（机械设计及理论专业论文）印制电路板组件的振动分析与控制.pdf

摘要i眦帆吣叭眦吣7眦眦,7li4y206 73 7411振动分析与振动控制是电子设备结构设计中必不可少的一部分，而印制电路板组件( p c b a ) 是电子设备的关键部件。本文在结合机械振动理论及有限单元法的基础上，对某p c b a 进行动态特性、动力响应及动力可靠性分析，并根据分析结果对p c b a 进行了优化控制。本文首先讨论了适用于p c b a 的有限元建模方法，据此建立其有限元模型，并验证模型的合理性。基于有限元分析软件a n s y s 的动力学分析模块，对p c b a 进行模态分析、谐响应分析、冲击响应分析以及随机振动响应分析，得到其动态特性参数以及在不同类型激励下的动力响应结果。在此基础上，分析了p c b a 在随机激励下的动力可靠性问题，应用泊松过程法及其改进方法计算出不同响应点的首次超越动力可靠度，并计算了焊点的累积损伤疲劳可靠度。最后，本文对p c b a 的三种常用加固设计方法进行了分析对比，并提出了一种新的预应力安装方法，验证其在控制振动响应方面的有效性。根据不同加固设计方法的优点和不足，总结出在选择加固设计方法及进行电子元器件布局时应注意的问题，并给出了有益的建议。针对加固设计方法中加速度响应过大的问题，本文设计了一种内置式橡胶减振器，在控制p c b a 位移与应力响应的同时，有效地减小了其加速度响应量级，取得不错的减振效果。关键词：印制电路板组件振动分析有限单元法动力可靠性振动控制a b s t r a c ta sa ni n d i s p e n s a b l ep a r to ft h es t r u c t u r a ld e s i g no fe l e c t r o n i ce q u i p m e n t ，t h ea n a l y s i sa n dc o n t r o lf o rv i b r a t i o no fp r i n t e dc i r c u i tb o a r da s s e m b l y ( p c b a ) a j ee x t r e m e l yi m p o r t a n t b a s e do nt h et h e o r yo fm e c h a n i c a lv i b r a t i o na n df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h ed y n a m i cp r o p e r t y , r e s p o n s ea n dr e l i a b i l i t yo fap c b a i nt h el i g h to ft h ea n a l y s i s ，s o m eo p t i m i z i n gc o n t r o lm e t h o d so fv i b r a t i o no ft h ep c b aa r es t u d i e d i n t h i st h e s i s ，s e v e r a lw a y st oe s t a b l i s ht h ef em o d e lf o rp c b aa r ed i s c u s s e d ；t h ef em o d e lo fp c b ai ss e tu pa n dp r o v e dt ob et r u e u s i n gt h em o d u l eo fd y n a m i ca n a l y s i si na n s y s ，i no r d e rt og e tp a r a m e t e r so fd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c sa n dk i n e t i cr e s p o n s eo ft h ep c b a ，as e r i e so fr e s e a r c hi sp r o c e s s e d ，i n c l u d i n gt h em o d a la n a l y s i s ，t h eh a r m o n i ca n a l y s i s ，t h ei m p a c ta n a l y s i sa n dt h ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t y ( p s d )a n a l y s i s t h e n ，a p p l y i n gt h ep o i s s o nf o r m u l aa n dt h em o d i f i e dp o i s s o nf o r m u l a , t h ed y n a m i cr e l i a b i l i t i e so ft h ep c b ae x c i t e db yar a n d o mv i b r a t i o ns o u r c ea r ec a l c u l a t e d a n dt h ef a t i g u ed a m a g eo fo