（基础数学专业论文）一个带三点边条件特征值问题的迹公式.pdf

中文摘要 摘要：本文运用叠代法，先得到一个带三点边条件特征值问题初值解，并构造 了一个整函数烈，其零点集合与带三点边条件特征值问题的特征值集合重 合针对这个带三点边条件特征值问题的两大类型一反射型与折射型，在不同特 殊情况下将三点边条件分为9 种基本类型，并得到相应的9 个决定特征值的整函 数酬z ) 和它们在相应围道上的渐近估计借助于一个积分恒等式，采用留数方 法，对该三点边条件特征值问题的特征值进行估计，得到多种情况下的特征值的 渐近迹公式 关键词：三点边条件：特征值；渐近估计：留数方法；迹公式 a b s t r a c t ：k 也i sp a p e r 也e 嬲y m p t o t i ce s t i m a t i o n so fi n i t i a lv a l u es o l u t i o na r e o b 协i n e df b ra ne i g e n v a l u ep r o b l 嘟w i 也t l l r e e - p o i n tb o u n d a r yc o n d i 廿o n sb yu s eo f t h ei t e r a t em e t h o d a n dc o n s 协j c 6 i l ga ne n t i r c 如n c t i o n 珊( 五) ，t h ez e r o so fw h i c ha r e m ee i g e n v a l u ep r o b l e mw i 也t h r e e _ p o i n tb o l l n d a r yc o n d i t i o n s t h i s e i g e n v a l u e p m b l e m 谢t h 廿l r e e - p o i n tb o u d a r yc o n d i t i o n s i sd i v i d c di n t o 撕oe s s e n t i a lk i n d s ： r c f l e c t i o na n dr c 丘甚c t i q n m o r c o v e i nd i f f b r c n ts p e c i a lc a s e sm em r e e p o i n tb o u n d a r y c o n d i 矗o n sa r ec a t e g o r i z e di n t on i n ee l e m e n tt y p e s ，t h u sn i n ec o r 心s p o n d i t 唱e n t i r e f i l n c t i o n s 烈丑) d e c i d i n ge i g e n v a i u e a n dt h e i r 粥珊p t o t i ce s t i m a t i o n so nm e c o 玎e s p o n d i n gc i r c u i t sa r cg o 仕e n b yr e s t o r t i n gt ot h ei n t c g r a li d e n t 蚵a n dm er e s i d u e m e t h o d ，a s y m p t o t i ce s t i m a 6 0 n so f 也ee i g e n v a l u ep r o b l e ma r ec o n s i d e r e da n d e i g e n v a l u e st r a c ei d e n t i t i e sa r eo b t a i n e d i ( e y w o r d s ：t h r e e p o i n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；e 谵e n v a i u e ；船y m p t o t i ce s t i m a t i o n ； r 。