（理论物理专业论文）量子计算中的自由演化模型.pdf

摘要 摘要 量子信息处理利用量子力学规律表示和操作信息，由于量子力学的奇妙性 特点，在某些问题上其能力大大超过了经典信息处理方式。在量子信息的范畴 里，人们找到了几个重要问题的有效算法，而在经典信息处理范畴中这些问题是 不可能用有效算法解决的。因而它激发了研究者对此研究领域的极大兴趣。在本 论文中，我们主要讨论了一种不基于量子逻辑网络的量子信息处理方案自 由演化模型方案。 自由演化模型的特点很鲜明：优点是在处理过程中，无需对系统做任何含时 的调控( 除了某些情况下做单比特测量之外) ，这样系统能够很好的独立于外界， 而且对于那些实验上很难调控内部相互作用大小的系统，这种方案无疑更为容 易实现；缺点是需要针对具体的任务来设计系统的具体属性，包括系统的构型， 作用于其上的哈密顿量和初态等，从而影响了它的通用性。 我们讨论了如何利用自由演化模型实现几项比较重要的量子信息处理任务， 即量子态传输、量子态克隆等。在量子态传输一节里介绍了如何利用具有镜像 对称性的自旋网络来实现精确态传输。而在量子态克隆这节里，我们利用星形 自旋网络实现了最佳的i _ 肘相位协变克隆( p c c ) 和普适克隆。另外，我们也 讨论了利用自旋网络制备所需态的方法。 关键词：量子克隆，自由演化模型，自旋网络 一一 垒垒! ! ! 墼! a b s l r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n ge m p l o y sq u a n t u mm e c h a n i c st oe x p r e s sa n dm a n i p u l a t ei n f 0 珊a t i o n b e c a u s eo f 出ei n t r i n s i cc o h 朗e n c eo fq u a n t u ms c a t e s ，i ta p p e a 】s m u c hm o r ep o w e r f u lt h a nt h ec l a s s i c a li o 胁a t i o np r o c e s s i n g i nt h e 矗e l d so fq u a n t u mc o m p u t a t i o n ，p e o p l eh a v ef o u n de f ! f i c i e n ta l g o r j t h m so fs o m ep r o b l e m sw 量l i c hd o n o th a v ec l a s s i c a 】e 衔c i e n ta l g o r j t h m s r e c e n t i y ，t h i sf i e l dh a sd r a w nj n c f e a s i n ga t t e n t i o nf o ms c i e n t i s t sa l l o v e rt h ew o r l d i nt l l i st h e s i s ，w ew i l lm a j n l yi n v e s t i g a t es u c h q u a n t u m i n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs c h e m e s f r e ee v o l u t i o nm o d e l sw h i c hd on o ti n v o l v e q u a n t u ml o g i cn e t w o r k s t h e r ei sn on e e dt oi n t r o d u c ea n ye x t e m a lc o n t r o l ( e x c e p tf o rs i n g l eq u b i tm e a s u r e m e n t s ) i nt h ef r e ee v o l u “o nm o d e l ，w h i c he n s u r e sm ew h o l ec o m p u t a t i o np r o c e s s c a nb ei m p l e m e n t e dw i t h o u t i n t e r a c t i n gw i m t 王l ee n v i r o n m e n c m o r e o v e r ，t h i ss c h e m e p r o v i d e sar e l a t i v ee a s i e ra l t e m a t i v ef o rt h o s es y s t e m sw i t hi n t e r a c t i o n sw h i c ha r eh a r d t om o d u i a t e h o w e v e r ，i ti sl e s sf l e x i b l et h a nm et r a d i t i o n a l 印p r o a c hw i t hq u a n t u m g a t e s 。