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y 6 5 4 1 7 3 一类非线性投影方程解的存在性及 扰动迭代算法 专业: 应用数学 研究生:李秋敏指导教师:黄南京教授 摘要: 众所周之， h i lb e rt 空间中闭凸 集上的 变分不等式问题， 可 以 转化为一个投影方程的求解问 题. 最近， z h a o和s u n 引入并研究 了一类非线性投影方程， 木文的目 的是讨论一类更广泛的非线性投影 方程， 这类问题包含许多经典变分不等式， 隐拟变分不等式， 广义隐 拟变分不等式作为特例.我们讨论此类非线性投影方程的解的存在 性，和求解此类方程的扰动迭代算法及其收敛性分析. 我们得到了下述结果: 定理 a设h是一实h i l b e rt空间，k: h- - 2 是一个集值映 象， 使得 对任一x 6 h , k ( x ) 为h的 非空闭 凸 子 集 设h , g , t h - h为 三 个 l ip s c h itz 连 续 映 象 ， 常 数 分 别 为几， 凡， 八， 且 h 是 强 单 调的 ，t 关 于g 是 强 单 调 的 ， 常 数 分 别 为a 。 和a . 假定 存 在 常数b 0 ，使得 则当 il p , z 一 p k (y )z l卜 b iix 一 y 1i, b x , y , z e h ， 一 rl n f b z r r 一 (l 一 。 ) 2 , 。 一 v i - 2 a , 0 : h - a 2 是一个集值映象，使得对任一x h， h(x设 存在唯一解. 算法 b k ( x ) 为h的 非 空闭 凸 子 集. t , g , h : h- h. 对 任 意 给 定 的x . e h 定义扰动迭代序列如下: = ( 1 一 a ) x n + a y 一 h ( y ) + p k (, , ,( g ( y n ) 一 p t y n ) + - e . = ( 1 一 q n ) x r + a x一 h ( x ) + 气二 。 ) ( g ( x ) 一 p t x ) + ,8 , f , , 其 中 ， 介 。 ， 几 为h中 的 序 列， 恤 。 ) 和风 为 0 , 1 中 的 实 数 列 ， 满足以下条件: 0 5 a n , ,8 n 5 1 ， v tt _ 0 ， 艺a n 二 。 . n = 0 定 理c 设h是 一 实h i lb e rt 空 间 ， k, k: h一2 是 集 值 映 象， 使 得 对 任 一x e h , k ( x ) , k ( x ) 为h的 非 空闭 凸 子 集， 且当 ” -*00 时，h ( k ( x ) , k ( x ) ) - a 0 . 设h , g , t :h - h为 三个l ip s c h i t z 连续 映 象 ， l ip s c h itz 常 数 分 别 为风， 几， 踢， 且h 是 强 单 调 的 ， 于g 如果 是强单调的， 常数分别为a e 和。 . 假定存在常数夕 0 , t关 使得 lip , 二)z - p k cr )z ll # r 4 b 2 y 8 一 ( l 一 、 ) ， ， q = j l 一 2 a , + / h 0 的唯一解x . 关键词:非线性投影方程，存在性，收敛性，扰动迭代算法. e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s a n d p e r t u r b e d i t e r a t i v e a l g o r i t h m s f o r a c l a s s o f n o n l i n e a r p r o j e c t i o n e q u a t i o n s ma j o r : a p p l i e d ma t h e m a t ic s gr a d u a t e : l i q i u - m i n a d v i s o r : p r o f e s s o r h u a n g n a n j i n g i t i s w e l l - k n o w n t h a t t h e v a r i a t io n a l i n e q u a l it y p ro b l e m o n t h e n o n e m p t y c lo s e d s u b s e t o f h i l b e r t s p a c e s c a n b e f o r m u la t e d i n t o th e p r o j e c t i o n e q u