（运筹学与控制论专业论文）非完整链系统的反馈镇定问题.pdf

摘要 本文主要研究非完整链系统的反馈镇定问题第一部分考虑的模型为带有 模型误差的高阶非完整链系统，我们运用加幂积分器、s t a t e s c a l i n g 技巧以及 基于b a c k _ s t e p p i n g 方法构造出不连续反馈律，从而使得所讨论系统的闭环系统 的平凡解全局强稳定；第二部分考虑的模型为带有模型误差的不确定高阶非完 整链系统，这一部分我们运用i n p u t s t a t es c a l i n g 和i n t e g r a t o r b a c k s t 印p i n g 方法 构造出不连续反馈律，并给出切换策略，使得所对应的闭环系统全局瓦一指数 稳定；第三部分考虑的系统是形式更为一般的且带有特殊形式漂移项的幂链系 统，利用l y a p u n o v 函数方法，设计出时变反馈律，从而使得相应的闭环系统p - 指数稳定 关键词t 非完整系统，l y a p u n o v 函数，强稳定性，咒一指数稳定，齐次向 量场，扩张，户指数稳定 a b s t r a c t l nl 1 l i sp a p e rw ep r e 8 e n tt h es t a b n i z a t i o no fn o n h o l o n o m l cc h a l n e ds y 8 t 咖s f i r 8 t ， w ec o n s i d e rn o n h o l o n o m i cc h a j n e ds y s t e m sw i t hm o d e l i n ge r r o r ，i nt 1 1 i 88 e c t i o n l b a 8 e do n b a c k - s t e p p i n g ，u s i n gt h e 阶c a l l e da d d i n gai n t e g r a t o r ，s t a t e - 8 c a l i n gt e c h n i q u e ，w ed e s i g n d i 8 c o n t i n u o u sf e e d b a c kl a w s u c ht h a tt h et r i v a ls o l u t i o no ft h ec l o s e d 一1 0 0 ps y s t e n l 8g l o b a l s t r o n g8 t a b l e ；s e c o n d ，w ec o i l s i d e rh 培h o r d e rn o n h o l o n o m i cc h a i n e d $ ”t e i i l 8w 扎hm 。d e l i n g e r r o r sa n de ( t e r n a ld i s t u r b a n c e 8 ，i nt h i 8s e c t l o n ，u 8 i n gi n p u t s t a t e _ s c a l l n ga n di n t e g r a t o r b a c k 8 t e p p i n gm e t h o d 8 ，w ed e s i g i ld i s c o n t i n u o l l sf e e d b a c kl a wa n dg i v eo u tt h es w i t c h i n g s t r a t e g y ，s u c ht h a t 比ec 1 0 8 e d 1 0 0 ps y s t e m sg l o b a l 尼一e x p o n e n t 瑚s t a b l e ； f i n a l l y w e c o n s m e rac l a s 8o fm o r eg e n e r a lp o w e rc h a j n e if o r ms y s t e r n sw i t hp a r t i c u l a rd r i f t t e r m 8 ， i nt h i f ；s e c t i o n ，1 1 8 i n gi 。