n es p o tw e l di sa l s ow o r k e do u t a f t e rc o n t r a s t i n gt h r e em e t h o d so fi n s t a l l a t i o nu s e dg e n e r a l l yf o rp c b a ，an e ww a yw i t hp r e s t r e s s e df o r c ei sp u tf o r w a r d ，a n di t se f f e c t i v e n e s si nc o n t r o l l i n gt h ev i b r a t o r yr e s p o n s ei sv e r i f i e d a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n c e sa m o n gt h ef o u rm e t h o d so fi n s t a l l a t i o n ，s o m ep r o b l e m sa r es u m m a r i z e di nt h i sp a p e rw h e nw ec h o o s et h em e t h o d so fi n s t a l l i n gp c b aa n dp o s i t i o n i n ge l e c t r o n i cd e v i c e so np c b ，s o m eh e l p f u ls u g g e s t i o n sa r ea l s og i v e ni nt h et e x t f i n a l l y , a ni n b u i l tr u b b e rd a m p e ri sd e s i g n e dt oa b s o r bt h ee n e r g yp a s s e df r o mt h eb a s e t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ed a m p e rc a nc o n t r o lt h er e s p o n s eo fd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sa n da l s or e d u c et h er e s p o n s eo fa c c e l e r a t i o no b v i o u s l y k e y w o r d s ：p r i n t e dc i r c u i tb o a r da s s e m b l yv i b r a t i o na n a l y s i sf i n i t ee l e m e n tm e t h o dd y n a m i cr e l i a b i l i t yv i b r a t i o nc o n t r o l第1 章绪论第1 章绪论1 1 课题研究的背景随着电子技术的迅猛发展，电子产品已经深入到人们生活的方方面面。无论是在军用领域还是民用领域，电子设备都起着举足轻重的作用。伴随着电子设备向小型、超小型、微型组装方向发展，电子设备的结构设计已经引起世界各工业国的广泛关注，并成为设计环节中不可或缺的一部分。现代电子设备的结构设计和可靠性设计主要包括热设计、振动冲击设计、电磁兼容设计、防腐蚀设计等。国外曾对机载电子设备进行故障剖析，结果发现，5 0 以上的故障是由环境因素所致，而振动、温度、湿度三项环境故障率则高达4 4 i 。美国军方的一项调查数据显示，引起机载电子设备故障的环境因素中，振动因素约占2 7 1 2 1 。因此，振动冲击设计是电子设备结构设计中必不可少的环节。1 1 1 电子设备的机械环境电子设备在运输和使用过程中会受到各种机械力的干扰，这些机械力的主要形式包括：振动、冲击、离心力、机构运动所产生的摩擦力等。在设备所处的场所，这些对设备构成影响和干扰的机械力通常统称为设备的机械环境。根据机械环境对设备的作用性质，可将其分为以下四种类型：1 、周期性振动周期性振动是指机械力的周期性运动对设备产生的振动干扰，并引起设备作周期性往复运动。产生这一干扰的主要原因是：运载工具上的发动机振动，例如汽车、舰船、飞机、导弹等发动机工作时产生的强烈振动；高速旋转物体的质量偏心，如设备内部的电动机、风机、泵产生的振动：以及高速飞行器的空气动力作用。表征周期振动的主要参数有：振动幅度和振动频率。2 、非周期性干扰碰撞和冲击非周期性干扰是指机械力作非周期性扰动对设备的作用。其特点是作用时间短暂，但加速度很大。根据对设备作用的频繁程度和强度的大小，非周期性扰动力又可以分为碰撞和冲击两种。( 1 ) 碰撞设备或元件在运输和使用过程中经常遇到的一种冲击力，具有重复性，次数较多，加速度不大，冲击波形一般是正弦波。例如，车辆在坑洼不平的道路上的行驶、飞机的降落、船舶的抛锚等。这种冲击作用的特点是次数较多，具有重复性，波形一般是正弦波。2印制电路板组件的振动分析与控制( 2 ) 冲击设备或元件在运输和使用过程中遇到的非经常性的、非重复性的冲击力，例如撞车或紧急刹车、舰船触礁、炸弹爆炸、设备跌落等。