（机械设计及理论专业论文）多通道表面肌电信号的分析与识别技术.pdf

堕垒堡三些奎兰三兰塑圭兰堡篁兰 摘要 本文是“上肢康复机器人系统的研究”项目的一部分，其主要研究内容 是表面肌电信号的小波变换和神经网络识别技术。目前，表面肌电信号的处 理与谚 别的方法很多，例如第二章的基于快速傅里叶变换的表面肌电信号识 别方法，但识别效果不太理想。针对表面肌电信号本质上是一种具有非甲稳 性的生理信号，文中提出一种新的分析方法，以提取更为有效、可靠、鲁棒 性好的信号特征。文中尝试利用小波变换方法对不同动作模式的表面肌电信 号进行多尺度分解，提取小波系数最大值构造特征矢量，输入神经网络进行 数据融合和目标识别。神经网络经过训练能成功地从表面肌电信号中i ；! 别出 肩关节屈伸、肩关节外展内收、肘关节屈伸、前臂内旋外旋、腕关节外展内 收五种运动模式。因小波变换和神经网络在m a t l a b 中都有独立的工具箱， 本文的小波变换和神经网络数据融合与目标识别都采用m a t l a b 进行仿真。 通过仿真，可以得出各级尺度的系数及其波形，并从中提取特征。通过构造 三层b p 网络，输入各类动作样本加以训练，然后将样本输入到已训i 练好的 网络进行检验，检验正确之后的神经网络可以来用来进行数据融合和目标识 别。 本文的创新点有以下几点：基于k a i s e r 窗的肌电信号的f f t 分析方 法；对表面肌电信号进行多尺度小波分解，并提取相关特征值；利用b p 神 经网络对多通道表面肌电信号进行数据融合。此方法与传统的只对单通道表 面肌电信号进行处理和目标识别相比有所改进，提高了识别的正确率。 关键词表面肌电信号；小波变换；神经网络：数据融合 ! ! 堡堡! 些奎兰三兰竺圭兰篁篁兰 a b s t r a c t t h i st e x ti sa p a r to f t h ep r o j e c to f s t u d yo fe p i p o d i t er e c o v e rr o b o ts y s t e m t h ep a p e rc o n t a i n ss e m gw a v e l e tt r a n s f o r ma n dn e u r a ln e t w o r k r e c o g n i t i o n a t p r e s e n t t h e r ea r em a n ym e t h o d so fs e m gp r o c e s s i n ga n dp a t t e r nr e c o g n i t i o n s u c ha sm e t h o do ft h es e m gb a s e do nf f ta n dr e c o g n i t i o no fc h a p t e rt w o b u t t h es u c c e s sr a t e r e c o g n i t i o n i sn o t v e r y i d e a l f o rt h e n o n s t a f f o n a r y c h a r a c t e r i s t i co fs e m gt h i st e x tp u t sf o r w a r dan e wa n a l y s i sm e t h o di no r d e rt o e x t r a c tam o r ee f f e c t i v e ，m o r er e l i a b l ea n dg o o dr o b u s t t h ea p p l i c a t i o no fa n n e u r a ln e t w o r k t e c h n i q u et o g e t h e r w i t haf e a t u r ee x t r a c t i o n t e c h n i q u ea n d w a v e l e tt r a n s f o r m f o rt h ec l a s s i f i c a t i o no fs e m gs i g n a l si sd e s c r i b e d t h ed a t a r e d u c t i o na n dp r e p r o c e s s i n go p e r a t i o n so ft h es i g n a l