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中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 第一章绪论 l 。1 心电图基础【1 】口】 1 1 1 心电图的产生机理和组成 心脏机械性收缩之前，心肌先产生电激动。这种电流能通过组织和体液传导 至体表，在身体不同部分的表面形成电位差，将这种变动着的电位差心电图机记 录下来即为心电图( e l e c t r o c a r d i o 矿a p h 简称e c g ) 。 心脏是由两种不同的心肌组成，即能产生和传导冲动的特殊传导组织和具有 机械性收缩机能的普通心肌组织。窦房结位于右心房上腔静脉入口处，是心脏激 动的最高起搏点，它能自动地、有节律地发出一定频率的激动，通过传导系统传 至普通心肌组织，引起心肌的机械性收缩反应，即心房与心室的收缩与舒张活动。 心脏机械性收缩前，心肌首先发生电激动，电激动开始后心肌即开始收缩，电激 动一完成心肌郎开始舒张。先有电激动，才引起心房和心室的收缩，两者之间相 差约0 0 7 秒。根据电生理学原理，心肌电激动的过程，即是心肌细胞进行除极 和复极的过程。心脏收缩前的电激动称为“除极”，心脏舒张前的电激动称为“复 极”，心脏每跳动一次，就是心房与心室进行了一次除极和复极。 来自窦房结的激动，首先传导至心房，心房受激时产生的除极电位名为p 波。在右心房除极开始后o 0 4 o 0 6 秒，激动便由窦房结经结间束到达房室结。 然后，激动通过房室结、房室束( 希氏束) ，传至心室，使心室受激，心室受激 时产生的除极电位名为q r s 波群。心房和心室受激后( 除极完成后) ，随即进行 复极，在复极过程中，心房先复极，心室后复极。心房在复极过程中产生的电位 极其微小，在心电图上难以观察到，心室在复极过程中产生的电位名为t 波。 一组典型的正常心电图波形包括( 见图l 1 ) ： p 波：反映心房肌除极过程的电位变化。正常情况下。p 波时间( 限) o u s ， 振幅 0 2 5 m m ( o 2 5 m v ) ，在同一导联内p 波的形态应该是一致的。 p r 间期：代表从心房肌开始除极到心室肌开始除极的时限。正常p r 间期 为0 1 2 0 2 0 s ，不同导联测量的p r 问期可略有差别。p r 间期与年龄、心率有 关。正常情况下。同一份心电图各个心搏的p - r 间期( 特别是在同一导联内) ， 应该是恒定不变的。 q r s 波群：反映心室肌除极过程的电位变化。典型的q r s 波群是指三个紧 密相连的波：第一个向下的波为q 波，继q 波后的一个向上的高波为r 波，继 r 波后向下的波为s 波。“q r s 波群”是广义的代表心室肌的除极波，并不一定 是每一个q r s 波群都具有q 、r 、s 三个波群。q r s 时间变异较大，通常为o0 6 o 0 8 s ，在肢体导联应 o1 0 s ，在胸导联应 01 l s 。正常o r s 波群升肢( r 波升肢) 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 和降肢( s 波) 通常是光滑锐利的，偶尔出现轻微的粗钝或切迹，多无病理意义。 j 点：q r s 波群结束与s t 段交接处称为j 点。正常j 点位于等位线上，上 下编移不超过l m m 。 s t 段：从j 点到t 波开始这一段时间称为s t 段，反映心室复极的早期。正 常s t 段时限为0 0 5 0 1 5 s 。 t 波：反映心室复极时的电位变化。正常t 波双肢是不对称的，前肢( 升肢) 长，上升缓慢，后肢( 降肢) 短，下降较快。 q t 间期：自q r s 波群开始至t 波结束称为q t 间期，反映心室除极和复 极时间的总和( 电收缩时间) 。q t 间期愈长；心率愈快，0 t 间期愈短。因此， 临床心电图学提出q - t c ( 代表英文c o r r e 吐e d ，意为“修正”) ，以纠正心率对o t 间期的影响。正常的q - t c o 4 3 0 4 4 s 。求q _ t 的公式为： q 一死一呈三墅坠 尺一r 间期 u 波：在t 波后面有时可以看到一个矮小波，称为u 波。u 波产生机制不 甚明确，可能是由于浦肯野纤维复极所产生。u 波的电压为o 0 5 0 2 m v 一般 不超过o 2 m v ，约相当于同导联t 波电压的1 l o 。u 波时限为o 1 6 0 2 5 s ，平 均0 2 s 。 时阃 ： 蛙 r r 问期 ， 诅g 凌群 l 礅。童： n 如眇 。 ：嫩 r _ 瞍- = ，掣飞融l 一。， klf，、，q _ i -n r 图卜1 常规心电圈的波形组成和测量示意图 1 1 2 心电信号的测量与特点 记录心电圈是在印有纵横细线的方格坐标纸上直接描记。横向坐标表示时 2 个矗业瑚可j o 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 间，以秒为单位。当记录纸速为2 5 毫米秒时，竖分格l 毫米= o 0 4 秒。纵向坐 标表示电压，以毫伏为单位。当心电图机定准电压为l o 毫米毫伏时，横分格l 毫米= o 1 豪伏( 图l 1 ) 。有时在描记中，由于需要可以有目的地把定准电压及 走纸速度加以调整，这时的电压值和时间单元就要按调整后的数值比例折算。可 见，只有在校正记录走纸速度和定准电压以后，才能得到正确的心电图记录。 1 1 2 1 测量方法 心电图的波幅大小以毫伏为单位计算，时间宽度以秒为单位计算。 1 ) 电压( 振幅) ：测量向上的波幅时，从基线的上缘量至波峰顶进行计算； 测量向下的波幅时，从基线的下缘量至波底进行计算。 s t 段移位时，以相邻的两个p q 段作为基线和s t 段相比较进行测量。s t 段高于p - q 段基线为s t 段上升：s t 段低于p q 段基线为s t 段下降。测量时， 以p _ q 段基线的上缘和s t 段基线的上缘相比较计算，或以p q 段基线的下缘和 s t 段基线的上缘相比较计算( 如图卜2 ) 。 图1 2 心电图各波幅测量法 2 ) 时间( 宽度) ：应选择波形比较清晰的导联，从波的起始至全波的终末进 行测量。 p 波：从p 波的起始量至p 波的终末。 q r s 波群：如有q 波即从q 波的起始量至q r s 波群的最后一个波的终末，如 没有q 波就从r 波的起始量至q r s 波群最后一个波的终末。 t 波：从t 波的起始量至t 波的终末。 p r 间期：自p 波的开始量至q r s 波的开始。如果q r s 波群最初是q 波，即 从p 波的开始量至q 波的开始：如果q r s 波群没有q 波，即从p 波的开始量至r 波色开始。 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 q t 间期：自q r s 波群的开始量至t 波的终末。如q r s 波群有q 波，就从q 波的开始测量；如q r s 波群没有q 波，就从r 波开始测量( 如图卜1 ) 。 3 ) 心率的测量 当心律正常时，测定p p 间期( 相邻的两个p 波之间的间距) 或r r 问期( 相 邻的两个q r s 波群之间的间距) 均可。每分钟心房或心室率按下列公式计算： 每分钟心率= 6 0 p p 或月一r 间隔( 秒) 当心律不规整时，测定6 s ( 3 0 个大格) 内的p p 间期数 1 0 = ? m i n ( 心房 率) ，r r 间期数 1 0 = ? m i n ( 心室率) 。 1 1 2 2 心电信号的特点 心电信号是由p 、q r s 、t 波和静息期组成，各波频率特性不尽相同。它是一 种非平稳信号，在采样过程中，常常掺杂各种噪声和干扰。心电信号的主要特点 是：1 微弱：m v 级：2 超低频：心电的主要成份 等。如果异位起搏点的自律性增高，不待窦房结 的激动到达，抢先发出一个或一系列激动，称为主动性异位搏动( 或心律) ，例 如早期收缩、阵发性心动过速、扑动和纤颤等。 心脏的激动若不能按正常的速度和顺序到达各部位，称为传导异常。传导异 常中，一类是生理性的( 即干扰和干扰性房室脱节) ，一类是病理性的( 即心脏 传导受阻) 。当心脏发出一个激动使某一部位兴奋以后，第二个激动接踵而来， 但由于该部位尚处于反拗期( 即处于生理不应期) ，因而第二个激动便不能传入 该处，这种现象称为“干扰”。“干扰”可发生在心脏的任一部位，但最常见的是 房室交界处。若“干扰”连续发生三次以上，便称为“脱节”，例如干扰性房室 脱节。干扰和干扰性房室脱节是一种生理现象。由于心肌不应期延长所引起的传 导障碍，称为心脏传导阻滞，它可以发生在心脏的任一部位：发生于窦房结与心 房肌之间者称为“窦房传导阻滞”，发生于心房内者称为“房内传导阻滞”，发生 于房室交界区者称为“房室传导阻滞”，发生于房室束支者称为“柬支传导阻滞”。 激动起源异常伴有激动传导异常者，如异位心律伴传出阻滞、反复心律和并 行心律等。预激症候群是由于房室闻异常传导径路弓l 起，属于传导异常一类，故 亦归纳在内。 前面叙述了有关心电图的知识，作者在实验中采取的心电资料是来m i t 仍m 心电数据库，下面就介绍以下有关该数据库部分知识。 