（模式识别与智能系统专业论文）压缩传感实现方法的研究.pdf

中文摘要 传统的模数转换器要求以超过信号最高频率两倍的速率来采样信号，这对处 理时间和存储空间都是一种浪费。新近诞生的压缩传感理论针对稀疏信号的特性， 在信号获取的过程中就对信号进行压缩，实现了信号采集方式的一项革新。由于 目前压缩传感领域的工作主要集中在传感矩阵和重建算法的性能分析和优化上， 对压缩传感实现方法的研究仍处在起步阶段，这也造成了理论研究和实际应用的 脱节和不同步。构建硬件友好的针对模拟信号的压缩传感方式是压缩传感过程物 理实现的关键步骤，也是将压缩传感理论推向实际应用的必要环节，现阶段需要 开展这方面的探讨和研究，针对该问题本文具体做了以下几方面的工作： 1 提出了一类适合于压缩传感的信号预处理方式，有利于信号的快速传感及精 确重建。 2 研究和实现了基于a i c ( a n a l o g - i n f o r m a t i o n c o n v e r s i o n ) 系统的压缩传感过程。 以压缩传感的理论为依据，对整个过程采用公式推导的方式进行了论证，并通过 更加精确的物理参数描述来改善系统的性能，进一步合成了针对a i c 获取系统的 信号重构矩阵的数值形式，同时仿真实现了整个压缩传感过程。 3 根据传感矩阵的具体要求，从哈达码矩阵出发构造传感矩阵，给出了一种基 于随机哈达码矩阵的压缩传感模拟结构，并简单论证了该结构的可行性。 关键词：压缩传感；稀疏表示；传感矩阵；非均匀采样；模拟信息转换； 分类号：t n 9 1 1 7 j 匕塞交通太堂亟堂位i 金塞 旦墨至b 工 a bs t r a c t i tr e q u i r e sm o r et h a nt w i c eo ft h eh i g h e s tf r e q u e n c yo fas i g n a lt os a m p l et h es i g n a l b yu s i n gt h ea n a l o g t o d i g i t a lc o n v e r t e r ( a d c ) t r a d i t i o n a l l y , w h i c h i sw a s t eo ft i m ea n d s t o r a g e t h en e wt h e o r yo fc o m p r e s s i v es e n s i n ge n a b l e sd i r e c ta n a l o g - t o i n f o r m a t i o n c o n v e r s i o no fc o m p r e s s i b l es i g n a l sa ts u b - n y q u i s ta c q u i s i t i o nr a t e s i ti sa ni n n o v a t i o n o ft h ew a yf o rs i g n a la c q u i s i t i o n a tp r e s e n t ，m a n yr e s e a r c hi n t e r e s t sf o rc o m p r e s s i v e s e n s i n ga r em a i n l yc o n c e n t r a t e do nt h ep e r f o r m a n c ea n a l y s i sf o rt h es e n s i n gm a t r i xa n d o p t i m i z a t i o no fr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m s h o w e v e r , t h ep h y s i c a li m p l e m e n t a t i o no f c o m p r e s s i v es e n s i n gi s s t i l li nt h ei n i t i a ls t a g e ，w h i c hr e s u l t e di nag a pb e t w e e n t h e o r e t i c a ls t u d ya n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n i ti sv e r yi m p o r t a n ta n dc r i t i c a lt op r o p o s ea m e t h o dw h i c hi sh a r d w a r e - f r i e n d l ya n de a s yt oi m p l e m e n tf o rc o m p r e s s i n gs e n s i n g t h e p h y s i c a li m p l e m e n t a t i o no fc o m p r e s s i v es e n s i n g i sab r i d g ec o n n e c t i n gt h et h e o r yw i t h a p p l i c a t i o n s