sa r ep e r f o r m e db ym e a n so f t h ew a v e l e tt r a n s f o r m e x t r a c t i n g w a v e l e tc o e m c i e n tm a x i m u ms t r u c t u r e c h a r a c t e r i s t i cv e c t o r t h e n i n p u t n e u r a ln e t w o r kt of u s ed a t aa n d t a r g e t d i s c r i m i n a t i o n i tc a nd i s c e r nf l e x i o no re x t e n s i o no fs h o u l d e ri o i n t ，a b d u c t i o no r e n d o d u c t i o no fs h o u l d e ri o i n t ，a b d u c t i o no re n d o d u c t i o no fe l b o w o i n t ，i n t o r to r e x t o r s i o no fa n t e b r a c h i u ma n da b d u c t i o no re n d o d u t i o no fw r i s tj o i n tf r o ms e m g b yt r a i n i n g f o rw a v e l e tt r a n s f o r ma n dn e u r a ln e tw e r kb o t hh a v ei n d e p e n d e n t t o o l b o xi nm a t l a b t h ep r o c e d u r eo fw a v e l e tt r a n s f o r ma n dn e u r a ln e t w o r ko f t h e t e x ta r ee m u l a t e db ym a t l a b b ye m u l a t i n g ，i tc a nr e s u l tc o e f f i c i e n to fa l ll e v e l s m u l t i p l e d i m e n s i o n e da n di t sw a v e f o r m t h e ns t r u c t u r eat h r e e - l a y e rb p n e u r a l n e t w o r ka n di n p u ta l lt y p eo fm o t i o ns a m p l e st ot r a i n t h e ni n p u ts a m p l e st o t r a i n e dn e u r a ln e t w o r kt oc h e c k c h e c k e dc o r r e c t l yn e u r a ln e t w o r k c a l lb eu s e dt o f u s ed a t aa n dd i s c r i m i n a t et a r g e t i n n o v a t i o no ft h i st e x ta sf o l l o w s ：f f ta n a l y s i sm e t h o do fs e m gb a s i n g k a i s e rw i n d o w ；m u l t i p l e d i m e n s i o n e dd e c o m p o s i t i o nt os e m g a n dd r a w i n g r e l e v a n tc h a r a c t e r i s t i cv a l u e ；b pn nf u s e s d a t ao fm u l t i c h a n n e ls e m g c o m p a r i n g w i t ht r a d i t i o n a lm e t h o dt h a to n l yp r o c e s s e sa n dd i s c r i m i n a t e ss e m g o f s i n g l ep a s s w a y , t h i sm e t h o di m p r o v e d k e y w o r d s s e m g , w a v e l e tt r a n s f o r m ，n e u r a ln e t w o r k ，d a t a f u s i o n 堕垩鎏三些奎兰三耋堡圭兰竺篁兰 1 1 课题背景 第1 章绪论 1 1 1 论文来源及研究的目的和意义 本论文来源于“上肢康复机器人系统的研究( g b 0 4 a 5 0 2 2 ) ”项目。