（机械电子工程专业论文）冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究.pdf

摘要 与传统的杆支撑并联机器人相比，绳牵引并联机器人具有结构简单、质量轻、 可达工作空间大和运动速度快等特点。冗余绳牵引并联机器人可以减少工作空间 内的奇异位形，提高工作空间性能，所以它的工作空间的求解方法和性能成为本 文研究的重点。 本文推导了绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程，研究了多指手抓取模型与 绳牵引并联机器人的相似性关系，将多指手抓取的凸条件应用于绳牵引并联机器 人，得到绳牵引并联机器人力旋量封闭的判定定理。文中论述了绳牵引并联机器 人的力旋量封闭工作空间和力旋量可行工作空间的定义及定理，提出一种基于降 维理论来求解以上两种工作空间的新方法，通过传统的方法或者定理验证了该方 法的正确性。 最后对评价工作空间性能的总体运动性能指标、局部运动性能指标以及工作 空间的大小等进行了研究。通过改变绳索拉力范围、末端执行器的姿态角、外力 旋量和驱动冗余度，分析对机构工作空间性能的影响，获得了可用于设计性能良 好的机构的一般性结论。 关键词：冗余绳牵引并联机器人凸集理论工作空间求解方法工作空间性能 a b s t r a c t c a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o t sp o s s e s san u m b e ro fp r o m i s i n ga d v a n t a g e so v e rt h e c o n v e n t i o n a ls t r u t - s u p p o r tp a r a l l e lr o b o t s ，s u c ha ss i m p l ea n dl i g h t w e i g h tm e c h a n i c a l s t r u c t u r e ，h i g h l o a d i n gc a p a c i t y , l a r g e r e a c h a b l e w o r k s p a c ea n d f a s tm o v e m e n t v e l o c i t y r e d u n d a n tc a b l e - d r i v e np a r a l l e lr o b o tc a nr e d u c es i n g n l a rc o n f i g u r a t i o no f t h ew o r k s p a c ea n da d v a n c et h ew o r k s p a c ep e r f o r m a n c e s os o l u t i o nm e t h o da n d p e r f o r m a n c eo f t h e i rw o r k s p a c eb e c o m ear e s e a r c he m p h a s i si nt h i st h e s i s t l i sp a p e rd e d u c e st h ef o r c e s c r e we q u i l i b r i u me q u a t i o n so fc a b l e - d r i v e np a r a l l e l r o b o t sa n ds t u d i e st h es i m i l a r i t yr e l a t i o n s h i pb e t w e e nm u t i f i n g e r e dr o b o t i cg r a s p i n g m e c h a n i s m sa n dc a b l e d r i v e np a r a l l e lr o b o t s n l ec o n v e xc o n d i t i o no fm u t i - f i n g e r e d r o b o t i cg r a s p i n ga l ea p p l i e do nc a b l e - d r i v e np a r a l l e lr o b o t sa n da c h i e v et h ed e c i s i o n t h e o r e mo ff o r c e s c r e wi nc a b l e - d r i v e np a r a l l e lr o b o t s i na d d i t i o n ，t h i st h e s i se x p o u n d s d e f i n i t i o na n dt h e o r e mo ft h ef o r c ew r e n c h - c l o s e dw o r k s p a c ea n dt h ew r e n c h - f e a s i b l e w o r k s p a c e ，p u tf o r w a r dan e wm e t h o db a s e do nt h et h e o r yo fd i m e n s i o nr e d u c t i o nt o s o l v ea b o v et w ok i n d so fw o r k s p a c e ，a n dv e r i f i e st h ev a l i d i t yo ft h i sm e t h o dt h r o u g ht h e t r a d i t i o n a lm e t h o do rt h e o r e m f i n a l l y ，v a r i o u sk i n d so fe v a l u a t i o nm e t h o d si n c l u d i n gg l o b a lc o n d i t i o ni n d e x ， l o c a lc o n d i t i o ni n d e xa n dt h ew o r k s p a c ea r e ao rv o l u m ea r eu s e dt oe v a l u a t e w o r k s p a c ep e r f o r m a n c e b yc h a n g i n gt e n s i o nr a n g eo ft h ec a b l e ，a t t i t u d ea n g l eo f e n d e f f e c t o r ，e x t e r n a lf o r c es c r e wa n dr e d u n d a n c yr a t et h e i ri n f l u e n c eo nt h ew o r k s p a c e p e r f o r m a n c ea r ea n a l y z e da n do b t a i nag e n e r a lc o n c l u s i o nu s e dt od e s i g nag o o d p e r f o r m a n c em e c h a n i s m k e y w o r d s ：r e d u n d a n c tc a b l e - d r i v ep a r a l l e lr o b o t s c o n v e xt h e o r y s o l u t i o nm e t h o do ft h ew o r k , s p a c e w o r k s p a c ep e r f o r m a n c e 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在一年解密后适用本授权书。 本人签名： 导师签名：昌翥渊日规也! 坌：绝 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的背景意义 绳牵引并联机器人是用若干根绳向外牵引，每根绳的一端与动平台以点状铰 链的形式连接，另一端以点状铰链的形式与固定在机架上的滑轮相连，组成一种 新型的机器人。 冗余绳牵引并联机器人相对于非冗余绳牵引并联机器人，可以完全克服工作 空间内的奇异形位，全面提高机构的各项性能，利于实现工作空间内的点到点或 任意轨迹的运动。动平台的运动轨迹取决于工作空间的大小，而加速度则于运动 轨迹有关。除了点状动平台的工作空间可以用凸包定理得出，一般绳牵引并联机 器人的工作空间相当复杂。该领域的研究学者曾一度认为无法以封闭的形式表示。 随后，很多学者提出了绳牵引并联机器人工作空间的求解方法。对于欠约束和完 全约束的绳牵引并联机器人，采用求解线性方程组的方法可以求其工作空间，但 是对于冗余绳牵引并联机器人的工作空间的求解相当复杂。 由于机器人处于奇异形位时，为实现某些方向的运动就需要较大的驱动器速 度和驱动器的力。在奇异形位附近，某些方向的运动也是很困难的。因此，设计 绳牵引并联机器人时尽量使有效工作空间远离奇异形位，而冗余绳牵引并联机器 人可以增加有效工作空间。 综上所述，对于冗余约束绳牵引并联机器人，由于它的力旋量平衡方程存在 无数组解，无法通过解析法得到它的工作空间。同时很多学者通过拉力优化求解 其工作空间，但是也只能得到工作空间的子空间，不能成为设计任务工作空间一 般标准。随着驱动冗余度、绳索的拉力范围、动平台的姿态角和外力旋量的变化 对机构的工作空间性能的影响规律也是一个非常重要的研究问题。 1 2 研究概况 1 2 1 绳牵引并联机器人的发展状况 随着机器人科学的发展，2 0 世纪8 0 年代一种新型的并联机器人一绳牵引并 联机器人的出现，扩宽了机器人的应用范围。绳牵引并联机器人是将驱动器的运 动和力以绳为介质并转换成末端执行器运动和力的并联结构形式机器人。