（模式识别与智能系统专业论文）一类典型的非线性欠冗余机构——倒立摆控制系统研究.pdf

摘要 本文主要针对一类典型的仿射非线性欠冗余机电系统一倒立摆控制系统进行分析研究 以及设计控制器。 首先，针对一级直线倒立摆系统，采用牛顿力学分析方法和欧拉一拉格朗日方法建立系 统的动态数学模型，比较了两种方法的优劣：分析了系统的平衡点，给出系统在平衡点邻域 近似线性化后的状态空间模型和离散线性系统模型，指出系统在平衡点邻域是开环不稳定 的、能控的，并且相对能控性较差；应用微分几何方法，指出系统以能量为输出的相对阶为 2 ，不能输入输出精确线性化。之后对二级串联环形倒立摆系统、二级并联环形倒立摆系统、 平面倒立摆系统和柔性连接倒立摆系统分别应用欧拉一拉格朗日方法建立系统的动态数学 模型，分析了系统在平衡点邻域的稳定性、能控性及相对能控性。 然后，介绍了运动控制理论、g m 4 0 0 运动控制器原理及非线性系统无源性定理，并且 证明倒立摆控制系统是无源的系统。做倒立摆系统的相平面图并分析了系统在平衡点邻域的 定性性质。针对一级直线倒立摆系统应用极点配置法、l q r 和l o y 方法设计三种控制器； 针对二级串联环形倒立摆系统设计l o y 控制器；针对二级并联环形倒立摆系统设计混和控 制器( h y b r dc o n t r o l l e r ) ：摆起倒立摆杆应用基于无源性的能量调节( e n e r g ys h a p i n g ) 控 制器，稳定倒立摆杆应用l o y 控制器：将平面倒立摆系统解耦为两个子系统，并分别设计 l q y 控制器；针对柔性连接倒立摆系统设计l q y 控制器。并且给出所有上述控制器的理论 计算参数及实际控制器参数。 最后，介绍了系统的仿真结构、实际系统软件结构及编制、实际系统硬件结构及组成。 给出五种倒立摆系统仿真及实验结果。通过对仿真及实验结果仔细的分析，得出如f 结论： 二次型最优控制器和基于无源性的能量调节( e n e r g ys h a p i n g ) 控制器是有效的，同时具有 很好的稳态特性、瞬态响应能力和一定的鲁棒性；运动控制技术增加了系统的精度和响应速 度。指出如何应用非线性控制或智能控制等新型的控制策略提高系统的鲁棒性以及研究倒立 摆系统大范围运动的动力学性质并设计新型摆起控制器是将来的主要研究方向。 关键字：一级直线倒立摆系统，二级串联环形倒立摆系统，二级并联环形倒立摆系统， 平面( 2 d o f ) 倒立摆系统，柔性连接倒立摆系统，欠冗余机电系统， 仿射非线性系统， 欧拉一拉格朗日系统，李弧普诺夫稳定性，运动控制，g m 4 0 0 运动控制器，相平面图， 无源性，混和控制器 能量调节( e n e r g ys h a p i n g ) 控制策略 二次型最优控制器，极 点配置法，l q r ，l q y a b s t r a c t ac l a s s i c a ia f t m en o n l i n e a ru n d e r - a c t u a t e d m e c h a t r o n i c ss y s t e m i n v e r t e dp e n d u l u m s y s t e mi sa n a l y z e da n dt h ec o n t r o l l e r sf o rs o m et y p es y s t e ma r ed e s i g n e d f i r s t , t h es i n g l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e md y n a m i c sm o d e lj s s e tu p 戚1 1 9t w o m e t h o d s ：f o r c et h e o r e mo fn e w t o na n de u l e r - l a g r a n g et h e o r e m , t h e nt h ea d v a n t a g ea n d d i s a d v a n t a g eu f t h et w om e t h o d si si i s t e d t h em o d e l i i n e a r i z e da tt h eu n s t a b l ee q u i l i b r i u mp o i n t a n dt h em o d e ld i s c r e t i z e df r o mt h el i n e a rm o d e l i sg i v e n t h en e i 2 i i b u r h u u do ft h ee q u i l i b r i u m p o i n tu f t h es y s t e mi ss h o w nt ub eu n s t a b l ea n dc o n t r u l l a b l ea n di t sr e l a t i v ec o n t r u l l a b i l i t yi sw e a k t h er e l a t i v ed e g r e eu ft h es y s t e mi se q u a lt u2 w h e nt