（应用数学专业论文）张量积空间pm1m2…ms的多元lagrange插值适定结点组.pdf

摘要 本文通过讨沦礁量瑟警回r ；一。，m 。沿着代数超平筒z ，一n = 0 ，j = 1 ，2 ，一，s 的l a g r a n g e 插值遗定结点鳃的结构，构造了焉；，m ，。 在c 3 中静类适定结点缀，从丽绝交f 2 l 中二元疆值空闻( 帮、。) 的烃直线缩点组和十字型结点组的构造方法推广到了s ( s 2 ) 元 f 定义谖一g = 0 ，l 墨j s 是c 3 串酌代数超乎瑟， q i k ：1 是三( m l + 1 ) ( m ，一l + 1 ) ( m j + l + 1 ) ( m 。+ 1 ) 个茁，一a = 0 上 兹嚣异嚣患，我嚣】称趣 t 是l a g r a n g e 透堡茎壅f k ，渤，确器繁超 平面z j b = 0 的p p s n ，如果下列关系成立： p ( x ) j ) m 。，n ”，。，爹( 舔) = 0 ，i = 1 ，走 净p ( z ) 三0 ，鹤8 = o 上 定理1 设 r i k l 是c 8 上关于。m 的p p s n ，飘它 的鼯令熹都不在怒平藤而一8 = 0 ，i jss 上，再设 舔 冬l 是 p k 。埘。，+ l ，。，一m 沿着巧一a = 0 的p p s n ，则 f t 。lu q 矗坠1 魏成磊 ，弼一；, m i 十1 确在c 8 孛熬一令p p s n 。 定理2 设r = q , l k ：l 是c 8 中超平面一n = 0 0 冬j58 ) 上 弱点集，粼蠢是j k m ，鸭“。，* ，辩。瀣蓍趱乎嚣x j 一。= 0 戆 p p s n 当鼠仅当月是p 竹 忡f _ l ，0 m ，仉| 的p p s n 。 定理3 设 q i 奚驴1 是只k ，。，m ，的m l 十1 个p p s n ，其中 q = 套l ，嘶一( ，蝣) ，j = 1 ，2 ，自任取m l + 1 个c 8 中的互异越平面茹i g = 0 ，i = 1 ，2 ，m l + 1 ，那么c 。巾的点袋 q 16 毋，) )uu ( n t ，蟛) ) 扛越 是f k 。mn - + p p s n i 关键调 多毙l a g r 交吵矮德逶宠结焘争袋数麦垆嚣 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s t r u c tac l a s so f p r o p e r l yp o s e ds e to fn o d e s ( o r p p s n ，f o rs h o r t ) f o rm u l t i v a r i a t el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o na b o u tt h ei n t e r p o l a t i o np l a c eo ff k l ，m ( s 2 ) ，a f t e rw es t u d yt h eg e o m e t r i cs t r u c t u r eo fp p s na l o n ga na l g e b r a i ch y p e r p l a n ex j a = 0 ，1sj s i n t h i sw a y ，w ec a ng e n e r a l i z et h et e c h n i q u ea b o u tr ，ni n 【2 j d e f i n i t i o n l e tx j a = 0 ，1s j s b ea na l g e b r a i ch y p e r p l a n e i nc l a n d 吼) 恕l b e 女= ( m l + 1 ) ( m j 一1 + 1 ) ( m j + l + 1 ) - ( m s + 1 ) d i s t i n c tp o i n t so no 。一a ；0 i fr e l a t i o n s p ( x ) p m 。m ，p ( q i ) 一0 ，i = 1 ，k i m p l y p ( x 1 兰0 o nx j 一8 = 0 , w ec a l l 鼋 整l ap p s na l o n gt h ea l g e b r a i ch y p e r p l a n e 一a 一0 t h e o r e m1 l e t 靠 冬l b e 氇p p s n i nc 8a b o u t 冀m ，m 2 ，m ；， w h i c ha r en o to na na l g e b r a i ch y p e r p l a n ez j a = 0 ，1 j s ，a n d 舔 冬l b eap p s na l o n gt h ea l g e b r