（机械工程专业论文）基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用.pdf

基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 摘要 由于元模型具有计算速度快的优点，实际工程中越来越多的采用元模型来解 决耗时的黑匣子问题，基于元模型的最优化方法也越来越多的应用在实际工程中 来寻找某个设计的最优解。但是，由于构造技术的限制，单一元模型的适用范围 有限，只对某一类问题有效。而且，当样本点数较少时，其精度较差。这些缺点 限制了元模型以及基于元模型的优化方法在工程中的应用。因此，开发应用范围 广泛、高效的基于元模型的全局最优化方法具有重要的工程意义。本文创造性的 将多种元模型有机结合，取得了如下成果： 1 提出了解决耗时的黑匣子问题的混合元模型自适应建模优化方法 ( h a m - - h y b r i da n da d a p t i v em e t a m o d e l i n gm e t h o d ) 。该方法在搜索过程中同时采 用三种各具特点的元模型一k r 追i n g ，径向基函数( r b f ) 和二阶多项式响应面 ( q f ) 。k r i g i n g 和r b f 拟合的曲面通过所有样本点，而q f 采用最小二乘法求 解所需参数，形成平滑的曲面。元模型构建技术和构建方法的多样性显著的扩大 了h a m 方法的使用范围。而且，这三种元模型能够在搜索过程中自适应的更新、 重建，能够逐渐提高所关注区域的精度。此外，关键区域的提出使h a m 方法具 备空间缩减方法的效果，而有规律的在关键区域搜索使h a m 方法能够避免空间 缩减方法会误删全局最优的弱点。 2 提出了能够解决高维问题的设计空间区别对待方法( d s d - - d e s i g ns p a c e d i f f e r e n t i a t i o nm e t h o d ) 。d s d 方法将h a m 方法与设计空间区分策略相结合，搜 索效率和解决问题的能力都有显著提高。此方法将整个设计空间分成关键区域和 非关键区域，每次搜索都同时在两个区域中进行( 第一次迭代只在整个设计空间 进行) ，搜索范围在整个优化过程中一直覆盖整个设计空间。相对于h a m 方法每 隔两次迭代在关键区域搜索一次，d s d 方法的搜索效率较h a m 方法有显著提高。 此外，关键区域扩展策略的提出避免了算法由于关键区域缩减过快而陷入局部最 小的可能。 3 提出了基于混合元模型的解决多目标问题的p a r e t o 边界搜索方法 ( h m p f p - - h y b r i dm e t a m o d e l b a s e dp a r e t of r o n t i e rp u r s u i n gm e t h o d ) 。此方法将 h a m 的理念与解决多目标问题的策略相结合，能够去除p a r e t o 边界上的冗余点， 使得到的p a r e t o 点的分布间距适中，节省了计算时间。分组策略和排序策略的使 用使重要程度较高的样本点被优先选择用来更新元模型。此方法在继承h a m 方 法高效的基础上具备了解决多目标问题的能力，为解决工程中多目标问题提供了 算法选择。 i i 博士学位论文 4 将基于混合元模型的自适应优化方法应用于工程实际。在对某款车的乘员 约束系统的优化设计中应用h a m 方法对安全带安装点等参数进行优化。经过优 化，该车的驾驶员侧假人头部损伤h i c 值从1 1 2 4 降低到8 0 3 。为了确保假人在运 动过程中不与方向盘轮毂发生接触，在系统中加入安全带限力器。经过试验，带 有限力器的方案满足国家法规要求，假人h i c 值为7 1 2 ，胸部压缩量为3 8 5 r a m ， 成功的实现了该系统的优化设计。 关键字：混合元模型；全局最优化；黑匣子问题；设计空间差别对待；设计空间 扩展；p a r e t o 边界；多目标最优化 i u a b s t r a c t m e t a m o d e l t e c h n i q u e s a r e w i d e l y u s e di n s o l v i n gc o m p u t a t i o n i n t e n s i v e b l a c k - b o xp r o b l e m sf o ri t sf a s tc o m p u t a t i o n m e t a m o d e lb a s e dg l o b a lo p t i m i z a t i o n m e t h