（计算数学专业论文）空间曲线几何hermite插值问题的研究.pdf

空间曲线几何h e r m i t e 插值问题的研究 摘要 曲线插值问题是c a g d 中一类基本问题，对于参数曲线，实际应用 中不但要求插值个有序点列，而且要插值这些点处的若干阶导数。古典 的h e r m i t e 插值可以获得具有高阶精度的参数曲线。但其计算量大且要求 参数高阶连续，而实际应用一般满足几何连续就能够达到很好的插值效 果。针对这些问题，提出了一种新的插值方法一一几何h e r m i t e 插值 ( g e o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ) ( g h i ) 。g h i 在几何造型系统中有着 广泛的应用，目前已经有很多的学者对g h i 问题进行了研究，但大部分的 文章只研究的是平面曲线，很少涉及到空间曲线。 本文首先介绍了平面曲线几何h e r m i t e 插值的几种方法：( 1 ) 通过解一个 整体的线性方程组来解决平面曲线的几何h e r m i t e 插值问题。( 2 ) 介绍d e b o o r 经典的用b 6 z i e r 曲线求解的方法。( 3 ) 介绍利用b 样条求解的方法。 随后构造了一条具有三个自由参数的四次b 样条曲线，在给定空间曲 线两个端点的位置、切向量、曲率向量和挠率的情况下，对这条曲线进行 几何h e r m i t e 插值，并证明了插值问题的解是局部存在的且具有5 阶的逼 近度。 最后本文采用不同的基函数构造了一条具有三个自由参数的三次b 样 条曲线，对空间曲线进行插值，并证明了插值问题的解是局部存在的且能 够得到和四次b 样条曲线相同的插值效果，具有5 阶的逼近度。 关键字：空间曲线；h e r m i t e 插值；样条；逼近阶 r e s e a r c ho nt h ep r o b l e mo fg e o m e t r i ch e r m i t e i n t e r p o l a t i o nf o rs p a t i a lc u r v e s a b s t r a c t t h ei n t e r p o l a t i o no fc u r v e si sab a s i c c l a s so fp r o b l e m si nc a g d f o r p a r a m e t r i cc u r v e s ，i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，i t i s r e q u i r e dn o to n l y t o i n t e r p o l a t eas e q u e n c eo fp o i n t s ，b u ta l s ot oi n t e r p o l a t em u l t i o r d e rd e r i v a t i v e o ft h e s ep o i n t s i ng e n e r a l ，t h ei n t e r p o l a t i n gc u r v ew i t hg e o m e t r i cc o n t i n u i t y c a na l s og e tg o o dr e s u l t s t os o l v et h e s ep r o b l e m s ，an e wi n t e r p o l a t i o nm e t h o d i sp r o p o s e d g e o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ( g h i ) g h ih a saw i d er a n g eo f a p p l i c a t i o n s i nt h eg e o m e t r i cm o d e l i n gs y s t e m t h e r ea r ea l r e a d ym a n y s c h o l a r sw h oh a v es t u d i e dt h eg h ip r o b l e m s ，b u tt h e yj u s ts t u d i e