 1 ( 1 9 9 7 ) 。 3 2 非参数概率分布 参数分布需要首先假设分布函数的形式，这会在模型中引入主观性。为了避免 由此造成的错误，就需要使用非参数方法。频率直方图是最简单也是最常见的非参 数概率估计方法：只需要选定窗宽( b i nw i d t h ) 就能得到离散的分布图形。直方图有三 个不足：不平滑、受窗格位置影响、受窗宽影响。核估计实质上是直方图的改良， 解决了前两个问题。核估计量的形式如下： 允= 去喜d 半) ( 3 2 ) 其中k ( ) 是核函数，一般采用对称的概率密度函数，比如标准正态密度函数；h 8 是平滑参数，又被称为带宽( b a n d w i d t h ) 。从核估计量的定义可以看出，它继承了核 函数的性质( 如连续和可导) 。对于每一个数据点，以该数据点的概率密度函数为中 心、以o ( 根据b u t l e r 和s h c a c h t e r 的研究这里可以取o = 0 90 0 n m 一，其中o o 为从观 测之中估计得到的标准差，n 为样本容量) 为带宽来平滑数据，使其成为一条连续而 且光滑的曲线。随着样本数据的增加，所有平滑点的净和逐渐接近于真正的概率密 度函数，而与平滑方法无关。因为随着数据点的增加，每一点的影响变得越来越小， 因此核的选择不对结果构成限制。 在核估计的实际应用中，带宽的选择对估计的效果影响较大。一方面，窗宽越 小，核估计的偏差越小，但核估计的方差就越大：另一方面，带宽增大，则核估计 的方差变小，但核估计的偏差却增大。所以，核估计带宽的选择必须在偏差和方差 之间作一个权衡。m a r t i n e z 和m a r t i n e z ( 2 0 0 2 ) 总结了单变量核估计的方法并介绍了 选择带宽h 的常用方法。 第4 章条件建模方法 本文研究的是条件多元分布即f x ( x l f 。) ；其中x 是我们感兴趣的随机向量，f t 表示直到当前t 时刻的信息集。p a t t o n ( 2 0 0 1 ) 将标准的无条件s k l a r 定理扩展到条件 情况下，为在条件分布中使用c o p u l a 提供了理论基础( 见本文2 1 ) ：另外，包含随 机波动率的模型如a r - g a r c h 等可预测收益率的条件期望和方差，是条件建模的 重要工具。 4 1 削r - t e g a r c h 过滤模型 本文采用条件模型不仅是考虑到预测v a r 的准确性，还有理论上的原因。c o p u l a 和极值分布( g p d ) 理论上要求处理的时间序列近似于i i d ，但是国际国内资本市场的 研究都表明，金融时间序列具有异方差( 波动聚类) 、厚尾、杠杆效应等“典型现象”。 下面是对数据的描述统计分析。 首先对四个收益率序列做j a r q u e b e r a 检验，结果如下： j b 统计量 3 710