o d sa r ea l s ou s e dm o r ea n dm o r ei ns e a r c ho ft h eo p t i m u mf o ra d e s i g n f o rt h e m o d e l l i n gt e c h n i q u e s ，m e t a m o d e l sa r ec a s e d e p e n d e n ta n d ju s tc a nb eu s e di na t y p i c a lf i e l d i na d d i t i o n ，i t sa c c u r a c yi sn o tg o o dw h e nf e wp o i n t sa r eu s e df o r m e t a m o d e l l i n g f o rt h es h o r t c o m i n g sm e n t i o n e da b o v e ，s i n g l em e t a m o d e lb a s e d g l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d sa r eh a r dt ob ea p p l i e di nr e a le n g i n e e r i n g s o ，aw i d e l y u s e do p t i m i z a t i o nm e t h o dw i t hh i g he f f i c i e n c ya n da c c u r a c yi sav e r yu s e f u lt o o li n e n g i n e e r i n g s e v e r a ld i f f e r e n tm e t a m o d e l sa r ee m p l o y e dt o g e t h e ri nt h i sw o r ka n dt h e a c h i e v e m e n t sa r es h o w na sf o l l o w s ： 1 h y b r i da n da d a p t i v em e t a m o d e l b a s e dg l o b a lo p t i m i z a t i o nm e t h o d ( h a m ) i s d e v e l o p e d t h r e ed i f f e r e n tm e t a m o d e l sw i t hd i f f e r e n t c h a r a c t e r i s t i c sa r ee m p l o y e d a n di n t e g r a t e di n t h i sm e t h o d ，w h i c he n l a r g ei t s a p p l i c a t i o nf i e l d sc o m p a r e dw i t h s i n g l em e t a m o d e lb a s e do p t i m i z a t i o nm e t h o d s i na d d i t i o n ，t h ea p p r o p r i a t em e t a o d e l c a nb es e l e c t e da u t o m a t i c a l l yf r o mt h ea l t e r n a t i v em e t a m o d e l si n s o l v i n gu n k n o w n p r o b l e m s ，i n c r e a s i n gt h ee f f i c i e n c y t h e e m p l o y e dt h r e e m e t a m o d e l sc a nb e a d a p t i v e l yu p d a t e di no p t i m i z a t i o np r o c e s sa n dt h ea c c u r a c yi nt h ef o c u s e da r e aw i l l b eg r a d u a l l yi n c r e a s e d ，w h i c hm a k ei tb ea b l et os o l v eh i g h d i m e n s i o n a lp r o b l e m s t h ep r o p o s e di m p o r t a n tr e g i o