1 2m i t b i h 心电数据库3 1 m 【t b 心电数据库是由美国麻省理工学院( t h e m a s s a c h u s e 眦s i n s t i t u t eo f t e c h n o j 。g y ) 和b e t hi s r a e l 医院合作建立的数据库。m i t ，b i h 数据库共有4 8 个 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 病例，每个病例数据长3 0 分钟，总计约有1 1 6 0 0 0 多个心拍，包含有正常心拍和 各种异常心拍。内容丰富、完整。并且有医学专家对每个心拍作出的识别和标注。 在美国常被用作心电仪嚣的检验标准。 m 【啪数据库中每个病例的e c g 数据，是按照每通道3 6 0 h z ( 适于美国工 频6 0 h z 的整数倍) 的采样率、12 位采样精度进行量化的。每个采样值2 个字节。 为了适应我国工频5 0 h z 的情况，并尽量满足原库数据量化的技术状况，作者将 采样率提高到5 0 0 玉z ，对原库输出的e c g 信号重新进行量化，然后存盘备用。 这样处理后的数据，用来考核分析程序时是不会影响原库注释的符合率的。同时 还有利于p 波及s t 段等的检测和识别。 m 【啦m 数据库中每个病例的e c g 数据，都有两个导联的值，即m l i i 导 联和v 5 导联。 由于n v w p h y s b n e t o f g 网站上提供的m i 啪i 数据主要是面对u n i x l i n u x 操作系统，所以直接下载的e c g 数据在晰n d o w s 操作系统下无法直接识别，必 须进行格式转换。我将下载的数据转化为晰n d o w s 的文本格式。可以得到所需 要的e c g 数据。 1 3 小波分析在心电信号处理中的应用钔 1 3 1e c g 信号的预处理 由于心电信号比较微弱，仅为毫伏( m v ) 级，所以极易受环境影响。为了正 确进行参数测量、波形识别和病情诊断，必须抑制这些噪声和干扰。 叶继伦等”在运动心电信号特征参数识别的研究中应用小波变换方法，表 明小波交换对于消除运动信号中基线漂移和噪声效果是十分明显的。李小燕等 设计了一种新的基于小波变换的自适应滤波器，可有效消除心电信号的基线漂 移，且对s t 段影响小。根据信号和噪声在小波变换下表现出来的截然不同的性 质，王笑梅等”。采用二次样条小波对带有白噪声的e o g 信号进行消噪处理、分解、 去噪、重构，该方法在改善信噪比的同时，又保持相当高的时间分辨率，但重构 信号失真，且算法复杂。s e n h a d j i 等9 1 提出基于小波分析的e c g 滤波技术可以 较好的抑制噪声，进行q r s 波探测，但运算量还是较大。 利用小波变换进行e c g 信号预处理过程中，如何降低运算量，并避免不必要 的滤波，尽量少地减少信号失真，是目前尚需进一步探讨研究的问题。 l ，3 2 参数检测和波形检涮 6 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 参数检测和波形检测是e c g 信号处理的核心，其准确性稻可靠性决定着诊断 的效果，关系着病人的安危。两q r s 渡的检测又是e c g 检测中的首要问题，确定 了r 波的位置，才能分析e c g 的其它细节。目前小波分析在e c g 信号处理应用最 广泛的就是有关q r s 波的检测上。 c u i w e il i 【9 1 首先成功地把小波变换应用于e c g 信号的q r s 波检测，但其所采 用的样条小波仅限于信号分解，没有考虑e c g 信号重建问题。j s s a h 枷b i l l 则以 高斯函数一次导数为母函数，用小波变换检钡9q r s 波。王超文等“以后续处理考 虑设计一组双正交样条小波滤波器，实现了e e g 信号的r 波检测，得到了较好的 效果。而余辉等“用m a r r 小波( 高斯函数的二次导函数) 设计小波滤波器，通过 可变阈值检测小波变换的模极大值标定r 峰位置，提高了q r s 波的正确检测率。 张凯等“则分别用样条小波和r r 小波设计小波滤波器，对实际e c g 信号的q r s 波检测正确率很高，达到了实用的要求，但是数据处理时间较长，占用内存较多。 在对存在很多伪差和噪音信号的心电图进行分析并定位q r s 波过程中，陈 作炳等“用b 一样条小波做小波分析，也取得了一定效果。但对肌电噪声下的q r s 波检测，效果很差。姬军等“”利用支持紧支集的二次样条小波，在算法上加以改 进，能有效地定位q r s 波。 