h eo u t p u ti sc h o s e nt ob et h et o t a le n e r g yu f t h ep e n d u l u ma n dt h ep e n d u l u mi sa b o v et h eh u r i z o n t a l t es y s t e mi sn o ti n p u t o u t r l u t l i n e a r i z a b l ea n di ti sn o tf e e d b a c kl i n e a r i z a b l e f u rt h ed o u b l ec a s c a d e dc i r c u l a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m ，d o u b l ep a r a l l e lc i r c u l a ri n v e a e dp e n d u l u ms y s t e m ，s p h e r i c a l ( 2 d o f ) i n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e ma n df l e x i b l e j u i n ti n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，t h ed y n a m i c sm o d e li sg i v e nu s i n g e u l e r - l a g r a n g et h e o r e m a n dt h ec h a r a c t e r sn e a r b yt h ee q u i l i b r i u mp o i n t su ft h es y s t e ma r e s h o w n ，i n c l u d i n gs t a b i l i t y , c u n t r o l l a b i l i t ya n dr e l a t i v ec o n t r o l l a b i l i t y a n dt h e n ，t h em o t i o nc o n t r o lt h e u r y , g m 4 0 0m o t i o nc u n t r u l l e rp r i n c i p l ea n dp a s s i v i t yt h e u r y i si n t r o d u c e d ，a n dp r o v e dt h a tt h ei n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi sp a s s i v i t y t h eq u a l i t a t i v eb e h a v i o r n e a r b yt h ee q u i l i b r i u mp o i n t su ft h es y s t e mi sa n a l y z e dt h r o u 曲t h ep h a s ep l a n ed i a g r a m f o rt h e s i n g l e l i n e a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m ，t h r e ec o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e db a s e do n t h e p o l e p l a c e m e n tm e t h o d ，l q ra n dl q ym e t h o d f o rt h ed o u b l ec a s e a d e dc i r c u l a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m ，t h el q yc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d f u rt h ed o u b l ep a r a l l e lc i r c u l a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m ，t h eh y b r i dc u n t r o l l e r i sd e s i g n e d ：e n e r g ys h a p i n gc u n t r u l l e rb a s e do nt h e p a s s i v i t yi sa p p l i e dt os w i n gu pt h ep e n d u l u ma n dl q yc o n t r o l l e ri sa p p l i e dt os t a b i l i z et h e p e n d u l u ma tt h ee q u i l i b r i u mp o i n t f o rt h es p h e r i c a li