dp l a n a r c u r v e s ，r a r e l ys t u d i e ds p a c e c u r v e s i nt h i st h e s i s ，w ef i r s td e s c r i b es e v e r a lm e t h o d so fg h ip r o b l e mo fp l a n a r c u r v e s ：( 1 ) f i n das o l u t i o no fas y s t e mo fl i n e a re q u a t i o n st os o l v et h eg h i p r o b l e mo fp l a n a rc u r v e s ( 2 ) i n t r o d u c ec l a s s i c a lm e t h o du s i n gb 6 z i e r c u r v e sb y d eb o o r ( 3 ) d e s c r i b et h eg h ip r o b l e mo fp l a n a rc u r v e su s i n gb s p l i n em e t h o d f u r t h e r m o r e ，w ec o n s t r u c t e dap a r a m e t r i cq u a r t i cb s p l i n ec u r v ew h i c h i n t e r p o l a t e sag i v e ns p e c i a lc u r v e ，w h o s ep o s i t i o n ，t a n g e n td i r e c t i o n ，c u r v a t u r e v e c t o ra n dt o r s i o na r ep r e s c r i b e da te a c he n d p o i n t m o r e o v e r ，i ti ss h o w nt h a t u n d e ra p p r o p r i a t ea s s u m p t i o n st h ei n t e r p o l a t i o ne x i s t sl o c a l l yw i t ht h r e ef r e e v a r i a b l e sa n dt h e5 t ho r d e ra c c u r a c y a tl a s t w ec o n s t r u c t e dap a r a m e t r i cc u b i cb s p l i n ec u r v ew i t ht h r e ef r e e v a r i a b l e sb yd i f f e r e n ts e q u e n c eo fn o d e st oi n t e r p o l a t es p a c ec u r v e i ti s p r o v e dt h a tt h es o l u t i o no ft h ei n t e r p o l a t i o np r o b l e me x i s t sl o c a l l y ，a n dg e t s t h es a m er e s u l t sa st h eq u a r t i cb - s p l i n ec u r v e b e s i d e s ，t h ei n t e r p o l a t i o ni s a 1s o5 t ho r d e ra c c u r a t e k e y w o r d s ：s p a c ec u r v e ；h e r m i t ei n t e r p o l a t i o n ；s p l i n e ；a p p r o x i m a t i o n 图表目录 图2 1 三次曲线段的b 6 z i e r 控制多边形10 图2 2方程组( 2 2 8 ) 的正解1 l 图2 3两段二次样条曲线1 2 图3 1四次曲线误差2 1 图3 2四次曲率误差2 l 图3 3四次挠率误差2 2 图3 1三次曲线误差2 8 图3 2 三次曲率误差2 9 图3 3 三次挠率误差2 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金目墨互些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：历韵签字日期：动湃中月? 