a t i o n p r o b le m . r e c e n t ly , z h a o a n d s u n i n t ro d u c e d a n d d i s c u s s e d a c l a s s o f n o n l in e a r p r o j e c t i o n e q u a t io n s . i n t h i s p a p e r , w e i n t r o d u c e a n d s t u d y a n e w c l as s o f n o n l i n e a r p r o j e c t i o n e q u a t i o n s , w h i c h i n c l u d e m a n y k in d s o f v a r i a t io n a l i n e q u a l i ti e s , q u a s i - v a r ia t i o n a l i n e q u a li t i e s a n d i m p l i c i t q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l iti e s a s s p e c i a l c a s e s . w e d is c u s s t h e e x i s t e n c e o f t h e s o l u t i o n f o r t h i s c l as s o f n o n l i n e a r p r o j e c t io n e q u a t i o n s i n h i l b e rt s p a c e a n d t h e c o n v e r g e n c e o f s e q u e n c e s g e n e r a te d 勿 a l g o r it h m s . w e o b t a i n e d t h e f o l lo w i n g r e s u l t s . t h e o r e m a . l e t h b e a r e a l h i l b e r t s p a c e e n d o w e d w it h a n o r m 11 ii a n d in n e r p ro d u c t ( 、 ) . l e t k : h *2 b e 。 s e t-v a lu e d m a p p i n g s u c h t h a t k ( x ) i s a c l o s e d c o n v e x s u b s e t o f h f o r e a c h x e h. l e t h , g , t : h - 4 h b e l i p s c h i t z c o n ti n u o u s w i t h l ip s c h i t z c o n s t a n t s几， 凡， q , ， re s p e c t iv e ly , h s t ro n g ly m o n o t o n e w ith c o n s t a n t a , ，a n d t s t ro n g ly m o n o t o n e w i t h r e s p e c t t o g w i th c o n s t a n t c r . i f t h e re e x i s t s a c o n s t a n t b0 s u c h t h a t iip cx z 一 p . 4 :5 o il- 一 ， ， 。 ， ， ， : 。 、 a n d 卜 一 1 )6 i1 ( a 2e z- yt(b 2ix二 (1- a)z1)1,6t 0 ， a 2 b 2 f t r 0 2 /2g 一 ( 1 一 。 ) ， ， q = v i 一 2 a , + a 1 g ( x ) 一 p t x i , p 0 h a s a u n i q u e s o l u t io n a l g o ri t h m b . l e t h b e a r e a l h i l b e rt s p a c e a n d k ( x ) b e a c l o s e d c o n v e x s u b s e t o f h f o r e a c h x e h .f o r g iv e n m a p p in g s t , g , h : h - 4 h a n d p o in t x , h， d e fi n e t h e i t e r a t i v e s e q u e n c e s 卜 n a n d 伽 。 