t h e r e f o r ei ti sv e r yu r g e n tt o e a r lyo u tr e s e a r c ho nt h i sa r e a t h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： 1 g i v e nap r e - p r o c e s s i n gm e t h o df o rs i g n a lw h i c hi ss u i t a b l ef o rc o m p r e s s i v e s e n s i n g ，w h i c hi ss u i t a b l ef o rs e n s i n gr a p i d l ya n dr e c o n s t r u c t i o na c c u r a c y 2 a n a l y s i sa n dr e a l i z a t i o na r ec o m p l e m e n t e df o rc o m p r e s s i v es e n s i n gb a s e do n a i c ( a n a l o g i n f o r m a t i o n c o n v e r s i o n ) s y s t e m f i r s t l y , t h ep e r f o r m a n c e so ft h ea i c s y s t e ma r ea n a l y z e da n di m p r o v e dt h r o u g hm o r ep r e c i s ed e s c r i p t i o no ft h ep h y s i c a l p a r a m e t e r s a n dt h e na ne q u i v a l e n tm a t r i xo fa i ca c q u i s i t i o ns y s t e m f o rs i g n a l r e c o n s t r u c t i o ni ss y n t h e s i z e d f i n a l l y , as i m u l a t i o ni sd o n et ov e r i f yt h ew h o l ep r o c e s s o fc o m p r e s s i v es e n s i n g 3 i na c c o r d a n c ew i t ht h es p e c i f i cr e q u i r e m e n t so fs e n s i n gm a t r i x ，as e n s i n gm a t r i x i sd e r i v e df r o mt h eh a d a m a r dm a t r i x a na n a l o gs t r u c t u r eo fc o m p r e s s i v es e n s i n gb a s e d o nr a n d o mh a d a m a r dm a t r i xi sg i v e n ，a n dt h e nt h ef e a s i b i l i t yo ft h es t r u c t u r ei ss i m p l y d e m o n s t r a t e d k e y w o r d s ：c o m p r e s s i v es e n s i n g ；s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ；s e n s i n gm a t r i x ；n o u n i f o r m s a m p l e ；a n a l o g - - t o - - i n f o r m a t i o n ； c i a s s n o ：t n 9 11 7 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 提供阅览服务，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：立呸撬 签字日州年多月勿 导师签名： 匀剜 一期：吖年石月侈 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 致谢 本论文的工作是在我的导师赵瑞珍副教授的悉心指导下完成的，赵老师严谨 的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此对赵老师两年来的 关心和教导致以崇高的敬意和诚挚的感谢。 同时，在我攻读硕士学位的这两年来，胡绍海教授给了我很多帮助和关怀， 在此向尊敬的胡绍海老师表示衷心的感谢! 在实验室工作及撰写论文期问，李小波、刘亚新、周灿梅、乔雅莉、高睿、 张国辉、朱杰等同学对我论文中的研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我 的感激之情。 另外也感谢家人，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学业。 