t h a tm e a n so n en e e d st od e s i g nad i 虢r e n ts y s t e mi n c l u d i n gt h es t m c t u r e ，t h e h a m i l t o n i a na n dt h ei n i t i a ls t a t ef b rap a r t i c u l a rt a s k w ew i l ls h o wh o wt oi m p l e m e n ts e v e r a li m p o r t a n tq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s _ i n gt a s k s ，f o re x a m p l e ，q u a n t u ms t a t et r a n s f e r q u a n t u ms t a t ec l o n i n ga n dt h eg e n e r a t i o n o fq u a n t u me n t a n g l e ds t a t e sw i t h i nt h ef 姥ee v o l u t i o nm o d e l w 色w i l li n t r o d u c et h a t p e 面e c ts t a t et r a n s f e rc a n b ec a 埘e do u ti ns p i nn e t w o r k sw h i c hh a sm em i 玎o ri n v e f s i o n s y m m e t r y l a t e r w ed e m o n s t r a t et h a ts t a ri “( es p i nn e 哪o r ki sc a p a b l eo fi m p i e m e n t i n go p t i m a l1 彳p h a s ec o v a r i a n tc l o n i n g ( p c c ) a n du n i v e r s a lq u a n t u mc 1 0 n i n g f u r t h e 珊o r e ，w eh a v ed i s c u s s e dh o wt ot a k ea d v a n t a g eo fs p i nn e t w o r k st og e n e r a t o r p a r t i c u l a rs t a t 邑sw h i c hw en e e d k e yw o r d s ： q u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，f r e ee v o l u t i o nm o d e l ，s p i nn e t w o r k s n i 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 渺宫年j 月三乙日 第1 章绪论 第1 章绪论 上世纪八十年代以来，量子力学与信息科学的结合产生了一门崭新的交叉 学科量子信息【l - 1 2 】，它为信息科学的发展提供了新的原理和方法，注入了 新的活力，成为量子力学在新的应用领域中一个重要的发展方向。二十多年来 的研究表明【1 3 1 4 】，利用量子力学奇妙特性，量子信息处理在提高运算速度、确 保信息安全、增大信息容量和提高检测精度等方面具有突破现有经典信息系统 极限的能力，必将引起信息领域的技术革命。本章介绍量子信息的基本特点，给 出实现普适量子计算的量子逻辑网络模型，引出本论文所研究的量子信息处理 方案自由演化模型。 1 1 量子信息的特点 经典信息编码在经典载体上，而量子信息则编码在量子载体上，是信息论 与量子力学相结合的产物。量子信息处理满足量子力学的规律：信息的演变遵 循s c t 嫡d i n g e r 方程，量子信息传输是量子态在量子通道中的传送，量子信息提 取则是对量子信息系统实行量子测量。因而，量子力学的特性是量子信息的物 理基础，给出了许多令人惊讶的区别于经典信息的结果。 1 1 1 经典比特与量子比特 经典信息以比特( b i t ) 作为信息单元，一个比特可以表示为具有两个可识别状 态的抽象实体，如是或非、真或假、o 或1 等，一般采用二进制数据位，每一个二 迸制数据位o 或1 表示一比特信息。