a s f o llo w s : 气 十 : 一 ( 1 一 a ) x n + a j y 一 h ( y ) 十 p k c, )ig ( y ) 一 p t y ) l + a e , y . = ( 1 一 ,6 , ) x ; + ,6 , x , 一 h ( x ) + p k t= , , ( g ( x ) 一 p t x ) 1 + / 3 f , w h e re l e j a n d f . 1 a r e tw o s e q u e n c e s in h , la. a n d /3 n a r e t w o s e q u e n c e s i n ( 0 , 1 1 s a t i s f y in g f o l l o w i n g c o n d i t i o n s : o s a n y n 2 a re c l o s e d c o n v e x s u b s e t s o f h a n d h ( k . ( x ) , k ( x ) ) - * 0 ( n - o o ) f o r e a c h x e h. l e t h , g , t:h - h b e l i p s c h itz c o n t i n u o u s w it h l i p s c h it z c o n s ta n t s 风， 几， 八， r e s p e c t iv e ly , h s tr o n g ly m o n o to n e w ith c o n s ta n t “ * ， a n d t s t r o n g l y m o n o t o n e w it h re s p e c t t o g w it h c o n s t a n t a . s u p p o s e t h a t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t b0 s u c h t h a t lip , (二)z 一 p x (r )z ii 0 a n d 卜 一 a / 1 p 2 r 0 2 th e n f x e q u a t i o n r 2f 18 11, 一 ( 1 一 。 ) ， ， 。 二 v 1 一 2a, + ,6 , 、 1 ， s t r o n g ly t o t h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e p ro j e c t i o n h ( x ) = p k cx f g ( x ) 一 p t x , p 0 k e y wo r d s : v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t ie s ; n o n l in e a r p r o j e c t i o n e q u a t i o n s ; m a p p i n g ; e x i s t e n c e ; p e r tu r b e d a l g o r it h m; c o n v e r g e n c e . 四川大学硕十学位论文 一类非线性投影方程解的存在性及 扰动迭代算法 专业: 应用数学 研究生:李秋敬指导教师:黄南京教授 摘要: 考虑一个关于金融流通量和价格的 均衡模型， 并归纳为变 分不等式问 题， 引入一类非线性投影方程， 讨论其解的存在性， 及其 扰动迭代算法，并对其作收敛性分析. 关键词:非线性投影方程， 存在性， 收敛性， 扰动迭代算法. 1 引言 变分学在现代数学中是一个非常有用的工具， 在多个学科领域被 广泛推广应用， 例如物理学， 最优控制， 非线性规划， 经济学， 交通 问题， 能源科学等等. 在理论科学和应用科学中， 变分原理作为一种 有用的工具， 可以 简明 扼要地解释数学与物理上的基本原理， 对物理 现象的数学表述起了 极为重要的作用。 变分不等式理论作为变分原理 的重要推广， 近些年来广泛应用于经济平衡理论、 控制论、 对策论、 交通、 社会和经济模型等方面， 其理论和算法的 研究得到了长足的 进 展。 许多工程问题， 如曲 面曲 线设计和某些金融衍生产品的定价问 题 等都可以归结为变分不等式模型的求解. 下而我们考虑一个关于金融流诵量和价格的均衡模型. 考虑一个 四川大学硕士学位论文 由m个投资者，n 个金融工具组成的经济模型，用i 表示典型的投资 者， 用j 表示典 型的 金 融 工具. 