n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m i ti sd e c o u p l e dt o t w us u b - s y s t e ma n dl q yc o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o re v e r ys u b - s y s t e m f o rt h ef l e x i b l ej o i n t i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，t h el q yc o n t r o l l e ri sd e s i g n e d t h et h e o r e mp a r a m e t e r sa n dt h ea c t u a l p a r a m e t e r so f a l lt h ec o n t r o l l e r sa b o v ea r eg i v e n f i n a l l y , t h ee m u l a t i o ns t r u c t u r e ，t h ea e t u a la p p l i c a t i u ns o f t w a r es t r u c t u r ea n dt h ea c t u a l h a r d w a r es t r u c t u r ei sg i v e n t h ee m u l a t i o nr e s u l t sa n de x p e r i m e n tr e s u l t su ft h ef i v ei n v e r t e d p e n d u l u mc o n t r o ls y s t e ma r eg i v e n t h r o u g ha n a l y z i n gt h er e s u l t sw ec a nc o n c l u d et h a tt h e q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o l l e ra n dt h ee n e r g ys h a p i n gc o n t r o l l e rb a s e du np a s s i v i t yi sv a l i d a t e d ， r o b u s ta n di ti ss h o w ng o o ds t e a d ya n dt r a n s i e n ts t a t ep e r f o r m a n c e t h ep r e c i s i o na n dt h er e s p o n s e v e l o c i t yi si n c r e a s e db ym o t i o nc o n t r o lt e c h n i q u e t h ef u t u r eo b j e c ti st ui m p r o v et h er o b u s tu f t h e s y s t e mu s i n g n e wn o n l i n e a rc o n t r o l l e ro ra r t i f i c i a lc u n t r u s t r a t e g ye t c a n dt od e s i g nn e ws w i n gu p c o n t r o l l e ra f t e rr e s e a r c h i n gt h es y s t e md y n a m i c si nt h el a r g ea r e a k e yw o r d s ：s i n g l el i n e a ri n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m d o u b l ec a s c a d e dc i r c u l a ri n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e m ，d o u b l ep a r a l l e lc i r c u l a r i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，s p h e r i c a l ( 2 d o f ) i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，f l e x i b l ei u i n ti n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m ，u n d e r - a c t u a t e d m e c h a t r o n i c ss y s t e m ，a f f i n en o n l i n e a rs y s t e m ，e u l e r - l a g r a n g es y s t e m ，l y a p u n u vs t a b i l i t y , m o t i o nc o n t r u l ，g m 4 0 0m o t i o nc o n t r o l l e r , p h a s e p l a n ed i a g r a m ，p a s s i v i t y , h y b r i d c u n t r u l l e r , q u a d r a t i cu p t i m a lc u n t r o l l e r , p o l e - p l a c e m e n tm e t h o d ，l q r ，l q y 致谢 在我的论文完成之际，首先向我的导师丛爽教授表示最衷心的感谢! 