另外，曹玉珍等“”利用小波变换和非线形最小二乘法对微分心电信号突变 点的检测进行了初步探讨。 利用小波分析对心电信号进行实时处理和分析是一个尚待完善的河题。李 海云等1 运用模扳匹配技术结合小波分析，能比较准确实时提取接受反搏治疗病 人的心电信号特征值。但该方法受基漂影响较大。需在硬件系统对基漂加以抑制 才能确保反搏正常进行。朱洪俊等“”利用m e x i c a nh a t 小波采用离散小波变换的 直接算法来探测e c g 信号中的r 波，具有相当高的定位糟度和较高的实时性，可 以实现r 波的实时检测和分析，但还需要在实践中进一步完善。 p 波和t 波的识别与定位一直是心电信号处理中的难题。尽管国内外学者提 出了很多方法“”列来识别p 波、t 波，但都存在较多的问题。相比着传统的方法， 小波在识别p 波耜t 波显示出一定的优势。王俊贤等叭1 零j 用二进，j 、波基对心电图 信号进行s t 段识别，深入到信号的细节部分，提高了对动态心电图s t 的识别 中南大学硕士掌位论文基于小波变换的心电信号处理 能力。谢国明等1 通过小波变换对e c g 信号进行分解，然后采用神经网络检测 e c g 信号的p 波。该方法作为一种辅助检测手段，效果较好，但作纯椁的p 波检 测效果很差，因其避免不了低频噪声或基漂的影响。陈春晓等“。通过小波变换的 斜率值来确定p 波的起始点。但该方法的精确度需要进一步提高，且算法也有待 改进。 尽管小波变换在e c g 信号波形检测和参数检测还存在一些问题，但与传统的 方法相比，小波变换还是显出较明显的优势。只要选择好合适的小波和变换尺度， 并在算法上加以改进，再结合一些其他方法，目前存在的问题将会得到很好地改 善。 1 3 3 心电图的小波压缩 作为某些心脏病诊断手段之一，常常测量病人连续2 4 小时的心电图。因此， 在对这类心电图记录进行处理时，心电图的压缩成了一个重要问题。而数据压缩 是小波变换运用较为突出的一个方面。采用小波变换不仅可提高压缩比，而且可 避免“方块效应”和“蚊式噪声”，质量较好。 利用嵌入式零树小波编码，h i l t o n “提出了对心电图进行小波压缩的编码算 法和解码算法。b r a d i e “则将小波包用到单联心电数据的压缩上，取得较好的效 果。王淑艳等利用小波最优基进行心电数据压缩，通过计算机仿真显示，该方 法压缩比大，信息损失小。费小英等。提出了基于双向小波变换的心电图压缩算 法。该方法可以更好消除e c g 信号帧间相关性和帧内相关性，与一维小波变换压 缩相比，压缩比更高，稳定性更好。阎相国等”“根据整一整小波变换理论提出了 种心电数据压缩算法，由于屏蔽函数的引入和对阙值函数进行了特殊考虑，使 该算法可同时取很高的数据压缩率和信息保真度。练秋生等。1 提出了一种小波零 树编码的心电图压缩算法，算法由整数小波变换、小波零树编码、自适应算术编 码三部分组成。该算法不需要浮点运算，计算复杂度低，压缩效率高，便于在便 携式h 0 1 t e r 中实现。 a s a i d 等”副提出的基于小波变换的多级树集合分割算法，将该算法用于心 电数据的实时压缩，不仅在性能上具有很高的信噪比和较好的主观视觉特征，而 且编码速度极快，同时还具有内嵌码的特征。杨宣康等。采用小波网络作为数据 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 表示模型，提出了动态心电数据的小波网络压缩算法，为研究动态心电图的实时 压缩提供一种新的方向。 1 3 4 分析心室晚电位 用小波变换分析心室晚电位的基本思想就是对高分辨率的心电信号进行小 波变换，然后在信号的时频空间分布中提取特征进行识别。心室晚电位的小波分 析虽是近几年的事，但发展较快，下面具体介绍这方面的研究情况。 c o u d e r c 等。“提出了一种新的小波变换统计分析方法，它能检测和识别室性 心动过速( v t ) 病人平均心电信号中出现的不正常电位。p a u lr u b e l 等“”对心 室晚电位检测的传统时域法、一种改进时域法和三种不同小波分析法的检测性能 ( 灵敏牲、特异性和重复性) 进行了比较和评估，初步结果表明小波分析法佳能 比传统时频法提高了8 一1 5 ，认为小波变换法能有效替换传统时频法。 g i l b e r t o 等。“应用小波变换对信号平均心电图( s a e c g ) 进行多分辨率分析，去 预测心肌梗塞后病入是否发生危及生命的室径心动过速( v t ) ，共有7 6 9 个病人 的平均心电信号被分析，其中有4 2 个病人在跟踪检查中出现心率失常，他们以信 号总能量和各尺度信号相对能量作为特征参数，研究结果表明小波分析法对心肌 梗塞后出现心动过速的预测要好于时域法，且两种方法的结合能更大地提高预测 准确性。