（应用数学专业论文）非线性微分方程多解的存在性研究.pdf

摘要 本论文主要讨论了抽象空间微分方程多点边值问题正解及多个 正解的存在性，几类带导数项的脉冲微分方程多解的存在性，以及具 时滞泛函微分方程两点边值问题和脉冲泛函微分方程周期边值问题 正解及多个正解的存在性全文共分为五章 第一章简述了抽象空间微分方程边值问题、脉冲微分方程边值问 题与泛函微分方程( 周期) 边值问题的解及多解存在性的研究历史与 现状，以及本文的主要工作 第二章研究了两类抽象空间微分方程多点边值问题正解的存在 性在2 2 节，借助于严格集压缩不动点定理和非紧性测度理论，我 们证明了二阶微分方程m 点边值问题多个正解的存在性在2 3 节， 通过运用上下解、弱拓扑性质与辅助函数相结合的方法，得到了抽 象空间非线性项带一阶导数的二阶m 点边值问题三个正解的存在性 结果 第三章讨论了几类带一阶导数项的脉冲微分方程的多解存在性 在3 2 节，利用a v e r y 泛函不动点定理，获得了一类二阶脉冲微分方 程在无穷区间上三个正解的存在性结果在3 3 节，当非线性项满足 n a g u m o s 条件时，运用l e r a y s h a u d e r 度理论并结合上下解方法，得 到了二阶两点脉冲微分方程三个解的存在性结果在3 4 节，利用 m a w h i n 重合度理论和两对上下解方法，获得了二阶三点脉冲微分方 程在共振情形下至少存在三个及2 n 一1 个解的结果 第四章研究了一类具有时滞的二阶奇异微分方程边值问题的多 个正解的存在性在4 2 节，我们利用锥上不动点指数的不动点定理 和平移变换技巧，获得了二阶两点奇异时滞微分方程至少存在两个、 三个以及2 n + 1 个正解的结论，而且非线性项可以变号无下界 第五章研究了两类脉冲泛函微分方程周期边值问题的正解及多 个正解的存在性在5 2 节和5 3 节中，我们利用锥上的不动点定理， 分别获得了一阶和二阶脉冲泛函微分方程周期边值问题至少存在一 个正解及多个正解的新结果，所给的条件去掉了以往文献对非线性项 的单调性要求 关键词：抽象空间，边值问题，不动点定理，多解性，脉冲，泛 函微分方程 i i a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f p o s i t i v es o l u t i o n sf o rm u l t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na b s t r a c t s p a c e t h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rs o m ek i n d so fd if f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t hi m p u l s e s ，a n dt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v e s o l u t i o n sf o rs i n g u l a rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e l a ya n df o r p e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fi m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h et h e s i sc o n t a i n sf i v ec h a p t e r s 。 i n c h a p t e rl ，t h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r y o ft h e e x i s t e n c ea n d m u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni n a b s t r a c t s p a c e ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，a n d ( p e r i o d i c ) b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s o f f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r eb r i e f l ya d d r e s s e d a n dt h em a i nw o r k s o ft h et h e s i sa r eg i v e n c h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o nf o rt w ok i n d s o fm u l t i - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si na b s t r a c ts p a c e i ns e c t i o n2 2 ， b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fs