投 资 者i 利用第j 种金 融工具 进行 投 资 组 合 获 得 的 资 本 记 作 x ， 负 债 记 作 y。 x , = ( x ,l , x ,2 , - , x . ) . 。 r ， x = (xi, x 2 ， 一 ， x , ) t e r ，y , = ( y ,i , y ,2 , ,y;) e r y = ( y , y 2 , . . - , y . ) t e r . 每 一 个 投 资 者 的 效 用 可以 用 一 个关 于 未 来 投资组合期望收益值的函 数来表示. 每一个投资者的风险和对未来投 资组合的期望收益值组成一个方差一 协方差矩阵，表示投资者对每一 个金融工具价格的标准差的估计值. 投资者i 的资本和负债组成一个 2 n x 2 。 的 方差 一 协方差 矩阵夕，r , 表示金融工具i 的 价格， r = ( r , , r 2 , - . , n ) e r . 投资 者的 最大效用表 现为当 前投资组合的 最优 化问题:即投资者i 试图使风险最小、资本最大以及负债最小. mi n 一 y- ri ( x 。 一 y ! ) ( 1 . 1 ) 戈 - 为 艺):l x ;, ? 0 ， 为_ 0 ; j = 1 ， 二 ， , n , ( 1 . 2 ) 投资 组合( x i , 厂 ) e p , 符合上 述 条 件的 充分 必要 条件是满 足下列 不 等 式和等式， 对每一个金融工具j ，j = 1 , . , n , 2 q (n )t , - x , + 2 q t2 p , y , 一 一 /i ; ? 0 2 q ( 22 )i l1 1 y , + 2 q (12 )j t x , + r , 一 ,a , _ 0 四川大学硕十学位论文 x 二 ( 2 q (1 1)j r x : + 2 q (2 1) t y : 一 r f 一 p ) = 0 ( 1 . 3 ) y i ( 2 q ( 22 ); t - y ; + 2 q (1 2 )i 7 ， x ; + r . 一 ,u i ) 一 0 假 设 rjf 为 满 足 投 资 者 的 要 求 的 金 融 工 具l 的 价 格 记 ， 且 是对 称的.q , ( o ) ， 表示夕(a 9 ) 的 第j 列， 气!|日 段刀 .奋二 qq qq reseseseswel 欲 q a = 1 ,2 , 刀 = 1 ,2 . 川和对为 约 束( 1 . 1 ) 式 的 拉 格朗 日 乘 数因 子. m 个投资者每一个都构成一个不等式和等式的相似集. 在经济体系中 价格规定关系到每个金融工具的整个资本和负债 的均衡， 在此假设免税、 金融工具的价格是非负的、 经济体系环境保 证市场是净利的， 对每一个金融工具7 ，1 = 1 , ， ， . , n , ( 1 . 4 ) 0八u 一 !|1、 巾 一 .凡 .艺间 对满足 ( 1 .3 )式和 ( 1 .4 )式的投资资本、负债和价格模型 (x ， y , r ) s m 1 p , x r ; ， 称 为 均 衡 ， 一 1 ， ， m ， j 一 1, . ， 。 . 根据约束条件 ( 1 . 1 ) , ( 1 .2 ) ，和 ( 1 . 3 ) , ( 1 .4 )式，金融均衡模 型可以 转化为如下关于金融均衡的 变分不等式 ( 参见【 1 5 ) : 求 ( x , y , r ) e ll - 1 p x r , 满 足 四川人学硕 i : 学位论文 i y 2 ( q (:)j . x ; +召 2、)， tv (2o i y , ) 一 r,* ) x x 。 一 二 二 j 司 少 :l + y y 2 ( q (22 ), y ， 十q ( i、2)ir -x f ) + r, ) x y 。 一 y ) 件1少 司 y ( x , 一 y ) :、 一 )_ 0 ，d 一 ， il -( p, “ “ 艺月 十 上述表明， 金融均衡模型可以 转化为一类变分不等式问题. 另一 方面，我们知道h i l b e rt空间中闭凸集上的变分不等式问题等价于一 类投影方程的求解. 受z h a o 和s u n 川工作的启发， 本文 讨论一类更广泛的 非线性投 影方程， 这类问 题包含许多 经典变分 不等式， 隐拟变分不等式， 广义 隐 拟变分不等式作为 特例. 我们讨论此类非线性投影方程的 解的 存在 性， 和求解此类方程的扰动迭代算法及其收敛性分析， 所得结果改进 和推广了近期作者的一些工作， 2 预备知识 本 文以 一下 设h是 一实h ilb e rt空间 ， 具 有内 积( ， 11 设 k : h-2 “ 是 一 个 集 值 映 象 ， 使 得 对 任 一 二 h h的非空闭凸子集. 