y a p u n o vn l e t h o d ，w ed e s i g nt i m e _ v 耵y i n gf e e d b a c kl a w ，8 1 l c h 幽a t t h ec 1 0 8 e d l o o ps y s t e m sp e x p o n e n t i a ls t a b l e k e y ，0 r d s ：n o n h o l o n o m i cs y 8 t e m s ； e x p o i l c i l t i a ls t a ) 1 e ； l l o m o g e l l e o u sv e c t o r6 e l d 2 l y a p u n o vh l n c t i o n ；g l o b a ls t r o n gs t a b l e ；k d i l a 七i o i l ；p e x p o n e n t i a ls t a b l e 引言 非完整系统源于古典力学，它指得是具有如下形式的线性不可积约束条件 的拉格朗日系统 j t ( z ) 童= 0( 0 1 ) 其中户( z ) 为n m m ) 满秩矩阵 根据古典力学中的专业术语，非完整控制模型可分为动态模型和动力学模 型而动态形式的非完整控制系统的一般形式为无漂移项的非线性控制系统： 圣= 9 1 ( 。) l + - + 9 h ( z ) “m ( 0 ，2 ) 其中，2 茎m n ，z = ( z ，z 。) 为定义在r ”中一开集上的状态向量，待 1 ，2 ，m 为控制输入变量，9 。i = 1 ，2 ，m 是特定的向量场，它们可以看作 是在每一点。处，线性速度约束形式户( z 净= o 的核空间的基底 为了确保由( o 2 ) 式给出的约束不可积，一个技术性但却十分必要的假设 是【3 2 ：由9 1 ，m ，鲕的迭代l i e - 括号产生的能控性l i e - 代数的秩为n 其中， 两个向量场m ，船的l i e 一括号为一个新的向量场： 咖。= ( 警9 1 _ 磐g 。) ( z ) 在上述假设条件下，( o 2 ) 称为完全非完整的 该模型之所以称为动态模型是因为，古典力学的实际应用中，其控制是典 型的速度变量由于迭代l i e - 括号的生成性质，我们不但能够辨别非完整系 统，也可以根据它们的非完整度以及增长向量来对非完整控制系统进行分类 ( 文献 近年来，非完整系统的反馈设计问题倍受关注并且已成为非线性控制领域 中的一个热门课题原因有三： 1 从实际出发，客观世界中以及我们的日常生活中经常能看到非完整力学系统 的原型，例如： m o b i lm b o t s ，c a r l i k ev e h i c l e ，u n d e r - t u a t e ds a t e l l i t e s ，t h ek 1 1 i f e e d g e 等等，都能描述为非完整控制系统 2 非完整控制系统是一类典型的非线性系统，一阶近似或反馈线性化方法对 这类系统不适用，所以需要“纯非线性”分析综合方法论 3 理论上，b r o c k e t t 和k r “n o s e l s l 【i i z a b r e i l 【0 指出，非完整控制系统，即便是完 全能控，也不能由任何的时不变连续状态反馈镇定 为了解决其镇定问题，已有文献中，所列举的方法可以分为以下三类： ( 1 ) 不连续时不变控制律 2 8 1 ， 3 0 】， 3 1 1 ； ( 2 ) 时变控制律 12 】， 2 4 j ， 2 5 】； ( 3 ) 混合控制律 2 6 】， 2 9 在许多应用中，非完整控制系统具有能够辨知的特殊形式，或者可以转化 为这种特殊形式一类特殊形式的非完整控制系统由下式给出： lj = 亟( z ，) 吼 妒蓑，z ，。 旧3 其中，m 之2 ，= ( 1 ，9 2 ，) 7 为基向量，z = ( 轧勿，一。) 7 为纤维变量， 啦，扣1 ，2 ，m 为控制输入，蠡( z ，) ，扭l ，2 ，m 为特定向量场 ( o 3 ) 中向量场具有特殊形式时，例如，向量场轧一，如只依赖于基向量”、 而不依赖于纤维变量z 的时候，( o 3 ) 就称为恰普雷金动态形式 对于m = 2 的情形，链系统 z 1 = l 耽 0 2 = 9 1 钝= 施啦 z n m2 备l _ m _ 1 2 可1 = 私1 耽= “2 和幂形式系统( 恰普雷金形式的一种特殊情况) 0 1 = 1 2 未2 = 雪2 ( 0 5 ) 矗= t 击而孵一口2 笋1 = 钍l 妇= “2 均是完全非完整系统 由于非完整链系统是非完整系统的一种，许多带有非完整速度约束的力学 系统，通过坐标变换或是状态反馈变换都能全局( 局部) 地转化为链系统卧 3 3 】 所以链系统可以用来表示一大类力学系统，( 所熟知的重要例子有：u n i c y c l m ， f o u r - w h e e l e dc a r s ，蚰dn t r a i l e r8 y 8 