序 数据的获取是实验研究的关键步骤，过去的几十年间传感系统获取数据的能 力不断地得到增强需要处理的数据量也不断增多，而在传统的采样过程中，为了 避免信号失真，采样频率不得低于信号最高频率的2 倍，依照奈奎斯特采样定律 会导致海量采样数据，大大增加了存储和传输的代价，这无疑给信号处理的能力 提出了更高的要求，也给相应的硬件设备带来了极大的挑战。寻找新的数据采集、 处理方法已成为一种必然，近几年诞生的压缩传感( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) 理论 是一个充分利用信号稀疏性或可压缩性的全新信号采集、编解码理论。该理论表 明当信号具有稀疏性或可压缩性时，通过采集少量的信号投影值就可实现信号准 确或近似重构。压缩传感理论为数据采集技术带来了革命性的突破，受到了国内 外研究人员的广泛关注，在低成本数码相机和音频图像采集设备，模拟一信息转 换，生物传感等领域有着广阔的应用前景【2 1 9 1 。此外，可将其应用于便携式传感器 或微型传感器件的设计构造，这样仅需更小的存储空间和更少的传感时间，从而 为其在天文( 图像本身就稀疏，例如天空的星星) 、军事( 用很简易的摄像机随机 记录场景，可以完全重构军事地图) 、超宽带( 雷达信号处理) 等高、精、尖领域 信息获取的特殊要求提供了新的可能的解决方案。 1 1引言 1 综述 传统方式下，在进行模拟数字信号的转换过程中，当采样频率大于信号中最 高频率的2 倍时，则采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，这一 最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率。依照奈奎斯特采样定律会导致海 量采样数据，大大增加了存储和传输的代价，在该理论指导下的信息获取、存储、 融合、处理及传输等成为目前信息领域进一步发展的主要瓶颈之一。然而我们知 道由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息，对于这种类型的稀 疏信号，是否有其他的采样策略? 近两年诞生了一种新的压缩传感理论 ( c o m p r e s s i v e c o m p r e s s e ds e n s i n g ，c s ) ，针对稀疏信号或可压缩信号，该方法在获 取信号的同时就对数据进行适当的压缩，其采样频率可低于奈奎斯特频率，其突 出优点是可减少采样数据节省存储空间，但能够包含足够的信息量，在需要时可 采用适当的重构算法从压缩传感得到的数据中恢复出足够多的数据点。压缩传感 将传统的数据采集与数据压缩合二为一，但无需复杂的数据编码算法，非常适合 于要求采用小型器件实现的场合。 压缩传感核心的概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。比 如，一个信号包含一千个数据，那么按照传统的信号处理理论，至少需要做一千 次测量才能完整的复原这个信号。也就是说需要有一千个方程才能精确地解出一 千个未知数来。但是压缩传感的想法是假定信号具有某种特点，那么就可以只做 三百次测量就完整地复原这个信号( 这就相当于只通过三百个方程解出一千个未 知数) 。可想而知，这件事情包含了许多重要的数学理论和广泛的应用前景，因此 在最近三四年里吸引了大量注意力，得到了蓬勃的发展。 压缩传感理论的关键字：稀疏( s p a r s i t y ) 、不相关( i n c o h e r e n c e ) 、随机性 ( r a n d o m n e s s ) 、非自适应( n o n a d a p t i v i t y ) 、非线性( n o n l i n e a r i t y ) ，从这些词语可 以看出压缩传感理论是对传统理论的颠覆。这种颠覆最令人振奋的表现，就是它 突破了香农采样定理的极限，能以随机采样的方式用更少的数据采样点( 平均采 样间隔低于采样定理的极限) 来完美地恢复原始信号。 1 2 预备知识 为讨论方便，先给出以下几个基本概念的描述： 采样定理：在进行模拟数字信号的转换过程中，当采样频率大于信号中最高 频率的2 倍时，则采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。 奈奎斯特采样定律：如果已知信号的最高频率，采样定理给出了保证完全重 建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率。 乞范数的定义：( ，) 9 = ：。i 岛i p 。需要特别指出的是，乇范数刻画的是信号 中非零元素的个数。 稀疏信号( s p a r s es i g n a l ) 的定义：若信号x 只有有限个( 如k 个) 非零采样点， 而其它采样点均为零，则称信号工是k 一稀疏的。 实际中，严格的稀疏信号很少，尽管有些位置的值很小，但不一定等于零， 于是引入可压缩信号( c o m p r e s s i b l es i g n a l ) 的概念。 可压缩信号的定义：如果某一信号在不丢失任何信息的条件下通过某种变换， 可以得到稀疏信号，则我们称之为可压缩信号。 