目前， 机器人技术已是当今科学研究的热点之。机器人技术已在绝大多数领域得以 应用，如机械、电子、仪器设备、工业自动化、半导体加二i ：、航空航天、科 学探测【2 ；i 、生物技术口i 、医学【4 】、危险品及废物处理【5 等领域。近年来，其在医 学领域的研究和应用为世界各国所关注，医用机械人已经成为国际机器人的一 个前沿研究热点。其中机器人用于康复领域帮助残疾人和老人看护，是解决残 疾人及老年人生活质量，使他们不依赖别人，能够独立活动的有效技术手段。 医用机器人结合诸多学科最新研究和发展成果，应用于医学诊疗、康复等 相关的医学领域。医疗康复领域的一个重要的应用场合就是恢复由于各种原因 引起的四肢功能性障碍，使得饱受四肢残障的患者在康复设备的辅助治疗下， 能够早f = i _ 1 恢复到正常的状态。随着高龄化社会的到来，老人和病人的治疗及护 理成为社会的一大问题。为此，工业国家都在考虑用机器人代替外科医生和护 士对病人施行手术和看护。从医疗技术上考虑采用机器人的理由是：可实现安 全、正确的治疗。例如，细微外科用的机器人双手在功能上可胜过外科医生的 双手，从而可避免手术过程中的错误操作；确保医务工作者的安全。医生在进 行血液等生物体试样检查时，不致感染危险的疾病( 如艾滋病) ：实现良好的 医疗环境，减轻护士工作，降低病人医疗费用；支援医学教育，使实习医生有 更多和更充分的业务训练；同时也可减少使用实验动物。因此，服务于四肢康 复的器械的研制将具有巨大的现实意义旧j 。 表面肌电信号是从皮肤表面通过电极记录下来的神经肌肉系统活动时产生 的生物电信号，它与肌肉的活动状态和功能状态之问存在着较大程度的关联 性，因而能在一定的程度上反应神经肌肉的活动。表面肌电信号不仅在临床医 学、运动医学等领域被广泛应用，而且成为人工假肢和功能性神经电刺激的理 想控制信号。表面肌电信号的研究对于康复医学研究( 如智能肌电假肢控制、 功能性电刺激下肌肉的无创疲劳监护、步态分析) 、神经肌肉疾病渗断、老年 哈尔滨工业大学【学硕士学位论文 病医学研究、运动医学研究有十分重要的意义。表面肌电信号的检测是研究和 定量分析表面肌电信号的前提和关键技术之一。 1 1 2 国内外在该方向的研究现状及分析 1 1 2 1 康复工程领域的研究现状康复器械的最终闷标是恢复人肌体组织的运 动机能，实现肌体组织的自然化动作。基于此目标，该领域的研究主要包括康 复机械手、智能轮椅、服务机器人，以及家庭和单位之间的交互设备及智能控 制界面等”1 。 ( 】) 康复机械手研制康复机械手的目的是利用机器人手臂完成残疾人的手 臂功能。机械手必须且有足够的自由度以满足每个用户的需要，一般具有以下 三种结构：彻底结构化的控制平台；将机械手安装在轮椅卜；将机械手安装在 自主或半自主车辆上。 ( 2 ) 智能轮椅轮椅是下肢残疾和失去行走能力的主要交通工具，已由过去 单纯依靠人力操作发展到现在的智能轮椅。各类传感器和高效的信息处理及控 制技术在轮椅上的应用，使轮椅成为了自动化的智能移动机器人。 ( 3 ) 服务机器人医院服务机器人是解决日d 0 医院服务上存在的一些问题的 方法，代替人类未完成一些繁重的工作，如抬起病人去厕所或为失禁病人更换 床单等。 ( 4 ) 智能控制界面由于必须充分考虑到一些特殊用户在他们的环境罩应用 机器人控制界面的可能性，以及在用户失去或肢体功能不断下降条件一f 的系统 可操作性。功能全面的控制界面、有效的控制策略，以及家底和单位之间的交 互设备也是康复机器人的研究重点。 日前，国内外不少研究机构开展了表面肌电研究，尤其是在肌电假肢应用 方面取得了很大进展。国内在该领域进行研究的主要有清华大学、上海交通大 学、复旦大学、哈尔滨工业大学等。其中，卜海交通大学和复旦大学合作展开 了“神经的运动控制与控制信息源的研究”。其研究目的是提取神经信息，利 用神经信息来控制电子假手。