（基础数学专业论文）带fucik谱型共振的拟线性椭圆方程的解的存在性.pdf

两南大学硕十学位论文 j!ljlif i r i i i rf lill i i r l lj l llliii y 18 810 7 9 目录 目录 目录 i k 摘要 i i 妇 a b s t r a c t i y 0 第一章引言及文献综述 1 1 1 交分法综述 1 1 2 文献综述2 1 3 论文结构安排 3 第二章f u 亡i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题4 2 1 主要结论一j 4 2 2 紧性条件和预备知识6 2 3 主要结论的证明1 1 第三章f 晡m 谱的非二次条件型共振问题 1 7 3 1 主要结论1 7 3 2 紧性条件和预备知识1 8 3 3 主要结论的证明2 0 参考文献2 3 攻读硕士学位期间完成论文情况2 7 致谚l ：2 8 k q 、 ； i f 西南火学硕十学位论文 摘要 摘要 7 在本文中，我们首先研究下面的拟线性椭圆方程的f u 芒m 型共振问题： 卜锋越= 口哼1 一虻1 + 9 ( u ) 一吼z q ，( 1 )、i 上j l 仳= 0 ， z a q 、7 在l a n d e s m a n l a z e r 条件下的解的存在性设尬n ，6 ) 是方程 f 一p t 正= n 哼1 一b u p - 1 ， z g t ， 、u = 0 ， z o f t 的解的集合定义 f ( t ) = ： 2f o p g ( 一s ) 1 d ) s 9 - ( 。) g ， l ：兰： 设 f ( 一。) = l i ms u pf ( ) ，f ( + o 。) = l i m i n ff ( ) ， f ( + ) = l i ms u pf ( 亡) ，f ( 一o o ) = l i 。mi n ff ( ) 我们做如f 的假设： ( g 1 ) 1 两上q(z)如一f(-co)j。u 一( z ) 如nj q 两南人学硕+ 学位论文 摘要 对所有u m 口 6 ) o _ 都成立 运用环绕定理，我们得到如下结果： 定理2 1 假设( g 1 ) ，( 9 1 ) ，( 9 2 ) 成立贝| j 共振问题( 1 ) 对每一个( n ，b ) ( 一o 。，入1 ) x ( 一o 。，a 1 ) 或【入詹，a 七十1 ) 队七，a 七+ 1 ) 都至少存在一个解 k 。 接下来我们考虑下面这个拟线性椭圆方程的f u 芒m 型共振问题 0 且当 p 时，1 o l 业n - p ，当1 n p 时， 1 a o o ； ( c 2 ) 荔t a ( x ，t ) = ： 夕( z ，s ) d s 且满足 l i m 霉幽：0 i t l - , 。 i t l p 在q 上几乎处处一致地成立： ( c 3 ) 夕( z ，亡) 满足非二次条件，即 1 3 骢 幻( z ，) 一p g ( x ，t ) 】- 一。 在q 上几乎处处一致地成立 同样运用环绕定理，我们可以得到： 定理3 1 假设( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) 成立则共振问题( 2 ) 对每一个( o ，b ) ( - - 0 0 ，入1 ) x ( 一，入1 ) 或队七，儿+ 1 ) x 【k ，入七+ 1 ) 都至少存在一个解 关键词：拟线性椭圆方程；共振；环绕定理；l a n d e s m a n l a z e r 条件 1 1 1 ， 两南人学硕十学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r w ef i r s t l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n sf o rt h ef u 芒位t y p e r e s o n a n c ep r o b l e m so ft h eq u a s i l i n e a re q u a t i o n 高弘一圳旷) ：茎募 u n d e rt h el a n d e s m a n - l a z e rc o n d i t i o n d e f i n e a n ds e t s e tm ( d ，b ) t h es e to fs o l u t i o n so ft h ep r o b l e m 卜a v u = 。1 一虻1 ，z q ， iu = 0 ， z a q f ( 亡) = ： 2f ：( p g ( 一s ) 1 d ) s 夕- ( 。) g ， l ：兰兰： f ( 一。