由于采 用绳索代替连杆作为传动元件，使其与传统的串联机器人和并联机器人相比具有 如下优点i l l ：负载重量比高：结合了并联结构和绳索轻质、低转动惯量的特点， 传动机构的单位质量具有很高的承载能力；工作空间大：铰链转角及绳索伸缩 范围的扩大增加了机构的工作空间；响应速度快：运动部件惯性的大幅度降低 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 有效改善了伺服驰动器的动态品质允许末端执行器获得较高的进给速度和加速 度，特别适合于高速运动的场合；环境适应性强：绳牵引并联机器人具有易拆 装、可重构和模块化设计的特点，可以根据应用场地的需要构建形式多样的布局 和自由度组合；变刚度控制：绳牵引并联机器人的末端执行器要完全可控，需 要比机构自由度多的牵引绳冗余驱动，驱动冗余产生的内力变化会带来机构刚度 的改变对机器人变刚度工作尤为适用。 美国麻省理工学院学者l a n d s b e r g e r 设计了一种针对海洋作业的3 自由度绳牵 引并联机器人。从2 0 世纪8 0 年代起，美国国家标准与技术研究所f n a t i o n a l i n s t i t u t eo fs t a n d a r d sa n dt e c h n o l o g y ) 开始了r o b o c r a n c 项目的研究工作并不断 地探索绳牵引并联机器人潜在的应用前景口j 。至今己先后研制成功了用于起重、 检测、机器人标定、加工、飞机维修、港口货物吊装、船舶建设、海底打捞、废 物清理、石油油井灭火等样机( 图1 1 ) 。美国a u g u s t d e s i g n 公司设计了用于摄像 拎嚣 图i l 油井灭火r o b o c r a n e l 2 0 模型图12 绳牵引摄像系统 系统的s k y c a m ，属于末端为点状的3 自由度绳牵引并联机构 4 1 ( 圉i 2 k 特拉华 大学分别研制了6 根绳牵引具有6 自由度的i r p m s 5 1 和4 根绳牵引的平面 c r p m s 嘲，并进行了动力学与控制问题的研究( 图13 。图1 0 ) 。为了解决港口集 幽1 3 特拉华大学的6 自由度l r p m s图14 特拉华大学的3 自由度c r p m 5 装箱等大件装卸时定位困难的问题，宾夕法尼亚州立大学研制了采用3 根或4 根 绳索吊装货物的绳索阵列机器人( 图1 5 ) r n 。美国俄亥俄州大学的w i l l i a m s 和意大 利帕多瓦大学的g a l l i n a 研究了平面完全和冗余约束绳牵引并联机器人，建立了机 构的动力学模型，设计了实现绳张紧状态拉力最小值的计算力矩控制器_ l 1 9 】【“i 。 随后，俄亥俄州大学的b o s s c h 盯提出了用于分层制造技术的c 4 机器人，它属于 第一章绪论 1 2 根绳牵引的具有6 自由度的r r p m s “】。 图i5 宾夕法尼亚州立大学的绳索阵列机器人 德国罗斯托克大学的m a i e r 开发了类似的吊车型i r p m s ，命名为c a b l e v 与 前者不同的是滑车在3 条平行的轨道上运行【“1 ( 图l6 ) 。杜伊斯堡埃森大学研制 了7 根绳牵引的6 自由度完全约束绳牵引井联机器人s e g e s t a ( 1 9 11 7 ) c ”i 。 图16 罗斯托克大学的c a b l e v图17 杜伊斯堡埃森大学的s e g e s t a 意大利学者u i i r i c h 设计并实现了4 根绳驱动的3 自由度纯转动触觉设备【i 。 帕多瓦大学的g a l l i n a 研制了4 根绳驱动的平面3 自由度触觉装置f e r i b a - 3 ，同时 分析了位置正解和可操作度【l “( 图18 ) 。该装置具有低惯量、低摩擦及高灵巧 性等优点，通过一个光滑的平面约束掉末端执行器的3 个自由度，使末端在平面 上做2 自由度平动和绕垂直平面轴的转动。随后，t r e v i s a n i 在此基础上，提出增 加2 自由度连杆串联支链分别连接末端执行器与机架，以此增加绳的预紧力【l ”。 f c r r a 陀s i 提出了可以用作遥控主设备的由9 根绳牵引的6 自由度并联机构 w h r o 63 ，该机构可视为在绳牵引s t e w a r t 平台的基础上，通过增加汇交于末端执 行器上一点的三根下拉绳索形成i l ”。由于结构特殊，f c r r a r c s l 得到了封闭的位置 正解。 圈i8 帕多瓦大学的f e d b a - 3 一，豳 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 在韩国j e o n g 等人对用于坐标测量的绳牵引并联机器人进行了运动学和工 作空间分析。 出麟 雷i9f a s t 5 0 m 缩比模型 图1 1 0 低速风洞实验模型 在国内，针对建造世界上最大的5 0 0 m 口径大型射电望远镜f a s t 项目的需 求，西安电子科技大学段宝岩教授提出了采用6 根大跨度并联柔索控制馈源指向 跟踪运动的设计方案唧( 图l9 ) 。华侨大学郑亚青博士对绳牵引并联机构的构型、 工作空间、刚度、冗余性、运动仿真和轨迹规划做了深入的理论研究和大量的数 值仿真研究工作。同时刘雄伟教授、郑亚青博士和厦门大学林麒教授合作研制了 由8 根绳牵引的6 自由度飞行器风洞实验模型睇1 1 ( 图1 _ l0 1 。 