目前，七个自由度假手模拟装置已设计完成，神 经信息的提取正在进行动物试验，信息的整合与控制电路的设计进展顺利。近 年来，肌电图研究的热点主要集中在肌电假肢和功能性电刺激方面，表面肌电 信号由于具有非侵入式特性，被广泛采用。 处于此领域前沿的牛津大学，目前正研究基于记录脑神经元产生的脑电信 号。利用脑电图扫描器( e e g ) ，建立人脑和计算机的通讯通道，通过此通道， 坠至篓! 些查耋三兰竺当茎竺耋兰 大脑可以与外界环境交流或控制外界环境。由于该研究受到高级模式识别、信 号测量、神经网络预测误差等多项技术的限制，目前只成功实现了一维运动， 即可控制指针在显示器上、下移动，二二维运动的研究工作正在进行中。 1 1 2 2 表面肌电信号检测及分析的应用现状人体内部的信息主要是以生物电 形式传递的。在人自主支配肢体运动时，大脑皮层中控制运动区域的神经元兴 奋并启动一频率编码电脉冲，这个电信号经脊髓准确地传给特定的肌纤维。当 这些神经电脉冲到达神经肌肉突触时，在肌纤维中产生终极电位，它的去 极化( 一一般表现为乙酰胆硷等化学递质的释放) 将在肌纤维中产生一串动作电 位，引起肌肉收缩，使肢体完成“预想”的运动。肌纤维中的这种电变化被称 为运动单元动作电位( m u a p ) ，表面肌电信号是肌肉中m u a p 在时问上和空间上 的叠加，s e m g 则主要是浅层肌肉s e m g 和神经干上电活动的综合效应，它反映 了神经、肌肉的功能状态”1 。 表面肌电信号具有非平稳和非线性特征 8 ，为了有效地对信号进行分析、 识别，从传统的时域统计方法、参数模型方法到近年来以神经网络、时频分析 和混沌分析等为代表的现代分析方法【9 ，均作了很多探索与研究，主要有如下 几种方法： 1 、统计方法 传统表面肌电信号分析方法是将表面肌电信号看作时f 、日j 的函数，通过对嗣 域信号的分析，可以得到信号的某些统计特征，例如可以对信号进行整形、滤 波、计算信号的均值、幅值的直方图、过零次数、均方值、i 阶原点矩或四阶 原点矩“，将其作为信号的特征用于模式分类。 这类方法存在一些局限性： 1 ) 肌肉收缩度难以掌握，一旦用力过度，将会产生重叠运动单元的动作 电位，造成干扰波形； 2 ) 不能充分利用信号谱的形状和时间特性j _ 二的信息。 2 、参数模型方法 为了充分利用表面肌电信号时间过程中的模式特征，近年来参数模型方法 已成为表面肌电信号分析的一个重要方法。参数模型方法将随机信号看作是白 噪声激励一个线性系统的结果，把随机过程的随机性和一定程度的可预测性分 离再结合起来。白噪声激励体现信号的随机性，确定性模型( 模型阶次和模型 参数) 反映过程的可预测性，表征随机信号所包含的确定性的、具有本质特性 的信息。 1 9 7 5 年g r a u p e 提出a r m a 模型进行表面肌电信号分类来控制假肢。1 9 8 2 年 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 g r a u p e 3 己将其模型改进为a r 模型“。a r 模型是一个线性的、二：阶矩平稳模型， 比较适合短分析，而且运算便利，特别适合肌电控制的实时处理。为了更加有 效地实现模式分类，有些研究将a r 模型变换为反射系数( r e f l e c t i o n c o e f f i e i e n t s ) ，倒谱系数( c e p s t r a lc o e f f i c i e n t s ) 和对数面积比 ( l o g a r i t h m i ca r e ar a t i o s ) 等新的参数，将其作为特征矢量以提高分离度。 g r a u p e 等人的单道a r 、a r m a 模型方法的重要缺陷是只取一道表面肌电信号，它 无法利用表面肌电信号的空间分布信息，而且对肌肉收缩加仑量的大小和电极 的较为敏感。1 9 8 3 年d o e r s e h u k 提出了4 道多元a r 模型，该方法将表面肌电信号 作为随机矢量，模型被作为矢量自回归过程。 非乎稳时间序列的时变模型建模方法在近年来有所发展，也被应用于表面 肌电信号的分析。为了控制功能性电刺激，b e r n o t a s 等采用了时变a r m a 模 型。m o s e r 和g r a u p e 提出了- * 9 时变a r 参数的非平稳辨别器用于表面肌电信 号辨识，显示出比分段平稳辨识方法更为优异的性能。