朗 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒蟹王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金b 墨王些太 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名： 历莉j 导师签名： 猩力五 签字日期：勿矽年牛月昭日签字日期：知，- ，年吁月留日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 致谢 时光如梭，研究生生活即将结束，回首两年多的修业历程，我要对那 些引导我、勉励我、帮助我的人，表示衷心的感谢。 首先，要衷心的感谢我的导师檀结庆教授，感谢檀老师在我攻读硕士 的三年时间里对我的谆谆教导。在学业上，无论是课程的学习，还是论文 的选题和论文的成稿，都得到了檀老师的悉心指导。在生活和思想上，檀 老师给予我无微不至的关怀。檀老师敏锐的科学洞察力、渊博的知识、严 谨的治学作风和豁达的处世之道给我留下了深刻的印象，并将成为我以后 学习和工作中的楷模。 还要感谢朱功勤教授、林京教授、邬弘毅教授、苏化明教授、唐烁教 授、黄有度教授、朱晓临教授、郭清伟副教授和江平副教授，各位老师在 我学习的阶段传道、授业、解惑，他们渊博的知识和高尚的师德都给我留 下了深刻的印象! 衷心的感谢各位老师。 感谢我的各位师兄师姐的关心与帮助。感谢计算数学专业的全体同学， 大家共同学习和成长，一起度过了令人难忘的两年多时光。 最后，感谢我的家人在我研究生学习阶段对我生活上的帮助和精神上 的支持，正是有了家人的无私帮助和奉献，才能让我全身心的投入到学习 当中。 作者：历莉 2 0 10 年3 月 第一章绪论 1 1c a g d 中曲线造型的研究背景 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简写为c a g d ) 是涉及计算机科学和数学的一门新兴的边缘学科，主要研究在计算机的图像系 统环境下对曲线曲面信息的表示、逼近、分析和综合。虽然c a g d 所用的很多 理论工具可以追溯到百年以前，但是这门新学科的雏形却形成于二十世纪六十 年代末期。现在c a g d 与代数几何、逼近论、数值分析、微分方程等数学的多 个分支以及计算机图形学、几何造型【l q j 、外形检测和数控技术等边缘学科广泛 结合。随着计算机科学技术的不断发展，c a g d 的应用从飞机，船舶，汽车设 计，扩展到计算机视觉、动画制作、军事作战模型、地形外貌、多媒体技术等 领域，越来越广泛的渗透到社会生活的各方面。 曲线曲面造型是计算机辅助几何设计( c a g d ) 的一项重要内容，主要研 究在计算机的图像系统环境下对曲线曲面表示、设计、显示和分析。其研究的 主要问题是如何使用计算机表示，这要满足两点：一是既适合计算机处理又能 有效地满足形状表示与几何设计要求，二是找到一种便于形状信息传递和产品 数据交换的形状描述的数学方法。( 文献 5 】) 在1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的f e r g u s o n t 6 j 提出了用参数的矢函数方法表 示曲线曲面，引入了参数三次曲线。当用参数多项式构造插值的时候，可以采 用不同的基函数，这样通过不同的基函数构造的曲线具有不同的优缺点。 f e r g u s o n 还根据四个角点的位置矢量和两个方向的切矢构造了双三次曲面片， 因而使得曲线曲面的参数化形式成为形状数学的标准形式。1 9 6 4 年美国麻省理 工学院的c o o n s 提出了自由型曲面设计方法之一的c o o n s 方法，在当时被广泛 的应用于c a d c a m 中。c o o n s 方法理论严密，描述能力强，对自由曲面造型 技术的发展具有十分深远的意义。