其特点是次数少，不经常遇到，但加速度大。表征碰撞和冲击的参数有：波形、峰值加速度、碰撞或冲击的持续时间、碰撞次数等。3 、离心加速度离心加速度是运载工具作非直线( 旋转和曲线) 运动时设备受到的加速度。一般来说，受离心力作用最大的是机载电子设备。离心力造成的破坏是严重的，例如具有电接触点之类的电器产品受到离心力作用时触点容易自动脱开或闭合，将造成系统误动作、信号中断或电气线路断路等故障。4 、随机振动随机振动是指机械力的无规则运动对电子设备产生的振动干扰。随机振动在数学分析上不能用确切的函数来表示，只能用概率和统计的方法来描述其规律。随机振动主要是外力的随机性引起的，例如，路面的凸凹不平使得汽车产生随机振动，大气涡流使得机翼产生随机振动，海浪使得船舶产生随机振动以及火箭点火时由于燃料燃烧不均匀引起部件的随机振动等。在电子设备所处的机械环境中，各种机械力和干扰形式都可能对设备的可靠性造成危害，其中危害最大的是振动和冲击。它们造成的危害主要有以下两种：( 1 ) 设备在某一激振频率下产生振幅很大的共振，最终因振动位移或加速度超过设备所能承受的极限而破坏；或者由于冲击所产生的冲击力超过设备的强度极限而使设备破坏。( 2 ) 振动加速度或冲击力引起的应力虽远低于材料在静载荷下的强度，但由于长时间振动或多次冲击使材料疲劳，从而导致设备破坏。1 i 2 本课题研究的目的和意义电子设备因其各种元器件数量众多，许多元器件承受机械环境的能力较弱，所以，因机械作用力引起的损坏和故障率也很高。因此，必须对电子设备进行动力分析及可靠性分析。但是，由于大部分电子设备的电子元器件过多，结构过于复杂，要对电子设备的所有细节进行分析，不仅计算量很大，而且没有必要。一种比较可行的方法是将电子设备分成不同的封装级别，并对不同的级别分别进行简化分析。印制电路板组件( p r i n t e dc i r c u i tb o a r da s s e m b l y ，简称p c b a ) 是电子设备板级封装的主体，是电路板和各种电子元器件通过机械与电气连接而形成的组合体。随着p c b a 向小型化、密集化方向发展，其可靠性问题日趋严峻，如何保证p c b a第1 章绪论的可靠性，已经成为电子设备结构设计的一个重要问题p j 。因此，对p c b a 进行振动分析、动力可靠性分析以及振动控制，是十分有必要的。对p c b a 进行动力分析，不仅可以得到印制电路板本身的动态特性( 固有频率和固有振型) 及动力响应( 谐响应、瞬态响应、随机振动响应) 参数，还可以得到印制电路板上主要电子元器件的动态特性及动力响应特性，为之后的动力可靠性分析及振动控制提供依据，从而保证整个电子设备的可靠性，满足设备的工作要求。1 2 电子设备动力分析的国内外研究现状1 2 1 电子设备振动分析与控制研究现状如今，电子设备的性能不断得到提升，用途不断扩展，并根据特定的需要，被安装于不同的载体上，如车辆、飞机、船舶、舰艇、宇宙飞船等，这些电子设备经受不同程度的机械环境的影响。为保证电子设备的工作性能和使用寿命，人们不断通过理论与实验方法，对各种不同的电子设备进行动力分析和优化控制，并取得了长足的进步。电子设备首先在国外出现并得到快速发展，因此，电子设备的振动问题很早就引起人们的重视。早在1 9 5 6 年，l u n n e y 和c r e d e 根据电子设备实际环境的测试数据，对其进行了振动分析和疲劳破坏分析1 4 j 。1 9 7 2 年，e s h l e m a n 在 s h o c ka n dv i b r a t i o nt e c h n o l o g yw i t ha p p l i c a t i o n st oe l e c t r i c a ls y s t e m ) ) 中总结了美国航空航天局( n a s a ) 解决太空电子设备振动和冲击问题的方法1 5 j 。1 9 7 3 年s t e i n b e r g 在 v i b r a t i o na n a l y s i sf o re l e c t r o n i ce q u i p m e n t ) ) 一书中，对军用和商用电子设备从器件级的元器件到系统级的机箱的振动和冲击问题进行了很多理论性的研究，并介绍了一些电子设备的减振方法，被国外研究人员视为电子设备振动分析与控制研究的理论支柱1 6 j由于电子设备是一个非常复杂的系统，应用传统的理论计算及实验方法处理电子设备特别是印制电路板组件时，会遇到诸多困难，并且随着电子计算机的进步，各种工程数值方法得到了快速发展，其中有限单元法是非常重要的一部分，并被大量使用在电子设备的结构设计中。2 0 世纪9 0 年代，j m p i t a r r e s i 和b a r k e r 等人对印制电路板进行了有限元建模方面的探讨，提出利用区域等效的方法来建立印制电路板的有限元模型【7 1 ，该方法在求解电路板的动态特性时有很好的计算精度。1 9 9 2 年，j m p i t a r r e s i 和a a p r i m a v e r a 对印制板的有限元建模进行了总结，并提出了建立p c b a 有限元模型的五种方法【8 j 。t i n l u pw o n g 对表面贴装元器件的印制电路板组件进行了动态特性预测p j 。