c ) = l i ms u pf ( t ) ，f ( + o o ) = t 一o 。 f ( + ) = l i ms u pf ( ) ，f ( 一o 。) = t + o o w em a k et h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s 1 i 。m i n ff ( ) ， t 十o o l i mi n ff ( t ) 一 ( g 1 ) 1 p 1i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs m o o t hb o u n d a r y , pd e n o t e s t h ep - l a p l a e i a nd e f i n e db y p ：= d i v ( 1 v u p - 2 v u ) 夕( u ) ：r _ ri sac o n t i n u o u s f u n c t i o n ，h 2 ( q ) ，w h e r ep 7 = 占 ( 9 1 ) l i m i t i 。貉= o ； ( 9 2 ) o n eo ft h ef o l l o w i n gh a p p e n s ： ( i ) t h ei n e q u a l i t y p - 1 ) f j 一。九( z ) u ( z ) 如 0a n dl 口 p r e s p 1 q 。oi f1 n p 】； ( c 2 ) s e ta ( x ，) = 后9 ( z ，s ) d sa n da s s u m et h a t u n i f o r m l yf o ra e x q ： i 怒掣t p = 。 i t | 一o 。 l ( c 3 ) a s s u m et h a ta ( x ，t ) i sn o n q u a d r a t i ca ti n f i n i t yi nt h es e n s et h a t u n i f o r m l yf o ra e x q 1 i m 【t g ( x ，) 一v g ( z ，t ) 】_ 一。 t l o 。 b yt h el i n kt h e o r e m ，w ec a no b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t v 如 眵 以 ，r u 址 ，z、 u 吣 以：e ，n照厂厶 ，【 n 一 二、 o h 西南大学硕十学位论文a b s t r a c t t h e o r e m3 1a s s u m et h a t ( c 1 ) ，( c 2 ) a n d ( c 3 ) h o l d t h e nt h ep r o b l e m ( 4 ) h a sa tl e a s t as o l u t i o ni nw 0 1 护( q ) f o re v e r y ( 口，b ) ( 一o o ，入1 ) ( 一。，a 1 ) o r a 南，a k 十1 ) a k ，a k + 1 ) k e y w o r d s ：p l a p l a c i a ne q u a t i o n ；r e s o n a n c e ；l i n kt h e o r e m ：n o n q u a d r a t i c v l 两南大学硕十学伊论文 第章引言及文献综述 第一章引言及文献综述 1 1变分法综述 变分法是人们理解数学及其在自然科学领域中的应用的重要工具之一，也是 近几十年来解决非线性问题的一个重要方法变分法的出现极大的推动了近代非 线性微分方程理论的发展它不仅可以用来解决许多重要的具体问题，更是蕴含了 自然界中的一条普遍原理姨分原理交分法主要根据变分原理将自然界中的大量 问题( 称之为变分问题) 归结为某个泛函在一定条件下的极值问题或者临界点问题 例如，微分几何学中的等周问题，测地线问题以及极小曲面问题等都可以看作是变 分问题；又如，在经济管理、优化及控制等科学中，许多问题都可以归结为目标函 数在一定约束条件下的极值问题；再如，在经典力学和场论中，物质的运动规律都 要遵循h a m i l t o n 最小作用原理，即存在着某个泛函，使得对应的运动方程就是这个 泛函的e u l e r 方程，从而可以根据变分原理，运用变分法进行研究 现代变分法对于非线性问题的研究起始于1 9 1 7 年在有限维情形下，b i r k h o 踺 立了极小极大方法，从寻找泛函的临界值入手，研究临界点的存在性所谓极小极 