1 2 2 工作空间的研究状况 绳牵引并联机器人由于绳单向约束性能，其工作空间的定义与传统并联机器 人有所不同。其工作空间不仅由绳长等因素决定，更重要的是保证每根绳处于正 拉力空间的子集内，使得末端执行器( 动平台) 实现力和力矩平衡。 工作空间是评价绳牵引并联机器人工作能力的一个重要指标，工作空间分析 是绳牵引并联机器人设计的重要基础，工作空间大小决定了并联机器人的活动空 间。工作空阃的求解方法分为两类：一类是解析法；一类是数值法f 竭。在解析法 方面，具有代表性是g o s s e l i n 的几何法旧，f “】提出了若干工作空间的定义与分析。 对于一般构型绳牵引并联机器人的力旋量封闭工作空问的确定过程相当复 杂除了动平台是点状的情况之外。v g r h o e v o n 用半代数集合给出了绳牵引并连 机器人的封闭形式，但该表达式相当复杂，仅对平面绳牵引并联机器人工作空间 的确定具有实际意义”。华侨大学郑亚青博士在t a k e d a 研究的基础上，详细的分 析了力传递性能系数的求解过程1 2 6 1 ，并确定出一种新型的六自由度绳牵引并联机 器人的工作空间。 陈峰”1 由静力平衡方程出发分别求解了末端执行器在重力作用下的6 根绳牵 引的6 自由度欠约束并联机器人的位置和姿态空间。b o s s c h e rp a u l 等利用矢量图 形方法，解析表达了点状末端执行器欠约束绳牵引并联机器人的工作空间边界 i ? ”l od i a o 针对用于半实物仿真的7 根绳牵引6 自由度完全约束并联机器人，采用 第一章绪论 凸集理论方法数值求解工作空剐2 9 1 ，【3 伽。g o u t t e f a r d e l 3 1 1 采用区间方法分析了8 根绳 牵引的6 自由度冗余约束并联机器人的工作空间。f a t t a h 求解了平面绳牵引并联 机器人的工作空间，并以全局条件数指标( t h eg l o b a lc o n d i t i o ni n d e x ) 为目标函数 进行了结构优化设计【3 2 1 。k o r a y e m 分析了绳索自重下的弹性变形，在此基础上求 解了欠约束绳牵引并联机器人的工作空削3 3 j 。 如果进一步考虑绳索拉力的范围，我们便会发现：实际的工作空间( 力旋量可 行工作空f m ) d , 于相应的理论工作空间( 力旋量封闭工作空间) ，而且力旋量可行工 作空间只能用数值方法确定。对于冗余约束绳牵引并联机器人工作空间的求解， 首先必须解决绳索拉力的优化分布问题，这是一个相当复杂的问题，并且只能得 出工作空间的子空间。 因此，提出一种求解冗余绳牵引并联机器人工作空间方法显得尤为重要，可 以真实反映机构的工作空间。同时分析实际绳索拉力范围、动平台的姿态角、外 力旋量的大小对工作空间性能指标的影响规律，使机构的末端执行器能在预定工 作空间内工作空间内工作。冗余绳牵引并联机器人有很多优点，探讨驱动冗余度 增加对绳牵引并联机器人工作空间及运动性能的影响规律，是一个值得研究的问 题，也是国内外研究的热点之一。 1 3 本文主要工作 由于冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法的复杂性，目前一般采用数值 法。本文在数值法基础上，通过建立一般构型绳牵引并联机器人的力旋量平衡方 程，研究多指手抓取模型和绳牵引并联机器人的相似关系，基于降维理论提出了 求解绳牵引并联机器人工作空间的一般数值方法。通过改变驱动冗余度、绳索拉 力范围、动平台的姿态角和外力旋量，分析对机构工作空间性能的影响。本文在 前人研究的基础上，做了以下几方面工作： 第二章：绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程 介绍了绳牵引并联机器人的组成元素与条件，建立并分析具有完整约束连续 运动系统的绳牵引并联机器人，含有驱动器变量和末端执行器变量的约束方程， 分析末端执行器所具有自由度和构型，推导绳牵引并联机器人的雅克比矩阵和力 旋量平衡方程，基于驱动冗余度对绳牵引并联机器人进行分类。 第三章：凸集理论与力旋量封闭分析 阐述了凸集理论的相关知识；基于凸集理论研究绳牵引并联机器人与等价无 摩擦点接触抓取在机构上的相关性与力传递的相似性，得出绳牵引并联机器人的 力旋量封闭的判断定理；随后进行力旋量封闭实例分析，验证上述相似性应用的 合理性。 6 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 第四章：绳牵引并联机器人的工作空间的求解方法 研究了降维理论的一般过程，基于降维理论提出一种求解一般绳牵引并联机 器人工作空间的新方法，接着进行新方法的可行性验证。 第五章：驱动冗余度对工作空间性能的影响分析 介绍了评价工作空间的各种性能指标，具体包括局部运动性能指标、全局运 动性能指标以及工作空间的面积或体积。通过改变绳索拉力范围、动平台的姿态 角、外力旋量大小和驱动冗余度，研究以上参数对机构工作空间性能的影响。 