1 9 4 6 年s c h o e n b e r 9 1 7 j 提出了样条函数方法， 将其与曲线、曲面的参数表示方法相结合，就可构造参数样条，它可以解决插 值问题，特别对构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线曲面很方便，因此能 够解决许多实际生产问题，在航空、船舶中有很多的应用。但这种方法不存在 进行局部形状调整的自由度，而且样条曲面的形状难以预测。l9 7 1 年法国雷诺 汽车公司的工程师b 6 z i e r 提出一种由控制多边形设计曲线的新方法，这种方法 简单易用，并且改善了样条函数方法上的不足，使用户能够很方便地实现曲线 形状的修改。这推进了曲线曲面的设计的发展，为曲线曲面造型的进一步发展 奠定了坚实的基础。但b 6 z i e r 方法仍然存在问题。当曲线或曲面的形状复杂时， 需要增加特征多边形的顶点个数，从而使曲线或曲面的次数增高。而且b 6 z i e r 曲线与定义它的控制多边形相距很远，改变特征多边形的某一个顶点将影响整 条曲线。到了七十年代，d e b o o r 的一系列工作建立了有关b 样条比较完善的 理论，使得b 样条在“初等函数 中占有重要地位。b 样条方法继承了b 6 z i e r 方法的所有优点，克服了b 6 z i e r 方法存在的缺点，比较成功地解决了局部控制 问题，又轻松地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而较成功的解决了自 由型曲线曲面形状的描述问题。另外，b 样条函数具有很多优秀的性质。b 样 条曲线或曲面由于具有形状局部可调性和连续阶可调性，从而逐步成为几何造 型方面的核心技术。并且在许多的生产实际领域都得到了广泛的应用。 1 2 本文研究的背景 在曲线曲面的构造过程中，通常是利用已知点的函数值及导数值来构造插 值函数，实现对原图形的逼近。由文献【8 】可知函数的插值与逼近理论主要研究 的是如何运用某些给定的信息，使得某个比较复杂的函数厂( x ) ( 已知或未知) 可以用较简单的函数p ( x ) 表示，并且二者在某种意义下的偏差满足一定的要求。 长期以来，提出了很多插值方法，像经典的l a g r a n g e 插值、n e w t o n 插值、 h e r m i t e 插值等。但这些方法都属于多项式插值。多项式是最简单的一种解析 函数。解析函数是无穷阶光滑的并且具有“解析延拓”性质，即函数在局部小 范围内的性质可以完全决定其整体大范围的性质。可以严格证明，这类解析延 拓是不稳定的，任何局部小范围出现的微小误差都能引起大范围结果的显著变 化。解析函数在分析上的这个突出优点恰好是它用于计算时的致命弱点，在实 际计算中是最忌讳这种牵一发而动全身的不稳定现象。所以要避免采用高次多 项式插值。 既然不可以用提高插值阶的方法来减小误差，那么就只能通过缩小插值区 间的办法达到减小误差的目的了，这就需要采用分段低次多项式插值。这样做 既能放宽对于被插函数收敛性的要求，容易满足给定的误差要求，又能保证计 算的稳定。 最简单的分段多项式插值函数是折线函数，它是由相邻型值点之间连直线 段构成的。在有些实际问题中分段线性插值显得不够准确，有时为了达到预定 的精度会引起分段数过多，引起指代过长。为此在数控加工和数据平滑中常采 用分段抛物线插值。但这都是基于只给定节点处函数值的插值方法，有时不仅 需要已知给定节点处的函数值，而且还要求已知若干阶导数，这类插值方法通 常要用h e r m i t e 插值。 例如文献 8 中有以下h e r m i t e 插值的定义，给定节点处的函数值与一阶导 数值 h ( x i ) = y ，h ( x ，) = y ：( ，= 0 ，1 ，疗) ( 1 1 ) 不难看出，满足上述插值条件的单一插值多项式的最低次数为2 刀+ 1 次，且可唯 一表示成 h ( x ) = e y ，a ，( x ) + j ，：召，( x ) ， ( 1 2 ) 2 其中 - c x ，：f 一二w c x x ) 7 ( x - 。) 1 亏c x ， 勺。卜l 卜一。伊l b ( 工) = ( x - x ) g ( 工) 似) 2 赫， 以x ) = i 理= u 一_ ) - ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 高次h e r m i t e 插值多项式在稳定性、收敛性等方面也存在着本质困难。