t e m 8 ) m u r r a y 和s a s t r y 1 】，b u s h n e l l e ta l 2 】分别给 出了m = 2 及m 2 时，系统( o 2 ) 能够通过状态或是控制变换，转换为链形式 系统的充分条件；w a l s h 和b u s h n e l l 3 得到了m22 时系统( o 2 ) 能够转换为幂 形式的充分条件； 4 ，5 ，6 ，7 利用外微分系统技术，给出了转换为链形式或幂形 式的充分必要条件和具体方法 本文主要讨论了以下几类非完整链系统的反馈镇定问题： 本文第一章，考虑了如下形式的带有模型误差的高阶非完整链系统： 士o = d 0 ( t ) 曙 商= 画( t ) 壤l n ( o 6 ) 礼= d 。( ) “ ” 其中z = ，$ 。) 7 r n + 1 为系统状态，“= ( “。) 7 r 2 是控制输入， 鼽0 = o ，1 ，一，n ) 和鳜( 女= 1 ，n 一1 ) 为正整数，也( ) ( 江o ，n ) 为时间的g o 函数，表示未知的模型误差 这一部分主要解决了系统( o 6 ) 在一定假设前提下，设计出不连续静态反 馈控制律“= n ( z ) ，使得相应闭环系统的平衡点z = o 全局强稳定 3 注1 1 当d 。( t ) = 1 ，( 江o ：1 ，n ) 时，上述系统即退化为【8 所讨论的形式 有关假设条件及主要结论如下： 假设1 1n21 为奇数，待o ，1 ，n 吼l 为整数，女= 1 ，n 一1 假设1 2 也( t ) o ，v o 且满足 勰暖，其中d i 为已知常数江o ，l ，仉j = o 1 ，n 注1 2 不同于其它文献，这里我们并不要求d f ( t ) 有界 在上述两个假设的基础上得到了如下结论： 定理1 1 存在形如“o = 嘶) ，“，= 知。，) 的状态反馈控制律，使得系 统( o 6 ) 所对应的闭环系统的平凡解z = o 全局强稳定 本文第二章，考虑了如下形式的带有模型误差和外部干扰的高阶非完整系 统： o = d o ( t ) t 妒+ 捌( ，z o ) 圣i = 吐( t ) 5 哇 1 3 + d ；( t ) 。件l p 札孑+ 彰0 ，茁o ，z ，t 蛔) ( o 7 ) 峦。= 如( ) “争+ ：0 ，。o ，。，t e o ) 其中z = ( z o ，趴，z 。) 7 舒+ 1 为系统状态，“= ( “1 ) 7 群是控制输入 n ( 江o ，1 ，n ) 和( k = 1 ，一，n 一1 ) 为正整数，m 。由下式确定： r t = 吼+ n r t + hn i = 0 ，m z = n r t + 1 也( t ) 0 = o ，n ) 为时间t 的e o 函数，表示未知的时间参数础( ，跏) ，鲥( ，o ，z ，“o ) 表示可能含有漂移项的系统误差 注2 1 当鼽= 1 ，吼= 1 时，该系统即退化为【1 7 m9 所讨论的模型 这一部分主要解决了系统( o 7 ) 在一定假设前提下，设计出不连续反馈控 制律，使得相应的闭环系统全局肛指数稳定 有关假设条件及主要结论如下： 假设2 1a 1 为奇数，江o ，l ，n 虬l 为整数，女= l ，n 一1 假设2 2 存在正常数嘞使得： q ls 吐( t ) 茎q 2 假设2 3 对o i 存在一个已知的光滑非负函数他，满足下列不等式 i 硝( ，z o ) i 妒o ( z o ) l ? ( ，z o ，z ，“o ) i i ( 茁l ，- ，z ；) j 也( 茁l ，- ，z i ，“o ) v ( t ，卫o ，z ，钍o ) r 斗r r “r 假设2 4 ( t ) 满足下列条件 u 。( t ) o ，o ，i 寒i 墨壬。( z 。) 其中，氐( ) 为已知的连续函数 在上述四个假设的基础上得到了如下结论： 定理2 1 系统( o 7 ) 可全局一指数镇定 本文的第三部分，考虑了如下形式更为一般的且带有特殊漂移项的幂链系 统： 峦1 = 1 + n 1 9 ( 茁) i 2 = 地+ n z 2 口 ( z ) ( o 8 ) ii ；一南谚”t + n ( 仇 其中( z t ，z z ，z 。) 7 r “为系统状态 3 ，4 ，n 为正整数，n o 为常数且 1 ) z 羽 扛) ，i = 3 ，4 ，一，n 叭， 2 为两个控制输入，a 2 ，i ，、z i 。+ 叠南z 产。