j m p i t a r r e s i 和a v d ie d w a r d o 对印制电路板的安装及支承进行了振动分析及优化控制【】0 1 。之后，j m p i t a r r e s i 和p h i lg e n g建立了计算机主板的有限元模型，成功进行了模态分析、冲击响应分析及随机振4印制电路板组件的振动分析与控制动分析，并将有限元仿真分析结果与模态试验结果进行了对比，发现主板的冲击响应取决于其基捌1 1 】。y q w a n g 等人对p c b a 进行跌落环境下的有限元数值模拟及实验动力响应分析，将数值结果与实验结果对比后发现通过有限元模型计算得到的结果非常接近实验结果【1 2 】【1 3 】。t e e 及o n g 等人对手机等电子产品中的焊点进行跌落冲击实验及有限元分析并进行了比较1 1 4 1 5 j 。由于电子技术在我国起步较晚，对电子设备的振动分析及控制研究开展得也较晚，但是我国的电子技术产业正处于从仿制到自行设计的阶段，电子设备的结构分析包括振动分析也越来越受到重视。1 9 8 1 年，赵悖殳等人出版了 电子设备结构设计原理一书，书中系统地对电子设备的振动冲击分析及控制理论进行了阐述，同时介绍了一些减振措施【l 】【1 6 】。贾建援、仇原鹰等人于1 9 9 5 年应用有限元方法，对机动电子方舱在随机激励及碰撞冲击作用下的响应做了预估，为电子方舱的振动分析及控制提供了参考1 1 7 1 墙】。王锐、王红芳等人对舰载电子设备的动态特性进行了实验及有限元分析，并提出电子机柜动态设计的四个要点，显示了将实验方法及有限元动力仿真相结合的优点【1 9 1 1 2 0 1 2 。司俊珊针对电子设备中薄弱的晶振模块，应用计算机建立数学仿真模型，并对其进行加速度冲击下的响应分析瞄j 。生建友、张亚峰从系统级别对电子设备进行抗振动和冲击能力的研究，针对设备的整机布局和整机结构设计提出了隔振和缓冲的措施四儿2 4 j 。杨字军用有限元仿真技术对航天计算机机箱进行了模态分析、冲击响应分析及随机振动分析，指出动力学仿真对于提高电子产品的环境适应性起着非常重要的作用1 2 5 1 。王其东对电子机柜连接部位进行了有限元分析，并比较不同的建模方法对计算结果的影响1 2 6 1 。宋立辉对车载电子设备进行了随机振动分析，并根据分析的结果对隔振缓冲系统进行了优化，取得良好效果【2 刀。程诗叙应用a n s y s 对一卫星信号处理电路组件进行模态分析，根据分析结果，改进了该组件的抗振措施，并结合电路设计原理，对p c b a 进行从新布板，使得电路板组件的抗振性能得到了较大提升1 2 引。从以上叙述可以看到，国外对电子设备的动力分析及振动控制的研究较早也较为深入，从系统级到电路板级再到元器件级的研究成果都很丰富。而国内的成果主要集中在系统级别，对电路板级和元器件级的研究较少，而且大多集中于对电子设备动态特性的分析，而对于动力响应的研究则更为少见，因此，有继续深入研究的必要。1 2 2 结构动力可靠性的发展概况结构的动力可靠性理论是一门新发展起来的结构动力学分支，由于其所涉及的问题难度较大，甚至有许多最基本的问题至今仍未解决。2 0 世纪4 0 年代，美国学者s o r i c e 研究了动力反应与某一固定界限交叉的问题，首次建立了在给定时问第1 章绪论内交叉次数及其期望值的数学表达式1 2 9 1 。他在1 9 4 4 年和1 9 4 5 年先后提出了两个关于首次超越概率的著名公式，为首次超越破坏的动力可靠性理论奠定了基础。1 9 6 6 年，s h c r a n d a l l 等人将数值模拟法引入首次超越问题中，为动力可靠性分析开辟了新途径。近几十年来，动力可靠性的研究工作取得了长足的进展，研究领域也从确定性结构扩展到随机参数结构和非线性结构。1 9 8 8 年，i g u s a 和k i u r e g h i a n f给出了随机过程激励下，随机参数结构可靠性分析的一种方法【3 0 】。m a d s e n 进一步考虑了结构响应为随机过程向量，基于首次超越破坏机制和一阶或二阶可靠度方法，建立了时变系统可靠性分析的一种方法1 3 。g b e c k e r 等利用离散马尔可夫过程分析了随机冲击下的动力可靠性问题，并估计了地下水管网络基本单元的结构可靠度i 3 2 1 。在我国，动力可靠性的研究工作最初开始于抗震机构的动力可靠性。2 0 世纪6 0 年代，王光远、胡聿贤、李桂青等人将地震激励近似为平稳随机过程，研究了结构随机反应的分析方法及振型耦合等问题，为抗震结构的可靠性分析进行了基础性的研究。1 9 9 3 年，李桂青、曹宏编著了结构动力可靠性理论及应用一书，全面而系统地阐述了结构动力可靠性的基本理论、计算方法，并介绍了动力可靠性在高层建筑等结构应用的一些成果1 3 4 1 。1 9 9 7 年，陈建军、段宝岩等研究了多自由度体系的动力可靠性问题【3 5 】，两年后，他们在r e l i a b i l i t y a s p e c t si nd y n a m i c &s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ) ) 一书中，对结构动力可靠性和结构可靠性优化设计中的若干理论问题进行了较为系统的阐述。