g r 鲫a t i k o v 等。把小波变换和短时傅立叶变换同时用于信号平均心电 图的分析，结果表明：小波变换法能揭示出心肌梗塞后有v t 倾向病人更充分的 q r s 波延期特征信息，小波变换适应性更强，可替代短时傅立叶变换。m e s t 。1 和s v e n s s o n 等“把小波变换用于心室晚电位的动态提取，研究结果表明：从小 波变换多尺度上的信号波形或小波变换地形图中可观察到心室晚电位的动态变 化情况。 m o r l e t 等“应用小波变换对x 、y 、z 各导联信号平均心电图进行了分析， 分析对象为2 0 个具有心动过速( v t ) 的心肌梗塞病人和2 0 个无v t 的心肌梗塞 病人，另外有l o 个健康者，使用一种基于小波变换的局部最大值相干检测法， 结果特异性为9 0 ，灵敏度为8 5 ，比传统时域法具有更好的检测效果。 a t k o v a 等“应用小波变换分析信号平均心电图中的s t 段和t 波以检测心肌梗 塞后具有持续v t 的病人，分析对象为5 3 个具有连续v t 的病人和5 3 个跟踪检查 中没有出现心律失常的病人，研究结果表明：把小波分析和时域法中的总躲s 间期相结合，检测效果明显优于传统时域分析。 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 c o u d e r c 等”“使用正交小波变换( 二进正交m e y e r 小波) 对高分辨率心电信 号进行分析以探测在q r s 复合波内的微电位。他们的研究表明：对于有v t 倾向 病人的预测效果比时域法有了改进。h n a t k o v a ”应用小波分析对5 4 4 个具有严 重心肌梗塞的病人进行了为期二年的跟踪检测以期预测病情危险的程度，计算时 采用四个参数：q r s 波面积、最大值、表面积和分析的相对长度。研究表明：单 导联平均心电信号的小波分析与时域分析相比，能更好地预测心肌梗塞后的并发 症，特别是突然死亡。 r a k o t o m a 肿n j y 等“”首先对心电信号q r s 波终端部分进行连续小波变换，然 后根据心室晚电位信号的特征从连续小波变换时频分布中提取晚电位所在部位 的小波变换系数，送入人工神经网络进行晚电位的检测。仿真实验结果表明：心 室晚电位正确识别率达7 9 ( 在较大噪声的情况下) 至9 9 ( 在无噪声的情况 下) 。d i c k h a u s 等”采用新近发展起来的小波神经网络对心室晚电位检测进行了 研究。从理论上说明了小波神经网络在心室晚电位识别中其性能要优于采用独个 的人工神经网络。 综上所述，经过国内外学者的不懈努力和探索，小波理论在e c g 信号处理和 分析己经取得了令人鼓舞的成果。目前，一些成熟的分析方法已经开始应用到临 床。但由于e c g 信号的微弱性、变异性和强背景噪声，致使在e c g 的检测和分析 处理中还存在很多难题，即使已经用于临床的检测分析方法也有许多问题有待解 决。因此，需要不断引进新的信号处理技术，对现有方法进行改进并不断开创新 的检测方法，从而提高e c g 检测分析的准确性，促进心电自动分析和专家系统发 展，扩大其临床应用价值。 心电信号由于其固有的微弱和易受干扰的特点，给临床医生从直观上判断病 因带来很大的困难，也给e c g 的检测和分析带来了困难。不断改进e c g 的检测和 分析方法，提高自动分析系统准确性，实现e c g 自动分析和诊断，将护理人员从 繁重的数据处理中解脱出来是非常有意义的工作。 本文详细介绍了本人利用小波变换对心电信号的分析处理所取的进展。论文 的重点内容是e o g 信号的预处理和心电信号特征波形的自动检测，具体安排如 下： 第一章本章首先简明论述了心电图的产生原理、正常心电图的产生、心律失常 发生原理和心电图的测量方法和特点，论文所用的心电数据来自m i 啪m 心电 图数据库，因此在本章中简单介绍该数据库，并对数据格式的转换做了说明。并 1 0 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 综述了小波变换在心电信号处理中的应用，从而表明了作者研究工作的目的和意 义，以及研究的必要性和先进性。 第二章本章阐述了小波理论，给出了连续小波变换方法、离散小波变换方法以 及基于m a l l a t 塔式分解和重构方案的小波快速算法，阐述了如何利用滤波器组 实现小波分解与重构，并对小波变换表征信号的突变( 瞬态) 特征作了重点介绍。 