t r i c t s e t c o n t r a c t i o n sa n dt h e o r yo f k u r a t o w s k im e a s u r e sn o n c o m p a c t n e s s ，w ep r o v et h ee x is t e n c et h e o r e m o fm u l t i p l i c i t yp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e rm p o i n tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s i ns e c t i o n2 3 ，b yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e r s o l u t i o n s c o u p l e d w i t ht h e p r o p e r t i e s o fw e a kt o p o l o g i c a la n dt h e m o d i f i e df u n c t i o n s w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v e s o l u t i o n sf o rs e c o n do r d e r m p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t h n o n l i n e a rt e r m sd e p e n d i n go nt h ef i r s td e r i v a t eo r d e ri na b s t r a c ts p a c e i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n sf o rs o m e k i n d so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o nt h a tt h e f i r s to r d e rd e r i v a t e a p p e a r si nt h en o n l i n e a rt e r m m a k i n gu s eo ft h ef u n c t i o n a l sf i x e dp o i n t t h e o r e mo f a v e r y , s e c t i o n3 2g i v e st h ee x i s t e n c eo f a tl e a s tt h r e ep o s i t i v e s o l u t i o n so fs e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi m p u l s e si ni n f i n t e i n t e r v a l s b ym e a n so ft h et h e o r e mo fl e r a y s c h a u d e rd e g r e ea n dt h e m e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，s e c t i o n3 3 i n v e s t i g a t e s t h e e x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e es o l u t i o n so fs e c o n do r d e rt w o p o i n tb o u n d a r y i i i v a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h e nt h en o n l i n e a r i t y s a t i s f i e st h en a g u m o sc o n d i t i o n i ns e c t i o n3 4 ，u s i n gt h et h e o r yo ft h e c o i n c i d e n c ed e g r e eo fm a w h i na n dt h em e t h o do ft h et w op a i r so fu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o n s ，t h ee x i s t e n c et h e o r e mo fa tl e a s tt h r e ea n d2 n 一1 s o l u t i o n sf o rt h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs e c o n d o r d e r i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o na tr e s o n a n c e i se s t a b l i s h e d c h a p t e r4e s t a b l i s h