2 0 0 5 年，胡太彬对随机结构的动力特性及动力可靠性进行了研究，并对动力可靠性约束下的结构进行了优化设计p 6 1 。杨宇军对空军计算机的电路板组件及电子器件进行了动力可靠性分析，提出了在力学环境的时间历程中空间计算机结构寿命的估算方法i ”】。由此我们可以看到，动力可靠性的研究受到结构动力学和随机过程理论的影响，许多复杂的问题尚处于初步理论探讨阶段，由于现实需要，如在抗震和抗风机构的动力可靠性研究方面，已经有了一定的理论基础及研究成果。但是，由于动力可靠性理论的困难性和电子设备系统的复杂性，无论是在国外还国内，电子设备动力可靠性研究方面的文章都极为少见。1 3 本文的主要工作本文以机械振动理论与有限元方法为基础，在分析了某印制电路板组件的结构特点及选择合适的建模方法后，建立了其有限元模型，并对其进行动态特性及动力响应分析，得到其动态特性参数及在不同激励下的动力响应结果，在此基础上，运用动力可靠性理论，分析其首次超越及累积疲劳损伤动力可靠性。最后，以控制该印制电路板组件的动力响应为目的，分析了不同的加固设计方法对其动态特6印制电路板组件的振动分析与控制性参数及动力响应结果的影响，提出了一种对其进行加固设计和有效隔振的方法，并验证该方法的有效性。概括起来主要有以下几点：( 1 ) 对机械系统的振动分析理论做了简要的论述，给出了在不同激励的作用下系统振动响应的理论计算方法。介绍了有限元法的原理及其分析步骤，对动力有限元法做了详细的理论描述，同时应用a n s y s 分别对集中参数系统及弹性连续体进行模态分析及随机振动分析，得到其动态特性参数及动力响应结果，并与理论计算结果进行比较，验证了使用a n s y s 进行动力分析的准确性。( 2 ) 在讨论并对比了印制电路板组件的五种不同建模方法的优劣后，选择合适的建模方法建立某p c b a 的有限元模型，并验证该有限元模型的合理性，然后对该p c b a 进行模态分析，得到其固有频率及主振型分布，并分析这些参数对电路板及元器件布局的影响。接着，对p c b a 进行动力响应分析，主要包括谐响应分析、冲击响应分析以及随机振动分析，通过上述分析得到系统在不同激励下的动力响应结果，为后续可靠性分析及振动控制提供数据准备，并针对振动分析中的一些问题提出了有效的建议。( 3 ) 研究了结构的动力可靠性问题，并以随机振动分析结果为基础，对p c b a进行了基于泊松过程法的首次超越动力可靠性分析，得到系统在随机激励下不同位置的位移响应和应力响应的首次超越动力可靠度。接着，应用改进的泊松过程法得到更为准确的动力可靠度结果，并研究了在窄带和宽带随机过程情况下修正后的泊松公式对结果的影响。同时，应用三区间法，对p c b a 某芯片角端的焊点进行累积损伤疲劳可靠性分析。( 4 ) 以控制p c b a 的振动响应为目的，分析了螺栓固定、紧边固定、加筋固定等不同加固设计方法对系统固有频率及动力响应的影响，对比它们对系统振动响应的控制效果以及实现的条件限制，总结了电子元器件在布局时需要注意的问题及建议，并提出了一种预应力加固设计方法，在对其进行动态特性及动力响应分析后，验证了该方法的有效性。针对各种加固设计方法中能量传递过大从而导致加速度响应过大的问题，本文设计了一种内置式橡胶减振器，通过其对振动的衰减作用，在减小p c b a 位移及应力响应的同时，实现对加速度响应的有效控制。第2 章机械系统的振动理论分析第2 章机械系统的振动理论分析如果一个系统只在初始时受到外界的干扰，此后并不受到其他激励的作用而发生的振动，称为自由振动。由于阻尼的作用，自由振动会逐渐消失。工程中常见的持续振动是因外界激励对系统做功，输入能量，以补充阻尼的消耗，这种振动称为强迫振动。强迫振动可以在很多情况下产生，在电子设备所处的机械环境中，引起设备强迫振动的激励一般可以分为以下两种：( 1 ) 力激励。激振力直接作用在系统的质量上。如车辆、飞行器、舰船等发动机的振动所引起的运载器载体的振动，安装在设备中的旋转机械( 如电动机、离心泵、通风机等) 上不平衡质量的惯性力引起的振动。( 2 ) 位移激励。激振力并没有直接作用在振动系统上，而是由于系统支撑体的运动，通过弹簧和阻尼间接作用在系统上，并引起系统作强迫振动。如车辆通过崎岖不平的路面引起车厢振动，采用减振器安装在车辆、飞行器、舰船等运载器中的电子设备，因运载器的运动而产生的振动。引起强迫振动的激励源的运动规律有不同的形式，如激励源作周期性的简谐运动、周期性非简谐运动、任意非周期性运动以及随机运动等。系统对不同运动规律的激励源的响应存在很大差别，在分析和研究工程中的强迫振动问题时，必须确定激励源是按什么规律运动，才能正确求得系统的响应。下面，分别对不同形式的激励源作用下的系统的响应作一理论分析。2 1 单自由度系统的振动分析2 1 1 单自由度系统的自由振动如图2 1 所示的单自由度系统，质量为m ，自由振动的运动微分方程可以表示为：m 2 + c 文+ h = 0设方程( 2 1 ) 的解的形式为x ( t ) = c e 盯式中，c 和s 是待定常数，将式( 2 - 2 ) 代入方程( 2 1 ) 中，可得到如下特征方程：弹簧刚度系数为k ，阻尼为c ，其( 2 - 1 )( 2 - 2 )m s 2 + 傩+ k - - - 0( 2 3 )该特征方程的根为+ x图2 1 单自由度系统8印制电路板组件的振动分析与控制一c c 2 4 m kc 。