大方法就是把泛函，的临界值刻划为泛函在一个适当的集合类上的极小极大值的 方法，即这个值可以形式地表达为 c = i n ，f ，s u p ，( ) a ，t l e a 、7 ( 1 1 ) 随后m o r s e 建立了著名的m o r s e 理论一- - m o r s e 不等式，揭示了非退化函数临界 点的个数及类型( m o r s e 指标) 与函数定义域和拓扑结构之间的关系其后不 久，b i r k h o f f 发现m o r s e 不等式实际上来源于他的极小极大方法与此同时， l j u s t e r n i k 和s c h i n r e l m a n n 发展了这思想，用来研究亏格为0 的紧衄面上闭轨 线的存在性这些方法和结果标志了大范围分析的开端 当人们的研究从有限维推向无限维的时候，遇到了一个大问题，那就是紧性 为了克服无穷维没有紧性的缺陷，2 0 世纪6 0 年代，p a l a i s 和s m a l e 对泛函引入了著名 的p a l a i s - s m a l e 条件( p s 条件) ，把m o r s e 理论推广到了无穷维的情形，使得无穷维 情形下的大范围分析作为工具在微分方程理论研究中得以运用 1 9 7 3 年，a m b r o s e t t i 与r a b i n o w i t z 开创了以山路引理为代表的一种新的极小极 大方法，它是临界点理论与非线性微分方程理论发展的一个罩程碑应用这一理 论r a b i n o w i t z 等一大批数学家在椭圆边值问题，弦振动的周期问题以及h a m i l t o n 系 两南大学硕+ 学位论文第一章引言及文献综述 统的周期轨道问题的研究中取得了突破性的进展随后，r a b i n o w i t z 建立了著名 的鞍点定理，通过整体环绕建立极大极小型临界点在此之后，各种环绕定理临 界点定理层出不穷，形成了一套比较系统的临界点理论这些都为非线性现象的 研究提供了牢固的数学基础，使得人们处理非线性系统的能力大大增强非线性 系统中丰富的定常运动和复杂运动模式不断地揭示出来，吸引着越来越多的理论 和应用工作者的极大兴趣和关注( 关于临界点理论及其在椭圆偏微分方程中的 应用，感兴趣的读者可以参考如下专注：a a m b r o s e t t i a ：m a l c h i o d if 1 ，2 1 ，c c c h a n gf 3 1 ，y j a b r i 4 ，p r a b i n o w i t zf 5 1 ，m s c h e c h t e r 6 ，7 1 ，m w i l l e m 8 1 ，w 一m z o u m s c h e c h t e rf 9 1 ，m s t r u w e 1 0 ，陆文端i n ，沈尧天一严树森f 1 2 1 ，宣本金f 1 3 1 ，张 恭庆f 1 4 1 等等) 1 2 文献综述 本文首先在第二章中考虑下面这个拟线性椭圆方程的解的存在性： ! 一p 让= n 雌1 一虻1 + 9 ( 乱) 一尼( z ) ，z q ，( 1 2 ) 【u = 0 ， z a 52 ， 其m ( a ，b ) ( - - o o ，入1 ) ( - - o o ，a 1 ) 或【入七，入七十1 ) 【入南，入+ 1 ) ，1 1 时，情况就变得有点复杂了，并且关于2 也只得到了- d , 部分 结果( 具体参见 1 5 - 1 8 ，2 1 1 ) 当p 2 时，难度就更大但是也得到了一些结果( 2 0 ，2 2 ，2 4 - 2 6 ) 很容易 发现当o = b = 入时，问题( 1 3 ) 变成了一p 仳= 入i 让| p - 2 u 因此( 入，a ) p 当且仅 2 西南火学硕十学位论文第一章引言及文献综述 当入是一p 的特征值我们还容易发现，两条平凡直线r a l ， 入1 r 也是包含 在p 中的另外，在【2 0 中，作者发现在p 中也存在条l i p s c h i t z 连续且以两条平 凡直线为渐近线的曲线( 被称为第一非平凡曲线) 关予口的更多内容，还需要学者 们作进一步的研究 在问题( 1 2 ) 中，我们作如下假设： i 概辫：o 那么当( o ，b ) p 时，问题( 1 2 ) 就是一个共振问题关于共振问题的研究也是有 了非常多的结果比如，当a = b = a 时，已经出现了很多的结果( 具体参见f 3 4 7 - a 2 ) 当a 6 时，h a s a k a w a 在1 9 9 6 的文章 3 3 中证明了当p = 2 ，n = 1 时，问 题( 1 2 ) 在l a n d e s m a n - l a z e r 条件下解的存在性当p = 2 ，n 1 时，也得到了一 些关于共振问题的结果( 参见 3 1 - 3 3 ) 当p 2 时，关于共振问题的研究就很 少了，主要原因在于一a 口的f u 芒f l ( 谱的结果尚不明了m t a n a k a 在2 0 0 9 年得到 当( 口，b ) r a 1 u a 1 ) r 时，共振问题的非平凡解的存在性关于f u 芒m 谱的 共振问题更多的研究还有待深入 第二章主要证明在l a n d e s m a n l a z e r 条件下，当( a ，b ) ( 一o c ：入1 ) ( 一。