从物理的角度讲，一个比特应该是物理上能 实现的系统或装置，例如电容器极板间的电压表示为一比特信息：带电荷的电 容器或者电容器的荷电状态表示1 ，而无电荷时表示o 。因此，比特这个术语有 双重涵义：第一作为信息测量的基本单位，给出一个“是或非”问题的答案；第 二表示存贮、传送信息的基本物理体系。比特被连接成一个二进制位串，表示多 比特信息，如一个咒比特的信息是秒个逻辑态中之一，标记为0 0 0 到1 l l 。 量子信息采用量子比特( q u b i t ) 或称量子位作为信息单元，是比特的量子推 第l 章绪论 广，可用一个两态量子系统来编码，如两种偏振态的光子( 水平和垂直偏振) 、 磁场中自旋1 2 的粒子( 自旋向上和向下) 、两能级的原子或离子( 基态和激发 态) 以及任何量子系统的空间模式等等。一个量子比特的纯态能制备为两个逻 辑态o 和1 的任意叠加态： 1 f ，) = 0 1 0 ) + p1 1 ) h 上式中饯，b 为任意复数，满足归一化条件i 仗1 2 + i p i 2 = l 。1 0 ) 和1 1 ) 为正交态， 通常称为计算基态( 基矢) 。以这两个独立态为基矢，张起一个二维复矢量空 间，称为二维h i l b e r t 空间【14 1 ，则一个量子比特就是这个二维h i l b e r t 空问的单位 矢量。因此，也可以用一单位球面上的点( 见图? ? ) 表示一量子比特的纯态，由 e u l e r 角a 和够决定( 整体的相因子可忽略) ，这个球被称为b l o c h 球。经典比特 可看成量子比特的特例f = o 或p = o ) ，对应b l o c h 球上的两个极点，1q u b i t 信 息包含了lb i t 的信息。连续变化的p 和够使量子比特可以取遍整个球面，可以 看出，1 个量子比特携带的信息比1 个经典比特更为复杂。与比特类似，q u b i t 这 个术语有双重涵义：一是作为量子信息测量的基本单位；而是表示存储、传送量 子信息的基本物理体系。一个n q u b i t 纯态可以表示为 “l l f ，) = 奴i 工) h x = 0 0 o ，蚓2 = l ( 1 2 ) 工 i d 对应于砂个经典可区分的逻辑态j 0 0 o ) 到1 1 1 1 ) ，张起一个2 n 维的 h i l b e r t 空间。 1 1 2 量子信息的基本特性 量子信息与经典信息相比有以下几个重要特点： 量子叠加性。量子力学系统的态由h i l b e r t 空间的矢量完全描述，能处在所 2 印 q 锄 第l 章绪论 有对应经典逻辑态的任意线性叠加态上，见式1 2 ，这是量子力学中态叠加 原理的具体体现，也是量子并行计算的重要物理基础。注意这里的叠加不 是简单的几率叠加，而是区别于任何经典统计的几率幅的相干叠加。依靠 它们之间的相对相位，叠加振幅可以发生干涉，出现彼此相长或相消，此 即量子相干性。量子相干性在各种量子信息过程中起着至关重要的作用。 量子纠缠和非局域性。这是存在于多子系统的量子系统中的一种非常奇妙 现象，即对一个子系统的测量结果无法独立于其它子系统的测量参数，表 现出一种非定域的关联一种没有经典对应的、超空间的关联，是种 纯粹的量子效应。最近研究则表明，以一类特殊的量子纠缠态作为量子计 算机的初始状态，仅仅需要单比特的测量即可实现普适的量子计算【l5 1 。 孤立量子态随时间演化的幺正性。孤立量子系统的态矢量随时间的演化遵 从s c h r 6 d i n g e r 方程 旃岳l y ) = 日 ( 1 - 3 ) 其中，日为系统的哈密顿量，孤立量子系统态矢的演化可以引入演化算子 u ( f ，幻) 描写。定义为 l v 9 ) ) = u ( ，幻) i y ( o ) ) ( 1 4 ) - 量子测量公设。观测任意量子态中的力学量a ，相应于将被测态f l f ，) 按对 应厄米算符a 的本征态族展开，即l 奶= 厶c n i ) ，单次测量所得a 的结 果可能不确定，按l c 丹1 2 的几率得到a 的本征值之一如，而整个量子态将 塌缩到相应的本征态j ) 。这种测量塌缩过程是随机的、不可逆的、斩断 相干的和非定域性的。由于测量量子计算结果输出的不唯一性，因此在计 算过程中，只有充分利用几率幅的相长或相消干涉，尽可能增大需要结果 出现的概率，同时减小不需要结果出现的概率，使对计算末态的测量以最 大的概率得到需要的结果，完成量子计算的过程。 量子不可克隆性和不确定性。量子力学的线性特性禁l | 二对一个未知的量子 态实行精确的复制( 克隆) 【16 1 ，它构成了量子密码术的物理基础。 3 第l 章绪论 1 2 量子信息处理模型 本论文将主要讨论最近提出的两种量子信息处理模型哈密顿量自由演 化模型和基于测量的量子计算机。这里，我们先从现在普遍使用的量子逻辑网 络模型开始进行介绍。 