应用中有很多在频域内稀疏或近似稀疏的宽带信号，如通信信号、听觉信号、 缓慢变化的虫鸣信号( c h i r p s ) 等。 1 3 研究背景和意义 传统的信号采集、编解码过程如图1 1 所示： 羹 表 解 码 端 恢复 ，l j ， 图1 - 1 传统的信号采集、编码过程 f i g u r e1 - 1t r a d i t i o n a ls i g n a la c q u i s i t i o n ，e n c o d i n gp r o c e s s 编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变换，并将其中重要系数的 幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输；信号的解码过程仅仅是编 码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号。这种传统的编解码 方法存在两个缺陷：( 1 ) 数据获取和处理方面，在许多实际应用中( 例如，超宽带 通信，超宽带信号处理，核磁共振，空间探测等等) ，由于信号的采样速率不得低 2 于信号带宽的2 倍，这使得硬件系统面临着很大的采样速率的压力，n y q u i s t 采样 硬件成本昂贵、获取效率低下，在某些情况甚至无法实现；( 2 ) 数据存储和传输方 面，通常的做法是先按照n y q u i s t 方式获取数据，然后将获得的数据进行压缩，最 后将压缩后的数据进行存储或传输，显然，这样的方式造成很大程度的资源浪费。 综上所述：n y q u i s t 理论并不是唯一、最优的采样理论，研究如何突破以n y q u i s t 采样理论为支撑的信息获取、处理、融合、存储及传输等的方式是推动信息领域 进一步往前发展的关键。为突破n y q u i s t 采样定理的限制，已发展了一些理论，其 中典型的例子为p a p o u l i s 等的非均匀采样理论，m v e t t e r l i 等的f i n i t er a t eo f i n n o v a t i o n 信号采样理论等。众所周知：( 1 ) n y q u i s t 采样率是信号精确复原的充分 条件，但绝不是必要条件。( 2 ) 除带宽可作为先验信息外，实际应用中的大多数信 号图像中拥有大量s t r u c t u r e ，由贝叶斯理论可知：利用该s t r u c t u r e 信息可大大降 低数据采集量。( 3 ) j o h n s o n l i n d e n s t r a u s s 理论表明：以o v e r w h e l m i n g 性概率，k + 1 次测量足以精确复原n 维空间的k 稀疏信号。 c a n d e s 在2 0 0 6 年从数学上证明了可以从部分傅立叶变换系数精确重构原始信 号，为压缩传感奠定了理论基础，c a n d e s 和d o n o h o 等人在相关研究基础上于2 0 0 6 年正式提出一种新的信息获取指导理论，即压缩传感( c o m p r e s s i v es e n s i n g 或称 c o m p r e s s e ds e n s i n g 、c o m p r e s s e ds a m p l i n g ，c s ) 理论。该理论可以理解为是将传 统的数据获取与数据压缩合二为一，即在获取信号的同时就对数据进行适当的压 缩，相当于信号获取的过程中寻找最少的系数来表述信号，并能在需要时用适当 的重构算法从压缩传感数据中恢复出足够多的数据点。 1 3 1压缩传感简介 压缩传感( c o m p r e s s i v es e n s i n g ，c s ) ，也被称为压缩感知，是一种利用稀疏的 或可压缩的信号进行信号重建的技术。压缩传感是一个很有前景的新方向，压缩 传感与信号的稀疏重构已也正成为信号处理领域的“ab i gi d e a 。对于信号 x 尺1 我们可以找到它的m 个编码测量，y = 魄，。，这里的每一行 可以看作是一个传感器，它与信号相乘，拾取( a c q u i s i t i o n ) 信号的一部分信息， 拥有了这m 个测量和，我们就可以近乎完美的重构原始信号。 不同于传统的均匀采样，压缩传感的核心是非相关测量( 编码测量) 过程， 设x ( 以) 为传统采样得到的信号，长度为，而通过压缩传感则可直接得到y ( 聊) ， 长度为m ( m ) ，它们的关系为y = d p x 。压缩传感的测量过程如图1 2 所示，其 中称为传感矩阵或测量矩阵，大小为m n 。另外，x ( n ) 在正交稀疏变换下可 通过系数j ( 后) 表示，记为x = q s ，其中s ( n ) 为k 一稀疏的( 只有k 个非零元) ，于 是我们也可将测量过程重新写为y = 西，其中o = 中甲为m x _ 矩阵。 y西 s 毓 1 湮 ：= k - s p a r s e 卿 图i - 2 测量过程( 系数j 有4 个非零元，冈此矩阵o 只有4 列起作j ；i j ) f i g u r e l - 2 m e a s u d n g p m c c s s 显然，我们无法直接从y 似j 恢复出h h ) ，因为上述方程组中未知数个数超 过方程个数，但我们可通过求解优化问题，将原始目标函数近似地等价为 m i n 忪tj j o s = y ，将原来无法进行求解的儿p 难组合最优化问题转化为求解线 性规划最优化问题。