s i d u em e t h o d ；t r a c ei d e n t i t y 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄 袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法 律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者：孪星门匆 2 钾6 年厶月2 。日 一个带三点边条件特征值问题的迹公式 0 引言 微分算子的特征值的迹公式在揭示微分算子的谱结构，和特征值的计算及其 反问题以及孤子理论和可积系统中卜5 1 有很重要的作用。然而和矩阵一样，微分 算子的单个特征值比较难求。但在矩阵理论中，我们知道 l 五e 一爿i = 且”一( q l + + ) 矿1 + i = i l ! l ( ，i “一 + ( 一1 ) ”i 一 所有特征值之和等于对角线元素之和，特征值的二次基本对称函数暑乃等于 矩阵的所有二阶主子式之和，特征值的三次基本对称函数暑乃 等于矩阵的所 有三阶主子式之和，依此类推。那么，对于微分算子的迹，我们是否也能用算子 量直接表出呢? i m g e l 胁d 和b m l e v i t 锄在1 9 5 3 年获得了以下s t u 咖一“o u v i l l e 问题的迹公式： 一y + 叮( x ) y = 五y ，y ( 0 ) = ，( 厅) = 0 薹限彳一昙胁= 华一去胁胁 随后，关于迹公式的研究出现了一系列的论文【7 _ ”】，特别是在1 9 8 1 年曹策问教授 提出了一个计算常型二阶微分算予特征值迹公式的一个普遍性的方法。而且计算 出了s l 问题特征值的幂的正则迹公式。对于奇型情况，z a k i l a r o v 和f a d d e e r 在 1 9 7 7 年对位势在无穷远处衰减情形下获得了半幂迹公式】，这些迹公式给出了 k d v 方程的一系列守恒律和h 锄i t o n 函数的散射表示。z a k l l a r o v 和f a d d e e r 的方 法可以用于有反散射结果的微分算子，李梦如教授将其应用到离散系统的特征值 问题和高阶微分算予中，得到了一些新的结果”2 。“。最近，曹策问教授还通过 迹公式得到一个状得无反射情形下位势的自然约束的方法，由此可以得到新的有 限维可积系统及相应的非线性演化方程的对合解” 。 多点边值问题近年来引起甚多的研究，与古典的两点边值问题相比，由于在 一些点上附加了连接条件，结构变复杂了。多点边值问题最简单的自然是三点情 形： 一 l妒i 吻 ( e ) 警砌一9 1 k = 。，x 地酰 参m 吲帅_ o ，吲口 c ) ， 材( 6 ) c o s 口+ “( 6 ) s i n 口= o ， v ( c ) c o s + v ，( c ) s i n = o ， “( = v ( 口) ，”( + 细( 回= 0 ( o 1 ) ( o 2 ) ( 0 3 ) ( 0 4 ) ( 0 5 ) 其中a 为特征参数，q 。，口：为实值连续函数，珂，声， ，砸且 o ，女 o 。 当连接点口处于6 ，c 同侧时，称( e ) 为反射型的。当连接点d 处于b ，c 之间时，连 接条件应写为”( d ) = + v ( a ) ，“k ) = 旷，( 口) ，此时的( f ) 称为折射型的。当 g l ( 口) = g ：( 口) 且矿= 旷= l 时，连接条件消失，( f ) 退化为黝m 一f o l ，谢k 问题。 本篇论文主要解决带三点边条件的特征值问题( e ) 的渐近迹，该特征值问 题是曹策问教授在 1 8 】中所提的( e ) 问题当b ( x ) s l ，( 工) ；1 ( 扛1 ，2 ) 时的特例， 文献 18 】中所提特征值的性质及特征值的渐近公式的结果在此也是正确的。本文 采用 1 9 】中提出的帮数方法，借助于一个积分恒等式对三点边条件特征值严格地 重新进行估计，并根据三点情形的两种分类( 反射型与折射型) 获得多种情形下 的渐近迹公式。 