k i r y u 等采用时变a r 模 型辨识方法，来研究不同动作的肌肉动力学特性“。 3 、混沌与分形方法 混沌过程是具有确定性机制的类随机过程，它具有非周期性、非随机性、 非线性、对初始条件敏感等特点，可以通过李雅普诺夫指数、相平面图、功率 办图等特征参数表示。在生物医学领域，很多生理信号可能存在着混沌特性， 混沌与分形方法在心电、脑电分析中已经有越来越多的应用。 在生理基础上，表面肌电信号是大量运动单元的非线性耦合，是一个非线 性的多单元连接的集合体，非线性动力学的发展为表面肌电信号的识别提供了 一条新的道理。b o d r u z z am a n 等对表而肌电信号采用谱分析和p o i n c a r e 映射 技术检测它的混沌行为，通过计算机关维数对神经肌肉疾病实现了在线的混沌 分类“。 混沌方法在肌电分析中的应用处在初级阶段。如果能够利用混沌理论提出 表面肌电信号的本征特征，将是理论上的重大突破。 4 、时频分析方法 在产生机理上，表面肌电信号具有非平稳时变特性。针对非平稳信号，近 年来产生的将时、频两域结合起来表示信号特征的时间频率分析方法引起了 人们的关注，其中维格纳分布和小波变换生物医学信号处理领域，包括表面彤i 电信号的分析上已有广泛应用。基于时频分析的分类技术在构造二维特征矢量 上很大的潜力。 小波变换是傅里叶变换的新发展，传统傅氏级数的系数不能反映信号的局 竺玺塞三兰查兰三茎彗圭兰竺丝兰 部特性，而小波变换系数却能给出这种局部性能的丰富信息，它在时频两域都 有局部性质。小波分析相当于一个数学显微镜，具有放大、缩小和平稳的功 能，其作用相当于一组带宽相等、中心频率可变的带通滤波器。小波分析在高 频时使用短窗口，而在低频时使用宽窗口，充分体现了相对带宽频率分析和适 应变分辨率分析的思想，从而为信号的实时处理提供了一条途径。 近年来小波方法已被广泛应用于生物医学信号处理。对于表面肌电信号处理的 小波方法，国内外币在进行研究。由于小波分析既能在整体上提供信号处理的 全部信息，又能提供在任局部时段内信号变化剧烈程度的信息。利用它的时频 定位特性，可以实现信号的时变谱分析，可以在任意细节h 分析信号，而且对 噪声不敏感，从而使其成为表面肌电信号分析的又一有力工具。 5 、人工神经网络方法 人工神经网络是目前受到广泛关注的信号处理新方法，它模仿生物神经元 结构和神经信息传递机理，由许多具有非线性映射能力的神经元组成，神经元 之间通过权系数相连接构成自适应非线性动态系统。其特点是：( 1 ) 并行计 算，( 2 ) 分布式存储，( 3 ) 自适应学习。人工神经网络的自组织、自适应学习以 及优秀的容错性能使得它在某些系统辨识和模式识别问题上显示出极大的优越 性。在各种模型中，h o p f i e l d 网络和多层感知器模型在肌电分析中应用最为广 泛。 神经网络用于肌电模式分类近几年进行了相当多的研究，并取得了非常好 的结果。通常的处理方法是在提取了信号的特征矢量( 如a r 西医缕，信号统计 量，潜特征等) 之后，将其作为网络输入，以相应的动作模式作为输出，通过 学习和训练能够很好地实现分类。k o h o n e n 自组织神经网络具有较好的拓扑聚 类特性，特别适合于特征提取和模式分类，它在表面肌电信号处理卜有着很大 的应用潜力。 1 2 本文研究内容 1 2 1 基于快速傅里叶变换的表面肌电信号识别方法 采用基于k a i s a r 窗的快速傅里叶变换方法对表面肌电信号进行分析，并通 过奇异值分解有效地提取特征矢量进行模式识别，从而实现五自由度的运动模 式识别。这是一种相对传统的表面肌电信号分析方法，本章的目的是跟第三 哈尔滨r 业人学工学硕士学位论文 章的小波分析方法进行比较。 1 2 2 表面肌电信号的小波变换及特征提取 在信号的小波分析中，小波基函数的选择非常重要，不同的小波基函数具 有不同的特征适应的场合也不同。在具体的应用中，小波变换与正交镜象滤波 器是等效的。根据设计出的小波基函数生成等效的：j ! 交镜象滤波器，基于小波 变换的特征提出对表面肌电信号作多尺度小波分解，从每级分解中提取绝对值 最大的小波系数作为信号特征，构造特征矢量，作为神经网络的输入。 1 2 3 神经网络数据融合和目标识别 利用人工神经网络对特征矢量进行数据融台并实现动作识别，本文选用= 层结构的前馈神经网络作为分类，网络由输入层、隐层、输出层组成。将由五 通道表面肌电信号的特征矢量作为分类器的输入，网络输出节点分别对应于不 同的运动模式。 