ns t r a t e g yf u r t h e ri n c r e a s e si t sa c c u r a c ya n d e f f i c i e n c y 2 d e s i g ns p a c ed i f f e r e n t i a t i o nm e t h o di sp r o p o s e d ，w h i c hc a ns o l v et h e p r o b l e m sw i t hl a r g en u m b e ro fv a r i a b l e sa n dl a r g ed e s i g ns p a c e i tf u r t h e ri n c r e a s e t h ep e r f o r m a n c eb a s e do np r e v i o u s l yi n t r o d u c e dh a m m e t h o d i nt h i sm e t h o d ，t h e s e a r c hp r o c e s sw i l lb ed o n ei nc o n s t r u c t e d k e yr e g i o ns i m i l a ri ne v e r yi t e r a t i o n b e s i d e s ，t h ew h o l ed e s i g ni sa l s os e a r c h e dt oa v o i db e i n gt r a p p e di nl o c a lm i n i m u m c o m p a r e dw i t hh a mm e t h o dw h i c hs e a r c h e di nk e yr e g i o ne v e r yt w oi t e r a t i o n s ，t h e e f f i c i e n c yo fd s di sn o t i c e a b l yi n c r e a s e d i na d d i t i o n ，s p a c ee x p a n s i o ns t r a t e g yc a n e n l a r g et h ek e yr e g i o nw h e ni ti st o os m a l l ，w h i c hc a nf u r t h e ra v o i db e i n gt r a p p e di n l o c a lm i n i m u mf o rt h ee x c e s sr e d u c t i o no ft h ek e yr e g i o n 3 p a r e t of r o n t i e rp u r s u i n gm e t h o d ( p f p ) i sp r o p o s e di ns o l v i n gm u l t i o b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n ( m o o ) p r o b l e m s ，w h i c h i s d e v e l o p e d f o r c o m p u t a t i o n i n t e n s i v e b l a c k b o xp r o b l e mw i t hs e v e r a lo b j e c t i v e s p f pm e t h o di sa na l t e r n a t i v ei ns o l v i n g r v 博士学位论文 e n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，w h i c hb e r e ri n t e g r a t e st h ec o n c e p to fh a m m e t h o da n dt h e s t r a t e g yf o rm o op r o b l e m sa n da c c e p t a b l ep a r e t op o i n t sc a nb ep r o v i d e d i nt h i s m e t h o d ，s e l e c t i o ns t r a t e g ys u c c e s s f u l l yk e e p st h eu s e f u lp o i n t si nc h e a pp o i n t s ，w h i c h c a nm a k et h es e l e