岛，2 = 芴一一石由这两个根可得方程( 2 1 ) 的特解为五( f ) = c , e 叩，恐( f ) = c 2 e 蹦因此方程( 2 1 ) 的通解为这两个特解的线性组合，即x ( f ) = f l e 叩+ c 2 ( 2 - 4 )( 2 5 )( 2 - 6 )其中，c l ，c 2 是两个任意的常数，可由系统的初始条件确定。使式( 2 4 ) 中根式的值为零的阻尼系数称为临界阻尼系数，用巳表示，则有巳= 2 所、仨= 2 嗍= 2 丽( 2 - 7 )式中，q = 鱼称为系统的无阻尼固有频率。对于有阻尼系统，阻尼系数与临界阻尼系数的比值称为阻尼比。用 表示，即 = 昙= 赤= 去亿8 ，= i = 瓦萧= 丽犯嗡_ )故通解( 2 - 6 ) 可化为x ( t ) = c l e + c 2 e h ，= c 1 2 一+ 以2 1 ) 叩+ c 2 9 一一2 1 ) 叩( 2 - 9 )由上式可知，通解( 2 - 9 ) 取决于阻尼的大小。当= o 时，为无阻尼状态。当 1 时，为过阻尼状态，此时系统也作非周期运动。2 i 2 单自由度系统在周期力作用下的响应若单自由度系统受到周期力，o ) 的作用，则系统的运动微分方程为，臧+ 政+ h = f ( ，)( 2 1 1 )第2 章机械系统的振动理论分析9由于该方程是非齐次的，所以其通解x ( f ) 可表示为齐次解屯( f ) 与特解x 。( f ) 之和。( f ) 表示系统的自由振动解，在有阻尼状态下最终会消失，称为系统的瞬态响应。因此通解x ( f ) 最终会演化为特解x 口( f ) ，称为系统的稳态响应。现考虑激振力为简谐力的情况，设f ( t ) = 瓦c o s t o t ，则系统的运动方程为，城+ 西+ k x = f 0 c o s c o t( 2 - 1 2 )由于激振力是简谐形式，则特解x 口( f ) 也是简谐的，同时具有与激励频率相同的频率。于是假设其特解形式为x p ( f ) = x c o s ( a ) t 一)( 2 1 3 )其中，x 与西为待定常量，分别表示响应的幅值与相角。将式( 2 1 3 ) 代入式( 2 1 2 )中，则得x ( 七一m a ) 2 ) c o s ( a ) t 一) - c a ) s i n ( a ) t 一驴) 】= v oc o s c o t( 2 1 4 )运用三角函数关系式及方程( 2 1 4 ) 两边系数相等，可求得x = 面i 研f o( 2 1 5 )【( 七一所2 ) 2 + c 2 2 】尼= a r c t a n 三( 2 1 6 )k m a ) 2、够，= 墨k 表示静态力r 作用下的变形，2 昙为频率比删可以得ym = 二=6 盯正石鬲瓦研芗一而霸甭骄蛾q( 2 - 1 7 )2 ( 旦细协t 焉阳一告弘坳m 称为振幅放大系数或振幅比。由式( 2 1 7 ) 可知，当 = 0 时，m = _ 二了，若r = 1 ，则m 的值无限大，此i 时，激振力频率等于系统的固有频率q ，此条件称为共振。对于任意确定的厂值，1 0印制电路板组件的振动分析与控制阻尼值越大，则m 值越小，并且在共振频翠或冥附近，阻尼的存在将显著降低肘值。强迫振动的幅值随激振力频率的增加而显著降低( 当r 专时，m 寸o ) 。所以，方程( 2 - 1 2 ) 的全解为x o ) = 毛( f ) + x p o ) = k p 一百c o tc o s ( t 一九) + x c o s ( c o t 一驴)( 2 1 9 )x 与驴由式( 2 - 1 5 ) 和式( 2 1 6 ) 确定，x o 和九根据初始条件确定。对初始条件x ( t = 0 ) = x o ，文( f = o ) = 南，e h 式( 2 - 1 9 ) 得耄三昏c c o o x s 九oc + o s x 咖o ：篙x os i n 确o + xs ；n 驴q 一2 。，= 一+ 哟+ x s i n 驴j、7由式( 2 - 2 0 ) 即可求得x o 和九。对一般周期力，设f ( f ) 是以f = 2 万c o 为周期的周期力，那么可以将其展开为傅里叶级数，则方程( 2 - 1 1 ) 为磁+ 政+ h = ，( f ) = 鲁+ o o 哆c 。s 埘+ 羔ts i n 础( 2 2 1 )其中巳= 詈r 耶) c o s 脚，_ o ，1 ，2 ，i 二( 2 - 2 2 )-、，乞= 詈r f ( f ) s i n 删，歹= l ，2 ，l根据叠加原理，方程( 2 2 1 ) 的稳态解是方程右边一项常数激励及两项简谐激励的稳态解的和，因此有：啪) = 去+ 喜而高两c o s ( 彬卅+ 产。卅歹。，b y 川k2 州s i n ( 础一咖)( 2 - 2 3 )产1 、【l 一歹，广+ 【2 少) v。7、7她咖= a r c 协等一詈。e h 式( 2 - 2 3 ) 可知，随着j 增大，振幅会逐渐减小，相应的项将趋于零，因此，只取前几项就可以得到足够精确的结果。式( 2 2 3 ) 给出的是系统的稳态响应解。为了求出全解，可根据求解简谐响应的方法求出与系统的初始条件对应的瞬态响应。