设h , g , t : h-4h为三个自 映象. ) 和范 数 k ( x ) 为 我们讨论下述非线性投影方程 h ( x ) = 凡 (j g ( x ) 一 p t x ) ， p 0 ( 2 . 1 ) 问题 ( 2 . 1 )的特例: ( i ) 如果k ( x ) 二 k， v x e h， 其中kc h为 一非空闭凸 集， 四川大学硕十学位论文 则方程 ( 2 . 1 ) 变为 h ( x ) = 凡 g ( x ) 一 p t x ( 2 .2 ) 当p= 1 时， 投影方程 ( 2 .2 ) 被z h a o和s u n 1 1 引入并研究. ( i i ) 如果h ( x ) = g ( x ) , b x e h，则方程 ( 2 . 1 ) 变为 g ( x ) = p x (= ) g ( x ) 一 p t x ( 2 .3 ) 易知，方程 ( 2 . 3 ) 等价于下述隐拟变分不等式 ( t x , v 一 g ( x ) ) ? 0 ， v v e k ( x ) ( 2 .4 ) ( i i i ) 在许多重要应用中，k ( x ) = m ( x ) + k， 其中m: h- + h, kch为非空闭凸子集，此时方程 ( 2 . 1 )变为 h ( x ) = 凡 g ( x ) 一 p t x 一 m ( x ) + m ( x ) ( 2 .5 ) ( i v ) 如果h ( x ) = g ( x ) ， b x e h， 则方程( 2 .5 ) 等价于下述广义 隐 拟 变分 不 等 式: 找x e h， 使 得g ( x ) 一 m ( x ) e k ， 且 ( t x , m ( x ) + v 一 g ( x ) ) ? 0 ，v v e k ( 2 .6 ) ( v ) 如果g ( x ) 二 x , m ( x ) 二 0 , b x e h, ( 2 . 6 ) 式即为经典变 分不等式 ( t x , 、 一 x ) : 0 , b v e k ( 2 .7 ) 上述表明问题 ( 2 . 1 ) 包含了许多己知的变分不等式问题作为特 例. 定义2 . 1 :设h是一实h i l b e rt空间，映象a: h一h称为 ( i) 强 单 调 的 ，如 果 存 在 常 数 a a 0，使 得 ( a u 一 a v , u 一 v ) ? a a iiu 一 v ll2 , d u , v 。 k . ( i i ) 相对于映象t : h- 4 h是强单调的， 如果 存在常数a 0 , 使得 ( a u 一 ， v , t u 一 t v ) ， c ell u 一 v 11 , d u , v e k . ( i i i) l ip s c h i t z 连续的，如果存在常数 f 0，使得 lla u 一 a v il 。 时， 若h ( k n , k ) -+ 0 lim iip k r un- sm 一 p k v ii= 。 ， d u h 引 理2 .2 6 : 设分 。 为 一 非 负 实 序 列， 拣 为 0 ,1 中 实 序 列 艺v = 0 ， 如 果 存 在 某 个 确 定 的 常 数 n ) ， 使 得 n 0 y n + 1 _ n , 对 所 有的n ? 0 ，u n - 0 ， 且。 0 0 时 q - 0， 则l im y , = 0 . 3 解的存在性 定理3 . 1 :设h是一实h i lb e rt空间，k: h，2 是一个集值映 象， 使得对任一x e h, k ( x ) 为h的 非空闭凸 子集. 设h , g , t h - h为 三 个l ip s c h itz 连 续 映 象 ， l ip s c h i tz 常 数 分 别 为p h ， 凡， 八， 且h 是 强 单 调 的 ，t 关 于g 是 强 单 调 的 ， 强 单 调 常 数 分 别 为 a , 和。 假定存在常数b 0 ，使得 iip k (二 )z 一 p k (r ) z ii fi r2 b 2 对一 (1 - 9 ) z , 。 = j 1 - 2 a , + /3 h 0 存在唯一解. 证明: h ( x ) = 凡 (x ) f 8 ( x ) 一 p t x a 0 = - h ( x ) + 凡(二 ) s ( x )p t x 四川大学硕士学位论文 。x = x 一 h ( x ) + p , (, ) i g ( x ) 一 p t x f ( x ) = x 一 h ( x ) + p k ( . ) ( g ( x ) 一 p t x 以 下证明f: h-h是 压缩映象. 