1 特征值的性质 对反射情形而言 考虑下列二初值问题的解妒( z ， ) ，妒( x ，五) ( o 1 ) ，烈6 ) = s i n 盯，欢6 ) = 一c o s 以 ( o 2 ) ，y ( c ) = s i n 卢，y ( c ) = 一c o s 由迭代法易证它们是五的整函数。 ( 1 1 ) ( 1 2 1 设“，v 是( e ) 的相应于特征值五的特征函数对，它们分别满足( o 3 ) 与( 0 + 4 ) ，由二 阶线性微分理论：“= q 缈，v = c 2 妒，它们要满足( 0 5 ) ，故有 c l 黧：嬲2 ： ( 1 ，) l q i 口) + 后呸y ( d ) = o v 一 它有非零解c l ，c 2 的充要条件是系数行列式为0 ，即 奴；懈葛搿b 嘲卅枇一o - m 。， 五是( e ) 的特征值烈a ) = 0 因耐五) 是整函数，故特征值集合是离散的，没有穷聚点。 由文献【1 8 】易知： 引理1 ( e ) 的特征值是实数。 引理2 叫五) 的零点都是单重的。 对折射情形而言有类性质。 2 解初值问题 先求仍y 的渐进估计式，考察： j 警小咱( 咖- 0 ，州碱 i 妒( = s i n 口，( 6 ) = 一c o s 口 将方程矿= ( 吼一丑) 妒化为等价的积分方程 ( 2 o ) 妒( x ) = s i n 口一( x 一6 ) c o s 口+ j ：( x 一孝) g 。( 善) 一五 烈孝) d 孝 令( = s i n 口一0 6 ) c o s 口， 作迭代序列： ( x ) = j ：o 手) 吼( 宇) 一a 慨( 孝) d 手， 记q j2 三凛，h ( x ) | 约定q l ( x ) = r 吼( 善y 宇- 由归纳易知：i ( 刮( 障n 叫+ ( 。一a 小。s 口垡l 吐鲨警篙享 i ；竺二坚 故绝对一致收敛，其和伊( x ，五) 给出( 2 o ) 的解，且由光滑性与复共轭性 易得： 命愿1 ( 2 o ) 的解存在唯一，是五z 二元连续函数，是名的整函数且 须五) = 烈五五) 引理3 设吼( 砷eq 廿，叼，当s 协掰o 时，且= s 2 ，s = 口+ j f ，蚓& o 有 觚名) = d “) ， 化i 1 烈x ，旯) = c o s s ( 6 一曲s i n 盯+ o q s l 。一d 恤订) ， ( 2 2 ) 丽当s i n 岱= o 时： 烈x ，见) = 喇g 抄”) ， 丸五) = 墅登当型c + d ( 盯抄叫) 占4 ； 引理4 设g i ( z ) c 1 【口，6 】，当s i r i 口o 时，五= s 2 ，s = 盯+ 打，俐岛 o 有 北少= s s i n s ( 6 一力s i n 口+ d ( 一4 扣。) ， ( 2 5 ) ( 丘五) = s s i n s ( 6 一工) s i n 口一c 。s s p z ) c 。s 口+ 旦笋c 。s j p 一曲g 。) + p d j 厂p m ) ，( 2 6 ) 而当s i n 口= o 时： ( t 五) = c o s s ( 6 一曲c o s 口+ d d 纠一一q h ) ， 矿( 五= 一c 。s s ( 6 一砷c 。s 口+ ! 号旦s j n s ( 6 功8 ( 曲+ o ( s _ 2 一椰卅) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 引理5 设吼( 。) c 【口，6 】，当s i n 口o 时，丑= s 2 ，s = 盯+ 打，蚓& o 有： 孵棚s 肛咖i 半s j n 叫一詈s i 叫h ) q l ( 卅删”1 ，( 2 9 ) 吣堋2 半s i n 跗叫+ 等c o s 叫弘m ( 矿扩1 ( 3 t o ) 引理6 设q ( z ) c 】【口，纠，当s i n 口o 时，五= s 2 ，s = 盯+ f f ， s & o 有： 矿( z ，五) = s s i n s ( 6 一x ) s j n 口一c 。s s ( 6 一x ) c 。s 口+ ! ! 警c 。