因 此，在实际应用中常用到分段低次的h e r m i t e 插值。 经典的h e r m i t e 插值可以获得具有高阶精度的参数曲线。但其计算量大且 要求参数高阶连续，而实际应用一般满足几何连续就能够达到很好的插值效果。 针对这些问题，提出了一种新的插值方法一几何h e r m i t e 插值( g e o m e t r i c h e r m i t e i n t e r p o l a t i o n ) ( g h i ) 。g h i 不仅在几何造型系统中有着广泛的应用， 而且在工程设计中也得到应用，例如地图绘制中的曲线处理、铁路设计中的曲 线段光滑拼接等。目前已经有很多的学者对g h i 问题进行了研究。d e g e n t g l 总 结了近年来平面g h i 问题的部分成果，提出了解决这类问题的一般方法，并且 对导出的非线性方程组进行了求解。d eb o o r t l 0 】在19 8 7 年的论文中首次运用了 平面三次b 6 z i e r 曲线考虑平面g h i 问题，大大改进了传统的解整个线性方程组 的解法，使逼近阶达到了6 阶。h 6 1 1 i g 】给出了n 次插值曲线的逼近度推测结论， 并用二次b 样条解平面g h i 问题。随后r e i f 1 2 j 研究了平面g h i 曲线的解的局 部存在性问题。 除了这些研究平面曲线g h i 的求解问题，还有很多学者研究了h e r m i t e 插 值曲线的形状问题。方逵t 3 1 幂u 用三次b 6 z i e r 曲线段研究了几何h e r m i t e 插值曲 线的保形问题。f a r i n l l 4 构造了一条有理三次曲线，并且用曲率的变化函数评价 曲线的形状。根据实际应用的需要，很多形状可调的插值曲线也应运而生。方 逵【1 5 】给出了一条分段五次的g c 2h e r m i t e 插值曲线，每段曲线都可以进行独立修 改。文献f l6 】结合工程制图人员得到的一些经验数据，在给定的条件下构造了 条形状较好的三次曲线。为了便于几何图形的设计，许多人开始研究具有某 种最优的曲线形状。文献 17 】通过引入节点，构造了一类形状可调的三次几何 h e r m i t e 插值曲线，并指出满足应变能最小的参数取值公式。文献 18 通过最优 化端点的切矢的模长，得到应变能最小的插值曲线，这样的曲线满足几何连续， 具有很多优秀的性质。文献【1 9 构造了曲率变化率最小的几何h e r m i t e 插值曲 线，这种方法和构造最小应变能曲线的方法可以互相补充，在整个切矢角的区 域上能够达到满意的效果。由于几何h e r m i t e 插值具有计算简单，应用方便的 优点，许多学者将其应用到了其它多种领域【2 0 。2 3 】 遗憾的是以上这些插值都只限于平面上，而实际应用中需要的不仅仅是平 面曲线，更多的是空间曲线。因此，对空间曲线进行研究具有十分重要的意义。 h 6 1 1 i g t t m 通过附加了一个点，构造了空间g h i 问题的三次b 6 z i e r 插值曲线，并 详细讨论了其逼近阶。文献【2 5 用四次b 6 z i e r 曲线解决了空间曲线g h i 插值问 题，即插值于给定曲线的两端点、切向量和曲率向量。文献【2 6 用三次b 样条 插值给定两端点、切向量和曲率向量的空间曲线。文献 2 7 2 8 1 用不同的方法构 造了五次的b 6 z i e r 插值曲线，不仅插值于给定两端点、相应的切向量和曲率向 量，还插值相应的挠率。 本文主要根据实际应用的要求，在已有研究成果的基础之上，针对其不足， 提出了利用较低次数的b 样条曲线进行几何h e r m i t e 插值的方法，并证明了其 解得存在性，讨论了它们的逼近阶。该方法不仅降低了插值曲线的次数，而且 由实验可知得到了很好的插值结果。 本文的安排如下： 第一章回顾了c a g d 中曲线造型的发展过程，对h e r m i t e 插值问题进行介 绍，给出了本文的研究背景。 第二章详细介绍了平面曲线几何h e r m i t e 插值的三种常用方法，给出了三 种方法的重要结论。 第三章研究空间曲线几何h e r m i t e 插值问题，构造了带三个自由参数的四 次b 样条曲线，对给定插值条件的空间曲线段进行插值，利用弧 长参数证明了插值曲线解是局部存在的。