1 谚“ q 1 ( z ) = j 甍三二- = 芏= - i ( 石i 十石十z _ 1 + -+ z 舻1 1 ) 1 一 c 为偶整除p 3 1 ，p 4 1 ，一1 的最小正整数 在这一部分，我们设计出时变反馈律，p 指数镇定上述系统 所得结论为t 定理3 1 系统( o 8 ) 可被p 指数镇定 第一章含有模型误差的高阶非完整系统的全局强镇定 本章讨论了一类含有模型误差的高阶非完整链系统的可全局强镇定性，运 用加幂积分器的方法，s t a t e - s c 出i n g 技巧构造出了一个不连续的反馈律，解决 了所讨论系统的镇定性问题 51 1问题的描述、有关定义与主要结论 这一部分我们引入相关的定义及有关假设条件，并给出本章的主要结果 定义1 1 【q 考虑非线性系统： 童= ，o ，z )t r ，z r “ ( 1 1 ) 其中，：r r ，一r n 为( ，。) 的连续函数，且，( t ，o ) = o ，v r 称系统( 1 1 ) 的平凡解。= o 是全局强稳定的，如果存在两个函数b ：( o ，o 。) 一( o ，。) 和 t ：( o ，o 。) ( o ，o 。) 一( o ，o 。) ，b 单调增加且慨b ( s ) = o 使得：垤 o ，对于( 1 1 ) 的 所有定义在i o ，t ，) ，o ， 1 时，z ；一珊( t ) = z j p 0 ( 如) + 盛( p n 一1 ) d 0 0 ) d 5 即得结论成立 口 证明定理l - 1 当z o ( t o ) o 时，由引理1 2 可得跏( ) ov 如作变换： 其中 取 铀2 动2 势，2 争 r l = 口l + p l r 2 r 2 = 啦+ p 2 r 3 r n 一12 一l 十m l r 札= o u 0 2 一= 一如 在变换( 1 4 ) 一( 15 ) 下，系统( 1 2 ) 将转化为 ( 14 ) ( 15 ) ( 1 6 ) 0 0 = 一d 0 ( ) 。驴 毛= ( 一1 ) “d 。( t ) 撰l + r ：d n ( t ) 。瑶。一1( 1 7 ) 磊= d 。( ) “p 选取，z ) = ；( n 罐+ z ) ，且沿着( 翔，z ，) 一子系统求导可得 h ( 知，名1 ) = 几缅痂+ 0 1 矗 = n 翔( 一d o ( ) 帮) + z l ( 1 ) m d l ( t ) 霉1 + r l d 0 ( ) z 1 茹”1 】 = 一n d 0 ( ) 瑶0 + 1 一n d l ( ) z + ( 一1 ) 叮1 d 1 ( ) z l ( 巷1 + ( 一1 ) a ，n 动+ ( 一礼d o ( ) 帮+ 1 一n d l ( 亡) z + ( 一1 ) 叮1 d l ) z 1 【霹1 + ( 一1 ) 叽n z l 十( = 一n d o ( ) 霄+ 1 一n d l ( ) z + ( 一1 ) o d l 0 ) z 1 【碹1 一墨“】 其中虚拟a o 控制 芝( 翔，卸) = ( 一1 ) o + 1 f 卸( n + n 嘏背一1 ) 】者 8 所以 畦( z o ，z 1 ) 5 一n d o ( t ) 帮”一n d l ( t ) z ：十d l ( t ) l 。1 ( 甾1 一荔9 1 ) 假设第女一1 步，存在c 1 的l n 舭n 函数k “虚拟控制z ；，z ：，使得 k l ( 为，。l ，一，一1 ) 一( n 一七+ 2 ) ( 幽( ) 右+ 1 + d 1 ( t ) 许+ - - + d 一1 0 ) 靠1 ) + d k 一1 ( ) l ：一：19 。2 ( 一# ：9 1 ) 其中： f 1 = 句一z ： = z ；1 一z 靠= 磊”“1 2 1 “1 岔= 0 谬1 = ( 一1 ) 9 l + 1 1 风( 孙# 1 ) # 1 “= ( 一1 ) 。k 一+ 1 靠一1 风一l ( 翔，z l ，一，讯1 ) 风( ) 0 下面证明第步也成立 考虑k = k 一1 + ( 问，“) ，其中 眠2 p m 一矿”1 ) 2 赤i d s 则 坛娘- + 尝针篆等南 又由 1o 】，【1 1 i ，由上述定义的k 是正定的，径向无界的g 1 函数，且满足 鬻= 南 篱= 一( 2 一而蠹) 竿蜷( 一一，一矿m 1 ) 1 - d 函出，f = o ，1 ，一1 9 ( 18 ) 所以 仇茎一( n 一七+ 2 ) ( d 0 ( ) 瑶。+ 1 + d 1 ( ) 艚+ + 以一1 ( 亡) 器一1 ) + d k 一1 ( t ) j 一，”2 ( 。一1 一帮“) l + ( 一1 ) 吲t ( t ) 蠢一矛b 。群。+ 删。( ) 讯宵一1 蠢一矿b + 蒙鬻南 f 19 1 下面逐项估计不等式( 1 9 ) 的右端各项 d 。