得到原信号“n ) 在甲变换域内的稀疏形式s ( n ) 。 压缩传感编码测量方案的好处是多方面的。首先，因为是随机测量，我们并 不需要测量全部信号，与稀疏基上的变换编码相比，重要系数的位置不再显得那 么重要。其次，解码端对于丢失的信息有很好的鲁棒性，因为每个投影系数的重 要性是相同的，如果丢失了也只会造成较小的影响。最后，计算量的不对称性( 几 乎所有的计算都集中在解码端) 使得该方式在某些特别的情况下很受欢迎，如采 用低功耗传感器进行采集然后将信息传输到一个局部中心位置再集中处理等情 况。 压缩传感的流程如图1 - 3 所示， z ( h ) = = = = = 兰三= = = = ，s ( ) 中6 = 中中 y ( m ) 酗1 3 压缩传感流程 f i g u r e l - 3 c o m p r e s s i v es c m i “g p r o c e s s 从上述压缩传感的流程可以看出监缩传感理论主要包括信号的稀疏表示、 编码测量和重构算法等三个方面。信号的稀疏表示就是将信号x ( n ) 投影到正交变 换基甲时，绝大部分变换系数的绝对值很小，所得到的变换向量s ( k ) 是稀疏或者 近似稀疏的，可以将其看作原始信号的一种简洁表达，这是压缩传感的先验条件。 通常变换基甲可以根据信号本身的特点灵活选取，常用的有离散余弦变换基、快 速傅立叶变换基、离散小波变换基、g a b o r 基以及冗余字典等。在编码测量中，首 先选择稳定的投影矩阵，然后通过原始信号石( 刀) 与传感矩阵的乘积获得原始 信号的非相关投影测量) ，( ，1 ) ，最后用重构算法由测量值y ( 聊) 及投影矩阵重构原 始信号。信号重构过程一般转换为求解一个最小厶范数的优化问题，求解的方法主 要有最小正范数法、匹配追踪系列算法等。 1 3 2稀疏信号重构 如同信号带宽对于n y q u i s t ，信号的稀疏性是c s 的必备条件。对稀疏信号重 构方面的研究是信号处理领域一个经典的课题，经过多年的发展，该理论已经相 对成熟，也诞生了许多典型的恢复重建算法，这些算法或者具备很好的重建性能 或者拥有很小的时间和计算代价，实际问题中我们可以根据需要选取具体的重建 算法。 对压缩传感信号的恢复问题，理想情况下是想通过求解0 范数问题来得到， 但由于o 范数的优化问题实际上是n p 难组合问题，难以求解或者无法验证解的可 靠性。于是必须将o 范数换一下，变成1 范数。而我们知道，2 范数的优化问题 可以转化成2 次型问题，而1 一范数在0 点处不可导，因此无论是梯度算法、矩阵 求导等手段都变得相形见绌，那么为什么不选取2 范数而选用1 范数。下面简单 解释如下，设恢复矩阵t = o u t , ，则等式约束可重写为：t 多= s ，夕中未知数有 个，方程只有m 个，且m n 。因此，方程有无穷多解。从几何上说，黟s = 0 是一个超平面，为了简化，在2 d 问题中可认为它就是一条直线。而范数约束上， 0 范数是一个十字架，因此它的最外侧( 范数的最小值) 是4 个点。所以其和直线 的交点必然在坐标轴上。也就是说，能使多产生更多的0 ，这正是我们想要的“稀 疏 的结果。2 范数是一个圆，因此它的最外侧边界和直线的交点( 就是切线的概 念) ，以压倒性的概率不在坐标轴上。依上所述，用2 范数优化的结果，使夕几乎 没有0 ，这是我们不期望的。而1 范数是一个菱形，四个角都在坐标轴上，因此它 和直线的交点以压倒性的概率落在坐标轴上。这就是要用1 范数的原因。事实上， p 范数满足，0 p l ，外边界向外凸。所以前 者的外边界和直线的交点无疑落在坐标轴上。根据这个几何解释，我们可以将问 题转化成：m i n l l s - t ) 忏力吲i 。，这显然是一个非线性的凸优化问题。 1 3 3传感矩阵 由压缩传感的整个过程可以看出，传感矩阵 2 0 - 2 3 】起着相当重要的作用。它的 选择合适与否，既关系到能否达到压缩的目的，又直接关系到信号能否被精确重 构。那么传感矩阵到底需要满足什么条件即可保证信号重构得以完成? 如何构 造符合条件的? 这成为压缩传感理论中的关键问题之一。 c a n d e s 和t a o 给出并证明了传感矩阵必须满足的约束条件，即对于任意的 k 稀疏向量x ，如果 o 8 m n i i x l i - l l x l l i 1 2 m n i i x i ： ( 1 1 ) 则称m 。遵循集合大小为k 的一致不确定原理，有些文献中，也将之称为约 束等距性( r e s t r i c t e di s o m e t r yp r o p e r t y ，r i p ) 条件。该条件表明只要测量矩阵( 注 意：不一定是随机矩阵，可以是确定性矩阵) 满足所谓的r i p 特性，那么k * i o g ( n k ) 的采样就能将维信号的k 个最大值稳定地重建出来。约束等距性的等价条件说 明了传感矩阵和稀疏表示的基甲不相关，即要求的行矽，不能由甲的列稀疏 表示，且甲的列不能由的行矽，稀疏表示。 