最后证明了曲线的逼近 阶并给出了实例的误差图。 第四章利用不同的节点序列构造了带三个自由参数的三次b 样条插值曲 线，可以证明该曲线的解也是局部存在的，并且可以达到与前面 构造的四次b 样条相同的逼近效果，也给出了实例的误差图。 第五章总结与展望。首先对全文的内容和意义进行了总结，然后对今后 进一步的研究工作进行了展望。 4 第二章平面曲线的几何h e r m i t e 插值方法 2 1 平面曲线几何h e r m i t e 插值的定义 为了研究平面曲线的几何h e r m i t e 问题，首先要给出两条曲线几何连续的 定义： 定义2 1 1 【9 】：两条参数曲线 x ：i 专r d y ：i - - 9 , r d ( 其中i = 【t ot 。】cr ，i = 【s 0s 。】cr ，t o f 。，s o 0 ( 2 8 ) 由此可知，矩阵t 是下左三角矩阵，l ，死，1 2 ，升是其对角线元素。又由保型 条件可得荔 0 对所有的f ( 1 m ) 成立，故邻接矩阵丁是正则的。 ( 2 8 ) 式中的符号“d 表示多项式p 关于变量矽。，矽2 ，九的微分算子， 其定义为 + 卯= 妻暑川 c 29i 。，+ d 尸= 争川( ) j = tvy 其中矽，表示( 局部的) 再参数化函数 f = 矽( s )( 2 1 0 ) 对s ，的第- 阶导数值( 把墨的邻域映射为的邻域) 。 综上可得： 引理2 ：2 1 9 1 ；t 的元素乙。，是关于变量织，矽2 ，丸的多元多项式。而且， 6 对于七的每一项，即为变量矽，矽，幂的乘积形式，这些变量的下标与指数的 乘积之和为k 由上述可知，求解邻接矩阵r 的问题可以转化为求谚 2 2 1 一个插值点的g h i 问题 对( 2 2 ) 式，当取m = l 时，表示只插值一个给定点f l ( 省略下标f ) 。对于 次数为，2 的逼近，可以要求其连续阶为k = 2 n l ，这样逼近阶可以达到2 刀，用“ 代替，且令s o = 0 插值点为 a o = x ( t o ) = b o ( 2 1 1 ) 当矽，欢，矽：川已知时可以确定唯一的逼近曲线l 。 接下来我们将利用前面的知识来求解识，丸，：川。 由给定的曲线f 可推出a o ，a l ，a 2 n _ l ，因为任何没有拐点的平面参数化c 3 曲线段都满足下面形式的微分方程 x 胛= a x + b x ” ( 2 1 2 ) 其中矗和b 是关于t 的函数。定义 墨：= f b u 3 d t( 2 1 3 ) ， 为“仿射弧长”。若选仿射弧长为参数，则( 2 1 2 ) 式变为 x ”= 烈 ( 2 1 4 ) ( b 等于零) ，剩下的a 值叫做“仿射曲率”。 我们可以选a 。，a ，作为基向量，再利用( 2 1 4 ) 和类似的方程代换，逐次 求导可得a 0 , a 3 , - - , a 2 n l 。这样得到2 ( n - 1 ) 个关于未知量么，欢，痧2 川的条件。 由引理2 2 1 知其中一个未知量是多余的，故条件数与基本未知量个数相同，但 这些条件是严格非线性的。 解方程( 2 6 ) 可得：前刀+ 1 个方程左边为向量b o ，b b 。，剩下的方程， 即从第f = g + 1 到2 ，z 一1 个方程，它们的左边都等于q ，故可将它们作为未知量 么，矽：，丸川的条件。由公式( 2 7 ) 推得 f 1 = i ( 2 1 5 ) 且这些未知量既不在前k ( r 2( 2 2 3 ) 找到一条曲线在给定的单调递增节点序列t i 处插值f ( ) 和f ( f ，) 。这种插值计算 简单，但在般情况下，仅仅是c 1 连续。但是要构造二阶连续可微的三次样条 插值通常要解一个整体的线性方程组，这样就增加了计算的复杂性。 文献 10 中给出了一种简单的方法，通过这种方法，得到的插值曲线不仅 9 一严 扩瓦 业肌巫锄 一q 3 2 = r 曲率连续，而且可以达到高阶逼近。此方法的构造是基于c 2 连续的几何特性。 下面详细的介绍该方法。 c 2 一条件：记a xb ：= a l b 2 一啦6 l 表示r 2 中两个向量的内积。若满足单位切向 量f ：- - f f 7 i 和带符号的曲率向量f ”= f x f l f 1 3 连续，则平面曲线f 是二次连续 可微的。 