( t ) 藤事( 一一帮一) 出一，( t ) i 蠢：，弓面1 2 l 一玎j ；函i t 。，t 一”，t ，i i 七 薹羹茬磐喜毫。一心。蚓 = 3 苒i ：? ；i i j 一1j f ：；i i ；i i | | ：i 云i 1 2 1 一五= 专芒i 3 2 嚣下士面+ 1 d k l ( ) s 【( 1 一再五专五) 2 - 十面靠赣2 ”a 一。一1 妒1 m 一。一；】矾一( t ) j 也一l ( t ) 靠一l + 以( t ) 酲m d 0 ( ) 帮蠢一刑吾 l 一五7 蠹了i 1 f + ( 一1 ) “。+ 矗一，卢( ) l 石七“d o ( t ) 。酽- 蚶一而( 蚓而慨褂) i ? ， f 1 ) = “d 0 ( ) 。驴_ 1 酲+ 7 d o ( ) 疗 1 i 觑一1 ( ) l 万：；i l l 缸一1 l 开。i i l i 靠l ”再百i d 0 ( t ) 霄一1 酲+ d 一，( t ) 【- i 专五2 一，+ ( n 一。帮一1 卢( ) 万 鬲) 袁! 蓑! 专翅 s 矾一l ( ) 赣一，+ 出( t ) 酲风( ) 其中 风( ) ：兹一( r 嘏一。带一t 觑一。( _ ) 万去了】袁譬芸寺+ “嘏宵一 o 又由 8 】 i 鬻f 俐驾忙o ，1 ， 弓l 理1 3 i ! ! z ；= 三i l 曼( d 。o ) l l i + + d k o ) l 矗 ) g ( 孙， 证明( 数学归纳法) 女= 2 时“= 1 ) 1 0 ( 1 1 2 ) ( 4 ) 杰 1 矗1 = i ! ! ；鲁址( ( 一1 ) 。、d t ( ) 芝1 + r d 。( t ) 。t 。驴一1 ) l 茎l ! ! g 磬垃j ( d 1 ( t ) l f 2 + ( 一1 ) “+ 1 卢，( ) i + n d o ( t ) 帮1 l f - 1 sd ，( t ) i 掣倒+ 掣( ) 肌) + n d 。( t ) 霄。) ( 11 3 ) d 2 ( t ) d ；j 盐接nj i 如l + d 1 ( ) i 堡貉nj ( 侥( ) + n 田帮_ 1 ) f - i s ( d 1 ( t ) 酬+ d 2 ( ) 黾i ) g ，l ( 匈，z 1 ) 其中 锄( 捌钢掣掣惭) + r 艚1 假设：m 一1 时( f _ 1 ，m 一2 ) ，存在“j ( 知，一1 ) o 使得： i 骂 刮 o 所以 ，7 + mp l f = 南( ( f l o ) f l f 十，+ d m ( f ) f 岛f ) 1 ( 铀，) 其中 ，j ( 询，一，) = 0 ( ) 十。m 一1 ，f ( ) 三。 综上可得引理1 3 结论成立 由( 1 1 2 ) 及引理1 3 可得： j 蕃酱白i 。撼 善i 乌剖o o l k l 茎悟舳( 驯钊+ - 叶础) 蚓) 詈( ) ( 1 1 5 ) 生盟壁兰专咝十出( ) 靠厩( ) 其中 融( ) o 又知 酱而i 。恢生等t ) 。引 篇黧意释慧! ，南 茎d o ( ) 芎“十毗( t ) 赣d 2 n 守川l 竺。5 ；_ 二l “+ 1 露“；i 备 = d 0 ( t ) z 酽+ 1 + 以( t ) 醺m ( ) 把( 1 1 0 ) 一( 11 6 ) 代入( 1 9 ) 可得 k 一m 一七十1 ) ( d 0 ( t ) 帮+ 1 + d 1 ( t ) 髫+ - + 以一l ( ) 酲一1 ) + d 七( z ) ( 以+ m ( ) + 风( ) + 瓜( ) ) + ( 一1 ) 礼矾( ) 颤p 1 h 1 嚣1 = 一( n 一七+ 1 ) ( d 。o ) 。驴+ 1 + d l ( f ) 爵+ + d k ( ) 赣) + ( 一1 ) 瓠d k ( t ) n _ 1 ( z 怨1 一。蕊) s 一( 礼一七+ 1 ) ( d 0 0 ) 右+ 1 + d 0 ) g + t + d k ( ) 醺) + d k ( ) j n “一1 ( z 怨。一登) l ， ( 11 7 ) 其中j 菇+ 12 ( 一1 严“ ( 帮“。p “) 仇( ) 才瓦= ( 一1 ) 1 风( ) 】i l 凤( ) = ( n 一+ 1 + m + 凤( - ) + 风( ) 十m ( ) ) ”m 综上可得( 11 7 ) 式当女= n 时成立，即 取 则 吃s 一( d 0 ( t ) 疗+ 1 + d ，( ) 等+ + 矗( t ) 簖) + d n ( t ) l 耋一万去i ( 耀罩，。器) “，= + ，= 。