事实 上， 对任意x , y e h， 由 f的定义易知 jif ( x ) 一 f ( y ) 11 :5 ii( x 一 h ( x ) ) 一 ( y 一 h ( y ) ii+ iip rc c,)1 g ( x ) 一 p t x 一 p k ( r ) f g ( y ) 一 t y ) 11 _ 11( x 一 y ) 一 ( h ( x ) 一 h ( y ) ) ii + e 11( g ( x ) 一 g ( y ) ) 一 p ( t x : x 11: 一 ， 11， 一 2 (h (x ) 一 。 (a x 一 ， ) + l1h (x ) 一 ， (a ll + 。 了 ilg (x ) 一 。 (y )11， 一 2 p (。 一 t y , g (x ) 一 g (y ) ) + p z i1t x 一 t y ll, 因 为h , g , t : h - a h是l ip s c h i t z 的， 且h 是强 单 调的 ，t 关于g 是 强单调的，故由上式可得 iif (x ) - 二 (y ) 11 、 j 1 - 2 a , + 10 h ilx 一 ， ii+ e 了 q a - 2 p a + p z ,6 t iix 一 ， 11 . 又因为 卜 一 / rl h 为 三 个 l ip s c h itz 连 续 映 象 ， 常 数 分 别 为9 6 ， 几， 八 . ， 且h 是 强 单 调的 ，t 关 于g 是 强 单 调 的， 常 数 分 别 为 a 。 和a . 当 卜 / 6 t 1v a 2 一 。 q s 一 (1一 1- ta n + ph )2l 。 ， 厉 刀 9 一 ( 1 一 。 ) 2 ) , 。 一 廿 1 一 2 a , + g 2 0 ， 存在唯一解. 定理3 .3 : 设h是一实h il b e rt空间，k: h-+2 是一个集值映 象， 使得 对 任一x s - h， k ( x ) 为h的 非 空闭 凸 子 集. 设g , t : h- * h 为 两 个 l ip s c h itz 连 续 映 象 ， 常 数 分 别 为凡， 八， 且g 是 强 单 调 的 ， t 关 于g 是 强 单 调 的 ， 常 数 分 别 为 。 : 和“ 假 定 存 在 常 数 9 0 , 使 得 ilp x , z 一 p k (y)z ii v x , y , z “ h 则当 卜 一 / r ,l / 2 8 2f 7对一 ( 1 一 。 ) ， ， 。 一 了 i 一 2 a , + ,6 a 4 存在唯一解. 4 扰动迭代算法及其收敛性分析 近年来， 为了获得逼近非线性算子方程和变分不等式的解的迭代 算法， 有不少人引入新的迭代格式， 其中， 最典型的有， i s h i k a w a 迭 四川大学硕士学位论文 代和m a n n 迭代以 及带有误差的情形. 在本节中， 我们引入关于非线 性投影方程的一类i s h i k a w a 型扰动迭代算法，并讨论其收敛性. 算法4 . 1 :设k: h- )- 2 是一个集值映象， 使得对任一x e h， k ( x ) 为h的 非空闭 凸 子 集. t , g , h : h- - ), h. 对任 意 给定的x o e h， 定义扰动迭代序列如下: x n + 、 = (1 一 a n ) x n + a j y - h ( y . ) + p k cv (g ( y ) 一 p t y n ) + a e , v= ( 1 一 ,8 0 x + /3 x 。 一 h ( x ) + p k , ,. , ( g ( x . ) 一 p t x ) + a f , n “ 0 , 1 , 2 , ，( 4 . 1 . 1 ) 其 中 风 和 认 为 h 中 的 序 列 ， 体 。 和 几 为 0 , 1 ) 中 的 数 列 满 足 以 下条件: 0 。 ， ， 几 h为三个l ip s c h i tz 连续 映象 于9 ， l ip s c h itz 常 数 分 别 为凤， 几， 八， 且h 是 强 单 调 的 ， 是 强 单 调的 ， 常 数 分 别 为 a 、 和a . 假 定 存 在 常 数0 0 , t关 使得 iip k cx)z 一 p k (r )z ii y t 1 0 z 9 92 一 ( i 一 。 ) ， 、 一 丫 1 一 2 a , + a n 1 四川大学硕士学位论文 则 由 算 法4 . 1 所 构 造 的 序 列lx n 在h中 强 收 敛 于 方 程 ( 2 . 1 ) 的 唯 一 解 x . 证明: 由 定 理3 . 1 知方程( 2 . 1 ) 在h中 存在唯一解x下面我们证明 x -+ x ( n a o o ) ， 事实上，由 算法4 . 