e st h ee x i s t e n c et h e o r e mo fm u l t i p l i c i t yp o s i t i v e s o l u t i o n so fs i n g u l a rs e c o n d o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h d e l a y i ns e c t i o n4 2 ，b ya p p l y i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e ma n dt h e c h a n g i n gt e c h n i q u eo ft r a n s l a t i o n ，w eo b t a i n t h ec o n d i t i o n sf o rt h e e x i s t e n c eo fa tl e a s tt w o ，t h r e ea n d2 n + lp o s i t i v es o l u t i o n sr e s p e c t i v e l y o fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rs e c o n do r d e rt w o p o i n ts i n g u l a rf u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hd e l a yt h a tt h en o n l i n e a r i t ym a yt a k en e g a t i v e v a l u ea n dh a sn ol o w e rb o u n d c h a p t e r5s t u d i e st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rt w o k i n d so fp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i ns e c t i o n5 2a n d5 3 ，b yu s i n gt h ef i x e dp o i n t t h e o r e mi nac o n e ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ea n dm u l t i p l e p o s i t i v es o l u t i o n so f f i r s t o r d e ra n ds e c o n d - o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n i np a r t i c u l a r , o u r r e s u l td o e sn o ta s s u m ea n ym o n o t o n i c i t yc o n d i t i o no nt h en o n l i n e a r i t y w h i c hi su s u a l l yn e g d e di nl i t e r a t u r e s k e yw o r d s ：a b s t r a c ts p a c e ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，f i x e d p o i n tt h e o r e m ，m u l t i p l i c i t y , i m p u l s i v e ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 储躲妞聊签稠够啤年野丛曰 中南大学博士学位论文第一章绪论 第一章绪论弗一早硒比 微分方程是随着微积分的产生而产生的，到了十八世纪中，由于伯努利兄弟、 欧拉( l e s n a re u l e r ) 、拉格朗日( j l ，l a g r a n g e ) 等的卓越工作，在一阶及高阶常微 分方程的求解上取得了重大进展，给出了各种解法，常微分方程成为一个新的数 学分支到十九世纪，数学分析中所产生的飞跃，为常微分方程初值问题的研究 奠定了基础上世纪中以来，由于b a n a c h 压缩原理的提出以及l e r a r y s c h a u d e r 拓扑学理论、临界点理论、半序方法和单调型映射理论等非线性泛函分析理论 1 ， 2 的不断完善和发展，极大的促进了常微分方程边值问题的研究其中传统的二 阶常微分方程边值问题( 如：d i r i c h l e t 问题、n e n m a n 问题、周期问题) 获得了 丰富的结果 由于实际问题不断涌现出大量的微分方程边值问题( 如：研究原子中的电动 势导出的二阶方程的奇异边值问题；研究弹性稳定型时会引出二阶方程多点边值 问题；研究非牛顿流体、多孔介质中气体的湍流出现的p l a p l a c e 方程；结合脉 冲效应弓 出的脉冲微分方程边值问题；研究系统发展受“历史”信息的约束而导 出的时滞微分方程边值问题及更一般的泛函微分方程边值问题等等) 这些新问 题亟待人们的深入研究，其中研究这些边值问题的解和正解的存在性具有重要的 