在三年 的学习研究工作中给予我精心指导和帮助，使我懂得如何选定研究方向，如何开 展一项研究，如何总结自己的工作。使我具备了研究工作能力，为将来的学习工 作奠定了基础。她渊博的专业知识、严谨的治学态度以及不断创新的精神永远激 励着我，使我受益终生。 在完成本论文的工作过程中还得到了魏衡华老师、吴汉生老师以及实验室的 杜浩藩等同学的帮助，在此向他们表示衷心的感谢。 感谢李泽湘博士以及固高科技( 深圳) 公司提供实践的机会j 并提供了非常 棒的实验设备。感谢固高科技( 深圳) 公司的秦志强博士、蒋士龙博士以及杨伽 利工程师、李昌帅工程师等给我的指导与配合。 感谢八年来一起生活过的同学、朋友们，美好的青春时光与他们一起度过 终身难忘。向学校和老师们致以深深的谢意! 感谢我的母亲、父亲，他们是我一生前进的动力。感谢我的姐姐，感谢她对 我的关心、支持和鼓励。 谢谢 2 0 0 3 年4 月2 0 日 张冬军 图表 图2 1( a ) 稳定平衡状态及一条典型轨迹 ( b ) 渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 图2 2 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 6 图3 7 图3 8 图3 9 图4 1 ( c ) 不稳定平衡状态及一条典型轨迹一一一一一一一一i 1 常数r 圆和典型轨迹一一一_ - 一一一一1 3 一级直线倒立摆系统物理模型 一级直线倒立摆系统受力分解图 二级串联环形倒立摆系统物理模型图 3 l 3 2 3 8 二级并联旋转倒立摆系统物理模型图一一一4 6 平面摆系统的坐标系定义及其映射一一一一一一5 4 映射到x 一：平面的倒立摆系统一一一一一一5 4 柔性连接倒立摆系统物理模型图一一一一5 9 弹簧一自由质量块系统物理模型图一一一一一一6 4 弹簧一双自由质量块系统物理模型图一一一一一6 5 最优控制系统结构图一一一一一一一7 4 图4 2 物理摆系统示意图一 7 6 图4 3 物理摆系统相平面图一一一一一一一7 8 图4 4 相位图上系统的运动轨迹一一一一一一一7 8 图4 5在平衡点( 0 ，o ) 线性化后系统( 4 2 1 ) 相位图以及一条系统运动轨迹一一一7 9 图4 6系统在平衡点仁，o ) 线性化后系统相位图及六条系统运动轨迹一一8 0 图4 7 通过输入前馈系统成为无源性系统r - 8 2 图4 8 通过输出反馈系统成为无源性系统一一一一一一一8 2 图4 9 在区间k l ，k 2 】的函数通过输入前馈连接输出反馈转化为属于区间【o ，) 的函数 图4 1 0 图4 1 1 图4 ，1 2 图4 1 3 图4 1 4 图4 1 5 图4 1 6 图4 1 7 图4 1 8 图4 1 9 图4 2 0 图4 2 1 图4 2 2 图5 1 图5 2 反馈连接的两个系统 自由的倒立摆系统 8 4 倒立摆控制系统结构 运动控制系统结构图一一一一一一一一一9 1 g m - 4 0 0 运动控制器原理框图一一一一9 4 s 一曲线模式控制曲线一一一一一一一一一9 5 变形后的s 一曲线模式控制曲线一一一一一9 6 梯形曲线控制曲线一一一一一一一一一9 6 梯形控制曲线改变设定的速度和位置一一一一一9 6 电子齿轮模式的典型应用一一一一一一一一一一9 7 s 一曲线和梯形曲线模式下平滑停止速度曲线图一一一一一一9 8 数字伺服滤波器原理图 平衡点左右两边偏离角示意图 倒立摆控制系统仿真结构图 二级并联旋转倒立摆控制系统仿真图 1 0 4 1 0 5 u 0 图5 3 图5 4 图5 5 图5 6 图5 7 图5 8 图5 9 图5 1 0 图5 1 1 图5 1 2 图5 1 3 图5 1 4 图5 1 5 图5 1 6 图5 1 7 图5 1 8 图5 1 9 图5 2 0 图5 2 l 图5 2 2 图5 2 3 图5 2 4 表2 1 表4 1 表4 2 表4 3 表4 4 表4 5 p e n d u l u ms y s t e m 非线性模型图 倒立摆控制系统结构图一一一一一一一一1 1 1 倒立摆控制系统应用软件流程图一一一一一一1 1 3 一级直线倒立摆控制系统极点配置法仿真输出量及控制量曲线图一一1 2 5 一级直线倒立摆控制系统极点配置法实验输出量及控制量曲线图 一级直线倒立摆控制系统l q r 仿真输出量及控制量曲线图一 一级直线倒立摆控制系统l q r 实验输出量及控制量曲线图一 一级直线倒立摆控制系统l o y 仿真输出量及控制量曲线图 一级直线倒立摆控制系统l q y 