1 知 一 a n ) x n + a y ,， 一 h ( y ,) 十 介， ) ( 8 (y ) 一 p t y n ) + a n e n 电.通 了.几 一 x - 十 力 x 一 (，一 。 。)二 + 。 ， 一 * (x ) + k (二)(。 ( ) 一 ， 。 ) _ ( 1 一 。 n )ii、 一 - 1l+ 。 二 l y . 一 h ( y n ) 一 ( x 一 h ( x ; il + a n lle n ll 。)(。)一 。 。)一、 (二)()一 ptx)ii 幻引”“”曰n引引们引引引 日 a + :5 ( 1 一 a n ) ii 一 x 卜 j y 一 x 一 ( h ( y . ) 一 h (x ) ) 卜 a n lle n ii ( s ( y n ) 一 p t y n ) 一 k、， 1 ( s ( x ) 一 。 )一 pt x) 介 a + 一 一 ) k(， 1 (8 ( x )p t x ) 一 介(x ) ( s ( x ) k (x )( g (x ) 一 p t x ) 一 k (x ) ( 8 ( x ) - 5 ( 1 一 a n ) llx 。 一 x ll+ 2 a n lly 。 一 x 一 ( h ( y n ) 一 h ( x ; il+ a n lle n ll + a j lg ( y ) 一 g ( x ) 一 p ( t y 。 一 t x ) ii + a 9 11 y 。 一 x ll 一 、 。(二)()一 。 卜 、 、二(卜 ptx)ii . ( 4 . 1 .6 ) 因 为h , g , t : h- + h是l ip s c h itz 的， 且h 是 强 单 调的 ，t 关 于g 是 单调的，故 ily ， 一 x 一 ( h ( y , ) 一 h ( x ) ) ii z _ ( 1 一 2 a , + z ) iiy n 一 x 11, ( 4 . 1 .7 ) 四川大学硕 i : 学位论文 llg ( y ) 一 。 ( x ) 一 ; ( t y 一 t x ) i1 : ( q ,2 一 2 p a + p # ,. ) ily 。 一 : ， ( 4 . 1 . 8 ) 由 ( 4 . 1 .6 ) . ( 4 . 1 .7 ) . llx n + ， 一 x ll ( ， 一 a ) llx 其中 ( 4 . 1 .8 ) 式可知 一 小 l aily n 一 x ll + a b + a ile ii ， ( 4 . 1 .9 ) 1=2 1 一 2 a , + ,0 , 2 + j r x 一 2 p a + p q t + 0 ， b = ilp ,(二)(，一 ptx，一 、 (一 (，一 ptx) 同理可得 ily n 一 x ll s ( 1 一 a . ) ilx 一 小 a llx . 一 x ll + ,6 . b . + ,0 . ilf ll . ( 4 . 1 . 1 0 ) 由 ( 4 . 1 .9 ) . ( 4 . 1 . 1 0 ) 式可知 llx n + 。 一 x ll s ( 一 。 。 + 1 。 二 ( ， 一 fl , + 1,6 ) ) ilx 。 一 x ll + l a ( /3 b + p ilf ii) + a b + a j e ii . 又由 ( 4 . 1 .3 ) . ( 4 . 1 .4 ) , ( 4 . 1 .5 ) 式 ， 知0 1 二 时，h ( k ( x ) , k ( x ) ) - * 0 . 设h , g , t :h一h为 三个l ip s c h i t z 连续 映 象 ， l ip s c h itz 常 数 分 别 为y a几， fl , ， 且 h 是 强 单 调 的 ，t 关 于g 是 强 单 调的， 常 数 分 别 为 a ， 和a . 假定 存 在 常 数0 0 ， 使 得 ile x (二 )z 一 p k (y )z ll o lix 一 y ll, v x , y , z e h , ( 4 .2 . 2 ) iip . , : 一 p k . (r )z ll o lix 一 ， ， b x , y , z (= h , n 一 0 ,1,2 ，一(4 .2 .3 ) 如果 卜 一 / fl,21 6 2 o 2 6 2, 7 , r 一 ( 1 一 。 ) ， ， 。 二 寸 l 一 2 a , + ,6 2 h. 对 任 意 给 定的 x o e h， 定 义 扰动 迭 代 序 列 如 下: ( 1 一 “ ) x n + a y 。 一 h ( y j + 气(v . ) (g ( y n ) 一 p t y 。 an十 a e y ,. =x n =0 , 1 , 2 , 二 ，( 4 . 