第二章绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程 7 第二章绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程 2 1 引言 在机器人的运动学分析中，通常采用机构的雅克比矩阵和力旋量平衡方程描 述动平台的速度与各个驱动器的速度之间的关系，以及外力旋量和对应各驱动器 的力之间的关系。本文通过推导绳牵引并联机器人雅克比矩阵，分析绳牵引并联 机器人的约束方程以及动平台的受力状况，推导出动平台所受的力旋量平衡方程。 2 2 1 组成元素与条件 2 2 构型描述 绳牵引并联机器人是将驱动器的运动和力以绳为介质转换成动平台( 末端执 行器) 的运动和力的装置。其组成元素包括机架、滑轮、绳、动平台、连接滑轮与 绳的关节和连接绳与动平台的关节等组成。绳牵引并联机器人可看作是将驱动器 变量g = ( q l ，g ，) r 和驱动力t = ( ，乙) 2 转换到动平台的变量x = ( 而，靠) 7 和力f = ( z ，厶) r 的装置。这样的绳牵引并联机器人满足以下3 个条件： ( 1 ) 假设末端执行器变量是独立的，则行不能大于6 ，因为在三维空间里，刚 体仅有6 个独立的运动数目，分别为沿三个坐标轴的移动和转动。 ( 2 ) 关节变量和驱动器变量可能存在差别。 ( 3 ) 驱动器变量的数目m 可以是任意大，但必须大于或等于，l ，否则系统无 法得到完全控制。 2 2 2 绳牵引并联机器人的约束方程 设绳牵引并联机器人为完整约束系统， 的关系可用约束方程表示 h ( q ，x ) = 0 则驱动器变量和末端执行器变量之间 式( 2 - 1 ) 这里日是在约束空间r g 中关于变量g 和x 的隐函数，0 是刀维零向量，0 = ( g ，x ) r 为机构的广义坐标。由于机构运动的连续性，将式( 2 - 1 ) 对时间求导，得 百o h 。, g 十面o h 6 x = 。设= 百o h ，= 筹，贝, j i q r g ，且将运动从驱动器 空间r 转换到约束空间r g ；l r 鲫，且将运动从末端执行器空间r ”转换到 8 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 约束空间尺g 。对给定的一对( 6 9 ，8 x ) ，l 和将无限小的运动旋量( 刚体从一位 置到另一位置的运动可以通过某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到， 这种组合称为旋量运动。旋量运动的无穷小量称为运动旋量) 6 9 和6 x 转换成约束 空间中运动的变量苗。属于切空间的一对 q ，5 x ) 满足 掣6 9 + 塑6 一x ：0 式(22)ax 6 口+ 爿= j 瓦( 2 2 ) 锄1 一、 7 关于朋、以和g 维数，若约束在切空间内是线性无关的，即r a n k ( 1 qi x ) = g ， 则公式( 2 1 ) 总共有m + n 个变量，g 个独立不变的约束。如果g 朋，则机构的总 自由度小于疗，这是不可能的，因为机构的末端执行器有厅个独立的自由度。相 反，若g o ，f - - l o * 9 肌时，在满足式( 2 3 1 ) 1 拘前提下，动平台能到达位置 冗余绳牵引并联机器人t 作空间求解方法及性能的研究 的集合称为力旋量可行工作空间，即所谓的实际工作空间。 上述定义表明：如果动平台处于静力学平衡状态，则矿仅表示作用在动平台 上的所有外力旋量( 包括所有绳拉力引起的作用在动平台上的力旋量，以及重力 等，这时，称该工作空间为静力学平衡工作空间。如果动平台以一定的加速度运 动，则矿还包含动平台的加速度引起的惯性力，这时称该工作空间为动力学平衡 工作空间) 。因此，式( 2 3 1 ) 可统称为基于动态静力分析的力旋量平衡方程。 2 3 4 驱动冗余度 为了研究问题的需要，式( 2 3 d 的可解性引起了许多研究学者对绳牵引并联机 器人进行分类。v e r h o e v e n 口”根据驱动冗余度对其进行了分类。 ( 1 ) 当牵引绳的数目m 小于等于动平台的自由度”时，即m sh ，式( 2 3 1 ) 最 多有一个解( 奇异位姿除外) 。若w = 0 ，则没有正解，机构只有在考虑外力( 如重 力) 时才能被使用。这种机构称为欠约束绳牵引井联机器人( h k o m p l e 忙l y r e s t r a i n e d p o s i t i o n i n g m e c h a n i s m s ) ，简称i r p m s ，如图22 ( a ) 所示； ( 2 ) 当牵引绳的数目m 等于n + l 时即胁= n + l ，除了奇异位姿情况外，式 ( 2 - 3 0 的解是r 1 的一维仿射于空间，这种机构称为完全约束绳牵引并联机器人， ( c o m p l e t e l y r e s t r a i n e d p o s i t i o n i n g m e c h a n i s m s ) ，简称c r p m s ，如图2 2 ( b ) 所示： ( 3 ) 当绳的数目珊大于n + 1 时，即埘 n + l ，式( 2 3 1 ) 的解是震。的多维仿射子 空间。