c t e dp o i n t su n i f o r m l yd i s t r i b u t e di np a r e t of r o n t i e r g r o u p i n g s t r a t e g ys u c c e s s f u l l yd i f f e r e n t i a t e st h ep o i n t so fd i f f e r e n ti m p o r t a n c e ，a n ds o r t i n g s t r a t e g ym a k e st h em o s ti m p o r t a n tp o i n tf i r s t l ys e l e c t e d t h ep r o p o s e dm e t h o dh a s t h ea b i l i t yi ns o l v i n gm o o p r o b l e m sw i t hh i g he f f i c i e n c yi n h e r i t e df r o mh a m 4 t h ep r o p o s e dh a mm e t h o di sa p p l i e di ns o l v i n gr e a le n g i n e e r i n gp r o b l e m s w i t hh a mm e t h o d ，t h ec o n s t r a i n e ds y s t e mo fo n ec a ri so p t i m i z e d ，a n da l lt h e p a r a m e t e r sm e e tt h er e q u i r e m e n t s i nn a t i o n a lr e g u l a t i o n ，w h i c ht h eh i cv a l u e d e c r e a s e df r o m112 4t o8 0 3 。t oe n s u r et h a tt h eh e a do ft h ed u m m yd on o tc o n t a c tt h e h u bo ft h es t e e r i n gw h e e l ，r e t r a c t o ri sa d d e dt ot h es y s t e m t h er e a le x p e r i m e n t d e m o n s t r a t e st h i sd e s i g n ，w h i c ht h eh i cv a l u eo ft h ed u m m yd e c r e a s e df r o m112 4t o 7 1 2a n dt h ed i s p l a c e m e n to ft h ec h e s ti s3 8 5 m m k e yw o r d s ：h y b r i dm e t a m o d e l ；g l o b a lo p t i m i z a t i o n ；b l a c kb o xp r o b l e m s ；d e s i g n s p a c ed i f f e r e n t i a t i o n ；s p a c ee x p a n s i o n ；p a r e t of r o n t i e r ；m o op r o b l e m v 博士学位论文 插图索引 图1 12 2 设计3 图】【2c c c ：； 图1 3c c f 4 图1 4c c i 4 图1 5 两种空间移除方法理论1 2 图1 6 论文的组织结构1 4 图2 1 初始点构建元模型示意1 8 图2 2 应用两个元模型a 和b 时空间分割后的示意图2 0 图2 3 新的样本点选取示意2 0 图2 4h a m 算法的流程图表2 1 图2 52 维时的设计空间和重点空间2 3 图2 6 试验车的有限元模型3 4 图2 7 优化前后模型碰撞后的变形3 5 图2 8 加速度曲线3 6 图2 9 吸能曲线3 6 图2 1 0 后车架系统及加载3 7 图2 1 1 变量定义3 7 图3 1d s d 方法流程4 2 图3 2g p 函数4 3 图3 3 初始样本点4 3 图3 4 分割后的设计空间4 5 图3 5 第五次迭代时的设计空间4 5 图3 6 关键区域扩展前后的设计空间4 6 图3 7 设计空间中“昂贵”点选取示意4 7 图4 1h m p f p 方法的详细流程5 7 图4 2 初始点和伪p a r e t o 点5 8 图4 3 “廉价点 计算示例5 