1 9 6 1 年，l a n d a u e r 【l 】研究了热耗散对进行计算的元、部件或装置上的物理限 制，指出计算中的不可逆操作必然产生热耗散，例如擦除一比特信息必定是一耗 散过程，强调可逆操作原则上没有功的消耗。1 9 7 3 年，b e 彻e c c 证明【1 7 】，所有经典 不可逆计算机都可以改造为可逆计算机，而不影响其计算能力。 1 9 8 0 年，b e n i o 仟【1 8 l 在b e n n e t t 的可逆图灵机基础上，最早讨论了量子图灵 机模型，用量子幺正演化模拟了经典图灵机【1 9 】。1 9 8 2 年，f e y n m a n fj 2 】真j 下将量 子力学与计算机结合起来，提出了利用量子力学的基本性质( 如叠加、相干和 纠缠等) 来建造量子计算机，并指出这种新型计算机将能有效进行经典计算机 无法处理的量子模拟任务。1 9 8 5 年，d e u t s c h 【2 0 】首次描述了量子图灵机。接着， d e u t s c h 【2 l 】引入了量子计算中的网络模型。 量子逻辑网络的思想来自于经典的可逆网络和量子力学中的幺正演化的结 合。在这个模型中，量子信息的处理包括对量子寄存器( q “口，l 胁朋雠括纪r ) 的初 始化，处理和读出。在初始化过程中，量子寄存器被制各到一些固定的态上：接 着，寄存器的状态被一系列的由量子门组成的幺正变换所作用：最后，对量子寄 存器进行测量读出结果。这样，任意一个量子计算装置都可以看作七个逻辑门作 用于肌个量子比特的量子网络。由量子网络实现的幺正变换可写成 u = 魄魄一l u l ( 1 - 5 ) 这里矾描述第f 个逻辑门操作。如果任意的幺正变换能够用某个集合里的逻辑 门按一定顺序级联来做任意精度的逼近，那么这组集合就被称为普适的逻辑门 4 第j 章绪论 集合a 比如说，所有的单q u b i t 旋转门s u ( 2 ) 和控制非门( c n o t ) 门 f loo o i loloo c d 丁= i l ooo l i oo1 o ( 1 - 6 ) 就构成一普适逻辑门集合【2 2 1 。另外，也存在一些由有限个元素的普适逻辑门集 合。比如，c n o t 门，h a d a m a r d 门 h ：三f ，t 、 钜l1 1 ( 1 7 ) 和兀4 相位门e x p ( 一f 蛋砚) 也是一组普适逻辑门集合【2 3 1 。这里，有趣的是，如果 我们把相位门改为万2 相位门，则上述集合生成了c l i 肋r d 群，根据g o t t e s m a l l k n i l l 定理f 2 4 】，由这些门构成的量子网络能够有效地用经典网络来模拟。 这样，一般的，对于一个量子信息处理任务，我们可以按要求设计出一个相 应的逻辑网络，由系列的逻辑门构成。在实验实现中，则根据具体的实验系统 来操作从而实现这些逻辑门。比如n m r 实验是由作用在自旋体系的一系列射 频脉冲和一段时间的哈密顿量自由演化组成，单量子门可以由射频脉冲和化学 位移演化实现，控制非门则通过一系列的射频脉冲和一系列的自由演化实现。而 且只要能构造出普适的量子逻辑门，任何量子计算任务从原则上讲都可以实现。 然而，在量子逻辑网络中，由于对寄存器的操作由很多逻辑门组成，在很 多情况下，这就要求对系统的哈密顿量做实时的控制。而在一些系统中，这并 不容易做到。比如，最近的研究表明，原则上，普适的量子计算能够在一维的 h e i s e n b e r g 相互作用的自旋链上实现【2 5 2 9 】，但是，这要求在实验上能够实时控 制h e i s e n b e r g 相互作用的大小和有效地打开和关闭相互作用，这在实验上是件 具有挑战性的工作。 5 第2 章量子自旋网络及其应用 第2 章量子自旋网络及其应用 现有的实现量子信息处理的方案大都是通过构建量子逻辑网来实现，但这 并不是唯一的方法。最近的研究表明，通过仔细设计量子自旋网络的结构及调整 自旋格点之间的相互作用，让该系统自由演化一段时间，就能够完成一些特定的 量子信息处理任务。在这里，需要控制的仅仅只是初态的制备和经过一段时间演 化后的读出操作。显而易见，基于量子自旋网络的方案需要针对具体的量子信 息处理任务进行设计，相对于传统的通过量子逻辑门的方法，它的灵活性并不是 很好。但这种方案有个很大优势就是它不需要对量子位( 即自旋格点) 间的相互 作用做任何实时调控。这样，在演化过程中，由于不存在任何外在的人为控制， 系统也能更好地独立于外界。事实上，在大多数这类的方案中，系统的入态制备 完成之后仅仅需要过一段时间后做读出处理即可完成给定任务。在本章中，我 们将研究如何设计量子自旋网络来实现精确态传输、量子态克隆、纠缠态制备。 2 1利用量子自旋网络进行量子信息处理的一般规则 一般地，量子自旋网络可以用一个简单的有限连接图g ：= y ( g ) ，e ( g ) ) 来 表示，图的每个顶点代表一个自旋为 的粒子，这样每个顶点对应的h i l b e r t 空间 为兹竺c 2 。