a i ch y p e r p l a n e 一a = 0 a b o u t 玮 ，m ，州+ 1 1 m 川，弗，t h e n t h es e t o f 协 i ：l u q i i , ：= l m u s t b e a p p s n i nc 5a b o u tr ，m j “m j + l ，m t h e o r e m2l e tr = lb e o na n a l g e b r a i ch y p e r p l a n ex j 一8 = 0 ( i j 8 ) i nc 8 ，t h e n ri sap p s na l o n gx j a20a b o u t 乓，m ，“碑+ l 粥+ l ，i f a n d o n l y i f r i s a p p s n 。f j k | “，m i “。，秘+ l ， t h e o r e m3 l e t ql m ，l 一+ 1 b e p p s n sa b o u t p m 2 m ，m a q = 铷) ：l ，q i j = ( 毋，砖1 ) ，j l ，2 ，。f r e e l ys e l e c tm l + 1 d i s - t i n c ta l g e b r a i ch y p e r p l a n e sx i a i = 0 ，i = 1 ，2 ，m l 十1 ，t h e n m u s tb eap p s na b o u t 岛h m ：mi nc 8 k e y w o r d s ： m u l t i v a r i a t el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ；p r o p e r l yp o s e d s e to fn o d e s f o ri n t e r p o l a t i o n ；a l g e b r a i ch y p e r p l a n e 毋汝 。u 趟咐0 蝴 独创性声明 本人声明所黧交的学位论文是本人猩导师指导下进行的研究工 傺及取褥豹研究簸果。器撬掰知，豫了文巾特剐鸯珏潋标凌翻致谢豹逾 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 凳获褥衮繇拜蔻大学蕺冀德教育税掏熬学位或逶书瑟使溪遘豹材瓣。 岛我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 虢豹落翡势表忝瀣意。 学链论文箨考签名：左查堂鑫麓： 湘嗡。，i 0 学位论文版权使用授权书 本学佼论文髂蠹完全了筹东憩耀范大学毒关僚褒、使惩学整论文 的规定，即：东北师范大学有权保留并向豳家有关部门蛾机构送交学 键论文的复印传翱磁盘，允许论文梭查阕和借阏。本人授粳东j e 师范 火学可戳将学位论文静：套都或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其它复魁手段保存、汇躺学位论文。 俩 密静学位论文在瓣密詹透用本授权：f 耱 铡蹴溜撇：盔查圭： e l 飙塑! ：圭q 学位论文作者毕业聪去向： 工终擎位： 通讯蟾址： ：鎏囊空 日热坦笼：! 毫话： 邮编： 乳引言 在数值逼近中，多项式插值是一个经典的问题。最简单的情形是 一元多项式插值，这方面的理论已发展的很完善；而多元多项式插值则 不然，它比一元插值要困难得多。主要原因是多元插值空间不仅与插值 点的个数有关，而且依赖于插值点的分布构形。比如说，记”为全次 数不超过k 的s 元多项式构成的空间，那么”i ( = 0 ，1 ，2 ，) 这样的 标准多项式空间的维数是( 8 ：8 ) ，并不能充满非负整数集z ，。， 于是我们不能希望象一元的情形那样，对任意点集ecc 5 ，都可找到 适当的多项式空间7 r i 实现插值唯一；另一方面，即使恰好有d i m t r 个 点，由于它们可能位于”中某个超曲面上，从而也可能在”l 中不满 足插值唯一 于是，关于多元多项式插值，人们通常考虑两个方面的问题：一 方面，对于任意给出的一组插值点，如何找到满足插值唯一的插值空 间，d eb o o r ，c ，r o n ，a 以及s a u e r 等在【6 1 1 1 1 1 2 1 3 中讨论了这个 问题，分别建立了最小次数插值( 1 e a s ti n t e r p o l a t i o n ) 和极小次数插值 ( p o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o no f m i n i m a l d e g r e e ) ；另一方面，对给出的插 值空间，如何构造插值点，以实现插值唯一。梁学章等在【2 1 1 4 1 1 5 1 5 】中 对此做了一系列有意义的工作。 