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生物医学信号处理试卷集试卷一答案和评分标准:一、假设有两个离散平稳随机过程,它们统计独立,求这两个随机过程的乘积的自相关函数和功率谱密度。(14分)解:设z=xy,(6分)(4分)=(4分)二、设线性系统如图所示,已知相互独立,且,。要求设计一个滤波器,试确定c使得滤波后的输出与真实信号的均方误差最小,即最小。(14分)解答:设误差为其自相关为:(2分)做傅立叶变化:(4分) (2分) (2分) (3分)求导等于零: (1分)三、简述横向结构的随机梯度法算法步骤。(14分)解答:步骤1:(2分)步骤2:(4分)步骤3:(5分)转入步骤2,代入得到W(T+2),e(T+2).使得W接近最优解。(3分)四、利用推导L-D算法来解Y-W方程:;。(16分)解:P阶Y-W方程写成矩阵形式:,p-1阶方程:, ,(2分)(2分)=,所以有:(4分)=,(4分)由最后一行:(2分)由第一行:,得到三个推导式。(2分)五、有一信号,其自相关函数,被一零均值,方差为0.4的白噪所淹没,与统计独立。设计一个长度等于3的FIR数字滤波器,其输出使得最小化。(14分)解:根据均方误差最小准则得到W-H方程:,其中x=s+n,表示输入信号,因为N=3,且,代入W-H方程得:(4分)把,代入上式得三个方程:(4分)解得:(4分)所以设计的滤波器的传递函数为:(2分)六、如何用AR法进行谱估计?为什么AR谱估计需要的数据比古典法短?(14分)解: (2分)在上图模型中,输入输出的功率谱关系为:(3分)(5分)古典法是通过DFT法计算得到功率谱估计的,DFT是把数据看成是周期重复的假设下做出的;AR谱则是对延迟p范围外的自相关函数做预测延伸取得的,因而数据的有效范围宽得多。(4分)七、画出卡尔曼滤波的信号模型和一步递推法模型图。(14分)解:信号模型:(7分)一步递推法模型:(7分)试卷二答案和评分标准:一、是零均值,方差为的白噪过程,把它先送入一个平均器,得,然后再将送给一个差分器,求的均值、方差、自相关函数和功率谱密度。(14分)解答:(2分)(2分)=/2=(2分)=0=/4当|m|=3,自相关都为0。=(6分)(2分)二、一个一阶递归滤波器,输入是零均值、方差为1的白噪声,滤波方程是证明:;求。(14分)解:,(2分)对滤波方程求传递函数:,则,(4分)而,所以得证:(2分),而,(3分)(3分)三、估计N点长的、零均值、实序列的功率谱,用Welch法过程如下:证明:如果各段数据互相独立,则Welch法谱估计的均值是,其中;(8分)归一因子U的作用是使得估计的均值渐进无偏,即当M不断增加时有。证明:U=。(8分)证明:由于x是零均值的,所以,代入上式(4分)定义,则(4分)证明:当M逐渐增加时窗W(w)的宽度逐渐减少,趋于冲击相应,此时,欲使均值渐进无偏,则后半部分应等于1:,即(4分),后一项正交积分为零,所以U=(4分)四、设已知,用L-D算法为此信号估计p1,2,3阶AR模型的系数和激励白噪的功率。(14分)解答:计算自相关函数:,(4分)下面为了简写,省略下标s。按照L-D算法得初始功率和系数为:(2分)P=1:(2分)P=2:(3分)P=3:(3分)五、设x=s+n,s与n统计独立,信号x的自相关的z变换为,噪声n的自相关的z变换为1,设计一个因果的维纳预测器估计s(n+1),并求最小均方误差。(14分)解: 由于,容易找到最小相位系统和白噪声方差,(2分)N1,(4分)对括号里面求z反变换,注意括号内的收敛域为,取因果部分,也就是第一项,所以(2分),把上式写成差分方程形式有:(3分)最小均方误差为:(3分)六、对于一个随机信号,可以对它进行频谱估计,叙述AR谱法和周期图法相比的优点。(14分)解答:两法原理区别,(2分)、平滑(3分)、需要较短数据即可(3分)、频率分辨率高(3分)、峰值包络线的好估计(3分)等。七、画出自适应噪声抵消的框图,并证明滤波后的输出将在最小均方意义下抵消噪声,同时,抵消后的结果将在最小均方意义下逼进信号。(14分)解答:因为 (2分)(4分)所以当均方误差最小时,s与e最逼近,同时y与n也最逼近。即滤波后的输出y将在最小均方意义下抵消噪声n,同时,抵消后的结果e将在最小均方意义下逼进信号s。