哈尔滨t 业火学工学硕上学位论文 第2 章基于快速傅里叶变换的肌电信号识别方法 传统表面肌电信号识别方法通常提取时域或频域统计特征用作模式识别， 或者通过对表面肌电信号建立时间序列参数模型，提取a r 模型系数作为分类 的特征矢量，这些方法仅仅分别在时域或者频域中分析数据，并且将表面肌电 信号视为平稳或分段平稳信号。本章介绍快速傅里叶变换对表面肌电信号的分 析方法，以便与本文提出的新分析方法，即小波变换，进行比较。文中用到的 表面肌电信号信号如图2 1 所示。 2 1 离散傅里叶变换 蚓2 - 1 表面肌电信号图 f i g 2 - 1f i g u r eo f s e m g 我们将有限长离散信号的傅里叶变换称为离散傅里叶变换( d f t ) 1 4 1 。傅里 叶变换的实质是把一个信号表示成许多不同频率正弦信号之和。而由傅旱叶变 换所得的频域表示式所包含的信息与原信息完全相同，不同的仅是信息的表示 方法。利用傅里叶变换来分析，常可使信号与系统的分析得到简化。 堕查鎏三些奎耋三兰堡圭兰竺篁兰 2 1 1 离散傅里叶变换的引入 现在的问题是如何在傅里叶分析中应用数字计算机。对连续时间信号来 说，为了得到正、反傅罩叶变换，无论在时域或频域都需要对连续函数进行积 分运算，而且其积分区间都要包括从一o o 到+ o 。的范围。显然，要在数字计算机 上完成这一运算是不可能，为此，必须把时域及频域连续函数改换为离散数 据，而且必须把计算范围由无限范围收缩为有限区间。但s e m g 信号是非周期 的连续信号，为此要对f ( t ) 用以t s 为周期的冲激序列4 ( f ) 做均匀抽样，抽样 点为n 点，t s = 鲁，则抽样信号就为有限长非周期序列，可表示为 v j 工( t ) = x ( f ) 每( f ) = x ( t ) d ( t - 圮) ( 2 - 1 ) k = 0 对式f 2 1 ) 作傅氏变换得 n 】 i ( 脚) = f x ( ) 】= f 【x ( t ) d ( t k r 、) l 女= 0 + o 11 = f z ( ，) 占( r 一圮。“d t = x ( k t 。) e 。鹕 ( 2 _ 2 ) k = 0 k = 0 记数字频率q = 国z 。 可见时域中有限长序列对应于频域中周期连续函数，周期为噱= 等，即 1 5 为抽样频率，对q 周期为2 1 r 。 连续非周期时间信号的频谱也是连续非周期的，要用d f t 作频谱分析 f 15 1 ，首先必须将连续时间信号进行抽样并截断，得到有限长离散序列。将此有 限长序列作闺期延拓后，就可对该离散周期序列用d f t 进行分析，得到该周 期序列的频谱，也是离散周期序列。 x ( o 作抽样后，频谱为： i ( 国) = 砉( 珊一 c o s ) s 若x ( ) 非时限或延续时间很长，需作时域截断，相当于用门函数兀( f ) 与 哈尔滨工业大学工学硕士学位论文 x ( t ) 相乘。设门函数宽度为i = 职，并使门函数截断x ( 七) 时，恰好得到 0 ( 1 ) 个数值，这需把门函数右移某一段时间t o 得到n ( t 4 0 ) ，并把x ( o ) 包 含在内。其傅氏变换记为 兀( 啦e 讽is i n c 譬 被截断后的序列长为n ，记为x 。( 女) ，则 ( 2 3 ) h ( t ) = x ( t ) 兀u 一) = x ( t ) g ( t 一圮) 其傅氏变换为 瓦( 班去i ( 珊) + n ( 国) ( 2 - 4 ) 卷积的结果使频谱产生折皱，且幅值变为x ( f ) 的频谱的去争倍。 由于计算机的输出频谱也必须是离散的，则必须对瓦( ) 进行均匀冲激抽 样，使其成为离散序列。 频域冲激序列为 8 0 ，( o j ) = 5 ( c o 一胛q ) 用屯( 1 对瓦( m ) 抽样得到 瓦( n ) = 瓦( ) 既( ) 瓦( 0 ) ) 6 ( 一n o ) i ) = 瓦( ) 6 ( 一n o ) ) 即得到频域中离散周期序列。 对应于时域中信号也为离散周期序列，由卷积定理 哈尔滨工业大学工学硕士学位论义 x n ( k ) = f - l i x 。( ) = f 1 【x ( 硼+ f 。【瓦( 街) 】 = x ( j i ) d ( r 一圮) 】。【鲁j ( f m t o k = om = e 鼢坝驯 丢薹融嘶删，7 =土9x(ji)占(f-m正一线)n- m k = 0 = x ( ( ) ) 。 ( 2 5 ) 式中x ( ( j j ) ) 。