实验输出量及控制量曲线图 二级串联环形倒立摆控制系统实物图 二级串联环型倒立摆系统的仿真结果曲线 二级串联环型倒立摆控制系统实验结果曲线 二级并联环形倒立摆控制系统实物图 二级并联环形倒立摆控制系统仿真结果 二级并联环形倒立摆控制系统实验结果 平面倒立摆系统实物图 平面倒立摆控制系统仿真结果 平面倒立摆控制系统实验结果 x y 方向运动曲线综合图一一一一一一1 3 4 实际柔性连接倒立摆系统图一一一一一一一一1 3 5 柔性连接倒立摆控制系统仿宾结果一一一1 3 6 柔性连接倒立摆控制系统实验结果一一一一一一1 3 7 经典控制理论中稳定性概念与l y a p u n o v 意义下的稳定性概念的区别与联系一1 1 s 一曲线模式中主机设定参数含义及6 m 一4 0 0 内部表示一一一9 5 梯形曲线控制模式中需设定的参数含义及g m 一4 0 0 内部表示一一一一9 7 速度控制模式中设定参数含义及g m 一4 0 0 内部表示一一一一一9 7 数字滤波器设定参数含义及g m 一4 0 0 内部表示一一一一9 9 设定工作轴的数量和g m - 4 0 0 最小伺服环周期的对应关系一一一9 9 璐啪|虽埘啪坳啪m m m 墨| m 中国科学技术大学硕士学位论文张冬军 第一章引言 摘要：本章首先阐明了作者的研究动机及所采用的研究方法然后介绍了倒立摆系统研究 的历史，以及倒立摆控制系统的结构最后给出了本论文的组织安排 1 1 研究动机 倒立摆系统一直是典型的教学实验平台。一般的，倒立摆系统是匀质摆杆底端固定在一 个一维、二维甚至是三维运动平台上，另一端自由并且自身可以自由转动。从形式上看，其 与杂技中的顶杆非常相似，其控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处， 极富趣味性。许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可 以通过倒立摆控制系统实验表现出来，非常的直观、简便。同时倒立摆系统是一个典型的机 电一体化系统，其中涉及到机械设计、电机驱动技术以及运动控制技术等许多方面，学生通 过实验可以学到各方面的知识。 倒立摆系统是控制理论研究的理想实验平台。由于系统本身所具有的高阶次、不稳定、 多变量、非线性和强耦合特性，许多控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不 断从中发掘出新的控制策略，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应 用。二十世纪九十年代以来，更加复杂形式的倒立摆系统成为控制理论研究领域的热点，每 年在专业杂志上都会有大量相关的论文出现。 倒立摆系统的研究也是人类活动、生产实践的要求。比如，倒立摆系统的动态行为与人 类的行走姿态控制类似，因而对于医疗义肢、白主运动机器人行走控制有现实意义。倒立摆 系统的平衡与火箭的发射姿态调整类似因而对于航天中的控制技术具有非常重要的意义。 倒立摆系统与杂技表演技巧的天然相似，演员在表演杂技项目时对道具的测量、所采用的智 能策略、决策以及这些知识在头脑中的表达方式一直是研究人员的焦点，通过对倒立摆系统 探索、验证这些研究工作具有非常积极的意义。 倒立摆系统是一种典型的机电一体化系统，它的本质特性非常重要：仿射非线性系统、 欠冗余机构以及欧拉拉格朗日系统。通过对倒立摆系统的研究、控制系统的分析及设计， 可以解决这一类的问题，并将之应用到实践当中。自从i s d o r i 开创性的将微分几何方法应 用到非线性控制系统中并取得了一定的成功后，非线性系统的研究及其控制器设计开辟了新 的方向。很自然地，人们希望将新型的控制策略应用在倒立摆系统上以期验证策略的有效性 及其性能。 基于以上的原因，尤其是希望针对一类欧拉一一拉格朗日系统( e u l e r - - l a g r a n g e s y s t e m ) ，探索出一种比较简便的策略，能够较为简单地完成动态分析、系统设计等任务。 1 2 倒立摆控制系统的研究历史 倒立摆系统研究始于1 9 世纪5 0 年代。由于现代控制理论的发展，尤其是多变量线性系 统理论以及最优理论的发展，7 0 年代之后关于倒立摆系统的研究吸引了更多人的注意力， 开始时人们主要是研究线性系统的镇定问题。这期间的文献包括s c h a e f e r c a n n o n ! ”，m o r i ， n i s h i h a r a & f u r u t a 3 1 给出了一级倒立摆的实验结果。m a l c t i n s k y , s e n n i n g w i e d e r k e h r t 4 1 ， s t u u r e g e o n & l o s c u t o f l f ”i ，f u r u t a ，k a j i w a r a k o s u g e p ”等给出了二级直线倒立摆的实验结 中国科学技术大学硕士学位论文张冬军 果。f u m t a ， o c h i a io n o 【3 1 1 。