理论意义和实际意义因此，近四十年来，国内外许多数学工作者使用非线性泛 函分析中的拓扑度方法、上下解、临界点理论等方法对非线性微分方程与泛函微 分方程边值问题的解和正解的存在性进行了研究有关这方面的研究文献很多， 得到的结果也很丰富下面，简单叙述与本文直接相关的几个问题的研究现状， 并结合介绍本文的主要工作 1 1b a n a c h 空间微分方程多点边值问题多个正解的存在性 b a n a c h 空间中的微分方程理论是微分方程理论的重要分支，是在上世纪六 七十年代发展起来的，它把常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函 分析方法研究b a n a c h 空间中的微分方程b a n a c h 空间中的微分方程理论在边值 问题、无穷常微分方程组、临界点理论、偏微分方程、不动点理论等多方面都有 广泛的应用。 设e 是b a n a c h 空间，j = 【t o ，t o + t 】( t 0 为一实数) ，f ：j xe e ，x o e 考察b a n a c h 空问上的常微分方程： 中南大学博士学位论文 第一章绪论 x 7 f ( t ，x ) ，x ( t o ) = x o ( 1 1 ) 在上世纪5 0 年代，人们发现许多重要的偏微分方程能够统一为无穷维b a n a c h 空间上的常微分方程初值问题( 1 1 ) 来研究这样b a n a e h 空间常微分方程引起 人们广泛的兴趣1 9 5 0 年，j d i e u d o n n e 举出反例( 见 4 ) ，说明有限维空间常 微分方程基本存在定n - - c a u c h y p e a n o 定理对无穷维空间上的常微分方程不 再成立此反例的发表是b a n a c h 空间常微分方程理论发展过程中的一个重大事 件，它表明：由于无穷维空间同有穷维空间的本质区别，有限维空间常微分方程 的许多结论和方法，对无穷维空间常微分方程不再适用，从而需要寻找新的思想、 新的工具、新的方法由此，人们开始了对无穷维b a n a c h 空间常微分方程的系 统研究，并首先把研究重点放在初值问题( 1 1 ) 解的存在性条件上到上世纪 8 0 年代初，b a n a c h 空间常微分方程已初步形成理论体系郭大钧先生和孙经先 教授合著文献 3 及综合报告 4 是国内这一课题的集大成之作，概括了b a n a c h 空间常微分方程理论专著 5 和 6 全面综述了抽象空间内非线性微分方程的 各个分支的内容，包括了证明解的存在性时所使用的方法以及解的某些性质 b a n a c h 空间常微分方程边值问题是b a n a c h 空间中微分方程理论的一个重要 的组成部分而两点边值问题由于其典型性，更受到研究者的重视考察 b a n a c h 空间二阶常微分方程两点边值问题： i “”( f ) + f ( t ，“( ，) ，“7 ( ，) ) = 0 ，0 t l ， l a u ( o ) + b u ( o ) = u o ，c u ( 1 ) + d u ( 1 ) = u 1 ，( 1 2 ) j c h a n d r a ，l a k s h m i k a n t h a m 和m i t h e l l 在 7 中证明了问题( 1 2 ) 至少有一个解； s 。r b e m f e l d ，v l a k s h m i k a n t h a m 在 8 1 中n 用上下解方法得到问题( 1 2 ) 的解的 存在性结论；d a j u ng u o ，v l a k s h m i k a n t h a m 在 9 】中使用不动点定理证明了二阶 d i r i c h l e t 边值问题两个正解的存在性最近，f e n g 等在 1 0 l q b 研究了一类二阶带 积分边值条件的两点边值问题至少存在一个正解的条件另一方面，受i l i n ， m o i s e e s 1 1 】的启发，许多研究学者开始在纯量空间中进行多点边值问题正解的存 在性研究( 见文献 1 2 1 7 1 ) ，进一步，见马如云教授的专著 1 8 】和葛渭高教授的专 著【1 9 1 但是就作者所了解，其中只有少数文章涉及抽象空间常微分方程三点 【2 0 l 、四点 2 1 ，2 2 1 边值问题并且对抽象空间中非线性项带一阶导数的多点边值 问题三个正解的存在性研究未见到 受以上工作的启发，本文的2 2 节采用序形式的锥拉伸与压缩不动点定理证 明了b a n a c h 空间中二阶m 点边值问题 l “”( f ) + a ( t ) f ( t ，“( f ) ) = 0 ，0 ， l ， i 甜7 ( o ) = ：甜7 ( 缶)“( 1 ) = 闰m - 2 q “( 鲁) ， 一个及两个正解的存在性结果 2 中南大学博士学位论文第一章绪论 在2 3 节，我们讨论了下面b a n a c h 空间中带导数项的二阶m 点边值问题 i “”( f ) + f ( t ，“( f ) ，u t ( f ) ) = 9 ，0 t 1 ， p ( o ) = 谚掰( 1 ) = ，m - 2 q 材( 舌) ， 三个正解的存在性条件当非线性项厂依赖于u 时，在常量空间，d u 等 2 3 ，2 4 ， k h a n 和w r e b b 2 5 分别利用h e n d e r s o n 和t h o m p s o n 在文 2 6 中引进的方法，也 