，a 1 ) 或【k ，入七十1 ) a k ，入七+ 1 ) 时，问题( 1 2 ) 的解的存在性为了避开一a p 的f u 芒m 谱结构 尚不明了的缺陷，我们充分利用一p 的谱的结构，在a ，b ) ( 一o c ，a 1 ) ( 一o o ，a 1 ) 或 入詹，a k + 1 ) a k ，a k + 1 ) 中的每一个小块里来研究在每一个小块里我们证明( 1 2 ) 的 解的存在性这样，我们就可以利用一口的特征结构建立环绕，最后得到解的存在 性 第三章主要是在第二章建立的环绕结构的基础上，证明了当c ( x ，t ) = 晤9 ( z ，s ) d s 满足非二次条件时，共振问题： k 笺_ 虻1 + 出三茎未， 的解的存在性定理 1 3论文结构安排 我们将论文分成三章本章( 第一章) 综述变分原理及文献第二章我们用环绕 定理解决带f u 芒依谱型共振的拟线性椭圆方程在l a n d e s m a n - l a z e r 条件下的解的存 在性问题第三章我们用环绕定理解决带f u 芒m 谱型共振的拟线性椭圆方程在非二 次条件下的解的存在性问题 3 两南大学硕十学伊论文第一章f u e i k 谱i 的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 第二章f u 琶i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 2 1 主要结论 在这一章中，我们研究下面的拟线性椭圆方程： 高弘虻1 + 咖：茎募， ( 2 1 ) 的解的存在性这个问题可以看做是下面这个特征值问题的一个扰动： 卜砩u = a 瘁l 一6 匹1 ，z q ， ( 2 2 ) 【让= 0 ， z a s 2 。 问题( 2 2 ) 在p = 1 的时候已经在f u 芒依和另外的一些学者的研究之后得到了很多 比较完善的结果( 参见f u 苞位【1 9 】) 当p = 2 和p 2 的时候，也得到了一些结果( 参 见【2 0 卜 2 6 1 ) 如果实数对( 口，b ) r r 能使得问题( 2 2 ) 有非平凡解，那么我们把所 有满足这个条件的数对a ：6 ) 的集合日l l 做一p 的f u 芒m 谱，记作p 这个非平凡解为 相应的特征函数很容易发现，直线入1 r 和r 入1 属于p 在文章【2 0 中作者发 现在p 中存在一条l i p s c h i t z 连续曲线且以入1 r 和r a 1 为渐近线，作者称之为 第一条非平凡曲线 在此之前，关于p = 1 ，2 时的结果已经有了很多，但都是比较局部的情况 当p 2 的时候，也有了一些结果，但也主要是在a ，b ) a l r 和a ，b ) r a 1 的 时候( 参见 2 7 - 3 3 】) 所以本章的一个主要目的在于寻找共振范围更加大的时候的 解的存在性 考虑下面这个泛函： ) ：= 螺苦肌时( q ) 和流形 日：= 乱孵护( q ) ：叫i l ，c n ) = 1 ) 对每一个七n ，设兀：= fc 日：存在一个连续的奇的满射h ：s 七一1 _ f ) ， 其中妒一1 代表戤中的单位球面接下来，我们定义： 入萨魅s 谢u p t ) 两南火学硕十学伊论文第二章f u e i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 燃l h p d r a b e k 在【3 4 中已经证明a 南是一p 的特征值 我们把( 2 2 ) 对应予( n ，b ) 的所有的解的集合记为 氟a ，6 ) 定义 f ( z ) = ： 2f t ( p g ( 一s ) 1 d ) s 夕- ( 。) g ， ) ，t t ：o 。0 ，, 设 f ( 一o c ) - l i ms u 。pf ( t ) ，塾型= l m i m i 。n ff ( t ) ， c _ 一o o 。 一 f ( + ) = l i ms u pf ( ) ，f ( 一o o ) = l i m i n ff ( ) t _ + 一o 。 