m e i e r ,f a r w i g & u n b e h a u e n “，t s a c h o u r i d i s m e d r a n o c e r d d 3 8 j 3 9 1 ，e l t o h a m y & c y k 1 j o h o l 群1 1 ，h a n k a nf e r d f ie n n s 4 甜，y a n gy a w e i ， z h a n gm i n g l i a n & s u nc h a n g l i n g 4 3 1 ，p e t k o v , d w g u k o n s t a n t i n o v i 4 1 i ，等给出了三级直线 倒立摆的实验结果。由于倒立摆系统本身的非线性特性，近来倒立摆系统也用来验证一些非 线性的控制策略，主要有变结构控制y a m a k i t a f u r u t a l 6 j ，基于被动的控制f r a d k o v , g u z e n k o ， h i l l p o g r o m s k y i “，b a c k - s t e p p i n ga n df o r w a r d i n gk r s t i c ，k e n e l l a k o p o u l o s k o k o t o v i c ”1 ，非 线性观测器e k e r & a s t r o m l 9 1 ，摩擦补偿a b e l s o n b o l 等。对于倒立摆系统在大范围内的运动控 制策略，很多工作者进行了研究，比如f u r u t a & y a m a k i t a i l ”，f u r u t a , y a m a k i t a k o b a y a s h i i i “， w i k l u n d ，k r i s t e n s o n & a s t r o m ! ”1 ，y a m a k i t a , n o n a k a f u r u t a i ，s p o n g i ，s p o n ga n dp r a l y 1 6 1 ， c h u n g & h a u s e r i 】，y a m a k i t a ，1 w a s h i r o ，s u g a h a r a f u r u t a i i 踟，w e i ，d a y a w a n s a & l e w i n e 【1 们， b o r t o 一2 “，l i n ，s a b e r i ，g u t m a n n & s h a m a s h t 2 ”，f r a d k o v & p r o g o m s k y 【2 2 】，f m d k o v , m a k a r o v , s h i r i a e v & t o m c h i n a 【2 4 1 ，l o 盈n o f a n t o n i 【2 卯，a s t r o m 2 6 1 ，a s t r o m & f u r u t a 2 ，1 w a s h i r o ，f u r u t a a s t r o m ”1 。s p o n g i ”1 研究了几种不同类型的倒立摆系统。 近些年来，不仅非线性分析与综合理论不断发展，智能控制理论尤其是智能控制的应 用得到了较快的发展。各种智能控制策略不断涌现，研究者也不断将新型的控制策略应用于 倒立摆系统。例如范醒哲、张乃尧和陈宁m 1 提出了一种模糊串级控制方案并且将之应用于 三级倒立摆控制系统实验，m a s u i ，t e r a n o ，k o b a y a s h i & i d a 4 6 1 提出将遗传算法应用于模糊控 制器当中，并且给出了三级倒立摆控制系统的实验结果。在1 9 6 3 年w i d r o w & s m i t h m l 就 指出应用一个m c c u l l o c h p i t t s 类型的神经元就可以控制单级倒立摆系统，之后b a r t o ，s u t t o n a n d e r s o n 48 】给出了应用神经网络控制一级倒立摆系统的实验结果，并且这一结果直到现 在仍然是其余研究结果的参照。但是直到现在，尽管a n d e r s o n ”，w i d r o w p ，t o l a t & w i d r o w p ”，j a m e s o n 5 ，l e e & b e r e n j i t 5 3 1 ，w a n g & m i u i h l ，p a t r i k a r p r o v e n c e 5 舶，l i n k i m 5 6 i ，f ”1 ，m a r i c i c 5 ”，j o r d a n j a c o b s ”1 ，w i e l a n d 6 “，g u e z & s e l i n s k y 6 1 1 等给出了很多的策 略和实验，这些结果仍然没有达剑应用线性模型最优化控制策略的性能。因此，神经网络的 学习功能，不管是基于有教师的学习策略还是无教师的学习策略。都仍然需要大量的进一步 研究与提高。 基于以上的论文结果，考虑到系统设计调节的可行性以及实用性，本论文中采用了线性 二次型最优控制策略平衡倒立摆，倒立摆系统的白摆起控制采用基于无源性的能量调节 ( e n e r g ys h a p i n g ) 控制策略。 1 3 倒立摆系统结构 倒立摆控制系统可以多种结构组成。