由连续性条件可知，平面曲线f 的几何h e r m i t e 插值曲线p ：= p f 需满足条 件： p ( i ) = f ；，p ( f ) = d i ，p “( f ) = k j ( 2 2 4 ) 其中f ；：= f ( ) ，d i 一f ( ) ，k i f ) ，且在每个参数区间【f ，f + 1 】上p 是三次 多项式。这种方法的思想来源于s a b i n 【3 3 1 ，其用相同的方法构造了c 1 连续的插值 曲面，后来m a n n i n g 蚓和b i i r t 3 5 1 又用曲率值描述了这种插值方法，但他们的方法 涉及到解一个整体的非线性方程组。 由此方法的定义显然可知，分段多项式曲线p 是二阶连续可微的，并且p 可 以由两个连续节点的相应值直接计算而得。例如，考虑p l 【o ，1 】，这种情况使用 b e z i e r 曲线形式是最好的( 见图1 ) ( 文献 3 6 】) ： f p o ) = ：b i b _ f ( t ) ，0 f 1 ( 2 2 5 ) 其中曰，( f ) ：= 啡，( 1 一矿7 。 由插值条件得： 且 c 人 ， ， 6 3 b o = f o 图2 1 三次曲线段的b 6 z i e r 控制多边形 b o = f o ， b 3 = f l ， l o ( 2 2 6 ) k o = 2 d o x ( b 2 一b i ) 1 0 6 b ，k l = 2 d l x ( b l b 2 ) ( 3 砰) ( 2 2 7 ) 这可由定义验证。用( 一f 0 ) 一磊d o 一磊d 。代替b 2 - b l 且令a ：- f i f o ，得到关于万的 二次方程组： ( d ox d i ) 8 02 ( a x d l ) 一( 3 2 ) 一簟， ( 2 2 8 ) ( d o d 1 ) 4 = ( d o a ) 一( 3 2 ) 瑟 遗憾的是，点 0 时这个方程组并不是一直有解。图2 说明方程组有不唯一的正 解。但是，若数据是“一致的”，则存在正的解且易进行数值计算。由下面的定 理可知此方法具有非常好的性质。 图2 2方程组( 2 2 8 ) 的正解 定理2 3 1 【1o 】：若f 是一条光滑曲线，其曲率不为零，且 h ：= s u p l f , 4 l j 是充分小的，则方程组( 2 2 8 ) 有正的解且相应的插值曲线满足 d i s t ( f ，p f ) = o ( h o ) 这是对线性插值的显著改进。但这种方法存在两个缺点：( 1 ) 即使对很小的 h ，插值曲线也不唯一。根据前面的分析，这种情况下，对任意满足( 2 2 8 ) 的 解进行插值，上述定理也成立。( 2 ) 曲率必须是正的。若f ( f ) = 0 ，对一些f 成立， 则在这些点处的逼近阶可能降到普通的情况0 ( 向4 ) 。 解得存在性和逼近阶的证明过程可参考文献【lo 】 2 4 构造b 样条函数的插值法 文献 11 】给出平面上用二次样条进行几何h e r m i t e 插值的方法。详细内容如 卜： 因为几何h e r m i t e 插值p 是一个局部插值，必须构造两个曲率连续的线段 与给定的平面曲线匹配，在端点达到二阶连续。可把p 表示为b 样条的线性组 合形式： 【o ，l 】，专p ( r ) = b j 哆，。( f ) ( 2 2 9 ) 其节点序列为 甜= 【o 00zz1 1 l 】， 插值条件为 细一蹦一嘴铲小叫， 眨3 其中五，毛，表示给定点，相应的单位切向量和曲率向量。记x xy = x 。y 2 一恐m 是 口2 上带符号的矢量积。因为二次g h i 是曲率连续的，它不能有任何拐点，故假 设 0 和z o q 0 ，可以推出由b 样条的系数岛组成的控制多边形是凸的。 图2 3 两段二次样条曲线( 艿= 气占l ，厶= 2 k o 群( 媚) ，反= ( 7 7 占1 ) 8 ， 五= 2 k l 屈2 ( s p o ) ，屈= ( 占o , 7 ) a ) 从图2 3 可以明显看出，控制点岛由五和& 的值决定，若仅假设曲线是切矢 连续的，可转化为由三个标量参数x ，y ，z ( 0 ，1 ) 决定。这三个参数都可以根据端 点处的曲率兢插值和两段曲线在连接点处的曲率连续性求解。由图2 3 中的记号 可知，相应的插值条件可以表示成非常简单的形式。