第三章心电信号中存在各种干扰噪声和基线漂移，在本章中介绍了各种消除心 电信号中干扰噪声的预处理技术。作者主要采用f i r 滤波器和小波滤波器对心电 信号进行预处理。通过对受噪声干扰和基线漂移比较严重的几组心电数据的处 理，表明了作者研究方法的准确性和先进性。 第四章参数检测和波形检测是e c g 信号处理的核心，其准确性和可靠性决定着 诊断的效果，关系着病人的安危。而q r s 波的检测又是e c g 检测中的首要问题。 本章介绍了作者通过二次小波检测q r s 方法，通过m r r b m 心电图数据库对作 者的算法进行测试，结果表明准确率达到9 9 以上。作者还对如何准确定位q r s 波起始点做了分析，并初步研究心电图其它波段的小波变换的自动检测和心律失 常的辨别准则与算法。 第五章本章总结了整个论文的研究工作，并探讨了今后的研究工作。 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 第二章小波变换 2 1 小波变换 法国地球物理学家m o r l e t 于8 0 年代初在分析人工地震勘探信号时发现了这 样一类信号，即在信号的低频端具有很高的频率分辨率，而在高频端的频率分辨 率可以很低。从时频不确定性原理的角度看。这类信号的高频分量应具有高的时 间分辨率，而低频分量的时间分辨率可以较低。根据人工地震勘探信号的这一特 点，m o r l e t 提出小波变换。小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，是 一种多分辨率分析方法。小波分析的且的是“既要看到森林( 信号的概貌) ，又 要看到树木( 信号的细节) ”，因此，它称为数学显徽镜。 2 1 1 小波变换“” 小波变换是基于小波函数矿的，矿必须满足“容许性”条件， c ，：r 訾 o 。 c z 叫 等价地有 广y o ) 疵= o 。( 这就是y 被称为小波的原因) ( 2 2 ) 对任意的，r 职) ，它的小波变换公式为： ( 哪忡击y ( 哥( 忙阢眦喊 c z 吲 其中口，6 r ( r ) ，口0 ， 啪，= 去y ( 。 c z 刊 从式( 2 3 ) 、( 2 4 ) 可以看出，小波变换是通过信号与母小波函数v 的伸 缩与平移形式内积而实现的。 设母小波函数妒的中心为f ，半径为，则函数虮。( f ) 的中心为6 + 口f + ， 而其半径等于她，。由小波变换公式可以知道，小波变换在时间轴的分辩窗为， b + 删一日r ，6 + 口f + + 口，j ( 2 5 ) 同样设母小波函数矿的傅里叶变换矿的中心为+ ，半径为i ，由于 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 扣胁譬p 少( 等卜刊竽。嘶，c z 所以函数晚。( ) 的中心为竺，而其半径为竺，由小波变换公式同样可以 知道，小波变换在频率轴上的分辩窗为： i 尘一垒，尘+ 垒i ( 2 7 ) la 口口 口j 这样，小波变换在相空间内给出了一个时间一频率窗 眵捌- 她捌+ 口小i 等一等，等+ 等1 c z s ， 这个时间一频率窗的面积为挑，三i = 4 ，口，与它在相空间的位置无 关，在整个相空间内它的面积都是保持不变的。但是，它的时间窗宽度为2 口。， 随着a 的变化而变化。在口较大时，时间窗会自动交宽以检测低频信息；而。较 小对，时间窗会自动变窄以检测高频信息。它在相空间内的示意图如2 一l 所示。 1 p w q w 呸 图2 一l 小波变换相空间示意图，4 有时候称为“二元尺度方程”。事实上，厅 ) 完全决定了一个多 分辨率分析。或者更明显的说，某个川) 序列它唯一对应了一个尺度函数( f ) ， 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 厅( 七) 在实际应用中相当于起到一个低通滤波器的作用。从的规范正交基 谚加尼z j 出发，又可以构造得到某个小波函数矿( f ) ，使得舻卅，i z 构成哆的 规范正交基，并且满足正交补的关系，即 一- o 一t = ( 2 2 1 ) 这样，又由于击矿( 三) 矿c ，有 去矿( 寺) = g ( 七) 一i ) ， ( 2 2 2 ) v 上 t e z 其中， 酣) 2 击妒( ( ) ) ， ( 2 2 3 ) g ( 丘) 在实际应用中相当于起到了一个高通滤波器的作用。 由的性质( 1 ) 、( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) ，以及式( 2 一1 9 ) ，易得： ，曼杉2 o 矿，o o 暇o = f 僻) ( 2 2 4 ) 因此，卅，七z j 构成r ( r ) 的一个规范正交基。 