16春季福师《实变函数》在线作业二.doc

谋学网福师实变函数在线作业二一、判断题（共 37 道试题，共 74 分。）1. 设f为,上增函数，则存在分解f=g+h，其中g是上一个连续增函数，h是f的跳跃函数. 错误. 正确正确答案：2. 有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+. 错误. 正确正确答案：3. 有界可测函数f在区间,上L可积的充要条件是f在,上几乎处处连续. 错误. 正确正确答案：4. 利用积分的sigm-可加性质(第二条款)可以证明绝对收敛级数各项可以任意重排。. 错误. 正确正确答案：5. 积分的引进分为三个递进的步骤：非负简单函数的积分，非负可测函数的积分，一般可测函数的积分. 错误. 正确正确答案：6. 函数f在区间,上可积的充要条件是f在区间,上的不连续点集为零测度集. 错误. 正确正确答案：7. 无论Rimnn积分还是Lsgu积分，只要|f|可积，则f必可积. 错误. 正确正确答案：8. f可积的充要条件是f+和f-都可积. 错误. 正确正确答案：9. 集合可测等价于该集合的特征函数X_可测. 错误. 正确正确答案：10. 若f有界且m(X),则f可测。. 错误. 正确正确答案：11. 若对任意有理数r,X(f=r)都可测，则f为可测函数. 错误. 正确正确答案：12. fV，则f有“标准分解式”:f(x)=f()+p(x)-n(x),其中p(x),n(x)分别为f的正变差和负变差. 错误. 正确正确答案：13. 连续函数和单调函数都是有界变差函数. 错误. 正确正确答案：14. 若f_n测度收敛于f，则1/f_n也测度收敛于1/f. 错误. 正确正确答案：15. 三大积分收敛定理是积分论的中心结果。. 错误. 正确正确答案：16. 若f有界变差且g满足Lip条件，则复合函数g(f(x)也是有界变差. 错误. 正确正确答案：17. 当f在,上R可积时也必L可积，而且两种积分值相等. 错误. 正确正确答案：18. 设f是区间,上的有界实函数，则f在,上R可积，当且仅当f在,上几乎处处连续. 错误. 正确正确答案：19. 若fLip,则f,. 错误. 正确正确答案：20. R中任一非空开集是可数个互不相交的开区间之并. 错误. 正确正确答案：21. 存在0,1上的有界可测函数，使它不与任何连续函数几乎处处相等. 错误. 正确正确答案：22. 函数f在,上为常数的充要条件是f在,上绝对连续且在,上几乎处处为零. 错误. 正确正确答案：23. 若fV,则f有界。. 错误. 正确正确答案：24. 增函数f在,上至多有可数个间断点，且只能有第一类间断点. 错误. 正确正确答案：25. 若f_n测度收敛于f，g连续，则g(f_n)也测度收敛于g(f). 错误. 正确正确答案：26. 对Rn中任意点集，必为可测集. 错误. 正确正确答案：27. 可积的充分条件:若存在gL1,使得|f|+f(x)=0. 错误. 正确正确答案：31. 若F是R中一紧集(即有界闭集)且F不等于R，则F是从一闭区间中挖去可数个互不相交的开区间后所得之集. 错误. 正确正确答案：32. 测度收敛的L可积函数列，其极限函数L可积. 错误. 正确正确答案：33. L积分比R积分更广泛，且具有优越性。. 错误. 正确正确答案：34. 若交等于空集，则可测时必可测. 错误. 正确正确答案：35. 设f:R-R可测，f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)=x. 错误. 正确正确答案：36. f在上可积的充要条件是级数 M(|f|=n)之和收敛. 错误. 正确正确答案：37. 若f_n与g_n分别测度收敛于f与g，且f_n=g_n，.,n=1,2,则ff,.,则. fn依测度收敛于f. fn几乎一致收敛于f. fn一致收敛于f. |fn|-|f|,.正确答案：4. 在（ ）条件下，上的任何广义实函数f(x)都可测. m=0. 0m+. m=+. 0=m=+正确答案：5. 下列关系式中不成立的是（ ）. f(i)=f(i). f(i)=f(i). ()0=00. (i)=(i)正确答案： 福师实变函数在线作业二三、多选题（共 8 道试题，共 16 分。）1. f(x)=1,x(-，+),则f(x)在(-，+)上. 有L积分值. 广义R可积. L可积. 积分具有绝对连续性正确答案：2. ，是两个集合，则下列正确的是（ ）. f-1(f（）)=. f-1(f（）)包含. f(f-1（）)=. f()包含f()f()正确答案：3. 若f(x)为Lsgu可积函数，则（ ）. f可测. |f|可积. f2可积. |f|.正确答案：4. 若fV,，则（ ）. f为有界函数. Vx(f)为增函数. 对任意有V(f)=V(f)+V(f). f至多有可数个第一类间断点正确答案：5. 设fn与gn在X上分别测度收敛于f与g，则（ ）. fn测度收敛于|f|. fn+gn测度收敛于f+g. (fn)2测度收敛于f2. fngn测度收敛于fg正确答案：6. 若f,，则（ ）. f,. fV,. f(x)=f()+x f (t)t. fLip,正确答案：7. 设为Rn中的一个不可测集