如上定义用7 r ：表示所有全次数不超过n 的二元多项式空间，用 。表示所有关于z 次数不超过m ，关于y 次数不超过n 的二元多 项式构成的空间那么关于这两个空间的适定结点组的构造有如下定理 ( 见 2 ) ： 定理1 若 q ) 坠1 是碟的l a g r a n g e 插值适定结点组，且它 的每个点都不在某条f 次( f = 1 ，2 ) 不可约代数曲线q ( x ，y ) = 0 上，则 在该曲线上任取的( n + a ) t 一1 个不同点与 q 坠。一起必定构成”：+ f 的一个适定结点组 定溪2 设 q i 是l 是r 2 上关于l a g r a n g e 捶僮象超，。鲍适 怒结点组若它的每个点都不在骚直线z = a 上，则在该竖直线上任取 的n + 1 个互不褪鼹鲍点与 q 。 坠，一起必定橡成f i m + 1 ，。的适定绣点 缀，同样的，若 q 叁】的每个点都不在横直线y = b 上，则在该横直 线上 壬歇懿獬+ 1 令蔓不粳嗣的点与 0 坠；一起必定梭残p m 一；酶 适定结点组 梅剩豹，粱学章等在 4 】孛魍代数几露终秀王具，瑟予沿着c s 中 代数超曲面的l a g r a n g e 插值适意结点组的几何结构进行了讨论，并进 一步绘凄疆蠖空瓣霄：农上懿l a g r a n g e 疆爨逶定终点缀懿络搀窝 构造方法，从而把【2 中相关的二元情形摊广到8 ( s 2 ) 元。但熄对于 楚瑾2 疆逐懿攮影，愁爨没有辩张薰积蹇阕p m 。，。( s 2 ) 避行穗 应的推广。为此术文对晶。，m 在c 8 中的l a g r a n g e 插值适定结点 缀骰了一些讨论，得到类纭予是瑗2 懿绫皋，势给窭了爨俸戆 萝| | 子。 2 2 预备知识 设m ：z o ，i = 1 ，2 ，8 本文中总用尸。，。表示所有的关于z 1 次数不超过m ，关 于x 2 次数不超过m 2 ，关于x 。次数不超过m 。的8 元多项式构成的 张量积空间，其中s 2 并且我们总用p p s n 表示适定结点组，这里 p 尸s 是指p r o p e r l yp o s e ds e t so fn o d e s 的缩写。此外，c 是复数 域，r 是实数域 为了研究f k ，。在c 8 中的尸p s 的构造，我们需要如 下的关于代数几何中理想和代数簇的一些知识，这些知识可参见1 1 或 4 】。 设k x l ，x 2 ，x 。】是数域k 上的一个多项式环。 定义2 1 设，是多项式环k x l ，x 2 ，z8 】的一个子集，若j 满 足： ( i ) 0 i ， ( i i )如果i ，g i ，那么，+ g i ， ( i i i ) 如果，i ，h k x l ，x 2 ，z 。】，封b 么h f i 则称，是环k x l ，x 2 ，x ，】的理想 定义2 2 设 ，2 ，厶是环k x l ，x 2 ，一，x 。】中的多项式，我们 用 表示集合 lh l i 一，h 。k x l ，x 2 ，x s ) 1 = l 即 = i 1 ，h 。k x l ，x 2 ，z 。】) 容易验证， 是环k x t ，x 2 ，x 。】中的一个理 想，称 是由 ， ，n 生成的理想 定义2 3对于理想ick x l ， ，我们把v ( i ) = z l ，( z ) = o ，v ，i ) 称为j 的仿射簇。反之，对于仿射簇v ck 8 ， 我们称i ( v ) = ，k x l ， 1 ，( z ) = 0 ，v x v ) 为y 的消逝理 3 想。 定义2 4设ick i x 一，x 。】是一个理想，那么用 7 表示i 的根，它是如下集合： ，i ，“i ，3 m 乏o ) 命题2 1 设，是一个理想，u 和k 是两个仿射簇。那么 v lck 令i ( ) di ( k ) 定理2 1 ( h i l b e r t 零点定理) 设是代数闭域。如果，一，厶 k x l ，x 。 满足，i ( y ( ) ) ，那么存在整数m 1 ，使 得 ， 由h i l b e r 零点定理直接可得： 定理2 2 ( 强零点定理) 设是代数闭域ick 陋一，x 。】 是一个理想。那么 i ( y ( 功= v 7 di 定理2 3 如果，k x l ，x 2 ，】，i = 是由，生成的主 理想，且，= 疗1 疗h 臂“，其中，i ( i = 1 ，2 ，礼) 是，的不可约因 式，那么 , 7 = 、l = 特别地，如果，是个超平面，那么, 7 = i 4 3 p m 。，。的l a g r a n g e 插值适定结点组的构造 本节中，我们给出张量积空间p 仃；，。，。