对应于整个图g 的h i l b e r t 空间即为 褫= o 兹= ( c 2 ) 删， ( 2 1 ) f y ( g ) 这里：= i y ( g ) i 为图g 中所有的顶点数目，边则代表了两个粒子之间的相互作 用。在本章中，我们考虑定义于这个图上的自旋模型为 = 毒五j i 町时+ 彰哼+ 九l + 砉毋， ( 2 2 ) 二( f ，j ) e ( g ) 。 。 。f y ( g ) 其中，、和是泡利矩阵，西是第f 和j f 个顶点之间的相互作用强度， 臃是z 方向上的外磁场强度。a 是z 方向上的各向异性参数，特别地，当a = 0 ， 对应于删模型，而当a = 1 时，则对应于h e i s e n b e 唱模型。在此模型中，系统 第2 章量子自旋网络及其应用 的总自旋的z 方向上分量 略：= ( 2 3 ) f y ( g ) 是守恒量。 这样，一般地，利用量子自旋网络完成一项量子信息处理任务分为以下步 骤： 1 设计出实现该项量子信息处理任务的量子自旋网络，包括自旋网络的结 构，哈密顿量的具体形式和系统所处的初态： 2 初始化自旋网络的状态。原则上自旋网络的初态可以根据需要制备到任 何量子态，但应使该态尽量简单易制备。在大多数情况下都把初态制备到 f q ) ：= i o 0 0 ) ，对应于所有自旋状态都向下的状态； 3 把要处理的量子态i l f ，) 制备到自旋网络的入口中； 4 让系统开始随时间自由演化； 5 在某个时刻幻在自旋网络的出口进行读出操作，完成该项任务。或是在某 些必要的时刻对系统的某些粒子进行单粒子测量，判断任务是否完成。如 果任务完成，则在自旋网络的出口进行读出操作，即可完成该项任务，否 则让系统继续自由演化，继续重复这一步骤直至任务完成。 2 2 量子态传输 在量子信息处理过程中，一个重要的任务就是把量子态从一个地方( a 处) 传到另一个地方( b 处) 【3 0 】。比如，在量子通讯的过程中，因为目标就是在a ，b 两 地之间进行通讯，实现量子态传输的重要性不言而喻。同样，在量子计算机内 部，不同部分之间的联系也极为重要，这也同样需要量子态的传输。对于长程的 量子通讯，理想的通道是使用光纤。对于短程的通讯( 比如量子计算机内部) ， 人们也提出了各种各样的方案，比如说，量子阱【3 l 】就是其中之一。 比如，实验上，此初态可以用一个足够强的磁场来产生 8 第2 章量子自旋网络及其应用 基于自旋网络的方案由b o s e 【3 2 】在2 0 0 3 年首次提出，在此方案中，b o s e 使 用了未经调制过的哈密顿量自由演化的方法来完成量子态传输的任务。然而， 遗憾的是，由于该方案使用的模型过于简单( 链状结构，格点问的相互作用耦合 强度五f 都相同) ，量子态传输的保真度( f i d e l i t y ) 不能达到l 。此后，c i l r i s t a n d l 等【3 5 】选择自旋网络具有镜像对称性，通过增加自旋网络结构的复杂性和调整 五j 的大小实现了精确量子态传输。接下来，各种各样的能够实现高精度量子态 传输的模型【3 8 】被提了出来。本节中，我们将主要介绍c 嘶s t a n d l 等【3 3 3 5 】提 出的具有镜像对称性的自旋网络模型。 2 2 1自旋网络中的参量选取及保真度计算 首先，选取系统为艘型的无外磁场哈密顿量( 以后我们将会看到，有z 方 向上的耦合与外磁场的情形也一样可以实现精确态传输) 。这样，方程( 2 2 ) 变 为 协= 。、三如【哆+ 彰吖j ( 2 4 ) ( f ，) e ( g ) 。 其次，让系统的初态处于l o a o 0 0 8 ) ，设要传递的态为l l f ，) a = 0 f i o ) a + 卢1 1 ) a ，a ，卢ca n dl a 2 + i 卢 2 = 1 。那么系统演化前的状态可以写为 f 、壬，( f = o ) ) = i 姚0 0 0 ) = a 1 0 a 0 0 矗) + p l l a o o o o 曰) = a l q ) + 卢1 1 ) ， ( 2 5 ) 设演化段时间f 之后态变为 ， 甲( ) ) = 垒) + 岛( f ) i j ) ( 2 6 ) 歹= l 注意因为系统的总自旋的z 方向上的分量是守恒量，方程( 2 6 ) 中的第二项只 在有个格点自旋向上的子空间里求和，这里i ，) 表示只有第个粒子向上的 状态。另外因为l q ) 是系统的本征值为零的状态，系数仅不随时间变化。显然 i a l 2 + 整1l 岛( f ) 1 2 = 1 。 