下面用b 6 z i e r 控制点决定 的三角形面积表示曲率，且使该三角形面积与控制点b o ，良，a 决定的大三角形 面积相关，例如： k o = ( b 。，b ，b ：) l i b l - b 。| 1 3 = x ( 1 - y ) z l j b i - b 。f | 3 ( 2 3 1 ) 同理，可得参数万和屈的公式： 6 = 2 x y a ( 1 l b 。- b 。i i i i b 。一b ，i i ) ， 属= 2 y a ( 8l i b - b ，l | ) ， ( 2 3 2 ) 屈= 2 x a 。( al l b 。- b 。i i ) 通过一些基本代数变换可以得到多项式方程组： 旯o x2 = ( 1 一y ) z ， 允l y 2 = ( 1 一x ) o z ) ， ( 2 3 3 ) x ( 1 一y ) o z ) 2 = ( 1 一x ) y z 2 其中前两个方程等价于在端点处进行曲率插值。第三个方程表示两段曲线连接 点处曲率连续。解方程组( 2 3 3 ) 可得： 定理2 4 1 【1 1 】：插值问题( 2 3 0 ) 是唯一可解的当且仅当( ，r ，) ( 0 ，c o ) x ( o ，c i ) u ( c o ，o o ) ( q ，o o ) ，且c 。= 筇。( 2 f 1 0 2 ) 和c 。= 筇。( 2 所) 。 定理2 4 2 t + 1 1 ：对任意的光滑曲线，当曲率不等于o 时，存在日 o ，使得h h ； 插值问题( 2 3 0 ) 有唯一的解，g h i 的逼近阶为4 阶。 解的存在性的证明过程详见文献【1 2 】，逼近阶的证明见文献【“】 2 5 平面曲线的有理g h i 问题 亦有学者就有理多项式插值的情况进行的研究。文献 3 7 研究了圆锥曲线 的一点插值情况，s c h a b a k 3 s l 中讨论了插值曲线段的端点和端点处的切向量，还 插值曲线中另外一个点，并证明了有理插值的一般逼近阶为3 行一1 。文献【3 9 1 研 究了用增加一个自由度的方法代替增加插值点的方法，并在整个区间得到二阶 g 2 样条。文献【4 0 】研究了两点的有理曲线插值。文献【4 1 用有理三次b 6 z i e r 曲 线研究了平面g h i 问题。但这些大多都要解一个整体的线性方程组，计算比较 复杂。所以有理的情况研究的相对较少。 第三章基于四次b 样条的空间曲线几何h e r m i t e 插值 对于空间曲线来说，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以研究空间曲线只有 曲率的概念是不够的，还要有刻画曲线扭转程度的量一一挠率。 本章采用四次b 样条曲线解决满足条件( 牢) ：插值两端点、切方向、曲率 向量和挠率的几何h e r m i t e 插值问题，即t g h i ( t r i p l eg e o m e t r i ch e r m i t e i n t e r p o l a t i o n ) 问题。 给定曲线r - - - r ( f ) ，f 【o ，h 】，本章要解决的问题是：给定r = r ( f ) ，f 【o ，h 】f h j 线上的两点r ( o ) 和r ( h ) ，且已知 ( 1 ) d o 和d 1 分别是两点r ( 0 ) 和r ( h ) 处的单位切向量。 ( 2 ) k o 和k 1 分别是两点r ( o ) 和r ( 办) 处的曲率向量。 ( 3 ) r o 和f 1 分别是两点r ( 0 ) 和r ( h ) 处的挠率。 气 构造一条分段四次b 样条曲线b ( f ) = b i n i , 4 ( t ) ，f 【o ，1 】，使其满足插值于挠率的 i = 0 g h i h - j 题。其中 b i ) 表示控制点， 讲( f ) 表示定义于节点u - - o ，0 ，0 ，0 ，0 ，z ，1 ，1 ，1 ，1 ，1 ， z 【o ，1 】上的b 样条基函数。 3 1 建立插值 为了讨论方便，先给出下面引理。 引理3 1 1 1 2 5 1 ：设a ，b ，x r 3 ，且l a l = 1 ，则方程a x x = b 有解当且仅当a b = 0 ， 此时方程的全部解为x = m a + b a ，v m r 。 设b o = r ( o ) ，b 5 = r ( 办) ，记a b i _ b i + l - b i