(2分)框图: (6分)解: (7分)信号较弱,在宽带噪声背景下,突出信号而压制噪声,就是谱线增强。(2分)把xT延迟后再自适应调整,使得nT-与nT不相关。但信号s延迟后与原信号是相关的。使得自适应滤波后输出yT趋于sT,eT趋于nT。(5分)试卷三答案和评分标准:一、假设与是一对z变换对,包含单位圆,证明可分解为如下形式:。(14分)证明:,所以是实、非负的函数,则是实函数,则共轭对称:(3分)(6分)设,则该系统是因果稳定的,它的逆系统存在也是因果稳定,则该系统是最小相位系统。(3分),所以得证。(2分)二、设,是相互独立的随机变量,在0,2间均匀分布,求x的均值、自相关函数、功率谱密度。(14分)解:,两个信号分别为-1,1之间均匀分布,所以0(4分)(3分)(4分)(3分)三、直接法估计自相关函数是否一致估计。并证明。(14分)解:是一致估计。(1分)(3分)(6分)(4分)N无穷大时,方差趋于零。得证。四、如下图所示系统均为因果系统,输入x为零均值、方差为的白噪,已知,。利用最小均方误差求a,b。(16分)解:(2分);(2分);(2分)(2分)(2分)对a,b分别求偏导等于零,解两个方程得到三对解:(2分)a=0.906,-0.519,1.659;b=-0.311,0.114,-5.69;(2分)代入均方误差得到E=0.203,0.724,19.23;最后一对解舍去,第一对解是全局最小解,第二对解是局部最小解。(2分)五、用L-D算法计算三阶前向预测误差系统函数。已知输入信号的自相关为:R(0)=3,R(1)=2,R(2)=1, R(3)=0.5。(14分)解:1阶:(3分);二阶:(4分)三阶:(5分)系统函数:(2分)六、已知,w为零均值、方差为的白噪,求用估计的均值的方差。(14分)解:可以推导出(4分),(2分)(2分)(4分)(2分)七、下图中,已知,y与v不相关,设计一个因果IIR维纳滤波器,并写出差分方程和最小均方误差。(14分)解:(2分)(2分)由于,容易找到最小相位系统和白噪声方差,(2分),(4分)差分方程:(2分)最小均方误差为:=4/9(2分)试卷四答案和评分标准:一、一个零均值的离散时间随机过程各值x(n),x(n+m)(m不等于零)均互相独立,方差为。求它的自相关函数和功率谱。把x(n)送入到两点平均器中,得输出为,求y(n)的自相关函数和功率谱。(14分)解:;所以, (4分)(3分)(3分)(2分)(2分)二、设线性时不变系统如图所示,输入为平稳随机信号,证明输入、输出功率谱有如下关系:。(14分)证明:(4分)(4分)(3分)(3分)三、自相关法估计功率谱是否一致估计。并证明。(14分)解:不是一致估计。(1分)偏差:,当N无穷时,所以是渐进无偏。(3分)方差:(3分)对零均值高斯变量有:(3分)(2分),所以不是一致估计。(2分)四、详述预白化法解求解维纳-霍夫方程的原理和步骤。(16分)解:待求的问题就是最小均方误差下的最佳,如图(a)所示,为了便于求这个,将图(a)的滤波器分解成两个级联的滤波器:和G(z),如图(b)所示,则(a)(b)(4分)有了上述的模型后,白化法求解维纳霍夫方程步骤如下:1) 对观测信号的自相关函数求z变换得到;(2分)2) 利用等式,找到最小相位系统;(2分)3) 利用均方误差最小原则求解因果的G(z);(4分)4) ,即得到维纳霍夫方程的系统函数解。(2分)所以维纳霍夫方程的系统函数解表示为(2分)五、把卡尔曼滤波的状态方程和量测方程给出:,上式中和是已知的,是观测到的数据,也是已知的,假设信号的上一个估计值已知,如何来求当前时刻的估计值。画出该递推模型。(14分)解:上两式中如果没有与,可以立即求得,估计问题的出现就是因为信号与噪声的叠加。假设暂不考虑与,用上两式得到的和分别用和表示,得:;(3分)必然,观测值和估计值之间有误差,它们之间的差称为新息(innovation):(3分)显然,新息的产生是由于我们前面忽略了与所引起的,也就是说新息里面包含了与的信息成分。因而我们用新息乘以一个修正矩阵,用它来代替来对进行估计:(4分)可以画出卡尔曼滤波对进行估计的递推模型,输入为观测值,输出为信

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