就是利用一对上下解方法，建立了二阶三点边值问题的三个解的存在性而对抽 象空间中非线性项带导数项的多点边值问题多个正解的存在性研究未见到本 文的2 3 节对该问题的处理采用了上下解、严格集压缩的指数性质、弱拓扑性 质与辅助函数相结合的方法，这在以往的文献中很少见到，故我们对这个问题的 研究具有一定的意义 1 2 带导数项的二阶脉冲微分方程的多解的存在性 脉冲现象作为一种瞬间突变的现象，在现代科技各领域的实际问题中是普 遍存在的，其数学模型可以归结为脉冲微分系统 2 7 ，2 8 脉冲常微分方程的研 究始于一九六零年v m i l m a l l 和a m y s h k i s 的工作f 2 9 经过几十年的发展，脉冲 常微分方程理论( 包括解的存在性、唯一性以及解对初值的连续性，解的稳定性， l y a p u n o v 方法，边值间题解的存在与唯一性，周期解以及解的动力学行为，分 歧理论，极限集理论等) 已逐渐形成并渐趋成熟 2 8 ，3 0 3 2 1 无脉冲的微分系统的边值问题，早在s t u r m 和l i o u v i l l a 时期就已经开始研究 至今，无论在广度和深度方面，还是在研究的方法技巧上都有了很大的发展，而 对带脉冲的微分系统边值问题的研究还只有十多年的历史 3 3 3 5 一般而言，研 究定时脉冲微分方程边值问题，所用的方法主要有拓扑度方法和不动点指数 【3 6 ，不动点定理 3 7 】，上下解方法和单调迭代技巧【3 8 】，打靶法【3 9 】，集值映射 【4 0 等等在研究脉冲周期边值问题的时候也可以用m a n w h i n 延拓定理【4 1 4 2 众所周知，在研究非线性边值问题的正解时，许多文献都引入了适当的锥，然后 在锥中考虑所研究的问题如：刘衍胜教授【4 3 】利用s a d o v s k i i 不动点定理讨论 了下面二阶微分方程 【一x ”+ f ( t ，x o ) ，x 7 0 ) ) = 0 ，t j l 茗( o ) = x 0 ，x ( o o ) = 虬， 在无穷区间上至少存在一个正解的条件 在文 4 4 中，刘兆理教授和李福义教授利用锥上的不动点指数定理研究了边 值问题 中南大学博士学位论文第一章绪论 - 甜”= f ( t ，“) ，0 0 ，其中a ( o + ) = 0 0 ，p ( o + ) = 0 ) 发展为各种形式方 程的奇性产生于自变量和相变量，如核物理中著名的t h o m a s f e r m i 方程 鼯。+ ，一佗群3 他= 0 是研究原子电子能量分布的一个数学模型； u ”+ ( f 2 “) ( 3 2 u 2 ) = 旯2 8 是研究球冠开薄膜大挠度响应的一个典型数学模型同 时奇异微分方程边值问题在各种应用学科中越来越广泛如天体力学中的n 体 中南大学博士学位论文 第一章绪论 问题、流体力学、反应扩散方程、非线性气体动力学、核物理、非线性光学、边 界层理论等由于奇异方程本身带来的困难，奇异边值问题的讨论相对较晚早 期多数研究都局限于特殊形式的初值问题和边值问题，其系统的研究只有约四十 年的历史在1 9 7 9 年至1 9 9 0 年期间，一些普通的奇异问题才引起许多研究者的 兴趣，如u ”+ r ( t ) u 一4 = 0 ，群。+ r ( t ) f ( t ，掰) = 0 自1 9 9 9 年r p a g a r w a l 和d o r e g a n 首次讨论了奇异问题的多个正解后，奇异问题的研究就逐渐普遍起来 另一方面，在自然科学和工程技术的研究中，有时间滞后引起的作用非常明 显，如在生物学的捕食食饵系统中，时滞引起的作用就十分明显，从而为了更 精确的描述客观世界，有必要考虑时间滞后的影响由此引发人们研究具有时间 延迟的方程，即时滞方程j a c kh a l e 在他的名著( ( t h e o r yo f f u n c t i o n a le q u a t i o n s 【6 2 中把时滞方程提升为泛函微分方程，从而揭开了研究时滞方程的新篇章，但 其中很少有论述边值问题和有奇异项时解的存在性情形最近，有一些数学工作 者开始了对奇异时滞微分方程边值问题的讨论，如文献 7 2 7 6 等2 0 0 5 年，蒋达 清教授等 7 2 使用k r a s n o s e l s k i i 锥不动点定理研究了问题 i “”o ) + q ( t ) f ( t ，u ( t r ) ) = 0 ，v t ( o ，1 ) f ) ， “o ) = r ( t ) ，v t 一r ，0 】， ( 1 5 ) 【甜( 1 ) = 0 ， 在非线性项f ( t ，u ) 为非负时两个正解的存在性条件但文献 7 2 中条件比较烦 琐，且非线性项q ( t ) f ( t ，u ( t f ) ) 分离形式，不便验证条件文 7 3 1 讨论了当非线 性项f ( t ，u ) 为非负连续函数，且7 7 ( f ) = 0 ，f 0 充分小时，问题( 1 5 ) 至少存在 一个正解的充分条件文 7 4 讨论了当非线性项为l “q ( t ) f ( t ，u ( t f ) ) 且非负时， 问题( 1 5 ) 的多重正解的存在性条件当非线性项为q ( t ) f ( t ，z f ( f ) ，u o 一1 ) ) ， ( f = 1 ) 时，x b s h u ，y t x u 等 7 6 利用a v e r y p e e t e r s o n 不动点定理讨论了问题 ( 1 5 ) 