；在c 8 中的一类适定结 点组的构造方法 一般的，关于多元l a g r a n g e 插值有如下提法： 设p l ( z ) ，p 2 ( z ) ，p k ( x ) 是定义于c 8 上的一组线性无关的8 元 多项式，p 是它们所张成的复线性空间，那么p 中元素形为 p ( z ) = c t p l ( x ) + c 2 p 2 ( x ) + + c k p k ( z ) ，c i c 又设目1 ，如，巩c 8 是k 个互异的点，1 ，2 ， c 是k 个数值，我们求p ( z ) p i 使得满足插值条件 p ( 吼) = ，i = 1 ，2 ，k 这就是8 元多项式的l a g r a n g e 插值问题若对任意给定的k 个数值， 上述插值问题有且只有唯一饵，则称 仇) k 。，是插值空间p 的p p s n 若p ( x ) p 是一个非零多项式，则称p ( z ) = 0 是尸中的代数超 曲面 由 2 1 知道，对于r 2 上的二元多项式所张成的实线性多项式空间 p ，有这样的基本引理： q ) 垒。是p 的p p s n 的充要条件是 q d , l 。 不落在p 中的任何一条代数曲线上更一般地，我们有： 引理3 1 仇) 坠l 是c 8 上关于复线性多项式空间p 的p p s n 当 且仅当 以) 坠。不落在p 中的任何一个代数超曲面上。 证明： 巩) 冬l 不是p 的适定结点组甘 = p l ( 0 1 ) m ( 0 1 ) p k ( 0 1 ) p l ( 0 2 ) p 2 ( 0 2 ) p k ( 0 2 ) p l ( 以) p 2 ( o k ) - p k ( o k ) a = 0 静有不众为零的复数c 1 ，c k 使c l p l ( o i ) + c 2 p 2 ( o i ) 4 - + e 热( 鼢 = 0 ，i = 1 ，2 ，k 8 。) l 落在p 中的某个代数超曲面上。 特别地，弓i 理3 i 也适合我们要讨论的多项式空间p m 。 寇义31 设一位= 0 ，1 ，8 是c 8 中的代数趣平面， g 坠l 是k = ( m l + t ) ( m j l + 1 ) ( m j + 1 + 1 ) - ( ”b + 1 ) 个x ，a = 0 上 的互异的点，我们穰蚀 坠l 是l a g r a a g e 插值空间只：，。，。沿着超 平面一a = 0 的p p s n ，如果下列奖系成立： p ( x ) 焉；，。：，t m 。，芦氆) 一0 ，l = i ，寿 谛p ( x ) 篡0 ，在茹j a = o 上 攮然，这爨所淡黪是渗着怒乎嚣x j a 一0 意义上戆捶缓嚷一。 引理3 2设1 ，其中1 曼j 8 ，那么点集 q i 垒l 是 乒k ，m ，m 港簧踅孚甏参茗) 一8 = 0 的p p s n 当曼纹当对 p p ，。，满足p ( q i ) = 0 ，i = 1 ，k ，蕴禽着下列事实： 3 r ( x ) f 毫”，q 一，鹅一1 删+ 1 ，m 菠p ( x ) = ( 彩一鑫) 霆( 士) 证明： 必要往由定义3 1 知，若蕊，叁。是昂。，。，。淆着超平西 o ( x ) = 一口一0 ，1 j 8 的p p s ，则由p 只n 。，。，。，p ( q i ) = 0 ，i = 】，2 t ，蠢有p ( 茹) 三0 ，在奶一a 一0 上 令i l = ，1 2 = ，贝0 i ( y ( ) ) di ( y ( 如) ) 6 注意到口( 。) = q a 是不可约的，就有 i ( v ( 1 1 ) ) = ，l = ，1 餐蠢h i l b e r t 零点定逢知， i ( p ( 磊) ) 一如3 是 所以，1 1 2 再由主理想的定义及p r 。的假设，容易看出 3 r ( x ) 玮w ，q “r a j i ，m j 十】t ，篾 p ( 鬈) = 渤口) 置( z ) ， 充分性若对于p 焉，m 。，p ( 吼) = 0 ，i = 1 ，k 有 p 知) = 护0 ) r ( 。) ，r ( z ) p m ，m ，- 1 m 州，m 。， 翔显然有 p 0 = 一a 获辩 c ， v ( p ) ) v ( x j o ) ， 邵p ( z ) 兰0 ，在x j a = 0 上教趣 叁l 是k ；。，。汾着超乎越 一a = 0 的p p s n 证毕 定理3 1 设如 ：l 是c 8 上美手臻；，。，。熬p p s n ；基 它的每个点都不在趱平面螂一a = 0 , 1 js8 上，再设 吼 怎。是 最。，q 一，嘲+ l 穗+ l ，口。添蓑一a = 0 懿p p s n ，剿魏 iu 氇建i 构成f ) m h 一+ m j “m j + l ，m j + l m 在c 8 中的一个p p s n 涯赘：我翻廷爨i s j 一1 豹馕凝。露予j = 2 ，s 赞情黟，谖骥 过稷类似。 令芦。 “ ：；l u 婊 纛l ，弱 p ；= ( m l + 1 ) ( m 2 + 1 ) ( m 。+ 1 ) + ( m 2 + 1 ) - ( m 。+ 1 ) 7 = ( m l + 2 ) ( m 2 + i ) * t ( m ；十1 ) ， 这恰好等于昂；。