s s ( 6 一x ) q l ( x ) 等s i n 跗一岫心h ( 6 ) 】+ 詈s 雌( 詈5 m 跚一曲蜴2 ( 力+ d 栉抄) ， ( 3 j ) 而当s i n 口= 0 时 4 m 旬= - c o s 即一枷s 球一詈s i n 即叫q l ( x ) + 警c o s s ( h ) 陋砷_ g l ( 6 ) 】+ ；鼎x ) ) + 训s r 垆“j ) ( 3 2 ) 证明将方程矿+ 矿= g 。妒化为等价的积分方程： 妣却s s ( h ) s i n 叶堂警生c o s d r 堂芋型“锕蹦 令烈z ，五) = e ”，( x ) ，代入上式 由l c o s s ( 6 一z ) l p 1 4 6 1 ，i s i n s ( 6 一x ) f p l “。得： 俐非呻皆+ 扣剑哟旧 又奄b e l l m 仰h g r o 唧n n 不等式： 陬酬+ 智州南腑娴= o ( i ) - 畎啪 烈z ，丑) = d ( 口1 4 “) 将其代入( s ) 式右端得( 2 2 ) ，将( 女) 式对x 求导： 双t 兄) = s s i n s ( 6 一x ) s i n 口一c o s s ( 6 一z ) c 。s 口+ j ：c 。s s ( 6 一x ) 吼( 亭) 烈善) 钟 再将( 2 i ) 式代入得( 2 5 ) 。 类似方法可得s i n 睇= o 时( 2 3 ) ，( 2 7 ) 式。 进一步估计： 将烈善，丑) = c 。s s ( 6 一善) s i n 睇+ ! ! ! ! - 兰警! 二垒c 。s 甜一r ! ! ! ! ，：! ! 謇2 二佥吼( ”认力d 托 反复代入( 1 ) 式可得( 2 9 ) 式，当s i n 髓= o 时可用类似方法得( 3 ，o ) 。 同样将上式反复代入 ( j ，旬= s s i i l s ( 6 一曲s i n 仃一c 。s s ( 6 一x ) c 。s 口+ r c 。s s ( 6 一工) 叮】( 翻“孝) d 孝， 可得( 3 1 ) 式，当s i n 口= o 时可用类似方法得( 3 2 ) 。 注：约定q 2 ( x ) = f q ：( 善善，类似可得纵t 五) 的诸估计式。 3 整函数零点的渐近迹 i反射慵形：a 位于6 ，c 同侧( 不妨设为左侧) 。弟一秤臂彤s l n 口o ，s l n 0 令： c o s 盯一；s i n 盯q ( 旬= 4 ，c o s 一；s i n 卢- q ( 砷= e ， ； 4 c 。s 口g ( n ) 一2 s i n 研叮l ( 6 ) 一g i ( 口) 卜s i n 口q 2 ( a ) ) = 4 ， ； 4 c o s 卢- q 2 ( a ) 一2 s i n 厦吼( c ) 一吼( 口) 卜s i n 卢，q 2 2 ( 口) ) = b ：， ； 4 c o s 口q l ( n ) 一2 s i n 研吼( ”+ 吼( n ) 卜s i n 口q 2 ( a ) ) = 呜， ： 4 c o s q 2 。) 一2 s i n 所吼( c ) 十q ：。) 卜s i n q 2 2 。) = b = s 岫c o s 即刊+ 鲁s i 叫6 一曲+ 参c 郦( 6 刊+ d ( i s r 砂“) ) ， 咖) 毋s i n 删n s ( 6 刊一4 c 。s 踯刊+ 鲁s i n 邓_ ) + o ( i s ”叫) ， 帅) = s i n 肚郇( c 刊+ 鲁s m ( c 刊+ 鲁c 神( c 刊+ o ( i s l l 抄训) ， 叭口) - 跏邶s i n 跗刊一旦c 。s 即叫+ 导s i n 跏刊+ 0 ( 旷抄1 令： 民= ；s i n 口s i n ，七+ ：墨， 一 ：是，6 + c 一2 口：，c 一6 ：吃，得： 硝a ) = 譬( 只is i n l j + rs i n 吒s ) + qc o s s + c 2c 0 8 吒s + ( d ls i “s + d 2s i n 吃s ) + d ( i s i 。