至少存在三个正解的条件，但要求非线性项非负且没有考虑奇异情形当 f ( t ，u ) 一m ( m 0 ) 且在t = 0 ，u = 0 处可奇异时，徐西安教授在 7 8 】中研究了问题 ( 1 5 ) 存在一个正解的条件 在本文的4 2 节，利用不动点指数定理并结合平移变换技巧，我们讨论了二 阶奇异时滞微分方程( 1 5 ) 至少存在两个正解、三个正解以及2 n + l ( n ) 个正 解的条件而且，我们的非线性项厂不仅在t = 0 ，l ，u = 0 处有奇性，还可以变号 并且没有负的下界限制 1 4 二阶脉冲泛函微分方程周期边值问题正解的存在性研究 众所周知，泛函微分方程是数学学科中的一个重要分支，1 7 5 0 年e u l e r 提出 6 中南大学博士学位论文第一章 绪论 一个古典几何学问题：是否存在一种曲线，它经过平移，旋转运动后能否与其渐 缩线重合? 1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论了这个问题并导出历史上第一个泛函微分方 程 6 1 ，由此开创了泛函微分方程的研究工作带边值条件的泛函微分方程在许 多科学领域应用广泛，如生态系统、遗传学、经济学、物理学、自动控制、通讯 理论等方面都涉及到泛函微分方程的边值问题( 参见 6 2 - 6 4 等) 近二十年来， 许多研究学者对二阶泛函微分方程边值问题解和正解的存在性进行了广泛的研 究( 见文献e 5 7 ，6 6 6 9 等) 1 9 9 5 年，h e n d e r s o n 出版了本泛函微分方程边 值问题的专著 6 3 ，总结了这方面的研究成果但关于泛函微分方程边值问题正 解存在性的研究，相对少一些 如同脉冲微分方程一样，泛函微分方程中许多性质，在脉冲扰动下将变得 更加复杂上世纪8 0 年代初由前苏联学者a a n o k h i n 8 8 对线性脉冲泛函系统 稳定性理论的研究，开辟了这一新的领域随着泛函微分方程理论的迅速发展和 生物数学理论发展的刺激，脉冲泛函微分方程理论在8 0 年代后期迅速发展起来 其中最有影响的工作是由k g o p a l s a m y 和张炳根教授发表于1 9 8 9 年的论文 6 5 ， 如所周知，周期边值问题是脉冲泛函微分方程理论研究中的一个重要课题由于 实际生态意义需要，往往要求人们讨论周期边值问题的正解的存在性因此，脉 冲泛函微分方程周期边值问题正解的存在性研究具有十分重要的理论意义和现 实意义2 0 0 7 年，马如云在文 8 7 】中指出，目前寻找脉冲泛函微分方程周期边值 闯题的正解存在性的工作并不是很多， 上下解结合单调迭代技巧 3 2 ，8 0 - 8 6 ，不动点定理 3 3 ，3 6 ，3 7 ，8 7 ，拓扑度 方法 6 0 等是研究周期边值问题的主要方法在脉冲扰动下较早的工作是由 n i e t o 7 0 、丁伟等 8 1 ，8 2 、h e 和y u 8 4 及张风琴等 6 7 完成的利用上下解 结合单调迭代技巧，h k x u 和e l i u 【1 1 5 】讨论了一类一阶泛函微分方程周期边 值问题解的存在性；h e 和y u 在文 8 4 】中讨论了脉冲泛函问题： i 甜( f ) = f ( t ，“，u ，) ，t 【0 ，丁】，t - t e t k ，k = 1 ，m ， j a u ( t k ) = 厶( 站( 乓) ) ， k = l ，m ， ，八 气1 o ， i ”( o ) = 甜( 丁) ， l “( f ) = “( o ) ，t 卜f ，0 】， 的最大最小解的存在性随后，当r = 0 ，珥= o t ，0 0 ，1 】时，有很多数学工作者利 用单调迭代技巧和上下解方法讨论了问题( 1 6 ) 的最大最小解的存在性( 参见 文献 8 0 8 2 等) 显然，上述文献的证明都是构造性的，并且都要求非线性顼 厂( ，矽) 关于矽满足单调性条件同时，在应用中需要寻找上解和下解，但在一般 情况下，寻找上解和下解是比较困难的 1 9 9 7 年，董玉君【3 3 】利用拓扑度方法研究了一般形式的脉冲泛函微分方程周 期边值问题 7 中南大学博士学位论文第一章绪论 i 甜7 0 ) = f ( t ，“，) ，【o ，r ，f 气，k = 1 ，m ， a u ( t k ) = 厶( 掰( ) ) ， k = 1 ，m ， i 材( o ) = “( r ) ， 的解的存在性条件 2 0 0 1 年，m b e n c h o h r a ，j h e n d e r s o n 和s k n t o u y a s 【8 9 】运用锥上的l e r a r y s c h a u d e r 的非线性抉择定理讨论了 i 材o ) = f ( t ，甜，) ，f 【o ，丁】，r 气，k = 1 ，m ， a u ( t k ) = 厶( “( ) ) ， k = l ，m ， i 扰( ，) = 矽( ，) ，卜f ，o 】， 的一个解的存在性条件，其中矽( f ) c ( 【_ f ，0 】，尺) 2 0 0 4 年，h a i y a nw a n g 3 6 讨论了一类二阶泛函微分方程周期边值问题周期正 解的存在性2 0 0 7 年，m a 8 7 1 利用锥拉伸和锥压缩不动点理论讨论了问题 i “”( ，) + f ( t ，u t ) = 0 ，0 0 ：s = us ，且对任意的s ，有d i a m ( s , ) 芝万) t = l 