9 图4 4 由k r i g i n g 得到的多组目标函数值示例一5 9 图4 5 两个目标时“廉价 点选取示例6 0 图4 6 两个目标时的共享点选取示意6 1 图4 7 分组后的样本点一6 1 i x 基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 图4 8 新的“昂贵点”选取流程6 4 图4 9 第一次迭代后得到的结果6 4 图4 1o5 次迭代后的结果6 5 图4 1 1 优化结果6 5 图4 1 3h m p f p 和n s g a i i 得到的算例1 的结果6 7 图4 1 4h m p f p 方法得到的算例2 的p a r e t o 边界6 7 图4 1 5h m p f p 和n s g a i i 得到的算例2 的结果6 8 图4 1 6h m p f p 得到的算例3 的p a r e t o 边界6 8 图4 1 7h m p f p 和n s g a i i 得到的算例3 的结果6 9 图4 1 8h m p f p 得到的算例4 的p a r e t o 边界6 9 图4 1 9h m p f p 和n s g a i i 得到的算例4 的结果一7 0 图4 2 0 结构的有限元模型7 1 图4 2 1 经计算的保险杠结构设计优化得到的p a r e t o 点7 2 图4 2 2 加速度曲线7 2 图4 2 3 吸能曲线7 3 图5 1 安全带示意图7 6 图5 2 汽车座椅结构示意图7 7 图5 3 转向系统示意图7 7 图5 4 仪表板示意图7 8 图5 5 座椅结构的m a d y m o 模型7 8 图5 6 安全带m a d y m o 模型7 9 图5 7 方向盘多刚体模型8 0 图5 8 约束系统多刚体模型8 0 图5 9 优化流程81 图5 1 0 头部加速度对比8 2 图5 1 1 胸部加速度对比8 2 图5 1 2 胸部压缩量对比8 2 图5 1 3 骨盆加速度对比8 3 图5 1 4 肩部安全带受力对比8 3 图5 15 左腿力对比8 3 图5 1 6 右腿力对比8 4 图5 1 7 头部加速度曲线8 5 图5 1 8 胸部压缩量8 5 图5 1 9 头部撞击方向盘位置对比8 6 图5 2 0 带限力器与不带限力器时假人撞击方向盘位置对比8 6 x 博士学位论文 图5 2 1 头部加速度对比8 7 图5 2 2 胸部压缩量对比8 7 x i 基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 附表索引 表2 1 标准算例的计算结果2 7 表2 2 高维算例的结果3 1 表2 3 验证结果3 2 表2 4 结构优化结果3 5 表2 5 优化结果3 8 表3 1g p 函数的详细优化过程4 8 表3 2 验证结果5 0 表3 3 混合动力出控制器优化结果5 3 表4 1 计算结果7 0 表4 2 结构优化结果7 1 表5 1 优化设计结果一8 5 表5 2 设计结果8 7 x i i 博士学位论文 1 1 选题的依据和意义 第1 章绪论 1 1 1 。汽车设计中耗时的仿真分析 在汽车设计过程中，工程师们通常会使用很多真实的汽车做试验来验证自己 的设计。随着数值方法的发展，大量的物理试验被计算机仿真所代替。由于计算 机仿真模型易于修改和实现，产品的设计周期和生产资金被大大的缩减了。在使 用仿真技术以前，福特汽车公司每年就要耗费多达1 2 0 辆汽车，花费6 千万美元 来进行汽车安全性试验。当引进汽车辅助工程分析，每年大约可以节省2 千5 百 万美元n 1 。 但是，这些仿真分析通常是非常耗时的。如果使用s g io r i g i n2 0 0 0 计算机来 计算一个包含7 5 0 0 0 单元的碰撞模型，计算时间大约为3 6 个小时【2 】。随着计算机 技术的发展，为了得到更精确的模型，有限单元的的尺寸变得越来越小，整车模 型中的单元的数目也随之增多。目前，一个比较精确的整车碰撞模型的单元数量 超过2 百万，即使使用4 核高端计算机，计算时间也要超过1 0 个小时。 1 1 2 基于仿真分析的车辆优化设计 激烈的市场竞争和计算机建模工具的发展使基于仿真分析的优化设计应用于 实际工程中。目前的仿真可以很准确的估计产品的物理性能，很多昂贵的物理试 验已经被仿真分析所代替。然而，工程师们只能从这些仿真分析中得到输入和输 出信息，阻碍了传统的基于梯度的优化方法的应用【3 巧j 。 遗传算法( g a ) 【6 ，7 1 、模拟退火算法( s a ) 【8 ，9 1 、粒子群算法( p s o ) 1 0 - 1 2 1 和蚁群算法( a c ) 【1 3 ，h 】等演化方法的出现给基于仿真的问题的优化提供了有效的 工具。