该机构称为冗余约束绳牵引并联机器人( r e d u n d a n t l yr e s t r a i n e dp o s i t i o n i n g m e c h a n i s m s ) 简称r r p m s ，如图22 ( c 调f 示。 ( a ) 1 l i p m ( 3 r 3t 】 第二章绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程 ( c ) p p r m o r 3 i ) 图2 3 绳牵引并联机器人的分类 为完成给定的任务，机构必须有足够的自由度。冗余绳牵引并联机器人会导 致生产成本提高，但是它却有下面几个优点： ( 1 ) 因为载荷重新分布，所以需要的驱动器功率较小； f 2 1 更有利于机构的几何布置； f 3 ) 对特定的轨迹的运动，多余绳可以降低所需的总能量： ( 4 ) 绳的根数的增加，工作空间也随着增大，奇异位姿减少： ( 5 ) 在急救系统的应用中，安全问题是很重要的。采用高度冗余约束定位机 构，即使某些绳断了，也不会影响系统的工作。 1 6 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 2 4 小结 本章分析了绳牵引并联机器人的约束方程，推导出绳牵引并联机器人的雅克 比矩阵，得到驱动器的速度和动平台的运动速度关系式。利用驱动器变量做功与 动平台所做功相等，推导出绳牵引并联机器人的力旋量平衡方程。总结v e r h o e v e n 建立的基于驱动冗余度的对机构的分类，即i r p m s ，c r p m s 和r r p m s 。 第三章凸集理论与力旋量封闭分析 1 7 第三章凸集理论与力旋量封闭分析 3 1 引言 对于绳牵引并联机器人，因为它的结构矩阵中甩个独立的列向量张成一个疗 维凸包以及动平台的位置是绳与机架上滑轮的连接点位置的严格凸组合，所以机 构的力旋量封闭工作空间是满足上述条件的所有位置的集合h 7 1 。因此，本章将深 入研究凸集基本理论，分析绳牵引并联机器人与多指手的抓取模型之间的相似关 系，将多指手的抓取模型的力旋量封闭的理论应用到绳牵引并联机器人中，得出 了绳牵引并联机器人的力旋量封闭的判定条件。最后通过两种不同机构的力旋量 封闭实例对比，证明了将多指手的抓取模型的力旋量封闭理论应用到绳牵引并联 机器人中的正确性。 3 2 1 凸集的定义及定理 3 2 凸集理论 若点集d 中任意二点的连线都属于d ，则称d 为凸集，否则称为非凸集。如 图3 1 所示。凸集的概念可用数学的语言简练的表示。 ( a ) 凸集( b ) 非凸集 图3 1 凸集与非凸集 凸集定义：设d r ”，v x , ，屯d ，v a 【0 ，l 】恒有q + ( 1 - a ) x 2 d ，则称 集合d 为凸集。 定理3 1 设彳r ”，召彤，彳，b 均为凸集，则 ( 1 ) a + b = x 1 + x 2ix 1 a ，x 2 b ) 彳n 占是凸集； ( 2 ) 4 + b = x 1 + x 2ix 1 a ，x 2eb ) 是凸集； ( 3 ) a b = x 1 一x 2ix 1 a ，x 2 b ) 是凸集； 定理3 2s 是一个凸集的充要条件为： 对于任意正整数m 2 任给五，x 2 ，s ，任给非负实数q ，a 2 ，a m 且 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 q + 吗+ + = l ，恒有 a , x t + q 而+ + 矗s式( 3 - 1 ) 集合s 的凸包( c o n v e xh u l l ) ，使包含s 的晟小凸集置( 即为所有包含s 的凸集的交 集) ，d a c o ( s ) 表示州。根据此定义，对于给定的集合s = 纠， ，其凸包为 jt c o ( s ) = 缸= a , x 。；珥= l ，q o ，( 户l ，t ) )式( 3 2 ) j i if 。i 此概念的说明如图32 ( 幻所示。 3 2 2 分离超平面 图3 2 凸包与分离超平面 c 弓 离超平面 凸集研究中一个有用的对象为分离超平面。对于给定点c r ，经过c 并且 具有法向量v r p 的超平面定义为 且( c ) = 缸e 群：v 扛一c ) = 0 )式( 3 - 3 ) 由凸集分析基本理论知，对于任意凸集k 和一点c # k ，存在满足 x e 芷，v 7 0 一c ) 0 的超平面风( c ) ，即置中所有的点位于札( c ) 的同侧。这样的 超平面称为位于丘和一点c 之间的分离超平面，如图3 2 c o ) 所示。如果c 位于| r 的 边界上，则用v 7 0 一c ) o 代替v 7 0 c ) ) 0 ，并称h 。( c ) 为支撑超平面。 3 23 凸组合定义及性质 凸组合定义：v x ，一一彤若j q 2 吼，q - 0 ，圭q ：1 ，使 b l x = o t x + + a k x 式( 3 - 4 ) 则称点z 是点一，一的凸组合。将不等号“”改为 ”，o p i e 线性组合的一般 。蕞 第三章凸集理论与力旋量封闭分析 1 9 意义。 