则我们称口( s ) 为k u r a t o w s k i 非紧性测度，简称非紧性测度有关非紧性测度的 进一步意义参考文献 3 ，5 非紧性测度的主要性质有： 定理2 1 1 【3 】设s ，丁是b a n a c h 空间e 的有界子集，兄是实数则k u r a t o w s k i 意义下的非紧性测度具有下列性质： ( i ) a ( s ) = 0 s 是相对紧集； ( i i ) sc tj 口( s ) 口( r ) ； ( i i i ) 口( s ) = a ( s ) ； ( i v ) a ( su 丁) = m a x a ( s ) ，口( 丁) ) ； ( v ) a ( a s ) = 川口( s ) ，其中2 s = x = a y ：y s ) ； ( v i ) a ( s + t ) 口( s ) + 口( 丁) ，其中s + 丁= x = y + z ：y s ，z t ) ；特别，若 矗) ， 以) 是e 中的可数点集，则口( 卜 此 ) 口( 吒一只 ) ； ( v i i ) 口关于h a u s d o r f f 距离 9 中南大学博士学位论文第二章b a n a c h 空间中二阶多点边值问题多解的存在性 “( s l ，是) = m a x s u p 删p ( x ，s 1 ) ，s u p ，。量p ( x ，s 2 ) 是一致连续的，hl a ( s , ) - a ( s 2 ) i 2 4 ( s i ，) ( v i i i ) 口( c 勰) = 口( s ) ； ( i x ) 若 瓯 是e 中一非空有界子集族，且& + 。c 邑，( 刀= l ，2 ，) ，l i m a ( s , ) = 0 ， 则n 墨是非空且紧 n = l 如果e ，e f 中的非紧性测度均用口( ) 表示，e xf 中的范数用 0 ( x ，少) 0 = m a x l l x ，y ) 0 表示，则a ( s t ) = m a x a ( a ) ，口( b ) ) 记，= h 6 】，c i ，e l 是从，到e 的抽象函数空间，范数为| - m a ) 【刚i i x ( t ) l l 。 c 1 ，e l = x ( ，) i ，。e ：是连续可微的f ，) ，范数为i i x 眦- m a x s u p 剧忙( f ) i l ， s u p l ，l i x ( 呻对日c i ，e l ，acc 1 【，e l ，记 h ( t ) = x ( t ) ：x h ) ce ， ( ，) = x ( ，) ：x h ，i ) = u ，。，日o ) ce ， 么( f ) = x ( ，) ：x 彳) ce ，a7 ( f ) = x o ) ：x 彳 ， 么( j ) = x ) ：x a ，f ) ， a = x ：x a ) ，a 7 ( ，) = x ( f ) ：x a ，) 对e 和c 1 【，e 】中的非紧性测度，我们都用口( ) 表示以下预备知识见文献 3 ，5 定理2 1 2 设hcc u ，e 】是有界的，等度连续的，则 ( a ) a ( h ) = 口( 日( ) ) ，( b ) 口( 日( ，) ) = m a x ，。，口( 日o ) ) 系2 1 1 设dce 有界，映像 f ：i xd 专e 有界且一致连续，则 a ( f ( i xb ) ) = m a x a ( f ( t ，b ) ) ， v b c d 定理2 1 3 设a 是c 1 ，剀中的有界集，则 a ( a ) m a x s u p ，。，口( 4 0 ) ) ，s u p ，。，a ( a o ) ) ) 定理2 1 4 设acc i ，e 】是等度连续的有界集，则 ( i ) 口( 4 ) 口( 4 ( ) ) ，( i i ) 口( 么) 口( 47 ( 歹) ) z 定理2 1 5 设acc l 【，e 】是等度连续的有界集，彳7 是等度连续的，则 口( 彳) = m a x s u p ，。，口( 彳( ，) ) ，s u p ，。，a ( a o ) ) ) 定理2 1 6 ( a s c o l i a r z e l a ) 集hc c u ，e 】相对紧的充要条件是：h 是等度 连续的，并且对任何f i ，集( f ) 是e 中的相对紧集 定理2 1 7 如果acc i ，e 】是有界和等度连续的，则口( 彳( f ) ) 在，上连续， 并且 ( i ) 口( 4 ) = m a x a ( a ( t ) ) ：f ， ： 1 0 中南大学博士学位论文第二章b a n a c h 空间中二阶多点边值问题多解的存在性 ( ii ) 口( ，“( t ) d t ：“彳o ) ) ) ，口( “o ) ：甜a ( t ) ) c t t 定义2 1 1 设e ，e 2 是实b a n a c h 空间，bc 巨，xt ：b 专易连续，有界如 果存在常数k 0 ，使对任何有界集d cb ，都有口( 丁( d ) ) k a ( d ) ，则称丁是b 上的k 一集压缩映象；特别地k 1 时的七一集压缩映象称为严格集压缩映象 2 2b a n a e h 空间中m 点边值问题的正解及多解存在性 关于纯量空间中二阶微分方程边值问题的讨论，早在1 9 8 7 年由i i i n 和 m o i s e e v 1 1 开始研究，他们研究了二阶线性微分方程的多点边值问题因为在理 论和实际应用中，二阶非线性微分方