将x ( k ) 以n 为周期延拓。 故当用d f t 作连续非周期信号的频谱分析时，需将计算结果乘以 王土：r 即 2 疗2 n i z ( ) b 。= t 。d f t x ( t ) t 嘲 ( 2 _ 6 ) 根据香浓定理，为避免混叠，工2 厶。 其中石5 专为谱线间隔，即分辨率。则信号周期，即记录长度为 互= 去 故信号的最高频率厶与分辨率z 之间是一对矛盾，解决这一矛盾的唯一办 法是增大，要求兰拿，且耿2 口。 在上面对连续非周期信号进行抽样、截断、以n 为周期延拓后，就得到离 散周期序列；( 七) ，在进行d f t 变换，得到工( n ) ，据此 哈尔滨】二业大学工学硕士学位论文 式中一定义的系数 j ( n ) = x ( 尼) 时 2 f w = 毒耳 ( 2 7 ) 由于眠为复数，故求取一个x ( n ) 的值需进行_ v 次复数乘法和( n 一1 ) 次复 数加法，共需n 2 次复数乘法和n ( n 一1 ) 次复数加法。n 愈大，计算工作量愈 大，给d f t 计算带来困难。 2 1 2d f t 的计算 由d f t 的定义式( 2 7 ) 可知，其计算过程可写成矩阵形式( 为了简便，式中 阪，的下标n 彳i 写) ，即 x ( o ) x ( 1 ) x ( n 一1 ) 矽。缈1 “2 。1 x ( o ) x ( 1 ) x ( u 一1 ) 由上式可知，计算一个n 点d f t ，一般需要进行n 2 次复数乘法运算及 ( 一1 ) 次复数加法运算。这样，对一个中等长度的序列，比如 ：2 1 0 ：1 0 2 4 ，训算d f t 就需要1 0 0 多万次复数乘法运算。当n 更大时，即 使使用计算速度惊人的现代计算机，其计算所需的时问还是太长了。为此，需 要研究d f t 的快速算法。 2 2 快速傅里叶算法 前文已得出d f t 的定义式( 2 1 ) ，根据上两式就可利用数字计算机对一离 散系统进行傅里叶分析，然而，情况并非如此。在d f t 的有关理论提出后一 个很长时间，d f t 一直未能得到广泛的应用。主要是由于d f t 的计算量非常 庞大，从而限制了d f t 的应用。计算一个n 点的d f t ，一般需要n 2 次复数乘 哈尔滨工业大学工学硕士学位_ 宅文 法和n ( n 1 ) 次复数加法运算。因为当较大或要求对信号进行实时处理的情 况下，往往难以实现所需的运算速度。快速傅卑叶变换( f f t ) 1 4 1 是d f t 的1 种快速算法，它的实质是利用权函数阡守的对称性和周期性，把点d f t 进 行分解和组合，使整个d f t 的 t 算过程变成系列迭代运算过程。例如，对 于= 2 。的f f t 算法，就是把一个n x n 的矩阵分解成，个矩阵，使被分解的 每个矩阵具有复数乘法和复数加法次数最少的特性。这样，当很大时，可 能成百倍甚至成千倍地减少计算量。理论分析可知，当n = 2 ”= 1 0 2 4 时，利用 f f t 可节省9 9 的计算量，从而使离散系统的d f t 分析成为现实。 由d f t 的定义式表明，综有n 个输入和n 个输出，因而称为n 点d f t 。 实际上，式子表示n 个代数式的计算。例如，当n = 8 ，k n 值以模8 运算，因 此有： f ( o ) = f ( o ) w o + ，( 1 ) o + ，( 2 ) o + + ( 6 ) 形。+ ，( 7 ) 形o f ( 0 ) = 厂( o ) 矿o + 厂( 1 ) 矿+ 厂( 2 ) 2 + + 厂( 6 ) 矿6 + ( 7 ) 肜7 f ( o ) = f ( o ) w o + 厂( 1 ) 2 + ，( 2 ) 4 + + r ( 6 ) w 4 + - 厂( 7 ) 6 f ( 0 ) = 厂( o ) o + ，( 1 ) 彤7 + 厂( 2 ) 矽6 + + 厂( 6 ) 2 + 厂( 7 ) 1 显然，这样的方程式用矩阵表示更为简明。我们可以将d f t 的定义式写成矩 阵的形式： ，= 附6 f ( 2 8 ) 式中： f = i f ( o ) ，f ( 1 ) ，f ( n 一1 玎 ，= ( o ) ，s o ) ，s ( n 一1 ) 1 它们是列矩阵。w 为d f t 矩阵。当n = 8 时，w 6 是一+ 8 x 8 的方阵，而且是 对称矩阵。其行序为 = 0 ，1 ，2 ，7 ，列序为k = o ，1 ，2 ，7 。在分析一个系统 时，吼：9 1 百往往得确定的，因而矿。