2 2 2m a l l a t 算法 给定一信号，( f ) ，由于得到的信号总是有一定的分辨率，可以设，( f ) e ( 为一确定整数) ，以尺度函数为正交基分解得到， ，( f ) = 一 ，( f ) = q 一九，( f ) ( 2 2 5 ) 由一一。o 一。= ，z ，有 ，( f ) = 4 ，g ) = 4 一t ，0 ) + 协i - l ，( f ) 其中， 彳小，( f ) = 吒“。力。吐，( f ) m z q 一邝) = 见山y 。( f ) ，i 幅z 由上一小节可知， 1 7 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 ( 办一，九。“，) = 饥一2 ， ( 2 2 9 ) ( 九一，。_ l ，。) = 趾：。 ( 2 3 0 ) 所以有 c i _ 1 。= 以。o 一 ( 2 3 1 ) e z 口_ l 。= g 。吒。 ( 2 3 2 ) t 2 可以用同样的方法对4 十t ，( f ) 进行分解得到 一2 ，( f ) + 珥。一：，( f ) ，并得到相应 的系数c l - 2 ，。和d i 2 一如此进行下去，直到满足需要为止，这就是m a l l a t 分 解算法，也称为小波分解或小波变换，其图示如图2 3 。 珥 昏昏 7 夕夕 夕 q 叶昏_ + 嗥_ 昏叶_ 图2 3m a l l a t 分解算法不意图 对( 2 3 0 ) 式两边同时与九 作内积，可以由尺度j 一l 上的尺度系数和小 波系数得到尺度j ，上的尺度系数， q 一= 仇m q i - l ，。+ g 。d j 。 。 ( 2 3 3 ) m e zm z 由上式可以构造m a l l a t 重构算法，如图2 4 所示。 _ 孙 铂 ： 图2 4m a l l a t 重构算法示意图 2 2 3 小波变换与滤波器组 中南大学硕士学位论文基于小液变换的心电信号处理 从上面m a l l a t 算法的讨论可以知道，信号( f ) 的小波分解或小波变换实 际上就是求分解系数c 肚和d 肚，这些系数可以通过对初始系数c “。运用式( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 得到，重构过程则相反。在理论上，系数c ，。要通过初始信 号，( f ) 与小波基的内积求得，然而在实际应用中，则常将系数g 。= ，( 孟) ，( 1 j ) 为信号，( f ) 的离散形式，因为实际处理的均是离散信号。另外，从式( 2 3 1 ) 、 ( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 可以看出，无论是小波分解还是小波重构，都是通过与离 散滤波器 ( j ) 和g ( 詹) 的卷积运算进行的，所以m a l l a t 算法可以从滤波器组的角 度来认识。滤波器组的每一级都由低通滤波器和高通滤波器组成，低通滤波器对 应尺度函数，其输出是信号低频近似部分，而高通滤波器对应小波函数，其输出 是信号的高频细节部分。 在小波变换的一级上，对应的滤波器组形式如图2 5 所示。 ， 分解重构 ，o ) 图2 5 信号的一阶小波分解与重构过程 山2 表示2 ：1 下抽样，即每两点取一点 1 、2 表示零插馕，郎每两点闻补一个零点 在图2 5 中， ( n ) 和g ( 刀) 称为分析滤波器，其中 ( ”) 为低通滤波器，g ( n ) 为高通滤波器，而 ( n ) 和季( 一) 称为综合滤波器，其中再( 一) 为低通滤波器，蚕q ) 为高通滤波器。可见，在每一尺度上，信号的小波分解实际上是通过一个高通滤 波器和一低通滤波器，将信号分解成一个低通分量和一个高通分量。这样信号的 小波分解与重构实质可以认为是通过滤波器组的分析和综合实现的。 对于每一个尺度上的低通分量再通过同样的滤波器，得到下下一尺度上的低 频分量和高频分量，如此通过一个级联的滤波器可以实现对信号的多个尺度上的 小波分解( 如图2 6 所示) 。 9 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 系 分解 重构 图2 6 二阶级联滤波器组用于小波分解与熏构 对应正交小波变换的滤波器组是完全重构滤波器组，它一般满足如下关 石( ，1 ) = ( 一盯) ，季( ) = g ( 一玎) ，g ( 门) = ( 一1 ) ” ( 1 一打) 滤波器 即) 、g ( ，t ) 、石伽) 、喜( ”) 的具体形式与选择的小波基类型有关。 