鼻，= ( 一1 ) ”+ t ( 矗风( ) ) d ( 1 1 8 ) 亿s 一( d o ( ) 布+ 1 + d 1 ( ) g + - - - + 如0 ) 靠) = 一d o ( ) 错。“一d ( ) ： 一d 2 ( t ) ( 豸1 一。；9 1 ) 2 一如( ) ( 壤- ”n 一，一。? 耻r ) z o 为设计参数，则同文献 17 】有下面结论： 引理2 1 o ，v 黝( 如) r ，v f2 o ，解( t ) 存在，且。里乳。n ( t ) 。o ( o ) o ，则z o ( ) o ，忱t o 下面考虑( 2 1 ) 的z 一子系统 圣l = d 1 0 ) 递1 仳分+ d l ) p l z 2 孑1 + 曲 0 ，茁o ，t ，o ) f 2 2 1 o 此外，如果 圣。一1 = d 。一1 ( t ) 茁旁一1 “争一1 + 如一l ( ) p 。一l z 。t 孑“一1 + 醒一1 ，z o ，z ，u o ) 。= 如0 ) t p + ：0 ，z o ，z ，“o ) 对上述系统再作如下假设 假设2 4u o ( t ) 满足下列条件 “。( t ) o ，v t 独i 嚣i s 壬。( 。) 1 5 r 2 3 1 其中，如( z o ) 为已知的连续函数 注2 j 二面假设暗示了( t ) o ，v o 在上述各假设条件下，对系统( 2 3 ) 作如下变换 翻2 静，2 争 其中 n = 啦十n 7 冲l ，= 0 则系统( 2 3 ) 在上述变换下变换为： 宣2 哦o ) ( 2 肄l + a 盈+ t ) 一n 磊器+ 寿( ，z 。，。，“。) ：= 也( ) ( 壤1 + a 盈+ 1 ) + 垂? ( t ，。o ，z ，仳o ) ， 厶= 厶( ) “+ 圣：( t ，z o ，z ，u o ) 引理2 2 对1 t n ，存在光滑非负函数或，使得 ( 2 4 ) 垂? ( t z o ，。，u o ) i 茎i ( z l ，一，盈) i 壬。( z o ，= l ，蕊，乱o ) 考虑 子系统 j l = d l ( t ) 碍1 + 虫? ( t ，z o ，。，“o ) 视砘为虚拟控制输入，设f - = 帮+ p 晌，选取k = j 髫则 让= 。岛 = l ( p o + p o 帮1 ) d l ( t ) ( 2 ；1 + p 1 砘) + 西 ( ，z o ，z ，仳o ) s0 ，o + p o # f 。一1 ) d l ( t ) l ( 。9 1 十p l 施) + 妒l ( z o ，z l ，札o ) 其中，_ p 1 ( 钆“o ) = p o 画1 为非负光滑函数 所以，若选取 。 1 _ 丽素p ( 呐一去，妒，( 钆“。) )p 0 + p 0 硝o n 。、“ f 2 = 。；1 一o 1 十p l 却 1 6 则有 优茎一a 1 d 1 ( t ) f ；+ d 1 ( ) ( p o + p o 。f 。一1 ) f l f 2 第步( 2 i 茎n 1 ) 归纳法： 假设在第i 一1 步，我们已经得到( ，气一t ) 一子系统的虚拟控制函数“一和 三g 删n 。”函数k 一，= 蔓j g 满足： 其中 薹( 出( t ) 一 + 1 + j ) g + 吐一- ( t ) ( 肌一。+ n 一。器”1 ) 6 一矗 6 = 。? 卜1 一n 邑1 ( z o ，z l ，毛一1 ) 十鼽一l 并且假定叱一。为光滑函数且满足 幽1 ( z o ，0 ，一，o ) = o ，比o r 从而，等( o ，o ) = o ， 比o r 下面来考虑( 钆，南) 一子系统，考虑待定l 叩“n w 函数k = k 一，+ 毋，则 玩= 优一。+ 矗邑 一甚( a ，呜( ) 一i 十1 十j ) g + d 一1 ( ) ( a 一2 + 肌一2 芝j 21 ) 61 已 + 6 【( p 卜l + 鼽一1 芎卜1 _ 1 ) ( 哦o ) ( 。拜1 + 仇磊+ 1 ) + ? ) ) 一p ；一1r ，离1 1 ( 型蠹 ( d o ( ) t 培。 慨州( 。) ) ) + 蔓1 ( ( 臻t + n 神) + 凹( 咿，“。) ) ) = 一墓( 由o ) 一i 十1 十j ) 学+ 6 ( a l 十肌一l 孝一l 一1 ) 也( ) ( 辑1 + a 施+ 1 ) + i ( ) 其中 。( t ) = 哦一1 ( ) 如。一2 十肪一2 = 2 1 ) 矗一1 6 + 6 ( nl + 肌1 薯1 1 1 ) 中? 同f 1 9 】可得 一胁- 啦! 。