矩阵的关键是矩阵中时的指数排列次 竺竺堡三些尘兰三兰丝当耋篁篁兰 序。为此，我们将矿”矩阵中各元素阡玄的指数单独组成矩阵e ，使问题更加 简单了。 5 ： o 矿o o o o 彬。矽o 。 矽。形1 缈2 3 4 5 缈6 形7 矽。矽2 矽4 彬6 形o 2 渺4 矿6 矽o 3 6 1 4 7 矽2 矿5 矿o 4 肜o 4 o 4 渺。矿4 o 肜5 矿2 7 4 彤1 妒6 3 彬o 6 4 2 形。缈6 矿4 2 咿。形7 6 5 4 3 缈2 1 ( 2 9 1 d f t 用矩阵形式表示后，就可应用矩阵运算的有关理论，使d f t 的计算 过程简化，运算速度提高。为此，需要对d f t 矩阵形6 作适应变换，即设法将 一变换为几个矩阵相乘的形式。这就是矩阵矿因予化。下面是n = 2 2 的彤 因子化。 e = ooo00000 01234567 02460246 03614725 040 40404 05274l63 o6420642 07654321 矩阵可以w s 可以看作是由虚线所分的四个予矩阵组成的。而每个子矩阵 可以写成下面的形式： 5 ： 】3 r 2 1 0 1 堕尘堡三些尘兰三耋堡圭兰堡篁兰 ： w 。w 。1 = i w ：w 。l r w oo ， i=l l j w 。wl 1 = 膦衅 w 2w 3 一w 。w ：l l w 。o 1 w 2w l j 1 w 。w j l 0 w 2 j 将这三个关系式代入式( 2 2 ) ，并利用分块矩阵相乘的规则，矩阵“可以写为 若令 屯= 。= 膦w ow o l f 删w o o l j l w f w o w o l 删w oo 膦w ow , l f 删w oo 坍 f w o w , 川w 2o w ow o00 w ow 200 00w ow 1 00w ow 3 w o0 ：w o 0 日= w o0w o0 0w o0w o w o0w 2 0 0w o0w 2 则有 缈5 ：w e l 彤岛 这样，d f t 矩阵e 写成两个矩阵毛和5 ：相乘的形式。这两个矩阵中有不 少的零元素，而且随着n 的增大，零元素将变得非常多，这就为计算d f t 带 来方便。 考察眠= - j a 。- ： 哈尔滨工业大学l 学硕士学位论文 图2 2f f t 运算流程 f i g 2 2c i r c u i t r yo ff f t c a l c u l a t i o n ( 1 ) 暇k ：。- i 等n k = e - j 等( n + a 7 ) k = e - j 和，即时中 n 2 f n ( 2 ) 略“= e 。百i 时1 = - 咛； 1 5 n k 均以为周期 哈尔滨l 业人学工学硕l 学位论文 2 z2 4 ( 3 ) 睇= e - ) 百”= p 。而= 嘿，。，m 为可除尽的整数。 据此，我们可以考虑研究算法来减少计算量。f f t 算法流程图如图2 1 。 2 3 窗函数选取 本文选用k a i s e r 窗函数，k a i s e r 窗函数是最有用且最接近最优化的面函数 之一。对于给定的阻带衰减，它提供了最大的主瓣宽度，从而提供最陡的过渡 带。它的表达式为： 吣，：攀0 _ n n - 1 p m 其中，厶为零阶修正b e s s e l 函数。凯泽( k a i s e r ) 窗的优点在于它可以通 过改变参数和来改变阻带衰减和过渡带宽。它有一套具体的设计公式： 对于给定的，k ，4 ，归一化的过渡带宽为：a f = 兰杀笠 滤波器阶姚= 裟 参数夕为： f 0 1 1 0 2 ( a 8 7 1 口5 0 芦= 0 5 8 4 2 ( c t 一2 1 ) o4 + o 0 7 8 8 6 ( a 一2 1 ) 2 1 口 l ； ( 2 ) 任选非负整数m 和l ，构造实系数铴，c l ，c ：，c l ( 一般非负) 多项式 r c ，= ( y 一圭 2 1 ( c o + q ( y 一圭 2 + c ：( y 一圭) 4 + + c 。( y 一圭) 2 c 3 3 ， 以及 p ( y ) = p 。( y ) + y “r ( y ) 0 满足条件 s u p p ( y ) g 2 “一1 ( 3 ) 求出多项式p ( y ) 的全部根，根据r i e s z 引理 i q ( e - “) 2 = p p ) ( 4 ) 构造系数有限的共轭滤波器h ( 缈) 即，：f 竿k ”， 构造