在压缩传感的框架中，如果信号是可压缩的( 也就是信号在一些线性变换中 有近似稀疏的表示) ，对信号做少量的随机投影就能够包含恢复信号所需的足够信 息。而压缩传感的关键部分，就是编码端的传感矩阵必须与信号的稀疏变换矩 阵甲具有很大的不相关性。很大程度上和随机( r a n d o m n e s s ) 这个词相联系，就 矩阵选取而言，目前通常情况下选取满足高斯分布的白噪声矩阵，或伯努利分布 的l 矩阵，傅立叶随机测量矩阵、非相关测量矩阵等，因为这些矩阵的分布都具 有很强的随机性，能够和多数正交变换基甲有很大的不相关性。 由高斯随机变量形成的测量矩阵可成为普适的压缩传感测量矩阵，尽管具备 理论上的完美特性，但是无论在硬件实现上和重建算法构造上，该测量矩阵均无 法实用。值得指出的是，由于服从伯努利分布的l 矩阵可以通过硬件设备( 线性 反馈移位寄存器) 产生和近似，相对高斯矩阵等硬件上较难实现的其他随机矩阵 形式，伯努利分布的l 矩阵也成为我们构建硬件可实现的压缩传感方式的一个前 提。 1 3 4研究意义 相对于压缩传感的理论研究进展，其物理实现还处于起步阶段。将我们感兴趣 的信号应用于压缩传感的框架时，还有许多的问题需要考虑。首先，压缩的概念 一直只在离散域内展开和发展，主要是通过对离散形式的研究，讨论在代数形式 6 中可能出现的问题；其次，与测量矩阵的相乘过程在硬件上不易实现；最后，我 们知道处理离散信号本质上依赖于采样连续时间信号来获得离散时间的表示，因 此需要建立一个系统，能够实现从连续信号的测量中获取离散集。从上面几点考 虑，在理论研究的基础上设计和构建硬件容易实现的测量矩阵和相应的重建方法 是将c s 推向实用化的关键。 在实现模拟信号的压缩传感时，由于处理对象是连续信号，我们不能采用传 感矩阵，需要研究针对连续信号的传感测量形式。设想的形式变了之后，y ( ，z ) 又将如何得到? 这会带来一系列的问题。整合硬件和软件来实现获取压缩的模拟 信号的工作在国外的相关机构已经开展【2 4 。3 3 1 ，现有的直接针对模拟信号的压缩传 感方式在性能和实现过程上还存在一定的不足，某种意义上说，到目前为止还没 有实现真正意义上的压缩传感，这也必将阻碍将该理论推向实际应用的步伐。针 对这一情况，本文中论证了连续时间信号的压缩传感实现方式，并通过实验分别 验证了其各自的性能与可实现性，为该问题的解决作了初步的探索。 1 4研究现状 压缩传感理论是信号处理领域中一个非常新的研究方向，自从2 0 0 6 年起有正 式论文发表之后，迅速引起国内外相关领域研究者的高度重视。该理论一经提出， 就在信息论、信号图像处理、医疗成像、模式识别、地质勘探、光学雷达成像、 无线通信等领域受到高度关注，并被美国科技评论评为2 0 0 7 年度十大科技进展。 目前c s 理论的研究尚属于起步阶段，但已表现出了强大的生命力，并已发展了分 布c s 理论( b a r o n 等提出) ，1 - b i tc s 理论( b a r a n i u k 等提出) ，b a y e s i a nc s 理论 ( c a r i n 等提出) ，无限维c s 理论( e l a d 等提出) 等等，已成为数学领域和工程应 用领域的一大研究热点。在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许多国家 的知名大学( 例如，麻省理工学院，斯坦福大学，普林斯顿大学，莱斯大学，杜克大 学，慕尼黑工业大学，爱丁堡大学，等等) 成立专门课题组对c s 进行研究，此外， 莱斯大学还建立了专门的c o m p r e s s i v es e n s i n g 网站【l 】；2 0 0 8 年西雅图i n t e l ，贝尔 实验室，g o o g l e 等知名公司也开始组织研究c s ；近来美国空军实验室和杜克大学 联合召开c s 研讨会，与会报告的有小波专家r c o i f m a n 教授，信号处理专家j a m e s m c c l e l l a n 教授，微波遥感专家j i a nl i 教授，理论数学专家r d e v o r e 教授，美国 国防先期研究计划署( d a r p a ) 和美国国家地理空间情报局( n g a ) 等政府部门成员 等等。国内关于这方面的研究则刚刚起步，发表论文甚少，但西安电子科技大学、 西安交通大学、中科院等单位的一些研究组已经开始着手研究，相信会有更多的 学者加入到这一新兴方向的研究队伍当中。 7 目前该领域的研究工作主要集中在理论层面，奠基性的工作有，t a o 、c a n d e s 、 d o n o h o 等人已经构建了压缩传感的理论框架，给出传感矩阵须满足的充分条件， 即一致不确定性原理( u n i f o r mu n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ，u u p ) ；传感矩阵的行数m 与 信号稀疏度k 之间须满足m k 1 0 9 ( n ) 等等，发表了一系列重要论文【3 4 4 1 】。除此 之外，也有许多关于解决该理论中具体问题的研究成果，主要集中在传感矩阵与 重构算法两个大的方面。在硬件实现上，r i c e 大学r b a r a n i u k 教授等研制的单像 素相机，吸引了国内外众多媒体的眼球。