比如单板机控制或者基于p c + 数据采集系统的控制 等。但是随着交流驱动器以及专用运动控制器的应用成熟，采用基于p c + d s p 专用运动控 制器这一运动控制的主流结构具有非常的优越性： 1 信息处理能力强。由于p c 技术与日俱进。计算机的信息处理能力越来越强，通 过计算机软件处理与运动控制器交互。大大增强了系统的可操作性和信息处理 能力。 2 开放式的结构。由于计算机的扩展能力强。同时运动控制卡采用模块化的设计 结构，使得这一结构较容易扩展。同时利用运动控制技术驱动伺服电机，使得 控制算法和上层控制软件的开发更为容易。 固高科技有限公司开发生产的倒立摆系统充分考虑到上述问题，具有如下特点： 1 开放性。系统硬件部分非常容易扩展，公司可以根据用户需要扩展相应的部分。同 时系统软件接i = 1 充分开放，用户不仅可以使用公司已经开发的丰富的实验软件，而且可以根 6 中田科学技术大学硕士学位论文张冬军 据自己的实际需要扩展软件的功能 2 模块化系统的机械部分可以根据实际需要方便的改装成一级、_ = 级或者三级倒立 摆，同时可以选用直线或者旋转平台倒立摆系统的实验软件同样是基于模块化的思想设计， 用户可以根据需要增加或者修改相应的功能模块 3 简易安全。倒立摆系统包括运动控制板卡、电控箱( 旋转平台系统中和机械本体联 在一起) 、机械本体和微型计算机几个部分组成，安装升级方便。同时在运动控制板卡和实 验软件上都采取了积极措施，保证实验时人员的安全可靠和仪器安全。 4 先进性。采用固高科技有限公司研发的具有d s p 专用运动控制芯片的四轴运动控制 板卡：先进的国际主流的商用交流伺服电机作为驱动；检测元件采用光电码盘而不在采用模 拟的电位计，从而使系统成为全数字的传输处理，充分利用数码系统的优点，避免了模拟系 统的零点漂移、噪声干扰等缺点，更适合计算机控制系统的要求。系统设计符合当今先进的 运动控制发展方向。 倒立摆系统的结构组成将在第五章中介绍。 1 4 本文安排 本论文的安排如下： 第一章介绍本论文的研究动机，倒立摆系统的研究历史以及系统结构的简单介绍。 第二章介绍了系统分析设计的数学基础，包括李亚普诺夫稳定性理论在倒立摆系统中的 应用、非线性的分析方法对系统动态特性进行分析及离散线性系统理论分析系统的动态特 性。 在第三章中五对几种类型的倒立摆系统，比较了牛顿法和欧拉一拉格朗日方法建立系统 数学模型，并且根据第二章的理论应用微分几何的方法、非线性系统无源性的方法及离散线 性系统理论的分析方法仔细的分析了五种倒立摆系统的动态特性。 第四章提出倒立摆控制系统的策略应用极大值原理以及线性最优控制理论、运动控制 理论，以及基于无源性的能量调节( e n e r g ys h a p i n g ) 控制策略设计倒立摆控制系统，并且 对控制策略进行分析，计算出控制器参数。 第五章提出倒立摆系统的仿真以及实际实验结构。并对仿真以及实验结果仔细的进行了 分析，给出了最终结论。 最后，在第六章对本文提出的控制系统进行了简要的总结，并指出了进一步的研究内容。 7 中国科学技术大学硕士学位论文张冬军 第二章数学基础 摘要：本章介绍了李亚普诺夫稳定性理论在倒立摆系统中的应用，介绍了微分几何方法以 及离散线性系统理论方法分析系统的动态特性，包括系统的稳定性、能控性及相对能控性 2 1 稳定性分析 2 1 1 概述 在设计一个系统时，必须考虑初始状态及有关参数变化对系统动态性能的影响。因此自 然希望在测量存在一定误差时，系统亦具有良好的动态品质。直观地说，如果初始数据、输 出等有关量的测量存在微小误差。那么系统状态以后是否会产生较大的变化和偏差呢? 这类 问题就是所谓的稳定问题，它是在设计系统时最关心的闯题之一。动态系统稳定性的研究有 着悠久的历史，很多著名的物理学家、数学家、天文学家和工程师在理论与实际应用研究方 面做了大量的工作。一个早期引起人们兴趣的问题就是太阳系的稳定性问题。拓瑞策利 ( t o r r i c e l l i ) 早在1 7 世纪就提出了所谓的“最小总能量”法则，认为一个系统如果有一 个( 局部) 最小总能量点，那么他就在这个点是稳定的。在1 8 世纪中期，拉普拉斯( l a p l a c e ) 和拉格朗日( l a g r a n g e ) 将拓瑞策利法则又推进了一步。他们指出如果一个系统是保守的( 即 其总能量恒定，包括动能和势能) ，则对应于零动能和最小势能的状态就是一个稳定平衡点。 1 9 世纪末，俄国的天才数学家和工程师李亚普诺夫( l y a p o n o v ) 通过对彭加莱( p o i n c a r e ) 提出的流体旋转的稳定构形问题的研究，提出了运动稳定性问题的一般理论和方法。一个世 纪以来，他的工作一直受到人们的普遍关注，对动态系统的稳定性研究产生了深远的影响。 2 0 世纪5 0 年代以来。拉萨尔( l a s a l l e ) 等数学家又将李亚普诺夫稳定性理论推广到一般 动力学系统，提出了所谓不变性原理，为我们解决非线性系统的运动稳定性和渐进特性提供 了更有利的分析工具。 李亚普诺夫提出了两种研究稳定性问题的方法。第一种方法通过寻求描述系统运动规律 的微分方程的解或特解，以级数形式将它表示出来，进而研究其稳定性问题。第二种方法则 不需考虑微分方程解的具体形式，而仅借助于一个所谓的李亚普诺夫函数或v 函数及根据该 函数沿系统的导数符号来直接判断稳定性，我们通常称为李亚普诺夫直接法或第二法。