这些全局优化方法在搜索过程中不需要使用梯度信息，只需要使用者提供 输入和输出参数( 模拟退火方法需要提供参考点) 。然而，这些方法较低的效率限 制了它们在实际工程中的应用，尤其是对基于有限元或者计算流体动力学( c f d ) 仿真问题的优化分析。c a r l i s l e 和d o z i e r 在文章中给出p s o 算法的推荐种群数为 3 0 ，其文章中对算例进行搜索所用的最少平均迭代次数为l3 0 次【l5 1 。以此为例， 假设单个有限元模型的计算时间为1 0 分钟，那么使用p s o 算法对此模型进行一 次优化设计的时间为3 0 * 1 3 0 1 0 分钟，即6 5 0 小时，将近一个月的时间，在效率 上难以满足实际工程的需求 基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 1 1 3 基于元模型的设计优化方法一优势、缺点和挑战 近些年来，基于元模型的优化方法吸引了很多学者的注意。元模型，又叫作 近似模型或者代理模型，它可以使用简单的数学函数代替复杂的黑匣子问题进行 计算，极大的减少了计算时间，它的出现给这些基于耗时的仿真分析的设计优化 提供了新的方法。 然而，元模型的精度在样本点数较少时很差，很难反应真实问题的特性。而 且，由于构造技术的限制，单一元模型只对某一类问题有效，在拟合其他问题时 很难给出较高的精度，甚至不能应用。比如，二阶多项式响应面在拟合低阶问题 时能够给出较好的结果，对于高阶问题，则无能为力。此外，目前的元模型很难 较准确的拟合高维问题，难以满足实际工程的需要。 仿真分析的黑匣子特性使得工程师们很难从目前存在的诸多元模型中选择最 合适的方法进行分析计算。而且，由于元模型的案例依赖性，基于不同元模型的 优化方法对不同的设计问题进行优化分析时效果差别很大。在优化过程中选择不 恰当的元模型会导致不必要的计算量，甚至得到错误的结果。元模型的诸多弱点 限制了基于元模型的优化方法在实际工程中的应用，因此，开发一种高效、适用 范围广泛的基于元模型的优化方法是十分必要的。 1 2 试验设计的研究和进展 为了探索物理模型的性质，试验是必不可少的。在工程中，传统的做法是改 变某一个参数并观测其结果。工程师们为了能够做出比较，通常使用各种因数的 组合来得到不同的设计。这些为物理试验开发出来的试验设计技术现在被应用到 计算机试验设计中来提高仿真分析的效率【l6 。取点作为试验设计的第一步，对于 探索物理系统者黑匣子分析仿真模型的特性有着至关重要的作用。试验设计通常 可以分为两种类型：经典设计和空间填充设计。 1 2 1 经典试验设计 在各种各样的试验设计中都会用到经典试验设计，它主要用来避免试验中的 随机、不确定的误差。全因子设计是它最基本的形式，即每个因子的设定都会出 现在其他的因子设定当中。全因子设计的最大缺点是它的设计试验的规模随着因 子或者设计变量的增加而按指数形式递增。虽然经典设计对于高维问题效率很差， 目前仍然有很多学者使用包括中心复合设计( c c d ) 在内的经典设计。一些按字 母排序的优化设计也依然吸引着学者的关注，尤其是d o p t i m a l ( d 优化设计) 【1 7 】。 b o x b e h n k e n 设计【l8 】由于只需要使用较少的因数水平，学者们也经常使用这个设 计选择样本点。 博士学位论文 1 2 1 1 因子设计( 2 一水平) 在过去很长的一段时间里，学者们都在使用因子设计来构造响应面，尤其是 多项式响应面。当一个试验包含很多因子，而且需要考虑因子间的联系时，就可 以考虑使用因子设计来取样。使用因子设计构造多项式响应面，我们可以知道因 子之间的相互关系并鉴别出每个因子对于该设计的重要程度。如果每个因子都有 两个水平( 低和高) ，这个特殊的因子设计就是常用的2 水平因子设计。2 水平因 子设计通常用来构造一阶多项式响应面【l9 1 。图1 1 是两个变量的2 水平因子设计。 o 0 o o 卜叫 + 低 高 图1 12 2 设计 1 2 1 2 中心复合设计( c c d ) b o x 和w i l s o n 2 0 】在1 9 5 1 年开发出了中心复合设计，主要用来构造2 阶多项 式响应面。中心复合设计就是带有一个中心点和2 k 个行星点的2 水平因子设计。 使用c c d 设计选取样本点，建立的响应面模型就能够模拟系统的曲率。比较常 用的中心复合设计有3 种，外接圆设计( c c c ) 、内接圆设计( c c i ) 和面中心设 计( c c f ) ，见图1 2 、图1 3 和图1 4 。 