2 e i 小) ， 其中c l = 一；蜀( 4s i n 十且s i n ，c 2 = ；r ( 4 s i n 声一置s i n 口) d l = ； ( 恤+ m ) s i n + 墨( 最s i n 口一4 蜀】，d 2 = ： ( 鸽一蝇) s i n + r ( 展s i n 口+ 彳。旦】 令( ) = ( 置s i “_ s + rs i “t s ) ， 贝4 ： 怒小等铲+ 驾铲+ o c 丽雨蒜1( 由衄；鳓( s 2 岛瑞( 句 、f s r ( 置s i n 啦+ r ：s i n 吐s ) 根据勘砌；f 定理，当叶一时，叫五) ，瑞( 句在回路。内有相同的零点个数 ( q 的选取见下) 。 i 回路g 的选取：如同处理亚纯函数一样，我们在j 平面上取某个回路系 c j ) ， 来研究国( 却瑞( 五) 。 由附录知( a ) 零点吒= + 皖) 石 ，”= o ，l ，f 疋i 4 e ( s ) | 1v s c ，其中f ( s ) = rs i n s ( f ：l ，2 ) p $ ) 事实上， i e ( 盯+ 功i = 4 i n 2 口i 仃+ 幽2 口i f 忆p + 咧= 牺i 丽 4 扛面面 在e 的两条竖线仃= f ( ：。) 上： ( s ) l 4 厮 l e ( j ) l ( v s e ) 相矛盾! 故有命题z ：高赢 品有： 毗名) = s i n 叭。s 跗叫+ 喜 c o s 球一；s i n 盯q l ( 硎s i 删6 叫 + 击 c o s 咽一半h 飞( 卅警岔( ) c o s 即叫 + d ( 陋r 。p 1 4 6 叫) ， ( 3 3 ) 而当s i n 口= o 时： 砸棚= 半s ”( h ) + 警c o s 跗甘聃 + 等州6 ) + 删卜；咖) s 郴( h ) 十o ( 1 s r 4p 怫“。) ( 3 4 ) 类似可得缈( x ，的诸估计式 合 ；c 。s 口味a ) = e ，；c 2 吼( 卅瓤硼研( 枷= e ：c 。s 嫂( a ) = q ，：c 。s 2 g ：( “) 一吼( c ) + 蜴( a ) = g 2 1 i 。5 口 2 【吼( 口) 一吼( 6 ) + q f ( 口) ) 。e ，；c 。s 蹦2 ( c ) + 吼( 硼一谚( 枷= g 烈a ) = 警妇s ( 6 一a ) + 争c o s s ( 6 一口卜参s i n s ( 6 一a ) + 0 ( i s 广一4 ) ， 以口) = 一c 。s - c o s 即一日) + 导s i n 即一口) + 参c 。s m 一口) 十d ( j s r 一枷曲) ， 袱加一c o s 口一即叫+ 鲁s 叫6 _ ) + 鲁c 。s 即叫+ d ( i s r 叫) ， 帅) = 警s i n 鼬叫十导c 。s 即刊专s ( 一) + d ( 1 s i ) ) r 回具悸整埋烈 ) ： 再令 日净竖掣，毕生学， q = 一：( 厅j i + 叫) ，峨= ：( 叫一叫) ， l ，f = ( g 2c o s 口一最c o s 仂+ 蝎q ，以= ( qc o s 口+ ec o s 西+ 媚g i ， = ；( 卅+ 卅) ，以= ；( 以一卅) ， 碟：一：c o s 口c o s 芦，+ ：r 。，一 ：r ：，6 + c 一2 = l ，c 一6 = 如， 叫五) = 譬( 置s i n _ s + 恐s i n s ) + 古( h ，c o s s + 片：c 0 8 吃s )叫五) 2 詈( 置8 m _ s + 恐8 i n s ) + 毒( h ，。8 s + 片z 。8 吃s ) + 吉( 小i n _ s + 删n 调+ 。( 旷毋) 若定义瑞( a ) = 等( 蜀s i n s + 恐s i n s ) ，围道同前设置，易知 雨蒜可_ d ( 1 ) ，脯： 器小南。麓嬲+ 古，糟糕娜r )如( 五)嗣5rs i n s + 也s i n 吒s耳羁s i n s + 心s i n 乞s 。 仍考虑一种特殊情况： = 2 如即c = 3 6 2 口时 ( 五) = 譬s i n 吒s ( 2 q c 。8 1 s + r ) ，相应零点： 以= 噘( 随l ，山) ，班昭斛1 矿掀马2 碳小_ 0 土1 ，嘲 由留数理论 石一【硝】2 + 薯 + 量。