该方 法由于不需要求解微分方程而更受人们的青睐，一直是我们研究非线性控制系统稳定性能的 重要工具。 应用于线性定常系统的稳定性分析方法很多，如r o u t h - l t u r w i t z 稳定性判据和n y q u i s t 8 中田科学技术大学硕士学位论文张冬军 稳定性判据等。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能 非常困难。甚至是不可能的。l y a p u n o v 稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方 法 2 1 2 l y a p u n o v 意义下的稳定性问题 2 1 2 i 平衡状态 考虑如下系统 岩= f ( x ，f ) ( 2 1 ) 式中x r ”为1 1 维状态向量，f ( x ，r ) 是变量x i ，施，x , i 和 的i 1 维向量函数，假定 f ( x ，f ) 对 是分段连续的，也就是说在任何一个紧集内仅有有限个不连续的点。如果式中 f ( x ，) 不明显依赖于“则称该系统为自治系统或者时不变系统。如果f ( x ，r ) = a ( t ) x ，其 中爿( ) ：日_ r “”，则称该系统为线性系统，否则为非线性系统。 假设在给定的初始条件下，式( 2 1 ) 有唯解o ( t ；x o ，t o ) 。当 = t o 时，x = 。于 是 o ( t o ；x o ，t o ) = x o 在式( 2 1 ) 的系统中，总存在 f ( x p ，) o ，对所有 ( 2 2 ) 则称l 为系统的平衡状态或平衡点。 如果系统是线性定常的也就是说f ( x ，) = a x ，则当a 为非奇异矩阵时，系统存在一 个唯一的平衡状态；当彳为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统， 可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解( 对所有厶总存在工= x 。) 。注 意平衡状态的确定不包括式( 2 1 ) 的系统微分方程的解。只涉及式( 2 2 ) 的解。 任意一个孤立的平衡状态( 即彼此孤立的平衡状态) 或给定运动工= g ( t ) 都可通过坐标 变换，统一化为扰动方程譬= ，( 譬，f ) 之坐标原点，即f ( 0 ，f ) = 0 或x 。= 0 。因此只需讨论 扰动方程关于原点( x 。= 0 ) 处之平衡状态的稳定性问题，而不会丧失一般性。 2 1 2 2 l y a p u n o v 意义下的稳定性定义 定义设系统 之平衡状态x 。= 0 的邻域为 i = f ( x ，) f ( x 。，f ) ；0 i i x 一屯8 9 中圈科学技术大学硕士学位论文张冬军 其中，h 0 ，l l 为向量的2 范数或欧几里德范数，l l p i b 一工。| | = ( x l x l e ) 2 + ( x 2 一x 2 e ) 2 + + ( x n x 肿) 2 】“2 类似地，也可以相应定义球域5 ( ) 和s ( j ) 。 在邻域内，若对于任意给定的0 0 ，不管这两个实数多么小，在s ( 万) 内总 存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开s ( s ) ，那么平衡状态x 。= 0 称为 不稳定的。 图2 i ( a ) 、( b ) 和( c ) 分别表示平衡状态及对应于稳定性、渐近稳定性和不稳定性的典 型轨迹。在图2 1 ( a ) 、( b ) 和( c ) 中，域s ( 制约着初始状态而域s ( s ) 是起始于x o 的轨迹的边界。 注意由于上述定义不能详细地说明可容许初始条件的精确吸引域，因而除非5 ( ) 对 应于整个状态平面，否则这些定义只能应用于平衡状态的邻域。 1 0 中国科学技术大学硕士学位论文 张冬军 此外，在图2 1 ( c ) 中，轨迹离开了5 ( s ) ，这说明平衡状态是不稳定的。然而却不能 说明轨迹将趋于无穷远处这是因为轨迹还可能趋于在s ( s ) 外的某个极限环( 如果线性定 常系统是不稳定的，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远但在非线性系统中， 这一结论并不一定正确) 。 图2 1( a ) 稳定平衡状态及一条典型轨迹 ( b ) 渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 ( c ) 不稳定平衡状态及一条典型轨迹 对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸 引域为有限定范围的渐近稳定。 经典控制理论中稳定性概念与l y a p u n o v 意义下的稳定性概念是有一定的区别的，例如， 在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统；在l y a p u n o v 意义下是稳定的。 但却不是渐近稳定的系统，则叫做不稳定系统。两者的区别与联系如下表2 1 所示。 表2