第2 章机械系统的振动理论分析2 1 3 单自由度系统在一般激励作用下的响应先考虑激励力为冲击力的情况，冲击力f 很大，但是作用时间a t 很短，用f表示冲量，a t 的大小，则孽= i 砌( 2 - 2 4 )假设冲击力作用在f = 0 时刻，并且作用之前系统处于静止状态，根据冲量定理，有x ( t = 0 ) = x o = 0 ，5 c ( t = 0 ) = k o = r m ，则根据欠阻尼系统自由振动响应解( 2 l o ) 可得：石( f ) = f e - 6 0 ts i n 哟f( 2 2 5 )m d如果冲量f 作用在任意时刻f = f 处，则式( 2 2 5 ) 为x ( 矿) ：型s i n ( h )( 2 2 6 )r h 叫d对于任意外力f ( ，) 作用下的系统，可以将f ( f ) 看做无数个在很短时间a r 内作用在系统上的力f 0 ) 的组合，则系统的响应为在f = 0 到r = t 时刻一系列微冲量响应的叠加：川) 2 去f f ( 缈矧h ) s i n 啪吖) d z( 2 2 7 )上式未考虑初始条件的影响，式中的积分称为杜哈美( d u h a m e l ) 积分。2 2 多自由度系统的振动分析2 2 1 多自由度系统的固有频率及主振型对于一个刀自由度的系统，如图2 2 所示，其运动微分方程为胍+ c r + k x = f( 2 2 8 )其中，m 为质量矩阵，c 为阻尼矩阵，k 为刚度矩阵，x ，文，戈和f 分别为位移，速度，加速度和力矢量。图2 2力自由度系统1 2印制电路板组件的振动分析与控制由于阻尼对系统的固有频率和主振型影响很小【3 扪，因此考虑无阻尼的自由振动系统，则式( 2 2 8 ) 表为 反+ k x = 0( 2 - 2 9 )设式( 2 2 9 ) 的解为x = x s i n c o t( 2 3 0 )将式( 2 3 0 ) 代入方程( 2 - 2 9 ) 中，得( k c 0 2 m ) x = 0( 2 3 1 )i k - t 0 2 m i = o ( 2 - 3 2 )解方程( 2 3 2 ) 可得到刀个特征值为砰露晖2 ，哆( f = 1 ) 称为系统的置= 幽唱砰= ( ：。三c 2 3 5 ，2 2 2 多自由度系统的强迫振动受激励力的多自由度系统的运动微分方程方程由式( 2 2 8 ) 表达，为了简化，考虑阻尼矩阵可视为质量矩阵与刚度矩阵线性组合的特殊系统，即c = 口m + 口置( 2 3 6 )其中，口与口是常数，该阻尼类型称为比例阻尼。将式( 2 3 6 ) 代入式( 2 2 8 ) 得 蔹+ ( 仅肘+ 口k ) 支+ k x = f( 2 3 7 )由于正交性，各个主振型向量是线性独立的，它们构成了刀维空间的一个基，根据展开定理，式( 2 3 7 ) 1 拘解向量可以通过主振型的线性组合来表示，即x ( f ) = q l ( f ) x 1 + 9 2o ) x 2 + + 9 刀o ) x 疗( 2 3 8 )第2 章机械系统的振动理论分析其中，q l ( f ) ，q 2 ( f ) ，吼( f ) 是依赖于时间的广义坐标，称为主坐标或振型参与系数，x 气歹= l ，2 ，力) 为振型矩阵x 的第，列向量。( 2 3 8 ) 式又可以写为x ( f ) = x q ( t )( 2 3 9 )因此，式( 2 3 7 ) 可以重新表示为m x 虿( t ) + ( am + f l k ) x i l ( t ) + k x q ( t ) = ，( f )( 2 4 0 )将上式两边前乘x 1 ，有x r 删+ ( a x r m x + 卢x r k x ) q + x r k x q = y7 f( 2 4 1 )若特征向量x ，已正则化，则式( 2 4 1 ) 为巧( f ) + ( a j + 卢2 ) 雪( f ) + 2 9 ( f ) = q ( f )( 2 4 2 )式中q ( ，) = x7 ，( f )( 2 - 4 3 )式( 2 4 2 ) 可写为坑( f ) - i - ( a + 砰卢) 西，( f ) + q 2 9 ，( f ) = q ( f ) ，( i = 1 ，2 ，刀)( 2 4 4 )其中，q 为无阻尼系统的第i 阶固有频率。令a - i - 卢= 2 ，哆( 2 4 5 )其中，色称为对应于第i 阶固有振型的模态阻尼比，式( 2 4 4 ) 可以重写为百，( f ) + 2 ，q 毒，( f ) - 4 - g ，( f ) = q ( f ) ，( f = l ，2 ，”)( 2 4 6 )可以看出，”个方程中的任意一个与其他方程都是不耦合的。因此，如同求当自由度系统的响应一样，可求得第i 阶振型的响应。当 ， 1 时，式( 2 - 4 6 ) 的解可以表示为。g o 卜p 吖州k o s h 了等8 i n dg ) + 玄p 产7 函n 如或( o )，1+ 去啪) e - n ( t - o s i n 啪1 ) 出朋- 1 ，2 ，玎)其中= 哆扛虿( 2 - 4 8 )求得吼( r ) 的解后，由式( 2 3 9 ) 便可求出系统的响应x ( f ) 。印制电路板组件的振动分析与控制2 3 随机振动分析2 3 1 随机过程的数字特征一) ( ，i )图2 3 随机过程总体对于如图2 3 所示随机过程x ( f ) ，如果时间参数取一固定的值f l ，则x ( f 1 ) 是一个随机变量，它的样本点是x 1 ( ) ，x 2 ( ) ，。