2 3 小波变换用于表征信号的突变( 瞬态) 特征 小波变换有一个重要性质，即它具有在时、频两域突出信号局部特征的能力。 我们在进行e c g 信号分析的时候，主要通过信号的急剧变换之处来判断q r s 波 群。由信号的小波变换的奇异点( s i n g u l a r i t y ，如过零点、极值点等) 在多尺度 上的综合表现来表示信号是小波变换的一个重要应用领域。 2 3 1 小波变换的奇异点和信号变化剧烈处间的联系 先介绍二个重要结论： ( 1 ) 如果矿( f ) 是某一低通平滑函数p p ) 的一阶导数，则可用y 1 ( f ) 对x ( f ) 作 小波变换。此时小波变换的零点正是譬= o 之点，也就是y o ) 的极值点所在【y o ) 是x ( f ) 被平滑后的结果】；小波变换的极值点是等孝= o 之处，也就是y o ) 的转折 点，在极限情况( 阶跃) 下它也就是阶跃点。 ( 2 ) 如果y ( 2 o ) 是某一低通平滑函数护0 ) 的二阶导数，则可用y 2 ( r ) 对x o ) 作 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 小波变换。此时小波变换为零之点是y ( f ) 的转折点( 皇芒：。) ；极限情况下也是 “l 阶跃点。 这些结论对基本小波的伸缩? ( f ) = 丢y 曙 ，矿p o ) = 三缈( 2 当然也 同样适用。 可见，突变点的位置有时是由小波变换的过零点反映，有时是由其极值点反 映。一般地说根据过零点作检测不如根据极值点。因为过零点易受噪声干扰。而 且有时过零点反映的不是突变点，而是信号在慢变区间的转折点。因此，检测边 沿宣采用如y ( f ) 型的反对称小波，检测尖峰脉冲宜采用如矿2 ) 型的对称小波。 但是必须指出，要使这一检测有效，必须满足适当条件。首先，矿( f x y ：2 1 ( f ) 应是某一平滑函数的一、二阶导数。其次，尺度口必须适当，以便一方面使必) 的突变点基本上能反映待分析信号r “) 的突变点：另一方面，只有在适当尺度下 各突变点引起的小波变换才能避免交叠干扰。因此，在处理时需要把多尺度结合 起来综合观察。 2 。3 。2 李氏指数( l i p s c h i t ze x p o n e n t ，简记为l - e 。) g 这是数学上表征函数局部特征的一 种度量，其定义是： 设信号z ( r ) 在f 。附近具有下述特性 l r ( r 0 + ) 一只( f 。+ 矗) l 以i f 4 ， 口 以+ l 式中靠是一个充分小量：只( f ) 是过球。) 点的一次多项式( 一z ) 。则称m ) 在f 。 处的l e 为口。如图2 7 所示说明。 实际上只( f ) 就是面) 在f 。作1 对i o r 级数展开的前”项： 戚d 兀1 ) i i j 彳p 即 一 ”洲： 图2 7 李氏指数含义的示意图 f ) = 】峨) + 口l 打+ 玎2 + + 口。矗1 + 0 ( 矗叶1 ) = 尸：( f ) + d ( 矗一+ 1 ) 显然，a 未必等于门+ 1 ：它必定大于丹，当可能小于疗+ 1 。例如，设 2 1 中南大学硕士学位论文基于小波变换的心电信号处理 z ( ，) = f o ) + 口1 疗+ 口2 2 + a 25 2 5 此时在f o 处有：2 口= 25 3 ，因此有胛 o 时，小波变换的极大值将随尺度 a ( 也就是j ) 的增大而增大；当d o 时则随尺度a ( 也就是) 的增大而减小。 2 3 4 由小波变换的极大值重建信号 信号的奇异点携带着信号重要信息，而奇异性由小波变换的模极大值来描 述，那么信号的奇异点包括信号多少信息呢? 信号能否从模极大值点完全恢复出 来? m e v e r 证明模极大值点不能提供信号的完全表示，但可提供近似的表示文 献j 4 9 】则提出了一种利用模极大值点进行信号重建的算法。其重建误差在3 5 d b 以 下 设( z 。) 。：是l 玎歹( 2 。，x i 的局部极大值点，重建信号 ( z ) 必须满足以下条件： ( 1 ) 、在每个尺度2 ，l 胁( 2 ，x i 的局部极大值点为( o ，) 。； ( 2 ) 、在每一个极值点x 。，l 鼢( 2 ，r 加) | = i 叼( 2 7 ，x 。) i 。 满足以上条件的麒x ) 有无穷多个，m “l a t 使用以下的s o b o l e v 模极小化 的条件代替条件( 1 ) ，使满足条件( 1 ) 和( 2 ) 的以z ) 为唯一。 i 纾厮( 2 7 ，x ) 胆l 2 = 塞( 畛( 2 j