扎。，。的维数。 下面用反诞法证嘲p 是玮；。+ 1 ，。m 的一个p p s n 假设p 不是p m ：+ i 。；，。的p p s n ，则由 理3 1 知，存在菲零 的p r 。r l ，m ，使得 笋( ) 一0 ，v u 芦 特男缝， p ( q i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，k 缓已羯诹涤l 蔻手k 。+ l ，。澄着超孚蔽舅l a = 0 翡p p s n ， 故由引瑷3 2 可知， j 霆扛) 嚣。；：，。，旋烈。) = ( x l 一8 ) 冀( 。) 又由于p ( r i ) = o ，i = 1 ，t ，丽 n ) ：l 不在x l a = 0 上，故宥 r ( r i ) = 0 ，i = 1 ，2 ，t 注意， n ) k l 怒p 竹。，m 的p p s n ，予是有霞( 。) 兰0 ，从而p ( x ) 兰0 、 这与假设中p 是只；：+ 1 。，。中日 零多项式矛鏖。所以弘是r ： + l 。，一。 的p p s n 证肇 由定理3 1 知道，若我们巴知只；。，胁在c 8 巾的p p s n ，那 么要构造出。，m j 。m + l ，嘶十l 胁在c 3 申的p p s n ，就其需我到 r ，m j 。鸭十l ，鸭胁沿着耀平匿奶一8 0 的p p s n 所以，关 键问题烂如何拽出焉”m 。m j + l ，嘶+ l ，m 潦着超平谢一a = 0 的 p p s n + 攀实上，我们有如下定理； 定理3 2 设r 一键 叁l 是c 8 审怒平甏奶一a o ( 1 曼j s ) e 的点集，则r 是尸。，q 。，+ l ，。川，。沿着超平嘶x j n = 0 的 p p s n 爨璺仅姿霞是 k 。m 。，0 , r n i 。m 懿p p s n 。 8 证疆：我粕只需证j = 1 的情况。对予j = 2 ，s 酌情形，证鞠 过程类似。 首先易知：r ，+ l m 。，。沿着超平面x l a 一0 的p p s n 与 p o m 2 ，m 的p p s n 中所含结点个数是相等的，同为( r r l 2 + 1 ) ( m 。+ 1 ) 必要性设置熟f i m 。扎。，m 沿着超平面x 1 一a = 0 的p p s n 。 壬取p 岛。，m ，满足烈毹) 一0 ，i = 1 ，2 ，k 由于p 也是1 + 1 m 2 ，中的多项式，所以由定义3 1 知，p 扛) 蒜 0 ，趁若l a = 0 上，即v ( a ，c 2 ，如) c 8 ，骞p ( 8 ，c 2 ，e 。) = 0 缎 p p o ，。，。，所以p 兰0 由p 的任意性知，咒是p 0 m m 的p p s n 。 充分性设置怒马m ，m 懿p p s n 设p r n + 1 。，。，且p ( ) = 0 ，i = 1 ，k 往证： p ( 茁) 兰0 ，在嚣l a = 0 土。 事实上，p ( a ，x 2 ，茁。) p o ，m 2 ，州，于是，由p ( ) = 0 ，i 一 1 ，k 及霆= 壤f ，f k ；l 是舀m ，m 酌p p s n 辩，烈岛，x 2 ，岛) 兰0 ， 即p ( 。) 三0 在x l a = 0 上故r 是r 。，扎。：。胁沿着超平面 z 1 一a = 0 的p p s n 涯擎+ 我们把如上定理中超平面x i a = o ( 1 墨j 8 ) 上的点集r 称作 f ，m 。m - h o 一，+ h 。在超平繇q 一8 = 0 上静p p s n 并设 虢 ；k l ， 哦= ( “，一，蠢一，q 5 j + ”，- 一，d 8 ) ，i = 1 ，2 ，、女为。，m 。，m ，+ 。”； 在。中酌一个p p s n 鄂么容易验证： l ，碰= ( ，q j - 1 ) n ，蠢+ ，口：。) ，i 一1 ，一，恰是 p 竹御，0 ，竹+ l m 。在超平面奶一8 = 0 上的一个p p s n - 丽时，由于m j ( 1 j s ) 是任意非负整数，所以由定理3 2 的 正 明过程知，x v f v t z 1 ，f k 。，n 。o ，。，。舳在越平面q n 2 0 上 的所有p p s n 都是p m 。，q 。q + t ，m j + h 沿着超平面q 一8 2 0 的 p p s n ；反之，插值空间p 竹 仍，m i + t ，。，十l m 潦着超平萄茹，一n2 0 的所有p p s n 都是j ) m 。一槐。，嘶舳程超平面一班= 0 上的 p p s n 于是雾l 攥| 胄续法可以缮剿翔下摆论： 擞论3 1 设 ；：t 怒c 8 上关予疆毯奎凌乒k 。：，。豹一个 p p s n ，岛一a k o ( 1 j 茎s ) ，k = 1 ，2 ，l 楚中夏募懿怒乎蘸， 并虽x j a k 一0 ，是一1 ，2 ，；不遴避 r 警l 中鲍 壬强一点。莰次驭 磊 ，秘“0 ，m 。