3 . 1 ) 四川大学硕士学位论文 其 中 扣 。 为 h 中 的 序 列 ， 俩 。 为 (0 , 1 中 的 数 列 ， 满 足 以 下 条 件 0 h为 三 个l ip s c h it z 连 续 映 象 ， l ip s c h itz 常 数 分 别 为凤， 凡， 两， 且 h 是 强 单 调 的 ，t 关 于g 是 强单调的， 常 数分别 为。 。 和。 . 假定 存在常 数b 0 ， 使得 iip ,r 二 )z - p x (y )z i卜 b llx 一 ， ll, v x ,y ,z 。 h , (4 .3 .2 ) iip k x)z 一 p a (y )z ii ,6 2 o 2 p 2t r 一 ( i 一 。 ) ， ， 。 = 寸 i 一 2 a 。 + ,6 2a h 1 ( 4 .3 .5 ) 则 由 算 法4 .3 所 构 造 的 序 列 卜 。 在 h 中 强 收 敛 于 方 程 ( 2 . 1 ) 的 唯 一 解 四川大学硕 i s 学位论文 参考文献 i . m.t u k u s h i m a , e q u i v a l e n t d i ff e re n t i a b l e o p t im i z a t i o n p r o b le m s a n d d e s c e n t m e t h o d s f o r s y m m e t r i c v a r ia t i o n a l i n e q u a l i ty p r o b l e m s , ma t h . p r o g r a m m i n g , 1 9 9 2 , 5 3 : 9 9 - 1 1 0 . 2 .n .j .h u a n g ，g e n e r a l i z e d n o n l i n e a r v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n s w it h n o n c o m p a c t v a l u e d ma p p i n g ; a p p l .ma t h .l e tt . 1 9 9 6 , 9 - 3 : 2 5 - 2 9 . 3 .张石生， 变分不等式与相补性理论及应用，上海科学技术文献出 版社， 上海，1 9 9 1 4 .张石生，向 叔文，一类双线性型变分不等式界的存在性，系统科 学与 数 学， 1 6 ( 2 ) ( 1 9 9 6 ) , 1 3 6 - 1 4 0 . 5 .f .g i a n n e s s i a n d a .m a u g e r i ，v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s a n d n e t w o r k e q u il i b r iu m p ro b le m s . p l e n u m, n e w y o r k , 1 9 9 5 . 6 . n .j .h u a n g ，a n e w m e t h o d f o r a c la s s o f n o n l i n e a r v a r i a t io n a l i n e q u a i li t ie s w i t h f u z z y m a p p in g s， a p p l .ma t h . l e tt . 1 9 9 7 , 1 0 - 6 : 1 2 6 - 1 3 3 . 7 . m.a .n o o r , g e n e r a l a l g o ri t h m a n d s e n s i t i v ity a n a ly s i s f o r v a r i a t io n a l i n e q u a li t ie s j .a p p l .m a t h .s t o c h .a n a l . 1 9 9 2 , 5 : 2 9 - 4 2 . 8 . u .mo s c o , i m p l i c it v a r i a t i o n a l p ro b l e m s a n d q u a s i - v a r i a t i o n a l i n e q u a l it ie s ，i n l e c t u r e n o t e s i n m a t h，v o l .5 4 3， s 州n g e r - v e r l a g , b e r l i n , 1 9 7 6 . 9 . n .j .h u a n g .o n t h e