然后我们作如f 的假设： ( g 1 ) 1 p o 。，( a ，b ) ( - - 0 0 ，入1 ) x ( 一o 。，入1 ) 或【入如，入知+ 1 ) xp l ，a k + i ) ，q 是r ( 1 ) 中的一个具有光滑边界的有界区域a p 表莉一拉普拉斯算子，其具 体定义为p = d i v ( i v u l p v u ) g ( u ) 是从兄n r 的一个连续函数，h 驴7 ( q ) ，其 中p 南； ( 9 1 ) l i r a i 扣。船= o ； ( 9 2 ) 下列条件之一成立： ( i ) 不等式 一1 ) 上 ( z ) u ( z ) 如 f ( + o c ) f av + ( z ) 出一f ( - o o ) l 口一( z ) 如 对所有u m 口，6 ) o ) 都成立 现在给出本章的主要结果： 定理2 1 假设( g 1 ) ，( 9 2 ) ，( 9 3 ) 成立则共振问题( 2 1 ) 对每一个a ，b ) ( 一。，入1 ) ( 一，a 1 ) 或 入七，k + 1 ) k ，a 七十1 ) 都至少存在一个解 注记2 2 ( 1 ) 如果( o ，b ) 不是p 中的一个元，那么条件( 9 2 ) 自然满足； 5 西南大学硕+ 学伊论文第二章f u e i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 ( 2 ) 在方程( 2 1 ) 中，若令a = b = a r ，则方程( 2 1 ) 变成 一p u = a l u l 一2 u + g ( u ) 一 ( z ) ，乱w o p ( q ) ( 2 3 ) 当p = 2 的时候，利用紧的自伴线性算子的谱定理和f r e d h o l m 选择性定理，一2 的 谱的情况已经研究得非常明了在l a n d e s m a n - l a z e r 的文章 3 5 】之后出现了很 多( 2 3 ) 一类的扰动的问题的研究，并得到了丰富的结果( 参见 a 4 ，3 6 - 4 2 0 2 2紧性条件和预备知识 设x = 埘，p ( q ) ，其范数定义为i i “i i = ( 厶i v “l p 如) ；定义泛函正。，6 ) ：x _ r ： 止口扣，( u ) = v u l p 如一n 上嶂出一6 f nu d x - p f ag ( u ) 如+ p 上危u 如， n 中a ( u ) ：= 臂g ( s ) d s 因为1 0 ，总存在c 1 = c l ( s ) 0 满足 1 9 ( ) i e l t l p 。1 + c 1 ( 2 6 ) 于是戎1 i j 自 i 上紫如l 至上i i g u 圳( u ，) 1 i e 一u i 如 小+ 高每冲k i 如 ( 蚪而缸) l f l l 专l u n - - v 慨q ) 画的任意性，我们可以得到：当n o 。时，有 厂里掣( ：! 掣d x _ 0 厶n i i p 成立由关于九的假设，我q , - i 以很容易得到当礼_ o 。的时候，( 2 5 ) 的右边的最后 一项收敛于o 因为。，b ) ( u 竹) 一0 ，我们同样可以得到当礼_ o 。的时候，( 2 5 ) 的左边 也收敛于o 因为 u n ) 在p ( q ) 中是强收敛的，所以很容易得到它的右边的第二项和 第= 丽怕县的钟千0 的- - 7 ：县残们得到 ， l v u n p - 2 ( v ，v v 一v v ) d x _ 0 ，n 一 因为 ) 是弱收敛的，再结合h s l d e r 不等式，我们可以得到 0 卜l v i p q ( v ，v 一v v ) d x 一i v v l p 一2 ( v u ，v v 一v v ) d x = 上l v i p 如一上l v 训p 2 ( v ，v ) 如一li v 卵吨( v u ，v v ) d z + 上i v l p 如 i 卜n l i p l i i l p 一1 i l v l i i i v l l p - , i i v i i + l i u i i p = ( i i v i i p 一1 一i l u l i p 一1 ) ( i m i i i l u l l ) 0 7 苎皇查兰里三竺：竺堂奎笙三章f u e f k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 于是有 1 i l | _ m | 由于联1 护( q ) 是一致凸的，所以我们可以得到，在w d ，p ( q ) 中 _ u ，且忪i f = 1 根据假设，【) 是无界的，于是有 警= z l v r 2 ( v ，v ) 如一a 上醒；，叫如 + 6 上聒w 。