亵一辍= 0 ，k 一1 ，2 ，上黪p p s n r k ，k = t ，2 ，剽 r t ：u 琏u r 2 0 u r t 怒善k h ；獬“码 ，“ 戆一令p p s n 。 一般薅，荧予l a g r a n g e 擞篷空潮f 渤，；懿p p s n 鸯麴下定 理： 宠疆3 3 设 q ； 凳1 怒至蝴，。鹣m ，t 1 个p p s n ，其中 一 是l ，一( 毋，毋) ，j = l ，2 ，k ，任载m l 十1 个c 8 中翡互孬筵乎黼x l a t = 0 ，l 一1 ，2 ，m i + 1 ，释么铲审翡赢集 m l + 1k uu ( 瓤，毋，露3 ) i = lj = l 是昂；阳，舳熊一个p p s n 谖疆：浚s 2 。 谗 赔一汹，毋，礤) ，j = l ，2 ，k ， k b i u 磅， i 一1 ，2 ，；m 1 + 1 j = l 羹j j璇燕臻，m 菘怒平黼瓢一啦= 0 上豹p p s n ，i = t ，2 ，m l 十1 。 瑷曩辩缡法避糟证臻。 f 1 ) 避m l = 0 畦，蠢知b l 楚弱m ，舳在x l a l = 0 上的 p p s n ，所以绪论或波。 ( 2 ) 假设x 孛于m l = t ，t 1 绪论成立，邵。 嚣 u 热u u 竣+ l 怒琏m ，一，的一个p p s n ， 1 0 t t + 2 = 0 上的p p s n ，所以由定理 b l l2 避f “”m 。滞着超平面z 1 一i t + 2 = 0 的p t s n 注意茹l 一啦一0 ，i 一1 ，2 ，t + 2 是互异的超乎藤，故b lu 岛u u 虢+ l 必不在超平面z 1 a = 0 上，于是根据定理3 1 可 知，j b lu u 最+ iu b 冲2 是只+ 1 m ，m 在c 8 中的一个p p s n 鄙对 于m 1 = t + 1 结论也成立。 所以由上面魉绒证骥知定理结论正确。证皇鲢。 反复应用定理3 2 和定理3 3 ，不难递撒构造出f ) m 。在c 5 中的p p s n 。当s = 2 时烩好可以褥到1 2 】中鲍竖袁线结点缀。实繇一k 对于这样构造出的p p s n ，还很容易写出其l a g r a n g e 插值多项式不 失一般性，我妇给爨二元穰三元的接篷公式，对于冀健悸形，方法霹醛 类推 一) 二元l a g r a n g e 捶篷公式 设。在c 2 上的一个适定结点组为 即 q = ( z ，y l ，1 ) ，( x l ，# l 时1 ) ，茹2 ，轻，1 ) ( t 刚l 、y m + ) ，一，( x m + 1 ，y m + + 1 ) + 记 ( 。2 ，y 2 ，。+ l ； u ( x ) = ( z 一$ 1 ) ( z z 2 ) ( z z 。十1 ) 磁钠= 治一虢1 ) 话一y i 2 ) ，r ， y 一孰，“+ i ) 厶( 茹) - ( x - 坠z d u ( z d 吼) = 淼， 在岛是性 鬻 蝴 哪u 倒 州u h | | q 刘岛( 。) ，l i j ( y ) 只，= 1 ，2 ，m + ；? = 1 ，2 ，+ 1 并虽 磁硝= 强i 蓁：蛳文。，阱， 珏f 魏；) 一 爱：蓁； t ，j = ；，。，z + t 如巢殴翘岁( 善，y ) c ( c 2 ) ，令 p ( x ，y ) 一甄髫) ，。曲y ) m i = + t ln + l 一磊f 若) l i j ( y ) f ( x i ，鳓) i = 1 ，= i # l i n + l 一l # ( x ) l i j ( y ) f ( x ：，渤) i = 1j = 1 辫裙荔验落p ( z ，y ，。就是f ( x ，喾) 寇薅上秘l a g r a n g e 撬德公式。 ( 二) 三元l a g r a n g e 播蕊公式 设f 。寝e 3 上豹一个遗定终点缀为 鼯= uuu 致，觏，每赫) i = 1 j = l 盘尝l 记 u ( x ) = ( 茹z 1 ) ( z 茹2 ) ( 嚣一x m l + l ； 筏( 磐) = y 一辨1 ) 一箨 2 ) ( y y i , m 。+ t ) ； 岛2 = 一墨f l ；。一越j 2 ； 。磊o ，。3 十l 铽班揣 测= 蕊 划。) = 瓦雨w d 砾z ) 丽 裂妻i 茹；毒k ，毛嵇擎嚣黜，五茚曩 嚣) j 秘，i = 1 ，2 ，? 替l 十 t ，j 一1 ，2 ，m 2 + 1 ，k i ，2 ，懈3 一 1 1 奎 并且 纠剐= 姥：主 驰= l 囊m + l l i j ) _ r 葛幻乩2 ，m 。十1 脚= 始ii ：啪= ，m “ 设( z ，：) c ( c 3 j ，令 m 1 + 1 p ( x ，y ，z ) = 霸( 茹) ，溆，y ，z ) m i = 1 + 1 lm 2 + 1 = l i ( x ) l i j ( y ) f ( x i ，辩，z ) 芸嚣。