顶点和极点的定义：设d 为凸集，x d ，若x 不能表示为d 中任意两点的 正线性组合，则称x 为d 的极点和顶点，即顶点不是凸集中任何线段的内点。 定理3 3 如果集合x = h ，吨 正张成空间r p ，则七p + l ； 定理3 4 如果scr p ，q h a t ( c o s ) ，那么一定存在集x = v l ，唯 cs ，使得 q i n t ( c o x ) ，k 2 p 。 矢量封闭原理：刀维空间中，任何一组矢量v 是封闭的，当且仅当y 至少有 n + 1 个矢量( h ，v 2 ，+ 。) 满足下列两个条件 1 ) 玎+ 1 个矢量中的任意以个矢量是线性无关的； 2 ) 存在一个矢量，= n 吃，：| + r 满足玢= v ，；= o ，其中矢量，的每个 元素同号，a pv i l ，2 ，n + l ：r e 0 或v i 1 ，2 ，厅1 = 1 + 1 ： o 。可以通过选择g 的任意两列来构成支撑平面。设如表示有q 和q 所 确定平面的法向量。考虑各种可能的情况，有 讵= 【口bl 】吒g = 【o 0 2 a2 6 】 吒= 【o 1 o 】谁g - - o 一1 0 1 】 吒= 陋- b1 】记g = 【o 2 b 一2 a o 】 吃= 口一b l 】v 2 r g = 2 a 0 0 2 6 】 吒= 1 0 o 】吃g = 【1 0 1 o 】 屹= 【口b 一1 】g , g = 【2 口一2 b 0 o 】 ( a ) 厶3 叨一 ( c ) ( d ) 图3 4 点接触平面抓取是否为力封闭的确定 f y 由于满足力旋量封闭判定定理条件4 ，所以可以得出该抓取是力旋量封闭的 结论。这种抓取的凸包见图3 4 ( b ) 所示。 对于第二种抓取，如图3 4 ( c ) 所示，接触位置取为口，b = o ，即 第三章凸集理论与力旋量封闭分析 f 1o-1o i g = lo 一1 ol l 式( 3 9 ) 【- 0 00 0 j 由于不可能通过g 列的正线形组合来约束力矩( 条件2 ) ，所以这种抓取不是力旋量 封闭的。g 列的凸包全部位于六平面内，如图3 4 ( d ) 所示，但不包括原点邻域( 条 件3 ) 。最后取1 ，= ( o ，0 ，1 ) ，r g = 0 0 0 0 】。因此条件4 也不满足。 上面都是是平面点接触抓取的例子，发现采用条件4 计算比较方便，所以下 面采用条件4 计算绳牵引并联机器人的力旋量封闭判定问题。 3 4 2 绳牵引并联机器人的力旋量封闭分析 如图3 5 所示平面点状3 索绳牵引并联机器人。对于第一种情况，绳索对机 架的铰接点坐标连线所组成的三角形包含原点，对应的结构矩阵为 = 3 二6 4 式(3-10634 ) 一一 i 7 s ( a ) s ( c )( d ) 图3 5 绳牵引并联机器人是否为力封闭的确定( 包含原点) 可以通过选择h 的任意一列来构成支撑平面。设表示向量以的正交向量。 2 4 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 考虑各种可能的情况，有 彳= 【- 63 】彳h = 【o2 5 3 6 z - - 3 - 6 】z h = - 2 5 03 6 露= 【44 】雳h = 【3 6 - 3 60 】 所得结果完全满足力旋量封闭判定定理的条件4 ，同时也满足其余3 个条件， 所以可以得出第一种平面点状绳牵引并联机器人满足力旋量封闭。 对于第二种情况，绳索对机架的铰接点坐标连线所组成的三角形包含原点， 如图3 6 所示，对应的结构矩阵为 拈l 2-6一-4644 i 柳t ， ii 一”。 ( a ) ( c )( d ) 图3 6 绳牵引并联机器人是否为力封闭的确定( 不包含原点) 同理，可以通过选择h 的任意一列来构成支撑平面。设表示向量以的正 交向量。考虑各种可能的情况，有 订= 【- 62 】 一，= 【o 4 4 1 6 第三章凸集理论与力旋量封闭分析 z = 【46 】z ，= 【4 40 - 4 0 p f = 4 4 】，= - 1 6 - 4 00 】 所得结果不满足力旋量封闭判定定理的条件4 ，同时也不满足其余3 个条件， 所以可以得出第二种平面点状绳牵引并联机器人不满足力旋量封闭。 通过上述两种机构的力封闭判定的算例发现，将用于多指手抓取模型的的力 旋量封闭理论可以用于绳牵引并联机器人力旋量封闭的判断上。 3 5 小结 本章以绳牵引并联机器人和多指手抓取模型为对象，研究了两种机构在结构 相关性及力传递相似性方面的问题，发现用来分析多指手抓取中瞬时特性的理论 可以借鉴过来用于研究绳牵引并联机器人的相关问题。将多指抓取模型力旋量封 闭分析的相关理论应用于绳牵引并联机器人力旋量封闭的判定，得出了绳牵引并 联机器人力旋量封闭的判定定理。随后通过实例分析，进一步验证了上述相似关 系的合理性。 第四章绳牵引并联机器人工作空间的求解方法 2 7 第四章绳牵引并联机器人工作空间的求解方法 目前对于冗余绳牵引并联机器人工作空间的求法分为两类：一类是解析法 【l l 】，【2 3 1 ，【冽，一类是数值法【2 l 】，f 2 5 】【2 6 1 。