9 第2 章量子自旋网络及其应用 此时出口b 处的约化密度矩阵可以写为 助( f ) = n 一甲( f ) ) ( 甲( f ) l = 剖 亿7 ， 出态和入态之间的保真度即可以写为 f ( m ，助( f ) ) = t r 、以7 2 肋( f ) 以2 = ( 1 f ，i 助( f ) l ( 2 - 8 ) = 、i 仅i 2 ( 1 2 i & 1 2 + 励p + 雕j i b ) + l 励1 2 注意阢与时间f 有关，这里作了省略。 由于f o ) a 在演化过程中不变，我们只需集中考虑1 1 ) a 的演化过程，据此我 们定义传输保真度( 7 砌凡啦，冗出f 毋) 为 厶口( f ) ：= 踟( f ) 三徊f p 一忱| a ) ( 2 9 ) 这里j a ) 三【1 ) = 1 1 a o o o 日) 和i b ) 兰i ) = 1 0 a o o l 占) 。下面我们将只考虑如何 实现精确态传输，显然这要求 l 厶8 ) l = 1对某个o f o ( 2 1 0 ) 注意如果只满足条件( 2 1 0 ) 最后传输到口点的态将变成 a j o ) + p 驴卢1 1 ) ( 2 1 1 ) 但这里相位因子咖并不成其为问题，因为在传输过程中这个相位并不依赖于a 和卢的值，这样在最后结果中只需附加一个相位门操作或者在自旋网络中加入 适当的均匀外磁场即可消除咖。这样，下面就只需考虑如何满足条件( 2 1 0 ) 。 2 2 2 精确态传输对具有镜像对称- l 生的系统的限制 在以后的讨论中，我们将考虑在具有镜像对称性的自旋网络中如何实现最 佳态传递的问题。我们将看到，这样的系统对系统的哈密顿量有一些严格的要 求。据此出发，我们能够对一个系统能否实现最佳态传输做出一些判断。 1 0 第2 章量子自旋网络及其应用 镜像对称性，顾名思义，就是说在a 处和b 处看整个量子网络是等同的。最 简单的例子就是一条各个格点间的耦合系数都相同的线性链。对于这样的网络， 如果要实现精确态传递的话，下面将证明，其对应的哈密顿量的本征值之差的比 值必须为有理数。 从式( 2 1 0 ) 出发，我们有 e 一虢幻l a ) = e 砷i 曰) ( 2 1 2 ) 同时根据镜像对称性的定义，a 和昼是完全等价的，这样再次经过时间幻后有 p 一h g 锄陋) = p 一吣争i b ) = 严争| a ) ( 2 1 3 ) 由此可见一个具有镜像对称性的自旋网络如果能实现保真度为一的量子态传输， 其态演化必然具备周期性。 一般地，对于演化周期为2 幻的系统，可以写出 l l f ，( 孙) ) = 口j 已一蛳l j ) = e 呓妒口加) ， ( 2 一1 4 ) j l 这里的本征态i ，) 对应于本征值弓。这样要求 2 最幻一2 砂= 2 恕万 ( 2 一1 5 ) 这里幻是整数。消去妒后我们得到 ( e f 一岛) 2 f o = 2 万( 岛一b ) ( 2 - 1 6 ) 在消去幻后得到 蒜= 器q ( 2 - 1 7 ) e p ei k r k r 。 、 这里q 是有理数的集合。这样，可以发现，要让具有镜像对称性的系统实现最佳 态传递，一个重要的条件就是其哈密顿量本征值之差的比值为有理数。 下面，作为一个例子，考察b o s e 【3 2 】文中提出的耦合系数相同的线性链是否 能达到最佳的态传递。此时，系统的哈密顿量写为 日= 町嘻l + 彰略l ( 2 _ 1 8 ) 第2 章量子自旋网络及其应用 在只有一个粒于目疑问上的的于空间里考虑，其本征波函数与本征能量为 晒= 厮争( 篇) 陆 最= _ 2 c o s 南， ( 2 - 2 0 ) 这里| i ；：= 1 ，f ，z ) 为只有第，z 个粒子自旋向上的状态。这样传输保真度可以 计算出 删= 南静( 羔) 出( 篇) g 啦 亿2 ， 对于粒子数为2 和3 时，得到厶b ( f ) = 一f s i n ( f ) 和 曰( f ) = 一 s i n ( 麦) 2 ，此时精确 量子态传输能够实现。当粒子数大于4 时，文献 3 5 】中给出了违反条件( 2 1 7 ) 的 例子，这样当粒子数大于4 时，精确态传输不可能用格点间的耦合系数都相等的 线件锛来宴珊。 2 2 3 任意距离的精确态传输 上一节中，指出了粒子数目大于4 时，最佳量子态传输不可能通过一个简单 的线性链结构实现。在这一节中，将从增加自旋网络的复杂程度和调整线性链 格点间耦合强度两个不同的角度出发给出实现最佳量子态传输的模型。 首先，考虑x x 模型( 2 4 ) 在只有一个粒子向上( 1 1 ) ) 的子空间( s u b s p a c e ) 中的矩阵形式。可以发现在以 2 的情况，克隆保真度随着v 的增大而迅速减小。 接着我校的陈清等的研究表明【7 2 】表明，通过适当的选取自旋网络的的初态，最 佳的p c c 可以用星形结构的自旋网络来实现。 星形结构的自旋网络如图? ? 