( i 静( d 0 ( ) u 酽+ 。州( ，z 。) ) + 薹等( ( 缮+ p j 铀) 十壬弛训0 ) ) ) 1 7 # o o 妒等g 埘 o 为设计参数 则 t 一妻( 吨( t ) 一 + ) g + 吨( t ) ( 胁一- 十鼽一，芎“一1 心6 + - 由嘶的构造即知a ；为光滑函数且具有性质： q ；( 跏，o ，一，0 ) = 0 ，v z o r 第n 步：考虑整个( 钆，) 一系统，设计实际控制输入虬前面我们已经得到 虚拟控制函数n 。和待定l y a p u n o v 函数k 一，下面考虑函数 忙+ ；赣 又知 矗= z 一a 罂? ( 舶，z 1 ，一，一1 ) + 一1 且“一及k 一1 满足 n n 一1 ( o ，o ，一，o ) = 0 ，v z o r n 1 一ls e ( a j 吨( ) 一n 十1 + j ) g + d n 一1 ( t ) 伽。一2 + 一2 彳- 1 ) 靠一1 矗 1 8 所以 k = k l + 岛靠 茎一基( a ，矾( t ) 一 + 1 + j ) g + d 。一1 ( t ) ( p 。一2 + p ，卜2 舞j 21 ) 。一l 。 茎一e ( a ，矾( t ) 一 + 1 + j ) g + d n 一1 ( t ) ( p n 一2 + p t 卜2 2 亲彳1 ) n l n + 矗【( 一。+ z ) n 一1 z - 一1 ) ( d 。0 ) 婶+ 西：) m t 怕1 1 ( 等哪) 瞎十蓦等( 俐承- + 蝴1 ) + 驯 = 一蔓( ) 一n + 1 删g 地( f ) 嘛。m 矿1 。时+ 划。) 其中 。( ) = d ”l ( ) 0 。一2 + p n 一2 z = f 叫) 厶一1 靠+ 岛【( 一l + p n l 铭川一1 ) 嘭( ，z o ，z t o ) 一p n 一a o j l _ 1 ( ! ； ( d 0 ( ) 碥。+ 跏媚( t ，z o ) ) ) + 7 基锷擎( d j ( ) ( 臻。+ 功勺+ 1 ) + 垂 ( t ，蛳z ，“。) ) 】 ，= l 。 同前，存在非负光滑函数妒。使得： n 一1 i 。i s g + 姥妒。( z o ，钆一，) j 2 l 所以 吒一堇( 以( t ) 一n + j ) g + 如( f ) ( p 几，+ 一，礞一1 ) 岛“7 ”+ 器妒t t ( z n ，。”。，) 故若选取 嵋“= 二= 再兰f ( 一a n 矗一击n 妒n ( z 。，z ，。，) ) ( 2 6 即得 吃一曼( 吗( ) a ，一n + j ) g ( 2 7 ) 定理2 1 在假设2 1 一假设2 4 成立的条件下，如果 a = m i n a j c j l 一忆+ j lj = 1 ，2 ，一，n ) o 则控制律( 2 6 ) 可使得n 子系统相应的闭环系统全局肛指数稳定 证明由( 2 7 ) 得 讫一2 a k 1 9 所以 i ( t ) i l ( 0 ) ie “。，t o 其中 = ( f 。，岛，。) 7 由【19 可得 i # ( ) l 1 ( 1 ( 跏( o ) ) ，( o ) ，“o ( o ) 1 ) e 。，o 其中，e o ，z = ( 钆，) ，7 为肛函数故由( 2 4 ) 式可得结论成立。 注2 2 前面我们的讨论都是在。( o ) o 的前提下进行的 下面我们来讨论当z o ( o ) = o 时的情形一般地，当z o ( o ) 一o ，。( o ) o 时，先 利用不等于零的常数反馈“o = “；及相应的反馈律“，使得状态z o 在一小时 间段【o ，t 一内远离零点，其中k 只与初始点有关，然后再切换到指数镇定器 但是，由于非线性不确定项删的存在，又可能导致系统的一些解在切换时刻 “之前趋于无穷，为了避免这种情况发生，我们采取同 17 的切换策略 定理2 2 设 ( 1 ) 卢，6 ，h ，e 和a 。( 1 冬isn ) 为严格大于零的常数且 a = i n i n 勺l n + j ij = 1 2 ，一，n o ； ( 2 ) 乃由下式定义 ( 8 ) _ ，鞠 c + 如( 7 ) ) 它是 o ，+ o 。) 上的连续不减函数； ( 3 ) r = ( o ，z ) ：i 石i o ； 则下面给出的不连续反馈律全局丘指数镇定不确定系统( 2 1 ) i ) 当( z o ( o ) ，z ( o ) ) = ( o ，z ( o ) ) r 时，选取 。即) ： 肛跏， k 圳训引) ( 2 8 ) l 一( o + 啬) z o ， t 2 以( iz ( o ) i ) 其中， 州。