在解析法方面，对于力旋量封闭工作空间边界 的解析表达式已经得到解决，而对于力旋量可行工作空间边界的解析表达式，当 动平台的自由度大于3 时，力旋量可行工作空间是否存在解析表达式，学术界尚 无明确解答。数值法的思路一般是根据动平台的约束条件搜索工作空间，具体的 方法有网格法、蒙特卡罗方法和拉力优化法。由于以上数值方法往往针对特定类 型，不普遍适用于各类绳牵引并联机器人，从而导致了给出方法的限定性，因此 研究一种适用于所有冗余绳牵引并联机器人工作空间的求解方法成为亟待解决的 问题。在前面已经得出了绳牵引并联机器人力旋量封闭的判断方法，但对于力旋 量可行的判断还需进一步探索。 本章通过研究降维理论的一般过程，提出一种求解绳牵引并联机器人两种工 作空间的一般数值方法。随后分别采用新方法和解线性方程组或判定定理得出不 同种类绳牵引并联机器人的工作空间，验证了新方法的可行性和正确性。 4 2 一种基于降维理论求解工作空间的新方法 4 2 1 降维理论 降维理论是一种数学方法，对于空间中的维数较高的的系统，通常不能通过 传统的线性方程组的理论得到它的解，所以需要将维数较高的系统转化为维数较 低的系统，使问题求解简化。下面通过空间几何的相关理论采用新的方法将多维 系统转换为一维系统。下面引入空间多维向量的矢量积法则，已知刀维空间的刀一1 个基向量，则与这疗一1 个基向量同时垂直的向量是它们矢量积，给出甩维空间向 量的矢量积运算公式。设空间一系列矢量m = 【五，l ，五p 29 * e ，薯卅r ( 扛1 ，n - 1 ) ， 则 l i1 2 h ，1吃，1 舻吁一l 2 l 飞2 一1 屹一l j 屹- 1 2 。： v l 一一1v 2 ，月一i 屹一i ，一l 式( 4 1 ) 从空间几何上解释p 为由矢量魄，v 2 ，屹一。形成的经过原点的超平面的法 冗余绳牵引并联机器人工作空间求解方法及性能的研究 向矢量。不难看出，在三维空间内，式( 4 1 ) 高等数学里的所学的向量积公式。 从第二章的式( 2 3 1 ) 可以看出，求解工作空间的问题被转变成为判断式( 2 - 3 1 ) 中线性方程组是否有解的问题。因为有很多组拉力解存在，所以这通常是一个以 绳索拉力为变量的解不确定的方程组。然而，为了检查某一位置是否位于工作空 间之内，不是要得到所有的拉力解，而最重要的是判定这些拉力解的是否存在。 z 图4 1 空间降维的概念 y 从数学上讲，式( 2 3 1 ) 是向量z 的凸组合。对一个动平台是空间刚体的绳牵 引并联机器人来说，z 是一个6 维向量，这使得几何凸分析方法更加困难。因此， 解决问题的关键减少空间的维数。基本思想也就是将一个拧维空间可以分解成一 些一维的子空间。如图4 1 示，假设原系统彳3 是一个三维系统。四个向量 i o s ? ，嘲，删，删l 是结构矩阵的四个独立的列向量，结构矩阵的上标代表空间 的维数。为了形成第一个一维子空间，取一个同时垂直于向量o g 和删，并且 通过原点的矢量，即向量o s ? 和o s 3 进行矢量积所得的向量珐，将剩余的向量 投影到向量珐，上，生成1 维的两个非零向量o s 和洲。 图4 2 检验力封闭的条件 从数学上可知，该投影变换可以用向量的数量积来完成。在消除向量卿和 o s 3 后，子系统彳1 由一个一维空间构成。如果原系统有一组解集，则这组解也满 第四章绳牵引并联机器人工作空间的求解方法 足这个子系统。类似的，如果其余向量投影到对应向量p l ，3 ，a 4 ，p 2 3 p 2 4 ，p 3 4 上，这里只，f = 卿傩；，( 江1 ，3 ，歹= l g * e 9 4 ) ，则可以得到其它五个一维子系统。 原系统解的存在性对于在这些子系统中同样也满足。 因此，一个原三维系统可以生成6 个一维子系统。如果所有子系统都能满足 相关条件，则原系统也满足相应的条件。由于在一维系统中判断解的存在性非常 简单，只需要进行简单的标量运算。图4 。2 所示，描述了在一维子系统中力旋量 封闭的问题。 因此，为了检查力旋量封闭，至少需要两个相反分量。检查力旋量封闭时外 力旋量常被忽略掉，因为此时机构可以抵抗任意大小和方向的外力旋量。相关的 数学条件如下： 式( 4 2 ) 式( 4 2 ) 中一表示其余向量投影后所得结果小于零的值，+ 表示其余向量投影后 所得结果大于零的值。 o f ， ； 一。f 稿 一 - 2 一- 和， f 图4 3 检验力可行的条件 类似的，图4 3 说明了力旋量可行的问题。它表示出与外力旋量相反的分量 在抵抗这个外力旋量上起的积极作用。其他分量虽然没有抵抗外力旋量，但是它 们有助于系统内部所有绳索之间保持平衡。相对应的数学条件如式( 4 3 ) 圭k 五i k = l 圭i ：血i 量= l + + 式( 4 3 ) 式( 4 3 ) q a 土= k ，孟= ，盐= q ，懈，盖= f + ) k = 屯形。 因此，在一维子系统中的力旋量封闭和力旋量可行的判定是简单易懂的。通 常，一个原系统可以被分解成多个一维子系统，若原系统是一个m 列的n 维系统， 则一维子系统的数量n 可以用下式计算出来： o o ，令f + = p r 形+ p r 以， ( p r 以 o ) ，f 一= p r 山，( p r o ) ，若f + f 一 o ，则投影方向满足矢量平