o o 口 图1 2c c c o 1 o 、口， ，口 基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 l 口一r i 。 亍 图1 3c c f 口 图1 4c c i 1 2 2 空间填充设计 当前的试验通常都使用计算机进行，所以误差是由于系统误差引起的、是确 定性的。目前需要的设计要能够覆盖整个设计空间而不是只关注边界，像经典设 计这种可以消除随机误差的设计就不太适合当前的要求。c c d 和d o p t i m a l 这种 经典设计就不再适合为确定的计算机代码取样【2 。 空间填充设计是在整个设计空间中布点，主要有四种方法：正交序列【2 2 之6 1 ， 各种拉丁超立方设计【2 7 - 3 1 1 ，h a m m e r s l y 序列32 1 ，和一致设计【3 2 ，33 1 。样本点的规模 取决于被模拟的函数的复杂程度，尤其是因子的多寡。增加样本点能够提供关于 被模拟函数更多的信息，但是会增加计算时间或试验费用。对于所拟合的函数， 当样本点的数目足够多时，再增加样本点并不能够提高近似模型的精度【3 4 1 。使用 少量的样本点来覆盖整个设计空间能够减少试验的次数，目前的取样技术主要侧 重于初始点的空间填充性能。 1 2 2 1 拉丁超立方设计 采样点的信息重叠无疑会增加额外的计算时间或者试验费用，因此，选取一 种具有空间填充性能而且能够选取没有重叠信息的采样方法是非常必要的。 作为一种空间填充的取点方法，拉丁超立方设计( l h d ) 在一定程度上可以 、。 1 yo0 博士学位论文 满足这些要求。它在n 维空间中应用拉丁方取样方法，能够保证所选取的样本点 间的信息是不重复的，比随机取点准确【35 1 ，并且具有定额抽样的特点【36 1 。 l h d 使用独立于设计变量n 的一定数量的水平m 来填充整个空间。起初这 个方法将每个设计变量分成m 段，然后形成一个m 行n 列的矩阵f 。每行根据每 个变量的范围索引无替代随机排列。这样就形成一个r n 行n 列的矩阵p ，里面的 单元是p i j ，代表第i 行j 列的单元。每个p i j 都是在【o ，1 】之间的随机数。最后， 生成矩阵s i j 并将变量的范围硬射n o ，1 】。s i j 最简单的形式是线性的： 1，、 s 2 三( 一曰) ( 1 1 ) 每个点的设计变量由式( 1 1 ) 得到。l h d 保证每个试验点都能体现所有输入变 量的特点【3 5 ，37 1 ，关于这个算法的详细介绍可以参考【3 8 ，39 1 。 1 2 2 2 优化拉丁超立方设计 优化拉丁超立方设计是为了提高拉丁超立方设计的性能提出来的，通常是在 拉丁超立方设计的基础上加入一些优化标准，经过迭代使样本点更均匀的分布在 设计空间中。主要有以下几种标准：熵标准【4 们，集中均方( i m s e ) t 2 7 1 和最大最小 距离标准等【4 1 1 。 1 3 元模型技术 为了解决当前所面临的复杂的问题，学者们开发出了各种各样的元模型构建 方法。这些方法各具特点，构造理念不尽相同，给使用者提供了众多的方法选择。 目前比较流行的元模型主要有k r i g i n g ，多项式响应面，径向基函数等。 l - 3 1k r i g i n g k r i g i n g 方法也叫做计算机试验设计分析方法【3 7 】或空间关联模型【4 2 ，4 3 1 ，是一 种非常著名并且广泛应用的元模型建模技术。它是由s a c k s 和其他一些研究人员 于1 9 8 9 年开发出来的，并以南非著名的采矿工程师k r i g i n g 的名字命名。k r i g i n g 在1 9 5 0 年代将这种基于样本点的方法用于估测矿石的品质4 2 ，4 3 1 。在k r i g i n g 方法 中，响应是通过贝叶斯方法，由一些随机的函数来得到的f 3 7 ，4 0 , 4 4 1 。作为一种插值 方法，k r i g i n g 方法拟合的曲面通过所有的样本点，并以此来估计未知函数的值。 k r i g i n g 方法的未知的随机函数由下面函数表示： y ( x ) = f ( 功+ z ( 功( 1 2 ) 其中，h ) 是未知的函数，通常是一个多项式( 通常为线性) ，与多项式响应面类 似，它覆盖整个设计空间；z ( x ) 是均值为o ，方差为0 2 ，协方差为c o v - z ( 一，工州的 高斯静态过程： 基于混合元模型的新型全局最优化方法及其在汽车设计中的应用 y ( x ) = 乏二屏岛( x ) + z ( x ) ( 1 3 ) i - i c o v z ( x ) ，z ( x 7 ) 】= 盯2 尺 尺( 薯，z ，) 】( 1 4 ) 其中，r 是相关系数矩阵，尺( t ，) 是尼个样本点中任意两个点勋，x j 的相关系 数函数，r ( 五，x ，) 有很多种【3 7 40 1 ，可以自由选择。