随后也有一些硬件方面的相继报道，例 如，麻省理工学院llw a l d 教授等人研制的m r ir f 脉冲设备【4 2 1 ，麻省理工学院 wtf r e e m a n 教授等人研制的编码孔径相机【4 3 1 ，伊利诺伊州立大学0m i l e n k o v i c 等人研制的d n a 微阵列传感器】等等，然而，由于缺乏有效的压缩传感矩阵判别 理论，除r i c e 大学的单像素相机( 硬件成本昂贵，重构算法效率低下) 外，其它 硬件均缺乏严格的理论分析。 1 5本文的内容安排 本文研究了压缩传感过程实现的可行性和具体实例，通过理论分析和实验验 证了几种压缩传感实现方法。在第二章中提给出了一类适合于压缩传感的信号预 处理方式，来实现信号的快速传感和精确重建。第三章中研究和实现了基于 a i c ( a n a l o g - i n f o r m a t i o n c o n v e r s i o n ) 系统的压缩传感过程，将压缩传感理论扩展到连 续域内，完成了信号在模拟域的获取和压缩。文中以压缩传感理论为依据对压缩 传感的a i c 获取系统进行分析并通过更加精确物理参数的描述改善系统的性能， 进而构建出针对a i c 获取系统的信号重构矩阵的等价形式，并仿真实现该过程。 第四章中给出了一种基于随机哈达码矩阵的压缩传感模拟结构，参照压缩传感的 传感矩阵形式，从传感矩阵本身出发去研究和构建压缩传感的模拟结构，该压缩 传感模拟结构相对容易理解，文中对其进行了简单分析。 2 一类适合于压缩传感的信号预处理方式 传统方式下，当我们所处理的信号稀疏性不明显时，不能够确定是否可以应 用压缩传感的理论对其进行处理，而且由于压缩传感过程中的变换矩阵的选择千 差力- 别，有此得到的信号恢复效果也有很大差异。本章针对上述问题，给出了一 类适合于压缩传感的信号预处理方式，有利于信号的快速传感及精确重建。通过 引入非均匀采样技术先对外部信号进行采样，并针对所得到信号的规律再应用压 缩传感理论对其进行处理和重建。其中，根据前端采样方式的特点，选用差分矩 阵作为压缩传感中的变换矩阵。理论分析和试验结果表明，经过预处理之后的信 号进行压缩传感，在后续的重建过程中取得了很好的重建效果。文中具体给出了 两种不同的非均匀采样方式，两种方式在实现上有一定不同，但采样得到的结果 显示出相类似的规律。 2 1非等间隔采样信号的压缩传感 本节中首先引入了非均匀采样中一种特殊方式非等间隔采样，用该方式 对外部信号进行采样，并针对所得到采样信号的规律，采用压缩传感理论对其进 行处理和重建。其中，根据前端采样方式的特点，选用差分矩阵作为压缩传感中 的变换矩阵，通过重建结果的比较和分析看出，差分矩阵相对于其它常见变换矩 阵能够更简单、更有效地恢复出原信号。 2 1 1非等间隔采样原理 非等间隔采样的原理：根据信号的强度大小对信号进行自适应采样，强度越 大则采样频率越高，即单位时间内所得到的离散脉冲个数越多( 可以认为相邻采 样点之间的时间间隔较小) ；反之幅度值越小采样频率越低，即单位时间内所得 到的离散脉冲个数越少( 相邻采样点之间时间间隔较大) ，最终我们可以得到一 系列刻画时间间隔的采样序列，其间隔大小反应原信号幅值的大小。所采用的元 件有压控振荡器v c o 4 5 l ( v o l t a g e c o n t r o l l e do s c i l l a t o r ) 和电压比较器m 】。其中压控 振荡器是一种输出信号的频率随着输入信号幅度的变化而发生变化的设备，是以 电压输入来控制振荡频率的电子振荡电路设计，其振荡的频率或重复的比例随着 直流电压的不同而改变；而电压比较器是将一个模拟量电压信号和一个参考固定 电压相比较，可将模拟信号转换成二值信号，即只有高电平和低电平两种状态的 9 离散信号，我们通过两个元件组合来实现信号的非等间隔采样。 我们用正弦信号作为输入信号模拟了这个过程如图2 1 ，其中蓝色部分是分布 稠密的幅值为+ l 的离散采样时间点，观察发现输入正弦信号峰值处所对应得到的 采样点的个数很多( 点与点之间的间隔很小) ，而在输入正弦信号幅值较小的地 方采样得到的点个数较少( 点与点之间的间隔较大) ，这样就实现了根据信号的 幅度值来采样的目的，得到的序列点的幅度值都相同，但点与点之间的时间间隔 不同。 图2 - 1 非均匀采样的结果 f i g u r e2 - 1t h er e s u l to f n o - u n i f o r ms a m p l e 2 1 2非等间隔采样信号的压缩传感 首先应用非等间隔采样方式对外部信号采样得到x ( n ) ，并将x ( n ) 经过传感编 码测量( 与离散形式的矩阵相乘) 得到压缩之后的信号y ( m ) ，最后进行信号的 恢复重建。该方法描述如图2 2 ： 压缩传感 图2 - 2 ，非均匀采样信号的压缩传感 f i g u r e2 - 2c o m p r e s s i v es e n s i n go ft h en o - u n i f o r ms a m p l es i g n a l 1 0 由于压缩传感理论的前提条件是信号具有稀疏性或可压缩性，考虑长度为 的离散实值信号x ，记为x ( n ) ，n 【1 ，2 ，n 】。