芸霁。+ ， = l d x ) l i i ( y ) l j k ( z ) f ( x ，妁，z i j k ) = 1 ，= 1嚣1 m 1 + 1m 2 + 1 m 3 + 1 = l i ( x ) l i j ( y ) l i j k ( z ) ，( y 小z i j k ) ! = i ，= i 女= i 则可以验诞，) ( r ：) r 。“。是f ( x ，2 ) 在q 上的l a g r a n g e 插 瑾公式。 逶誊馕援，我靛在构遣薤蟹察麓只。艚。黪适定绥点缀对，只 需找到f m 3 ，。在c ”1 中的个适寇结点组q ，而令定理3 , 3 中 的劬= q ，j = i ，2 ，- ，m l + 1 ，这襻，我秘矮魏下步骤裁墨强魏选缝 尸。，。的适意结点组。 第一步：约遗k 。在g 2 孛懿p p s n 任取，n 。一l + 1 个不同的竖直线x s _ l n 翌1 = 0 ，i = 1 ，2 ，m 。一l + 1 、在每个骚塞线上任获m 。十1 个溪弄点： ( 8 罂l ，q 1 ) ，( 盘翌l ，q 2 ) ，( 8 翌l ，州) m l + 1 m j + 1 则uu “n 矬1 、q j ) ) 魁p m 。的一个p p s n = i j = 1 3 第二步：构造焉。，。，在c 3 中鹃p p s n 侄歌c 3 中的m 。一2 + 1 个不蔺的超平匾。一2 8 鐾2 = 0 ，t t ：2 一。2 + t ，则 ”口”d 州m u 。- t - 1 删。，。翌阑) uuu ( 鑫婴。，。嚣，奶) b ii = 1 ，= l 戆毋。，”。在g 3 申一个的p p s n 笨s l 爹；秘避； ，m 亵c 8 申熬p p s n 。 设。，程c ”1 孛懿一个p p s n 滗 肖1 4 寸1 呵1 洲，。婴，婚) uu - uu ( n 扩，n 磐t ，婚) 。 n = it = l j = l 释么任敝c s 中m l + 1 个豆不相阏的黻平藤z l 。f = 0 ，t = 1 ，2 ，m l 十 1 ，捌 飞j 1m u 2 + l n l , u - t 笥1 。，n 字，谊曼，q j ) tuu uu n ，n 字，谊譬t ， # 盘lr = 1 = l j = 1 是臻；，批。，m 焱c 8 中垂孽p p s n 。 铡子：褥遮p 1 1 2 t 3 ，4 在c 4 串鹃一个适寇缝点缀+ 第一步t 褥逢鹣4 在c 2 串鹃逶是结患缀。 取受宣缄瓢= t ，；，；，i ， 农魏一1 = 0 上致点集 l ，；j ， 芦5 l ； 谯茹3 一 一g 上敬焱集 i ，丢j ，j 扫l ； 在t s 一 = o 上敬点秦 ( ；，；) ；：t ； 巍茹。一i 土取患豢 i ，i ) ；= ， 粼uu ( i ，i ) 怒懿一拿遂意续点缀 i 一，j 一1 u 1 4 第二步：构造p 23 a 在c 3 中的适定结点组。 取超平面z 2 = 1 ，妄，詈 则鱼立立 ( 筹扣是的一个适定结点组。 第三步：构造b 2 3 4 在c 4 中的适定结点组 取超平面o l = 1 ，言 则a 中点集2 3 5(；，；，五，；)就是p1幺。，。i 则4 中点集 ( ；，；，i ，；) 就是p 1 ，2 a = ln = l i = 1 j = li c uuuu 。 n-bn定111 站。i i 尘h 。 引用记号b 。，。表示p 仃。，。：，。的一个适定结点组， b 。一j - l ，o ，。，m 表示p 竹，q “o ，。，m 在c 5 中超平面q n = 0 上的一个适定结点组，其中一o = 0 不通过b 。任取f 个这样的互异的超平面一o k = 0 ，女= 1 ，2 ，f ，在每个超平面 丁，一。= 0 ，= 1 ，2 ，f 上取p 。o ，m j m 的适定结点组 甘。m 。o ( 。，。，m ，记其并集为b m 。，。f _ l ，m ，m ，那么由 推论3 1 知， b 。，。，。ub 。，。，一。，f 一1 ，m ，+ 。，m ； 是插值空间p k 。m 。，“。，。的一个适定结点组 一般地，我们有如下定理： 定理3 4设f l ，f 2 ，l 是s 个非负整数，对于“，1 曼iss ， 当f t = 0 时，记b 。m 。i - 1 ，。+ l i + 17 - 1 ”1 s + f 。= ；当f t 1 时， 任取f i 个c s 中互异超平面孔一q = 0 ，j = 1 ，2 ，k ，使其都不通过 k 。，m ，一1 ，m 。m 件l + l ，+ l ，m 。+ b 的p p s nb m h ，n 卜1 ，m 。m 件、+ 。，m 。+ 。， 再在每个超平面上取尸。m 。o ，。+ i + 1 i - - , i m s + k 的一个p p s n ，记其 并集为b m h 肌- l tf ；一1 ，m + l + f t + l ，m 。