比较常用的是高斯指数函数， 在本文中采用二阶高斯函数，并应用最大似然法来估计未知参数， n、 r ( x , x j ) = e x p i 一吼i ，1 2l ( 1 5 ) i - i k r i g i n g 方法比较适合解决低维的问题，对于高维问题，其效率就明显降低。 此外，k r i g i n g 方法的效率较低，对噪声比较敏感，详细的介绍可以见文献 4 5 4 7 】。 1 3 2 径向基函数 h a r d y 在1 9 7 1 年使用了径向基函数( r b f r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 拟合地理学 数据来模拟不规则的地理轮廓 4 8 1 。很多研究学者将r b f 与其它的元模型，比如 r s m 和k r i g i n g 来进行比较。结果发现，r b f 的精度在响应面( r s m ) 和k r i g i n g 之间，而且比k r i g i n g 容易构造【4 6 ，4 9 1 ，是介于k r i g i n g 和r s m 的一种折中选择。 和k r i g i n g 类似，r b f 也是用基函数构造的模型，不同的基函数可以构造出不同 的r b f 元模型，这些基函数可以是线性，也可以是非线性的。当然，不同的基函 数构成的元模型的性能是不同的。除了很多常用的基函数，比如线性函数，三次 方函数和高斯函数外，使用者可以自己开发一个基函数来得到自己需要的模型， 一些常用的基函数见文献 5 0 】。r b f 可以表示如下： l y = 矽( z ) = 层忙一薯l i ( 1 6 ) 其中，是欧拉范数，x 是需要估计值的新的样本点。x i 是输入样本点， 本点的数目，声i 是需要计算的系数。在这个函数里只有一个未知参数夕， 算。 如果石是第i 个样本点的输出，系数夕，可以用下面的式子来计算 = a q f 其中，矩阵彳中第f 行列的单元为彳“。 咒是样 需要计 ( 1 7 ) 4 刊i 薅一ti i ，1 f ，刀 当样本点非常稀少时，相比其他元模型，r b f 模型的精度是最高的。很多学 者在尝试改进r b f 的性能5 0 1 ，比如e r b f 就比原始的r b f 更有效、更灵活、结 果更好【5 。r b f 已经被成功的应用在很多的工程中，包括海洋深度测试、海拔测 试、降雨量的拟合、地理学、地质学等。 博士学位论文 1 3 3 多项式响应面 多项式响应面是目前广泛应用的一种元模型，它也被称作响应面( r s m ) ， 在工程中已经使用3 0 多年了【5 2 1 ，多项式中的未知参数使用最小二乘法来计算。 几十年来，多项式响应面已经成功应用在诸多领域中，比较常用的是低阶多项式， 比如一阶或者二阶。而一阶多项式由于不能拟合未知函数的曲率而逐渐被学者们 所放弃，通常所说的响应面多指二阶多项式，本文采用二阶多项式。一阶和二阶 多项式见式( 1 8 ) 和式( 1 9 ) 。 ，、j 已 y = p o + 屈t ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其中，参数屈是用最：b - 乘法使被预测的函数值的平方差最小而得到的。夕( x ) 是 真实函数值的近似值，参数用下面的方程来计算 = | - x x t lx y ( 1 1 0 ) 其中，x 是样本点的矩阵，y 是样本点函数值的矩阵。多项式响应面可以很容易 就构造出来，它可以在优化过程中，即使包含噪声也能很快的收敛。但是它很难 模拟高度非线性或者不规则的问题埔】。响应面有很多的应用，包括稳健性设计， 多学科优化，全局最优化策略和制造分析。 1 3 4 多元自适应衰减样条 多元自适应衰减样条( m a r s ) ，是由f r i e d m a n 于1 9 9 1 年开发的阮5 4 ，55 1 。它采 用一组基函数通过递归方法来拟合高维问题【4 6 1 。m a r s 的表达式如下： 夕= 口m 岛( x ) ( 1 1 1 ) 其中，a m 是扩展系数，b m 是基函数，表达式如下： 岛( x ) = 1 风= 卧札圹k ) ： oj 2 其中，是因子的数目，s k , m = + 1 ，x v ：k ，州是第，个变量，伴随每个变量的节点 用k 朋表示。+ 表示函数被切去了顶端【4 6 1 ，g 是样条的阶数。 s k , m ( 毛。七，。，一一) ：= 守一k 似m ) 一气刀 9 瓷譬 川) 一气朋) 。c 3 ， m a r s 是一种比较新的代理模型，当样本点的