由信号理论可知x 能够用一组基 t t , = 【么，唬，织，吮 的线性组合表示，则 卫 x ( t ) = 纯吒= 甲口 ( 2 - 1 ) k = i 式中：= ，口与x 是n x l 矩阵，甲是n x n 矩阵。当信号x 在某个 稀疏基甲上仅有k n 个非零系数( 或远大于零的系数) 瓯时，称甲为信号x 的 稀疏基。合理地选择稀疏基甲，使得信号的稀疏系数个数尽可能少，不仅有利于 提高采集信号的速度，而且可能获得更好的重建效果。 本部分中针对所采用的采样方式的特殊性，采样得到的信号是一些幅度值相 同且随机分布在时间轴上的采样序列，因此我们想到如果选取差分矩阵作为变换 矩阵，通过前后相邻采样信号的差值( 或二次差值) 将会得到包含很多零值的稀 疏信号。 常见差分矩阵形式如下：一阶差分矩阵形式为 c 厶。= lo 一11 o一1 oo o 0 o o o 1o o ol1 ( 2 - 2 ) 观察发现如果任意信号与c 1 矩阵相乘，相当于完成了将信号中后一项减去前 一项的操作。二阶差分变换矩阵为：c 2 = c i * c 1 ，二阶差分矩阵是两个一阶差分 矩阵相乘得到的，如果信号与c 2 矩阵相乘，相当于信号与两个一阶差分相乘，即 分别做两次差分运算 2 1 3结果展示和分析 图2 3 ，图2 4 中是分别采用二阶差分矩阵和d c t 变换矩阵时重建得到的结果， 我们发现选用二阶差分矩阵作为压缩传感变换矩阵，其稀疏性优于其它变换矩阵 形式( 如d c t 变换矩阵、f f t 变换矩阵) ，能够既简单又更有效地恢复出原信号。 图2 - 3 基函数为二阶差分变换时重构得到的试验结果 f i g u r e2 - 3t h er e c o n s t r u c t i o nr e s u l tw h e nt h eb a s i si ss e c o n do r d e rd i f f e r e n c e 图2 3 中图( a ) 代表的是输入信号，该图中横坐标表示采样点的个数，纵坐标表示 的是采样时刻的位置。图( b ) 代表的是将输入经过二阶差分之后得到的形式，可以 看出经过图中只有很少的点的值是非零值，说明此时经过二阶差分之后信号有很 大的稀疏性。图( d ) 为经过压缩传感并应用o m p ( 正交匹配追踪) 算法重构得到的 信号稀疏形式，将其反变换即得到了图( c ) 中的输入信号的估计，通过比较输入信 号和输入信号的估计可以看出该方式达到了很好的恢复效果。 2 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 d 0 - 1 0 0 2 0 0 p - 0s 01 0 01 5 02 0 0 ( b ) v - 05 01 0 01 5 02 0 0 ( d ) 图2 - 4 基函数为d c t 变换时重构得到的试验结果 f i g u r e2 - 4t h er e c o n s t r u c t i o nr e s u l tw h e nt h eb a s i si sd c t 1 2 图2 4 中，我们采样其它常见的变换函数( d c t ) 作为压缩传感的基函数进行信号 重建，同样得到了输入信号的估计，该估计能够近似原输入信号，但在恢复效果 上，没有前面采样差值形式作为基函数时得到的重建结果的精度高。 2 2 异步s i g m a d e l t a 调制信号的压缩传感 基于s i g m a - d e l t a 调制的模数转换器也是一种非均匀采样的方式，从众多的已 知s i g m a - d e l t a 调制器【4 7 书】或a d c 的技术文献中可以获知，s i g m a - d e l t a a d c 技术 应用已经越来越普遍，也越来越有吸引力，当前的高精度、高速、低功耗的a d c 很大一部分都采用s i g m a d e l t a 调制器。而异步s i g m a - d e l t a ( a s y n c h r o n o u s s i g m a d e l t a ) 5 0 - 5 2 】是在s i g m a - d e l t a 的基础上，为了进一步减少模拟电路的复杂度， 不用采样时钟而转用占空比的方式( 占空比就是矩形波信号每个周期内高电平时 间与一个周期( 高低电平总时间) 的比值) 将一个信号调制成为时间方波信号。 本节内容介绍了一种常见的异步s i g m a - d e l t a 调制器( a s y n c h r o n o u s s i g m a - d e l t am o d u l a t o r ) 的结构和原理，将该a d c 转换结构的调制器件引入到压缩 传感的信号获取部分。首先完成由任意模拟信号到比特流信号的转化，然后再应 用压缩传感的对所得到的比特流信号进行处理和恢复重建。 2 2 1 异步s i g m a d e l t a 调制器的结构和原理 基于异步s i g m a d e l t a 调制器的模数转换器一般由两部分构成，前端的异步 s i g m a - d e l t a 调制器和后端的时间数字转换器( t i m e t o d i 百t a lc o n v e r t e r ) ，其