+ b ，那么b “一1 ，m 2 + b ， ，m ；+ ku u b 小i 1 2 一l ，t ，1 3 十f 3 ， b 十“u u b m l ，m 2 ，m 。一l ，l ，一l u b m l m 2 ， ，m s 构成插值空间f ，m 州。伯。州，的一个适定结点组 1 5 证日月： ( 1 ) 当1 2 = f 3 一- = 2 。= 0 时，结论显然成立 ( 2 ) 假设如l ，l i + l l i + 2- = 以= 0 ，其中i 2 ，此时结论成 市，即 b l l l , r a 2 + f 2 ，m l + f l ，m l + l ，m su b m l ，f 2 1 ，m 3 + f ”，m t 十f 。，仇冲l ，m 5u - - u b 。，。一。，l i - 1 ，。，。，u e m 。，。：，。构成b m l + l 。，m 。+ f 。，。1 ，m 。 的适定结点组，那么当i + 1 l ，i + 2 = l i + 3 = = f 。= 0 时，记 m i + 1 + + l 为m ：+ l ，可由归纳假设有： b f i l ，m 。+ l 。，m ：+ i ，m l + ，m ，ub m l ，1 2 - l ，m 3 十3 ，m ：+ l ，m ；+ 2 ，m 。u u b 。，。，i i - - 1 ，m ：+ ，m h 。，m 。ub m ；，。m 。，m ：+ ，m ：+ ”，m 。 构成户k 。+ “ 。“，。：。，。的一个适定结点组。 把上式中的m ：+ l 换回m i + l + n + 1 ，再找f ) m 。mm “m ，m 。 的一个适定结点组且。，。+ f 。，。，。，事实上，根据推论3 1 知，任取 + 1 个互异的超平面z 川一b = o ，j = 1 ，2 ，l i + l ，且都不通 过f m 。，。，。，。，的适定结点组 b m l、m t m ，+ 1 ，m t + ”，m 依次取插值空间p m 。m ，0 ，。m ，m 在超平面+ 1 一b j = 0 ：j = 1 2 f 上的适定结点组，记其并集为 那么 z k ，。m 。“+ ，一l ，m 计。，m ，ub m h ，m ；，m 。+ 。，m 件。，m 。 就是尸_ 。+ f 。，。的一个适定结点组 于是有 廿“一l ，m 2 + l ”，m l + l + f 件l ，m 件2 ，m ju b m l ，1 2 - l ，m 3 + 1 3 ，m 件1 + f 件l ，r t l i + 2 ， ，m s u u 廿m l ，m ，i ，f 。一l ，m l + l + f i + 1 ，m l + 2 ，m 。ub m l ，m 。，i t + l - 1 m 。+ 2 ，m ，u u b 。，。，。，m 构成p m 。“。，m 。+ 。m 。，m 的一个适定 1 r 结点缀，即l i + t 1 ，l i + 2 ：= l 。一0 对，结论也成立爨以定理缝 论正确证毕 特别羹建，当? 毪 = ? 珏2 一：= ：m 。= m ， = 如= = 毛器 l 时，玩，m + 1 ，。+ l u ，o ，。+ 1 ，。+ l u u b 。，。，o u 风，。恰好怒 f k + l ，m “，。+ 1 的一令逶定结点缝。痰魏，可泼递撵擒造密类钕予 2 中十字型结点组的r 件t ，。+ l i ，。+ l 的一类适定结点组 诵子：我蠢j 寒搦遣s = 3 对焉。秘逶窥结点缀 第0 步；在c 3 中任取点q l 作为p 0 n 。的一个适定绺点组； 第1 多t 任歇c 3 中趋平磊g a l ，y b l ，z = c l 不通遵已选好 的点q t ，在。= a l 上取p 1 ，l 的个适定结点组；在 = b t 上取p o t 的一个适定绪点组；在。= c t 上任取一点，就得到爨1 1 的一个适定缩 点组； 笫2 步：任取c 3 中超平面。= 钆，y = b 2 ，。= c 2 不通过前面已逸 好的点，在童= a 2 上玻岛，2 的一个遗定结点缀；在y 。b 2 上淑只z 的 一个遁定结煮组；在z = c 2 上取p 1 ，1 的一个遗定结点组，就得到马羔2 的一个适定缝点组； 第n 步：任取c 3 中超平蟊。= a 。，y = 6 嚣，。= c 枯不通过葭匿已选 好的点，在鬈= a 。上敢r 。的一个邋定结点缀；在y = 6 n 上取r _ l 。 的一个适定缕熹组；在。= c n 上取只矗。一t 的一个逡定结点缀，这榉 就得剿r 。的一个遁定结点组 1 7 参考文献 2 r c o x ，j l i t t l ea n dd o s h e a ，i d e a l s ，v a r i e t i e s ，a n d a l g o r i t h m s ，s p r i n g e r