一趣以】2 + o + _ 一【 2 一 矿月， 2 ) 一壶屯z 肌s 瓣 = 一去电击等鬻糌出一壶屯壶嚣寒澍 2 删】c 剧冠s i n s + 兄s i n b s2 疥j “船：es i n s + 马s i n s + 去电瓦异c 篙雾窨篙等粕删寺 2 ，町了os 聪】2 、r 【s i i l s + 恐s i n 眨5 。、 = “+ 厶+ d ( 专) 铲一言c 鬻+ 辫卜去羔c 矗嵩甓+ 坐东警， 铲一c 篙抖羔掣2 一云盖最一去兰黼寿 l = 南【瞥+ 耋鬻十黪) 】 = 西揣 ( q + 皿) ( 8 r + r ) 恐_ 3 ( 4 q + 卫) ( 一1 ) ”告【q + 马( 一1 ) “ 2 墨+ r ( 一1 ) ” 1 考【日】2i 鼻【2 r 。( 一1 ) ”+ r r 【一 2 一兰磐莓三譬翼羔 【2 ( r 圩：一2 l r ) 一3 曼( ，( 霹一2 砰) 魂】2 专砰( 4 砰一霹) 5 品一1 一 ” + 河面旧( 即砰卜嘲附南 令 孵12 去揣，砰。去。糌专， 2 焉r ) 】- 与 = 0 ，1 ，2 睁籀，趾篆等等幽赤， 剃， ” 呼 尉】2 2 置( 一1 ) ”十r 一r 衅2 篙湍 2 ( 蚍醐( 炉啪即2 】 奇【吲】2 哇群f 4 砰一碍l 锄n 去 竹= o ，土1 ，2 ， 峥镂藩辫，击饥，击，肛。掣拇i 者攀袢w 一云糕， g = 击，揣 ( 啊+ 皿) ( 8 墨+ 是) 吒- 3 ( 4 q + 皿) 】， 皇_ 2 一】2 一 以 2 一【矿f 】2 + 2 。+ 铲+ ：+ 2 e 5 + 驴+ 嘭+ 埘：5 + 圪+ 2 如s ， p 2 兰醉+ 砖一瓣一m 苫一皤一m 。 则有以下定理： 定理2 问题f e ) 在反射情形之二：当c = 3 6 2 口且s i n 口= o ，s i n = o 时，相应 的渐近迹公式为： 五0 ，一【硝】2 + 喜阮十五一。+ 五j + a 一。7 + 毋 = e + 。( 专) - 其中薛与只的选取同上。 第三种情形s i n 口= o ，s i n 芦o 令 j c 。s 口味妒( ，；c “6 ) + “训一；岔( 州= e ， ：c 。s 叫b ( 妒啾6 ) 1 + ；g ( 奶= 只， 一；c 。s 口s i n = 爵， 一七= 疋， 蜗s i n 卢一媚c o s 防= f ，蝎s j n 一馅c o s 盯= e ， ( 马c o s a 一最s i n ) + 柚j ( = e ， ( e s i 一致c o s 口) 一盘玩e = 己， ，。= ；( 卅十e ) ，2 = ；( 以一_ ) ，厶= ；( 芝一4 ) ，如= ；( 三：+ 硅) 其它字符同前设置，则 州z ) = 瑶( 即。s l s + 疋c 。s 调十( 小i n s + j r 2 s i n 啁 + 壶( 厶c 。s s + 厶c 峨跗d ( 旷如 设4 ，口l r ，记巧( s ) = 4 c o s q s ，f = l ，2 。 命题4 若4 1 4 i ，q k i 则： ( 1 ) f ( s ) = 互( s ) + e ( s ) 的零点必为实数； ( 2 ) ，( s ) 在每一( ，+ 。) 中有且仅有一个零点，其中= 脚州q ； ( 3 ) ，( s ) 的第”个正零点s 可表为：s = 伽+ ；+ 皖沙口l ，| 皖i j 如i 得 爿1 2c o s 2 i 盯 4 2c o s 2 呸仃闩爿1 2 s i n 2d l 盯 4 2 s i n 2 口2 盯 相加后：爿。