d x 一上鼯z 揣如川 在( 2 7 ) 中，令n 一。o o ，我们可以得到 z 陬| p - 2 ( v u ，v 加) 如= n z 审1 叫如一6 上c 1 加如，叼1 吼 因此有 v 奴n ，6 ) o ) ，i i v l i = 1 由于正n ，6 ) ( ) 有界，屹，6 ) ( u n ) _ 0 瓣t l l u i i 一。，我们可以得到 。卜谢一掣 = ( v - 1 ) l 如一z 咝揣华出 = 、0 , - 1 ) l 茬新如一zf ( 孔n 丽u n 如 因此我们有 1 i m lf ( “n 瓣u n 如= 一1 ) z 枷如 ( 2 8 ) 现在我们假设( i ) 成立( 另一种情况( i i ) 可以同样证明) 那么我们可以得到 型 一。且丽 0 ，我们设 一 掣，f i f 丽f ( + o c ) 慨r , 8 两南大学硕十学伊论文第二章f u c i k 谱i 钓l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 以： i ff ( 一) r ， i ff ( 一) = 一。 那么对任意的 0 总是存在k o 满足当t k 时，r ( t ) c 。，当t o 满足 f ( t ) t l c ( k ) ，t ( 一k ，k ) f c t ，t 以c e t 。- 一b b , ，：三三： 其中b = ( i i + l d 。1 ) k + c ( k ) 因此我们有 上f ( 钍n ) v d x = zf ( 钍n + ) v n + d x + 上f ( 一u n 一) ( 一一) 如 上+ 如一以知出一错 l l y n + - - v + i 如 小刊如 i q l l p i i 一r i l l p ( n ) n 1 i m ，f q v n + 如= l v + d x 类似地，我们也可以得到 。l i mf nv n 一如= 卜如 于是，我们得到 i m i n f 上f ( u n ) 如c 。l v + d x - 以上u 一如 由e 的任意性，我们可以得到 - i mi。nff(un)vndx型z弭如一f(-oc)ljn j n u 一如 n 。o - ，n 9 一 一 一 如u 厂厶 一如 ” 厂厶 西南大学硕十学伊论文第二章f u c i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 酗共振问题 再结合( 2 8 ) ，。可知 ( p - 1 ) 小咖( 拙盟型上州z ) d x 一丽：钞一d x t ，2 ，n，f 2 这与( i ) 矛盾于是我们证到( 仳n ) 是有晃的 运用标准的陈述方法，我们可以得到 u n ) 在嚼p ( q ) 中有强收敛的子列因 此五。，6 ) i 蓠足：p a l a i s s m a l e 条件 口 为了我们证明的方便我们在这里给出r 环绕的定义和相关定理( 具体的证明 可以参见s z s o n g ，c l t a n g 4 2 】) 定义2 4 设q 是b a n a c h 空间x 的一个子流形，它的边界为a q ，s 是b a n a c h 空 间y 的一个闭子集，r 是c o ( a q ，y s ) 的子集如果对任意的h c o ( q ，y ) 且满 足h l o q f ，都有允( q ) ns 咖成立，那么我们说5 f 和a q 是r 一环绕的 如果设x = y ，r = i d ：a q y s ) 我们可以发现r 一环绕就是m s t r u w e 【1 0 】中的环绕因为根据r 的定义，有sna q = 因此，在某种程度上，我们可以 说r 环绕推广了我们通常意义下的环绕和环绕定理相似，同样有如下的r 一环绕定 理( 具体证明参见【4 2 】) 定理2 5 ( r 一环绕定理) 设x ，y 都是b a n a c h 空间设s 是y 的闭子集，q 是x 的 子流行，其边界为a q ，r 是c o ( a q ，y s ) 的子集设g = h c o ( q ，y ) ：h l o q f ) 假设s 和a q 是r 一环绕的且f c 1 ( y ，尺) 满足 ( a ) s h o g ，使得s u 如qf ( h o ( x ) ) r a ，使得对任意九g ，i n f e si 厂( ) p 和s u 如厂( ( z ) ) q 成立； ( c ) ，满足p a l a i s s m a l e 条件 那么 、 c ：= i n fs u p 厂( 危( z ) ) rz q 一7 是，的临界值且满足c p 1 0 两南夫学硕十学伊论文第二章f u ( i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 2 3主要结论的证明 首先，我们应用极小极大方法( 参见i s 】) 证明当( o ，b ) ( 一o o ，a i ) x ( 一。