所示，在此星形结构上他们采取x x z 模型，并 且格点间的耦合系数均相等，外加磁场为均匀磁场，则哈密顿量( 2 2 ) 化简为 fmdm 日= 每( 醇硝+ 耐彰+ 九) + 等嘭， ( 2 - 3 6 ) 。f = lf = o 这样，最佳的p c c 克隆任务就是在给定哈密顿量( 2 3 6 ) 下，调整参数曰z 九和五，使所需保真度最大化。为方便起见，定义君( 川，九( 肘) 和f ( 肘) 为达到最佳 克隆所需的值。 在d ec h i a r a 等【7 0 ，7 1 】的工作中，采取的是x x 模型和h e i s e n b e 昭模型，而且 自旋网络的初态被限定为l o o 0 ) 。在我校陈清等的工作中不仅哈密顿量被调整 了，而且初态也被设定为 i y ( o ) ) = l 惭) l s ( 肘，七) ) ，l 城) = l o ) + j b l l ) ， ( 2 - 3 7 ) 这里伐= c o s 导，芦= p 砷s i n 呈，i 坼) 是被克隆态( 制备在中心的格点上) 。周围粒子 则被初始化到对称态酏动) 上，这里，陬q ) 2 赤( 户l 睾裂，户是 粒子总交换算符( 1 0 ) 和1 1 ) 分别对应于吸的本征值为+ l 和一1 的本征态) 。 让初态( 2 3 7 ) 在哈密顿量( 2 3 6 ) 下演化一段时间f ，则出态可以写为( 扣 除一个整体的相位因子后) 1 f ，( f ) ) = 0 ( ( f ) l o ) i s ( m ，七) ) + 五( f ) 1 1 ) l s ( m ，足+ 1 ) ) ) + 卢 l ( f ) o ) i j ( 膨，七一1 ) ) + 占2 ( ，) 1 ) s ( 肘，七) ) ) ， ( 2 - 3 8 ) 1 7 第2 章量子自旋网络及其应用 这里 ( f ) ，尼( f ) ，g l ( f ) ，9 2 ( f ) 依赖于一些系数，即式( 2 3 6 ) 中的九，8 和式( 2 3 7 ) 中的m ，七。为了得到1 _ mp c c 的保真度，需要计算外围粒子的约化密度矩阵， 由于对称性的原因，只计算其中的一个粒子即可，结果为 ，j 口j 2 陋j ( f ) f 2 + ( 1 + 助i 五( f ) f 2 】 p ( f ) ：击f + j 卢1 2 k 七一。k “。1 2 + 纠9 2 。川2 】 i 、偈而石可a + 卢 ( f ) + g l ( f ) + 、依干丽蕊y a + 卢止( f ) + 占2 ( f ) 、伍( 肘一七+ 1 ) 口卢 p ) 占l o ) + + + 1 ) ( m 一足) a j i b + 尼( f ) 9 2 ( f ) i i 口1 2 【( m 一足) l ( f ) 1 2 + ( m 一七一1 ) ) i 尼( f ) 1 2j l + l 卢j 2 ( m 一七十1 ) l 占1o ) 1 2 + ( m 一七) j 占2 ( f ) 2 】， 保真度f = ( i p ( f ) i 嘶) 可以用来衡量克隆程度的好坏。对于轨道 态( 已g “口幼砌z 妣z 娜，9 = 万2 ) ，经过计算保真度可以写为 f ：三 2 + 羔罕( ( r ) ，g 。( r ) + ( r ) g 。( r ) 4 ) + 孕( 删以卅触2 ( f ) ( 2 - 4 。) 为了得到系统随时间变化的保真度( 2 - 4 0 ) 的精确形式，需要哈密顿量( 2 3 6 ) 的本征能量和本征波函数。把哈密顿量( 2 3 6 ) 用升降算符j 产= ( 士f 掣) 2 和，士= 。甜。，s 产改写为 嚣= 以s 吉歹一+ 百歹+ + 2 九晶，) + 昱( 晶+ 歹2 ) ， ( 2 4 1 ) 这里= 刎。，2 ，而= 瑶2 。这样，问题就等价于在研究一个自旋为1 2 的 粒子与自旋为j 粒子的相互耦合【7 3 】，这样的系统容易写出其本征波函数为( 简 便起见，已经令耦合常数厂为1 ) ： 这里， l f ，) 荔一；= 舢，m 一1 ) + n 荔，m ) ， ( 2 _ 4 2 ) 嚷= ( a 一锄九土痧面丽) 2 勺，州= 而两丽 ，小分别是j 2 ，的量子数。这个态对应的本征能量为， 畴一 = 一九+ ( 2 m 一1 ) b 土何面而瓦) 2 ( 2 4 3 ) 1 8 第2 章量子自旋网络及其应用 例外的情况是m = 歹+ 1 ，一j ，当m = + 1 时，本征波函数为1 1 f ，) ，j + ；= i o ) l _ ，_ ) ， 本征能量为弓，j + = n + ( ，+ ；徊；当m = 一_ 时，本征波函数和本征能量则分 别为峨，十；：1 1 ) | ，一办弓，十 - n 一( _ + ；) b 。 另外，从c l e b s c h g o r d a n ( c g ) 系数出发，发现对称态f s ( 掰，足) ) 能够表示为 户和的本征态，即 愀m ) = l 警，七一等 ( 2 4 4 ) 综合以上的计算，最终可以把式( 2 4 0 ) 化为 f ：三+ 查! 