2 42 即4 1 4 i 相矛盾 故f ( s ) 的零点必为实数 ( 2 ) 设矩形闭回路g 的四顶点为f 。! j f ，o = 聊，取r 充分大使 一i 一 ，一l c 慨7 1 西葡j 即曲n r j e ( s ) i ，v s ee 事实上， f 鼻( 疗+ f 砷| _ 一i c 2 q f s i n 2 d l 仃 i 吒( 盯十f f ) j = 1 4 i c 2 口：f s i n 2 吒仃 一， 幽吒f l 4 l c q r l 存e 的两条竖线上盯= f ，： ”+ j 2 i 峨( 印f 4f c q r f = k ( s ) f ( 因为s i n q 盯= s j n o + ；弦：o ) 在e 的两条横线上r = r 上，由7 的定义： l e ( s ) i 1 日2 ，则： g ( s ) 的零点有渐近式s + = m + ；+ 皖+ d ( ；) 】矗，l 哦l = o 碍f 取矩形遛路e 四顶点。( 1 “) ，2 坍州t ，易证：南2 d ( 1 ) 令喘( 五) = 霹( 碍+ 琏c 0 8 匕s ) ， 相应的零点一2 【( 2 一“炳一a r c c o s 筹】! ，”= o ，+ l ，垃， 令： 职1 = 箍考，孵2 = 诼夤南，疗= 。出，垃， 、，一 2 厶耳一三巧一厶 “”一面 萨i - 研= _ z 暇】2 + 孵1 + 川2 + 3 3 ， q 去。寺鼍- 由留数理论经简单运算得定理： 定理6 问题( f ) 在折射情形：当6 + c 一2 口= o 邑s i n = o ，s i n 口o 时，相应的 渐近迹公式为： 九+ 萎( 屯+ 丑”+ 嘏) = q 3 + o ( 专) 其中暖与q 的选取同上。 ( i i ) 当n 芝：即2 d 6 + c 时 令： + + 矿= 耳，7 = 2 口一6 一c = 叫， 可限定参数 ，七r 且使得吃 m 与碍 旧l 同时成立 烈丑) = 一+ 烈妒7 ( 口) + ，( 口) 妒( 日) = 一瓯 硝s i n q 台+ s i n t s j + c lc o s 台+ c ；c o s 眨s 一吉 d ls i n s d 2s i n 吒s 十d 日s l 。2e j 4 1 ) 令哝( 皇一磊j ( 耳s i n 台+ 碍s i n 吒s ) ， 取矩形迪路e ，四顶点，士( ：。) f 丁，r r 其中= 聊r 2 蝴z 知，高2 际燕习一o c 玑妣 下面考虑特殊情况( f ) 问题的迹： 当吩= 2 即6 = 4 一3 c 时 ，( s ) 皇s i n 和( 2 矸c o s s + ) ，相应的零点 一2 等，一州z ”+ 弦一a r c c 。s 簧，一一o ，扎虼 令： 牡去群糕_ 3 去鬃专删圳总 爿，：去黑糕击， 。= 1 皿 ”_ z 2 耳( 1 ) ”+ 霹】2 【一1 ” 1 一 p14。鼍鬻2cg一2耳gx4碍2一耳“疗：。，。，挖， 。舻【c 2 阿2 _ 2 哟一c i 椭2 ) 寿专 业毗豆i 黜 q 张竖黑生和 ，塑咖 一矸蹦 器 牡嚆蔫麓等，击哦去， 删埘瑚， “ 岛2 碍2 ( 4 碍2 一耳2 ) 2 【一】2 ” 】2 耻去。鬻，耻云，糍， 爿2 去+ 掐 ( c i + c 2 ) ( 即8 耽- 3 ( c l “c 2 ) 】， 石皇巧1 + 霹+ 刀1 一刁2 一日4 一爿5 + 暑。 珑皇t 一】2 一【7 2 - 【矿。 2 2 爿1 一爿2 + 碟+ 2 爿+ 爿4 + 础+ 爿5 + 碟一2 日。， 由留数理论经简单运算得定理： 定理7 问题( f ) 在折射情形：当6 = 4 口一3 c 且s i n a o ，s i n 声o 时，相应的渐 近迹公式为： 凡+ “一【】2 十善( 丸+ 卫”+ “+ 量+ 矾) 。墨+ o ( 专) 其中珑与互的选取同上。 当s i n 睇= o 且s i n = o 时 烈旯) = 譬( 碍s i n s + s i nr 2 s ) + 壶( q s s + ：c 。s 吒s ) 一古( 删n s 一 s i n 栅十唰h ) 取围道g ：( 2 。) 士f ，r 瓞，其中= m 州2 t 腼晒南删， p i 令铭( 五) 2 詈( 矸s i n s + 巧s j n 吒 仍考虑特殊情况r 2 = 2 时的迹， f i 约化( 丑) = 鲁s i n l s ( 矸十2 砭c 0 8 t s ) ，相应零点 。等， 一= 1 ，盟，- 【( z ”+ 1 ) 万一a r c c 。s 篆 ， ”= 。，1 ，+ 2 ， 疗= 士l ，垃， 乒去辩专 ”啦l 蜢 牡