川= m i n 协獗南扣( 0 ) 婚 吼当( z 。( o ) ，z ( o ) ) = ( o ，o ) 时，选取 t o = 0 l = u 祝) 当( 。o ( o ) ，z ( o ) ) 乏ru ( o ，o ) 时，选取 “酽( ) = 一( a o + 舞) z o 竹2 孟= i l i f = 一( 一 ，z 矗一击矗妒n ( 。，z ，一，) ) 在证明定理22 之前，先介绍下面类似于【1 7 的个引理： 引理2 3 考虑不确定微分方程 圣o = d o ( t ) “| ；d + 。o 咖8 0 ，z o ) ，z o 兄，。o ( o ) = o 如果 i ：( t ，茁o ) ，z oi 妒o ( z o ) ，o o ；茁o ( t ) o ， t o 其中卢 o 定理22 的证明： 由前面分析及定理2 1 的结果： 首先，对 以引z ( o ) 1 ) = m i n 只需证明当( z o ( o ) ，z ( o ) ) r 的情形 菰丽( o 2 眺( c 口iz ( o ) i ) “、。 2 1 ( 29 ) f 2 1 0 ) f 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 有 t t p 0 = 声一z o 等口一l 蛳i 舞 卢一c o 。刚l 。( o ) | ) 址噤业 兰一c 0 。卢蕊赢粝丽业咯拙 = ； t 。( 1z ( o ) 1 )2。s 、i4 。、“jl ， 接下来，由引理2 3 知，如( f 。) o ，因此当t t 。( iz ( o ) 1 ) 时，选取t 。g 。( t ) = 口鲁抽 当如( 1z ( o ) f ) 时，再切换至蚶( ) = 一( a 。+ 等) 弧 为了应用定理2 1 所得的控制器需证明存在已知连续函数妒。( z 。) 满足： i 寒i 伽( 黝) ， 圳。( 引) 因为 p 0 “ ；o - 1 硒一( 未州砌+ 去z 。如( 跏) ) ( d o ( t ) 曙+ z 。鲥) 故可得 赛一未( 嘉撕) + 扣舭) ) ( d o ( 咖。+ 警) 所以 i 舞i 击( c m + 型掣) ( 者如( z 。) + 西击( z 8 + 孑( z 。) ) ) = 妒o ( z o ) 其中伽( z o ) 为已知的连续函数综上， m ) l 咖劁酬) ， 。 o ，c 2 o ，使得 p ( z ( ) ) c 1 p ( 。( o ) ) e c 2 ，v o ，v 茁( o ) 矿 2 3 引理3 1 “】设x ( ，z ) 为零齐次向量场，则其一致渐近稳定性等价于全局p 指 数稳定 本章考虑如下形式更为一般的且带有特殊漂移项的幂链系统： 圣1 = u 1 + n z l q ( 茁) 2 = 砚十o z 2 q ( z ) ( 3 1 ) i 。= 面南孝 l + 。慨一1 ) 瓤g ( z ) ，待3 ，4 ，n 其中z = ( 钆，z 。) 7 r “为系统状态，地为两个控制输入，鼽 2 ，忙 3 ，4 ，n 为正整数，n o 为常数且 ，z ；。1 + 黑南矿。孝。2 q 1 ( z ) = 芝 二j _ ( z i + 5 + z 扩- 1 + - + 端”- 1 ) 1 一 c 为偶整除p a 一1 ，p a l ，m l 的最小正整数 所得结论为： 定理3 1系统( 3 1 ) 可被户指数镇定 3 2主要结论的证明 证明定理3 1系统( 3 1 ) 的一个扩张定义为 齐次模定义为 所以 茁= ( a z l ，a z 2 ，。x p 3 1 茁3 ，一， p ”一1 。n ) p ( z ) ：( z i + z ；+ 。萝j + + z 嘉巴7 ) j 虫铲= ( 。i + z ；+ z p + 十z 乒哥) j 一1 【c z _ 1 圣l + c _ 1 童2 + 面暑z 扩_ 11 圣3 + + 磊与z 乒五一1 圣。 2 p 1 。( z ) 盯1 ( ”+ n ) 十z 烈 。+ 口) + 南z 尸( 面 可。旷”l 十n ( 船一1 ) 砌) + 叶杀i z p _ 1 ( 面南z ，+ o 一1 ) 。旌( 圳 = p 1 。( z ) 盯1 + 妻丽与z f l 述1 】”t + p 1 一。( z ) z 如。 + p 1 一c ( z ) 。g ( z ) z i + 。q ( z ) z ；+ 。g ( z ) z 乒与+ + 。q ( z ) z 牙h 】 = m ( z ) l + 啦扛) 啦+ n q ( z ) p 扛) 其中q ( z )