丝二墨12 兰! 塑二! 丝二生! ! 墨! ! 丝塑，( 2 4 5 ) 2 。 肘7 7 l 幻2 7、7 这里 z l ( f ) = 7 7 - c 。s 警s i n 历s i n 孚一九一2 七一1 ) s i n 竽c 。s 觚i n 警， 娩( f ) = 7 7 2 c 。s 等s i n 研s i n 警一九一2 七+ 1 ) s i n 孚c 。s 肌i n 警， 叼，= 缸云而面而五磊面， 叼2 = 再矿百而面丽 从式( 2 4 5 ) 出发，我们下面分四种情况进行讨论。 实现最佳1 _ mp c c 。 正如所期待的，通过调整自旋网络的参数，最佳的1 _ 肘p c c 能够实现。 参数的选取并不唯一，在这里我们仅提供一个可行的选择。当肘为偶数 时，我们选择外围粒子数的初态为f s ( 肘，警) ) ，同时选取其它参数为 九( m ) = 、伍承丽；曰( m ) = o ； “啪2 赢 q 4 6 ) 2 m ( m + 2 ) 对于肘为奇数的情况，外围粒子数的初态则选择为i s ，掣) ) ，其它参数 则为 俨) = 三( 州) 2 + l ；删= 竽； 1 9 第2 章量子自旋网络及其应用 f ( 聊：熹 ( 2 4 7 ) m + l 、 。 在上述的方案中，中间的粒子既作为自旋网络的输入端又在克隆过程中充 当辅助粒子，这样得到的p c c 克隆机并不节省资源。而当外围粒子数为偶 数时( 肘= 2 k ) ，同样的网络也能实现最佳的l 一2 尺+ lp c c ，这样，自 旋网络中的每一个粒子都能得到充分利用。要达到这个目标，只需选择外 围粒子初始处于i s ，等) ) ，使系统在无外场( 在z 方向上的耦合系数选为 九= m + 2 ) 的哈密顿量下演化一段时间f2 了雨褊。 x x 和日g 妇已咒抛馏模型。 在一些实验的物理体系中，自旋格点间的相互耦合是固定的，计算上述的 基于自旋网络的p c c 克隆机在这些情况下能达到的最好结果是有意义的。 在这里，我们考虑两种重要的模型，即x x 模型( 九= 0 ) 和h e i s e n b e 昭模型 ( 九= 1 ) 。 从方程( 2 4 5 ) 出发，我们直接得到在x x 模型下的保真度为 f = 三+ 去( 删n 轮件脚n 州s i n 研， ( 2 - 4 8 ) 这里， 拍= 七( m 一七+ 1 ) + ( 忌+ 1 ) ( m 一尼) ， 住= j | 2 ( m 一惫+ 1 ) 一 ( 竞+ 1 ) ( 膨一觅) 最佳的保真度仅能在肘= 2 时能够实现，当膨 2 时，从表2 1 中我们可以 看出，系统所能达到保真度可以非常的接近于最佳值。 对于h e i s e n b e 略模型，保真度则在没有磁场的情况下达到最大，此时演化 时间为f = 南。计算得到的最大值如下 f = 主+ 志一篇替 弘4 9 ， 显然，当外围粒子的初态选取为l s ( m ，m ) ) 或l s ( 肘，o ) ) 时，保真度达到最 大( 但不能达到最佳克隆的值) 。 第2 章量子自旋网络及其应用 m乎o p t i 似 莎螂 j lb | ii j 5 ： 2 o 8 5 3 5 5 3o 8 5 3 5 5 33 3 3 2 1 6o 4 71 4 0 50 3 o 8 3 3 3 3 30 8 3 3 31 92 5 2 1 1 3o 0 3 11 5 2 61 4o 8 0 6 1 8 6 0 8 0 6 1 3l1 0 8 3 7 5o o1 4 4 9 4 0l 50 8 0 。7 9 9 6 4 2 2 7 7 5 0 7o 0 5 6 6 0 3 82 6o 7 8 8 6 7 50 7 8 8 51 02 8 6 。1 2 70 。0 2 7 4 4 9 32 70 7 8 5 71 4o 7 8 5 6 1 73 7 3 0 6 4o 0 4 21 0 5 33 80 7 7 9 5 0 80 7 7 9 2 4 42 0 7 2 3 2o 0 7 5 7 9 8 93 表2 1在x x 模型下1 _ 肘所能达到的最大值罗赢。玩蛔。f 则是理论上能达 到的1 _ mp c c 最佳值。第4 和5 列表示对应的演化时间和外磁场强 度。外围粒子的初态则选取为s ( 肘，七) 。参数的计算区间我们限制在口， f o o l ，l 】和五【o ，3 0 0 】。 初态选取为直积态i s ( 肘，m ) ) 显然，直积态i s ( m ，m ) ) ( j 0 0 o ) ) 在实验上是比较容易制备的。这时方 程( 2 4 5 ) 化为 ，= 三+ 螋掣等慧产 一型i 丝! ! 咝堡丝些! 塑尘少 ( 2 - 5 0 ) 2 、7 4 l j r + ( m 一1 ) 2 九2 、 经过一些简单