o ，入1 ) 时， 定理2 1 成立 令c = m a xa ，6 ) ，那么对任意的满足0 0 和0 0 满足 p ；u 蒜。) ( u ) ， 。 ( 2 9 ) - u ，m a 吲x j ( n 6 胁) = 口 p ( 2 1 0 ) 令丁f ：= t u ：u 只t 丁) 设q = 玩( 玩是r 南中的闭单位球) ，a q = s “1 ， f = h a o ( 酽，咐p ( q ) ) ：h 是奇映射且九( 铲一1 ) ct f 对任意的危f ， 由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) ，我们可以至l j h ( s 七一1 ) n & + 1 = 因此r 是g o ( 妒，啊p ( q ) 反+ 1 ) 的一个子集令 ， g = ( c o ( t 3 k ，v 啄巾( q ) ) ： s t t f ) 我们断言g 非空，并且如果h g ，那么我们可以得到九( 玩) n 岛+ l 咖 由冗的定义可以知道，存在一个连续且满的奇映射h ：s b l 一f 我们定义一 个映射五：魄一嚼p ( q ) ，其中对于任意的s s b l 和 0 ，1 】，有无( 如) = t t h ( s ) 因此，元g 那么g 是非空的 7 如果0 h ( s k ) ，那么很容易可知 ( 瓯) n & + 1 咖若不然，我们考虑下面这个 映射无：s 忌一日， i ，、j 7 roh ( x i ，巩) ，i fx k + l 0 ， 凡( z 1 ，z 七，z 七+ 1 j2 1 7 r ( 一，一) ，i f 一 0 ，q 0 使得 和 ( ，z ) i = 互1 兰堂堡主兰竺笙苎 第二章 f u e i k 谱的l a n d s m a n l a z e r 型共振问题 由于当h j 的时候， ( z ) 瓦f 于是，对于所有的；，有 五，h ) ( 危疗十1 ( z ) ) o l 最后，像前面一样， 我们可以证明 札孔 有界类似于引理2 3 的证明，我们可以得到存在仳n 的一个子列 在毗p ( q ) 中收敛于u ，即存在临界点序列 u n 的一个子列收敛到五札，6 ) 的临界点 这样我们就完成了定理2 1 的证明 口 1 6 两南人学硕+ 学伊论文第三章f u c , i k 谱的非_ 次条件型共振问题 第三章f u 己f k 谱的非二次条件型共振问题 3 1主要结论 在这一章中，我们研究下面的拟线性椭圆方程： 卜耸让钏乍1 6 正1 + 夕( 刊，z q ，( 3 1 ) 1u = o ， z , o f f ， r “7 在非二次条件下的解的存在性，其中( n ，b ) ( 一o 。，入1 ) ( 一o o ，入1 ) 或 入岛，入七十1 ) 【k ，a 南+ 1 ) 在文章 2 7 】- 【2 9 】中，作者m t a n a k a 得到了问题( 3 1 ) 在非二次条件下的 解的存在性，但是仅限于a ，6 ) 属于平凡直线和第一条非平凡曲线关于更大范围内 解的存在性还未有更多的结果本章将在更大的范围内解决这样的问题我们作如 下的假设： ( c 1 ) 设g ：q r _ r 是一个c a r a t h e o d o r y 函数且满足次临界条件，即对所有 的t r ， 1 9 ( x ，t ) i a o l t l q - 1 + b o 在q 上几乎处处成立，其中咖，b o o 且当 p 时，1 q 惫，当1 n p 时， 1 q o c ： ( c 2 ) 设a ( x ，t ) = 夕( z ，s ) d s 且满足 1 i m p a ( 一z , t ) ：0 i t l - - * o oi tl p 在q 上几乎处处一致地成立： ( c a ) 9 ( z ，) 满足非二次条件，即 。l i m t g ( x ，t ) 一p a ( z ，t ) 】= 一o 。 在q 上几乎处处一致地成立 现在给出本章的主要结果： 定理3 1 假设( c 1 ) ，( c 2 ) ，( c 3 ) 成立则共振问题( 3 1 ) 对每一个( 口，b ) ( 一o 。，入1 ) ( 一，入1 ) 或 k ，, k k + 1 ) 【九，, k k + 1 )