现假设随机变量x 的概率密度函数为p ( x ) ，则x 的均值( 数学期望) 为心= 研x 】= 舅= l x p ( x ) 出( 2 - 4 9 )j m均方值为y ；= 研x 2 】= x 2 p ( x ) d x方差为2 = 研 一i ) 2 】= o 一孑) 2 p o ) d x = y 三一疋( 2 - 5 0 )( 2 - 5 1 )方差仃三的平方根仃工称为x 的标准差。如果，乞，是f 的几个固定值，习惯上可以用简写符号玉，x 2 ，分别表示x o ) 在f l ，f 2 ，时刻的值。定义自相关函数尺( f l ，乞) 为月( ，l ，2 ) = 研西恐】= e 毛恐p ( 五，而) 也呶( 2 - 5 2 )其中，p ( 玉，而) 为而，而的联合概率密度函数。如果x ( r ) 是一个平稳随机过程，则自相关函数与绝对时间无关，只与时间推移f = f 2 一f l 有关，即第2 章机械系统的振动理论分析r ( t l ，f 2 ) = e x l x 2 】- e x ( t ) x ( t + r ) 】- r ( r )如果r = 0 ，根据上式可以得到x ( f ) 的均方值，即尺( o ) = l f ，：= e x 2 】而( 2 5 3 )( 2 5 4 )一个平稳随机过程的功率谱密度s ( ) 定义为r ( r ) 2 7 r 的傅里叶变换3 引，即s ( ) = 石1 尺( r ) e 一出( 2 - 5 5 )脚尺( r ) = ls ( t o ) e 肋7 d c o( 2 5 6 )j o 由式( 2 5 6 ) 可得尺( o ) = l f ，；= e x 2 】_ is ( c o ) d t o( 2 - 5 7 )脚若随机过程x ( f ) 的功率谱密度函数为瓯( ) ，贝j j i ( t ) 和戈( f ) 的功率谱密度函数为最( ) = c 0 2 墨( )( 2 5 8 )墨( ) = c 0 4 最( )( 2 5 9 )式( 2 5 7 ) 不仅考虑了正频率，还考虑了负频率。在进行实验时，为了方便，更多的是采用了一种等价的单边谱形( 厂) 。吸( ) = 4 n s j ( 0 9 )( 2 6 0 )2 3 2 单自由度系统在随机激励下的响应七汁，力尺f )弋灭，)图2 4 单自由度系统，) jl“订za八iii iii 、-妄! k一ililliiliiiliio0ia d f 7图2 5 激励函数x o )如图2 4 所示的单自由度系统的运动微分方程为夕+ 2 c op + 蛾2 少= x o )( 2 - 6 1 )1 6印制电路板组件的振动分析与控制冥中川) = 型，q = 、隆， = 三，巳：2 k mmv 所c考虑由一系列变幅的脉冲组成的激励函数x ( f ) ，如图2 5 所示。将作用于f 时刻的脉冲记为x ( r ) d r ，系统对单位脉冲激励6 ( t f ) 的响应记为y ( f ) = h ( t - r ) ，称为单位脉冲响应函数。系统在t 时刻的全部响应可以通过叠加作用在不同时刻t = r 、幅值为x ( r ) d r 的脉冲的响应得到。对于激励x ( r ) d r 的响应为【x ( r ) d r h ( t - z ) ，所以利用叠加法，对应于全部激励的响应为y ( t ) = ix ( r ) h ( t r 灿( 2 - 6 2 )利用傅里叶变换，瞬态函数x o ) 可以表示为x ( ，) = 瓦1 x ( ) p 枷如( 2 - 6 3 )所以，x o ) 可以看成是不同频率成分的叠加。因此系统的全部响应也可用叠加法得到y o ) = h ( c o ) x ( t ) = 弓 片( ) x ( ) 已姗d 国( 2 6 4 )-脚z 7 r “如果r ( c o ) 代表响应函数y ( f ) 的傅里叶变换，则y ( f ) 可以用y ( ) 表示为y ( f ) = 石1 】，( ) d ( 2 - 6 5 )比较式( 2 - 6 4 ) 及式( 2 6 5 ) ，可知r ( c o ) = 日( ) x ( )( 2 - 6 6 )何) = 】，佃) x 沏) 称为系统的频率响应函数，并有日( ) = 仁h ( t ) e - i o j t a r t( 2 - 6 7 )对于脉冲响应函数，当t r 时，h ( t - r ) = o ( 1 i p 在脉冲作用前响应为零) ，式( 2 6 2 ) 的积分上限可以用无穷大代替，故少( r ) = ix ( r ) h ( t - r ) d r( 2 - 6 8 )用0 = t f 代替r ，式( 2 6 8 ) n - - j 以重写为脚y ( f ) = ix o o ) h ( o ) d o( 2 - 6 9 )j 嘲当激励是一个平稳随机过程时，响应也是一个平稳随机过程1 4 0 l 。$ l jy ( t ) 的自第2 章机械系统的振动理论分析相夭函数为脚脚r ，( f ) = e y ( t ) y ( t + f ) 】= i ie x ( t o i ) x ( f + f 一0 2 ) 】厅( q ) 办( 吱) d o f f 0 27，l脚脚：i1 r o + q 一见涉( 日。) h ( o e )